« 大麻は身体にとって危険か? | トップページ | またスケープゴート?? »

2008年11月 3日 (月)

相対論の幾何学(第Ⅱ部-4)(流れとリー微分)

相対論の幾何学の続きです。 

このシリーズは前記事からずいぶん間が開いたので,まず「相対論の幾何学(第Ⅱ部-3:多様体上のテンソル場)」の最後の部分を再掲して今日の記事で必要なことを復習します。

以下は以前の記事「相対論の幾何学(第Ⅱ部-3:多様体上のテンソル場)」における最後の部分で今日の議論に必要な部分です。

※(再掲記事):m次元,n次元の微分可能多様体M,NがあってfをM→Nの滑らかな写像とします。

 

すなわち,fはMの各点p∈MにNの点f(p)∈Nを対応させる写像で,点p,および点f(p)の近傍に局所的な地図の番地として,それぞれm個,およびn個の数の座標を与えたとき,f(p)の座標がpの座標で無限回連続微分可能(C-級)である,とします。

 

そしてN上の任意の滑らかな関数g:N→に対し合成写像:(g・f)(p)≡g(f(p))によって,M上の関数(g・f):M→を作るとき,この関数に対し,p∈MにおけるMの任意の接ベクトル^∈Tp(M)(^≡Vμ(∂/∂xμ))の作用は,^[g・f]と書けます。

 

略記号的には,^[g・f]=Vμ(){∂(g・f)/∂xμ}です。

一方,p∈MにおけるMの接ベクトル^∈Tp(M)に,f(p)∈NにおけるNの1つの接ベクトル,すなわちTf(p)(N)の1つの元:h(^)を対応させる写像h:Tp(M)→Tf(p)(N)を考えます。

 

そして,特に,N上の任意の滑らかな関数g:N→に対しh(^)[g]≡^[g・f]を満たすhをf*と書きます。

 

すなわち,f*(^)[g]≡^[g・f]によってTp(M)からTf(p)(N)への写像f*を定義するわけです。

 

このように定められた自然な写像f*:Tp(M)→Tf(p)(N)をfの微分写像と呼びます。

厳密には,p∈M,f(p)∈Nには座標φ(p)=m,座標ψ(f(p))=nが付与されています。f*(^)[g]≡^[g・f]は,f*(^)[g・ψ-1()]≡^[g・f・φ-1()]と書かれるべきです。

 

そこで,^=Vμ(∂/∂xμ)と陽に表わした結果として,f*(^)=Wμ(∂/∂yμ)と成分表示できるとすれば,Wν(∂[g・ψ-1()]/∂yν)=Vλ(∂[g・f・φ-1()]/∂xλ)です。

さらに,g・ψ-1()≡yμを代入すれば,=ψ(f(p))=ψ(f・φ-1())よりg・ψ-1()=f・φ-1()と書けますから,Wμ=Vλ(∂yμ/∂xλ)なる表式が得られます。

 

そして,=ψ(f(p))=ψ(f・φ-1())であり,これはψ-1()=f・φ-1(),つまり,写像f:p→f(p)の正確な表現を意味します。

 

そこで,上述の変換行列(∂yμ/∂xλ)は,単に写像f:M→Nを座標表示でのm →Rnなる写像と見たときのヤコービ行列を示しているのに過ぎません。

 

そこで,この微分写像f*:Tp(M)→Tf(p)(N)を写像f:M→Nによって誘導される写像,あるいは単に誘導写像と呼びます。

また,上述のような写像f:M→NからM,Nの接空間の間にf*(^)[g]≡^[g・f]を満たす写像として誘導写像f*:Tp(M)→Tf(p)(N)を定めた論旨からのアナロジーで,

 

"接空間の双対空間=余接空間"の間にも写像fから誘導される写像:f*:Tf(p)*(N)→Tp*(M)を,<f*ω,^>=<ω,f*(^)>を満たす自然な写像として定義します。

*がf:M→Nに対してTp(M)からTf(p)(N)への写像であったのに反して,f*の方はTf(p)*(N)からTp*(M)への写像であり,これは対応する余接空間の間の写像の向きが,元の多様体の間の写像の向きM→Nと逆なので,いわゆる引き戻しと呼ばれるものの一種ですね。

 

(再掲終わり)※

と書きました。 

さて,ここからは今日の話題です。

まずは言葉の定義です。多様体M,Nがその次元に関して,特にm≦n,すなわち,dimM≦dimNを満たすとします。

 

このとき滑らかな写像f:M→Nによって誘導される微分写像f*:Tp(M)→Tf(p)(N)が単射なら,つまり,rank­f*=m=dimMなら,写像fをMからNへの"はめ込み(immersion)"と呼びます。

さらに,写像fが"はめ込み"であって,かつfによるMの像f(M)がMに微分同相であるときには,fを単に"はめこみ"と呼ぶだけでなく"埋め込み(embedding)"とも呼びます。

 

そして,この場合にはf(M)をNの部分多様体と呼びます。

 

話は変わって,^≡Xμ(∂/∂xμ)をM上の滑らかなベクトル場とするとき,^の積分曲線(t)とは,M上の曲線であって,その上の各点(t)∈Mにおける接ベクトルが常に^のにおけるベクトル^|xに一致するものをいいます。

 

つまり,(t)が^の積分曲線であるとは,その曲線上の各点の近傍でチャート(U,φ)が与えられているとき,φ((t))で与えられる座標xμがdxμ/dt=Xμ((t))を満たすことを意味します。

 

つまり,正確には記号xμ=xμ(t)はチャート(U,φ)の座標φ((t))のμ番目の成分です。

 

上記の^の積分曲線(t)を求めるのは,明らかに力学系としての自励系常微分方程式dxμ/dt=Xμ((t)),あるいはd/dt=の解曲線を求めることに相当します。

 

今の場合,ベクトル場^≡Xμ(∂/∂xμ)が滑らかなそれであることから初期条件として点(0)=0を与えられると,少なくとも局所的には,その点を通るd/dt=の一意解が存在することが常微分方程式の"解の存在と一意性の定理"によって保証されます。

そこで,初期条件(0)=0を満たすd/dt=の一意解を可能な限り延長した曲線をσ(t,0)と表記することにします。

 

すなわち,σ(t,0)=σμ(t,0)は座標成分としてdσμ(t,0)/dt=Xμ(σ(t,0)),σμ(0,0)=x0μなる方程式の一意解であるとします。

 

これら曲線群を各(t,)∈×Mに,σ(t,)∈Mを対応させるσ:×M→Mなる写像と見て,これを"多様体M上の滑らかなベクトル場^によって生成される流れ"と呼ぶことにします。

"^によって生成される流れ"σ(t,)は∀s,t∈に対して加法的関係σ(t,σ(s,))=σ(t+s,)を満たすことがわかります。

 

実際,dσμ(t,σ(s,))/dt=Xμ(σ(t,σ(s,)),σμ(0,σ(s,))=σμ(s,)であり,かつdσμ(t+s,)/dt=Xμ(σ(t+s,),σμ(0+s,)=σμ(s,)です。

 

そして,微分方程式の解の一意性によって,dσμ/dt=Xμを満たす解曲線σμはどこにも交点を持たず,同じ初期条件を満たす解は唯1つしか存在しないからです。

固定したt∈に対しては,流れσ(t,)は,MからMへの微分同相写像です。これの証明は自明なので省略します。

 

MからMへの微分同相写像と見るとき,σ(t,)をσt()と書きます。これは写像としてはσt:M → Mと表わされます。

 

このとき,上に示した流れの性質σ(t,σ(s,))=σ(t+s,)はσt(σs())=σt+s(),つまり,合成写像としてσtσsσt+sを意味します。

 

また,明らかにσ0=1(恒等写像;単位元)です。さらに,σ-t=(σt)-1(逆元)も明らかです。こうして∀t∈に対し写像σt全体の集合は合成写像という演算について1つの群をなすことがわかります。

 

このようにして得られる群を1-パラメータ変換群と呼びます。

この1-パラメータ変換群は局所的には加法群に類似していますが,一般に大域的にはと同型であるとは限りません。

ここで,σt()をσ(t,)なる表示に戻してdσμ(t,)/dt=Xμ(σ(t,))を考えると,座標が=xμの点での無限小のεに対するσεの作用はσε()=σ(ε,)=xμ+εXμ()であり,点=xμが点+ε()=xμ+εXμ()に移されることです。

 

この意味で,変換群σtはベクトル場σtの生成子としてσt()=σ(t,)=exp(t)のように指数関数で表現できることがわかります。

 

この指数関数表現は,変換の加法性σtσsσt+s,あるいはσ(t,σ(s,))=σ(t+s,)によって正当化されます。

この1-パラメータ変換群の性質を指数関数表現を用いて要約すると,(ⅰ)σ(0,)==exp(0),(ⅱ)dσ(t,)/dt=exp(t)=(d/dt)[exp(t)],(ⅲ)σ(t,σ(s,))=σ(t,exp(s))=exp(t)exp(s)=exp[(t+s)]σ(t+s,)となります。

次にσ(t,)とτ(t,)を,それぞれベクトル場^≡Xμ(∂/∂xμ)と^≡Yμ(∂/∂xμ)によって生成される2つの流れとします。

 

すなわち,dσμ(t,)/dt=Xμ(σ(t,)),dτμ(t,)/dt=Yμ(τ(t,))とします。

 

そして,接ベクトル場^=Yμ(∂/∂xμ)の曲線σ(t,)に沿った変化を考えます。

 

これは,点におけるベクトル^と,そのすぐ近くの点'=σε()におけるベクトル^を比較することを意味します。

しかし,におけるベクトル^|xσε()におけるベクトル^|σε(x)の単なる成分を比較して,それの差を考えるのは幾何学的意味が乏しいです。

 

というのも,^|xは接空間Tx(M)のベクトルですが,^|σε(x)はそれとは全く異なる接空間Tσε(x)(M)のベクトルだからです。

 

そこで,ベクトル^|σε(x)∈Tσε(x)(M)をσ:M→Mの誘導写像(σ)*:Tσε(x)(M)→Tx(M)によって,Tx(M)のベクトル(σ)*^|σε(x)に移し,その後で差を取ることにします。

すなわち,差{(σ)*^|σε(x)^|x}は同じ接空間Tx(M)のベクトルの差ですから,この差自身も接空間Tx(M)のベクトルという意味を持つわけです。

 

これをεで割ってε→ 0 の極限を取ったものが接ベクトル場^=Yμ(∂/∂xμ)の曲線σ(t,)に沿った変化の意味のある変化率を与えると考えられ,これを^の流れσに沿った^の"リー微分(Lie-微分)"と呼び,Xと表現します。

 

すなわち,リー微分をX^≡limε→0[(1/ε){(σ)*^|σε(x)^|x}]なる式で定義します。

これは,もちろんεを-εにして,X^≡limε→0[(1/ε){^|x-(σε)*^|σ-ε(x)}]と定義しても同じです。

 

上に述べたように,差{(σ)*^|σε(x)^|x},または{^|x-(σε)*^|σ-ε(x)}は,接空間Tx(M)のベクトルという意味を持つので,リー微分X^自身も接空間Tx(M)のベクトルであり1つのベクトル場を表わしています。

(σ)*^|σε(x)を陽に成分表示します。

 

まず,^|σε(x)=Yμ(xν+εXν)(∂/∂xμ)|xX=[Yμ()+εXν(∂Yμ/∂xν)](∂/∂xμ)|xXです。

 

このσε()=+εにおけるベクトルを(σ)*によってのベクトルに移します。

 

これは,(σ)*^|σε(x)=[Yμ()+εXλ(∂Yμ/∂xλ)]{δνμ-ε(∂Xν/∂xμ)}(∂/∂xν)|x=Yμ()(∂/∂xμ)|x+ε[Xμ(∂Yν/∂xμ)-Yμ()(∂Xν/∂xμ)](∂/∂xν)|x+O(ε2)です。

したがって,リー微分はX^≡limε→0[(1/ε){(σ)*^|σε(x)^|x}]=[Xμ(∂Yν/∂xμ)-Yμ()(∂Xν/∂xμ)](∂/∂xν)|xとなります。

 

∂/∂xμを∂μと書く簡略記法で引数を省略すればX^=(Xμμν-Yμμν)∂νです。

 

特に,M上の任意の滑らかな写像fに作用する"リー括弧積"なる演算子:[^,^]を[^,^]f≡(Xμμν-Yμμν)∂νfで定義すれば,X^=[^,^]となります。

X^=[^,^]=(Xμμν-Yμμν)∂νの右辺における項(Xμμν)∂νも,項(Yμμν)∂νも,単独ではfに作用するときxの2階偏微分を含むため,ベクトル場とは成り得ません。

 

ところが,X^は接空間Tx(M)に属するベクトルなので,それらの項の差で定義される[^,^]=X^=(Xμμν-Yμμν)∂νはベクトル場になります。

ここで,後で必要なのでリー括弧積,およびリー微分の性質を証明抜きで列挙しておきます。

 

(a)(双線型性):任意の定数c1,c2に対して[^,c11^+c22^]=c1[^,1^]+c2[^,2^],[c1YX1^+c22^,^]=c1[1^,^]+c2[2^,^],

 

(b)(歪対称性):[^,^]=-[^,^]

 

(c)(ヤコービ恒等式):[[^,^],^]+[[^,^],^]+[[^,^],^]=0 ,

 

(d)fをM上の滑らかな関数とするとき,fX^=[f^,^]=f[^,^]+^[f]^,X^=[f^,f^]=f[^,^]+^[f]^,

 

(e)fをM→Nの滑らかな写像とするとき,f*[^,^]=[f*^,f*^]

 

です。

リー括弧積:[^,^]は幾何学的にはベクトル場^,^によって生成される流れの非可換性を表わしています。

 

すなわち,σ(t,)とτ(t,)をそれぞれベクトル場^≡Xμ(∂/∂xμ)と^≡Yμ(∂/∂xμ)によって生成される2つの流れとします。

 

このとき,最初,流れσに沿ってεだけ移動し次に流れτに沿ってδだけ移動したときと,逆に最初,流れτに沿ってδだけ移動し次に流れσに沿ってεだけ移動したときの座標の差がεδ[^,^]になることがわかります。

こうした異なる経路で移動した場合の到達点が経路によらない,つまりτ(δ,σ(ε,))=σ(ε,τ(δ,))であるための必要十分条件は,明らかにX^=[^,^]=0 です。

今は相対論の幾何学の話を考察していて,リー括弧積の非可換性はベクトルやテンソルの平行移動概念,あるいは接続,共変微分と関係しているわけです。

 

物理学の基礎理論では,変換群(特にリー群の一種で接触変換,あるいはゲージ変換と呼ばれるもの)に対する理論の不変性はある種の自然の対称性に関係しています。

 

そこで,その変換群の生成子が一般には非可換な演算子,または作用素であって,それらが結局は観測可能な物理量と同定されるというような話が主題になれば,こうした話は古典論である相対論よりもむしろ,量子論の本質的なところと関係があるともいえますね。

次に,^|x∈Tx(M)のリー微分X^の定義に習って,M上の微分1形式ω∈Ω(M),特に余接空間Tx*(M)の1つのベクトル:ω|x∈Tp*(M)に対する^の流れσに沿ったリー微分Xωを,式Xω≡limε→0[(1/ε){(σε)*ω|σε(x)-ω|x}]によって定義します。

 

ここで,右辺の写像(σε)*の意味ですが,滑らかな写像f:M→Nに対するもう1つの誘導写像f*:Tf(p)*(N) →Tp*(M)が,ω∈f(p)*(N)に対して<f*ω,^>=<ω,f*(^)>を満たすものとして定義されることは,再掲記事で述べた通りです。

前のX^の定義の場合と同様に,Xωの定義式における(σε)*ω|σε(x)を陽に成分表示します。

 

まず,ω=ωμdxμよりω|σε(x)=ωμ(+ε)dxμ|xX=[ωμ()+εXν()∂νωμ]dxμ|xX です。

 

このσε()=+εにおけるベクトル:ω|σε(x)を,(σε)*によってのベクトルに移すと,(σε)*ω|σε(x)=[ωμ()+εXν()∂νωμ](δμλ+ε∂λμ)dxλ)|x=ωμ()dxμ+ε[{Xννωμ()+(∂μνν()]dxμ]+O(ε2)となります。

したがって,Xω={Xννωμ+(∂μνν}dxμですが,定義Xω≡limε→0[(1/ε){(σε)*ω|σε(x)-ω|x}]の右辺の差{(σε)*ω|σε(x)-ω|x}が同じ余接空間Tx*(M)における2つのベクトルの差なので,リー微分Xω自身も余接空間Tx*(M)の1つのベクトル,つまり"微分1形式=(1,0)テンソル"です。

 

すなわち,ω∈Ω(M)なので,XωもΩ(M)の元です。

また,M上の関数,つまり(0,0)テンソルfの^によって生成される流れσに沿ったリー微分は,式Xf≡limε→0[(1/ε){f(σε())-f()}]=limε→0[(1/ε){f(+ε)-f()}]で定義されます。

 

Xf=Xμ(∂f/∂xμ)=^(f)ですね。

さらに,一般のテンソルに対して^によって生成される流れσに沿ったリー微分は,t1,t2を同じ(p,q)型のテンソル場とするとき,X(t1+t2)=X1X2なる線型性を満たします。

 

また,t1,t2を任意の型のテンソル場とするときX(t1×t2)=(X1)×t2+t1×(X2)なるライプニッツ則を満たすものとして,一意的に定義することができます。

例えば,t1=ω∈Tx*(M),t2^のとき,(1,1)型テンソル場:t≡t1×t2=ω×∈Tx11(M)に対し,Xt∈Tx11(M)はX(ω×^)=Xω×^+ω×X^で与えられます。

 

同様に,X(^×ω)=Xω+X^×ωですね。

特に,t=tμν(dxμ×∂ν)∈Tx11(M)のときtのリー微分はXtはX(tμν(dxμ×∂ν))=X(tμν)(dxμ×∂ν)+tμνX(dxμ)×∂ν+tμνdxμ×X(∂ν)=^(tμν)(dxμ×∂ν)+tμν(∂λμ)(dxλ×∂ν)+tμνdxμ×(-∂νλλ)=(∂μνν}dxμ[{Xλλωμ+(∂μλλ}dxμ×∂ν]+ωμdxμ×(-∂νλλ)より,

 

Xt=X(ω×^ν)=Xλλμν(dxμ×∂ν)+tμν(∂μλ)(dxλ×∂ν)-tμν(∂νλ)(dxμ×∂λ)となります。

また,ヤコービの恒等式:[[^,^],^]+[[^,^],^]+[[^,^],^]=0 から,X^=[^,[^,^]]=-[[^,^],^]=[[^,^],^]+[[^,^],^]=[^,[^,^]]+[[^,^],^]=YX^+[X,Y]^です。

 

すなわち,[X,Y]^=X^-YX^が成立することがわかります。同様に1-形式ωや0-形式fに対しても,[X,Y]ω=Xω-YXω,[X,Y]f=Xf-YXfの成立を容易に確かめることができます。

そこで帰納法に頼れば,任意の型のテンソルtに対し[X,Y]t=Xt-YXtが成り立つことがわかります。

今日はここで終わります。 

参考文献:中原幹夫 著「理論物理学のための幾何学とトポロジー」(ピアソン・エデュケーション)

 

Attention!! [広告宣伝]です。

http://www.rakuten.co.jp/trs-kenko-land/  健康商品の店「TRS健康ランド」- SCS(食品洗浄剤),黒ウコン,酒の帝王,鵜鶏王などの専売店  ←この店は私TOSHIが店長をしています。(楽天ショップです。TRSのTはTOSHIのTです。)

 「TRS健康ランド」では2008年1月10日よりお徳用SCS500mlを新発売!!当店の専売です。

 そこのお酒のみの方,いろいろと飲食の機会の増えたあなた,悪酔いを防止すると言われているウコンがいいですよ!! そして特に今回提供する沖縄原産の純粋な黒ウコンは当店が専売の新製品ですが古くから沖縄地方ではいわゆる男性の力に効果があると言われています。

 おやおや,そこの静電気バチバチの人、いいものありますよ。。。

 それから農薬を落とした後の皮がピカピカに光っているリンゴなど商品として販売する際の見栄えをよくするなどのために化学処理をした食品を安全に洗浄する新商品の洗浄液SCSはいかがですか。。。農薬ジクロルポスも食品専用の洗浄液SCSで落ちて安全になります。(厚労省試験済み)

http://www.mediator.co.jp/category/pages.php?id=115「中古パソコン!メディエーター巣鴨店」

http://folomy.jp/heart/「folomy 物理フォーラム」サブマネージャーです。 

人気blogランキングへ ← クリックして投票してください。(1クリック=1投票です。1人1日1投票しかできません。クリックすると人気blogランキングに跳びます。)

にほんブログ村 科学ブログへ にほんブログ村 科学ブログ 物理学へクリックして投票してください。(ブログ村科学ブログランキング投票です。1クリック=1投票です。1人1日1投票しかできません。クリックするとブログ村の人気ランキング一覧のホ-ムページームに跳びます。)icon

ブックオフオンライン オンライン書店 boople.com(ブープル)

icon  iconicon  icon icon  icon

【予約】セックス・アンド・ザ・シティ ザ・ムービー コレクターズ・エディション<限定盤> icon

 icon Apple Store(Japan)

                        iPod 10の知恵袋  Apple Store(Japan)

EIZOダイレクト 

|

« 大麻は身体にとって危険か? | トップページ | またスケープゴート?? »

105. 相対性理論」カテゴリの記事

307. 幾何学(トポロジー・他)」カテゴリの記事

コメント

コメントを書く



(ウェブ上には掲載しません)




トラックバック


この記事へのトラックバック一覧です: 相対論の幾何学(第Ⅱ部-4)(流れとリー微分):

« 大麻は身体にとって危険か? | トップページ | またスケープゴート?? »