超弦理論(2)(ヴェネツィアノ振幅と双対性)

　超弦理論(superstring theory)の２回目です。 

一見したところ,Veneziano振幅:Ａ(ｓ,ｔ)＝Γ(－α(ｓ))Γ(－α(ｔ))/Γ(－α(ｓ)－α(ｔ))が双対性(duality)という性質を持つことは自明ではありませんが,以下では実際にそうした性質を持つことを証明します。

そのためには,まず,Eulerのガンマ関数:Γ(ｕ)≡∫₀^∞ｔ^u-1exp(－ｔ)ｄｔの性質を知る必要があります。

　まず,ガンマ関数は,恒等式Γ(ｕ＋1)＝ｕΓ(ｕ)に従います。また,Γ(1)＝1です。

　そこで,ｕが正の整数ならΓ(ｕ)＝(ｕ－1)!となります。積分表示Γ(ｕ)＝∫₀^∞ｔ^u-1exp(－ｔ)ｄｔによれば,ｕの実部が正(Reｕ＞0)である限り,Γ(ｕ)は有限値として定義できるので,Γ(ｕ)は複素ｕ平面のReｕ＞0 の領域には全く特異点を持ちません。

元々,ガンマ関数はReｕ＞0 の領域だけで定義されたのですが,Γ(ｕ)≡Γ(ｕ＋1)/ｕによって,Reｕ＞－1の領域にガンマ関数Γ(ｕ)の定義域を自然に拡張できます。

そして,こう定義すれば,拡張されたガンマ関数Γ(ｕ)は,ｕ＝0 に留数が１の１位の極を持つようになります。

このプロセスは一般化できます。

すなわち,上の操作を繰り返すことによって,Γ関数の定義域を任意の正の整数ｎに対してReｕ＞－ｎの領域に拡張することができます。

つまり,Γ(ｕ)≡Γ(ｕ＋ｎ)/{ｕ(ｕ＋1)..(ｕ＋ｎ－1)によって拡張定義するのですね。

この定義式の右辺は任意の正の整数ｎについてReｕ＞－ｎの領域で一意的に決まるので,結局全複素ｕ平面で元々の定義から解析接続によって定義したとしても,全く同じものが得られるはずです。

こうしてΓ(ｕ)はｕ＝0,－1,－2,..に単純な極を持つ以外には特異性を持たない複素ｕ平面全体で定義された関数であると考えることができます。

そしてｎを非負の整数とするとき,ｕ＝－ｎの近傍での挙動はΓ(ｕ)～{(－1)ⁿ/ｎ!}{1/(ｕ＋ｎ)}で表現されます。

ここで,Eulerのベータ関数と呼ばれる関数:Ｂ(ｕ,ｖ)≡Γ(ｕ)Γ(ｖ)/Γ(ｕ＋ｖ)を導入すれば,Venezianoによる散乱振幅をＡ(ｓ,ｔ)＝Ｂ(－α(ｓ),－α(ｔ))と表わすこともできます。

これまでのガンマ関数に対する考察から,ベータ関数Ｂ(ｕ,ｖ)≡Γ(ｕ)Γ(ｖ)/Γ(ｕ＋ｖ)はｕまたはｖについて,これらが非正の整数となるところに極を持ちます。

しかし,それらが二重極になることは決してありません。

なぜなら,[1/{(ｕ＋ｎ)(ｖ＋ｎ)}]/{1/(ｕ＋ｖ＋2ｎ)}＝1/(ｕ＋ｎ)＋1/(ｖ＋ｎ)となるからです。

これは重要なポイントです。なぜなら,１位の極は相対論的量子論のツリー振幅で唯一許される特異性だからです。

また,Ｂ(ｕ,ｖ)のｖ＝－ｎ(ｎは非負の整数)付近での挙動は,明らかにＢ(ｕ,ｖ)～ {1/(ｖ＋ｎ)}{(－1)ⁿ/ｎ!}(ｕ－1)(ｕ－2)..(ｕ－ｎ)となります。

これもまた重要なステップです。というのも,相対論的量子論では極の留数は多項式でなければならないからです。

Ｂ(ｕ,ｖ)は,固定されたｕに対してはｖの関数としてｖ＝－ｎの近傍ではＢ(ｕ,ｖ)～ {1/(ｖ＋ｎ)}{(－1)ⁿ/ｎ!}(ｕ－1)(ｕ－2)..(ｕ－ｎ)の右辺のような形に表わされ,任意の非負の整数ｎに対してｖ＝－ｎに"特異点＝極"を持ちます。

そこで,次に与える式の右辺の無限和が収束するような Reｕ＞0を満たすｕに対しては,Ｂ(ｕ,ｖ)＝Σ_n=0^∞{1/(ｖ＋ｎ)}{(－1)ⁿ/ｎ!}(ｕ－1)(ｕ－2)..(ｕ－ｎ)と書けるのでは？と予想されます。

ここでの考え方は,上式の右辺の級数和がベータ関数Ｂ(ｕ,ｖ)の全ての特異点とそこでの寄与を再現するというものです。

そして,もしもベータ関数Ｂ(ｕ,ｖ)がこうした無限級数和とは異なるとしたら,その差はｖの整関数であるはずです。

つまり,Ｂ(ｕ,ｖ)には,上記の式の右辺の無限級数に,複素ｖ平面上には全く特異点を持たない関数を加えたものであるという可能性しかありません。

しかし,そうした級数和以外の整関数の項がある場合には,正のｕに対してｖの絶対値が非常に大きい場合,級数和の部分は消えますが整関数の部分があるためにＢ(ｕ,ｖ)が消えるということはありません。

ところが,Ｂ(ｕ,ｖ)≡Γ(ｕ)Γ(ｖ)/Γ(ｕ＋ｖ)なる定義からは,ｕ,ｖが正の整数の場合,Ｂ(ｕ,ｖ)＝Γ(ｕ)Γ(ｖ)/Γ(ｕ＋ｖ)＝(ｕ－1)!/{ｖ(ｖ＋1)..(ｖ＋ｕ－1)です。

そこで,関数Ｂ(ｕ,ｖ)のｕ,ｖに関する連続性から,正のｕに対してｖの絶対値が非常に大きい場合にＢ(ｕ,ｖ)は消えることがわかります。

したがって,結局,Ｂ(ｕ,ｖ)＝Σ_n=0^∞{1/(ｖ＋ｎ)}{(－1)ⁿ/ｎ!}(ｕ－1)(ｕ－2)..(ｕ－ｎ)なる等式は正確に成り立つとせざるを得ません。

こうして,Veneziano振幅に対する級数和として,次のような表現が得られました。

すなわち,Ａ(ｓ,ｔ)＝－Σ_n=0^∞[(1/ｎ!){α(ｓ)＋1}{α(ｓ)＋2}．．{α(ｓ)＋ｎ}/{α(ｔ)－ｎ}]です。

元々,Veneziano振幅はＡ(ｓ,ｔ)＝Γ(－α(ｓ))Γ(－α(ｔ))/Γ(－α(ｓ)－α(ｔ))なる形で明白にＡ(ｓ,ｔ)＝Ａ(ｔ,ｓ)が成立するように定義されたのにも関わらず,級数展開表示では,こうした対称性は明らかには見えません。

しかし,対称性があることは定義から明白で,そのおかげでＡ(ｓ,ｔ)＝－Σ_n=0^∞[(1/ｎ!){α(ｔ)＋1}{α(ｔ)＋2}..{α(ｔ)＋ｎ}/{α(ｓ)－ｎ}]とも表現できることがわかります。

ここで,レッジェ軌跡(Regge trajectory):α(ｔ)として,簡単な１次関係式α(ｔ)＝α'ｔ＋α(0)を採用すれば,α(ｔ)－ｎ＝α'ｔ＋α(0)－ｎ＝α'[ｔ－{ｎ－α(0)}/α']と書けます。

そこで,Ａ(ｓ,ｔ)＝－Σ_n=0^∞[(1/ｎ!){α(ｓ)＋1}{α(ｓ)＋2}..{α(ｓ)＋ｎ}/{α(ｔ)－ｎ}]なる表現式での１/{α(ｔ)－ｎ}＝α'^-1/[ｔ－{ｎ－α(0)}/α']なる因子(ｎ＝0,1,2,..)を,以前に与えた散乱振幅Ａ(ｓ,ｔ)の表現における質量Ｍの交換粒子に対応する因子１/(ｔ－Ｍ²)と係数を除いて同一視します。

元々,レッジェ軌跡は質量ｔの共鳴粒子がその粒子の持つスピンα(ｔ)と,α(ｔ)＝α'ｔ＋α(0)なる線型関係にあることを意味するものです。

それ故,レッジェ極(Regge極):α(ｔ)がｔの１次式であるという選択では,α(ｔ)＝ｎなる極は平方質量がｔ＝Ｍ²＝{ｎ－α(0)}/α'の交換粒子があって,高々ｎのスピンを持つという事実に対応すると考えられます。

そこで,スピンがＪの粒子の可能な最小質量はＭ_J²＝{Ｊ－α(0)}/α'で与えられます。

α'がレッジェの傾きと呼ばれるのは,以上のような理由からでＭ_J²＝{Ｊ－α(0)}/α'を満たすスピンＪ,質量Ｍ_Jの粒子は,"leading Regge trajectory(主レッジェ軌跡)"の上にあると言われます。

ところで我々が関心あるのはα'＞0 のケースのみです。それは,もしもα'＜0 なら,ｔの極に対応する全ての粒子が非物理的なＭ_J²＜0 を満たす虚数質量Ｍ_Jのタキオン(tachyon)になってしまうからです。

Veneziano振幅の２つの表現:Ａ(ｓ,ｔ)＝－Σ_n=0^∞[(1/ｎ!){α(ｓ)＋1}{α(ｓ)＋2}..{α(ｓ)＋ｎ}/{α(ｔ)－ｎ}],およびＡ(ｓ,ｔ)＝－Σ_n=0^∞[(1/ｎ!){α(ｔ)＋1}{α(ｔ)＋2}..{α(ｔ)＋ｎ}/{α(ｓ)－ｎ}]の同等性は,一見不可能と思われた散乱振幅の双対性の実現です。

つまり,同じ１つの散乱振幅が,ｓチャンネルの極の寄与の和としても,ｔチャンネルの極の寄与の和としても表現可能であることが示されたわけです。

しかし,これらの表現では,なお明白でない部分があります。それは,ｓチャンネル,およびｔチャンネルにおける極の留数の符号です。

先に,散乱振幅をＡ(ｓ,ｔ)＝－Σ_Jｇ_J²(－ｓ)^J/(ｔ－Ｍ_J²)と表現しましたが,このときのスピンＪの交換粒子に対応する項の結合定数の平方ｇ_J²は,もちろん正の数です。

そこで,Ａ(ｓ,ｔ)＝－Σ_n=0^∞[(1/ｎ!){α(ｓ)＋1}{α(ｓ)＋2}..{α(ｓ)＋ｎ}/{α(ｔ)－ｎ}]なる表式においても,対応するスピンＪの項:－{1/(α'Ｊ!)}{α(ｓ)＋1}{α(ｓ)＋2}..{α(ｓ)＋Ｊ}/(ｔ－Ｍ_J²) (Ｍ_J²≡{Ｊ－α(0)}/α') の－(－1)^J/(ｔ－Ｍ_J²)の係数を与える留数も正であるべきことが要求されます。

ところが,これは自明とは言い難いむずかしい問題だったのです。

そして,"双対共鳴模型(dual resonance model)＝Veneziano模型"において,はるかに初期の仕事は専らこの問題の解決に関するものでした。

結局,この問題を解決することが,有名な"ノー・ゴースト定理(no-ghost theorem)"と呼ばれる重大な定理に結実したのです。

この"ノー・ゴースト定理"はα(0)の値と時空の次元に対して,ある驚くべき制限を課すなら,ゴースト,あるいは負の留数は存在し得ないということを主張するものです。

特に,時空の次元は26であるべきで,レッジェ軌跡α(ｓ)＝α'ｓ＋α(0)の切片:α(0)がα(0)＝１を満たす必要がある,という制約が課せられるべきであるという結果を得ました。

ここでは,序章の説明なのでこの程度にして,これらの内容については改めて続く章で詳述する予定です。

次に,後で必要になるので,Veneziano振幅の別の積分表示を求めておきます。

まず,ｕ,ｖの関数Ｃ(ｕ,ｖ)≡∫₀¹ｄｘ[ｘ^u-1(1－ｘ)^v-1]を考えます。部分積分によって,Ｃ(ｕ－1,ｖ＋1)＝∫₀¹ｄｘ[ｘ^u-2(1－ｘ)^v]＝{ｖ/(ｕ－1)}∫₀¹ｄｘ[ｘ^u-1(1－ｘ)^v-1]＝{ｖ/(ｕ－1)}Ｃ(ｕ,ｖ)なる関係式を得ます。

同様に,Ｃ(ｕ＋1,ｖ)＝∫₀¹ｄｘ[ｘ^u(1－ｘ)^v-1]＝∫₀¹ｄｘ[ｘ^u-1(1－ｘ)^v-1]－∫₀¹ｄｘ[ｘ^u-1(1－ｘ)^v]＝Ｃ(ｕ,ｖ)－Ｃ(ｕ,ｖ＋1)です。そして,明らかにＣ(1,1)＝1です。

一方,Eulerのベータ関数Ｂ(ｕ,ｖ)＝Γ(ｕ)Γ(ｖ)/Γ(ｕ＋ｖ)も,Ｂ(ｕ－1,ｖ＋1)＝Γ(ｕ－1)Γ(ｖ＋1)/Γ(ｕ＋ｖ)＝{ｖ/(ｕ－1)}Ｂ(ｕ,ｖ),Ｂ(ｕ＋1,ｖ)＝Γ(ｕ＋1)Γ(ｖ)/Γ(ｕ＋ｖ＋1)＝ｕΓ(ｕ)Γ(ｖ)/{(ｕ＋ｖ)Γ(ｕ＋ｖ)}＝Ｂ(ｕ,ｖ)－Ｂ(ｕ,ｖ＋1),およびＢ(1,1)＝1なるＣ(ｕ,ｖ)と全く性質を有します。

これらのことから,Ｃ(ｕ,ｖ)＝Ｂ(ｕ,ｖ)であると結論されます。

すなわち,ベータ関数Ｂ(ｕ,ｖ)は,Ｂ(ｕ,ｖ)＝∫₀¹ｄｘ[ｘ^u-1(1－ｘ)^v-1]とも積分表現されることがわかります。

したがって,Veneziano振幅は,Ａ(ｓ,ｔ)＝∫₀¹[ｘ^-α(s)-1(1－ｘ)^-α(t)-1]ｄｘなる積分表示を持つことがわかりました。

これはとても重要な式です。というのも弦理論で散乱振幅を計算する際のアプローチで通常Veneziano振幅が出現するのは,大抵はこの形だからです。

次に,Veneziano振幅の高エネルギーでの漸近的な挙動を調べてみます。そのため,まず,第一に固定したｔと大きいｓというレッジェ領域を想定します。

これはｓチャンネルでの小角度散乱に対応します。そしてレッジェ極理論では現象学として見られる双対性を体現します。

さて,Veneziano振幅:Ａ(ｓ,ｔ)＝Γ(－α(ｓ))Γ(－α(ｔ))/Γ(－α(ｓ)－α(ｔ))の高エネルギーでの漸近的な挙動を調べますが,これはガンマ関数の挙動を調べればわかります。

ガンマ関数:Γ(ｕ)＝∫₀^∞ｄｔ[t^u-1exp(－ｔ)]のｕ→ ∞での漸近形は,既にStirlingの公式としてΓ(ｕ)～(2π)^1/2ｕ^u-1/2exp(－ｕ)となることがわかっています。

この漸近式は,正の実数ｕだけでなく,Γ(ｕ)が極を持つ負の実軸から十分離れている限り,絶対値が非常に大きいｕに対しては常に正しい式であることがわかります。

したがって,α(ｓ)→ ∞では,Ａ(ｓ,ｔ)～Γ(－α(ｔ))(－α(ｓ))^-α(s)-1/2(－α(ｓ)－α(ｔ))^{α(s)+α(t)+1/22}exp{－α(ｓ)}exp{α(ｓ)＋α(ｔ)}となります。

そこで,結局,Ａ(ｓ,ｔ)～ Γ(－α(ｔ))(－α(ｓ))^α(t)なる漸近形が得られます。ｓの大きいところでも,線型のレッジェ軌跡α(ｓ)～α'ｓを仮定すれば,Ａ(ｓ,ｔ)～ｓ^α(t)(as ｓ→ ∞)と表わされます。

これらの結論は,ｓが正の実軸にあまり近づかない限り,複素ｓ平面での大きい|ｓ|に対して正しい評価式です。

正確には,実際の散乱の物理的領域は排除される領域に相当するので,こうした制限の内容に関しても論じる価値があります。

実際,本質的に物理的領域では非常に大きいｓに対してさえ,散乱振幅Ａ(ｓ,ｔ)は多くの零点や極を持った急変動関数であり,これらは共鳴の存在を反映するものです。

しかし,Ａ(ｓ,ｔ)～ Γ(－α(ｔ))(－α(ｓ))^α(t)～ｓ^α(t)は,零点や極にわたる平均という意味で正しい性質を示しています。

この平均化操作においては,入射エネルギーｓに程よい虚部を与えるのが理にかなった方法です。

というのも,一般に現実の共鳴は有限な寿命を持つ不安定な存在だからです。この,共鳴が不安定粒子であるという性質は,散乱振幅Ａ(ｓ,ｔ)においては,量子補正としてその極の位置に虚部を与えることに相当します。

そこで,Veneziano振幅の実軸上のそれぞれの極に虚部を与えることで,極を動かす量子補正の効果を模倣することができます。

漸近公式Ａ(ｓ,ｔ)～ｓ^α(t)を,単一のスピンＪの粒子交換の散乱振幅への寄与を与える一般的な公式Ａ_J(ｓ,ｔ)＝－ｇ²(－ｓ)^J/(ｔ－Ｍ²)と比較してみます。

固定したｔでｓが大きいときの後者の漸近的な動きはＡ_J(ｓ,ｔ)～ｓ^Jですから,前者Ａ(ｓ,ｔ)～ｓ^α(t)はｔに依存する角運動量Ｊ＝α(ｔ)の粒子のｔチャンネル交換から生じる漸近的な挙動と同等です。

したがって,ｓの高エネルギーでは任意に大きい角運動量の粒子のｔチャンネル交換の無限和が,ｔ依存の有効角運動量Ｊ＝α(ｔ)を持つ単一の架空粒子の交換の寄与だけで効果的に記述できることになります。

これはレッジェ理論の１つの魔法であると感じられます。

　α(ｔ)＝α'ｔ＋α(0)なる関係式では,前述したような理由でα'＞0 ですから,弾性散乱の物理的領域(ｔ＜0,ｓ＞0)で,少なくともｔが絶対値が十分大きい負の値である限り,α(ｔ)も負です。

　したがって,ｔが絶対値が十分大きい負の値である限り,大きいｓでの散乱振幅の動きは緩やかです。これはある意味,双対共鳴モデルの高エネルギーでの挙動は如何なる種類の場の理論,超繰り込み可能な場理論よりもはるかにソフトであるという事実の実例になっています。

　次に,レッジェ極限の代わりに,固定した散乱角についての高エネルギー極限でのVeneziano振幅を考えてみます。

　ｓ,ｔ,および質量中心系での散乱角θ_sの関係は,2ｔ＝－ｓ(1－cosθ_s)で与えられることは容易にわかります。

　そこでｆ(θ)≡cosθ－1とおけば,α(ｓ)～α'ｓ,α(ｔ)～α'ｔ＝－α'ｓ(1－cosθ_s)/2＝α'ｓｆ(θ_s)/2～α(ｓ)ｆ(θ_s)/2 です。

Veneziano振幅の定義:Ａ(ｓ,ｔ)＝Γ(－α(ｓ))Γ(－α(ｔ))/Γ(－α(ｓ)－α(ｔ))とStirlingの公式:Γ(ｕ)～(2π)^1/2ｕ^u-1/2exp(－ｕ)(ｕ→ ∞)を用います。

,散乱角θ_sを固定したままｓ→ ∞ としたとき,絶対値としてα(ｓ),α(ｔ)→ ∞ なので,そのときの振幅Ａ(ｓ,ｔ)の漸近形を見積もることができます。

ただし,ｕ→ ∞ではΓ(ｕ)～(2π)^1/2ｕ^u-1/2exp(－ｕ)のｕ^u-1/2はｕ^uで近似できるとして,Γ(ｕ)～(2π)^1/2ｕ^uexp(－ｕ)とします。

すると,Ａ(ｓ,ｔ)～(2π)^1/2(－α(ｓ))^-α(s)(－α(ｔ))^-α(t)/(－α(ｓ)－α(ｔ))^-α(s)-α(t)～(2π)^1/2(－α'ｓ)^-α(s){－α'ｓｆ(θ_s)/2}^-α(t)/[－α'ｓ{ｆ(θ_s)/2＋1}]^-α(s)-α(t)です。

そこで,Ａ(ｓ,ｔ)～Ｃ[ｆ(θ_s)]^{-α(s)ｆ(θs)/2}/[－α'ｓ{ｆ(θ_s)/2＋1}]^{-α(s){1＋ｆ(θs)/2}}＝Ｃ[{ｆ(θ_s)^ｆ(θs)/2}/{ｆ(θ_s)/2＋1}^{{1＋ｆ(θs)/2}}]^-α(s) です。

すなわち,Ｆ(θ)≡Ｃ^-1/α(s){ｆ(θ)^ｆ(θ)/2}/{ｆ(θ)/2＋1}^{{1＋ｆ(θ)/2}},ｆ(θ)≡cosθ－1とおけば,振幅Ａ(ｓ,ｔ)の漸近形が固定散乱角θ_sのみの関数のｓ乗になるという表現:Ａ(ｓ,ｔ)～{Ｆ(θ_s)}^-α(s)～[{Ｆ(θ_s)}^-α']^sに書けることが示されます。

今日はここで終わります。 

参考文献:M.B.Green,J.H.Schwarz,& E.Witten著「superstring theory」(Cambridge University Press)

ＰＳ:本当は"超弦理論"どころではなくて,先週末の３連休に読んだ20ページ程度の電磁エネルギー運動量テンソルに関する論文をブログで紹介したいと考えていたのです。

　しかし,その中の屈折率と電磁運動量の関係についての式の解釈について,このところずっと悩んでいたのです。

　量子論で,物質中で屈折して光速が遅くなったときの光子のエネルギー,運動量と古典論での電磁波の電束の連続性や現象論としての誘電率などとの関連を考えて,電磁気学だけでなく電磁光学や量子光学の本を一杯ひっくり返しています。

　まあ,いずれは考えがまとまると思うので,それまで"超弦理論"のシリーズでつなぎます。

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