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2008年10月31日 (金)

運動物質内の相対論(1)

運動する連続体物質内における電磁場の電磁エネルギー,および電磁運動量などについて,もっと深く理解したいという欲求が起きたので,その準備として運動する連続体物質の閉じた系や閉じていない系内の熱や弾性応力などの場の相対論的力学を考察してみます。

 

連続体のエネルギー運動量テンソルTμνの概念は,宇宙を語る場合などには特に重要になってきます。

 

それは,例えば重力場の方程式がRμν-(1/2)gμνR=κTμνなる形をしていて,右辺にエネルギー運動量テンソルが現われることからもわかります。

 

これは,宇宙を連続体,特に流体と見る古典的描像に基づいています。

  

元々,古典的な場の概念は,弾性体の歪み速度とか,電磁場,あるいは流体の流れ,熱流のような連続体の上の物理から生じたからですね。

 

相対性理論は,いかなる信号も光速c以下の速度で伝わることを要求するので,"空間の有限な距離を隔てて瞬間的に作用する力=遠隔作用の力"という考え方="例えば単純な位置のみの関数としてのポテンシャル概念"は存在不可能です。

 

つまり,物体間に働く力は,例えば電磁力における"光=電磁波"のような"介在する何物かによって伝達されるもの=近接作用"であると仮定することが重要です。

一方,以前に2008年5月30日の記事「電磁気学と相対論(6)(真空中の電磁気学5)」で書いたように,

 

"任意の準拠系=S系"において,連続体内の点が密度μを持ち速度で並進運動をしているとします。

運動する連続物体を構成するこの点の速度がゼロ,つまり,"この点が静止していると見える系=静止系"をS0系とし,この系での物理量は全て上添字 0 を付けて表わすことにします。

対象とする物体のS系で密度μを持つ点の近傍領域の微小体積をΔVとすれば,この微小領域の物体の全質量はμΔVで与えられます。

 

質量はローレンツスカラーですから,静止系S0での同じ領域の体積をΔV0,密度をμ0とすると,μΔV=μ0ΔV0が成立するはずです。

 

ところが,ΔV=ΔV0(1-2/c2)1/2ですから,μ=μ0/(1-2/c2)1/2なる関係式が成り立ちます。

そこで,μΔV=μ0ΔV0は質点の運動方程式dpμ/dτ=d(mUμ)/dτ=FMμにおける質量mに相当しますから,4元運動量pμ=mUμには,pμ=μΔVUμ=μ0ΔV0μが対応すると考えられます。

共変的な運動方程式dpμ/dτ=FMμの右辺の4元ベクトルFMμはミンコフスキーの4元力と呼ばれるものです。

 

以前の記事でも述べたように,ニュートンの運動方程式d/dt=は両辺に1/(1-2/c2)1/2を掛けることにより,固有時dτ=dt(1-2/c2)1/2とミンコフスキーの力M/(1-2/c2)1/2を用いてd/dτ=Mなる形で表現できます。

 

これに,さらにdp0/dτ=FM0≡(M)/cを追加し,FMμ≡((M)/c,M)=((Fu)/{c(1-2/c2)1/2},/(1-2/c2)1/2)として4元ベクトルにしたものがミンコフスイキーの4元力です。

そして,上述の密度がμの点の近傍ΔVではΔVと書いて力の密度による表現を用いれば,FMμ=((fu)ΔV/{c(1-2/c2)1/2},ΔV/(1-2/c2)1/2)=((fu)/c,)ΔV0と書くことができます。

 

そこで,4元力密度をfμ≡((fu)/c,)で定義すれば,結局FMμ=fμΔV0と書けるので,質点粒子に対する運動方程式dpμ/dτ=d(mUμ)/dτ=FMμは,連続体に対してはd(μ0μΔV0)/dτ=fμΔV0となることがわかります。

そして,もしも運動中に物体の固有質量が保存される,つまりd(μ0ΔV0)/dτ=0 なら,運動方程式はμ0dUμ/dτ=fμとなるのですが,一般にはd(μ0ΔV0)/dτ=0 が成立するとは限りません。

一般に空間の閉曲面σで囲まれた領域の体積Vに対しては,dV/dt=∫σσ=V (div)dVV()dVなる等式が成立するので,ΔVが微小ならd(ΔV)/dt=(div)ΔV(∇)ΔVです。

 

そこで,d(μ0ΔV0)/dt=d(μΔV)/dt=(dμ/dt)ΔV+μ{d(ΔV)/dt}=[dμ/dt+μdiv]ΔV=[∂μ/∂t+div(μ)]ΔVとなるため,d(μ0ΔV0)/dτ=0 なる式の成立は質量保存の連続方程式:∂μ/∂t+div(μ)=dμ/dt+μdiv=0 を意味します。

物質内の対象とする点が静止しているS0系では,dt=dτですからd(ΔV)/dt=(div)ΔVは,d(ΔV0)/dτ=(div00)ΔV0を意味します。

 

そして,速度がの物体の4元速度Uμについての∂Uμ/∂xμを考えると,これはローレンツスカラーなので,S0系での4元速度U=(c,0)についても同じで,等式∂U/∂x=∂Uμ/∂xμが成立します。

さらに,4元速度の定義Uμ≡(c/(1-2/c2)1/2,/(1-2/c2)1/2)から,∂U0/∂x0=-(/c)(∂/∂x0)/(1-2/c2)3/2なので,0 のS0系では∂U0/∂x0はゼロです。

 

したがって,∂Uμ/∂xμ=∂U/∂x=div00を得ます。

 

そこで,d(ΔV0)/dτ=(div00)ΔV0ですから,d(ΔV0)/dτ=(div00)ΔV0=(∂Uμ/∂xμ)ΔV0です。

これを用いると,d(μ0ΔV0)/dτ=(dμ0/dτ)ΔV0+μ0d(ΔV0)/dτ=[(dμ0/dτ)+μ0(∂Uμ/∂xμ)]ΔV0となります。

 

それ故,運動方程式d(μ0μΔV0)/dτ=fμΔV0は,[d(μ0μ)/dτ+μ0μ(∂Uν/∂xν)]ΔV0=fμΔV0と変形されます。

 

また,d(μ0μ)/dτ={∂(μ0μ)/∂xν}(dxν/dτ)={∂(μ0μ)/∂xν}Uνですから,結局連続物体の運動方程式は∂(μ0μν)/∂xν=fμと簡単になります。

そこで,この連続体のエネルギー運動量テンソルをθμν≡μ0μνで定義すれば,運動方程式は∂θμν/∂xν=fμとエネルギー運動量の保存則を示すテンソル方程式の形になります。

本論の最初に述べた近接作用の話からすると,電磁場の電磁エネルギー運動量テンソルと同じく,如何なる形の力もその4元的な力の密度fμが常に力の場のエネルギー運動量テンソルSμνによってfμ=-∂Sμν/∂xνなる形に書けると考えられます。

 

そこでTμν≡θμν+Sμνと定義することにより,上記の∂θμν/∂xν=fμなる"運動方程式=エネルギー運動量の保存則"は,右辺がゼロの形の方程式∂Tμν/∂xν=0 で表現されます。

さて,このTμν≡θμν+Sμνは,系の全エネルギー運動量テンソルを表わすと考えられますが,一般には系はSμν以外に他の外部環境による影響を受けており,例えば系が受ける4元的な力の密度fμは,fμ=-∂Sμν/∂xν+αμのように表わされます。

 

そして,こうした場合には∂Tμν/∂xν≠0 となります。

しかし,特にエネルギー運動量テンソルTμνが∂Tμν/∂xν=0 を満足する場合,これで表わされる物理系を閉じた系と呼びます。この場合には,Tμν≡θμν+Sμνを閉じた系のエネルギー運動量テンソルと呼びます。

以下,当分の間は対象として閉じた系のみを考えることにします。

さて,h=S00とおき,3次元ベクトルの成分をSk≡cS0kで定義すると,fμ=-∂Sμν/∂xνのμ=0 の式は,(fu)/c=(1/c){-div-∂h/∂t}より,∂h/∂t+div=-(fu)を意味します。

 

そして,この両辺を系全体を囲むある定まった閉曲面σで囲まれた有限体積Vで積分して,W≡∫VhdVと置くと,ガウスの定理によって-dW/dt=∫σσ+∫V(fu)dVとなります。

一方,連続体を構成する物質のエネルギー運動量テンソルθμν≡μ0μνにおいて,θ00=μ02/(1-2/c2)1/2は,物体中の各点でのエネルギー密度,cθ0k=μ02k/(1-2/c2)1/2はエネルギー流束密度を示しています。

 

これに対応して,h=S00を場のエネルギー密度,ベクトル(Sk≡cS0k)を場のエネルギー流束密度と解釈すれば,-dW/dt=∫σσ+∫V(fu)dVは(Vにおける場の総エネルギーWの減少分)=(境界面σから流出するエネルギー量)+(場に起因する力dVがVの外部になす仕事)となります。

 

結局,fμ=-∂Sμν/∂xνのμ=0 の式は,エネルギー保存を意味していると考えられます。

他方,Sμνの空間成分をSij=-tijとおくと,μ=1,2,3についての式はfi=∂tij/∂xj-∂(Sk0/c)/∂tです。

 

これも,系全体を囲む閉曲面σで囲まれた有限体積Vで積分すれば,Fi=∫VidV,かつガウスの定理により∫V(∂tij/∂xj)dV=∫σijjdσとなります。

 

そこで,ベクトル量をgk≡Sk0/cで定義すれば,=∫VdV=∫σijjdσ-(d/dt)(∫VdV)となります。

上の式で,左辺の示す物体に働く総体としての力=∫VdVは,ニュートンの運動の第2法則が示すところによれば,単位時間当りの力学的運動量mの増加率に等しいはずです。つまりdm/dt=∫VdVです。

 

そこで,もしも閉曲面σ上でtijがゼロの場合なら,そのとき成り立つ式=∫VdV=-(d/dt)(∫VdV)は(d/dt)(m+∫VdV)=0 と表わすことができます。

そこで,閉じた系の故に時間的に一定なベクトル量(保存量)として全運動量が存在するためには,力学的運動量mの他に,∫VdV+(定数)を場の運動量であると仮定して力学的運動量と場の運動量の和が全運動量であるとしなければなりません。

 

それ故,[+(定数)]を場の運動量密度と考えることができますが,場が存在しないときには場の運動量密度はゼロであるべきですから,この加えるべき定数はゼロです。

 

そこで,gk≡Sk0/cで与えられるベクトル自体を場の運動量密度と解釈します。

一方,∫VdVがゼロの場合には,fμ=-∂Sμν/∂xνのμ=1,2,3についての式:=∫VdV=∫σijjdσ-(d/dt)(∫VdV)は,=∫VdV=∫σijjdσとなります。

 

これは,物体に働く力の第i成分についてはFi=∫VidV=∫V(∂tij/∂xj)dV=∫σijjdσであり,Vを囲む閉曲面の第j軸に垂直な面要素dσにおいて物体に働く力の第i成分が(-tijjdσ)で与えられることを示しています。

 

これは,tijが物体中の場の応力テンソルであることを意味します。

 

(何故なら,慣例によって上の成分njを与えるベクトルはdσの外向き法線で,これは物体に働く応力の向きとは逆向きだからです。)

以上の考察から,∂Tμν/∂xν=0 を満たす閉じた系全体のエネルギー運動量テンソルTμνに対し,改めてh≡T00,Sk≡cT0k,gk≡Tk0/cとおいて,hを系の全エネルギー密度,を全エネルギー流束密度ベクトル,gを全運動量密度ベクトルと解釈します。

そして,∂Tμν/∂xν=0 のμ=0 の式は微分形のエネルギー保存式:∂h/∂t+div=0 であり,μ=1,2,3の式は微分形の運動量保存式∂gi/∂t+∂Tij/∂xj=0 であると見ることができます。

 

そこで,Tijは系の全応力テンソル,または運動量流束テンソルであると考えられます。

ところで,閉じた系のμ=kに対する保存方程式:∂T/∂xν=0 ,すなわち,∂gk/∂t+∂Tkj/∂xj=0 から,∂(xki-xik)/∂t+xk∂Tij/∂xj-xi∂Tkj/∂xj=0 なる式が得られます。

 

これは,mki≡xki-xikとおけば,∂mki/∂t=-{∂(xkij-xikj)/∂xj}-Tik+Tkiとなります。

 

k≡Tk0/cであり,は系の全運動量密度ベクトルなので,mki≡xki-xikは,系の角運動量テンソル密度と考えられます。

一方,Tijは系の応力テンソルであり,対象領域を囲む閉曲面の第j軸に垂直な面要素dσにおいて物体に働く力の第i成分が(-Tijjdσ)なので,-(xkij-xikj)njdσなる量は応力のモーメント密度の(k,i)成分:角運動量流束密度を示していると考えられます。

 

それ故,∂mki/∂t=-{∂(xkij-xikj)/∂xj}-Tik+Tkiなる式は角運動量の収支を表わす連続の方程式であると思われます。

したがって,閉じた系であるための条件の1つである角運動量保存則∂mki/∂t+{∂(xkij-xikj)/∂xj}=0 が成立するためには,Tki=Tikとなること,つまり,エネルギー運動量テンソルの空間部分が対称テンソルであることが必要です。

 

しかも,互いにローレンツ変換で移リ合うことができる任意の座標系で空間部分が常に対称テンソルであるためには時間成分も対称でなければなりませんから,結局Tμν全体が対称テンソル:Tνμ=Tμνなることが必要です。

 

特に時間成分について成立するT0k=Tk0から,閉じた系では/c2なる関係式が成立する必要があります。

もしも,対象となる連続物体以外に力場が存在しないSμνが全てゼロの自由空間の場合なら,Tμν=θμν=μ0μνなのでエネルギー運動量テンソルTμνが対称テンソルであることは明らかです。

  

また,gk=θk0/cより=μ/(1-2/c2)1/2,Tij=θij=gijです。そこで,このときにはxkij-xikj=xkθij-xiθkj=(xki-xik)uj=mkijですから,角運動量保存則∂mki/∂t+{∂(xkij-xikj)/∂xj}=0 は∂mki/∂t+∂(mkij)/∂xj=0 となって馴染み深い形になります。

ここで,*/h,u*k=cT0k/T00を場のエネルギーの伝播速度と定義すれば,場の運動量密度は/c2=(h/c2)*と書けます。

 

力場Sμνの存在しない自由空間の場合には,h=μc2/(1-2/c2)1/2,=μc2/(1-2/c2)1/2ですから,エネルギーの伝播速度*は物体の運動速度に一致します。

そこで,/c2=(h/c2)*は,一般に力学的エネルギー密度がhで総エネルギーがE=∫hdVの粒子が速度*で運動しているときには運動量密度が=(h/c2)*で与えられるという事実を表わしていると思われます。

 

つまり,エネルギー密度hには質量密度μ=h/c2が対応するというアインシュタインの関係式を表わしているのですね。

ところが,*/hで定義される伝播速度*の大きさu*|*|は光速cより大きく成り得るし,またu*<cの場合でもこれは相対速度がの座標系間の速度のローレンツ変換:(**')の公式*'=[(1-2/c2)1/2*+({1-(1-2/c2)1/2}(*)/2-1)]/{1-(vu*)/c2}には従わないことに注意する必要があります。

 

エネルギー密度hは負になることもあるので,対応して質量密度μ=h/c2も負になることがあります。

また,各準拠座標系ごとに,Sμ≡(ch,)=cTを定義すれば,準拠座標系ごとには∂Sμ/∂xμ=0 となります。

 

しかし,これは4元ベクトルではなく,ベクトルのようには変換しないことも注意を要します。

 

実際,Sμはローレンツ変換x'μ=Λμννに対して,S'μ=cT'=cΛ0λΛμρλρなる変換をしますが,S'μ=Λμννのような4元ベクトルの変換はしません。

ここで,h>0 でu*<c,つまりSμμ=c222>0 と仮定して,4つの値を持つ量U*μをU*μ≡(c/(1-*2/c2)1/2,*/(1-*2/c2)1/2)で定義し,これらが4元ベクトルをなすための条件を求めてみます。

まず,こう定義すれば,(1-*2/c2)1/2={1-2/(h22)}1/2=(Sμμ)1/2/(hc)よりU*μ=c(Sλλ)-1/2μなので,U*μ*μ=c2となります。

2つの慣性系SとS'が無限小ローレンツ変換x'μ=xμ+εμνν=(δμν+εμν)xνμν=ενμで結ばれているとします。

 

このとき,εμνの2次以上の微小量を無視すれば,テンソルの変換性により,T'=(δ0λ+ε0λ)(δμν+εμν)Tλν=T+ε0λλμ+εμνです。

 

それ故,S'μ=Sμ+εμνν+cε0λλμ,S'μS'μ=Sμμ+2cε0λλμμとなります。そこで,(S'μS'μ)-1/2=(Sμμ)-1/2[1-cε0λλρρ(Sττ)-1/2]です。

したがって,U*'μ=c(S'λS'λ)-1/2S'μ=U*μ+εμν*ν+c2ε0λ(Sσσ)-1/2[Tλμ-Tλρ*ρ*μ/c2]となります。

 

ここで,Rμν≡Tμν-Tμλ*λ*ν/c2とおくと,U*'μ=U*μ+εμν*ν+c2ε0λ(Sσσ)-1/2λμですが,μ=0 ならR=T-T*λ*ν/c2=Sν/c-Sλ/c=0 です。

 

そこで,U*μがU*'μ=U*μ+εμν*νと4元ベクトルのように変換されるためには,μ=1,2,3と全てのνについて恒等的にRμν=0 が満たされることが必要十分です。

物理量としての一般のエネルギー運動量テンソルTμνは常にRμν=Tμν-Tμλ*λ*ν/c2=0 を満たすわけではありませんが,Tμν=θμν=μ0μνの場合にはU*μ=Uμであり,もちろんRμν=0 が成立します。

 

"連続体=弾性体"では一般にRμν=0 の条件は満たされませんが,この条件が満たされる他の重要な例としては屈折性媒質中での光波と関連した話があります。これは,私にとっての主題そのものなので後で詳述する予定です。

とりあえず,今日はここで終わります。

参考文献:メラー 著(永田恒夫,伊藤大介 訳)「相対性理論」(みすず書房)

 

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