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2008年10月19日 (日)

超弦理論(2)(ヴェネツィアノ振幅と双対性)

 超弦理論(superstring theory)の2回目です。 

一見したところ,Veneziano振幅:A(s,t)=Γ(-α(s))Γ(-α(t))/Γ(-α(s)-α(t))が双対性(duality)という性質を持つことは自明ではありませんが,以下では実際にそうした性質を持つことを証明します。

 

そのためには,まず,Eulerのガンマ関数:Γ(u)≡∫0u-1exp(-t)dtの性質を知る必要があります。

 まず,ガンマ関数は,恒等式Γ(u+1)=uΓ(u)に従います。また,Γ(1)=1です。

 

 そこで,uが正の整数ならΓ(u)=(u-1)!となります。積分表示Γ(u)=∫0u-1exp(-t)dtによれば,uの実部が正(Reu>0)である限り,Γ(u)は有限値として定義できるので,Γ(u)は複素u平面のReu>0 の領域には全く特異点を持ちません。

元々,ガンマ関数はReu>0 の領域だけで定義されたのですが,Γ(u)≡Γ(u+1)/uによって,Reu>-1の領域にガンマ関数Γ(u)の定義域を自然に拡張できます。

 

そして,こう定義すれば,拡張されたガンマ関数Γ(u)は,u=0 に留数が1の1位の極を持つようになります。

このプロセスは一般化できます。

 

すなわち,上の操作を繰り返すことによって,Γ関数の定義域を任意の正の整数nに対してReu>-nの領域に拡張することができます。

 

つまり,Γ(u)≡Γ(u+n)/{u(u+1)..(u+n-1)によって拡張定義するのですね。

 

この定義式の右辺は任意の正の整数nについてReu>-nの領域で一意的に決まるので,結局全複素u平面で元々の定義から解析接続によって定義したとしても,全く同じものが得られるはずです。

こうしてΓ(u)はu=0,-1,-2,..に単純な極を持つ以外には特異性を持たない複素u平面全体で定義された関数であると考えることができます。

 

そしてnを非負の整数とするとき,u=-nの近傍での挙動はΓ(u)~{(-1)n/n!}{1/(u+n)}で表現されます。

ここで,Eulerのベータ関数と呼ばれる関数:B(u,v)≡Γ(u)Γ(v)/Γ(u+v)を導入すれば,Venezianoによる散乱振幅をA(s,t)=B(-α(s),-α(t))と表わすこともできます。

これまでのガンマ関数に対する考察から,ベータ関数B(u,v)≡Γ(u)Γ(v)/Γ(u+v)はuまたはvについて,これらが非正の整数となるところに極を持ちます。

 

しかし,それらが二重極になることは決してありません。

 

なぜなら,[1/{(u+n)(v+n)}]/{1/(u+v+2n)}=1/(u+n)+1/(v+n)となるからです。

これは重要なポイントです。なぜなら,1位の極は相対論的量子論のツリー振幅で唯一許される特異性だからです。

 

また,B(u,v)のv=-n(nは非負の整数)付近での挙動は,明らかにB(u,v)~ {1/(v+n)}{(-1)n/n!}(u-1)(u-2)..(u-n)となります。

 

これもまた重要なステップです。というのも,相対論的量子論では極の留数は多項式でなければならないからです。

(u,v)は,固定されたuに対してはvの関数としてv=-nの近傍ではB(u,v)~ {1/(v+n)}{(-1)n/n!}(u-1)(u-2)..(u-n)の右辺のような形に表わされ,任意の非負の整数nに対してv=-nに"特異点=極"を持ちます。

 

そこで,次に与える式の右辺の無限和が収束するような Reu>0を満たすuに対しては,B(u,v)=Σn=0{1/(v+n)}{(-1)n/n!}(u-1)(u-2)..(u-n)と書けるのでは?と予想されます。

ここでの考え方は,上式の右辺の級数和がベータ関数B(u,v)の全ての特異点とそこでの寄与を再現するというものです。

 

そして,もしもベータ関数B(u,v)がこうした無限級数和とは異なるとしたら,その差はvの整関数であるはずです。

 

つまり,B(u,v)には,上記の式の右辺の無限級数に,複素v平面上には全く特異点を持たない関数を加えたものであるという可能性しかありません。

しかし,そうした級数和以外の整関数の項がある場合には,正のuに対してvの絶対値が非常に大きい場合,級数和の部分は消えますが整関数の部分があるためにB(u,v)が消えるということはありません。

 

ところが,B(u,v)≡Γ(u)Γ(v)/Γ(u+v)なる定義からは,u,vが正の整数の場合,B(u,v)=Γ(u)Γ(v)/Γ(u+v)=(u-1)!/{v(v+1)..(v+u-1)です。

 

そこで,関数B(u,v)のu,vに関する連続性から,正のuに対してvの絶対値が非常に大きい場合にB(u,v)は消えることがわかります。

したがって,結局,B(u,v)=Σn=0{1/(v+n)}{(-1)n/n!}(u-1)(u-2)..(u-n)なる等式は正確に成り立つとせざるを得ません。

こうして,Veneziano振幅に対する級数和として,次のような表現が得られました。

 

すなわち,A(s,t)=-Σn=0[(1/n!){α(s)+1}{α(s)+2}..{α(s)+n}/{α(t)-n}]です。

 

元々,Veneziano振幅はA(s,t)=Γ(-α(s))Γ(-α(t))/Γ(-α(s)-α(t))なる形で明白にA(s,t)=A(t,s)が成立するように定義されたのにも関わらず,級数展開表示では,こうした対称性は明らかには見えません。

 

しかし,対称性があることは定義から明白で,そのおかげでA(s,t)=-Σn=0[(1/n!){α(t)+1}{α(t)+2}..{α(t)+n}/{α(s)-n}]とも表現できることがわかります。

ここで,レッジェ軌跡(Regge trajectory):α(t)として,簡単な1次関係式α(t)=α't+α(0)を採用すれば,α(t)-n=α't+α(0)-n=α'[t-{n-α(0)}/α']と書けます。

 

そこで,A(s,t)=-Σn=0[(1/n!){α(s)+1}{α(s)+2}..{α(s)+n}/{α(t)-n}]なる表現式での1/{α(t)-n}=α'-1/[t-{n-α(0)}/α']なる因子(n=0,1,2,..)を,以前に与えた散乱振幅A(s,t)の表現における質量Mの交換粒子に対応する因子1/(t-M2)と係数を除いて同一視します。

 

元々,レッジェ軌跡は質量tの共鳴粒子がその粒子の持つスピンα(t)と,α(t)=α't+α(0)なる線型関係にあることを意味するものです。

  

それ故,レッジェ極(Regge極):α(t)がtの1次式であるという選択では,α(t)=nなる極は平方質量がt=M2={n-α(0)}/α'の交換粒子があって,高々nのスピンを持つという事実に対応すると考えられます。

そこで,スピンがJの粒子の可能な最小質量はMJ2={J-α(0)}/α'で与えられます。

 

α'がレッジェの傾きと呼ばれるのは,以上のような理由からでMJ2={J-α(0)}/α'を満たすスピンJ,質量MJの粒子は,"leading Regge trajectory(主レッジェ軌跡)"の上にあると言われます。

ところで我々が関心あるのはα'>0 のケースのみです。それは,もしもα'<0 なら,tの極に対応する全ての粒子が非物理的なMJ2<0 を満たす虚数質量MJのタキオン(tachyon)になってしまうからです。

Veneziano振幅の2つの表現:A(s,t)=-Σn=0[(1/n!){α(s)+1}{α(s)+2}..{α(s)+n}/{α(t)-n}],およびA(s,t)=-Σn=0[(1/n!){α(t)+1}{α(t)+2}..{α(t)+n}/{α(s)-n}]の同等性は,一見不可能と思われた散乱振幅の双対性の実現です。

 

つまり,同じ1つの散乱振幅が,sチャンネルの極の寄与の和としても,tチャンネルの極の寄与の和としても表現可能であることが示されたわけです。

しかし,これらの表現では,なお明白でない部分があります。それは,sチャンネル,およびtチャンネルにおける極の留数の符号です。

先に,散乱振幅をA(s,t)=-ΣJJ2(-s)J/(t-MJ2)と表現しましたが,このときのスピンJの交換粒子に対応する項の結合定数の平方gJ2は,もちろん正の数です。

 

そこで,A(s,t)=-Σn=0[(1/n!){α(s)+1}{α(s)+2}..{α(s)+n}/{α(t)-n}]なる表式においても,対応するスピンJの項:-{1/(α'J!)}{α(s)+1}{α(s)+2}..{α(s)+J}/(t-MJ2) (MJ2≡{J-α(0)}/α') の-(-1)J/(t-MJ2)の係数を与える留数も正であるべきことが要求されます。

 

ところが,これは自明とは言い難いむずかしい問題だったのです。

そして,"双対共鳴模型(dual resonance model)=Veneziano模型"において,はるかに初期の仕事は専らこの問題の解決に関するものでした。

 

結局,この問題を解決することが,有名な"ノー・ゴースト定理(no-ghost theorem)"と呼ばれる重大な定理に結実したのです。

この"ノー・ゴースト定理"はα(0)の値と時空の次元に対して,ある驚くべき制限を課すなら,ゴースト,あるいは負の留数は存在し得ないということを主張するものです。

 

特に,時空の次元は26であるべきで,レッジェ軌跡α(s)=α's+α(0)の切片:α(0)がα(0)=1を満たす必要がある,という制約が課せられるべきであるという結果を得ました。

 

ここでは,序章の説明なのでこの程度にして,これらの内容については改めて続く章で詳述する予定です。

次に,後で必要になるので,Veneziano振幅の別の積分表示を求めておきます。

まず,u,vの関数C(u,v)≡∫01dx[xu-1(1-x)v-1]を考えます。部分積分によって,C(u-1,v+1)=∫01dx[xu-2(1-x)v]={v/(u-1)}∫01dx[xu-1(1-x)v-1]={v/(u-1)}C(u,v)なる関係式を得ます。

 

同様に,C(u+1,v)=∫01dx[xu(1-x)v-1]=∫01dx[xu-1(1-x)v-1]-∫01dx[xu-1(1-x)v]=C(u,v)-C(u,v+1)です。そして,明らかにC(1,1)=1です。

一方,Eulerのベータ関数B(u,v)=Γ(u)Γ(v)/Γ(u+v)も,B(u-1,v+1)=Γ(u-1)Γ(v+1)/Γ(u+v)={v/(u-1)}B(u,v),B(u+1,v)=Γ(u+1)Γ(v)/Γ(u+v+1)=uΓ(u)Γ(v)/{(u+v)Γ(u+v)}=B(u,v)-B(u,v+1),およびB(1,1)=1なるC(u,v)と全く性質を有します。

これらのことから,C(u,v)=B(u,v)であると結論されます。

 

すなわち,ベータ関数B(u,v)は,B(u,v)=∫01dx[xu-1(1-x)v-1]とも積分表現されることがわかります。

したがって,Veneziano振幅は,A(s,t)=∫01[x-α(s)-1(1-x)-α(t)-1]dxなる積分表示を持つことがわかりました。

 

これはとても重要な式です。というのも弦理論で散乱振幅を計算する際のアプローチで通常Veneziano振幅が出現するのは,大抵はこの形だからです。

次に,Veneziano振幅の高エネルギーでの漸近的な挙動を調べてみます。そのため,まず,第一に固定したtと大きいsというレッジェ領域を想定します。

 

これはsチャンネルでの小角度散乱に対応します。そしてレッジェ極理論では現象学として見られる双対性を体現します。

さて,Veneziano振幅:A(s,t)=Γ(-α(s))Γ(-α(t))/Γ(-α(s)-α(t))の高エネルギーでの漸近的な挙動を調べますが,これはガンマ関数の挙動を調べればわかります。

 

ガンマ関数:Γ(u)=∫0dt[tu-1exp(-t)]のu→ ∞での漸近形は,既にStirlingの公式としてΓ(u)~(2π)1/2u-1/2exp(-u)となることがわかっています。

 

この漸近式は,正の実数uだけでなく,Γ(u)が極を持つ負の実軸から十分離れている限り,絶対値が非常に大きいuに対しては常に正しい式であることがわかります。

したがって,α(s)→ ∞では,A(s,t)~Γ(-α(t))(-α(s))-α(s)-1/2(-α(s)-α(t))α(s)+α(t)+1/22exp{-α(s)}exp{α(s)+α(t)}となります。

 

そこで,結局,A(s,t)~ Γ(-α(t))(-α(s))α(t)なる漸近形が得られます。sの大きいところでも,線型のレッジェ軌跡α(s)~α'sを仮定すれば,A(s,t)~sα(t)(as s→ ∞)と表わされます。

これらの結論は,sが正の実軸にあまり近づかない限り,複素s平面での大きい|s|に対して正しい評価式です。

 

正確には,実際の散乱の物理的領域は排除される領域に相当するので,こうした制限の内容に関しても論じる価値があります。

実際,本質的に物理的領域では非常に大きいsに対してさえ,散乱振幅A(s,t)は多くの零点や極を持った急変動関数であり,これらは共鳴の存在を反映するものです。

 

しかし,A(s,t)~ Γ(-α(t))(-α(s))α(t)~sα(t)は,零点や極にわたる平均という意味で正しい性質を示しています。

この平均化操作においては,入射エネルギーsに程よい虚部を与えるのが理にかなった方法です。

 

というのも,一般に現実の共鳴は有限な寿命を持つ不安定な存在だからです。この,共鳴が不安定粒子であるという性質は,散乱振幅A(s,t)においては,量子補正としてその極の位置に虚部を与えることに相当します。

 

そこで,Veneziano振幅の実軸上のそれぞれの極に虚部を与えることで,極を動かす量子補正の効果を模倣することができます。

漸近公式A(s,t)~sα(t)を,単一のスピンJの粒子交換の散乱振幅への寄与を与える一般的な公式AJ(s,t)=-g2(-s)J/(t-M2)と比較してみます。

 

固定したtでsが大きいときの後者の漸近的な動きはAJ(s,t)~sJですから,前者A(s,t)~sα(t)はtに依存する角運動量J=α(t)の粒子のtチャンネル交換から生じる漸近的な挙動と同等です。

したがって,sの高エネルギーでは任意に大きい角運動量の粒子のtチャンネル交換の無限和が,t依存の有効角運動量J=α(t)を持つ単一の架空粒子の交換の寄与だけで効果的に記述できることになります。

 

これはレッジェ理論の1つの魔法であると感じられます。

 α(t)=α't+α(0)なる関係式では,前述したような理由でα'>0 ですから,弾性散乱の物理的領域(t<0,s>0)で,少なくともtが絶対値が十分大きい負の値である限り,α(t)も負です。

 

 したがって,tが絶対値が十分大きい負の値である限り,大きいsでの散乱振幅の動きは緩やかです。これはある意味,双対共鳴モデルの高エネルギーでの挙動は如何なる種類の場の理論,超繰り込み可能な場理論よりもはるかにソフトであるという事実の実例になっています。

 次に,レッジェ極限の代わりに,固定した散乱角についての高エネルギー極限でのVeneziano振幅を考えてみます。

 s,t,および質量中心系での散乱角θsの関係は,2t=-s(1-cosθs)で与えられることは容易にわかります。

 

 そこでf(θ)≡cosθ-1とおけば,α(s)~α's,α(t)~α't=-α's(1-cosθs)/2=α'sf(θs)/2~α(s)f(θs)/2 です。

Veneziano振幅の定義:A(s,t)=Γ(-α(s))Γ(-α(t))/Γ(-α(s)-α(t))とStirlingの公式:Γ(u)~(2π)1/2u-1/2exp(-u)(u→ ∞)を用います。

 

,散乱角θsを固定したままs→ ∞ としたとき,絶対値としてα(s),α(t)→ ∞ なので,そのときの振幅A(s,t)の漸近形を見積もることができます。

 

ただし,u→ ∞ではΓ(u)~(2π)1/2u-1/2exp(-u)のuu-1/2はuuで近似できるとして,Γ(u)~(2π)1/2uexp(-u)とします。

すると,A(s,t)~(2π)1/2(-α(s))-α(s)(-α(t))-α(t)/(-α(s)-α(t))-α(s)-α(t)~(2π)1/2(-α's)-α(s){-α'sf(θs)/2}-α(t)/[-α's{f(θs)/2+1}]-α(s)-α(t)です。

 

そこで,A(s,t)~C[f(θs)]-α(s)f(θs)/2/[-α's{f(θs)/2+1}]-α(s){1+f(θs)/2}=C[{f(θs)f(θs)/2}/{f(θs)/2+1}{1+f(θs)/2}]-α(s) です。

すなわち,F(θ)≡C-1/α(s){f(θ)f(θ)/2}/{f(θ)/2+1}{1+f(θ)/2},f(θ)≡cosθ-1とおけば,振幅A(s,t)の漸近形が固定散乱角θsのみの関数のs乗になるという表現:A(s,t)~{F(θs)}-α(s)~[{F(θs)}-α']sに書けることが示されます。

今日はここで終わります。 

参考文献:M.B.Green,J.H.Schwarz,& E.Witten著「superstring theory」(Cambridge University Press)

 

PS:本当は"超弦理論"どころではなくて,先週末の3連休に読んだ20ページ程度の電磁エネルギー運動量テンソルに関する論文をブログで紹介したいと考えていたのです。

  

 しかし,その中の屈折率と電磁運動量の関係についての式の解釈について,このところずっと悩んでいたのです。

 

 量子論で,物質中で屈折して光速が遅くなったときの光子のエネルギー,運動量と古典論での電磁波の電束の連続性や現象論としての誘電率などとの関連を考えて,電磁気学だけでなく電磁光学や量子光学の本を一杯ひっくり返しています。

 

 まあ,いずれは考えがまとまると思うので,それまで"超弦理論"のシリーズでつなぎます。

 

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