超弦理論(5)(弦の作用(南部・後藤 & Polyakov))

　超弦理論(superstring theory)の続きです。

さて,点粒子から弦の話に移ります。　

図1-3:開弦,閉弦の軌跡(Minkowski空間を伝播する(ａ)開いた弦(open-string：開弦),(ｂ)閉じた弦(closed-string:閉弦)が弦の"世界面"として知られる２次元面を掃き去る描像)

弦は空間的には数学的曲線であり１次元の物体です。そして,弦には両端点を持つ開弦とトポロジー的には円と同相な閉弦があって,弦理論ではこれらの両方を想定します。

そして弦の曲線を表わす１次元のパラメータをσとして開弦でも閉弦でも"座標σは 0 からπまで走るもの:0≦σ≦π"とするのが慣例になっています。

そして弦の運動を記述するには,これに加えて時間発展を与えるパラメータτを導入します。

点粒子の軌道が世界線と呼ばれるのに対して,時空内での弦の通過する軌道は面を作るので,これは世界面と呼ばれます。

世界面は,数学的には与えられた時刻τにおいて弦を構成する点のＤ次元時空内の位置座標Ｘ^μ(σ,τ)(μ＝0,1,..,Ｄ－1)(0≦σ≦π)を指定することで記述されます。

先に述べたように,質量を持つ相対論的点粒子の作用が点粒子の描く世界線の長さｄｓに比例した形:Ｓ＝－ｍ∫ｄｓで与えられることからのアナロジーで,最初,南部と後藤(Nambu & Goto)によって主唱された弦の作用の形式は単に弦の描く世界面の面積に比例するものでした。

つまり,時空は平坦なMinkowski空間であるとして,それに埋め込まれたシートの面積で作用を定義します。

すなわち,Ｓ＝Ｔ∫ｄσｄτ{(Ｘ^d)²(Ｘ')²－(Ｘ^dＸ')²}^1/2です。

ただし,位置ベクトルＸ＝(Ｘ^μ)＝(Ｘ⁰,Ｘ¹,Ｘ²,..,Ｘ^D-1)に対して,Ｘ^d≡(Ｘ^μd)≡(∂Ｘ^μ(σ,τ)/∂τ),Ｘ'≡(Ｘ^μ')≡(∂Ｘ^μ(σ,τ)/∂σ)と定義しています。

また,(Ｘ^d)²,(Ｘ')²や(Ｘ^dＸ')は,Ｄ次元の"内積＝スカラー積"であり,(Ｘ^d)²≡η_μνＸ^μdＸ^νd,(Ｘ')²≡η_μνＸ^μ'Ｘ^ν',Ｘ^dＸ'≡η_μνＸ^μdＸ^ν'です。

※(訳注4):通常の３次元Euclid空間の曲面:ｒ(ｕ,ｖ)の面積要素はベクトルの外積により,|(∂ｒ/∂ｕ)×(∂ｒ/∂ｖ)|ｄｕｄｖ＝|∂ｒ/∂ｕ||∂ｒ/∂ｖ|sinθｄｕｄｖ＝{|∂ｒ/∂ｕ|²|∂ｒ/∂ｖ|²－(∂ｒ/∂ｕ,∂ｒ/∂ｖ)²}^1/2ｄｕｄｖと表現されます。

上記の,作用の被積分関数:{(Ｘ^d)²(Ｘ')²－(Ｘ^dＸ')²}^1/2ｄσｄτはこの３次元空間内の面積要素のＤ次元空間への拡張となっています。

Minkowski空間は不定計量(indefinite-metric)の空間なので符号も含めると,南部・後藤の作用はＳ＝－Ｔ∫ｄσｄτ{(Ｘ^d)²(Ｘ')²－(Ｘ^dＸ')²}^1/2＝－Ｔ∫ｄσｄτ{η_μνＸ^μdＸ^νdη_λρＸ^λ'Ｘ^ρ'－(η_μνＸ^μdＸ^ν')²}^1/2と書けます。

ここで,成分γ_αβ≡η_μν(∂_αＸ^μ∂_βＸ^ν)によって,２×２行列(γ_αβ)_α,β=0,1を定義すれば,(γ_αβ)は対称行列:γ_βα＝γ_αβであり,(Ｘ^d)²(Ｘ')²－(Ｘ^dＸ')²＝η_μνＸ^μdＸ^νdη_λρＸ^λ'Ｘ^ρ'－(η_μνＸ^dμＸ'^ν)²＝γ₀₀γ₁₁－γ₀₁γ₀₁＝det(γ_αβ)と書けます。

そこで,上記の作用Ｓは簡単な形:Ｓ＝－Ｔ∫ｄ²σ[det(γ_αβ)]^1/2で表現できます。(訳注4終わり) ※

この南部・後藤の作用:Ｓ＝Ｔ∫ｄσｄτ{(Ｘ^d)²(Ｘ')²－(Ｘ^dＸ')²}^1/2から変分原理で得られる自由弦の古典運動方程式は軌道の描く面積が極小になるような世界面を与えるものです。

これは,"点粒子の軌道＝世界線"が測地線,つまり極小長さの曲線を与えるという事実の一般化になっています。

しかし,作用Ｓ＝Ｔ∫ｄσｄτ{(Ｘ^d)²(Ｘ')²－(Ｘ^dＸ')²}^1/2に基づいて弦の運動の定式化を進める場合には,これの被積分関数が大いに非線型で特にに平方根を含んでいるため,かなり都合が悪い形です。

そこで,点粒子の場合のｅ(τ)と同じように,Ｘ^μ(σ,τ)に加えて弦の世界面の計量テンソル(metric):ｈ_αβを導入して,Ｓ＝－(Ｔ/2)∫ｄ²σ[ｈ^1/2ｈ^αβη_μν∂_αＸ^μ∂_βＸ^ν]としてみます。

ここで,ｄ²σ≡ｄσｄτであり,ｈ^1/2は|det(ｈ_αβ)|の平方根です。また,(ｈ^αβ)は(ｈ_αβ)の逆行列の成分です。

※(訳注5):Ｓ＝－(Ｔ/2)∫ｄ²σ[ｈ^1/2ｈ^αβｇ_μν∂_αＸ^μ∂_βＸ^ν]は,ポリヤコフ作用(Polyakov action)と呼ばれるもので,点粒子の場合の計量ｅを含む作用Ｓ＝－(1/2)∫[ｅ^-1(ｘ^d)²＋ｅｍ²]ｄτの第１項の一般化になっています。

ただし,ｘ^d≡ｘ^dot≡ｄｘ/ｄτ,(ｘ^d)²≡ｇ_μν(ｄｘ^μ/ｄτ)(ｄｘ^ν/ｄτ)です。

γ_αβ≡ｇ_μν(∂_αＸ^μ∂_βＸ^ν)と書けば,Polyakov作用はＳ＝－(Ｔ/2)∫ｄ²σｈ^1/2ｈ^αβγ_αβ＝－(Ｔ/2)∫ｄ²σｈ^1/2γ_α^αと書き直すことができます。

点粒子の作用の場合には,質量ｍがある場合の作用:Ｓ＝－(1/2)∫[ｅ^-1(ｘ^d)²＋ｅｍ²]ｄτから拘束方程式δＳ/δｅ＝(1/2)ｅ^-2[(ｘ^d)²－ｅ²ｍ²]＝0 によってｅ＝[(ｘ^d)²]^1/2/ｍを得ました。

これを,元の作用Ｓ＝－(1/2)∫[ｅ^-1(ｘ^d)²＋ｅｍ²]ｄτに代入し返すことによってｅを消去した結果,これがＳ＝－ｍ∫ｄｓ＝－ｍ∫ｄτ[(ｘ^d)²]^1/2なる基本的作用と等価であることを見ました。

これと同様に,弦においても質量ｍがある場合の作用をＳ≡－(Ｔ/2)∫ｄ²σ[ｈ^1/2ｈ^αβｇ_μν∂_αＸ^μ∂_βＸ^ν＋Ａ(ｈ)ｍ²]と想定して,δＳ/δｈ_αβ＝0 なる拘束条件を考えてもいいのですが,

今の場合,弦の基本的作用と考えている南部・後藤の作用:Ｓ＝－Ｔ∫ｄ²σ[det(γ_αβ)]^1/2が点粒子の基本的作用Ｓ＝－ｍ∫ｄｓ＝－ｍ∫ｄτ[(ｘ^d)²]^1/2とは異なり,元々質量ｍを含まない形なのでｍを含む形を想定する必要はないと考えられます。

そこで,単に通常のPolyakov作用Ｓ＝－(Ｔ/2)∫ｄ²σ[ｈ^1/2ｈ^αβｇ_μν∂_αＸ^μ∂_βＸ^ν]自身に対する拘束方程式:δＳ/δｈ_αβ＝0 を解いてみます。

まず,恒等式:ｈ^αβｈ_βγ＝δ^α_γにより,δｈ^αβｈ_βγ＋ｈ^αβδｈ_βγ＝0,すなわちδｈ^αβ＝－ｈ^αρδｈ_ργｈ^γβです。

また,行列式ｈ＝det(ｈ_αβ)の性質から,δｈ＝ｈｈ^αβδｈ_αβですから,δｈ^1/2＝(1/2)ｈ^-1/2δｈ＝(1/2)ｈ^1/2ｈ^αβδｈ_αβを得ます。

故に,δ(ｈ^1/2ｈ^αβ)＝(1/2)ｈ^1/2ｈ^ρτδｈ_ρτｈ^αβ－ｈ^1/2ｈ^αρδｈ_ρτｈ^τβ,δ(ｈ^1/2ｈ^αβ)/δｈ_ρτ＝(1/2)ｈ^1/2ｈ^ρτｈ^αβ－ｈ^1/2ｈ^αρｈ^τβとなります。

したがって,δＳ/δｈ_αβ＝0 なる方程式は,(－Ｔ/2)[(1/2)ｈ^1/2ｈ^ρτｈ^αβｇ_μν∂_αＸ^μ∂_βＸ^ν－ｈ^1/2ｈ^αρｈ^τβｇ_μν∂_αＸ^μ∂_βＸ^ν]＝(Ｔｈ^1/2/2)[ｈ^αρｈ^τβγ_αβ－(1/2)ｈ^ρτｈ^αβγ_αβ]＝0 を意味します。

そこで,ｈ^αρｈ^τβγ_αβ－(1/2)ｈ^ρτｈ^αβγ_αβ＝γ^ρτ－(1/2)ｈ^ρτγ_α^α＝0 ,つまりｈ^ρτ＝2(γ_α^α)^-1γ^ρτを得ます。

故に.添字ρ,τを下げてｈ_ρτ＝2(γ_α^α)^-1γ_ρτです。よってｈ＝det(ｈ_ρτ)＝4(γ_α^α)^-2det(γ_ρτ)となります。

それ故,結局,Ｓ＝－(Ｔ/2)∫ｄ²σｈ^1/2γ_α^α＝－Ｔ∫ｄ²σdet(γ_ρτ)^1/2となって,Polyakov作用が確かに面積極小を与える南部・後藤の作用と一致することが示されました。

(訳注5終わり) ※

短いけれど,今日はここで終わります。

過去にこのノートを作成した当時には,南部・後藤の作用とPolyakov作用が同等であることを示すのは,演習問題程度で確かめるまでもなく当然だと思っていて,それを確かめておらず,今回若干老いた頭で改めてトライしてみると意外にてこずりました。

参考文献:M.B.Green,J.H.Schwarz,& E.Witten著「superstring theory」(Cambridge University Press)

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