運動物質内の相対論(1)

運動する連続体物質内における電磁場の電磁エネルギー,および電磁運動量などについて,もっと深く理解したいという欲求が起きたので,その準備として運動する連続体物質の閉じた系や閉じていない系内の熱や弾性応力などの場の相対論的力学を考察してみます。

連続体のエネルギー運動量テンソルＴ^μνの概念は,宇宙を語る場合などには特に重要になってきます。

それは,例えば重力場の方程式がＲ_μν－(1/2)ｇ_μνＲ＝κＴ_μνなる形をしていて,右辺にエネルギー運動量テンソルが現われることからもわかります。

これは,宇宙を連続体,特に流体と見る古典的描像に基づいています。

元々,古典的な場の概念は,弾性体の歪み速度とか,電磁場,あるいは流体の流れ,熱流のような連続体の上の物理から生じたからですね。

相対性理論は,いかなる信号も光速ｃ以下の速度で伝わることを要求するので,"空間の有限な距離を隔てて瞬間的に作用する力＝遠隔作用の力"という考え方＝"例えば単純な位置のみの関数としてのポテンシャル概念"は存在不可能です。

つまり,物体間に働く力は,例えば電磁力における"光＝電磁波"のような"介在する何物かによって伝達されるもの＝近接作用"であると仮定することが重要です。

一方,以前に2008年５月30日の記事「電磁気学と相対論(6)(真空中の電磁気学５)」で書いたように,

"任意の準拠系＝Ｓ系"において,連続体内の点が密度μを持ち速度ｕで並進運動をしているとします。

運動する連続物体を構成するこの点の速度がゼロ,つまり,"この点が静止していると見える系＝静止系"をＳ⁰系とし,この系での物理量は全て上添字 0 を付けて表わすことにします。

対象とする物体のＳ系で密度μを持つ点の近傍領域の微小体積をΔＶとすれば,この微小領域の物体の全質量はμΔＶで与えられます。

質量はローレンツスカラーですから,静止系Ｓ⁰での同じ領域の体積をΔＶ⁰,密度をμ⁰とすると,μΔＶ＝μ⁰ΔＶ⁰が成立するはずです。

ところが,ΔＶ＝ΔＶ⁰(1－ｕ²/ｃ²)^1/2ですから,μ＝μ⁰/(1－ｕ²/ｃ²)^1/2なる関係式が成り立ちます。

そこで,μΔＶ＝μ⁰ΔＶ⁰は質点の運動方程式ｄｐ^μ/ｄτ＝ｄ(ｍＵ^μ)/ｄτ＝Ｆ_M^μにおける質量ｍに相当しますから,４元運動量ｐ^μ＝ｍＵ^μには,ｐ^μ＝μΔＶＵ^μ＝μ⁰ΔＶ⁰Ｕ^μが対応すると考えられます。

共変的な運動方程式ｄｐ^μ/ｄτ＝Ｆ_M^μの右辺の４元ベクトルＦ_M^μはミンコフスキーの４元力と呼ばれるものです。

以前の記事でも述べたように,ニュートンの運動方程式ｄｐ/ｄｔ＝Ｆは両辺に1/(1－ｕ²/ｃ²)^1/2を掛けることにより,固有時ｄτ＝ｄｔ(1－ｕ²/ｃ²)^1/2とミンコフスキーの力Ｆ_M≡Ｆ/(1－ｕ²/ｃ²)^1/2を用いてｄｐ/ｄτ＝Ｆ_Mなる形で表現できます。

これに,さらにｄｐ⁰/ｄτ＝Ｆ_M⁰≡(Ｆ_Mｕ)/ｃを追加し,Ｆ_M^μ≡((Ｆ_Mｕ)/ｃ,Ｆ_M)＝((Ｆｕ)/{ｃ(1－ｕ²/ｃ²)^1/2},Ｆ/(1－ｕ²/ｃ²)^1/2)として４元ベクトルにしたものがミンコフスイキーの４元力です。

そして,上述の密度がμの点の近傍ΔＶではＦ≡ｆΔＶと書いて力の密度ｆによる表現を用いれば,Ｆ_M^μ＝((ｆｕ)ΔＶ/{ｃ(1－ｕ²/ｃ²)^1/2},ｆΔＶ/(1－ｕ²/ｃ²)^1/2)＝((ｆｕ)/ｃ,ｆ)ΔＶ⁰と書くことができます。

そこで,４元力密度をｆ^μ≡((ｆｕ)/ｃ,ｆ)で定義すれば,結局Ｆ_M^μ＝ｆ^μΔＶ⁰と書けるので,質点粒子に対する運動方程式ｄｐ^μ/ｄτ＝ｄ(ｍＵ^μ)/ｄτ＝Ｆ_M^μは,連続体に対してはｄ(μ⁰Ｕ^μΔＶ⁰)/ｄτ＝ｆ^μΔＶ⁰となることがわかります。

そして,もしも運動中に物体の固有質量が保存される,つまりｄ(μ⁰ΔＶ⁰)/ｄτ＝0 なら,運動方程式はμ⁰ｄＵ^μ/ｄτ＝ｆ^μとなるのですが,一般にはｄ(μ⁰ΔＶ⁰)/ｄτ＝0 が成立するとは限りません。

一般に空間の閉曲面σで囲まれた領域の体積Ｖに対しては,ｄＶ/ｄｔ＝∫_σｕｄσ＝∫_V (divｕ)ｄＶ＝∫_V(∇ｕ)ｄＶなる等式が成立するので,ΔＶが微小ならｄ(ΔＶ)/ｄｔ＝(divｕ)ΔＶ＝(∇ｕ)ΔＶです。

そこで,ｄ(μ⁰ΔＶ⁰)/ｄｔ＝ｄ(μΔＶ)/ｄｔ＝(ｄμ/ｄｔ)ΔＶ＋μ{ｄ(ΔＶ)/ｄｔ}＝[ｄμ/ｄｔ＋μdivｕ]ΔＶ＝[∂μ/∂ｔ＋div(μｕ)]ΔＶとなるため,ｄ(μ⁰ΔＶ⁰)/ｄτ＝0 なる式の成立は質量保存の連続方程式:∂μ/∂ｔ＋div(μｕ)＝ｄμ/ｄｔ＋μdivｕ＝0 を意味します。

物質内の対象とする点が静止しているＳ⁰系では,ｄｔ＝ｄτですからｄ(ΔＶ)/ｄｔ＝(divｕ)ΔＶは,ｄ(ΔＶ⁰)/ｄτ＝(div⁰ｕ⁰)ΔＶ⁰を意味します。

そして,速度がｕの物体の４元速度Ｕ^μについての∂Ｕ^μ/∂ｘ^μを考えると,これはローレンツスカラーなので,Ｓ⁰系での４元速度Ｕ^0μ＝(ｃ,0)についても同じで,等式∂Ｕ^0μ/∂ｘ^0μ＝∂Ｕ^μ/∂ｘ^μが成立します。

さらに,４元速度の定義Ｕ^μ≡(ｃ/(1－ｕ²/ｃ²)^1/2,ｕ/(1－ｕ²/ｃ²)^1/2)から,∂Ｕ⁰/∂ｘ⁰＝－(ｕ/ｃ)(∂ｕ/∂ｘ⁰)/(1－ｕ²/ｃ²)^3/2なので,ｕ＝0 のＳ⁰系では∂Ｕ⁰/∂ｘ⁰はゼロです。

したがって,∂Ｕ^μ/∂ｘ^μ＝∂Ｕ^0μ/∂ｘ^0μ＝div⁰ｕ⁰を得ます。

そこで,ｄ(ΔＶ⁰)/ｄτ＝(div⁰ｕ⁰)ΔＶ⁰ですから,ｄ(ΔＶ⁰)/ｄτ＝(div⁰ｕ⁰)ΔＶ⁰＝(∂Ｕ^μ/∂ｘ^μ)ΔＶ⁰です。

これを用いると,ｄ(μ⁰ΔＶ⁰)/ｄτ＝(ｄμ⁰/ｄτ)ΔＶ⁰＋μ⁰ｄ(ΔＶ⁰)/ｄτ＝[(ｄμ⁰/ｄτ)＋μ⁰(∂Ｕ^μ/∂ｘ^μ)]ΔＶ⁰となります。

それ故,運動方程式ｄ(μ⁰Ｕ^μΔＶ⁰)/ｄτ＝ｆ^μΔＶ⁰は,[ｄ(μ⁰Ｕ^μ)/ｄτ＋μ⁰Ｕ^μ(∂Ｕ^ν/∂ｘ^ν)]ΔＶ⁰＝ｆ^μΔＶ⁰と変形されます。

また,ｄ(μ⁰Ｕ^μ)/ｄτ＝{∂(μ⁰Ｕ^μ)/∂ｘ^ν}(ｄｘ^ν/ｄτ)＝{∂(μ⁰Ｕ^μ)/∂ｘ^ν}Ｕ^νですから,結局連続物体の運動方程式は∂(μ⁰Ｕ^μＵ^ν)/∂ｘ^ν＝ｆ^μと簡単になります。

そこで,この連続体のエネルギー運動量テンソルをθ^μν≡μ⁰Ｕ^μＵ^νで定義すれば,運動方程式は∂θ^μν/∂ｘ^ν＝ｆ^μとエネルギー運動量の保存則を示すテンソル方程式の形になります。

本論の最初に述べた近接作用の話からすると,電磁場の電磁エネルギー運動量テンソルと同じく,如何なる形の力もその４元的な力の密度ｆ^μが常に力の場のエネルギー運動量テンソルＳ^μνによってｆ^μ＝－∂Ｓ^μν/∂ｘ^νなる形に書けると考えられます。

そこでＴ^μν≡θ^μν＋Ｓ^μνと定義することにより,上記の∂θ^μν/∂ｘ^ν＝ｆ^μなる"運動方程式＝エネルギー運動量の保存則"は,右辺がゼロの形の方程式∂Ｔ^μν/∂ｘ^ν＝0 で表現されます。

さて,このＴ^μν≡θ^μν＋Ｓ^μνは,系の全エネルギー運動量テンソルを表わすと考えられますが,一般には系はＳ^μν以外に他の外部環境による影響を受けており,例えば系が受ける４元的な力の密度ｆ^μは,ｆ^μ＝－∂Ｓ^μν/∂ｘ^ν＋α^μのように表わされます。

そして,こうした場合には∂Ｔ^μν/∂ｘ^ν≠0 となります。

しかし,特にエネルギー運動量テンソルＴ^μνが∂Ｔ^μν/∂ｘ^ν＝0 を満足する場合,これで表わされる物理系を閉じた系と呼びます。この場合には,Ｔ^μν≡θ^μν＋Ｓ^μνを閉じた系のエネルギー運動量テンソルと呼びます。

以下,当分の間は対象として閉じた系のみを考えることにします。

さて,ｈ＝Ｓ⁰⁰とおき,３次元ベクトルＳの成分をＳ^k≡ｃＳ^0kで定義すると,ｆ^μ＝－∂Ｓ^μν/∂ｘ^νのμ＝0 の式は,(ｆｕ)/ｃ＝(1/ｃ){－divＳ－∂ｈ/∂ｔ}より,∂ｈ/∂ｔ＋divＳ＝－(ｆｕ)を意味します。

そして,この両辺を系全体を囲むある定まった閉曲面σで囲まれた有限体積Ｖで積分して,Ｗ≡∫_VｈｄＶと置くと,ガウスの定理によって－ｄＷ/ｄｔ＝∫_σＳｄσ＋∫_V(ｆｕ)ｄＶとなります。

一方,連続体を構成する物質のエネルギー運動量テンソルθ^μν≡μ⁰Ｕ^μＵ^νにおいて,θ⁰⁰＝μ⁰ｃ²/(1－ｕ²/ｃ²)^1/2は,物体中の各点でのエネルギー密度,ｃθ^0k＝μ⁰ｃ²ｕ^k/(1－ｕ²/ｃ²)^1/2はエネルギー流束密度を示しています。

これに対応して,ｈ＝Ｓ⁰⁰を場のエネルギー密度,ベクトルＳ (Ｓ^k≡ｃＳ^0k)を場のエネルギー流束密度と解釈すれば,－ｄＷ/ｄｔ＝∫_σＳｄσ＋∫_V(ｆｕ)ｄＶは(Ｖにおける場の総エネルギーＷの減少分)＝(境界面σから流出するエネルギー量)＋(場に起因する力ｆｄＶがＶの外部になす仕事)となります。

結局,ｆ^μ＝－∂Ｓ^μν/∂ｘ^νのμ＝0 の式は,エネルギー保存を意味していると考えられます。

他方,Ｓ^μνの空間成分をＳ^ij＝－ｔ^ijとおくと,μ＝1,2,3についての式はｆⁱ＝∂ｔ^ij/∂ｘ^j－∂(Ｓ^k0/ｃ)/∂ｔです。

これも,系全体を囲む閉曲面σで囲まれた有限体積Ｖで積分すれば,Ｆⁱ＝∫_VｆⁱｄＶ,かつガウスの定理により∫_V(∂ｔ^ij/∂ｘ^j)ｄＶ＝∫_σｔ^ijｎ^jｄσとなります。

そこで,ベクトル量ｇをｇ^k≡Ｓ^k0/ｃで定義すれば,Ｆ＝∫_VｆｄＶ＝∫_σｔ^ijｎ^jｄσ－(ｄ/ｄｔ)(∫_VｇｄＶ)となります。

上の式で,左辺の示す物体に働く総体としての力Ｆ＝∫_VｆｄＶは,ニュートンの運動の第２法則が示すところによれば,単位時間当りの力学的運動量Ｇ_mの増加率に等しいはずです。つまりｄＧ_m/ｄｔ＝∫_VｆｄＶです。

そこで,もしも閉曲面σ上でｔ^ijがゼロの場合なら,そのとき成り立つ式Ｆ＝∫_VｆｄＶ＝－(ｄ/ｄｔ)(∫_VｇｄＶ)は(ｄ/ｄｔ)(Ｇ_m＋∫_VｇｄＶ)＝0 と表わすことができます。

そこで,閉じた系の故に時間的に一定なベクトル量(保存量)として全運動量が存在するためには,力学的運動量Ｇ_mの他に,∫_VｇｄＶ＋(定数)を場の運動量であると仮定して力学的運動量と場の運動量の和が全運動量であるとしなければなりません。

それ故,[ｇ＋(定数)]を場の運動量密度と考えることができますが,場が存在しないときには場の運動量密度はゼロであるべきですから,この加えるべき定数はゼロです。

そこで,ｇ^k≡Ｓ^k0/ｃで与えられるベクトルｇ自体を場の運動量密度と解釈します。

一方,∫_VｇｄＶがゼロの場合には,ｆ^μ＝－∂Ｓ^μν/∂ｘ^νのμ＝1,2,3についての式:Ｆ＝∫_VｆｄＶ＝∫_σｔ^ijｎ^jｄσ－(ｄ/ｄｔ)(∫_VｇｄＶ)は,Ｆ＝∫_VｆｄＶ＝∫_σｔ^ijｎ^jｄσとなります。

これは,物体に働く力の第ｉ成分についてはＦⁱ＝∫_VｆⁱｄＶ＝∫_V(∂ｔ^ij/∂ｘ^j)ｄＶ＝∫_σｔ^ijｎ^jｄσであり,Ｖを囲む閉曲面の第j軸に垂直な面要素ｄσにおいて物体に働く力の第ｉ成分が(－ｔ^ijｎ^jｄσ)で与えられることを示しています。

これは,ｔ^ijが物体中の場の応力テンソルであることを意味します。

(何故なら,慣例によって上の成分ｎ^jを与えるベクトルｎはｄσの外向き法線で,これは物体に働く応力の向きとは逆向きだからです。)

以上の考察から,∂Ｔ^μν/∂ｘ^ν＝0 を満たす閉じた系全体のエネルギー運動量テンソルＴ^μνに対し,改めてｈ≡Ｔ⁰⁰,Ｓ^k≡ｃＴ^0k,ｇ^k≡Ｔ^k0/ｃとおいて,ｈを系の全エネルギー密度,Ｓを全エネルギー流束密度ベクトル,ｇを全運動量密度ベクトルと解釈します。

そして,∂Ｔ^μν/∂ｘ^ν＝0 のμ＝0 の式は微分形のエネルギー保存式:∂ｈ/∂ｔ＋divＳ＝0 であり,μ＝1,2,3の式は微分形の運動量保存式∂ｇⁱ/∂ｔ＋∂Ｔ^ij/∂ｘ^j＝0 であると見ることができます。

そこで,Ｔ^ijは系の全応力テンソル,または運動量流束テンソルであると考えられます。

ところで,閉じた系のμ＝ｋに対する保存方程式:∂Ｔ^kν/∂ｘ^ν＝0 ,すなわち,∂ｇ^k/∂ｔ＋∂Ｔ^kj/∂ｘ^j＝0 から,∂(ｘ^kｇⁱ－ｘⁱｇ^k)/∂ｔ＋ｘ^k∂Ｔ^ij/∂ｘ^j－ｘⁱ∂Ｔ^kj/∂ｘ^j＝0 なる式が得られます。

これは,ｍ^ki≡ｘ^kｇⁱ－ｘⁱｇ^kとおけば,∂ｍ^ki/∂ｔ＝－{∂(ｘ^kＴ^ij－ｘⁱＴ^kj)/∂ｘ^j}－Ｔ^ik＋Ｔ^kiとなります。

ｇ^k≡Ｔ^k0/ｃであり,ｇは系の全運動量密度ベクトルなので,ｍ^ki≡ｘ^kｇⁱ－ｘⁱｇ^kは,系の角運動量テンソル密度と考えられます。

一方,Ｔ^ijは系の応力テンソルであり,対象領域を囲む閉曲面の第ｊ軸に垂直な面要素ｄσにおいて物体に働く力の第ｉ成分が(－Ｔ^ijｎ^jｄσ)なので,－(ｘ^kＴ^ij－ｘⁱＴ^kj)ｎ^jｄσなる量は応力のモーメント密度の(ｋ,ｉ)成分:角運動量流束密度を示していると考えられます。

それ故,∂ｍ^ki/∂ｔ＝－{∂(ｘ^kＴ^ij－ｘⁱＴ^kj)/∂ｘ^j}－Ｔ^ik＋Ｔ^kiなる式は角運動量の収支を表わす連続の方程式であると思われます。

したがって,閉じた系であるための条件の１つである角運動量保存則∂ｍ^ki/∂ｔ＋{∂(ｘ^kＴ^ij－ｘⁱＴ^kj)/∂ｘ^j}＝0 が成立するためには,Ｔ^ki＝Ｔ^ikとなること,つまり,エネルギー運動量テンソルの空間部分が対称テンソルであることが必要です。

しかも,互いにローレンツ変換で移リ合うことができる任意の座標系で空間部分が常に対称テンソルであるためには時間成分も対称でなければなりませんから,結局Ｔ^μν全体が対称テンソル:Ｔ^νμ＝Ｔ^μνなることが必要です。

特に時間成分について成立するＴ^0ｋ＝Ｔ^k0から,閉じた系ではｇ＝Ｓ/ｃ²なる関係式が成立する必要があります。

もしも,対象となる連続物体以外に力場が存在しないＳ^μνが全てゼロの自由空間の場合なら,Ｔ^μν＝θ^μν＝μ⁰Ｕ^μＵ^νなのでエネルギー運動量テンソルＴ^μνが対称テンソルであることは明らかです。

また,ｇ^k＝θ^k0/ｃよりｇ＝μｕ/(1－ｕ²/ｃ²)^1/2,Ｔ^ij＝θ^ij＝ｇⁱｕ^jです。そこで,このときにはｘ^kＴ^ij－ｘⁱＴ^kj＝ｘ^kθ^ij－ｘⁱθ^kj＝(ｘ^kｇⁱ－ｘⁱｇ^k)ｕ^j＝ｍ^kiｕ^jですから,角運動量保存則∂ｍ^ki/∂ｔ＋{∂(ｘ^kＴ^ij－ｘⁱＴ^kj)/∂ｘ^j}＝0 は∂ｍ^ki/∂ｔ＋∂(ｍ^kiｕ^j)/∂ｘ^j＝0 となって馴染み深い形になります。

ここで,ｕ^*≡Ｓ/ｈ,ｕ^*k＝ｃＴ^0k/Ｔ⁰⁰を場のエネルギーの伝播速度と定義すれば,場の運動量密度はｇ＝Ｓ/ｃ²＝(ｈ/ｃ²)ｕ^*と書けます。

力場Ｓ^μνの存在しない自由空間の場合には,ｈ＝μｃ²/(1－ｕ²/ｃ²)^1/2,Ｓ＝μｃ²ｕ/(1－ｕ²/ｃ²)^1/2ですから,エネルギーの伝播速度ｕ^*は物体の運動速度ｕに一致します。

そこで,ｇ＝Ｓ/ｃ²＝(ｈ/ｃ²)ｕ^*は,一般に力学的エネルギー密度がｈで総エネルギーがＥ＝∫ｈｄＶの粒子が速度ｕ^*で運動しているときには運動量密度がｇ＝(ｈ/ｃ²)ｕ^*で与えられるという事実を表わしていると思われます。

つまり,エネルギー密度ｈには質量密度μ＝ｈ/ｃ²が対応するというアインシュタインの関係式を表わしているのですね。

ところが,ｕ^*≡Ｓ/ｈで定義される伝播速度ｕ^*の大きさｕ^*≡|ｕ^*|は光速ｃより大きく成り得るし,またｕ^*＜ｃの場合でもこれは相対速度がｖの座標系間の速度のローレンツ変換:(ｕ^*→ｕ^*')の公式ｕ^*'＝[(1－ｖ²/ｃ²)^1/2ｕ^*＋({1－(1－ｖ²/ｃ²)^1/2}(ｕ^*ｖ)/ｖ²－1)ｖ]/{1－(ｖｕ^*)/ｃ²}には従わないことに注意する必要があります。

エネルギー密度ｈは負になることもあるので,対応して質量密度μ＝ｈ/ｃ²も負になることがあります。

また,各準拠座標系ごとに,Ｓ^μ≡(ｃｈ,Ｓ)＝ｃＴ^0μを定義すれば,準拠座標系ごとには∂Ｓ^μ/∂ｘ^μ＝0 となります。

しかし,これは４元ベクトルではなく,ベクトルのようには変換しないことも注意を要します。

実際,Ｓ^μはローレンツ変換ｘ'^μ＝Λ^μ_νｘ^νに対して,Ｓ'^μ＝ｃＴ'^0μ＝ｃΛ⁰_λΛ^μ_ρＴ^λρなる変換をしますが,Ｓ'^μ＝Λ^μ_νＳ^νのような４元ベクトルの変換はしません。

ここで,ｈ＞0 でｕ^*＜ｃ,つまりＳ_μＳ^μ＝ｃ²ｈ²－Ｓ²＞0 と仮定して,４つの値を持つ量Ｕ^*μをＵ^*μ≡(ｃ/(1－ｕ^*2/ｃ²)^1/2,ｕ^*/(1－ｕ^*2/ｃ²)^1/2)で定義し,これらが４元ベクトルをなすための条件を求めてみます。

まず,こう定義すれば,(1－ｕ^*2/ｃ²)^1/2＝{1－Ｓ²/(ｈ²ｃ²)}^1/2＝(Ｓ_μＳ^μ)^1/2/(ｈｃ)よりＵ^*μ＝ｃ(Ｓ_λＳ^λ)^-1/2Ｓ^μなので,Ｕ^*_μＵ^*μ＝ｃ²となります。

２つの慣性系ＳとＳ'が無限小ローレンツ変換ｘ'^μ＝ｘ^μ＋ε^μ_νｘ^ν＝(δ^μ_ν＋ε^μ_ν)ｘ^ν,ε_μν＝ε_νμで結ばれているとします。

このとき,ε^μ_νの２次以上の微小量を無視すれば,テンソルの変換性により,Ｔ'^0μ＝(δ⁰_λ＋ε⁰_λ)(δ^μ_ν＋ε^μ_ν)Ｔ^λν＝Ｔ^0μ＋ε⁰_λＴ^λμ＋ε^μ_νＴ^0νです。

それ故,Ｓ'^μ＝Ｓ^μ＋ε^μ_νＳ^ν＋ｃε⁰_λＴ^λμ,Ｓ'_μＳ'^μ＝Ｓ_μＳ^μ＋2ｃε⁰_λＴ^λμＳ_μとなります。そこで,(Ｓ'_μＳ'^μ)^-1/2＝(Ｓ_μＳ^μ)^-1/2[1－ｃε⁰_λＴ^λρＳ_ρ(Ｓ_τＳ^τ)^-1/2]です。

したがって,Ｕ^*'^μ＝ｃ(Ｓ'_λＳ'^λ)^-1/2Ｓ'^μ＝Ｕ^*μ＋ε^μ_νＵ^*ν＋ｃ²ε⁰_λ(Ｓ_σＳ^σ)^-1/2[Ｔ^λμ－Ｔ^λρＵ^*_ρＵ^*μ/ｃ²]となります。

ここで,Ｒ^μν≡Ｔ^μν－Ｔ^μλＵ^*_λＵ^*ν/ｃ²とおくと,Ｕ^*'^μ＝Ｕ^*μ＋ε^μ_νＵ^*ν＋ｃ²ε⁰_λ(Ｓ_σＳ^σ)^-1/2Ｒ^λμですが,μ＝0 ならＲ^0ν＝Ｔ^0ν－Ｔ^0λＵ^*_λＵ^*ν/ｃ²＝Ｓ^ν/ｃ－Ｓ^λ/ｃ＝0 です。

そこで,Ｕ^*μがＵ^*'^μ＝Ｕ^*μ＋ε^μ_νＵ^*νと４元ベクトルのように変換されるためには,μ＝1,2,3と全てのνについて恒等的にＲ^μν＝0 が満たされることが必要十分です。

物理量としての一般のエネルギー運動量テンソルＴ^μνは常にＲ^μν＝Ｔ^μν－Ｔ^μλＵ^*_λＵ^*ν/ｃ²＝0 を満たすわけではありませんが,Ｔ^μν＝θ^μν＝μ⁰Ｕ^μＵ^νの場合にはＵ^*μ＝Ｕ^μであり,もちろんＲ^μν＝0 が成立します。

"連続体＝弾性体"では一般にＲ^μν＝0 の条件は満たされませんが,この条件が満たされる他の重要な例としては屈折性媒質中での光波と関連した話があります。これは,私にとっての主題そのものなので後で詳述する予定です。

とりあえず,今日はここで終わります。

参考文献：メラー 著(永田恒夫,伊藤大介 訳)「相対性理論」(みすず書房)

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