運動物質内の相対論(1)

運動する連続体物質内における電磁場の電磁エネルギー,および電磁運動量などについて,もっと深く理解したいという欲求が起きたので,その準備として運動する連続体物質の閉じた系や閉じていない系内の熱や弾性応力などの場の相対論的力学を考察してみます。

連続体のエネルギー運動量テンソルＴ^μνの概念は,宇宙を語る場合などには特に重要になってきます。

それは,例えば重力場の方程式がＲ_μν－(1/2)ｇ_μνＲ＝κＴ_μνなる形をしていて,右辺にエネルギー運動量テンソルが現われることからもわかります。

これは,宇宙を連続体,特に流体と見る古典的描像に基づいています。

元々,古典的な場の概念は,弾性体の歪み速度とか,電磁場,あるいは流体の流れ,熱流のような連続体の上の物理から生じたからですね。

相対性理論は,いかなる信号も光速ｃ以下の速度で伝わることを要求するので,"空間の有限な距離を隔てて瞬間的に作用する力＝遠隔作用の力"という考え方＝"例えば単純な位置のみの関数としてのポテンシャル概念"は存在不可能です。

つまり,物体間に働く力は,例えば電磁力における"光＝電磁波"のような"介在する何物かによって伝達されるもの＝近接作用"であると仮定することが重要です。

一方,以前に2008年５月30日の記事「電磁気学と相対論(6)(真空中の電磁気学５)」で書いたように,

"任意の準拠系＝Ｓ系"において,連続体内の点が密度μを持ち速度ｕで並進運動をしているとします。

運動する連続物体を構成するこの点の速度がゼロ,つまり,"この点が静止していると見える系＝静止系"をＳ⁰系とし,この系での物理量は全て上添字 0 を付けて表わすことにします。

対象とする物体のＳ系で密度μを持つ点の近傍領域の微小体積をΔＶとすれば,この微小領域の物体の全質量はμΔＶで与えられます。

質量はローレンツスカラーですから,静止系Ｓ⁰での同じ領域の体積をΔＶ⁰,密度をμ⁰とすると,μΔＶ＝μ⁰ΔＶ⁰が成立するはずです。

ところが,ΔＶ＝ΔＶ⁰(1－ｕ²/ｃ²)^1/2ですから,μ＝μ⁰/(1－ｕ²/ｃ²)^1/2なる関係式が成り立ちます。

そこで,μΔＶ＝μ⁰ΔＶ⁰は質点の運動方程式ｄｐ^μ/ｄτ＝ｄ(ｍＵ^μ)/ｄτ＝Ｆ_M^μにおける質量ｍに相当しますから,４元運動量ｐ^μ＝ｍＵ^μには,ｐ^μ＝μΔＶＵ^μ＝μ⁰ΔＶ⁰Ｕ^μが対応すると考えられます。

共変的な運動方程式ｄｐ^μ/ｄτ＝Ｆ_M^μの右辺の４元ベクトルＦ_M^μはミンコフスキーの４元力と呼ばれるものです。

以前の記事でも述べたように,ニュートンの運動方程式ｄｐ/ｄｔ＝Ｆは両辺に1/(1－ｕ²/ｃ²)^1/2を掛けることにより,固有時ｄτ＝ｄｔ(1－ｕ²/ｃ²)^1/2とミンコフスキーの力Ｆ_M≡Ｆ/(1－ｕ²/ｃ²)^1/2を用いてｄｐ/ｄτ＝Ｆ_Mなる形で表現できます。

これに,さらにｄｐ⁰/ｄτ＝Ｆ_M⁰≡(Ｆ_Mｕ)/ｃを追加し,Ｆ_M^μ≡((Ｆ_Mｕ)/ｃ,Ｆ_M)＝((Ｆｕ)/{ｃ(1－ｕ²/ｃ²)^1/2},Ｆ/(1－ｕ²/ｃ²)^1/2)として４元ベクトルにしたものがミンコフスイキーの４元力です。

そして,上述の密度がμの点の近傍ΔＶではＦ≡ｆΔＶと書いて力の密度ｆによる表現を用いれば,Ｆ_M^μ＝((ｆｕ)ΔＶ/{ｃ(1－ｕ²/ｃ²)^1/2},ｆΔＶ/(1－ｕ²/ｃ²)^1/2)＝((ｆｕ)/ｃ,ｆ)ΔＶ⁰と書くことができます。

そこで,４元力密度をｆ^μ≡((ｆｕ)/ｃ,ｆ)で定義すれば,結局Ｆ_M^μ＝ｆ^μΔＶ⁰と書けるので,質点粒子に対する運動方程式ｄｐ^μ/ｄτ＝ｄ(ｍＵ^μ)/ｄτ＝Ｆ_M^μは,連続体に対してはｄ(μ⁰Ｕ^μΔＶ⁰)/ｄτ＝ｆ^μΔＶ⁰となることがわかります。

そして,もしも運動中に物体の固有質量が保存される,つまりｄ(μ⁰ΔＶ⁰)/ｄτ＝0 なら,運動方程式はμ⁰ｄＵ^μ/ｄτ＝ｆ^μとなるのですが,一般にはｄ(μ⁰ΔＶ⁰)/ｄτ＝0 が成立するとは限りません。

一般に空間の閉曲面σで囲まれた領域の体積Ｖに対しては,ｄＶ/ｄｔ＝∫_σｕｄσ＝∫_V (divｕ)ｄＶ＝∫_V(∇ｕ)ｄＶなる等式が成立するので,ΔＶが微小ならｄ(ΔＶ)/ｄｔ＝(divｕ)ΔＶ＝(∇ｕ)ΔＶです。

そこで,ｄ(μ⁰ΔＶ⁰)/ｄｔ＝ｄ(μΔＶ)/ｄｔ＝(ｄμ/ｄｔ)ΔＶ＋μ{ｄ(ΔＶ)/ｄｔ}＝[ｄμ/ｄｔ＋μdivｕ]ΔＶ＝[∂μ/∂ｔ＋div(μｕ)]ΔＶとなるため,ｄ(μ⁰ΔＶ⁰)/ｄτ＝0 なる式の成立は質量保存の連続方程式:∂μ/∂ｔ＋div(μｕ)＝ｄμ/ｄｔ＋μdivｕ＝0 を意味します。

物質内の対象とする点が静止しているＳ⁰系では,ｄｔ＝ｄτですからｄ(ΔＶ)/ｄｔ＝(divｕ)ΔＶは,ｄ(ΔＶ⁰)/ｄτ＝(div⁰ｕ⁰)ΔＶ⁰を意味します。

そして,速度がｕの物体の４元速度Ｕ^μについての∂Ｕ^μ/∂ｘ^μを考えると,これはローレンツスカラーなので,Ｓ⁰系での４元速度Ｕ^0μ＝(ｃ,0)についても同じで,等式∂Ｕ^0μ/∂ｘ^0μ＝∂Ｕ^μ/∂ｘ^μが成立します。

さらに,４元速度の定義Ｕ^μ≡(ｃ/(1－ｕ²/ｃ²)^1/2,ｕ/(1－ｕ²/ｃ²)^1/2)から,∂Ｕ⁰/∂ｘ⁰＝－(ｕ/ｃ)(∂ｕ/∂ｘ⁰)/(1－ｕ²/ｃ²)^3/2なので,ｕ＝0 のＳ⁰系では∂Ｕ⁰/∂ｘ⁰はゼロです。

したがって,∂Ｕ^μ/∂ｘ^μ＝∂Ｕ^0μ/∂ｘ^0μ＝div⁰ｕ⁰を得ます。

そこで,ｄ(ΔＶ⁰)/ｄτ＝(div⁰ｕ⁰)ΔＶ⁰ですから,ｄ(ΔＶ⁰)/ｄτ＝(div⁰ｕ⁰)ΔＶ⁰＝(∂Ｕ^μ/∂ｘ^μ)ΔＶ⁰です。

これを用いると,ｄ(μ⁰ΔＶ⁰)/ｄτ＝(ｄμ⁰/ｄτ)ΔＶ⁰＋μ⁰ｄ(ΔＶ⁰)/ｄτ＝[(ｄμ⁰/ｄτ)＋μ⁰(∂Ｕ^μ/∂ｘ^μ)]ΔＶ⁰となります。

それ故,運動方程式ｄ(μ⁰Ｕ^μΔＶ⁰)/ｄτ＝ｆ^μΔＶ⁰は,[ｄ(μ⁰Ｕ^μ)/ｄτ＋μ⁰Ｕ^μ(∂Ｕ^ν/∂ｘ^ν)]ΔＶ⁰＝ｆ^μΔＶ⁰と変形されます。

また,ｄ(μ⁰Ｕ^μ)/ｄτ＝{∂(μ⁰Ｕ^μ)/∂ｘ^ν}(ｄｘ^ν/ｄτ)＝{∂(μ⁰Ｕ^μ)/∂ｘ^ν}Ｕ^νですから,結局連続物体の運動方程式は∂(μ⁰Ｕ^μＵ^ν)/∂ｘ^ν＝ｆ^μと簡単になります。

そこで,この連続体のエネルギー運動量テンソルをθ^μν≡μ⁰Ｕ^μＵ^νで定義すれば,運動方程式は∂θ^μν/∂ｘ^ν＝ｆ^μとエネルギー運動量の保存則を示すテンソル方程式の形になります。

本論の最初に述べた近接作用の話からすると,電磁場の電磁エネルギー運動量テンソルと同じく,如何なる形の力もその４元的な力の密度ｆ^μが常に力の場のエネルギー運動量テンソルＳ^μνによってｆ^μ＝－∂Ｓ^μν/∂ｘ^νなる形に書けると考えられます。

そこでＴ^μν≡θ^μν＋Ｓ^μνと定義することにより,上記の∂θ^μν/∂ｘ^ν＝ｆ^μなる"運動方程式＝エネルギー運動量の保存則"は,右辺がゼロの形の方程式∂Ｔ^μν/∂ｘ^ν＝0 で表現されます。

さて,このＴ^μν≡θ^μν＋Ｓ^μνは,系の全エネルギー運動量テンソルを表わすと考えられますが,一般には系はＳ^μν以外に他の外部環境による影響を受けており,例えば系が受ける４元的な力の密度ｆ^μは,ｆ^μ＝－∂Ｓ^μν/∂ｘ^ν＋α^μのように表わされます。

そして,こうした場合には∂Ｔ^μν/∂ｘ^ν≠0 となります。

しかし,特にエネルギー運動量テンソルＴ^μνが∂Ｔ^μν/∂ｘ^ν＝0 を満足する場合,これで表わされる物理系を閉じた系と呼びます。この場合には,Ｔ^μν≡θ^μν＋Ｓ^μνを閉じた系のエネルギー運動量テンソルと呼びます。

以下,当分の間は対象として閉じた系のみを考えることにします。

さて,ｈ＝Ｓ⁰⁰とおき,３次元ベクトルＳの成分をＳ^k≡ｃＳ^0kで定義すると,ｆ^μ＝－∂Ｓ^μν/∂ｘ^νのμ＝0 の式は,(ｆｕ)/ｃ＝(1/ｃ){－divＳ－∂ｈ/∂ｔ}より,∂ｈ/∂ｔ＋divＳ＝－(ｆｕ)を意味します。

そして,この両辺を系全体を囲むある定まった閉曲面σで囲まれた有限体積Ｖで積分して,Ｗ≡∫_VｈｄＶと置くと,ガウスの定理によって－ｄＷ/ｄｔ＝∫_σＳｄσ＋∫_V(ｆｕ)ｄＶとなります。

一方,連続体を構成する物質のエネルギー運動量テンソルθ^μν≡μ⁰Ｕ^μＵ^νにおいて,θ⁰⁰＝μ⁰ｃ²/(1－ｕ²/ｃ²)^1/2は,物体中の各点でのエネルギー密度,ｃθ^0k＝μ⁰ｃ²ｕ^k/(1－ｕ²/ｃ²)^1/2はエネルギー流束密度を示しています。

これに対応して,ｈ＝Ｓ⁰⁰を場のエネルギー密度,ベクトルＳ (Ｓ^k≡ｃＳ^0k)を場のエネルギー流束密度と解釈すれば,－ｄＷ/ｄｔ＝∫_σＳｄσ＋∫_V(ｆｕ)ｄＶは(Ｖにおける場の総エネルギーＷの減少分)＝(境界面σから流出するエネルギー量)＋(場に起因する力ｆｄＶがＶの外部になす仕事)となります。

結局,ｆ^μ＝－∂Ｓ^μν/∂ｘ^νのμ＝0 の式は,エネルギー保存を意味していると考えられます。

他方,Ｓ^μνの空間成分をＳ^ij＝－ｔ^ijとおくと,μ＝1,2,3についての式はｆⁱ＝∂ｔ^ij/∂ｘ^j－∂(Ｓ^k0/ｃ)/∂ｔです。

これも,系全体を囲む閉曲面σで囲まれた有限体積Ｖで積分すれば,Ｆⁱ＝∫_VｆⁱｄＶ,かつガウスの定理により∫_V(∂ｔ^ij/∂ｘ^j)ｄＶ＝∫_σｔ^ijｎ^jｄσとなります。

そこで,ベクトル量ｇをｇ^k≡Ｓ^k0/ｃで定義すれば,Ｆ＝∫_VｆｄＶ＝∫_σｔ^ijｎ^jｄσ－(ｄ/ｄｔ)(∫_VｇｄＶ)となります。

上の式で,左辺の示す物体に働く総体としての力Ｆ＝∫_VｆｄＶは,ニュートンの運動の第２法則が示すところによれば,単位時間当りの力学的運動量Ｇ_mの増加率に等しいはずです。つまりｄＧ_m/ｄｔ＝∫_VｆｄＶです。

そこで,もしも閉曲面σ上でｔ^ijがゼロの場合なら,そのとき成り立つ式Ｆ＝∫_VｆｄＶ＝－(ｄ/ｄｔ)(∫_VｇｄＶ)は(ｄ/ｄｔ)(Ｇ_m＋∫_VｇｄＶ)＝0 と表わすことができます。

そこで,閉じた系の故に時間的に一定なベクトル量(保存量)として全運動量が存在するためには,力学的運動量Ｇ_mの他に,∫_VｇｄＶ＋(定数)を場の運動量であると仮定して力学的運動量と場の運動量の和が全運動量であるとしなければなりません。

それ故,[ｇ＋(定数)]を場の運動量密度と考えることができますが,場が存在しないときには場の運動量密度はゼロであるべきですから,この加えるべき定数はゼロです。

そこで,ｇ^k≡Ｓ^k0/ｃで与えられるベクトルｇ自体を場の運動量密度と解釈します。

一方,∫_VｇｄＶがゼロの場合には,ｆ^μ＝－∂Ｓ^μν/∂ｘ^νのμ＝1,2,3についての式:Ｆ＝∫_VｆｄＶ＝∫_σｔ^ijｎ^jｄσ－(ｄ/ｄｔ)(∫_VｇｄＶ)は,Ｆ＝∫_VｆｄＶ＝∫_σｔ^ijｎ^jｄσとなります。

これは,物体に働く力の第ｉ成分についてはＦⁱ＝∫_VｆⁱｄＶ＝∫_V(∂ｔ^ij/∂ｘ^j)ｄＶ＝∫_σｔ^ijｎ^jｄσであり,Ｖを囲む閉曲面の第j軸に垂直な面要素ｄσにおいて物体に働く力の第ｉ成分が(－ｔ^ijｎ^jｄσ)で与えられることを示しています。

これは,ｔ^ijが物体中の場の応力テンソルであることを意味します。

(何故なら,慣例によって上の成分ｎ^jを与えるベクトルｎはｄσの外向き法線で,これは物体に働く応力の向きとは逆向きだからです。)

以上の考察から,∂Ｔ^μν/∂ｘ^ν＝0 を満たす閉じた系全体のエネルギー運動量テンソルＴ^μνに対し,改めてｈ≡Ｔ⁰⁰,Ｓ^k≡ｃＴ^0k,ｇ^k≡Ｔ^k0/ｃとおいて,ｈを系の全エネルギー密度,Ｓを全エネルギー流束密度ベクトル,ｇを全運動量密度ベクトルと解釈します。

そして,∂Ｔ^μν/∂ｘ^ν＝0 のμ＝0 の式は微分形のエネルギー保存式:∂ｈ/∂ｔ＋divＳ＝0 であり,μ＝1,2,3の式は微分形の運動量保存式∂ｇⁱ/∂ｔ＋∂Ｔ^ij/∂ｘ^j＝0 であると見ることができます。

そこで,Ｔ^ijは系の全応力テンソル,または運動量流束テンソルであると考えられます。

ところで,閉じた系のμ＝ｋに対する保存方程式:∂Ｔ^kν/∂ｘ^ν＝0 ,すなわち,∂ｇ^k/∂ｔ＋∂Ｔ^kj/∂ｘ^j＝0 から,∂(ｘ^kｇⁱ－ｘⁱｇ^k)/∂ｔ＋ｘ^k∂Ｔ^ij/∂ｘ^j－ｘⁱ∂Ｔ^kj/∂ｘ^j＝0 なる式が得られます。

これは,ｍ^ki≡ｘ^kｇⁱ－ｘⁱｇ^kとおけば,∂ｍ^ki/∂ｔ＝－{∂(ｘ^kＴ^ij－ｘⁱＴ^kj)/∂ｘ^j}－Ｔ^ik＋Ｔ^kiとなります。

ｇ^k≡Ｔ^k0/ｃであり,ｇは系の全運動量密度ベクトルなので,ｍ^ki≡ｘ^kｇⁱ－ｘⁱｇ^kは,系の角運動量テンソル密度と考えられます。

一方,Ｔ^ijは系の応力テンソルであり,対象領域を囲む閉曲面の第ｊ軸に垂直な面要素ｄσにおいて物体に働く力の第ｉ成分が(－Ｔ^ijｎ^jｄσ)なので,－(ｘ^kＴ^ij－ｘⁱＴ^kj)ｎ^jｄσなる量は応力のモーメント密度の(ｋ,ｉ)成分:角運動量流束密度を示していると考えられます。

それ故,∂ｍ^ki/∂ｔ＝－{∂(ｘ^kＴ^ij－ｘⁱＴ^kj)/∂ｘ^j}－Ｔ^ik＋Ｔ^kiなる式は角運動量の収支を表わす連続の方程式であると思われます。

したがって,閉じた系であるための条件の１つである角運動量保存則∂ｍ^ki/∂ｔ＋{∂(ｘ^kＴ^ij－ｘⁱＴ^kj)/∂ｘ^j}＝0 が成立するためには,Ｔ^ki＝Ｔ^ikとなること,つまり,エネルギー運動量テンソルの空間部分が対称テンソルであることが必要です。

しかも,互いにローレンツ変換で移リ合うことができる任意の座標系で空間部分が常に対称テンソルであるためには時間成分も対称でなければなりませんから,結局Ｔ^μν全体が対称テンソル:Ｔ^νμ＝Ｔ^μνなることが必要です。

特に時間成分について成立するＴ^0ｋ＝Ｔ^k0から,閉じた系ではｇ＝Ｓ/ｃ²なる関係式が成立する必要があります。

もしも,対象となる連続物体以外に力場が存在しないＳ^μνが全てゼロの自由空間の場合なら,Ｔ^μν＝θ^μν＝μ⁰Ｕ^μＵ^νなのでエネルギー運動量テンソルＴ^μνが対称テンソルであることは明らかです。

また,ｇ^k＝θ^k0/ｃよりｇ＝μｕ/(1－ｕ²/ｃ²)^1/2,Ｔ^ij＝θ^ij＝ｇⁱｕ^jです。そこで,このときにはｘ^kＴ^ij－ｘⁱＴ^kj＝ｘ^kθ^ij－ｘⁱθ^kj＝(ｘ^kｇⁱ－ｘⁱｇ^k)ｕ^j＝ｍ^kiｕ^jですから,角運動量保存則∂ｍ^ki/∂ｔ＋{∂(ｘ^kＴ^ij－ｘⁱＴ^kj)/∂ｘ^j}＝0 は∂ｍ^ki/∂ｔ＋∂(ｍ^kiｕ^j)/∂ｘ^j＝0 となって馴染み深い形になります。

ここで,ｕ^*≡Ｓ/ｈ,ｕ^*k＝ｃＴ^0k/Ｔ⁰⁰を場のエネルギーの伝播速度と定義すれば,場の運動量密度はｇ＝Ｓ/ｃ²＝(ｈ/ｃ²)ｕ^*と書けます。

力場Ｓ^μνの存在しない自由空間の場合には,ｈ＝μｃ²/(1－ｕ²/ｃ²)^1/2,Ｓ＝μｃ²ｕ/(1－ｕ²/ｃ²)^1/2ですから,エネルギーの伝播速度ｕ^*は物体の運動速度ｕに一致します。

そこで,ｇ＝Ｓ/ｃ²＝(ｈ/ｃ²)ｕ^*は,一般に力学的エネルギー密度がｈで総エネルギーがＥ＝∫ｈｄＶの粒子が速度ｕ^*で運動しているときには運動量密度がｇ＝(ｈ/ｃ²)ｕ^*で与えられるという事実を表わしていると思われます。

つまり,エネルギー密度ｈには質量密度μ＝ｈ/ｃ²が対応するというアインシュタインの関係式を表わしているのですね。

ところが,ｕ^*≡Ｓ/ｈで定義される伝播速度ｕ^*の大きさｕ^*≡|ｕ^*|は光速ｃより大きく成り得るし,またｕ^*＜ｃの場合でもこれは相対速度がｖの座標系間の速度のローレンツ変換:(ｕ^*→ｕ^*')の公式ｕ^*'＝[(1－ｖ²/ｃ²)^1/2ｕ^*＋({1－(1－ｖ²/ｃ²)^1/2}(ｕ^*ｖ)/ｖ²－1)ｖ]/{1－(ｖｕ^*)/ｃ²}には従わないことに注意する必要があります。

エネルギー密度ｈは負になることもあるので,対応して質量密度μ＝ｈ/ｃ²も負になることがあります。

また,各準拠座標系ごとに,Ｓ^μ≡(ｃｈ,Ｓ)＝ｃＴ^0μを定義すれば,準拠座標系ごとには∂Ｓ^μ/∂ｘ^μ＝0 となります。

しかし,これは４元ベクトルではなく,ベクトルのようには変換しないことも注意を要します。

実際,Ｓ^μはローレンツ変換ｘ'^μ＝Λ^μ_νｘ^νに対して,Ｓ'^μ＝ｃＴ'^0μ＝ｃΛ⁰_λΛ^μ_ρＴ^λρなる変換をしますが,Ｓ'^μ＝Λ^μ_νＳ^νのような４元ベクトルの変換はしません。

ここで,ｈ＞0 でｕ^*＜ｃ,つまりＳ_μＳ^μ＝ｃ²ｈ²－Ｓ²＞0 と仮定して,４つの値を持つ量Ｕ^*μをＵ^*μ≡(ｃ/(1－ｕ^*2/ｃ²)^1/2,ｕ^*/(1－ｕ^*2/ｃ²)^1/2)で定義し,これらが４元ベクトルをなすための条件を求めてみます。

まず,こう定義すれば,(1－ｕ^*2/ｃ²)^1/2＝{1－Ｓ²/(ｈ²ｃ²)}^1/2＝(Ｓ_μＳ^μ)^1/2/(ｈｃ)よりＵ^*μ＝ｃ(Ｓ_λＳ^λ)^-1/2Ｓ^μなので,Ｕ^*_μＵ^*μ＝ｃ²となります。

２つの慣性系ＳとＳ'が無限小ローレンツ変換ｘ'^μ＝ｘ^μ＋ε^μ_νｘ^ν＝(δ^μ_ν＋ε^μ_ν)ｘ^ν,ε_μν＝ε_νμで結ばれているとします。

このとき,ε^μ_νの２次以上の微小量を無視すれば,テンソルの変換性により,Ｔ'^0μ＝(δ⁰_λ＋ε⁰_λ)(δ^μ_ν＋ε^μ_ν)Ｔ^λν＝Ｔ^0μ＋ε⁰_λＴ^λμ＋ε^μ_νＴ^0νです。

それ故,Ｓ'^μ＝Ｓ^μ＋ε^μ_νＳ^ν＋ｃε⁰_λＴ^λμ,Ｓ'_μＳ'^μ＝Ｓ_μＳ^μ＋2ｃε⁰_λＴ^λμＳ_μとなります。そこで,(Ｓ'_μＳ'^μ)^-1/2＝(Ｓ_μＳ^μ)^-1/2[1－ｃε⁰_λＴ^λρＳ_ρ(Ｓ_τＳ^τ)^-1/2]です。

したがって,Ｕ^*'^μ＝ｃ(Ｓ'_λＳ'^λ)^-1/2Ｓ'^μ＝Ｕ^*μ＋ε^μ_νＵ^*ν＋ｃ²ε⁰_λ(Ｓ_σＳ^σ)^-1/2[Ｔ^λμ－Ｔ^λρＵ^*_ρＵ^*μ/ｃ²]となります。

ここで,Ｒ^μν≡Ｔ^μν－Ｔ^μλＵ^*_λＵ^*ν/ｃ²とおくと,Ｕ^*'^μ＝Ｕ^*μ＋ε^μ_νＵ^*ν＋ｃ²ε⁰_λ(Ｓ_σＳ^σ)^-1/2Ｒ^λμですが,μ＝0 ならＲ^0ν＝Ｔ^0ν－Ｔ^0λＵ^*_λＵ^*ν/ｃ²＝Ｓ^ν/ｃ－Ｓ^λ/ｃ＝0 です。

そこで,Ｕ^*μがＵ^*'^μ＝Ｕ^*μ＋ε^μ_νＵ^*νと４元ベクトルのように変換されるためには,μ＝1,2,3と全てのνについて恒等的にＲ^μν＝0 が満たされることが必要十分です。

物理量としての一般のエネルギー運動量テンソルＴ^μνは常にＲ^μν＝Ｔ^μν－Ｔ^μλＵ^*_λＵ^*ν/ｃ²＝0 を満たすわけではありませんが,Ｔ^μν＝θ^μν＝μ⁰Ｕ^μＵ^νの場合にはＵ^*μ＝Ｕ^μであり,もちろんＲ^μν＝0 が成立します。

"連続体＝弾性体"では一般にＲ^μν＝0 の条件は満たされませんが,この条件が満たされる他の重要な例としては屈折性媒質中での光波と関連した話があります。これは,私にとっての主題そのものなので後で詳述する予定です。

とりあえず,今日はここで終わります。

参考文献：メラー 著(永田恒夫,伊藤大介 訳)「相対性理論」(みすず書房)

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泰葉の気持ち(可哀想だ。。うらやましい)

　子供の頃,好きな女の子にはわざとイジワルなことやイタズラをして気を引いたものだった。女の子でも好きな男の子に対してはそうだろうと思う。

　今の泰葉の気持ちは,未練タラタラなのかなと思ってしまう。

　もしも本当に嫌いならば"好きの反対＝シカト(無関心)"の行動を取るのではないだろうか。。。

（あくまでも結婚する前に,泰葉の１ファンであった(本当は気の強そうな"みどり"も好きだった。。要するに単なる見境いのない女好き。。)という１個人の邪推ですが。。。）

　もちろん,他人に真相がわかるはずもなく,巷間で噂されているような事実などが本当のことであって,そうした理由のためかどうか，あるいは逆の感情(＝本当に嫌い)の場合もあるだろうが。。

　いずれにしても,今は"金髪豚野郎"のこと以外考えられないほど頭が一杯なのだ。。小朝はそんなに想われてうらやましいな。。。

　日常茶飯事が恋患いだという状況も,ある意味ではうらやましい。。　

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超弦理論(5)(弦の作用(南部・後藤 & Polyakov))

　超弦理論(superstring theory)の続きです。

さて,点粒子から弦の話に移ります。　

図1-3:開弦,閉弦の軌跡(Minkowski空間を伝播する(ａ)開いた弦(open-string：開弦),(ｂ)閉じた弦(closed-string:閉弦)が弦の"世界面"として知られる２次元面を掃き去る描像)

弦は空間的には数学的曲線であり１次元の物体です。そして,弦には両端点を持つ開弦とトポロジー的には円と同相な閉弦があって,弦理論ではこれらの両方を想定します。

そして弦の曲線を表わす１次元のパラメータをσとして開弦でも閉弦でも"座標σは 0 からπまで走るもの:0≦σ≦π"とするのが慣例になっています。

そして弦の運動を記述するには,これに加えて時間発展を与えるパラメータτを導入します。

点粒子の軌道が世界線と呼ばれるのに対して,時空内での弦の通過する軌道は面を作るので,これは世界面と呼ばれます。

世界面は,数学的には与えられた時刻τにおいて弦を構成する点のＤ次元時空内の位置座標Ｘ^μ(σ,τ)(μ＝0,1,..,Ｄ－1)(0≦σ≦π)を指定することで記述されます。

先に述べたように,質量を持つ相対論的点粒子の作用が点粒子の描く世界線の長さｄｓに比例した形:Ｓ＝－ｍ∫ｄｓで与えられることからのアナロジーで,最初,南部と後藤(Nambu & Goto)によって主唱された弦の作用の形式は単に弦の描く世界面の面積に比例するものでした。

つまり,時空は平坦なMinkowski空間であるとして,それに埋め込まれたシートの面積で作用を定義します。

すなわち,Ｓ＝Ｔ∫ｄσｄτ{(Ｘ^d)²(Ｘ')²－(Ｘ^dＸ')²}^1/2です。

ただし,位置ベクトルＸ＝(Ｘ^μ)＝(Ｘ⁰,Ｘ¹,Ｘ²,..,Ｘ^D-1)に対して,Ｘ^d≡(Ｘ^μd)≡(∂Ｘ^μ(σ,τ)/∂τ),Ｘ'≡(Ｘ^μ')≡(∂Ｘ^μ(σ,τ)/∂σ)と定義しています。

また,(Ｘ^d)²,(Ｘ')²や(Ｘ^dＸ')は,Ｄ次元の"内積＝スカラー積"であり,(Ｘ^d)²≡η_μνＸ^μdＸ^νd,(Ｘ')²≡η_μνＸ^μ'Ｘ^ν',Ｘ^dＸ'≡η_μνＸ^μdＸ^ν'です。

※(訳注4):通常の３次元Euclid空間の曲面:ｒ(ｕ,ｖ)の面積要素はベクトルの外積により,|(∂ｒ/∂ｕ)×(∂ｒ/∂ｖ)|ｄｕｄｖ＝|∂ｒ/∂ｕ||∂ｒ/∂ｖ|sinθｄｕｄｖ＝{|∂ｒ/∂ｕ|²|∂ｒ/∂ｖ|²－(∂ｒ/∂ｕ,∂ｒ/∂ｖ)²}^1/2ｄｕｄｖと表現されます。

上記の,作用の被積分関数:{(Ｘ^d)²(Ｘ')²－(Ｘ^dＸ')²}^1/2ｄσｄτはこの３次元空間内の面積要素のＤ次元空間への拡張となっています。

Minkowski空間は不定計量(indefinite-metric)の空間なので符号も含めると,南部・後藤の作用はＳ＝－Ｔ∫ｄσｄτ{(Ｘ^d)²(Ｘ')²－(Ｘ^dＸ')²}^1/2＝－Ｔ∫ｄσｄτ{η_μνＸ^μdＸ^νdη_λρＸ^λ'Ｘ^ρ'－(η_μνＸ^μdＸ^ν')²}^1/2と書けます。

ここで,成分γ_αβ≡η_μν(∂_αＸ^μ∂_βＸ^ν)によって,２×２行列(γ_αβ)_α,β=0,1を定義すれば,(γ_αβ)は対称行列:γ_βα＝γ_αβであり,(Ｘ^d)²(Ｘ')²－(Ｘ^dＸ')²＝η_μνＸ^μdＸ^νdη_λρＸ^λ'Ｘ^ρ'－(η_μνＸ^dμＸ'^ν)²＝γ₀₀γ₁₁－γ₀₁γ₀₁＝det(γ_αβ)と書けます。

そこで,上記の作用Ｓは簡単な形:Ｓ＝－Ｔ∫ｄ²σ[det(γ_αβ)]^1/2で表現できます。(訳注4終わり) ※

この南部・後藤の作用:Ｓ＝Ｔ∫ｄσｄτ{(Ｘ^d)²(Ｘ')²－(Ｘ^dＸ')²}^1/2から変分原理で得られる自由弦の古典運動方程式は軌道の描く面積が極小になるような世界面を与えるものです。

これは,"点粒子の軌道＝世界線"が測地線,つまり極小長さの曲線を与えるという事実の一般化になっています。

しかし,作用Ｓ＝Ｔ∫ｄσｄτ{(Ｘ^d)²(Ｘ')²－(Ｘ^dＸ')²}^1/2に基づいて弦の運動の定式化を進める場合には,これの被積分関数が大いに非線型で特にに平方根を含んでいるため,かなり都合が悪い形です。

そこで,点粒子の場合のｅ(τ)と同じように,Ｘ^μ(σ,τ)に加えて弦の世界面の計量テンソル(metric):ｈ_αβを導入して,Ｓ＝－(Ｔ/2)∫ｄ²σ[ｈ^1/2ｈ^αβη_μν∂_αＸ^μ∂_βＸ^ν]としてみます。

ここで,ｄ²σ≡ｄσｄτであり,ｈ^1/2は|det(ｈ_αβ)|の平方根です。また,(ｈ^αβ)は(ｈ_αβ)の逆行列の成分です。

※(訳注5):Ｓ＝－(Ｔ/2)∫ｄ²σ[ｈ^1/2ｈ^αβｇ_μν∂_αＸ^μ∂_βＸ^ν]は,ポリヤコフ作用(Polyakov action)と呼ばれるもので,点粒子の場合の計量ｅを含む作用Ｓ＝－(1/2)∫[ｅ^-1(ｘ^d)²＋ｅｍ²]ｄτの第１項の一般化になっています。

ただし,ｘ^d≡ｘ^dot≡ｄｘ/ｄτ,(ｘ^d)²≡ｇ_μν(ｄｘ^μ/ｄτ)(ｄｘ^ν/ｄτ)です。

γ_αβ≡ｇ_μν(∂_αＸ^μ∂_βＸ^ν)と書けば,Polyakov作用はＳ＝－(Ｔ/2)∫ｄ²σｈ^1/2ｈ^αβγ_αβ＝－(Ｔ/2)∫ｄ²σｈ^1/2γ_α^αと書き直すことができます。

点粒子の作用の場合には,質量ｍがある場合の作用:Ｓ＝－(1/2)∫[ｅ^-1(ｘ^d)²＋ｅｍ²]ｄτから拘束方程式δＳ/δｅ＝(1/2)ｅ^-2[(ｘ^d)²－ｅ²ｍ²]＝0 によってｅ＝[(ｘ^d)²]^1/2/ｍを得ました。

これを,元の作用Ｓ＝－(1/2)∫[ｅ^-1(ｘ^d)²＋ｅｍ²]ｄτに代入し返すことによってｅを消去した結果,これがＳ＝－ｍ∫ｄｓ＝－ｍ∫ｄτ[(ｘ^d)²]^1/2なる基本的作用と等価であることを見ました。

これと同様に,弦においても質量ｍがある場合の作用をＳ≡－(Ｔ/2)∫ｄ²σ[ｈ^1/2ｈ^αβｇ_μν∂_αＸ^μ∂_βＸ^ν＋Ａ(ｈ)ｍ²]と想定して,δＳ/δｈ_αβ＝0 なる拘束条件を考えてもいいのですが,

今の場合,弦の基本的作用と考えている南部・後藤の作用:Ｓ＝－Ｔ∫ｄ²σ[det(γ_αβ)]^1/2が点粒子の基本的作用Ｓ＝－ｍ∫ｄｓ＝－ｍ∫ｄτ[(ｘ^d)²]^1/2とは異なり,元々質量ｍを含まない形なのでｍを含む形を想定する必要はないと考えられます。

そこで,単に通常のPolyakov作用Ｓ＝－(Ｔ/2)∫ｄ²σ[ｈ^1/2ｈ^αβｇ_μν∂_αＸ^μ∂_βＸ^ν]自身に対する拘束方程式:δＳ/δｈ_αβ＝0 を解いてみます。

まず,恒等式:ｈ^αβｈ_βγ＝δ^α_γにより,δｈ^αβｈ_βγ＋ｈ^αβδｈ_βγ＝0,すなわちδｈ^αβ＝－ｈ^αρδｈ_ργｈ^γβです。

また,行列式ｈ＝det(ｈ_αβ)の性質から,δｈ＝ｈｈ^αβδｈ_αβですから,δｈ^1/2＝(1/2)ｈ^-1/2δｈ＝(1/2)ｈ^1/2ｈ^αβδｈ_αβを得ます。

故に,δ(ｈ^1/2ｈ^αβ)＝(1/2)ｈ^1/2ｈ^ρτδｈ_ρτｈ^αβ－ｈ^1/2ｈ^αρδｈ_ρτｈ^τβ,δ(ｈ^1/2ｈ^αβ)/δｈ_ρτ＝(1/2)ｈ^1/2ｈ^ρτｈ^αβ－ｈ^1/2ｈ^αρｈ^τβとなります。

したがって,δＳ/δｈ_αβ＝0 なる方程式は,(－Ｔ/2)[(1/2)ｈ^1/2ｈ^ρτｈ^αβｇ_μν∂_αＸ^μ∂_βＸ^ν－ｈ^1/2ｈ^αρｈ^τβｇ_μν∂_αＸ^μ∂_βＸ^ν]＝(Ｔｈ^1/2/2)[ｈ^αρｈ^τβγ_αβ－(1/2)ｈ^ρτｈ^αβγ_αβ]＝0 を意味します。

そこで,ｈ^αρｈ^τβγ_αβ－(1/2)ｈ^ρτｈ^αβγ_αβ＝γ^ρτ－(1/2)ｈ^ρτγ_α^α＝0 ,つまりｈ^ρτ＝2(γ_α^α)^-1γ^ρτを得ます。

故に.添字ρ,τを下げてｈ_ρτ＝2(γ_α^α)^-1γ_ρτです。よってｈ＝det(ｈ_ρτ)＝4(γ_α^α)^-2det(γ_ρτ)となります。

それ故,結局,Ｓ＝－(Ｔ/2)∫ｄ²σｈ^1/2γ_α^α＝－Ｔ∫ｄ²σdet(γ_ρτ)^1/2となって,Polyakov作用が確かに面積極小を与える南部・後藤の作用と一致することが示されました。

(訳注5終わり) ※

短いけれど,今日はここで終わります。

過去にこのノートを作成した当時には,南部・後藤の作用とPolyakov作用が同等であることを示すのは,演習問題程度で確かめるまでもなく当然だと思っていて,それを確かめておらず,今回若干老いた頭で改めてトライしてみると意外にてこずりました。

参考文献:M.B.Green,J.H.Schwarz,& E.Witten著「superstring theory」(Cambridge University Press)

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懲りない奴

　ああ,朝８時半だ。。。今,帰りましたんどーー。。。

　今日も気が付けば見知らぬ女性が隣にいました。。

　珍しく気が合うと思ったら,どうもモラルが嫌いなそうだ。。

　30以上も年下の女性。。私はといえば,禿げたジジィのくせに女好きの変態野郎。。下心丸見えで懲りずによくやるよ。。。

　でも,結局２度と会うことはないんだろうなあ。。。おやすみ。。

PS:名前は知らないが,彼女は木村佳乃に似ていたと思う。

　２件目で連れがナンパして,朝４時頃,最初はゲイバーに行きたいと言っていた。もし万が一また会うことがあって,私の懐ろが大丈夫なら連れて行ってあげたいと思う。。。

　しかし,相手は知らないとは思うけど私は心臓病だというのに,しかもダンスなんかチークしか知らないのに,２回も３回もジルバのような激しいので引っ張りまわされて死にそう?になりＭ(マゾ)としては嬉しかったです。

　あはは。。こりゃ犬も食わない的な。。「あんたが大将」的な自慢話になってる。。。今さらね。。

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老兵は死なず！

　ひとりぼっちがやりきれなくてー　お酒飲んでほろほれろー

　ブギとブスとを聞き間違えてー　あんたあたしを笑ったね。。

　つれない素振りにー　あたしは惚れてー　何度も何度もー

　振り返るー　あたしのブギウギー　　　（浅川マキ「あたしのブギウギ」より）

　僕のまわりのメルヘンがまたひとつ。。急に消えかかっている。。。。

　一寸の虫にも五分のたましい。。。

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超弦理論(4)(点粒子の作用)

　超弦理論(superstring theory)の続きです。

　弦理論の話に入る前置きとして一般のＤ次元時空における古典的点粒子の作用の話をします。

Minkowski空間内を運動する質量のない１粒子を記述する作用は一般に次のように書けます。Ｓ＝－∫ｄτｅ^-1(τ)η_μν(ｄｘ^μ/ｄτ)(ｄｘ^ν/ｄτ)です。

ここでη_μνはMinkowski計量です。ここではη_μν＝(＋,－,－,..,－)としています。

(次元が大きい時空では負号が１つだけの方が便利なためか,弦理論ではほとんどの著書で使用されているη_μν＝(－,＋,＋,..,＋)という計量ではなく,私の場合は一貫してη_μν＝(＋,－,－,..,－)なるミンコフスキー計量を採用しています。

そこで本書(Green,Schwarz,Witten)を訳出してノートにまとめたものも,全て書物とは反対符号の私好みの計量表示に書き換えています。)

ただし,ＳはＤ次元時空における作用なので添字はμ,ν＝0,1,2,,..,Ｄ－1です。

また,τは任意パラメータで,これはｘ^μ(τ)のように"粒子の世界線＝軌道"を粒子の位置座標への１パラメータ写像として表わすためのものです。ｅ(τ)はこの世界線に沿った一種の計量です。

※(訳注1) 今は序文の内容で詳細は後述するため,概略説明をしているだけとはいっても,弦理論の素人に対し,いきなり上のような作用積分の形式を説明なしに書かれたら,普通はとまどってしまうでしょうから,私自身の理解も兼ねて一応の説明をしておきます。

まず,古典物理学では相対性理論が確立されて以来,質量がｍの質点の軌道を与える作用積分Ｓは,それの描く世界線の固有長さをｓとしてＳ＝－ｍ∫ｄｓで与えられることがわかっています。

ただし,ｇ_μνを時空の計量テンソルとするとき,ｄｓはｄｓ²＝ｇ_μνｄｘ^μｄｘ^νで与えられます。

そして,古典的軌跡がｘ^μ(τ)で表わされるとすれば,ｘ^d≡ｘ^dot≡ｄｘ/ｄτとして,(ｘ^d)²≡ｇ_μν(ｄｘ^μ/ｄτ)(ｄｘ^ν/ｄτ)と定義すれば,Ｓ＝－ｍ∫ｄτ[(ｘ^d)²]^1/2となります。

作用Ｓを示す式の右辺にマイナス符号が付いているのは,時空が不定計量の空間であるため,実際の軌道を与える測地線で,世界線の長さ∫ｄｓが最小ではなく最大になるためです。

あるいは,点粒子自身の刻む固有時間∫ｄτ＝∫ｄｓ/ｃ (ここでのτは任意パラメータでなくｄｓ＝ｃｄτで定義される固有時間)は,測地線に沿った運動をする場合に最大になり,それと異なる回り道の運動をすると時間が遅れて小さい値になることから,マイナス符号を付けないと"最小作用の原理"という用語に反するからです。

ここで,Ｓ＝－ｍ∫ｄτ[(ｘ^d)²]^1/2の右辺の幾分厄介な平方根の記号をはずし,また質量のない(ｍ＝0の)粒子にも適用できるようにするために,補助座標ｅ(τ)を導入します。

天下り的ですが,ｅをも加えた作用をＳ≡－(1/2)∫[ｅ^-1(ｘ^d)²＋ｅｍ²]ｄτと定義すると,ｅの微小変分δｅに対する作用Ｓの停留性δＳ/δｅ＝0 から得られる運動方程式は(ｘ^d)²－ｅ²ｍ²＝0 で与えられます。

これから,ｅ＝[(ｘ^d)²]^1/2/ｍが得られます。これを再び作用の表式:Ｓ≡－(1/2)∫[ｅ^-1(ｘ^d)²＋ｅｍ²]ｄτに代入し返してｅを消去すると,Ｓ＝－ｍ∫ｄτ[(ｘ^d)²]^1/2となってＳ＝－ｍ∫ｄｓが得られます。

つまり,Ｄ次元の粒子の位置座標ｘ^μ(τ)(μ＝0,1,2,..,Ｄ－1)に補助座標ｅ(τ)を加えたＤ＋1個の座標空間での作用をＳ≡－(1/2)∫[ｅ^-1(ｘ^d)²＋ｅｍ²]ｄτとしますが,これから補助座標ｅについての変分方程式δＳ/δｅ＝0 によりｅを消去したものが,元々有り得べきＳ＝－ｍ∫ｄｓ＝－ｍ∫ｄτ[(ｘ^d)²]^1/2なる作用表式に等価なわけです。

それ故,質量がｍの１粒子の作用としてＳ＝－ｍ∫ｄｓの代わりにＳ＝－(1/2)∫[ｅ^-1(ｘ^d)²＋ｅｍ²]ｄτを採用して,粒子の運動方程式がＤ＋1個の座標の変分に対するＳの停留性δＳ＝0 で与えられる,としてもよいことになります。

そして,Ｓ＝－(1/2)∫[ｅ^-1(ｘ^d)²＋ｅｍ²]ｄτに変分方程式の１つであるδＳ/δｅ＝(ｘ^d)²－ｅ²ｍ²＝0 から得られるｅｍ²＝ｅ^-1(ｘ^d)²を代入して質量ｍを消去すれば,Ｓ＝－∫[ｅ^-1(τ)(ｘ^d(τ))²]ｄτ＝－∫ｄτｅ^-1(τ)ｇ_μν(τ)(ｄｘ^μ/ｄτ)(ｄｘ^ν/ｄτ)が得られます。

これは背景の時空が特に平坦なMinkowski時空ならｇ_μν(τ)＝η_μνなので,Ｓ＝－∫ｄτｅ^-1(τ)η_μν(ｄｘ^μ/ｄτ)(ｄｘ^ν/ｄτ)となります。

ただし,補助条件として拘束条件δＳ/δｅ＝0 があって,これが課されることにより自由度が１個減るはずです。

しかし,ゼロ質量の場合には変数ｅの自由度の代わりになると思われる質量ｍというパラメータが存在しないので,ｅはゲージ(gauge)の自由度として残ると思われます。

以上で１個の点粒子の作用ＳがＳ＝－∫ｄτｅ^-1(τ)η_μν(ｄｘ^μ/ｄτ)(ｄｘ^ν/ｄτ)で与えられることの根拠を示しました。

※(訳注1終わり)

時空に追加された補助座標ｅ(τ)の役割の１つは,作用Ｓの形式Ｓ＝－∫ｄτｅ^-1(τ)η_μν(ｄｘ^μ/ｄτ)(ｄｘ^ν/ｄτ)が,パラメータの変換τ→τ~(τ),ｅ→ｅ~＝ｅ(ｄτ/ｄτ~)の下で,不変であることを保証することです。

実際,Ｓ＝－∫ｄτｅ^-1(τ)η_μν(ｄｘ^μ/ｄτ)(ｄｘ^ν/ｄτ)＝－∫ｄτ~(ｄτ/ｄτ~)ｅ^-1(τ)η_μν(ｄｘ^μ/ｄτ~)(ｄｘ^ν/ｄτ~)(ｄτ~/ｄτ)²＝－∫ｄτ~ｅ~^-1(τ~)η_μν(ｄｘ^μ/ｄτ~)(ｄｘ^ν/ｄτ~)＝Ｓ~が確かに成立します。

そこで,変換τ→τ~(τ),ｅ→ｅ~＝ｅ(ｄτ/ｄτ~)において,特にｄτ/ｄτ~＝ｅ^-1となるようにτ→τ~(τ)を選べば,ｅ~＝１となりＳ~＝Ｓ＝－∫ｄτ~η_μν(ｄｘ^μ/ｄτ~)(ｄｘ^ν/ｄτ~)と簡単になります。

そこで,元々ｅ＝１となるゲージを採用して作用をＳ＝－∫ｄτη_μν(ｄｘ^μ/ｄτ)(ｄｘ^ν/ｄτ)と書くことにします。

この固定ゲージでの特別な作用:Ｓ＝－∫ｄτη_μν(ｄｘ^μ/ｄτ)(ｄｘ^ν/ｄτ)から変分原理δＳ/δｘ^μ＝0 によって導かれる運動方程式は単にｄ²ｘ^μ/ｄτ²＝0 ですが,この方程式の解はもちろんMinkowski空間における直線です。

しかし,Minkowski空間の全ての直線が元々の作用Ｓ＝－∫ｄτｅ^-1(τ)η_μν(ｄｘ^μ/ｄτ)(ｄｘ^ν/ｄτ)も含めて自由な点粒子が従う運動方程式の解であると考えるのは正しくありません。

すなわち,ゲージ選択でｅ＝１と固定しても,ｅの存在を忘れてよいわけではなく,元々の作用でゲージを固定をしてよい理由となった方程式δＳ/δｅ＝0 が課されていることを考慮する必要があります。

つまり,まずゲージ不変なことを示すδＳ/δｅ＝0 なる方程式の条件が課され,然る後にこの条件に従う１つのゲージとしてｅ＝１と置かれたと解釈するわけです。

例えば電磁場Ａ^μから成る作用Ｓから得られる電磁力学の自由場の方程式では,もし望むならＡ⁰＝φ＝0 なるゲージ条件を取って"電磁ポテンシャルの時間成分＝スカラーポテンシャル"をゼロに設定することができます。

しかし,だからといってガウス(Gauss)の法則に相当するδＳ/δＡ⁰＝0 を削除するわけにはいかないのと同様な意味です。

δＳ/δＡ⁰＝0 をGaussの法則と呼ぶのは,Ｓ＝∫Ｌ(ｘ)ｄ³ｘ,Ｌ(ｘ)＝－(1/4)Ｆ_μνＦ^μν;Ｆ^μν≡∂Ａ^ν/∂ｘ^μ－∂Ａ^μ/∂ｘ^νなる自由電磁場の作用の表現において,δＳ/δＡ⁰＝∂Ｌ/∂Ａ⁰－(∂/∂ｘ^μ)[∂Ｌ/∂(∂Ａ⁰/∂ｘ^μ)]＝0 がCoulombゲージ∇Ａ＝0 での電荷がない真空であるための条件,つまりＥを電場として∇Ｅ＝0 なることを意味するからです。

　そして,今のケースでは,条件δＳ/δｅ＝0 はゲージ不変量"Ｔ＝η_μν(ｄｘ^μ/ｄτ)(ｄｘ^ν/ｄτ)が消えること＝Ｔがゼロになること"を意味します。

　つまり,先に得られたMinkowski空間の直線軌道の解が光的な測地線であることを意味します。

　したがって,結局,作用Ｓ＝－∫ｄτｅ^-1(τ)η_μν(ｄｘ^μ/ｄτ)(ｄｘ^ν/ｄτ)は,光のように質量のない古典点粒子の作用であることが再確認されたわけです。

　ゲージを固定した作用Ｓ＝－∫ｄτη_μν(ｄｘ^μ/ｄτ)(ｄｘ^ν/ｄτ)から導かれる方程式ｄ²ｘ^μ/ｄτ²＝0 はＴ＝η_μν(ｄｘ^μ/ｄτ)(ｄｘ^ν/ｄτ)＝0 の成立を保証しませんが,Ｔが保存量であること,つまりｄＴ/ｄτ＝0 が成立することは保証します。

　そこでτのある値(ある時刻)における初期値として,Ｔ＝0 なる制限を課しておけば,全ての時刻τでＴ＝0 が満たされます。

　これも,電磁力学での真空中のGaussの法則∇Ｅ＝0 に対する話と同じです。

　そして,この作用Ｓ＝－∫ｄτη_μν(ｄｘ^μ/ｄτ)(ｄｘ^ν/ｄτ)から系の正準運動量がｐ_μ＝－δＳ/δ(ｄｘ^μ/ｄτ)＝η_μν(ｄｘ^ν/ｄτ)＝ｄｘ_μ/ｄτで与えられることがわかります。(係数２が抜けてる？)

　通常のｄｘ_μ/ｄτ→i(∂/∂ｘ^μ)とする方法で系を量子化すると,演算子としての運動量はｐ^_μ＝i(∂/∂ｘ^μ)なるので,古典量ＴもＴ＝η_μν(ｄｘ^μ/ｄτ)(ｄｘ^ν/ｄτ)＝ｐ_μｐ^μから,Ｔ^＝ｐ^_μｐ^^μ＝－∂²/(∂ｘ_μ∂ｘ^μ)＝－∂_μ∂^μ＝－□,(ただし,□≡∂_μ∂^μ＝∂²/∂ｔ²－∇²)なる形に量子化されます。

　すなわち,Ｔを量子化した演算子Ｔ^はLorentz不変な波動演算子(＝d'Alembertian):□になります。

　そして点粒子の量子状態は単に時空座標のある関数φ(ｘ)＝φ(ｘ^μ)で与えられます。

　上の議論では,質量がゼロの粒子には古典的には拘束条件としてＴ＝0 の軌道のみが許されることが示されましたが,これは量子的には物理的状態が演算子Ｔ^によって消滅さるべきであること,すなわち,拘束条件Ｔ^φ＝0 が要求されることを意味します。

　そしてＴ^＝－□なので,これは丁度質量ゼロのKlein-Gordon方程式:□φ＝0 が成立することを意味します。

　こうして,拘束条件δＳ/δｅ＝0 から点粒子に対する相対論的なSchrödinger方程式であるKlein-Gordon方程式が得られました。

※(訳注2):δＳ/δｅ＝0,すなわち,(ｘ^d)²－ｅ²ｍ²＝0 から得られる式ｅｍ²＝ｅ^-1(ｘ^d)²をＳ＝－(1/2)∫[ｅ^-1(ｘ^d)²＋ｅｍ²]ｄτなる表式に代入してｍを消去すればＳ＝－∫[ｅ^-1(ｘ^d)²]ｄτが得られます。

これが,質量ｍがゼロのときの作用であるという先の(訳注1)での見解は,本書の著者の見解を代弁したものですが,実はこれは私自身の見解とは違っています。

私の考えは,Ｓ＝－(1/2)∫[ｅ^-1(ｘ^d)²＋ｅｍ²]ｄτなる表式でｍ＝0 とすれば,Ｓ＝－(1/2)∫[ｅ^-1(ｘ^d)²]ｄτが得られる,というもっと単純なものです。

この見解でも,Ｓ＝－∫[ｅ^-1(ｘ^d)²]ｄτなる表式とは係数(1/2)が異なるだけなので運動方程式の形は同じであり後の論旨も変わりませんが,前の見解での作用表現:Ｓ＝－∫[ｅ^-1(ｘ^d)²]ｄτはδＳ/δｅ＝0 を前提にして得られたものなので,この作用に対してさらに拘束条件としてδＳ/δｅ＝0 を採用することはできないはずです。

また,運動量ｐ_μ＝－δＳ/δ(ｄｘ^μ/ｄτ)の正しい表現がＳ＝－(1/2)∫[ｅ^-1(ｘ^d)²]ｄτの係数(1/2)から得られることから見ても,作用をＳ＝－(1/2)∫[ｅ^-1(ｘ^d)²]ｄτとする後者の立場の方が正しいと思われるので,以下の議論ではそうした私の立場を採ることにします。

元々,古典論で点粒子が従う運動方程式は本来ゲージとは関係なくMinkowski空間ではｄ²ｘ^μ/ｄτ²＝0 です。

そして量子論のSchrödinger方程式は座標空間での運動方程式を運動量空間での方程式である運動量の保存とエネルギー保存の式に書き換えたものです。

すなわち,エネルギー保存を示す第一積分:Ｅ＝Ｈ(ｘ,ｐ)において,Ｅ→ i(∂/∂ｔ),ｐ→－i∇とおくことにより量子化して,[i(∂/∂ｔ)－Ｈ(ｘ,－i∇)]φ＝0 としたものが非相対論的量子論におけるSchrödinger方程式です。

相対論の場合なら,エネルギー保存の第一積分がＥ²＝ｐ²＋ｍ²,またはｐ²＝ｐ_μｐ^μ＝ｍ²なので,これを量子化したものが Klein-Gordon方程式(∂_μ∂^μ－ｍ²)φ＝(□－ｍ²)φ＝0 であると考えられます。

そして,粒子がスカラーである場合で,状態を表わすには１成分の波動関数で十分なときには,系全体の状態を表現するためには第一積分が１個あれば足りるというわけです。

ですから,質量がゼロの場合には,運動方程式ｄ²ｘ^μ/ｄτ²＝0 の解であるという条件,つまり等速直線運動であるという条件の他に,特別にη_μν(ｄｘ_μ/ｄτ)(ｄｘ^μ/ｄτ)＝0 であるという制限,つまり運動速度の大きさが光速ｃでなければならないという制限があります。

この制限に同等な量子論の方程式が□φ＝0 となるわけです。

これが先に質量がゼロでない粒子で運動速度には制限なしの古典的な運動方程式だけの量子化から導かれた Klein-Gordon方程式:(□－ｍ²)φ＝0 の質量ｍがゼロのときの方程式に一致するのは,ただの偶然だと思います。

しかし,そもそも質量の平方はPoincare'群のうちの運動量とエネルギーに関わる平行移動群のCasimir演算子の固有値なので,ある意味で量子論の波動方程式がそうした形になるのは当然だと思います。

※(訳注2終わり)

さて,こうした量子論の基本方程式のPoincare'不変性は作用Ｓ＝－(1/2)∫[ｅ^-1(ｘ^d)²]ｄτがPoincare'変換:ｘ^μ→ Λ^μ_νｘ^ν＋ｂ^μの下で共変であるという事実からの帰結です。

また,Schrödinger方程式の中に"時間微分ｄ/ｄτ"が現われないのは一見したところ驚くべきことではないかもしれません。

しかし,これは時間座標の再パラメータ化の下で不変であるという対称性を持つ量子系にとっては典型的なことです。

後に見るように,同様なことは弦の量子論や一般相対性を量子化する形式的な試みにも現われます。

弦理論に進む前にもう少しだけ立ち止まって,点粒子理論の超対称一般化を手短かに論じます。

実際,粒子の世界線上か,時空内かのいずれかの超対称性に関して可能な超対称一般化が幾つかあります。そして,我々が点粒子についてより関心があるのは,時空の超対称性を持つLagrangianの方です。

そこで,次のようなLagrangianＬによる作用Ｓを想定します。

すなわち,Ｓ＝∫Ｌｄτ＝－∫ｄτ[η_μν{ｄｘ^μ/ｄτ－iθ~Γ^μ(ｄθ/ｄτ)}{ｄｘ^ν/ｄτ－iθ~Γ^ν(ｄθ/ｄτ)}]です。

この作用は,点粒子が座標(ｘ^μ)のMinkowski空間ではなく座標(ｘ^μ,θ^a)を持つ超空間内で伝播することを記述します。

ここで,θ^aはｘ^μがLorentz変換を受けるとき,スピノル(spinor)のように変換する反可換な座標であり,Γ^μはDirac行列を表わしています。

このLagrangianと作用に対する量子化はかなり難解なもので,ずっと後の章で論じる予定です。

さしあたっては,量子論はBose的点粒子に対してのKlein-Gordon方程式に対してもある種の超対称的拡張を巻き込むことが自然の必然であるということだけに着目しておきます。

特に,10次元時空の場合には,単一のMajonala-spinorとしてのθ^aについて,Ｓ＝∫Ｌｄτ＝－∫ｄτ[η_μν{ｄｘ^μ/ｄτ－iθ~Γ^μ(ｄθ/ｄτ)}{ｄｘ^ν/ｄτ－iθ~Γ^ν(ｄθ/ｄτ)}]から導かれた量子系がスピンが(1,1/2)の場の質量ゼロの多重項であることがわかります。

この多重項粒子は,光子もどきＡ^μと正のchiral性(chirality)を持つスピノル場ψで,ゼロ質量のMaxwell方程式:∂_μＦ^μν＝0 ,および Dirac方程式:Γ^μ∂_μψ＝0 を満たすものから構成されます。

そうではなくて,(θ^a)を10次元のMajorana・Weil spinorのペアであると考えるなら,上の作用から導かれる量子論は超Einstein方程式の線形近似を与えます。

これらが線型方程式であるのに対して,我々が本当に関心があるのは,量子論の方程式の非線型方程式への自然な一般化です。

質量のないKlein-Gordon方程式には,通常φ⁴-理論による非線型方程式:□φ＋λφ³＝0への自然な一般化があります。

一方,Maxwell方程式と線形化されたEinstein方程式にもYang-Mills方程式や一般相対論への自然な一般化であるＤ_μＦ^μν＝0 やＲ_μν＝0 が考えられます。

※(訳注３)↑ここら辺り,最後の部分の点粒子と超対称性についての著者にしかわからないだろう"念仏"はイントロにはよくあることです。

後で詳述する内容について予め,抽象したり要約したりして記述しているものですから,本を読む上ではそれほど気にすることもなく,はっきりとはわからなくて当たり前なものなのですね。

それであれば,ブログに書く必要もないのでしょうが,まあ,一応紹介してみたまでです。

(訳注３終わり※)

今日はここで終わります。次回は点粒子のアナロジーとして見た弦理論での作用の話から始める予定です。

参考文献:M.B.Green,J.H.Schwarz,& E.Witten著「superstring theory」(Cambridge University Press)

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　(昔,まだ学生の頃,母の飼い犬があやまって"猫イラズ(殺鼠剤の入ったダンゴ)"を食べたときには,口に手をつっこんで無理に吐かせたけど思い切り咬まれましたね。。。痛かったけどなつかしい。。 。

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超弦理論(3)(双対模型から超弦理論へ)

超弦理論(superstring theory)の第３回目です。

　それが提案された初期の頃には,Veneziano振幅が物理的に何か重要なものに結びつく見込みはほとんど無く,散乱振幅における双対性という仮定も,あまり頼りにならない実験的支持以上のものではありませんでした。

　にも関わらず,Veneziano模型の研究はそれ自身に非常に豊かな構造があることが明らかになってゆきました。

　その部分的な解明は,多くの物理学者の努力を吸収して驚嘆すべき内容の連鎖を生み出しました。

すなわち,Veneziano振幅が容易にｎ体振幅に一般化できるという事実と共に,Veneziano模型は現実に相対論的な弦(ひも)模型としての認識,特に現在閉じた弦(ひも)と呼ばれるものの発現を含むこと,

模型にFermi粒子を組み込む過程での段階的なリー代数(Lie algebra)の出現,そしてBose粒子の弦理論と超対称弦理論がそれぞれ26次元と10次元で意味をなす,というような驚嘆すべき内容を含んでいることなどが明らかになりました。

双対模型(dual model)は,ほとんど全ての契機に研究者に新しい驚きを湧き興しました。

しかし,元々の出自である強い相互作用の基本理論として,双対模型が反論を許さぬ確固とした地位を占めることだけは,決して有りませんでした。

実際,1968年以後の期間での実験の発展は,強い相互作用にＳ行列の解析的理論とは異なる種類の理論を要求しました。

Veneziano模型は,レッジェ領域(Regge領域)(例えばｔ固定,ｓ→ ∞ の領域)では,実際の強い相互作用の高エネルギーでの漸近的挙動をうまく表現できました。

ところが,1968年当時には,ほとんど実験的開拓がなされていませんでしたが,現在の見地からは重要な別の領域があり,そこではこの模型と実験との一致があまりよくないことがわかりました。

この,実験と一致しない領域というのは,(ｓ/ｔ)固定でｓ→ ∞,ｔ→ －∞ の領域のことです。

(ｓ/ｔ)固定,ｓ→∞,ｔ→－∞ の領域,すなわち,散乱角θ_s固定でのｓ→ ∞ の領域では,前記事の最後に見たようにVeneziano振幅はＡ(ｓ,ｔ)～ [Ｆ(θ_s)]^-α'sなる漸近形を呈します。

つまり,Veneziano振幅はｓと共に指数関数的に減衰します。

しかし,現代の実験(および理論)は高エネルギー,固定散乱角のプロセスでの散乱振幅Ａ(ｓ,ｔ)は,単にｓのべき乗則に従って減衰すること(＝Bjorken極限 or Bjorken scalingなど)を示しています。

これはFeynmanに始まるパートン模型(部分子(構成子:parton)模型)で説明できることがわかっています。

余談ですが,強い相互作用の深非弾性散乱の挙動がパートン模型によって予言されるそれと一致する最初の証拠を与えたSLACでの実験がなされたのが,丁度Venezianoが彼の有名な振幅を提案したのとほとんど同時であったという歴史の決定的な偶然の一致があります。

ある種の運動学的形態では,パートン的な挙動をするという構造を模型に組み込むのに失敗したことが,強い相互作用において双対模型が基礎理論としての地位を他に譲った主要な原因の１つでした。

ある意味,たとえ高エネルギーで固定角のときにハドロンの振幅が場の量子論で計算される振幅よりもはるかに緩やかに,つまりエネルギーの大きいベキで落ちるのが正しいとしても,Veneziano模型の紫外領域における挙動はそうしたハドロンの世界よりも,さらにソフトな世界(指数的減衰の世界)であるということがわかったわけです。

そして,1973,1974年には強い相互作用でVenezianoの双対模型に代わるべき理論が量子色力学(QCD)という形で出現しました。

これは他のことに混じって,上に引用したパートン模型の挙動をも説明できるものです。

しかし,同じ頃,双対模型で具現された著しく豊かな構造を持続研究するための新しい可能性を持った動機が現われました。

一見したところ,唯一強い相互作用の領域だけが,厄介な大きいスピンの粒子に直面する物理学の領域であると考えられますが,実はそうした問題は重力の量子論を展開しようとする場合にも生じます。

一般相対論での重力場は量子論の場としてはスピンが２で質量がゼロの場,すなわち,"重力子の場＝テンソル場"で記述されます。

一般相対性理論では,その非線型な性質は局所対称性群によって決まるという意味でYang-Mills理論の考察にとってのインスピレーションの一部でした。ただし,素朴なYang-Mills場はスピンが１で質量がゼロのベクトル場です。

Yang-Mills場と重力場の２つの理論には多くの類似があるにも関わらず,スピンが１と２の間には１つの世界ほどの差異があります。

先の散乱振幅の表現:Ａ(ｓ,ｔ)＝－Σ_Jｇ_J²(－ｓ)^J/(ｔ－Ｍ_J²)によれば,質量Ｍ_J²がゼロでスピンＪが１の粒子の交換は(ｓ/ｔ)に比例する振幅への寄与を与えることがわかります。

４次元時空では,そうした振幅の"高エネルギー領域＝紫外領域"での挙動は,かろうじてくり込み可能性と矛盾しません。

しかし,ｔチャンネルでのスピンＪが２の粒子の交換は(ｓ²/ｔ)に比例する振幅への寄与を与えるので,４次元時空ではこれは明らかに受容しがたい高エネルギーの挙動であって,絶望的なくらいにくりこみ不可能な理論に対応しています。

しかし,これまで見てきたように,双対模型は高エネルギーでの挙動が著しくソフトであり,紫外の病無しに高スピン粒子を組み入れる１つの手法を与えます。

これは,強い相互作用のケースには正しい方法ではなく,自然は異なる経路を選択していましたが,その代わりに高スピン粒子を扱う量子重力においては正しい道となり得るのではないか,との希望が双対模型を研究する新しい動機となったのです。

パートンの漸近自由な性質に適応させることに失敗したのとは別に,強い相互作用において双対模型理論が陥った困難の１つは,この模型が常に種々の質量がゼロの粒子群を予言するのに対して,そのどれもがハドロンの世界には全く存在しないという事実でした。

例えば,こうした質量がゼロの粒子群は,ゴーストを消すためにレッジェ軌跡で切片をα(0)＝１とおけば,Veneziano振幅においてｓ＝0 とｔ＝0 で現われる極の中に出現します。

双対模型では,いろいろなスピンを持つゼロ質量の粒子が出現しますが,特に閉じた弦に対応する粒子の中に質量がゼロでスピンが２の粒子があります。

一般的な基礎に基づく研究から双対模型の理論が一般相対論のそれに類似していることが明らかにされ,この質量がゼロ,スピンが２の粒子を重力子であると同定できるのでしょうか？

量子重力は常に理論化にとって難問であり続けました。

そして,実験は量子力学と重力の両方が自然法則において役割を果たしているという偽りの無い事実を除けば,ほとんど何のガイダンスも提供しません。

量子重力に特徴的な質量スケールはPlanck質量;(ｈｃ/Ｇ)^1/2～10¹⁶GeVとして知られています。

ビッグバン(Big Bang)から今まで残っていた安定なPlanck質量の粒子の発見のような思いがけなく幸運の一撃を除けば,量子重力の理論を直接実験的に検証することはほとんど望めないという意味で,理論を実験と比較して検証するという段階とは現在も程遠いところにいます。

量子重力をテストする現実的な望みは,無矛盾な量子重力理論を作ることを目指す研究の行路で,常に重力が如何にして他の力と統一されるのかを見出すことの中にあります。

そして,いつしか重力と他の力の矛盾の無い統一理論が,電子質量とかカビボ角(Cabbibo angle)のような実際の測定値の意味を説明できるようになること,

あるいは,ＳＵ(2)×Ｕ(1)の対称性の破れの秘密が隠されている高いけれど許容できる,恐らくは１TeV程度のエネルギー規模で新しい現象を予言することなどを通じて,現実のテスト実験と直面できるようになると思われます。

双対模型を量子重力理論として見る考え方では,それまでの長い間,やっかいな困難であると見られていたものが直ちに利点に変わるというボーナスを生み出しました。

その"困難 → 利点"とは,すなわち,双対模型が４次元という時空次元では意味をなさないように見えるという事実でした。

Bose粒子(Boson)のみのVeneziano模型に対しては26次元時空のみが可能であり,一方,Bose粒子とFermi粒子(Fermion)の混在するRamond-Neveu-Schwarz模型は10次元時空においてのみ意味を持ちます。

そこで,Bose粒子だけでなくFermi粒子もある現実的なケースを考えるなら,もしもこの模型を強い相互作用の理論を与えるものであると考える場合には余分の６次元がとてもやっかいな問題となります。

しかし,この模型の目的が重力と物質の統一理論を作ることであるなら事態は全く違います。

一般相対性理論を物質と統一することについて,これまで展開された最も初期の考えで最良のものの１つは,1921年にKaluzaによって示唆されたものです。

それは,４次元ではなく５次元の時空で一般相対性理論を定式化することによって重力は電磁気と統一され得るというものでした。

この示唆はさらに1926年の初めにKleinによって発展させられました。そこでこの理論はKaluza-Klein理論と呼ばれます。

この理論は統一場の理論へのEinsteinの主要テーマの１つでした。

(※なお,Kaluza-Klein理論の詳細については拙ブログの入院直前の2007年３月６,７,８日に書いた記事「カルツァ・クラインの５次元統一場理論(1)」,「カルツァ・クラインの５次元統一場理論(2)」,「カルツァ・クラインの５次元統一場理論(3)」を参照してください。)

現代の用語で言うなら,こうした考えは４次元一般相対性理論の基底状態が５次元Minkowski空間:Ｍ⁵ではなく,４次元Minkowski空間:Ｍ⁴と円:Ｓ¹との積:Ｍ⁴×Ｓ¹であると仮定するものです。

円Ｓ¹の半径はあまりにも小さく,日常の経験上は,あるいは高エネルギーの実験室においてさえ,観測される現象は常にＳ¹上の点にわたる平均に関わるのみで,見かけ上の世界は４次元に見えると仮定します。

こうしたことが,どのようにして可能で有り得るかという明瞭な議論の１つは1938年にEinsteinとBergmannによって与えられています。

５次元では計量テンソル(metric)ｇが5×5行列:(ｇ_MN)_{M,N=0,1,2,..4}で与えられます。そして成分ｇ_MNの全てに対して,５次元のEinsteinの重力場の方程式をそれらの動力学の方程式として採用します。

4×4行列(ｇ_μν)_{μ,ν=0,1,2,..3}は４次元の観点でのスピン２を持つ４次元の重力の計量テンソルと考えます。

一方,成分(ｇ_μ4)_μ=0,1,2,..3は４次元の観点ではスピン１を持ち質量ゼロの光子(photon)を記述します。

そこで,これらが５次元の一般相対論では"重力場＝重力子"と"電磁場＝光子"が統一されるというのが５次元空間を考える利点とされます。

そして,残りの成分ｇ₄₄は質量がゼロ,スピンもゼロのスカラーとして挙動すると予言されます。

すなわち,この試みでは望んだ通り重力と物質が統一され,さらに質量がゼロのスカラー粒子が存在するという興味深い予言が得られます。

しかし,実際には当時の風潮から,"新粒子の予言"というものは受け入れられず,こうした試みを推進させる初期の研究者たちの大部分を困惑させて,結局スカラー新粒子出現の予測を排除しようとしたため,Kaluza-Klein理論を台無しにするような傾向となりました。

1950年代とそれ以後にJordan,および,Brans & Dickeらだけが新粒子を理論にとって掃き捨てられるべきやっかいものではなく,実験で検証さるべき面白い予言と捉えました。

そして,これをBrans & Dickeスカラーと呼びました。

そして質量ゼロの可能なBrans & Dickeスカラーに関しての重大な実験的限界などが設定されましたが,その存在については未だ想像の範囲内にあります。

そして,双対模型でも拡大場を形成する際にはBrans & Dickeスカラーに非常に似たものが出現します。

もっとも,こちらの方は本当に質量がゼロの場か,それとも量子補正によって場が有限な質量を持つようになるかとかを考えるほどの話ではないかもしれません。。。

現在の段階から観ると,重力と電磁気だけでは重力と物質の統一からは程遠く,満足のいく統一理論とするにはより多くの要素を含む必要があると言えます。

実際,５次元では不十分で10次元で丁度処理できます。

そこで,双対模型が量子重力の意味のある方法をなすと見るならばBose粒子とFermi粒子の双対模型が10次元でのみ意味を持つという事実は,この模型が単に量子重力の矛盾しない理論というだけでなく,あらゆる相互作用の整合的な統一理論で有り得るのではないかという夢を与えます。

1974年には,双対模型が重力を含む統一理論を与えるという夢は,その頃のいわゆる"整合的な双対模型"が少なくとも１つの欠点を持つという事実によって地上に引きずり下ろされました。

その欠点というのは,それら整合的模型が全てタキオン(tachyon)を予言するということです。

もっとも,実際に物理学的矛盾が生じないなら,こうした欠点を気にする必要はありませんが,タキオンがあればその理論での計算は少なくとも不安定な真空中でなされることになります。

さらに,タキオンの交換はループグラフの赤外発散に寄与し,こうした発散は今の場合の"統一量子重力理論"での計算の紫外部の挙動を分離したものが本当に値として満足できるものを示しているのかどうか判断することを困難にしました。

しかし,こうしたタキオンの問題は驚くべき手法で解決されました。

すなわち,1974年当時には,既にこの双対模型の理論にも入っていた段階的なリー代数に刺激されてWess-Zuminoが時空の超対称性("susy"=supersymmetry)という概念を考案しました。

これはRamond-Neveu-Schwarzの弦模型の２次元世界面超対称性の４次元への一般化として与えられました。

そして,この超対称性の発明は,それ以後,関連した莫大な仕事を生み出す源になりました。

この超対称性,すなわちBose粒子とFermi粒子の対称性によって初めて全てのものの真の統一理論にとって不可欠な条件が得られたと直観されました。

これは,２,３年のうちに,初期の大域的超対称性から,局所的超対称性,あるいは超重力,つまり著しく豊かな一般相対性の対応原理へと拡張されました。

最初,弦理論と時空の超対称性の類似は単なる偶然の一致と見られていました。

しかし,1977年にGliozzi,Scherk,Oliveは,Ramond-Neveu-Schwarzの模型が"Ｇ-パリティ射影"によってタキオンが全く無く等しい質量のBose粒子とFermi粒子に対する多様性を持った模型となるように修正できることを示しました。

この修正された模型が世界面超対称性だけでなく時空の超対称性をも有することを推測するのは自然なことです。

1980年代初期には,この問題は忘れ去られていましたが,M.B.GreenとJ.H.Schwarzによって復活され,上記推測は肯定的に証明されました。

そして,スピンのある弦理論の完全に矛盾のないタキオンもない形式において,１ループグラフは完全に有限で紫外発散も無いことが示されました。

一般共変な理論において,１ループグラフの有限性は,それだけでは本来目新しいことではありません。通常の一般相対性は４次元時空での質量殻の上で１ループ有限です。

しかし,一般共変場の理論が１ループ有限のとき,これは運動学的偶然のためであり,相殺項として寄与する正しい次元を持った可能な演算子の欠如を意味します。つまり,１ル－プレベルの超対称弦理論の有限性は保たれるのです。

ループグラフは単に足を縫合したツリーグラフですが,弦理論でのツリーグラフの挙動は超くりこみ可能な場理論のグラフの挙動よりもさらにソフトです。

そこで,結果が無関係な赤外発散などによって曇らされるようなことがない限り,そうしたソフトなツリーから作られたループは有限です。

双対模型の理論,あるいは弦理論は発端からして,種々の状況下で常に紫外発散の問題とは無縁でした。

双対模型の問題点は,むしろ常にアノマリー(anomaly:量子異常)や他の矛盾が全くない形で存在し得るか？ということでした。歴史的には矛盾を除くために多くの困難を克服することが必要でした。

そして,こうした努力の連鎖において最後のリンクが時空の超対称性でした。この最後のリンクを含んで初めて完全に矛盾のない超対称弦理論,つまり超弦理論の形の双対模型が得られました。

理論の完全に矛盾の無い形式では,少なくとも１ループレベルでは無関係な複雑さも無く紫外挙動をチェックできるようになりました。

この問題に対処する大部分の研究者が同じ理由で全てのオーダーまで有限性が成立すると信じていますが,これに対する完全な証明はこの本の時点では現われていません。

1980年代中頃にはさらに継続して劇的な発展がありました。いくつかのハイライトは六角形アノーマリーの相殺,ゲージ群として例外群Ｅ₈×Ｅ₈を持つ新理論の出現,現象学の創始,そして,恐らくそれまで可能であったものよりも深いレベルで,弦理論の対称性構造を理解する試みの始まりでした。

今日はここで終わります。次回からは歴史と離れて,弦理論とは何か?という説明を開始する予定です。

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超弦理論(2)(ヴェネツィアノ振幅と双対性)

　超弦理論(superstring theory)の２回目です。 

一見したところ,Veneziano振幅:Ａ(ｓ,ｔ)＝Γ(－α(ｓ))Γ(－α(ｔ))/Γ(－α(ｓ)－α(ｔ))が双対性(duality)という性質を持つことは自明ではありませんが,以下では実際にそうした性質を持つことを証明します。

そのためには,まず,Eulerのガンマ関数:Γ(ｕ)≡∫₀^∞ｔ^u-1exp(－ｔ)ｄｔの性質を知る必要があります。

　まず,ガンマ関数は,恒等式Γ(ｕ＋1)＝ｕΓ(ｕ)に従います。また,Γ(1)＝1です。

　そこで,ｕが正の整数ならΓ(ｕ)＝(ｕ－1)!となります。積分表示Γ(ｕ)＝∫₀^∞ｔ^u-1exp(－ｔ)ｄｔによれば,ｕの実部が正(Reｕ＞0)である限り,Γ(ｕ)は有限値として定義できるので,Γ(ｕ)は複素ｕ平面のReｕ＞0 の領域には全く特異点を持ちません。

元々,ガンマ関数はReｕ＞0 の領域だけで定義されたのですが,Γ(ｕ)≡Γ(ｕ＋1)/ｕによって,Reｕ＞－1の領域にガンマ関数Γ(ｕ)の定義域を自然に拡張できます。

そして,こう定義すれば,拡張されたガンマ関数Γ(ｕ)は,ｕ＝0 に留数が１の１位の極を持つようになります。

このプロセスは一般化できます。

すなわち,上の操作を繰り返すことによって,Γ関数の定義域を任意の正の整数ｎに対してReｕ＞－ｎの領域に拡張することができます。

つまり,Γ(ｕ)≡Γ(ｕ＋ｎ)/{ｕ(ｕ＋1)..(ｕ＋ｎ－1)によって拡張定義するのですね。

この定義式の右辺は任意の正の整数ｎについてReｕ＞－ｎの領域で一意的に決まるので,結局全複素ｕ平面で元々の定義から解析接続によって定義したとしても,全く同じものが得られるはずです。

こうしてΓ(ｕ)はｕ＝0,－1,－2,..に単純な極を持つ以外には特異性を持たない複素ｕ平面全体で定義された関数であると考えることができます。

そしてｎを非負の整数とするとき,ｕ＝－ｎの近傍での挙動はΓ(ｕ)～{(－1)ⁿ/ｎ!}{1/(ｕ＋ｎ)}で表現されます。

ここで,Eulerのベータ関数と呼ばれる関数:Ｂ(ｕ,ｖ)≡Γ(ｕ)Γ(ｖ)/Γ(ｕ＋ｖ)を導入すれば,Venezianoによる散乱振幅をＡ(ｓ,ｔ)＝Ｂ(－α(ｓ),－α(ｔ))と表わすこともできます。

これまでのガンマ関数に対する考察から,ベータ関数Ｂ(ｕ,ｖ)≡Γ(ｕ)Γ(ｖ)/Γ(ｕ＋ｖ)はｕまたはｖについて,これらが非正の整数となるところに極を持ちます。

しかし,それらが二重極になることは決してありません。

なぜなら,[1/{(ｕ＋ｎ)(ｖ＋ｎ)}]/{1/(ｕ＋ｖ＋2ｎ)}＝1/(ｕ＋ｎ)＋1/(ｖ＋ｎ)となるからです。

これは重要なポイントです。なぜなら,１位の極は相対論的量子論のツリー振幅で唯一許される特異性だからです。

また,Ｂ(ｕ,ｖ)のｖ＝－ｎ(ｎは非負の整数)付近での挙動は,明らかにＢ(ｕ,ｖ)～ {1/(ｖ＋ｎ)}{(－1)ⁿ/ｎ!}(ｕ－1)(ｕ－2)..(ｕ－ｎ)となります。

これもまた重要なステップです。というのも,相対論的量子論では極の留数は多項式でなければならないからです。

Ｂ(ｕ,ｖ)は,固定されたｕに対してはｖの関数としてｖ＝－ｎの近傍ではＢ(ｕ,ｖ)～ {1/(ｖ＋ｎ)}{(－1)ⁿ/ｎ!}(ｕ－1)(ｕ－2)..(ｕ－ｎ)の右辺のような形に表わされ,任意の非負の整数ｎに対してｖ＝－ｎに"特異点＝極"を持ちます。

そこで,次に与える式の右辺の無限和が収束するような Reｕ＞0を満たすｕに対しては,Ｂ(ｕ,ｖ)＝Σ_n=0^∞{1/(ｖ＋ｎ)}{(－1)ⁿ/ｎ!}(ｕ－1)(ｕ－2)..(ｕ－ｎ)と書けるのでは？と予想されます。

ここでの考え方は,上式の右辺の級数和がベータ関数Ｂ(ｕ,ｖ)の全ての特異点とそこでの寄与を再現するというものです。

そして,もしもベータ関数Ｂ(ｕ,ｖ)がこうした無限級数和とは異なるとしたら,その差はｖの整関数であるはずです。

つまり,Ｂ(ｕ,ｖ)には,上記の式の右辺の無限級数に,複素ｖ平面上には全く特異点を持たない関数を加えたものであるという可能性しかありません。

しかし,そうした級数和以外の整関数の項がある場合には,正のｕに対してｖの絶対値が非常に大きい場合,級数和の部分は消えますが整関数の部分があるためにＢ(ｕ,ｖ)が消えるということはありません。

ところが,Ｂ(ｕ,ｖ)≡Γ(ｕ)Γ(ｖ)/Γ(ｕ＋ｖ)なる定義からは,ｕ,ｖが正の整数の場合,Ｂ(ｕ,ｖ)＝Γ(ｕ)Γ(ｖ)/Γ(ｕ＋ｖ)＝(ｕ－1)!/{ｖ(ｖ＋1)..(ｖ＋ｕ－1)です。

そこで,関数Ｂ(ｕ,ｖ)のｕ,ｖに関する連続性から,正のｕに対してｖの絶対値が非常に大きい場合にＢ(ｕ,ｖ)は消えることがわかります。

したがって,結局,Ｂ(ｕ,ｖ)＝Σ_n=0^∞{1/(ｖ＋ｎ)}{(－1)ⁿ/ｎ!}(ｕ－1)(ｕ－2)..(ｕ－ｎ)なる等式は正確に成り立つとせざるを得ません。

こうして,Veneziano振幅に対する級数和として,次のような表現が得られました。

すなわち,Ａ(ｓ,ｔ)＝－Σ_n=0^∞[(1/ｎ!){α(ｓ)＋1}{α(ｓ)＋2}．．{α(ｓ)＋ｎ}/{α(ｔ)－ｎ}]です。

元々,Veneziano振幅はＡ(ｓ,ｔ)＝Γ(－α(ｓ))Γ(－α(ｔ))/Γ(－α(ｓ)－α(ｔ))なる形で明白にＡ(ｓ,ｔ)＝Ａ(ｔ,ｓ)が成立するように定義されたのにも関わらず,級数展開表示では,こうした対称性は明らかには見えません。

しかし,対称性があることは定義から明白で,そのおかげでＡ(ｓ,ｔ)＝－Σ_n=0^∞[(1/ｎ!){α(ｔ)＋1}{α(ｔ)＋2}..{α(ｔ)＋ｎ}/{α(ｓ)－ｎ}]とも表現できることがわかります。

ここで,レッジェ軌跡(Regge trajectory):α(ｔ)として,簡単な１次関係式α(ｔ)＝α'ｔ＋α(0)を採用すれば,α(ｔ)－ｎ＝α'ｔ＋α(0)－ｎ＝α'[ｔ－{ｎ－α(0)}/α']と書けます。

そこで,Ａ(ｓ,ｔ)＝－Σ_n=0^∞[(1/ｎ!){α(ｓ)＋1}{α(ｓ)＋2}..{α(ｓ)＋ｎ}/{α(ｔ)－ｎ}]なる表現式での１/{α(ｔ)－ｎ}＝α'^-1/[ｔ－{ｎ－α(0)}/α']なる因子(ｎ＝0,1,2,..)を,以前に与えた散乱振幅Ａ(ｓ,ｔ)の表現における質量Ｍの交換粒子に対応する因子１/(ｔ－Ｍ²)と係数を除いて同一視します。

元々,レッジェ軌跡は質量ｔの共鳴粒子がその粒子の持つスピンα(ｔ)と,α(ｔ)＝α'ｔ＋α(0)なる線型関係にあることを意味するものです。

それ故,レッジェ極(Regge極):α(ｔ)がｔの１次式であるという選択では,α(ｔ)＝ｎなる極は平方質量がｔ＝Ｍ²＝{ｎ－α(0)}/α'の交換粒子があって,高々ｎのスピンを持つという事実に対応すると考えられます。

そこで,スピンがＪの粒子の可能な最小質量はＭ_J²＝{Ｊ－α(0)}/α'で与えられます。

α'がレッジェの傾きと呼ばれるのは,以上のような理由からでＭ_J²＝{Ｊ－α(0)}/α'を満たすスピンＪ,質量Ｍ_Jの粒子は,"leading Regge trajectory(主レッジェ軌跡)"の上にあると言われます。

ところで我々が関心あるのはα'＞0 のケースのみです。それは,もしもα'＜0 なら,ｔの極に対応する全ての粒子が非物理的なＭ_J²＜0 を満たす虚数質量Ｍ_Jのタキオン(tachyon)になってしまうからです。

Veneziano振幅の２つの表現:Ａ(ｓ,ｔ)＝－Σ_n=0^∞[(1/ｎ!){α(ｓ)＋1}{α(ｓ)＋2}..{α(ｓ)＋ｎ}/{α(ｔ)－ｎ}],およびＡ(ｓ,ｔ)＝－Σ_n=0^∞[(1/ｎ!){α(ｔ)＋1}{α(ｔ)＋2}..{α(ｔ)＋ｎ}/{α(ｓ)－ｎ}]の同等性は,一見不可能と思われた散乱振幅の双対性の実現です。

つまり,同じ１つの散乱振幅が,ｓチャンネルの極の寄与の和としても,ｔチャンネルの極の寄与の和としても表現可能であることが示されたわけです。

しかし,これらの表現では,なお明白でない部分があります。それは,ｓチャンネル,およびｔチャンネルにおける極の留数の符号です。

先に,散乱振幅をＡ(ｓ,ｔ)＝－Σ_Jｇ_J²(－ｓ)^J/(ｔ－Ｍ_J²)と表現しましたが,このときのスピンＪの交換粒子に対応する項の結合定数の平方ｇ_J²は,もちろん正の数です。

そこで,Ａ(ｓ,ｔ)＝－Σ_n=0^∞[(1/ｎ!){α(ｓ)＋1}{α(ｓ)＋2}..{α(ｓ)＋ｎ}/{α(ｔ)－ｎ}]なる表式においても,対応するスピンＪの項:－{1/(α'Ｊ!)}{α(ｓ)＋1}{α(ｓ)＋2}..{α(ｓ)＋Ｊ}/(ｔ－Ｍ_J²) (Ｍ_J²≡{Ｊ－α(0)}/α') の－(－1)^J/(ｔ－Ｍ_J²)の係数を与える留数も正であるべきことが要求されます。

ところが,これは自明とは言い難いむずかしい問題だったのです。

そして,"双対共鳴模型(dual resonance model)＝Veneziano模型"において,はるかに初期の仕事は専らこの問題の解決に関するものでした。

結局,この問題を解決することが,有名な"ノー・ゴースト定理(no-ghost theorem)"と呼ばれる重大な定理に結実したのです。

この"ノー・ゴースト定理"はα(0)の値と時空の次元に対して,ある驚くべき制限を課すなら,ゴースト,あるいは負の留数は存在し得ないということを主張するものです。

特に,時空の次元は26であるべきで,レッジェ軌跡α(ｓ)＝α'ｓ＋α(0)の切片:α(0)がα(0)＝１を満たす必要がある,という制約が課せられるべきであるという結果を得ました。

ここでは,序章の説明なのでこの程度にして,これらの内容については改めて続く章で詳述する予定です。

次に,後で必要になるので,Veneziano振幅の別の積分表示を求めておきます。

まず,ｕ,ｖの関数Ｃ(ｕ,ｖ)≡∫₀¹ｄｘ[ｘ^u-1(1－ｘ)^v-1]を考えます。部分積分によって,Ｃ(ｕ－1,ｖ＋1)＝∫₀¹ｄｘ[ｘ^u-2(1－ｘ)^v]＝{ｖ/(ｕ－1)}∫₀¹ｄｘ[ｘ^u-1(1－ｘ)^v-1]＝{ｖ/(ｕ－1)}Ｃ(ｕ,ｖ)なる関係式を得ます。

同様に,Ｃ(ｕ＋1,ｖ)＝∫₀¹ｄｘ[ｘ^u(1－ｘ)^v-1]＝∫₀¹ｄｘ[ｘ^u-1(1－ｘ)^v-1]－∫₀¹ｄｘ[ｘ^u-1(1－ｘ)^v]＝Ｃ(ｕ,ｖ)－Ｃ(ｕ,ｖ＋1)です。そして,明らかにＣ(1,1)＝1です。

一方,Eulerのベータ関数Ｂ(ｕ,ｖ)＝Γ(ｕ)Γ(ｖ)/Γ(ｕ＋ｖ)も,Ｂ(ｕ－1,ｖ＋1)＝Γ(ｕ－1)Γ(ｖ＋1)/Γ(ｕ＋ｖ)＝{ｖ/(ｕ－1)}Ｂ(ｕ,ｖ),Ｂ(ｕ＋1,ｖ)＝Γ(ｕ＋1)Γ(ｖ)/Γ(ｕ＋ｖ＋1)＝ｕΓ(ｕ)Γ(ｖ)/{(ｕ＋ｖ)Γ(ｕ＋ｖ)}＝Ｂ(ｕ,ｖ)－Ｂ(ｕ,ｖ＋1),およびＢ(1,1)＝1なるＣ(ｕ,ｖ)と全く性質を有します。

これらのことから,Ｃ(ｕ,ｖ)＝Ｂ(ｕ,ｖ)であると結論されます。

すなわち,ベータ関数Ｂ(ｕ,ｖ)は,Ｂ(ｕ,ｖ)＝∫₀¹ｄｘ[ｘ^u-1(1－ｘ)^v-1]とも積分表現されることがわかります。

したがって,Veneziano振幅は,Ａ(ｓ,ｔ)＝∫₀¹[ｘ^-α(s)-1(1－ｘ)^-α(t)-1]ｄｘなる積分表示を持つことがわかりました。

これはとても重要な式です。というのも弦理論で散乱振幅を計算する際のアプローチで通常Veneziano振幅が出現するのは,大抵はこの形だからです。

次に,Veneziano振幅の高エネルギーでの漸近的な挙動を調べてみます。そのため,まず,第一に固定したｔと大きいｓというレッジェ領域を想定します。

これはｓチャンネルでの小角度散乱に対応します。そしてレッジェ極理論では現象学として見られる双対性を体現します。

さて,Veneziano振幅:Ａ(ｓ,ｔ)＝Γ(－α(ｓ))Γ(－α(ｔ))/Γ(－α(ｓ)－α(ｔ))の高エネルギーでの漸近的な挙動を調べますが,これはガンマ関数の挙動を調べればわかります。

ガンマ関数:Γ(ｕ)＝∫₀^∞ｄｔ[t^u-1exp(－ｔ)]のｕ→ ∞での漸近形は,既にStirlingの公式としてΓ(ｕ)～(2π)^1/2ｕ^u-1/2exp(－ｕ)となることがわかっています。

この漸近式は,正の実数ｕだけでなく,Γ(ｕ)が極を持つ負の実軸から十分離れている限り,絶対値が非常に大きいｕに対しては常に正しい式であることがわかります。

したがって,α(ｓ)→ ∞では,Ａ(ｓ,ｔ)～Γ(－α(ｔ))(－α(ｓ))^-α(s)-1/2(－α(ｓ)－α(ｔ))^{α(s)+α(t)+1/22}exp{－α(ｓ)}exp{α(ｓ)＋α(ｔ)}となります。

そこで,結局,Ａ(ｓ,ｔ)～ Γ(－α(ｔ))(－α(ｓ))^α(t)なる漸近形が得られます。ｓの大きいところでも,線型のレッジェ軌跡α(ｓ)～α'ｓを仮定すれば,Ａ(ｓ,ｔ)～ｓ^α(t)(as ｓ→ ∞)と表わされます。

これらの結論は,ｓが正の実軸にあまり近づかない限り,複素ｓ平面での大きい|ｓ|に対して正しい評価式です。

正確には,実際の散乱の物理的領域は排除される領域に相当するので,こうした制限の内容に関しても論じる価値があります。

実際,本質的に物理的領域では非常に大きいｓに対してさえ,散乱振幅Ａ(ｓ,ｔ)は多くの零点や極を持った急変動関数であり,これらは共鳴の存在を反映するものです。

しかし,Ａ(ｓ,ｔ)～ Γ(－α(ｔ))(－α(ｓ))^α(t)～ｓ^α(t)は,零点や極にわたる平均という意味で正しい性質を示しています。

この平均化操作においては,入射エネルギーｓに程よい虚部を与えるのが理にかなった方法です。

というのも,一般に現実の共鳴は有限な寿命を持つ不安定な存在だからです。この,共鳴が不安定粒子であるという性質は,散乱振幅Ａ(ｓ,ｔ)においては,量子補正としてその極の位置に虚部を与えることに相当します。

そこで,Veneziano振幅の実軸上のそれぞれの極に虚部を与えることで,極を動かす量子補正の効果を模倣することができます。

漸近公式Ａ(ｓ,ｔ)～ｓ^α(t)を,単一のスピンＪの粒子交換の散乱振幅への寄与を与える一般的な公式Ａ_J(ｓ,ｔ)＝－ｇ²(－ｓ)^J/(ｔ－Ｍ²)と比較してみます。

固定したｔでｓが大きいときの後者の漸近的な動きはＡ_J(ｓ,ｔ)～ｓ^Jですから,前者Ａ(ｓ,ｔ)～ｓ^α(t)はｔに依存する角運動量Ｊ＝α(ｔ)の粒子のｔチャンネル交換から生じる漸近的な挙動と同等です。

したがって,ｓの高エネルギーでは任意に大きい角運動量の粒子のｔチャンネル交換の無限和が,ｔ依存の有効角運動量Ｊ＝α(ｔ)を持つ単一の架空粒子の交換の寄与だけで効果的に記述できることになります。

これはレッジェ理論の１つの魔法であると感じられます。

　α(ｔ)＝α'ｔ＋α(0)なる関係式では,前述したような理由でα'＞0 ですから,弾性散乱の物理的領域(ｔ＜0,ｓ＞0)で,少なくともｔが絶対値が十分大きい負の値である限り,α(ｔ)も負です。

　したがって,ｔが絶対値が十分大きい負の値である限り,大きいｓでの散乱振幅の動きは緩やかです。これはある意味,双対共鳴モデルの高エネルギーでの挙動は如何なる種類の場の理論,超繰り込み可能な場理論よりもはるかにソフトであるという事実の実例になっています。

　次に,レッジェ極限の代わりに,固定した散乱角についての高エネルギー極限でのVeneziano振幅を考えてみます。

　ｓ,ｔ,および質量中心系での散乱角θ_sの関係は,2ｔ＝－ｓ(1－cosθ_s)で与えられることは容易にわかります。

　そこでｆ(θ)≡cosθ－1とおけば,α(ｓ)～α'ｓ,α(ｔ)～α'ｔ＝－α'ｓ(1－cosθ_s)/2＝α'ｓｆ(θ_s)/2～α(ｓ)ｆ(θ_s)/2 です。

Veneziano振幅の定義:Ａ(ｓ,ｔ)＝Γ(－α(ｓ))Γ(－α(ｔ))/Γ(－α(ｓ)－α(ｔ))とStirlingの公式:Γ(ｕ)～(2π)^1/2ｕ^u-1/2exp(－ｕ)(ｕ→ ∞)を用います。

,散乱角θ_sを固定したままｓ→ ∞ としたとき,絶対値としてα(ｓ),α(ｔ)→ ∞ なので,そのときの振幅Ａ(ｓ,ｔ)の漸近形を見積もることができます。

ただし,ｕ→ ∞ではΓ(ｕ)～(2π)^1/2ｕ^u-1/2exp(－ｕ)のｕ^u-1/2はｕ^uで近似できるとして,Γ(ｕ)～(2π)^1/2ｕ^uexp(－ｕ)とします。

すると,Ａ(ｓ,ｔ)～(2π)^1/2(－α(ｓ))^-α(s)(－α(ｔ))^-α(t)/(－α(ｓ)－α(ｔ))^-α(s)-α(t)～(2π)^1/2(－α'ｓ)^-α(s){－α'ｓｆ(θ_s)/2}^-α(t)/[－α'ｓ{ｆ(θ_s)/2＋1}]^-α(s)-α(t)です。

そこで,Ａ(ｓ,ｔ)～Ｃ[ｆ(θ_s)]^{-α(s)ｆ(θs)/2}/[－α'ｓ{ｆ(θ_s)/2＋1}]^{-α(s){1＋ｆ(θs)/2}}＝Ｃ[{ｆ(θ_s)^ｆ(θs)/2}/{ｆ(θ_s)/2＋1}^{{1＋ｆ(θs)/2}}]^-α(s) です。

すなわち,Ｆ(θ)≡Ｃ^-1/α(s){ｆ(θ)^ｆ(θ)/2}/{ｆ(θ)/2＋1}^{{1＋ｆ(θ)/2}},ｆ(θ)≡cosθ－1とおけば,振幅Ａ(ｓ,ｔ)の漸近形が固定散乱角θ_sのみの関数のｓ乗になるという表現:Ａ(ｓ,ｔ)～{Ｆ(θ_s)}^-α(s)～[{Ｆ(θ_s)}^-α']^sに書けることが示されます。

今日はここで終わります。 

参考文献:M.B.Green,J.H.Schwarz,& E.Witten著「superstring theory」(Cambridge University Press)

ＰＳ:本当は"超弦理論"どころではなくて,先週末の３連休に読んだ20ページ程度の電磁エネルギー運動量テンソルに関する論文をブログで紹介したいと考えていたのです。

　しかし,その中の屈折率と電磁運動量の関係についての式の解釈について,このところずっと悩んでいたのです。

　量子論で,物質中で屈折して光速が遅くなったときの光子のエネルギー,運動量と古典論での電磁波の電束の連続性や現象論としての誘電率などとの関連を考えて,電磁気学だけでなく電磁光学や量子光学の本を一杯ひっくり返しています。

　まあ,いずれは考えがまとまると思うので,それまで"超弦理論"のシリーズでつなぎます。

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超弦理論(1)(初期の双対模型(dual model))

今日から,シリーズ記事の１つとして超弦理論(superstring theory)を取り上げることにします。

1990年代の終わり頃には,超弦理論の知見に関して私は高々啓蒙書レベルだったのですが,当時それについて少し専門的に勉強しようと思い立ち入門テキストとしてB.Green,J.H.Schwarz,& E.Witten著の「superstring theory」(Cambridge University Press)を購入して,読み始めたのでした。

気紛れですが急に思い立って,今日からその当時の勉強ノートのレビューを書いてみようと思います。

これは,もちろん私自身の覚え書きでもあります。

昔から英語は苦手なせいもあって,1999年7月12日から大体１日１ページのペースで読み進んでいました。

ところが,実は2000年の３月末頃にVolume1Ⅰ(第Ⅰ巻)の267ｐのたった１行＝第５章"Space-time supersymmetry in string theory(超弦理論における時空の超対称性)での"Super Poincare algebra(超ポアンカレ代数)"の節でのある１式が理解できず,１ヶ月以上も考えたり調べたりして悩んだ末に,そこで中途止めになっていました。

しかし,６年ぶりにふとその部分を見たら,何と一発で理解できたので,また2006年１月から読書を再開しました。

でも.すぐに278ｐまで読んだところで,またしてもスピン群の直積表現の既約表現への分解の項目が理解できなくて,改めて線型リー群の表現論から勉強し直しているうちに,他に興味が移って投げ出したのでこれの読解はまた中途で止まっています。

(まあ,英語で２巻で1000ページ程度の本とはいっても,文章だけを追って式のチェックもせずに流し読みしていたなら,いくら何でも20世紀から今まで８年くらいも経てば読み終わっていたはずだとは思います。

例えば,日本語の本でも,２巻で550ページくらいの専門書を精読したときには,１行足らずでもいくら考えてもわからなければ本屋や図書館で対象としている本の10倍以上の参考書を見たりして調べる,または図書館で原論文を探したりして中には数ヶ月も塾考を重ねて理解に努め,

全く聞ける人もなく完全独学で何とか99％理解して読了するまで４年かかったというのもありますから,式を追いかけて理解しながら精読すれば英語の大部だと20世紀から今までかかっても読了できない,というのは決して不思議ではないです。

もちろん,その間も全く無関係に生活のための仕事は欠かせないので,こうして勉強するといっても,それは平日の夜中か休日にやるしかありませんから,まともにやってると歳を食うばかりです。

しかし,大学受験勉強の時代にやっていたように,極端な話をすれば英語の単語を覚えるために辞書を破っては食べるというように時間に追われて無理矢理記憶するという類の勉強は大嫌いだし,お上から資格を頂くというのも好きではないので,資格試験など受けるための勉強をしたことはなく,大学で普通に取れる教員免許の資格さえ持っていません。

でも,今は試験を受けるときのように他人より早く理解できなければ意味がないというわけでもなく,別に知識として蓄えたりする必要もないので,理解するためには徹底的に調べるけどそれで記憶するというわけではないので,ちょっと離れるとすぐ忘れてしまいます。

しかし,気にすることはなく必要ならまた調べればいい,というような気の長い勉強ならむしろ好きな方ですね。)

とりあえず,投げ出したところまでは,再考しつつ進み,できたらそれから先もゆっくり読んで理解できるように努力しようと思います。

一応,ブログに書いていけば何だか長続きしそうな気がします。

超弦理論は素粒子の基礎理論候補として有望な理論ですが,これは未だ確立されたものではなく,候補となる新理論はこればかりではないし,今のところ正しいとも間違っているとも検証不可能です。

また,他に日本語訳書としてもっと新しいテキストのポルチンスキー(Polchinski)もあるので,この本の理解だけにモチヴェーション維持し続けるのも結構大変です。

しかし,これまでは何であろうとくだらないと思って放り投げた場合を除けば,専門書は読み始めたものは何年かかっても理解できるまで粘って読み終えてきたので,これも最後まで読めるようにトライしてみようと思います。

まずは,Chapter.1 Introduction(第1章:序文)からです。弦理論の歴史を述べている章ですね。

さて,1900年にPlanckの黒体輻射から量子論が始まりました。その後,1960年代には新粒子の発見,特にハドロン(hadron)の発見が相次ぎました。

これは強い相互作用の分野でのハドロンの共鳴として分類され,特にレッジェ軌跡(Regge trajectory)を作るものとして注目されました。

すなわち,比較的軽い粒子の質量ｍの平方とその粒子のスピン(spin):Ｊの間に"比例関係＝直線関係":ｍ²＝Ｊ/α'(α'～１GeV)がある,というものです。

こうした挙動は,およそ,スピンがＪ＝11/2の粒子まで成り立つことがテストされており,このレッジェ・スロープは無限に続くのではないか？と予想されました。

(この辺りのＳ行列の解析性などの関連の話は2007年の8/21～10/1のR.Omnes & M.Froissartの著書「Mandelstam theory and Regge Poles」について解説した記事「Ｓ行列とレッジェ理論」の(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) (13) (14) (15) に詳述していますので,興味があれば参照してみてください。)

共鳴の個数はあまりにも多く,それらの全てが基本粒子であるとは考えられず,当時,高いスピンの素粒子についての首尾一貫した理論の存在は知られていませんでした。

そして整合的で,くりこみ可能な場の量子論は,スピンが0,1/2,1のそれに限られているように見えて,既知の理論は可換ゲージ理論とスカラー理論,そして湯川理論くらいでした。

合理的な場の理論は低い値のスピンを扱うケースに限定されていることが多い,ということについては現在でもあまり状況は変わらないと思われますが,現在ではスピンが１の無矛盾な理論の中に非可換ゲージのヤン・ミルス理論(Yang-Mills theory)が含まれています。

合理的な場の理論でのスピンの限定は,スピンとして1/2,1を持つ粒子だけの電磁相互作用において成功を収めたＱＥＤ(量子電磁力学)と同じ場の理論的記述と矛盾しなかったし,少なくともその後すぐに展開された弱い相互作用での試みとも両立しました。

しかし強い相互作用への同様なアプローチは成功の見込みがありませんでした。

強い相互作用における困難は散乱振幅の高エネルギーでの挙動に関連していました。

例えば運動量がｐ₁,ｐ₂のスピンゼロの入射粒子が運動量がｐ₃,ｐ₄の粒子に散乱される弾性散乱を考えます。　

　↑図1-1:入射運動量ｐ₁,ｐ₂,散乱運動量－ｐ₃,－ｐ₄のスピンゼロ粒子の弾性散乱 (ｓ-チャンネルとｔチャンネルの両方を示す。伝統的場の理論では散乱の総振幅はｓ-チャンネルとｔチャンネルの両グラフの寄与の総和で構成される。)

単位を自然単位に取り４元運動量がｐ_i^μ＝(Ｅ_i,ｐ_i),ｐ_iμ＝(Ｅ_i,－ｐ_i)(ｉ＝1,2,3,4)と表わされる計量(metric)を採用すれば,Mandelstam変数と呼ばれる運動学的変数ｓ,ｔ,ｕはｓ＝(ｐ₁＋ｐ₂)²,ｔ＝(ｐ₂＋ｐ₃)²,ｕ＝(ｐ₁＋ｐ₃)²と定義されます。

ただし,粒子の運動量の符号は全てが１つの標的に向かうように取ります。つまり,入射粒子の運動量はｐ₁,ｐ₂ですが散乱粒子の運動量は本来は－ｐ₃,－ｐ₄と書かれるべきものです。

このときｓ,ｔ,ｕは恒等式ｓ＋ｔ＋ｕ＝Σ_i=1⁴ｍ_i²を満たします。

弾性散乱される外的スカラー粒子の属性は３つのフレイバー(flavor)自由度についてのＳＵ(3)群の随伴表現で変換するπ中間子のような粒子と仮定し,ｉ番目の外的粒子のフレイバー量子数はその生成子の表現行列λ_iで特徴づけされるとします。

この散乱振幅には群論因子tr(λ₁λ₂λ₃λ₄)(tr(Ａ)は行列Ａのtrace(対角和))に比例する項が存在しますが,この群論因子は1,2,3,4の巡回置換に対して不変なので,ボーズ統計(Bose統計)により対応する散乱振幅の項もｐ₁,ｐ₂,ｐ₃,ｐ₄の巡回置換の下で対称であることが要求されます。

そしてMandelstam変数においては上記の置換に対する対称性は散乱振幅Ａ(ｓ,ｔ)のｓ⇔ｔの交換対称性に対応します。

つまり,ｓチャンネルとｔチャンネルの交叉対称性(crossing symmetry)です。

通常の場の量子論では,散乱振幅への無視できない主な寄与は摂動の基本的なツリーグラフ(tree diagram)に由来しますが,高スピン粒子に対する明確な場の理論の構成がむずかしい根本的な理由は高スピン粒子を交換する摂動グラフの高エネルギーでの挙動の扱いがむずかしいからです。

すなわち,散乱振幅が漸近的にはユニタリ性(unitarity)の限界を超えます。

例えば入射ｐ₁,ｐ₄が弾性散乱されてｐ₂,ｐ₃になると見るｔチャンネルのグラフを想定し,そのチャンネルで散乱される粒子場は単一種類で,それをφ,散乱の中間状態の粒子場をσで記述することにします。

このとき,もしσのスピンがゼロなら相互作用はφ^*φσなる形であり,振幅は単純にＡ(ｓ,ｔ)＝－ｇ²/(ｔ－Ｍ²)となるはずです。

ただしｇは結合定数,Ｍはσで記述される粒子の質量です。この振幅は今論じている相互作用の高エネルギーの１つの方向であるｔ→ ∞ の極限では消えます。

一方,σがスピンＪの場＝テンソル場σ_μ1μ2..μJであるとすれば,相互作用項の形は,φ^*∂^⇔_μ1∂^⇔_μ2..∂^⇔_μJφσ^μ1μ2..μJのようなものでなければなりません。

ただし,φ^*∂^⇔_μφ≡φ^*∂_μφ－(∂_μφ^*)∂φと定義されています。

φの方がスカラー粒子なら,ｔチャンネルでのスピンがＪの粒子σの交換の散乱振幅への寄与Ａ_Jは,高エネルギーではＡ_J(ｓ,ｔ)＝－ｇ²(－ｓ)^J/(ｔ－Ｍ²)なる形を取るはずです。

なぜなら,運動量表示でのφ^*∂^⇔_μ1∂^⇔_μ2..∂^⇔_μJφσ^μ1μ2..μJの２つの頂点(vertex)の寄与は,{(－i)(ｐ₁－ｐ₄)(－i)(ｐ₂－ｐ₃)}^J＝(ｕ－ｓ)^Jです。

そして,μを粒子φの質量とすればｓ＋ｔ＋ｕ＝4μ²なので,ｕ－ｓ＝4μ²－2ｓ－ｔと書けますが,4μ²は小さいのでｔを固定するとｓ→ ∞ の高エネルギー極限では,ｕ－ｓ～ －2ｓとなります。

そこで,ｓ→ ∞ では(ｕ－ｓ)^J ～ (－2ｓ)^Jですから,正しくはＡ_JはＡ_J(ｓ,ｔ)＝－2^Jｇ²(－ｓ)^J/(ｔ－Ｍ²)となります。

そこで,ｓ→ ∞ の高エネルギーでの摂動グラフの散乱振幅への寄与Ａ_Jは交換粒子のスピンＪが,Ｊ＜１を満たす場合なら収束しますが,Ｊ＞１の高スピン粒子を交換する場合は発散します。

この振幅はＪが大きくなるとどんどん"悪く"なるわけです。(つまりより発散するようになります。)

↑図1-2:(1-loop-graphは２つのtree-graphsを縫合することによってつくることができる。)

何のために"悪い"振幅なのかという客観的判定条件は,図1-2のようにループを作るのにＡ_J(ｓ,ｔ)＝－ｇ²(－ｓ)^J/(ｔ－Ｍ²)のような振幅を縫い合わせると何が生じるのか？を問うことです。

１ループグラフの寄与は,空間がｎ次元なら１-ループ積分:∫ｄⁿｐＡ(ｓ,ｔ)²/(ｐ²)²で与えられます。

そこで,空間が４次元,つまりｎ＝４では,Ａ_Jが同じくJ＜１に対して収束し,Ｊ＞１に対しては発散するのでくりこみ不可能,Ｊ＝１ならくりこみ可能な対数発散です。

そうして,ｔチャンネルで交換される種々のスピンＪを持った質量Ｍ_Jの相互作用粒子による寄与を総和すると,Ａ(ｓ,ｔ)＝－Σ_Jｇ_J²(－ｓ)^J/(ｔ－Ｍ_J²)と書けます。

ただし,結合定数ｇ_J²の中には,例えば上の2^Jのような因子も含め,スピンＪの交換粒子と関わる量子数などに起因する全ての情報因子が含まれているとします。

もちろん,強い相互作用は結合があまりに強くて,このようなボルン級数での近似をするのは意味がないという見解をとることも可能です。しかし,とりあえずは楽観的に考えてこうした手法が可能と考えます

もしも,Ａ(ｓ,ｔ)＝－Σ_Jｇ_J²(－ｓ)^J/(ｔ－Ｍ_J²)の右辺が有限和であるならｓ→ ∞ の高エネルギーでの散乱振幅Ａ(ｓ,ｔ)の挙動は,右辺に寄与する最大のスピンＪを持つハドロンの項ｓ^J に比例する支配的な項から決まるはずです。

しかし,自然界で観測される振幅の高エネルギーでの挙動は,これとは大きく異なっていて右辺のどの項の挙動よりもはるかに緩やかです。

したがって,散乱振幅が観測される結果と適合するためには,Ａ(ｓ,ｔ)＝－Σ_Jｇ_J²(－ｓ)^J/(ｔ－Ｍ_J²)の右辺の級数が有限級数であると考えるのは合理的ではないことになります。

右辺の級数が無限級数であるとすれば,それは確かに最高スピンのハドロンを交換した振幅のようには見えません。

そして,丁度,"exp(－ｘ)＝Σ_n=0^∞(－ｘ)ⁿ/ｎ!なるベキ級数展開では,ｘ→ ∞ としたとき,左辺の和:exp(－ｘ)の絶対値が右辺の級数の各項のｘ→ ∞での絶対値(＝∞)よりも小さくなる"という例と同じく,

Ａ(ｓ,ｔ)＝－Σ_Jｇ_J²(－ｓ)^J/(ｔ－Ｍ_J²)なる級数展開表現では,ｓ→ ∞ において,右辺の有限なＪに対応する如何なる項よりも左辺のＡ(ｓ,ｔ)の方がソフトな挙動をすることも有り得ます。

級数和が無限和であると見なすことからは,もう１つ別の帰結も生み出されます。

すなわち,πの弾性散乱のような物理的過程ではＡ(ｓ,ｔ)＝－Σ_Jｇ_J²(－ｓ)^J/(ｔ－Ｍ_J²)の右辺におけるようなｔチャンネルの極:ｔ＝Ｍ_J²が主要な役割を果たすと予想されます。

しかし,先に述べたように群論因子tr(λ₁λ₂λ₃λ₄)に由来するＡ(ｓ,ｔ)のｓ-ｔ交叉対称性があるため,ｓチャンネルにも共鳴によるｓの極があると予想されます。

ところが,Ａ(ｓ,ｔ)＝－Σ_Jｇ_J²(－ｓ)^J/(ｔ－Ｍ_J²)の右辺の級数が有限級数である場合には,全てのスピンＪが非負の値なので固定したｔに対して,これは明らかにｓの極を持ち得ません。

通常の場の量子論では,散乱振幅に寄与する摂動グラフとしてｓチャンネルのグラフとｔチャンネルのグラフの両方を対等な寄与として含めますから,それぞれの級数が有限級数でもｓ-ｔの交叉対称性は満足されています。

しかし,もしもＡ(ｓ,ｔ)＝－Σ_Jｇ_J²(－ｓ)^J/(ｔ－Ｍ_J²)の右辺が無限級数であるなら,各項には有限なｓの極がなくても無限和が有限なｓの極を持つことが可能なので,ｓチャンネルを想定したグラフによる単独の寄与だけでも,十分にｓ-ｔの交叉対称性が満たされる可能性があることになります。

すなわち,Ａ'(ｓ,ｔ)＝－Σ_Jｇ_J²(－ｔ)^J/(ｓ－Ｍ_J²)として,Ａ(ｓ,ｔ)＋Ａ'(ｓ,ｔ)を全散乱振幅とするのではなく,両者でのｇ_J²,Ｍ_J²を巧妙に選んで共に無限級数とすれば,Ａ(ｓ,ｔ)＝Ａ'(ｓ,ｔ)とできるのではないかと予測されます。

ｓチャンネルとｔチャンネルの等価性は1968年頃にDoren,Horn,Schmidによって論じられ,彼らは実験データの助けにより,小さいｓ,ｔでは近似的にＡ(ｓ,ｔ)＝Ａ'(ｓ,ｔ)が従うことを主張しました。これは双対性(duality)の仮定と呼ばれています。

双対性の仮定:Ａ(ｓ,ｔ)＝Ａ'(ｓ,ｔ)に正確に従うｇ_J²とＭ_J²を選ぶことはほとんど不可能に見えましたが,1968年にこれを可能にする方法がヴェネツィアノ(Veneziano)によって発見されました。

すなわち,Ａ(ｓ,ｔ)＝Γ(－α(ｓ))Γ(－α(ｔ))/Γ(－α(ｓ)－α(ｔ))とおけば,これは双対性を満たします。

これをVeneziano振幅と呼びます。ここで,ΓはEulerのガンマ関数:Γ(ｕ)＝∫₀^∞ｔ^u-1exp(－ｔ)ｄｔです。また,α(ｓ)はｓの関数としてのスピンの値を示すレッジェ軌跡です。

Venezianoはレッジェ理論で,それぞれレッジェ軌跡曲線の傾きと切片として知られているα'とα(0)を用いて,レッジェ軌跡としてα(ｓ)＝α(0)＋α'ｓなる１次式を仮定しました。

今日はここで終わります。 

参考文献:M.B.Green,J.H.Schwarz,& E.Witten著「superstring theory」(Cambridge University Press)　

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リーマン破綻の余波!!

　今はその時代とは違うけど,第２次大戦勃発の契機となったウォール街の恐慌以上の経済破綻が起こっているというのに,アメリカでも日本でもいかにものんきですね。。

　もう一部投資家の損得だけの問題じゃないと思いますが。。

　そういえば数年前,リーマンの普通の社員の夏か冬のボーナスが７千万円とかとのトピックを読んだときには,こんなのが本当に長続きするの？とか思ったけど,まあ,今となっては結果論ですが。。。

　小泉が悪いとか,安倍が福田がとか。。などと批判があるけど,私は上部構造の政治などに,そんなに社会を左右するほどの力も責任もあるはずがないと思っています。。

　大店法廃止などや郵政の民営化も含め,規制緩和の影響は大きいけれど,それは時代の下部構造の趨勢に乗った流れにすぎません。。

　実際,バブルになったのもバブルが崩壊したのも決して政治のせいではないと思いますし,国や公共団体などが介入して何らかの経済への力になるとしてもそれは大手企業の不良債権の解消など"社会的な歯止め"としての意味だけだと思います。。

　だからといって,別に選挙するのがのんきだなどと主張してるのじゃなく,逆に政治の力なんて,あるいは選挙期間程度の空白なんて大したことはないと主張してるんです。。

　たとえ,経済的にどんな大変な事態の最中であろうと,例えば極端な話ナチスとか封建的な恐怖政治をやる独裁政権のようなものが上に君臨していて,その政権が当面の緊急事態に対処するのだとしたら,そういうのはもっと危ないので,まず先にやっかいな危険政権には引退してもらって,もっと安全な政府にするのが先決なのは当然ですね。。。

PS:実は自分自身の経済破綻の方が深刻だったりします。誰か不良?債務をなんとかしてくれないかな。。。

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峰岸徹さんが亡くなられました。(肺ガンです。)

　峰岸さんというと,つい岡田有希子さんの自殺を思い出すけど,彼はスケープゴートで実際には彼女はＭ．Ｋさんとの関係で自殺したらしいと聞いています。

　以前の名前は峰岸徹でなく峰岸龍太郎ではなかったでしょうか。。結構悪役風のものに出ておられたと思いますが。。　

　　　　　　　　

　私の記憶は大林作品でしょうか。。イヤ,ミーハーですねぇ

　「ねらわれた学園」が印象に残っています。↓

　　　　

　私は当時も今もミーハーなのでこの映画を見たのも,当時アイドルだった薬師丸ひろ子チャンを見るという目的だけだったのですが。。。

　(ＰＳ：記憶違いか？調べてみたらどうも昔の芸名は峰岸龍之介らしいです。)

　私はといえば,シリアスよりもミーハーな芸能記事の方が好きなので,緒方拳さんより,岡田有希子さんの関連で峰岸さんの訃報に目が行ったのでした。。。　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　合掌!!　

日々の雑感!今日は休日だ

　映画「スーパーマンⅡ」で,超能力を失なってもいいと決意して普通の人間になり,恋人ロイスを侮辱から守ろうとして普通の男と殴り合いをしても負けてしまうクラーク・ケント,それでも恋人の気持ちは以前と同じのままなのだろうか？

　まあ,逆に母性的同情は生まれているのだろうが。。。

　暴走族「八州連合」の長であった矢島金太郎から,外見や正義感が強く男気があるという性格については全く同じだが"サラリーマンにしては桁外れにケンカが強い"という属性を取り去ってしまって,上司やヤクザに啖呵は切るけれど実際にケンカをするとボコボコにやられるとしたら,彼の人間としての価値は半分以下に減ってしまうのだろうか？

（あ,そうか。。ケンカ以外のそれに対抗できるくらいのファクターで置き換えればいいんだった。。。

　昔,武士であれば剣術に強いことがステイタスだった時代から,今なら丁度ノーベル賞や「ガリレオ」や「容疑者Xの。。」のテーマであるようなよくできる学者であるとか。。の別の要素とかね。。。)

　これらはフィクションですが,人間にタラレバはないですね。。

　両親から受け継いだ遺伝子(身長,体重,容姿,そして血液型？)と生まれたときの境遇(生まれた国,故郷,親がいるのか孤児か,あるいはシングルマザー,やシングルファーザーか,兄弟や姉妹がいるのか,それともひとりっ子か,家柄がセレブか,あるいホームレスレベルか,,そして星座？),

　そして成長過程の環境(自分の暮らしてきた時代背景)や経験,それらの要素の総体によって決められた現在の性格,外見,知力,体力,腕力などのあらゆる属性が彼の価値を決めるものだというのが常識的な見解なのでしょうね。。

　やはり,なんかむなしいなあと感じます。。。

　私は今はもちろん,年寄りに入りかかったという歳ですが,近年は病気のせいもあって,かなり衰えて外見は年齢以上にヨボヨボのジジィになったせいか,昨今は夜に男二人連れで歩いていて,たまたま酔っ払いにケンカを売られて,ついそれを買っても連れがケンカを買ったと勘違いされて相手にもされなくなったのも悲しいことです。。

　もっとも,それでまともにケンカしても,ひょっとしたら少し殴られたくらいで簡単に死ぬかも知れないので,相手に必要以上の罪状がかかって迷惑がかかるかも知れないしなぁ。。。

　(実際,昔飲み屋で左隣にチンピラ風の若造がいて「オッサンが粋がったせいで俺が殴って,もしかしてあんたが死んだら殺人罪になって損するのはワシや」みたいなこと言われたことがあるなあ。。)

　ありゃりゃ。また素面でお茶飲んだだけで酔っ払っている。(おチャケか？)　相変わらず極楽トンボだな。。こりゃこりゃ。。。

　(松坂も岩村も頑張ってるなあ。。。岩村のいるレイズ(旧・デビル・レイズ)の頑張りは,ずいぶん昔にビデオで見た「メジャーリーグ」という映画の中でお荷物球団であった実在のインディアンスの活躍を彷彿させますね。

　エースだったかストッパーだったかは忘れましたが,確かマーチン・シーンの息子のチャーリー・シーンがほぼ主役のインディアンスのピッチャーをやっていて彼が登板するとテーマ・ソングがかかっていましたね。)

　あまり経験はないけど,自分自身がカメラを向けられると,あがったり完全にヨソゆきのキャラに変わってしまう性質(たち)なので,テレビでのライブやライブもどきの放送の映像の中で垣間見られるタレントなどの姿にしても,カメラを意識するタイプかそうでないかとか,キャラを演じているのか,それともほぼ素のままかとかが気になって,ドラマやスポーツ,ドキュメンタリーのようなものを見るときのように素直には見られません。

　例えば,メジャーなところには登場しない歌手とかではなく,テレビに出てくるタレントのファンになっても,そのタレントの実際とのギャップが気になってしょうがないとしたら,そんなのは本当のファンではないんだろうなあ

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相対論の幾何学(第Ⅱ部-3)(多様体上のテンソル場)

相対論の幾何学の続きです。 

Ｍを１つのｍ次元微分可能多様体とします。

今,ゼロを内部に含む区間(ａ,ｂ)とＭ上の曲線ｃ:(ａ,ｂ)→Ｍ,あるいはｃ(ｔ)∈Ｍ(ａ＜ｔ＜ｂ)があり,さらにＭを定義域とする関数ｆ:Ｍ→Ｒ;ｆ(ｐ)∈Ｒ(ｐ∈Ｍ)が与えられているとします。

このとき,Ｍ上の点ｐ＝ｃ(0)における接ベクトルを関数ｆ(ｃ(ｔ))のｔ＝0 における方向微分として定義します。

すなわち,まずｃとｆの合成関数としてｔの関数:ｆ・ｃ(ｔ)＝ｆ(ｃ(ｔ))のｔ＝0 における微分係数ｄｆ(ｃ(ｔ))/ｄｔ|_ｔ=0＝Σ_μ=1^m(∂ｆ/∂ｘ^μ)[ｄｘ^μ(ｃ(ｔ))/ｄｔ]|_ｔ=0を考えてみます。

点ｐ＝ｃ(0)の座標ｘ≡{ｘ^μ}は,局所的にはある座標関数φにより,ｘ＝φ(ｐ)で与えられます。

ｆはｘの関数としてはｆ(ｐ)＝ｆ・φ^-1(ｘ)ですから,上式の(∂ｆ/∂ｘ^μ)なる表式は,厳密には(∂(ｆ・φ^-1)/∂ｘ^μ)を意味します。

しかし,以下では簡単のために,記号(∂(ｆ・φ^-1)/∂ｘ^μ)を記号(∂ｆ/∂ｘ^μ)で代用することにします。

また,縮約の際には添字に関するアインシュタインの規約を用いることにします。

例えば,上述のｄｆ(ｃ(ｔ))/ｄｔ|_ｔ=0＝Σ_μ=1^m(∂ｆ/∂ｘ^μ)[ｄｘ^μ(ｃ(ｔ))/ｄｔ]|_ｔ=0の場合なら,２度現われる添字μについての総和記号Σ_μ=1^mを省略して,ｄｆ(ｃ(ｔ))/ｄｔ|_ｔ=0＝(∂ｆ/∂ｘ^μ)[ｄｘ^μ(ｃ(ｔ))/ｄｔ]|_ｔ=0と書くわけです。

したがって,ｔ＝0 におけるｆ(ｃ(ｔ))のｔによる微分係数は,Ｘ^μ≡[ｄｘ^μ(ｃ(ｔ))/ｄｔ]|_ｔ=0 と置いて微分作用素Ｘ^を,Ｘ^≡Ｘ^μ(∂/∂ｘ^μ)と定義すれば,ｄｆ(ｃ(ｔ))/ｄｔ|_ｔ=0＝Ｘ^μ(∂ｆ/∂ｘ^μ)＝Ｘ^[ｆ]と書けます。

それ故,関数ｆには無関係で,曲線ｃ(ｔ)∈Ｍ(ａ＜ｔ＜ｂ)のみに依存する係数Ｘ^μ≡[ｄｘ^μ(ｃ(ｔ))/ｄｔ]|_ｔ=0 で決まる微分作用素:Ｘ^≡Ｘ^μ(∂/∂ｘ^μ)を,ｐ＝ｃ(0)における多様体Ｍのｃ(ｔ)方向の接ベクトルと呼ぶことにします。

ただし,Ｍ上の２つの曲線ｃ₁(ｔ)とｃ₂(ｔ)が同じ点ｐ∈Ｍで交差するときは,ｐ＝ｃ₁(0)＝ｃ₂(0)となるようにパラメータｔを選びます。

もしも,[ｄｘ^μ(ｃ₁(ｔ))/ｄｔ]|_ｔ=0＝[ｄｘ^μ(ｃ₂(ｔ))/ｄｔ]|_ｔ=0が成立するなら,曲線ｃ₁(ｔ)とｃ₂(ｔ)は全く同じ微分作用素Ｘ^≡Ｘ^μ(∂/∂ｘ^μ);Ｘ^μ≡[ｄｘ^μ(ｃ(ｔ))/ｄｔ]|_ｔ=0 を与えることがわかります。

そこで,上のようにｃ₁(0)＝ｃ₂(0),かつ[ｄｘ^μ(ｃ₁(ｔ))/ｄｔ]|_ｔ=0＝[ｄｘ^μ(ｃ₂(ｔ))/ｄｔ]|_ｔ=0となるとき,ｃ₁(ｔ)～ｃ₂(ｔ)と書くことにすれば,これで定義される関係 ～ は同値関係の条件を満たすので,この関係によって滑らかな曲線全体の集合を類別することができます。

そこで,上の関係による曲線の同値類を[ｃ(ｔ)]≡{ｃ~(ｔ)|ｃ~(ｔ)～ｃ(ｔ)}で定義すれば,微分作用素Ｘ^≡Ｘ^μ(∂/∂ｘ^μ);Ｘ^μ≡[ｄｘ^μ(ｃ(ｔ))/ｄｔ]|_ｔ=0,つまり点ｐ＝ｃ(0)での接ベクトルは,個々の曲線ではなく,ｐを共有する曲線の同値類[ｃ(ｔ)]の各々と１対１に対応することがわかります。

そして,ｐにおけるさまざまな曲線の同値類{[ｃ(ｔ)]}の全体に対応する接ベクトルの全体の集合は明らかに１つのベクトル空間(線型空間)を作ります。これを点ｐにおけるＭの接空間,あるいは接ベクトル空間と呼び,Ｔ_p(Ｍ)と書くことにます。

Ｔ_p(Ｍ)＝{Ｘ^≡Ｘ^μ(∂/∂ｘ^μ) (Ｘ^μ≡[ｄｘ^μ(ｃ(ｔ))/ｄｔ]|_ｔ=0),ｐ＝ｃ(0),ｃ(ｔ)∈[ｃ(ｔ)]}なので,明らかにｅ_μ≡(∂/∂ｘ^μ)(μ＝1,2,..,ｍ)なる接ベクトルの集合を接空間Ｔ_p(Ｍ)のベクトル空間としての基底(basis)として与えることができます。

これらのベクトル{ｅ_μ}_μ=1,2,..,mは１次独立であって空間Ｔ_p(Ｍ)はこれらによって張られますから,Ｔ_p(Ｍ)のベクトル空間としての次元はｍで,これは多様体Ｍの次元と同じです。

そして,ｅ_μ＝(∂/∂ｘ^μ)の形の基底{ｅ_μ}を接空間Ｔ_p(Ｍ)の座標基底と呼びます。さらに任意のＸ^∈Ｔ_p(Ｍ)について,これをＸ^＝Ｘ^μｅ_μと表現したときの係数{Ｘ^μ}_μ=1,2,..,mをＸ^のｅ_μに関する成分と呼びます。

しかし,ベクトルというのは単なるラベルに過ぎない座標(＝成分)とか基底とかの選択には無関係に存在する幾何学的実体です。

それ故,ｐ∈Ｕ∩Ｖを満たすチャート(Ｕ,φ),および(Ｖ,ψ)を用いた異なる座標表示で,同じ点ｐがそれぞれｘ≡{ｘ^μ}＝φ(ｐ),およびｙ≡{ｙ^μ}＝ψ(ｐ)で表現されるとき,Ｘ^＝Ｘ^μ(∂/∂ｘ^μ)＝Ｙ^μ(∂/∂ｙ^μ)と書けると考えられます。

したがってＸ^[ｙ^μ]＝Ｘ^ν(∂ｙ^μ/∂ｘ^ν),同じくＸ^[ｙ^μ]＝Ｙ^ν(∂ｙ^μ/∂ｙ^ν)＝Ｙ^μにより,ベクトルの成分Ｘ^μ→Ｙ^μの変換性として,Ｙ^μ＝Ｘ^ν(∂ｙ^μ/∂ｘ^ν)なる表式が得られます。あるいは,逆にＸ^μ＝Ｙ^ν(∂ｘ^μ/∂ｙ^ν)と表わされることがわかります。

それ故,Ｔ_p(Ｍ)の基底をｅ~_μ≡(∂/∂ｙ^μ)に選んでＸ^＝Ｙ^μｅ~_μと書いてもよく,Ｘ^＝Ｙ^μｅ~_μ＝Ｘ^μｅ_μ＝Ｙ^μ(∂ｘ^ν/∂ｙ^μ)ｅ_νなる等式が成立することから,ｅ~_μ＝Λ_μ^νｅ_ν,Λ_μ^ν≡(∂ｘ^ν/∂ｙ^μ)と書けます。

これらのことを考えると,ベクトル空間としてのＴ_p(Ｍ)の基底は必ずしも何らかの座標ｘ≡{ｘ^μ}＝φ(ｐ),ｙ≡{ｙ^μ}＝ψ(ｐ)に基づく,(∂/∂ｘ^μ),(∂/∂ｙ^μ)なる形のベクトルから成る座標基底である必要はなく,

ある座標ｘ≡{ｘ^μ}についての座標基底ｅ_μ＝(∂/∂ｘ^μ)に対し,変換ｅ~_μ＝Λ_μ^νｅ_νで得られる{ｅ~_μ}であって,変換行列Λ＝{Λ_μ^ν}がdetΛ≠0 を満たすＧＬ(ｍ,Ｒ)の元でありさえすれば,何でもよいことがわかります。

座標基底ではない基底を非座標基底と呼びます。

さて,接空間Ｔ_p(Ｍ)は１つのベクトル空間なので,これは(1,0)型テンソルであり,(0,1)型テンソルとしてＴ_p(Ｍ)の上の線型関数全体,つまりＴ_p(Ｍ)→Ｒの線型写像の全体としてのＴ_p(Ｍ)の双対ベクトル空間が存在します。

これをｐにおけるＭの余接空間と呼び,Ｔ_p^*(Ｍ)と書きます。

そして以前,２次元多様体(空間曲面)の話の中で述べたようにＴ_p^*(Ｍ)の任意の元ω:Ｔ_p(Ｍ)→Ｒは微分形式としての１-形式(1-form)を意味することがわかります。

すなわち,ベクトルＸ^＝Ｘ^μｅ^_μ＝Ｘ^μ(∂/∂ｘ^μ)∈Ｔ_p(Ｍ)なる表現ではＸ^の成分は{Ｘ^μ}で与えられるので,それに双対なベクトルω∈Ｔ_p^* (Ｍ),すなわち線型関数ω:Ｔ_p(Ｍ)→Ｒの対応する双対基底についての成分を{ω_μ}とすれば,Ｘ^のωによる像はω(Ｘ^)＝Ｘ^μω_μとなるはずです。

そこで,ω(ｅ_μ)＝ω_μ(μ＝1,2,..,ｍ)でありω_μの値全部が決まれば関数ωも決まります。

{ｅ_μ};ｅ_μ＝(∂/∂ｘ^μ)の双対基底:{ｅ^*μ}はｅ^*μ(ｅ_ν)＝δ^μ_νを満たすＴ_p^*(Ｍ)の基底であると定義されますが,δ^μ_ν＝∂ｘ^μ/∂ｘ^νなのでこれはｅ^*μ(∂/∂ｘ^ν)＝∂ｘ^μ/∂ｘ^ν＝ｅ_ν[ｘ^μ]を意味します。

このｅ^*μを特別な微分1-形式の記号:ｄｘ^μで表記することにすれば,ｅ^*μ(∂/∂ｘ^ν)＝ｄｘ^μ(∂/∂ｘ^ν)＝δ^μ_νとなります。

こうすると,一般の線型関数ω∈Ｔ_p^*(Ｍ)はω＝ω_μｅ^*μ＝ω_μｄｘ^μの形に書けることになりますが,この最右辺の形は微分1-形式を意味しています。

ただし,あくまで定義によって微分1-形式の形にしただけなので,以下の理論展開で定義が整合的で有り続けること,well-definedであることを常に確認する必要があります。

特に,ｆの全微分に対応する形式ｄｆ＝(∂ｆ/∂ｘ^μ)ｄｘ^μでは,ｄｆ(ｅ_μ)＝ｄｆ(∂/∂ｘ^μ)＝∂ｆ/∂ｘ^μであり,ｄｆ(Ｘ^)＝Ｘ^μ(∂ｆ/∂ｘ^μ)＝Ｘ^[ｆ]となります。

そして,ｄｆ(Ｘ^)＝Ｘ^[ｆ]∈Ｒが内積という意味を持つことを明確に表現するために,これを＜ｄｆ,Ｘ^＞と表記することにします。

この表現では双対基底の条件:ｅ^*μ(∂/∂ｘ^ν)＝ｄｘ^μ(∂/∂ｘ^ν)＝δ^μ_νは,＜ｄｘ^μ,∂/∂ｘ^ν＞＝δ^μ_νとなります。

もちろん,ベクトルＸ^＝Ｘ^μｅ_μ＝Ｘ^μ(∂/∂ｘ^μ)∈Ｔ_p(Ｍ)とω＝ω_μｅ^*μ＝ω_μｄｘ^μ∈Ｔ_p^*(Ｍ)については,＜ω,Ｘ^＞＝ω_μＸ^μとなります。

ここで,別の基底表現:Ｘ^＝Ｙ^μｅ~_μ,ω＝＝ω~_μｄｙ^μを採用するとき,Ｙ^μ＝Ｘ^ν(∂ｙ^μ/∂ｘ^ν),かつω~_ν＝ω_μ(∂ｘ^μ/∂ｙ^ν)なのでω~_μＹ^μ＝ω_μＸ^μが成立するため,ω_μＸ^μという表現での内積＜ω,Ｘ^＞の値は座標系の選択には依存しません。

また,ｑ個のＴ_p^*(Ｍ)の元とｒ個のＴ_p(Ｍ)の元からＲへの多重線型関数で定義される(ｑ,ｒ)型テンソルは,Ｔ^≡Ｔ^{μ1,μ2..,μp}_{λ1,λ2,,, λq}(∂^m/∂ｘ^μ1∂ｘ^μ2.., ∂ｘ^μp)ｄｘ^λ1ｄｘ^λ2..ｄｘ^λqと表わされます。

すなわち,Ｖ_i^≡Ｖ_i^μ(∂/∂ｘ^μ)(1≦ｉ≦ｒ),およびω_i≡ω_iμｄｘ^μ(1≦ｉ≦ｑ)と書けば,Ｔ^のこれらのベクトルへの作用は,あるＲの元:Ｔ^(ω₁,ω₂,..,ω_q;Ｖ₁^,Ｖ₂^,..,Ｖ_p^)＝Ｔ^{μ1,μ2..,μp}_{λ1,λ2,..,λq}ω_1μ1ω_2μ2,..,ω_qμqＶ₁^ν1Ｖ₂^ν2..Ｖ_r^νrを定めるという操作ですね。

この左辺の(ｑ,ｒ)型テンソルの記号Ｔ^(ω₁,ω₂,..,ω_q;Ｖ₁^,Ｖ₂^,..,Ｖ_p^)を(0,1)型テンソルωに適用すれば,先に定義した内積は＜ω,Ｘ^＞＝ω(Ｘ^)と表現されますが,実は右辺の表記ω(Ｘ^)は単にωがＸ^の関数であるという意味で既に普通に使っています。

次に,Ｍの各点ｐ∈Ｍにおいて滑らかに接ベクトルが与えられているとき,これをベクトル場と呼び,Ｖ_p^と表わします。

もちろん,Ｖ_p^∈Ｔ_p(Ｍ)です。

同様に,ｐ∈Ｍにおける(ｑ,ｒ)型のテンソル全体の集合をＴ^q_r,_p(Ｍ)として,各点ｐ∈ＭにＴ^q_r,_p(Ｍ)の１つの元Ｔ_p^を滑らかに対応させたものを(ｑ,ｒ)型のテンソル場と呼びます。

(ｑ,ｒ)型のテンソル場Ｔ_p^の全体{Ｔ_p^}はＴ^q_r,_p(Ｍ)の部分集合ですが,Ｍの上の(ｑ,ｒ)型のテンソル場の全体∪_ｐ∈Ｍ{Ｔ_p^}はＴ^q_r(Ｍ)なる記号で表わすことにします。

さて,次にはｍ次元の滑らかな多様体Ｍとｎ次元の滑らかな多様体ＮがあってＭ→Ｎの滑らかな写像ｆがある場合,すなわち,Ｍの各点ｐ∈Ｍに対してＮの点ｆ(ｐ)∈Ｎが滑らかに対応するとき,ｆに関連してＭとＮの接ベクトルの間にはどのような対応関係があるか,ということについて考察してみます。

Ｎ上の任意の滑らかな関数ｇ:Ｎ→Ｒに対し,上の写像ｆとの合成写像としてｇ・ｆ:Ｍ→Ｒを作ることができますが,この関数ｇ・ｆに対しｐ∈ＭにおけるＭの任意の接ベクトルＶ^∈Ｔ_p(Ｍ)の作用をＶ^[ｇ・ｆ]と書くことができます。

一方,ｐ∈ＭにおけるＭの接ベクトルＶ^∈Ｔ_p(Ｍ)にｆ(ｐ)∈ＮにおけるＮの1つの接ベクトル,すなわち,Ｔ_f(p)(Ｎ)の１つの元を対応させる写像φを考えます,つまりφ(Ｖ^)∈Ｔ_f(p)(Ｎ)ですね。

そして,上の写像φの中で特にＮ上の任意の滑らかな関数ｇ:Ｎ→Ｒに対してφ(Ｖ^)[ｇ]≡Ｖ^[ｇ・ｆ]を満たすφをｆ_*と書きます。

つまり,ｆ_*(Ｖ^)[ｇ]≡Ｖ^[ｇ・ｆ]によって写像ｆ_*:Ｔ_p(Ｍ)→Ｔ_f(p)(Ｎ)を定義するわけです。

すなわち,ｆ:Ｍ→Ｎとｇ:Ｎ→Ｒ,およびＶ^∈Ｔ_p(Ｍ)に対し,Ｖ^のｇ(ｆ(ｐ))への作用がｆ_*(Ｖ^)のｇへの作用と一致するように写像ｆ_*を定義します。

こうして自然な拡張として得られる写像ｆ_*:Ｔ_p(Ｍ)→Ｔ_f(p)(Ｎ)をｆの微分写像と呼びます。

ただし,ｐ∈Ｍ,かつｆ(ｐ)∈Ｎは座標の関数としてφ(ｐ)＝ｘ∈Ｒ^m,かつψ(ｆ(ｐ))＝ｙ∈Ｒⁿを意味しますからｆ_*(Ｖ^)[ｇ]≡Ｖ^[ｇ・ｆ]なる式は,厳密にはｆ_*(Ｖ^)[ｇ・ψ^-1(ｙ)]≡Ｖ^[ｇ・ｆ・φ^-1(ｘ)]と表現さるべきです。

そこで,接ベクトルの陽な成分表示:Ｖ^＝Ｖ^μ(∂/∂ｘ^μ),ｆ_*(Ｖ^)＝Ｗ^μ(∂/∂ｙ^μ)を想定して,これらを上式に代入すると,成分の間の関係としてＷ^ν(∂[ｇ・ψ^-1(ｙ)]/∂ｙ^ν)＝Ｖ^λ(∂[ｇ・ｆ・φ^-1(ｘ)]/∂ｘ^λ)が得られます。

さらに,最後に得られた式に,特にｇ・ψ^-1(ｙ)≡ｙ^μを代入すると,Ｗ^μ＝Ｖ^λ(∂ｙ^μ/∂ｘ^λ)が得られます。

ここでｙ＝ψ(ｆ(ｐ))＝ψ(ｆ・φ^-1(ｘ))より,ｇ・ｆ・φ^-1(ｘ)＝ｇ・ψ^-1(ｙ)なることを用いました。

以上から,座標ｘをｙに写す写像の陽な表現ｙ＝ψ(ｆ(ｐ))＝ψ(ｆ・φ^-1(ｘ))が,ψ^-1(ｙ)＝ｆ・φ^-1(ｘ),つまり写像ｆ:Ｍ→Ｎの陽な表現ｐ→ｆ(ｐ)に同等であることに着目するならＶ^からｆ_*(Ｖ^)への変換を示すＶ^λの係数行列(∂ｙ^μ/∂ｘ^λ)が多様体間の写像ｆを平坦な座標空間Ｒ^m→Ｒⁿ間の写像と同一視したときの変換行列であるヤコービアンと一致することがわかります。

このような意味で,微分写像ｆ_*:Ｔ_p(Ｍ)→Ｔ_f(p)(Ｎ)を写像ｆ:Ｍ→Ｎによって誘導される写像と呼びます。

一方,ｆ_*(Ｖ^)[ｇ]≡Ｖ^[ｇ・ｆ]を満たす写像としてｆ:Ｍ→Ｎからの誘導写像ｆ_*:Ｔ_p(Ｍ)→Ｔ_f(p)(Ｎ)を定めた上述の論旨のアナロジーで,双対空間においても写像ｆから誘導される写像ｆ^*:Ｔ_f(p)^*(Ｎ)→Ｔ_p^*(Ｍ)を,＜ｆ^*(ω),Ｖ^＞≡＜ω,ｆ_*(Ｖ^)＞を満たす写像として自然に定義できます。

ｆ:Ｍ→Ｎに対して,ｆ_*がＴ_p(Ｍ)からＴ_f(p)(Ｎ)への写像であったのに反しｆ^*の方はＴ_f(p)^*(Ｎ)からＴ_p^*(Ｍ)への写像であって,これは対応する接空間の間での写像の向きが元の多様体の間の写像ｆの向きとは逆なので,いわゆる引き戻しと呼ばれるものの一種ですね。

今日はここで終わります。 

参考文献：中原幹夫 著「理論物理学のための幾何学とトポロジー」(ピアソン・エデュケーション)

ＰＳ:いやぁ,さっきは危うく低血糖症で死ぬところでした。。

冷蔵庫に板チョコが一枚あったので何とか小康状態になって命拾いしました。

昼に朝昼兼用でインスタントラーメンと半ライスを食べたきりで夜10時過ぎまでブログ書きと校正に没頭したために,つい飲食を忘れてしまいました。大量の冷や汗をかきました。

まあ,糖尿病とのつきあいは長いので低血糖症状とその対応については恐らく下手な医者や看護師よりも私の方が心得ているのではないかと思いますが,めったにないけどまわりに誰もいない状況だと,つい歯止めが効かなくて困りますねえ。。

まあ,日頃はいつ死んでもいいとか広言していますが,急に来るとちょっとあせりますね。。。

関係ないですが,金持ちになりたい,出世したい,名誉が欲しいとかいう類の一般的な上昇志向性は,あると厄介なもので,衣食住に困らないなら別の意味の志向性があればそれで十分だと思います。

しかし,神ではない以上,その種の五欲に連なる上昇志向性も多少はないと生きていこうという気力も萎えるのでは？という気がします。(生命の息吹きはリビドーのおかげってか。。。。)

若い頃は,恥ずかしいとかいう類の感情,思春期特有の感情などに結構悩まされましたが,今となってはそうした煩わしいと思っていた感情が薄れて消えていくこと,例えば微妙な感受性の喪失と共に,美に対する様々な感性も失われていくことなどの方が恐ろしいと感じます。。

いつまで経っても,年端もゆかぬガキと同じく,大人としての生活臭の乏しい自分はふとこんなことなど考えてしまいました。

(大人っていうのは日々の糧を得る仕事のこと,親や子供の世話,家事など目先の事や,それと関連した世の中の政治・経済などへの関心とか,とにかく生活臭というか,生きていくそのものに精一杯で,贅沢に夢みたいなことを言ってる暇などないんだよ。。)

ところで,自分にしか興味がないってことはないけど。。"元々特別なオンリー・ワン"(←盗作)に特別な思いがあるのは,誰にとっても当然なことでしょう。。

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　そこのお酒のみの方，いろいろと飲食の機会の増えたあなた,悪酔いを防止すると言われているウコンがいいですよ！！　そして特に今回提供する沖縄原産の純粋な黒ウコンは当店が専売の新製品ですが古くから沖縄地方ではいわゆる男性の力に効果があると言われています。

　おやおや,そこの静電気バチバチの人、いいものありますよ。。。

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南部先生おめでとうございます。(ノーベル賞)

　他人の威を借りて自分のブログを合理化するのはどうかと思うし,ベストセラーとかノーベル賞とかメジャーな話は本当は好きではありませんが,

　今回ノーベル物理学賞をもらった３人については,私自身の実存的側面から賞賛したくなりました。。

　昔からノーベル賞くらいの賞なら10個程度はもらっても不思議じゃないと思っていた南部さんが賞をもらったので,今日(10/７夜)は金もないし外で飲む予定はなかったのに,思わず近くの店で祝杯を挙げてしまいました。

　しかし巷ではまだノーベル賞をもらったという話も知られてないし,ましてや南部先生のことなどは誰も知らなかったですね。。。

　本当は,かつての私の恩師の(故)谷川安孝先生にも,生きているうちに,こうした賞をもらって称えてあげたいという思いがありましたけれど。。。。

　(谷川先生には東京で最初に就職した会社を紹介してもらったり,色々とお世話になりました。)

　南部先生は,温度を下げていくと磁性体のスピンが無秩序状態から急に一定方向を向いて磁気が発生するというように,常温では等方的だったという対称性が低温で自然に破れるという物性理論での性質からのアナロジーで

　素粒子論でも"自発的対称性の破れ"が起こることを提議し,南部-Joha-Lasinioモデルなどを発案しました。

　素粒子論では,"自発的対称性の破れ"が生,じて質量がゼロのNGボソン(南部・ゴールドストーンボソン：例えばπ中間子などもNGボソンの1つ)が発生することなどを提案しました。

　例えば,初期宇宙の高温の火の玉状態では,全ての素粒子の質量はゼロであったのにビッグバンと共に宇宙が冷えてゆくに従って,こうした"自発的対称性の破れ"によって質量を獲得するというヒッグスメカニズムも,元は南部さんの発案だったと思います。

　(ヒッグスメカニズムの卑近な模式的説明としては,宇宙が冷えてゆくと共にヒッグス粒子というものが宇宙空間に充満して,元々質量のなかった素粒子の動きを邪魔するため慣性が発生して事実上素粒子に慣性質量が出現したように見えるという見方です。

　これは,素朴な古典論の相対性理論では否定された(というか在ってもいいが理論とは関係ないとされた真空中のエーテルという架空媒質がヒッグス粒子という形で再出現したという見方もありますが。。。)

　現在の"超弦理論"の元になる"ひも模型(弦模型)"の元々の発案にも確か南部先生がからんでいたと思います。

　かつてのDiracやFeynmanのように,,昨今の新理論のほとんどのアイデアには南部氏がからんでいるように思いますね。

　一方,小林-益川理論は,GIM機構(Gｌashow-Iliopoulos-Maiani)で提唱されたクォーク２世代(ｕ,ｄ)(ｃ,ｓ)だけでのカビボ混合角'Cabibbo angle)による説明では,

　弱い相互作用でのＣＰの破れ＝"C：荷電共役＝粒子・反粒子の対称性,とP：パリティ)＝左右対称性の破れ"という現象を説明するにはパラメータが足りなくて,

　クォークは３世代以上((ｕ,ｄ)(ｃ,ｓ)の上に,(ｔ,,ｂ)も)なければならないということを予言した理論ですね。

　そして,実際1990年代には,先にボトム(b),そしてトップ(t)のクォークから成る粒子が確認されたと思います。

　もっとも,素粒子としてのクォーク自身は閉じ込められていて,未だに直接的にはその実在は確認されていませんが。。。

　まあ,手前味噌ですが,私自身の学生時代の専門が素粒子論で,当時は朝永氏の”くりこみ理論”にも関連した話と考えて,量子異常(アノマリー)の１つで,カイラルな三角グラフのWard-Takahashi identtyと関わって生じるアノマリーを勉強,研究していました。

　結局,トフフト(t'Hooft)らによって提唱されたように,カラークォークとレプトン(lepton)が共に丁度３世代であるなら,アノマリーフリーになる条件が満たされるということもあります。

　(2006年４/23の記事「くりこみ回避のアイデア」 や2006年５/11の記事「波動関数の位相と電磁場」 参照。)

　(レプトンというのはクォークで構成されたハドロン(重粒子と中間子)とは別の,それ自身構造を持たない軽粒子,つまり電子,ミュー粒子,ニュートリノとその反粒子のことをいいます。

　(その昔,π中間子の存在しか知られていなかった時代にミュー粒子(当時はミュー中間子と呼ばれていました)の存在を予言したのが謂わゆる「坂田・谷川の２中間子論」でした。谷川というのは,谷川安孝先生ですね。。。)

　私の修士論文が丁度当時(1974年)発見された"Ｊ(ψ)粒子"をカラー８重項グルオンとも見なせるのではないか？という話だったのですが,

　これは後にチャーム粒子(ｃ-クォークから成る粒子)であると確認された,というのも何か因縁めいたものを感じますね。

　まあ,純粋な素粒子論の理論物理としては湯川,朝永以来の受賞ですね。

　純粋な理論ではなく宇宙線ですが,カミオカンデの小柴さんも言ってたように「基礎理論は実際的応用にはクソの役にも立たない」とはいえ,南部氏については遅すぎますね。

　ノーベル賞は平和賞などは憲法九条のおかげもあって佐藤栄作氏ももらったという胡散臭いところがあり,お金のからみなどもあると聞きますが,物理学賞はまだましなのかな。。

PS:インタビューで益川氏が泣いていたのはノーベル賞がうれしかったというわけではなくて,南部先生が賞をもらったこと,そして南部先生と同時に評価されたことに感激したのだと思います。

　(たかがノーベル賞ごときで,神の領域をめざしているだろう益川先生が感涙するわけがないと思います。。

　アインシュタインが光量子仮説で賞をもらって相対性理論では死ぬまで賞をもらえなかったのを見ても,当時も今も,選考する側の方がアインシュタインや南部先生よりもはるかに,レベルが低いはずだと思いますしね。。。)

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小池一夫氏の不思議

　テレビを見ていたらリバイバル放送で「子連れ狼」を放送していた。「冥府魔道」とか難しく恐ろしげな文句を言っている。。。

　もちろん「刺客」というだけでなく柳生烈堂一族との確執もあるのだろうから,ただの「殺し屋稼業」ではないのだろうが,同じようなプロットとして「殺し屋でスナイパー」を主人公とした劇画で現在では作も作画も"さうとうたかお"氏となっているが,元々の発案者は小池一夫氏で彼の原作である「ゴルゴ13」がある。

　かつて,「水滸伝」を読んだときも,確かに究極的な目的はあるのだろうが,優秀な人材を仲間に入れるために,彼の家族が邪魔なので手段を選ばず彼の家族全員を焼き討ちなどで惨殺するという話も随所に在ったので,これはどういう哲学なのだろうか？と疑問に思ったこともありました。

　これとは少しく違うのでしょうが,小池一夫氏の思想背景もまた私にはミステリーですね。。。

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禁煙を始めました。

　自慢ですが,私は自堕落な人間で人並みのプライドもないし,エチケット,マナーも含めてモラルとかモットーとかの類は大嫌いなので,健康に悪いとか寿命が縮むとかいう程度の理由で趣味,嗜好を止めようとかは決して思わないのですが,ちょっとある事情で昨日日曜日から禁煙を始めました。

　ただし,「人並みのプライドなんかないぞ。」とか,「あなたよりもオタクだぞ。」,あるいは「正真正銘の変態だぞ。」とかいう類のプライドならありますが。。。

　前に禁煙したのは,一昨年の１月に呼吸困難で２回程度死ぬかと思ったとき,ネットで調べて肺の病気(肺気腫)と勘違いして１ヶ月禁煙したときだけでした。

　寿命が縮むというより,嘔吐して胃液しか出ないときのように口を大きく開けたまま無理に呼吸を促して泡を吹きそうになり,走馬灯が走って,ひょっとしたらこれで終わりかと苦しい息ながら覚悟を決めかけたというような死ぬ寸前ではないかという状況に何度か陥ったので,そのときはタバコを止めたのですが,診察によれば肺ではなく心臓の病気だった(＝「心筋梗塞を２回やったあげく心臓バイパス手術をして現在も心不全」)ので,入院した後では主に飲酒のときだけですが喫煙習慣が復活していました。

　本当は心臓病にもモロに効くらしく,医者には止められていますが,幸い最近は死にそうにはなっていないのでときどきやっていました。。。　

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相対論の幾何学(第Ⅱ部-2)(基本用語:多様体etc.)

相対論の幾何学第Ⅱ部の続きです。 

まず,前記事で述べた双対ベクトルの話を要約すると次のようになります。

すなわち,体Ｋの上のベクトル空間Ｖがあるとき,ベクトルｖ∈Ｖの双対ベクトルｆとは任意のｖ∈Ｖをスカラ－ｆ(ｖ)＝(ｆ,ｖ)∈Ｋに写す線型関数のことをいいます。

そして,この双対ベクトルｆ全体の集合も１つのベクトル空間となり,これをＶ^*と書いて双対ベクトル空間と呼ぶのでした。

この線型関数を幾つかのベクトルと幾つかの双対ベクトルをスカラーに写す多重線型関数に一般化したものをテンソルと呼びます。

例えばｐ個の双対ベクトルとｑ個のベクトルを実数体Ｒに写す多重線形関数τ:Ｖ^*p×Ｖ^q→Ｒを(ｐ,ｑ)型テンソルと呼ぶわけです。

この定義では,双対ベクトルｆというのはＶ→Ｒの線型関数ですから(0,1)型テンソルであり,元のベクトルｖ∈Ｖ自身は(1,0)型テンソルです。また,スカラーは(0,0)型テンソルですね。

　そして,全ての(ｐ,ｑ)型テンソル全体の集合を(ｐ,ｑ)型テンソル空間といい,これを記号Ｔ^p_qで表わすのが慣例です。

　また,テンソルμ∈Ｔ^p_qとν∈Ｔ^p'_q'のテンソル積τ≡μ×ν∈Ｔ^p_q×Ｔ^p'_q'は,Ｔ^p+p'_q+q'の元で,(ｐ＋ｐ',ｑ＋ｑ')型の線型関数τ(ω₁,ω₂,..,ω_p,ξ₁,ξ₂,..,ξ_p';ｕ₁,ｕ₂,..,ｕ_q,ｖ₁,ｖ₂,..,ｖ_q')≡μ(ω₁,ω₂,..,ω_p;ｕ₁,ｕ₂,..,,ｕ_q)ν(ξ₁,ξ₂,..,ξ_p';ｖ₁,ｖ₂,..,ｖ_q')で定義されます。

　テンソル空間の上での１つの演算である縮約というのは,(ｐ,ｑ)型テンソルから(ｐ－1,ｑ－1)型テンソルへの写像:τ(ω₁,ω₂,..,ω_p;ｕ₁,ｕ₂,..,ｕ_q)∈Ｔ^p_q→Σ_i=1ⁿτ(ω₁,ω₂,..,ｅ^*i,..,ω_p;ｕ₁,ｕ₂,..,ｅ_i,..,ｕ_q)∈Ｔ^p-1_q-1で与えられます。

　ここに{ｅ_i},{ｅ^*i}は互いに双対基底です。

　ここで,上に定義された多重線形関数という意味でのテンソルが,物理学で馴染み深い成分の集合という形でのテンソルと同等なものであることを,追記として示しておきます。

　成分というのは基底の取り方次第でコロコロと変わるので,単に幾何学的実体の"座標＝ラベル"という意味しか持たないのですが。。。

　Ｔ^p_qの元である任意の"(ｐ,ｑ)型テンソル＝多重線形関数"τ:Ｖ^*p×Ｖ^q→Ｒは,Ｖの基底{ｅ_i}とＶ^*の基底＝双対基底{ｅ^*i}を用いると,τ(ω₁,ω₂,..,ω_p,ｕ₁,ｕ₂,．．,ｕ_q)＝Σ_{μ1,μ2..μp;λ1,λ2,,,λq=1}ⁿ(ω_μ1ω_μ2..ω_μpｕ^λ1ｕ^λ2．．ｕ^λq)τ(ｅ^*μ1,ｅ^*μ2,..,ｅ^*μp,ｅ_λ1,ｅ_λ2,..,ｅ_λq)＝Σ_μi;λk=1ⁿ(Π_i=1^pω_μi)(Π_k=1^qｕ^λk)τ(ｅ^*μ1,ｅ^*μ2,..,ｅ^*μp,ｅ_λ1,ｅ_λ2,..,ｅ_λq)と展開表現されます。

　そこで,Ｔ^{μ1,μ2..,μp}_{λ1,λ2,,, λq}≡τ(ｅ^*μ1,ｅ^*μ2,．．,ｅ^*μp,ｅ_λ1,ｅ_λ2,．．,ｅ_λq)と定義して,これをテンソル(＝多重線型関数)τの成分と呼べば,τ(ω₁,ω₂,．．,ω_p,ｕ₁,ｕ₂,．．,ｕ_q)＝Σ_μi;λk=1ⁿＴ^{μ1,μ2..,μp}_{λ1,λ2,,, λq}(Π_i=1^pω_μi)(Π_k=1^qｕ^λk)となります。

特に,縮約という演算Σ_j=1ⁿτ(ω₁,ω₂,．．,ｅ^*j,．．,ω_p,ｕ₁,ｕ₂,..,ｅ_j,..,ｕ_q)は,τ(ω₁,ω₂,..,ω_p,ｕ₁,ｕ₂,..,ｕ_q)＝Σ_μi;λk=1ⁿＴ^μ1,μ2..μp_{λ1,λ2,,,λq}(Π_i=1^pω_μi)(Π_k=1^qｕ^λk)なる表現では,何を意味するかを見てみます。

これは,1≦ｓ,ｔ≦ｐ,ｑを満たすある対(ｓ,ｔ)をとって,ω_s＝ω_μsｅ^*μs,およびｕ_t＝ｕ^λtｅ_λtを,それぞれｅ^*j,およびｅ_jに置き換えた後に,ｊ＝1からｎまで総和を取るものです。

これは,右辺でω_μs＝δ_μs^j,ｕ^λt＝δ^λt_jとしてｊ＝1からｎまで和を取ることに相当しますから,テンソル成分としては(ｐ,ｑ)型テンソルの成分Ｔ^{μ1,μ2..,μｐ}_{λ1,λ2,,, λq}において,μ_s＝λ_tとして,この同じ添字について1からｎまで和を取ることで,(ｐ－1,ｑ－1)型テンソルの成分に変換することを意味します。

　次に,リーマン幾何学の説明に進もうと思いましたが,以下では,つい普通のテキストのように,そこで使用する用語の定義の羅列となってしまいました。

定義１.[位相空間]

　Ｘを任意の集合とし,Ｏ≡{Ｕ_α|α∈Ｉ}をＸのある部分集合族とする。このときＯの元がＸの開集合,あるいは(開)近傍の条件を満たすとき,ＯをＸの開集合全体の集合,すなわち開集合族と呼び,(Ｘ,Ｏ)の対,あるいはＸのみを位相空間と呼ぶ。

　(※Ｏの任意の元が開集合,近傍の公理を満たすように与えられていれば,Ｏを開集合全体の集合＝開集合族と呼ぶわけです。)

　Ｕ∈Ｏを開集合と呼び,ＯはＸの位相を定めるという。このとき,ＦがＸの閉集合であるとは,Ｆ^c∈Ｏなることをいう。ただし,Ｆ^cはＦの補集合:Ｆ^c＝(Ｘ－Ｆ)です。

定義２.[連続性]

(Ｘ,Ｏ_X),(Ｙ,Ｏ_X)を位相空間とするとき,写像ｆ:Ｘ→Ｙが連続であるとは∀Ｖ∈Ｏ_Yに対してＶの原像ｆ^-1(Ｖ)がＸの開集合となること,つまりｆ^-1(Ｖ)∈Ｏ_Xなることをいう。

定義３.[ハウスドルフ空間(Hausdorf空間)]

位相空間(Ｘ,Ｏ)がハウスドルフ空間であるとは,ｘ≠ｘ'なる∀ｘ,ｘ'∈Ｘに対しｘの近傍,:Ｕ_x∈Ｏとｘ'の近傍:Ｕ_x'∈Ｏで,Ｕ_x∩Ｕ_x'＝φを満たすものが存在するときをいう。

定義４.[コンパクト性]

(Ｘ,Ｏ)を位相空間とする。

まず,Ｘの部分集合族{Ａ_α}がＸの被覆であるとは.Ｘ＝∪_α∈ＩＡ_αを満たすことをいう。もしも,全てのＡ_αが位相Ｏの開集合であるとき,この被覆を開被覆と呼ぶ。

任意のＸの開被覆{Ａ_α}_α∈Ｉに対し,Ｉのある有限部分集合Ｊが存在して,Ｘ⊂∪_α∈ＪＡ_αとできるとき,Ｘはコンパクトであるという。

定義５.[同相写像(位相同型写像:homeomorphism)]

Ｘ,Ｙを位相空間とする。

写像ｆ:Ｘ→Ｙが同相写像(位相同型写像)であるとは,ｆが連続,かつ全単射で,逆写像ｆ^-1:Ｙ→Ｘもまた連続であることを言う。

ＸとＹの間に同相写像が存在するとき,ＸはＹに同相(位相同型:homeomorphic)であるという。

定義６.[微分可能多様体(滑らかな多様体)]

Ｍが以下の条件を満たすとき,これをｍ次元微分可能多様体(可微分多様体),または滑らかな多様体であるという。

(ⅰ)Ｍは位相空間である。

(ⅱ)Ｍに付随してＭを被覆する開集合族{Ｕ_α},およびＵ_αからｍ次元のユークリッド空間Ｒ^mの開部分集合Ｖ_αの上への同相写像φ_αの対から成る族:{(Ｕ_α,φ_α)}が存在する。

(ⅲ)Ｕ_α∩Ｕ_β≠φを満たすＵ_α,Ｕ_βに対しては,これらをつなぐ合成写像φ_αβ≡φ_α・φ_β^-1は,φ_β(Ｕ_α∩Ｕ_β)からφ_α(Ｕ_α∩Ｕ_β)への無限回微分可能な(Ｃ^∞-級)同相写像である。

定義７. [多様体の座標]

上述の対:(Ｕ_α,φ_α)をチャートいい,{(Ｕ_α,φ_α)}をアトラスという。Ｕ_αを座標近傍,φ_αを座標関数,または単に座標と呼ぶ。

そして,多様体Ｍの各々の局所的な地図である座標φ_α:Ｕ_α→Ｒ^mは,その各点ｐ∈Ｕ_αに対して,それぞれＲ^mの座標を示すｍ個の関数ｘ^μ(ｐ)(μ＝1,2,..,ｍ)の数ベクトルとして,φ_α(ｐ)≡(ｘ¹(ｐ),ｘ²(ｐ),．．,ｘ^m(ｐ))なる形で表現される。

そこで,このｘ(ｐ)≡{ｘ^μ(ｐ)}_μ=1,2,..mのことをｐ∈Ｕ_αの座標と呼ぶこともある。

定義７.[微分可能性,微分同相写像]

Ｍをｍ次元多様体,Ｎをｎ次元多様体とするとき,写像ｆ:Ｍ→Ｎによって,点ｐ∈Ｍはｆ(ｐ)∈Ｎに写される。

そして,ｐ⊂Ｕ,ｆ(ｐ)∈ＶなるＭ上のチャート(Ｕ,φ)とＮ上のチャート(Ｖ,ψ)を選ぶとき,ψ・ｆ・φ^-1:Ｒ^m→Ｒⁿをｆの座標表示という。

φ(ｐ)＝ｘ＝{ｘ^μ},ψ(ｆ(ｐ))＝ｙ＝{ｙ^λ}と書けば,ｙ＝ψ・ｆ・φ^-1(ｘ)となる。これを簡略化してｙ＝ｆ(ｘ)と書くことがある。

そしてｙ＝ｆ(ｘ)が各ｘに対してＣ^∞級のとき,ｆはｐ,あるいはφ(ｐ)＝ｘにおいて微分可能であるという。この微分可能写像ｆは滑らかな写像とも呼ばれる。

微分可能性は座標の選択によらないことも示せます。 

もしも,上の写像ψ・ｆ・φ^-1が可逆,つまり,その逆写像φ・ｆ^-1・ψ^-1が存在するとき,ψ・ｆ・φ^-1とφ・ｆ^-1・ψ^-1が共にＣ^∞級であれば写像ｆを微分同相写像であるといいます。特にＭとＮは微分同相であるといいＭ≡Ｎと書く。

ψ・ｆ・φ^-1がＭで可逆でＭ≡Ｎである,というのは,要するにこの写像のヤコービアン(Jacobian):det(ψ・ｆ・φ^-1)がＭ上の至る所でゼロでないことと同値です。

明らかにＭ≡Ｎはｍ＝ｎ,つまりdimＭ＝dimＮを意味します。

次元というのは,同型写像(全単射,かつ微分可能な連続写像)によって位相的には変わらないもの,すなわち位相不変量ですね。

これは本質的に１次元である滑らかな曲線で２次元以上の面や立体を塗りつぶすのは不可能であることなどを意味します。

したがって物理学でのエルゴード問題やフラクタル現象,あるいは確率過程における至る所で微分不可能な曲線を描く本質的にハウスドルフ次元が１次元ではなく２次元のブラウン運動とか,平面領域を曲線で塗りつぶせるペアノ曲線などの話は,上記の位相次元とは相容れないものです。　

短かいですが,今日はここで終わります。

参考文献：中原幹夫 著「理論物理学のための幾何学とトポロジー」(ピアソン・エデュケーション)

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相対論の幾何学(第Ⅱ部-1)(ベクトル空間)

これまでは主に３次元空間内の２次元曲面の幾何学について論じてきましたが,ここからは一般のｎ次元空間内の多様体などの話について述べることから始めます。

さし当っての目的は接続やリーマン曲率などのより詳細な幾何学的意味を理解するためです。

まず,体Ｋの上の２つの抽象的なベクトル空間(線型空間)Ｖ,Ｗが与えられ,ＶからＷへの写像ｆが∀ｖ₁,ｖ₂∈Ｖ,∀ａ₁,ａ₂∈Ｋに対してｆ(ａ₁ｖ₁＋ａ₂ｖ₂)＝ａ₁ｆ(ｖ₁)＋ａ₂ｆ(ｖ₂)∈Ｗを満たすとき,ｆを線型写像と呼びます。

Ｖの元をベクトル,Ｋの元をスカラーと呼ぶことにします。

線型写像は,ベクトルの和とスカラー倍という演算を保つ準同型写像を意味します。特にＷがＫである場合,つまりｆがＶ→Ｋの線型写像ならｆを線型関数と呼びます。また,Ｗ＝Ｖならｆ:Ｖ→Ｖの線型写像ｆを線型変換と呼びます。

Imｆ≡ｆ(Ｖ)≡{ｆ(ｖ)|ｖ∈Ｖ}をＶの写像ｆによる像と呼びます。もちろん,ｆ(Ｖ)⊂Ｗです。

また,Kerｆ≡{ｖ∈Ｖ|ｆ(ｖ)＝0 }を写像ｆの核と呼びます。ｆが線型写像なら,ｆ(0)＝0 により,Kerｆ≠φです。

ＶとＷの間に同型写像(全単射(全射,かつ単射)の準同型写像)が１つでも存在するとき,ＶとＷは同型であるといいます。

ＶとＷが同型であることを,Ｖ～Ｗと書くことにします。

特に線型写像ｆの場合,これが同型写像であることは,Kerｆ＝{0}なることと同値です

ベクトル空間の１次独立な元の最大個数は,各ベクトル空間に固有であり,これを次元と呼びます。Ｖの次元,Ｗの次元をそれぞれdimＶ,dimＷと書きます。

ＶとＷが同型:Ｖ～Ｗなら,もちろん,dimＶ＝dimＷです。

逆に任意のｎ次元ベクトル空間は,全て線型空間としては同型,つまりdimＶ＝dimＷならＶ～Ｗなので,特に体Ｋのｎ次元数ベクトル空間:Ｋⁿと同型です。

Ｋ＝Ｒ(実数体)なら,Ｋⁿ＝Ｒⁿはｎ次元ユークリッド空間です。

dimＶ＝ｎの場合,Ｖ～Ｋⁿなので,ＶをＫⁿと同一視します。

一方ｆ:Ｋⁿ → Ｋⁿの線型変換は,ｎ次の正方行列と同型対応しますが,この変換行列の全体はリー群(Lie group)を作ります。

この行列群を一般線型変換群と呼びます。これは,ＧＬ(ｎ,Ｋ)で表わされるのが慣例です。

そこで,もしもＶ～Ｗ～Ｋⁿなら,Ｖ→Ｗの線型写像ｆも"ＧＬ(ｎ,Ｋ)の元＝ｎ次正方行列"と同型対応するので,ｆをそのＧＬ(ｎ,Ｋ)の元の変換行列と同一視します。

以下では特に,Ｖ～ＫⁿでＶがＫ上のｎ次元ベクトル空間である場合,ＶをＶ(ｎ,Ｋ)と書くことがあります。

線型代数学において,"線型空間Ｖ,Ｗがあるとき,Ｖ→Ｗの任意の線型写像ｆに対してdimＶ＝dim(Kerｆ)＋dim(Imｆ)が成立する。"という定理があります。

先に述べた,"ｆが同型写像であることはKerｆ＝{0}と同値である。"という命題はこの定理の特別な場合に相当しています。

さて,ｆ:Ｖ→Ｋをベクトル空間Ｖ＝Ｖ(ｎ,Ｋ)上のある線型関数とします。

{ｅ_i}_i=1,2,..,nをＶの１つの基底として,ｖ≡ｖ¹ｅ₁＋ｖ²ｅ₂＋..＋ｖⁿｅ_n∈Ｖを適当に選びます。

このとき,ｆ(ｖ) ＝ｖ¹ｆ(ｅ₁)＋ｖ²ｆ(ｅ₂)＋．．＋ｖⁿｆ(ｅ_n)と書けます。そこで,{ｆ(ｅ_i)}_i=1,2,..,nが決まれば関数ｆは完全に決決定されまります。

そしてＶ上の２つの任意の線型関数ｆ₁,ｆ₂に対し,∀ａ₁,ａ₂∈Ｋについて,{ａ₁ｆ₁＋ａ₂ｆ₂}(ｖ)≡ａ₁ｆ₁(ｖ)＋ａ₂ｆ₂(ｖ)によって関数ａ₁ｆ₁＋ａ₂ｆ₂を定義すれば,ａ₁ｆ₁＋ａ₂ｆ₂もまたＶ上の線形関数なのでＶ上の線型関数全体も再び線型空間になります。

この線型空間をＶ＝Ｖ(ｎ,Ｋ)の双対ベクトル空間といい,Ｖ^*(ｎ,Ｋ),あるいは単にＶ^*と表わします。

先に述べたように,ｆ:Ｖ→Ｋはｎ個のＫの元の組(ｆ(ｅ₁),ｆ(ｅ₂),..,ｆ(ｅ_n))で完全に決まります。

これらの値が１つでも欠けるとｆは決まりませんが,このｎ個の"スカラー＝数"を並べた組は正にｎ次元数ベクトルの形をしています。

それ故,線型関数ｆとＫⁿの元が完全に１対１に対応することになりますから,Ｖ^＊とＫⁿは同型です。

よってＶ^*の次元もｎです。すなわちdimＶ^*＝dimＶですね。

そして,ｅ^*k(ｅ_i)＝δ_i^k (i＝1,2,..,ｎ)のｎ個の値で定義されるｎ個の線型関数ｅ^*k (ｋ＝1,2,．．,ｎ)の組をＶ^*の双対基底と呼ぶことにします。

明らかに,任意の線型関数ｆはｆ＝Σ_kｆ_kｅ^*kと展開されます。

そこで,∀ｖ∈Ｖに対し,ｆ(ｖ)＝Σ_kｆ_kｅ^*k(ｖ)＝Σ_k,iｆ_kｖⁱｅ^*k(ｅ_i)＝Σ_kｆ_kｖ^kとなります。

右辺はｆ∈Ｖ^*の成分(ｆ₁,ｆ₂,..,ｆ_n)とｖ∈Ｖの成分(ｖ¹,ｖ²,..,ｖⁿ)の内積の形になっています。そこで,ｆ(ｖ)をＶ^*×Ｖ→Ｋの内積として(ｆ,ｖ)と書くこともあります。

ｆ:Ｖ→Ｗとｇ:Ｗ→Ｋがあるとき,合成写像ｇ・ｆをｈと書いてｈ(ｖ)≡ｇ(ｆ(ｖ));ｖ∈Ｖと定義することで,ｈ∈Ｖ^*が得られます。

これを,ｇ∈Ｗ^＊が与えられたときに,写像ｆ:Ｖ→Ｗが写像ｈ∈Ｖ^*を誘導したと見ます。そこで,このｇ→ｈなる対応をｆ^*としてｈ＝ｆ^*(ｇ)と書くと,誘導写像と呼ばれる写像ｆ^*:Ｗ^*→Ｖ^*が得られます。

ｈ＝ｆ^*(ｇ)を,ｆ^*によるｇの引き戻しと呼びます。

以下ではＫを実数体Ｒとして考察します。

さて,Ｖ＝Ｖ(ｍ,Ｒ)を基底{ｅ_i}_i=1,2,..,mを持つベクトル空間,Ｖ^*をその双対空間とします。

このときdimＶ^*＝dimＶなので,ＶとＶ^*の間には同型写像ｇ:Ｖ→Ｖ^*が存在します。

先に述べたようにｇはＧＬ(ｍ,Ｒ)の任意の元と同一視できますから,ｇの行列としての成分表示が存在します。

すなわち,同型写像ｇ:Ｖ→Ｖ^*は,ｇ:ｖ^j→Σ_kｇ_jkｖ^k,つまりｇｅ_j＝Σ_kｇ_kjｅ^*k,またはｖ＝Σ_jｖ^jｅ_j∈Ｖに対して,ｇｖ＝Σ_k,jｇ_kjｖ^jｅ^*k∈Ｖ^*と表現できます。

そこで,Ｖの任意の２つのベクトルｖ₁とｖ₂の内積をｇ(ｖ₁,ｖ₂)と書き,同型写像ｇ:Ｖ→Ｖ^*を用いてｇ(ｖ₁,ｖ₂)≡Σ_k,jｖ₁^kｇ_kjｖ₂^j＝^t(ｇｖ₁)ｖ₂＝^tｖ₁^tｇｖ₂と定義します。

さらに,ｇ(ｖ₂,ｖ₁)＝ｇ(ｖ₁,ｖ₂)であるようにｇの行列(ｇ_ij)はｇ_ji＝ｇ_ijなる対称行列ｇであるとし,常にｇ(ｖ,ｖ)≧0:行列ｇ＝(ｇ_ij)は正値であるとします。

これによって非負のｖのノルムを,ｇ(ｖ,ｖ)の正の平方根として定義できます。

ｇ_ji＝ｇ_ij (^tｇ＝ｇ) なので,ｇ(ｖ₁,ｖ₂)＝Σ_k,jｖ₁^kｇ_kjｖ₂^j＝^t(ｇｖ₁)ｖ₂＝^tｖ₁^tｇｖ₂は,ｇ(ｖ₁,ｖ₂)＝Σ_k,jｖ₁^kｇ_jkｖ₂^j＝^tｖ₁ｇｖ₂と書いても同じです。

ただし^tｖ₁,^tｇの左上添字ｔはそれぞれ行列ｖ₁,ｇの転置行列を示しています。

次に,上と同じくｇ:Ｖ→Ｖ^*がＶ＝Ｖ(ｍ,Ｒ)からＶ^*への同型写像であるとき,Ｗ＝Ｗ(ｍ,Ｒ)を基底{ｅ^W_α}_α=1,2,..,mを持つｍ次元ベクトル空間とし,Ｇ:Ｗ→Ｗ^*をＷからＷ^*への同型写像とします。

そして,線型写像ｆ:Ｖ→Ｗが与えられたとき,∀ｖ∈Ｖ,∀ｗ∈Ｗに対してＧ(ｗ,ｆｖ)＝ｇ(ｖ,ｆ~ｗ)を満たす写像ｆ~:Ｗ→Ｖをが存在すれば,これをｆ:Ｖ→Ｗの随伴と呼びます。

Ｇ(ｗ,ｆｖ)＝ｇ(ｖ,ｆ~ｗ)は成分表示では,Σ_α,β,kｗ^αＧ_αβｆ^β_kｖ^k＝Σ_k,j,αｖ^kｇ_kjｆ~^j_αｗ^αとなります。

ここに(ｆ^β_j),(ｆ~^j_α)は,それぞれ写像ｆ,ｆ~の行列成分表示です。

この等式から,随伴の条件は,Ｇ_αβｆ^β_k＝ｇ_kjｆ~^j_α,またはＧ,ｆ,ｇ,ｆ~を行列として,^tｆ^tＧ＝ｇｆ~,or ｆ~＝ｇ^{-1 t}ｆ^tＧなることで与えられることがわかります。

ここで,ｇ,Ｇは同型写像故,detｇ≠0,かつdetＧ≠0 なので,条件ｆ~＝ｇ^{-1 t}ｆ^tＧから,rankｆ＝rankｆ~であることが結論されます。

rankｆ＝dim(Imｆ)ですから,このことはdim(Imｆ)＝dim(Imｆ~)を意味します。

なお,Ｋが実数体Ｒではなくて複素数体Ｃのときには,ｖ₁,ｖ₂∈Ｖ＝Ｖ(ｎ,Ｃ)に対する内積はｇ:Ｖ＝Ｖ^*を同型写像としてｇ(ｖ₁,ｖ₂)≡Σ_k,jｖ₁^k*ｇ_kjｖ₂^jで定義されます。ただし,ｖ₁^k*は複素数ｖ₁^kの複素共役です。

そして,ｆの随伴ｆ~はＧ(ｗ,ｆｖ)^*＝ｇ(ｖ,ｆ~ｗ)で定義され,随伴であるための条件はｆ~＝ｇ^-1ｆ⁺Ｇ⁺となります。

ただし,ｆ⁺はｆのエルミート共役であり,行列の意味でｆ⁺≡^ｔｆ^*なることを意味します。また,dim(Imｆ) ＝dim(Imｆ~)が成立することはＫがＣでもＫがＲの場合と同じです。

したがって,Ｖ,Ｗが体Ｋ上の有限次元ベクトル空間でｆ:Ｖ→Ｗが線型写像であるとすると,dimＶ＝dim(Kerｆ)＋dim(Imｆ),かつdimＷ＝dim(Kerｆ~)＋dim(Imｆ~)なので,ｆ~がｆの随伴でdim(Imｆ)＝dim(Imｆ~)なることは,dim(Kerｆ)－dim(Kerｆ~)＝dimＶ－dimＷを意味します。

右辺の差dimＶ－dimＷは写像ｆの選択には無関係です。

もしも,ｆが微分作用素Ｄ^である場合,Ｄ^の随伴はＤ^⁺と書かれ,左辺のdim(Kerｆ)－dim(Kerｆ~)はdim(KerＤ^)－dim(KerＤ^⁺)と表現されますが,これを微分作用素Ｄ^の解析的指数といいます。

したがって,dim(Kerｆ)－dim(Kerｆ~)＝dimＶ－dimＷなる等式は後に述べる指数定理のミニチュア版となっています。

今日はここで終わります。

参考文献：中原幹夫 著「理論物理学のための幾何学とトポロジー」(ピアソン・エデュケーション)

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