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2008年10月29日 (水)

超弦理論(5)(弦の作用(南部・後藤 & Polyakov))

 超弦理論(superstring theory)の続きです。

さて,点粒子から弦の話に移ります。 

図1-3:開弦,閉弦の軌跡(Minkowski空間を伝播する(a)開いた弦(open-string:開弦),(b)閉じた弦(closed-string:閉弦)が弦の"世界面"として知られる2次元面を掃き去る描像)

 

弦は空間的には数学的曲線であり1次元の物体です。そして,弦には両端点を持つ開弦とトポロジー的には円と同相な閉弦があって,弦理論ではこれらの両方を想定します。

 

そして弦の曲線を表わす1次元のパラメータをσとして開弦でも閉弦でも"座標σは 0 からπまで走るもの:0≦σ≦π"とするのが慣例になっています。

そして弦の運動を記述するには,これに加えて時間発展を与えるパラメータτを導入します。

 

点粒子の軌道が世界線と呼ばれるのに対して,時空内での弦の通過する軌道は面を作るので,これは世界面と呼ばれます。

 

世界面は,数学的には与えられた時刻τにおいて弦を構成する点のD次元時空内の位置座標Xμ(σ,τ)(μ=0,1,..,D-1)(0≦σ≦π)を指定することで記述されます。

先に述べたように,質量を持つ相対論的点粒子の作用が点粒子の描く世界線の長さdsに比例した形:S=-m∫dsで与えられることからのアナロジーで,最初,南部と後藤(Nambu & Goto)によって主唱された弦の作用の形式は単に弦の描く世界面の面積に比例するものでした。

つまり,時空は平坦なMinkowski空間であるとして,それに埋め込まれたシートの面積で作用を定義します。

 

すなわち,S=T∫dσdτ{(d)2(')2-(d')2}1/2です。

 

ただし,位置ベクトル=(Xμ)=(X0,X1,X2,..,XD-1)に対して,d≡(Xμd)≡(∂Xμ(σ,τ)/∂τ),'≡(Xμ')≡(∂Xμ(σ,τ)/∂σ)と定義しています。

 

また,(d)2,(')2や(d')は,D次元の"内積=スカラー積"であり,(d)2≡ημνμdνd,(')2≡ημνμ'Xν',d'≡ημνμdν'です。

(訳注4):通常の3次元Euclid空間の曲面:(u,v)の面積要素はベクトルの外積により,|(∂/∂u)×(∂/∂v)|dudv=|∂/∂u||∂/∂v|sinθdudv={|∂/∂u|2|∂/∂v|2-(∂/∂u,∂/∂v)2}1/2dudvと表現されます。

 

上記の,作用の被積分関数:{(d)2(')2-(d')2}1/2dσdτはこの3次元空間内の面積要素のD次元空間への拡張となっています。

Minkowski空間は不定計量(indefinite-metric)の空間なので符号も含めると,南部・後藤の作用はS=-T∫dσdτ{(d)2(')2-(d')2}1/2=-T∫dσdτ{ημνμdνdηλρλ'Xρ'-(ημνμdν')2}1/2と書けます。

 

ここで,成分γαβ≡ημν(∂αμβν)によって,2×2行列(γαβ)α,β=0,1を定義すれば,(γαβ)は対称行列:γβα=γαβであり,(d)2(')2-(d')2=ημνμdνdηλρλ'Xρ'-(ημνX'ν)2=γ00γ11-γ01γ01=det(γαβ)と書けます。

 

そこで,上記の作用Sは簡単な形:S=-T∫d2σ[det(γαβ)]1/2で表現できます。(訳注4終わり) ※

この南部・後藤の作用:S=T∫dσdτ{(d)2(')2-(d')2}1/2から変分原理で得られる自由弦の古典運動方程式は軌道の描く面積が極小になるような世界面を与えるものです。

 

これは,"点粒子の軌道=世界線"が測地線,つまり極小長さの曲線を与えるという事実の一般化になっています。

しかし,作用S=T∫dσdτ{(d)2(')2-(d')2}1/2に基づいて弦の運動の定式化を進める場合には,これの被積分関数が大いに非線型で特にに平方根を含んでいるため,かなり都合が悪い形です。

 

そこで,点粒子の場合のe(τ)と同じように,Xμ(σ,τ)に加えて弦の世界面の計量テンソル(metric):hαβを導入して,S=-(T/2)∫d2σ[h1/2αβημναμβν]としてみます。

 

ここで,d2σ≡dσdτであり,h1/2は|det(hαβ)|の平方根です。また,(hαβ)は(hαβ)の逆行列の成分です。

(訳注5):S=-(T/2)∫d2σ[h1/2αβμναμβν]は,ポリヤコフ作用(Polyakov action)と呼ばれるもので,点粒子の場合の計量eを含む作用S=-(1/2)∫[e-1(xd)2+em2]dτの第1項の一般化になっています。

 

ただし,xd≡xdot≡dx/dτ,(xd)2≡gμν(dxμ/dτ)(dxν/dτ)です。

γαβ≡gμν(∂αμβν)と書けば,Polyakov作用はS=-(T/2)∫d2σh1/2αβγαβ=-(T/2)∫d2σh1/2γααと書き直すことができます。

点粒子の作用の場合には,質量mがある場合の作用:S=-(1/2)∫[e-1(xd)2+em2]dτから拘束方程式δS/δe=(1/2)e-2[(xd)2-e22]=0 によってe=[(xd)2]1/2/mを得ました。

 

これを,元の作用S=-(1/2)∫[e-1(xd)2+em2]dτに代入し返すことによってeを消去した結果,これがS=-m∫ds=-m∫dτ[(xd)2]1/2なる基本的作用と等価であることを見ました。

これと同様に,弦においても質量mがある場合の作用をS≡-(T/2)∫d2σ[h1/2αβμναμβν+A(h)m2]と想定して,δS/δhαβ=0 なる拘束条件を考えてもいいのですが,

 

今の場合,弦の基本的作用と考えている南部・後藤の作用:S=-T∫d2σ[det(γαβ)]1/2が点粒子の基本的作用S=-m∫ds=-m∫dτ[(xd)2]1/2とは異なり,元々質量mを含まない形なのでmを含む形を想定する必要はないと考えられます。

そこで,単に通常のPolyakov作用S=-(T/2)∫d2σ[h1/2αβμναμβν]自身に対する拘束方程式:δS/δhαβ=0 を解いてみます。

まず,恒等式:hαββγ=δαγにより,δhαββγ+hαβδhβγ=0,すなわちδhαβ=-hαρδhργγβです。

 

また,行列式h=det(hαβ)の性質から,δh=hhαβδhαβですから,δh1/2=(1/2)h-1/2δh=(1/2)h1/2αβδhαβを得ます。

 

故に,δ(h1/2αβ)=(1/2)h1/2ρτδhρταβ-h1/2αρδhρττβ,δ(h1/2αβ)/δhρτ=(1/2)h1/2ρταβ-h1/2αρτβとなります。

したがって,δS/δhαβ=0 なる方程式は,(-T/2)[(1/2)h1/2ρταβμναμβν-h1/2αρτβμναμβν]=(Th1/2/2)[hαρτβγαβ-(1/2)hρταβγαβ]=0 を意味します。

 

そこで,hαρτβγαβ-(1/2)hρταβγαβ=γρτ-(1/2)hρτγαα=0 ,つまりhρτ=2(γαα)-1γρτを得ます。

 

故に.添字ρ,τを下げてhρτ=2(γαα)-1γρτです。よってh=det(hρτ)=4(γαα)-2det(γρτ)となります。

 

それ故,結局,S=-(T/2)∫d2σh1/2γαα=-T∫d2σdet(γρτ)1/2となって,Polyakov作用が確かに面積極小を与える南部・後藤の作用と一致することが示されました。

 

(訳注5終わり) ※

短いけれど,今日はここで終わります。

 

過去にこのノートを作成した当時には,南部・後藤の作用とPolyakov作用が同等であることを示すのは,演習問題程度で確かめるまでもなく当然だと思っていて,それを確かめておらず,今回若干老いた頭で改めてトライしてみると意外にてこずりました。

参考文献:M.B.Green,J.H.Schwarz,& E.Witten著「superstring theory」(Cambridge University Press)

 

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