超弦理論(4)(点粒子の作用)

　超弦理論(superstring theory)の続きです。

　弦理論の話に入る前置きとして一般のＤ次元時空における古典的点粒子の作用の話をします。

Minkowski空間内を運動する質量のない１粒子を記述する作用は一般に次のように書けます。Ｓ＝－∫ｄτｅ^-1(τ)η_μν(ｄｘ^μ/ｄτ)(ｄｘ^ν/ｄτ)です。

ここでη_μνはMinkowski計量です。ここではη_μν＝(＋,－,－,..,－)としています。

(次元が大きい時空では負号が１つだけの方が便利なためか,弦理論ではほとんどの著書で使用されているη_μν＝(－,＋,＋,..,＋)という計量ではなく,私の場合は一貫してη_μν＝(＋,－,－,..,－)なるミンコフスキー計量を採用しています。

そこで本書(Green,Schwarz,Witten)を訳出してノートにまとめたものも,全て書物とは反対符号の私好みの計量表示に書き換えています。)

ただし,ＳはＤ次元時空における作用なので添字はμ,ν＝0,1,2,,..,Ｄ－1です。

また,τは任意パラメータで,これはｘ^μ(τ)のように"粒子の世界線＝軌道"を粒子の位置座標への１パラメータ写像として表わすためのものです。ｅ(τ)はこの世界線に沿った一種の計量です。

※(訳注1) 今は序文の内容で詳細は後述するため,概略説明をしているだけとはいっても,弦理論の素人に対し,いきなり上のような作用積分の形式を説明なしに書かれたら,普通はとまどってしまうでしょうから,私自身の理解も兼ねて一応の説明をしておきます。

まず,古典物理学では相対性理論が確立されて以来,質量がｍの質点の軌道を与える作用積分Ｓは,それの描く世界線の固有長さをｓとしてＳ＝－ｍ∫ｄｓで与えられることがわかっています。

ただし,ｇ_μνを時空の計量テンソルとするとき,ｄｓはｄｓ²＝ｇ_μνｄｘ^μｄｘ^νで与えられます。

そして,古典的軌跡がｘ^μ(τ)で表わされるとすれば,ｘ^d≡ｘ^dot≡ｄｘ/ｄτとして,(ｘ^d)²≡ｇ_μν(ｄｘ^μ/ｄτ)(ｄｘ^ν/ｄτ)と定義すれば,Ｓ＝－ｍ∫ｄτ[(ｘ^d)²]^1/2となります。

作用Ｓを示す式の右辺にマイナス符号が付いているのは,時空が不定計量の空間であるため,実際の軌道を与える測地線で,世界線の長さ∫ｄｓが最小ではなく最大になるためです。

あるいは,点粒子自身の刻む固有時間∫ｄτ＝∫ｄｓ/ｃ (ここでのτは任意パラメータでなくｄｓ＝ｃｄτで定義される固有時間)は,測地線に沿った運動をする場合に最大になり,それと異なる回り道の運動をすると時間が遅れて小さい値になることから,マイナス符号を付けないと"最小作用の原理"という用語に反するからです。

ここで,Ｓ＝－ｍ∫ｄτ[(ｘ^d)²]^1/2の右辺の幾分厄介な平方根の記号をはずし,また質量のない(ｍ＝0の)粒子にも適用できるようにするために,補助座標ｅ(τ)を導入します。

天下り的ですが,ｅをも加えた作用をＳ≡－(1/2)∫[ｅ^-1(ｘ^d)²＋ｅｍ²]ｄτと定義すると,ｅの微小変分δｅに対する作用Ｓの停留性δＳ/δｅ＝0 から得られる運動方程式は(ｘ^d)²－ｅ²ｍ²＝0 で与えられます。

これから,ｅ＝[(ｘ^d)²]^1/2/ｍが得られます。これを再び作用の表式:Ｓ≡－(1/2)∫[ｅ^-1(ｘ^d)²＋ｅｍ²]ｄτに代入し返してｅを消去すると,Ｓ＝－ｍ∫ｄτ[(ｘ^d)²]^1/2となってＳ＝－ｍ∫ｄｓが得られます。

つまり,Ｄ次元の粒子の位置座標ｘ^μ(τ)(μ＝0,1,2,..,Ｄ－1)に補助座標ｅ(τ)を加えたＤ＋1個の座標空間での作用をＳ≡－(1/2)∫[ｅ^-1(ｘ^d)²＋ｅｍ²]ｄτとしますが,これから補助座標ｅについての変分方程式δＳ/δｅ＝0 によりｅを消去したものが,元々有り得べきＳ＝－ｍ∫ｄｓ＝－ｍ∫ｄτ[(ｘ^d)²]^1/2なる作用表式に等価なわけです。

それ故,質量がｍの１粒子の作用としてＳ＝－ｍ∫ｄｓの代わりにＳ＝－(1/2)∫[ｅ^-1(ｘ^d)²＋ｅｍ²]ｄτを採用して,粒子の運動方程式がＤ＋1個の座標の変分に対するＳの停留性δＳ＝0 で与えられる,としてもよいことになります。

そして,Ｓ＝－(1/2)∫[ｅ^-1(ｘ^d)²＋ｅｍ²]ｄτに変分方程式の１つであるδＳ/δｅ＝(ｘ^d)²－ｅ²ｍ²＝0 から得られるｅｍ²＝ｅ^-1(ｘ^d)²を代入して質量ｍを消去すれば,Ｓ＝－∫[ｅ^-1(τ)(ｘ^d(τ))²]ｄτ＝－∫ｄτｅ^-1(τ)ｇ_μν(τ)(ｄｘ^μ/ｄτ)(ｄｘ^ν/ｄτ)が得られます。

これは背景の時空が特に平坦なMinkowski時空ならｇ_μν(τ)＝η_μνなので,Ｓ＝－∫ｄτｅ^-1(τ)η_μν(ｄｘ^μ/ｄτ)(ｄｘ^ν/ｄτ)となります。

ただし,補助条件として拘束条件δＳ/δｅ＝0 があって,これが課されることにより自由度が１個減るはずです。

しかし,ゼロ質量の場合には変数ｅの自由度の代わりになると思われる質量ｍというパラメータが存在しないので,ｅはゲージ(gauge)の自由度として残ると思われます。

以上で１個の点粒子の作用ＳがＳ＝－∫ｄτｅ^-1(τ)η_μν(ｄｘ^μ/ｄτ)(ｄｘ^ν/ｄτ)で与えられることの根拠を示しました。

※(訳注1終わり)

時空に追加された補助座標ｅ(τ)の役割の１つは,作用Ｓの形式Ｓ＝－∫ｄτｅ^-1(τ)η_μν(ｄｘ^μ/ｄτ)(ｄｘ^ν/ｄτ)が,パラメータの変換τ→τ~(τ),ｅ→ｅ~＝ｅ(ｄτ/ｄτ~)の下で,不変であることを保証することです。

実際,Ｓ＝－∫ｄτｅ^-1(τ)η_μν(ｄｘ^μ/ｄτ)(ｄｘ^ν/ｄτ)＝－∫ｄτ~(ｄτ/ｄτ~)ｅ^-1(τ)η_μν(ｄｘ^μ/ｄτ~)(ｄｘ^ν/ｄτ~)(ｄτ~/ｄτ)²＝－∫ｄτ~ｅ~^-1(τ~)η_μν(ｄｘ^μ/ｄτ~)(ｄｘ^ν/ｄτ~)＝Ｓ~が確かに成立します。

そこで,変換τ→τ~(τ),ｅ→ｅ~＝ｅ(ｄτ/ｄτ~)において,特にｄτ/ｄτ~＝ｅ^-1となるようにτ→τ~(τ)を選べば,ｅ~＝１となりＳ~＝Ｓ＝－∫ｄτ~η_μν(ｄｘ^μ/ｄτ~)(ｄｘ^ν/ｄτ~)と簡単になります。

そこで,元々ｅ＝１となるゲージを採用して作用をＳ＝－∫ｄτη_μν(ｄｘ^μ/ｄτ)(ｄｘ^ν/ｄτ)と書くことにします。

この固定ゲージでの特別な作用:Ｓ＝－∫ｄτη_μν(ｄｘ^μ/ｄτ)(ｄｘ^ν/ｄτ)から変分原理δＳ/δｘ^μ＝0 によって導かれる運動方程式は単にｄ²ｘ^μ/ｄτ²＝0 ですが,この方程式の解はもちろんMinkowski空間における直線です。

しかし,Minkowski空間の全ての直線が元々の作用Ｓ＝－∫ｄτｅ^-1(τ)η_μν(ｄｘ^μ/ｄτ)(ｄｘ^ν/ｄτ)も含めて自由な点粒子が従う運動方程式の解であると考えるのは正しくありません。

すなわち,ゲージ選択でｅ＝１と固定しても,ｅの存在を忘れてよいわけではなく,元々の作用でゲージを固定をしてよい理由となった方程式δＳ/δｅ＝0 が課されていることを考慮する必要があります。

つまり,まずゲージ不変なことを示すδＳ/δｅ＝0 なる方程式の条件が課され,然る後にこの条件に従う１つのゲージとしてｅ＝１と置かれたと解釈するわけです。

例えば電磁場Ａ^μから成る作用Ｓから得られる電磁力学の自由場の方程式では,もし望むならＡ⁰＝φ＝0 なるゲージ条件を取って"電磁ポテンシャルの時間成分＝スカラーポテンシャル"をゼロに設定することができます。

しかし,だからといってガウス(Gauss)の法則に相当するδＳ/δＡ⁰＝0 を削除するわけにはいかないのと同様な意味です。

δＳ/δＡ⁰＝0 をGaussの法則と呼ぶのは,Ｓ＝∫Ｌ(ｘ)ｄ³ｘ,Ｌ(ｘ)＝－(1/4)Ｆ_μνＦ^μν;Ｆ^μν≡∂Ａ^ν/∂ｘ^μ－∂Ａ^μ/∂ｘ^νなる自由電磁場の作用の表現において,δＳ/δＡ⁰＝∂Ｌ/∂Ａ⁰－(∂/∂ｘ^μ)[∂Ｌ/∂(∂Ａ⁰/∂ｘ^μ)]＝0 がCoulombゲージ∇Ａ＝0 での電荷がない真空であるための条件,つまりＥを電場として∇Ｅ＝0 なることを意味するからです。

　そして,今のケースでは,条件δＳ/δｅ＝0 はゲージ不変量"Ｔ＝η_μν(ｄｘ^μ/ｄτ)(ｄｘ^ν/ｄτ)が消えること＝Ｔがゼロになること"を意味します。

　つまり,先に得られたMinkowski空間の直線軌道の解が光的な測地線であることを意味します。

　したがって,結局,作用Ｓ＝－∫ｄτｅ^-1(τ)η_μν(ｄｘ^μ/ｄτ)(ｄｘ^ν/ｄτ)は,光のように質量のない古典点粒子の作用であることが再確認されたわけです。

　ゲージを固定した作用Ｓ＝－∫ｄτη_μν(ｄｘ^μ/ｄτ)(ｄｘ^ν/ｄτ)から導かれる方程式ｄ²ｘ^μ/ｄτ²＝0 はＴ＝η_μν(ｄｘ^μ/ｄτ)(ｄｘ^ν/ｄτ)＝0 の成立を保証しませんが,Ｔが保存量であること,つまりｄＴ/ｄτ＝0 が成立することは保証します。

　そこでτのある値(ある時刻)における初期値として,Ｔ＝0 なる制限を課しておけば,全ての時刻τでＴ＝0 が満たされます。

　これも,電磁力学での真空中のGaussの法則∇Ｅ＝0 に対する話と同じです。

　そして,この作用Ｓ＝－∫ｄτη_μν(ｄｘ^μ/ｄτ)(ｄｘ^ν/ｄτ)から系の正準運動量がｐ_μ＝－δＳ/δ(ｄｘ^μ/ｄτ)＝η_μν(ｄｘ^ν/ｄτ)＝ｄｘ_μ/ｄτで与えられることがわかります。(係数２が抜けてる？)

　通常のｄｘ_μ/ｄτ→i(∂/∂ｘ^μ)とする方法で系を量子化すると,演算子としての運動量はｐ^_μ＝i(∂/∂ｘ^μ)なるので,古典量ＴもＴ＝η_μν(ｄｘ^μ/ｄτ)(ｄｘ^ν/ｄτ)＝ｐ_μｐ^μから,Ｔ^＝ｐ^_μｐ^^μ＝－∂²/(∂ｘ_μ∂ｘ^μ)＝－∂_μ∂^μ＝－□,(ただし,□≡∂_μ∂^μ＝∂²/∂ｔ²－∇²)なる形に量子化されます。

　すなわち,Ｔを量子化した演算子Ｔ^はLorentz不変な波動演算子(＝d'Alembertian):□になります。

　そして点粒子の量子状態は単に時空座標のある関数φ(ｘ)＝φ(ｘ^μ)で与えられます。

　上の議論では,質量がゼロの粒子には古典的には拘束条件としてＴ＝0 の軌道のみが許されることが示されましたが,これは量子的には物理的状態が演算子Ｔ^によって消滅さるべきであること,すなわち,拘束条件Ｔ^φ＝0 が要求されることを意味します。

　そしてＴ^＝－□なので,これは丁度質量ゼロのKlein-Gordon方程式:□φ＝0 が成立することを意味します。

　こうして,拘束条件δＳ/δｅ＝0 から点粒子に対する相対論的なSchrödinger方程式であるKlein-Gordon方程式が得られました。

※(訳注2):δＳ/δｅ＝0,すなわち,(ｘ^d)²－ｅ²ｍ²＝0 から得られる式ｅｍ²＝ｅ^-1(ｘ^d)²をＳ＝－(1/2)∫[ｅ^-1(ｘ^d)²＋ｅｍ²]ｄτなる表式に代入してｍを消去すればＳ＝－∫[ｅ^-1(ｘ^d)²]ｄτが得られます。

これが,質量ｍがゼロのときの作用であるという先の(訳注1)での見解は,本書の著者の見解を代弁したものですが,実はこれは私自身の見解とは違っています。

私の考えは,Ｓ＝－(1/2)∫[ｅ^-1(ｘ^d)²＋ｅｍ²]ｄτなる表式でｍ＝0 とすれば,Ｓ＝－(1/2)∫[ｅ^-1(ｘ^d)²]ｄτが得られる,というもっと単純なものです。

この見解でも,Ｓ＝－∫[ｅ^-1(ｘ^d)²]ｄτなる表式とは係数(1/2)が異なるだけなので運動方程式の形は同じであり後の論旨も変わりませんが,前の見解での作用表現:Ｓ＝－∫[ｅ^-1(ｘ^d)²]ｄτはδＳ/δｅ＝0 を前提にして得られたものなので,この作用に対してさらに拘束条件としてδＳ/δｅ＝0 を採用することはできないはずです。

また,運動量ｐ_μ＝－δＳ/δ(ｄｘ^μ/ｄτ)の正しい表現がＳ＝－(1/2)∫[ｅ^-1(ｘ^d)²]ｄτの係数(1/2)から得られることから見ても,作用をＳ＝－(1/2)∫[ｅ^-1(ｘ^d)²]ｄτとする後者の立場の方が正しいと思われるので,以下の議論ではそうした私の立場を採ることにします。

元々,古典論で点粒子が従う運動方程式は本来ゲージとは関係なくMinkowski空間ではｄ²ｘ^μ/ｄτ²＝0 です。

そして量子論のSchrödinger方程式は座標空間での運動方程式を運動量空間での方程式である運動量の保存とエネルギー保存の式に書き換えたものです。

すなわち,エネルギー保存を示す第一積分:Ｅ＝Ｈ(ｘ,ｐ)において,Ｅ→ i(∂/∂ｔ),ｐ→－i∇とおくことにより量子化して,[i(∂/∂ｔ)－Ｈ(ｘ,－i∇)]φ＝0 としたものが非相対論的量子論におけるSchrödinger方程式です。

相対論の場合なら,エネルギー保存の第一積分がＥ²＝ｐ²＋ｍ²,またはｐ²＝ｐ_μｐ^μ＝ｍ²なので,これを量子化したものが Klein-Gordon方程式(∂_μ∂^μ－ｍ²)φ＝(□－ｍ²)φ＝0 であると考えられます。

そして,粒子がスカラーである場合で,状態を表わすには１成分の波動関数で十分なときには,系全体の状態を表現するためには第一積分が１個あれば足りるというわけです。

ですから,質量がゼロの場合には,運動方程式ｄ²ｘ^μ/ｄτ²＝0 の解であるという条件,つまり等速直線運動であるという条件の他に,特別にη_μν(ｄｘ_μ/ｄτ)(ｄｘ^μ/ｄτ)＝0 であるという制限,つまり運動速度の大きさが光速ｃでなければならないという制限があります。

この制限に同等な量子論の方程式が□φ＝0 となるわけです。

これが先に質量がゼロでない粒子で運動速度には制限なしの古典的な運動方程式だけの量子化から導かれた Klein-Gordon方程式:(□－ｍ²)φ＝0 の質量ｍがゼロのときの方程式に一致するのは,ただの偶然だと思います。

しかし,そもそも質量の平方はPoincare'群のうちの運動量とエネルギーに関わる平行移動群のCasimir演算子の固有値なので,ある意味で量子論の波動方程式がそうした形になるのは当然だと思います。

※(訳注2終わり)

さて,こうした量子論の基本方程式のPoincare'不変性は作用Ｓ＝－(1/2)∫[ｅ^-1(ｘ^d)²]ｄτがPoincare'変換:ｘ^μ→ Λ^μ_νｘ^ν＋ｂ^μの下で共変であるという事実からの帰結です。

また,Schrödinger方程式の中に"時間微分ｄ/ｄτ"が現われないのは一見したところ驚くべきことではないかもしれません。

しかし,これは時間座標の再パラメータ化の下で不変であるという対称性を持つ量子系にとっては典型的なことです。

後に見るように,同様なことは弦の量子論や一般相対性を量子化する形式的な試みにも現われます。

弦理論に進む前にもう少しだけ立ち止まって,点粒子理論の超対称一般化を手短かに論じます。

実際,粒子の世界線上か,時空内かのいずれかの超対称性に関して可能な超対称一般化が幾つかあります。そして,我々が点粒子についてより関心があるのは,時空の超対称性を持つLagrangianの方です。

そこで,次のようなLagrangianＬによる作用Ｓを想定します。

すなわち,Ｓ＝∫Ｌｄτ＝－∫ｄτ[η_μν{ｄｘ^μ/ｄτ－iθ~Γ^μ(ｄθ/ｄτ)}{ｄｘ^ν/ｄτ－iθ~Γ^ν(ｄθ/ｄτ)}]です。

この作用は,点粒子が座標(ｘ^μ)のMinkowski空間ではなく座標(ｘ^μ,θ^a)を持つ超空間内で伝播することを記述します。

ここで,θ^aはｘ^μがLorentz変換を受けるとき,スピノル(spinor)のように変換する反可換な座標であり,Γ^μはDirac行列を表わしています。

このLagrangianと作用に対する量子化はかなり難解なもので,ずっと後の章で論じる予定です。

さしあたっては,量子論はBose的点粒子に対してのKlein-Gordon方程式に対してもある種の超対称的拡張を巻き込むことが自然の必然であるということだけに着目しておきます。

特に,10次元時空の場合には,単一のMajonala-spinorとしてのθ^aについて,Ｓ＝∫Ｌｄτ＝－∫ｄτ[η_μν{ｄｘ^μ/ｄτ－iθ~Γ^μ(ｄθ/ｄτ)}{ｄｘ^ν/ｄτ－iθ~Γ^ν(ｄθ/ｄτ)}]から導かれた量子系がスピンが(1,1/2)の場の質量ゼロの多重項であることがわかります。

この多重項粒子は,光子もどきＡ^μと正のchiral性(chirality)を持つスピノル場ψで,ゼロ質量のMaxwell方程式:∂_μＦ^μν＝0 ,および Dirac方程式:Γ^μ∂_μψ＝0 を満たすものから構成されます。

そうではなくて,(θ^a)を10次元のMajorana・Weil spinorのペアであると考えるなら,上の作用から導かれる量子論は超Einstein方程式の線形近似を与えます。

これらが線型方程式であるのに対して,我々が本当に関心があるのは,量子論の方程式の非線型方程式への自然な一般化です。

質量のないKlein-Gordon方程式には,通常φ⁴-理論による非線型方程式:□φ＋λφ³＝0への自然な一般化があります。

一方,Maxwell方程式と線形化されたEinstein方程式にもYang-Mills方程式や一般相対論への自然な一般化であるＤ_μＦ^μν＝0 やＲ_μν＝0 が考えられます。

※(訳注３)↑ここら辺り,最後の部分の点粒子と超対称性についての著者にしかわからないだろう"念仏"はイントロにはよくあることです。

後で詳述する内容について予め,抽象したり要約したりして記述しているものですから,本を読む上ではそれほど気にすることもなく,はっきりとはわからなくて当たり前なものなのですね。

それであれば,ブログに書く必要もないのでしょうが,まあ,一応紹介してみたまでです。

(訳注３終わり※)

今日はここで終わります。次回は点粒子のアナロジーとして見た弦理論での作用の話から始める予定です。

参考文献:M.B.Green,J.H.Schwarz,& E.Witten著「superstring theory」(Cambridge University Press)

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