相対論の幾何学(第Ⅱ部-5)(多様体と微分形式(1))

相対論の幾何学の続きです。

改めて,多様体上の線型作用素の１種であるテンソルから微分形式を定義する話をします。

まずはテンソルの話からです。

多様体Ｍ上の点ｐにおける(0,ｒ)型テンソル:ω∈Ｔ⁰_ｒ,p(Ｍ)上の対称作用素Ｐ^を,Ｐ^ω(Ｖ₁,Ｖ₂,..,Ｖ_r)≡ω(Ｖ_P(1),Ｖ_P(2),..,Ｖ_P(r))によって定義します。

ここで,Ｖ_iは接空間Ｔ_p(Ｍ)に属するベクトルです。

一方,Ｐ^はｒ次の対称群Ｓ_rの元です。

そして,座標基底:{ｅ_μ}＝{∂/∂ｘ^μ}をとると,この基底でのωの成分はω_μ1μ2.._μr＝ω(ｅ_μ1,ｅ_μ2,..,ｅ_μr)で与えられます。

そこで,Ｐ^ωの成分はＰ^ω(ｅ_μ1,ｅ_μ2,..,ｅ_μr)＝ω_μP(1)μP(2).._μP(r)となります。

一般の(ｑ,ｒ)型テンソルｔ∈Ｔ^q_ｒ,p(Ｍ)に対する対称作用素は,その成分ｔ^λ1λ2..λq_μ1μ2.._μrへの作用がｑ個の上添字,およびｒ個の下添字に関し,それぞれに独立に作用するｑ次の対称群Ｓ_qの元,およびｒ次の対称群Ｓ_rの元の直積として定義されます。

(0,ｒ)型テンソルω∈Ｔ⁰_ｒ,p(Ｍ)に対し対称積Ｓ^はＳ^ω≡(1/ｒ!)Σ_P∈ＳrＰ^ωで,また反対称積Ａ^はＡ^ω≡(1/ｒ!)Σ_P∈Ｓr[sgn(Ｐ^)Ｐ^ω]で与えられます。

ここで,sgn(Ｐ^)はＰ^が偶置換のときにはsgn(Ｐ^)＝＋1,奇置換のときにはsgn(Ｐ^)＝－1なる値を取る符号を表わしています。 

これらを用いて微分形式の定義を与えます。 

[定義1](0,ｒ)型の反対称テンソルをｒ次微分形式,または(微分)ｒ-形式(r-form)という。

ｒ個の1-形式の外積∧を,その完全反対称テンソル積で定義します。すなわち,多様体Ｍ上の点ｐにおける1-形式全体Ω_p(Ｍ)の基底{ｄｘ^μ}によるｒ個の外積なら,ｄｘ^μ1∧ｄｘ^μ2∧..∧ｄｘ^μr≡Σ_P∈Ｓr[sgn(Ｐ^)ｄｘ^μP(1)×ｄｘ^μP(2)×..×ｄｘ^μP(r)]とします。

例えば,ｄｘ^μ∧ｄｘ^ν＝ｄｘ^μ×ｄｘ^ν－ｄｘ^ν×ｄｘ^μです。

Ｍにおけるｒ-形式全体から成るベクトル空間をΩ^r_p(Ｍ)で表わせば,ｄｘ^μ1∧ｄｘ^μ2∧..∧ｄｘ^μr≡Σ_P∈Ｓr[sgn(Ｐ^)ｄｘ^μP(1)×ｄｘ^μP(2)×..×ｄｘ^μP(r)]の集合がΩ^r_p(Ｍ)の基底をなし,∀ω∈Ω^r_p(Ｍ)はω＝(1/ｒ!)[ω_μ1μ2.._μrｄｘ^μ1∧ｄｘ^μ2∧..∧ｄｘ^μr]と表現できます。

ここで係数ω_μ1μ2.._μrを完全反対称に取ることができます。

例えば,2-形式ω＝(1/2)(ω_μνｄｘ^μ∧ｄｘ^ν)の場合,σ_μν≡(1/2)(ω_μν＋ω_νμ),α_μν≡(1/2)(ω_μν－ω_νμ)とおけば,σ_μνｄｘ^μ∧ｄｘ^ν＝0 により,ω＝(1/2)α_μνｄｘ^μ∧ｄｘ^νと書けます。

つまり,任意のωは係数ω_μνの代わりに,その反対称成分のα_μνだけを係数とする表現でも書けるわけです。

そして,一般のｒ-形式の場合でも,このように係数を完全反対称に取れることは簡単に示すことができます。

さて,そうした一般の表現ω＝(1/ｒ!)[ω_μ1μ2.._μrｄｘ^μ1∧ｄｘ^μ2∧..∧ｄｘ^μr]では,ｍ次元多様体のｍ個のｄｘ^μ(μ＝1,2,..,ｍ)の(1,2,..,ｍ)から全てが異なるｒ個の(μ₁,μ₂,..,μ_r)を選ぶ方法が_mＣ_r通りなので,ベクトル空間Ω^r_p(Ｍ)の次元はdim[Ω^r_p(Ｍ)]＝_mＣ_r＝ｍ!/{(ｍ－ｒ)!ｒ!}と表わされます。

後の便宜上,Ω⁰_p(Ｍ)≡Ｒとします。

また,明らかにΩ¹_p(Ｍ)＝Ω_p(Ｍ)＝Ｔ_p^*(Ｍ)です。

もしもｒ＞ｍなら,Ω^ｒ_p(Ｍ)＝{0}です。

そして等式_mＣ_r＝_mＣ_m-rより,dim[Ω^r_p(Ｍ)]＝dim[Ω^m-r_p(Ｍ)]です。

Ω^r_p(Ｍ)とΩ^m-r_p(Ｍ)は共に有限次元ベクトル空間なので,これらの次元が等しいということは,これらが同型であることを意味します。

実は,これがベクトル空間の双対性(duality)なのですね。

物理数学でのベクトル解析の形式に微分形式を同型対応させる星印作用素(Hodge star operator)も,これを利用したものです。

ｑ-形式とｒ-形式の外積∧:Ω^q_p(Ｍ)×Ω^r_p(Ｍ)→Ω^q+r_p(Ｍ)は自然な拡張で定義されます。

ω∈Ω^q_p(Ｍ),ξ∈Ω^r_p(Ｍ)のとき,(ω∧ξ)∈Ω^q+r_p(Ｍ)を(ω∧ξ)(Ｖ₁,Ｖ₂,..,Ｖ_r)≡{1/(ｑ!ｒ!)}Σ_P∈Ｓ(q+r)[sgn(Ｐ^)ω(Ｖ_P(1),Ｖ_P(2),..,Ｖ_P(r))ξ(Ｖ_P(r+1),Ｖ_P(r+2),..,Ｖ_P(q+r))で定義します。

もちろん,Ｖ_i∈Ｔ_p(Ｍ)(ｉ＝1,2,..,ｍ)であり,ｑ＋ｒ＞ｍなら右辺は恒等的にゼロです。

この"積＝外積"と単純な和によって多元環(algebla;代数):Ω_p^*(Ｍ)を定義します。

すなわち,Ω_p^*(Ｍ)≡Ω⁰_p(Ｍ)＋Ω¹_p(Ｍ)＋..＋Ω^m_p(Ｍ)です。

Ω_p^*(Ｍ)は点ｐにおける全ての微分形式の集合であり,外積の下で"閉じています

外積演算の性質は次の３つのもので代表されます。

すなわち,ξ∈Ω^q_p(Ｍ),η∈Ω^r_p(Ｍ),ω∈Ω^s_p(Ｍ)とするとき,"(ａ)ｑが奇数ならξ∧ξ＝0 ,(ｂ)ξ∧η＝(－1)^qrη∧ξ,(ｃ)(ξ∧η)∧ω＝ξ∧(η∧ω)"が成立します。

[定義2]外微分:ｄ_rはΩ^r(Ｍ)からΩ^r+1(Ｍ)への写像で,そのｒ-形式:ω＝(1/ｒ!)[ω_μ1μ2.._μrｄｘ^μ1∧ｄｘ^μ2∧..∧ｄｘ^μr]に対する作用はｄ_rω≡(1/ｒ!)[(∂ω_μ1μ2.._μr/∂ｘ^ν)ｄｘ^ν∧ｄｘ^μ1∧ｄｘ^μ2∧..∧ｄｘ^μr]で定義される。

　普通,外微分の作用素ｄ_rの添字ｒを省略して,単にｄと書く。

ξ∈Ω^q_p(Ｍ),ω∈Ω^r_p(Ｍ)とすると,ｄ(ξ∧η)＝ｄξ∧η＋(－1)^qξ∧ｄηなることは自明です。

また,Ｘ≡Ｘ^μ(∂/∂ｘ^μ),Ｙ≡Ｙ^μ(∂/∂ｘ^μ)∈Ｘ(Ｍ)とω≡ω_μｄｘ^μ∈Ω¹(Ｍ)に対し,[Ｘ,Ｙ]＝{Ｘ^ν(∂Ｙ^μ/∂ｘ^ν)－Ｙ^ν(∂Ｘ^μ/∂ｘ^ν)}(∂/∂ｘ^μ)です。

Ｘ[ω(Ｙ)]－Ｙ[ω(Ｘ)]－ω([Ｘ,Ｙ])＝Ｘ^ν{∂(ω_μＹ^μ)/∂ｘ^ν}－Ｙ^ν{∂(ω_μＸ^μ)/∂ｘ^ν}－ω_μ{Ｘ^ν(∂Ｙ^μ/∂ｘ^ν)－Ｙ^ν(∂Ｘ^μ/∂ｘ^ν)}＝(∂ω_μ/∂ｘ^ν)(Ｘ^νＹ^μ－Ｘ^μＹ^ν)です。

一方,ｄω＝(∂ω_μ/∂ｘ^ν)ｄｘ^ν∧ｄｘ^μより,ｄω(Ｘ,Ｙ)＝(∂ω_μ/∂ｘ^ν)(Ｘ^νＹ^μ－Ｘ^μＹ^ν)ですから,結局ｄω(Ｘ,Ｙ)＝Ｘ[ω(Ｙ)]－Ｙ[ω(Ｘ)]－ω([Ｘ,Ｙ])なる式が得られます。

これは成分,または基底には依存しない形をしています。

これから帰納して,一般にｒ-形式ω∈Ω^r(Ｍ)に対してｄω(Ｘ₁,..,Ｘ_r+1)＝Σ_i=1^r(－1)ⁱ⁺¹Ｘ_i[ω(Ｘ₁,..,^Ｘ_i,．．,Ｘ_r+1)]＋Σ_i<j(－1)^i+jω([Ｘ_i,Ｘ_j],Ｘ₁,..,^Ｘ_i,．．,^Ｘ_j,．．,Ｘ_r+1)となります。

ただし,^Ｘ_ietc.は引数からＸ_iを削除することを意味します。

さて,外微分において重要な関係式:ｄ²＝0,あるいはｄ_r+1ｄ_r＝0 を証明します。(ポアンカレの補題(Poincare' lemma))

すなわち,ω＝(1/ｒ!)[ω_μ1μ2,．．_μrｄｘ^μ1∧ｄｘ^μ2∧．．∧ｄｘ^μr]∈Ω^r_p(Ｍ)に対して,ｄω≡ｄ_rω≡(1/ｒ!)[(∂ω_μ1μ2.._μr/∂ｘ^ν)ｄｘ^ν∧ｄｘ^μ1∧ｄｘ^μ2∧..∧ｄｘ^μr]です。

そこで,ｄ²ω＝ｄ_r+1ｄ_rω＝(1/ｒ!)[(∂²ω_μ1μ2.._μr/∂ｘ^λ∂ｘ^ν)ｄｘ^λ∧ｄｘ^ν∧ｄｘ^μ1∧ｄｘ^μ2∧..∧ｄｘ^μr]となります。

しかし,因子:(∂²ω_μ1μ2.._μr/∂ｘ^λ∂ｘ^ν)がλ,νについて対称であるのに対し因子:(ｄｘ^λ∧ｄｘ^ν)の方は,これらについて反対称ですから,(∂²ω_μ1μ2.._μr/∂ｘ^λ∂ｘ^ν)(ｄｘ^λ∧ｄｘ^ν)＝－(∂²ω_μ1μ2.._μr/∂ｘ^λ∂ｘ^ν)(ｄｘ^λ∧ｄｘ^ν)が成立するので,この因子は全てゼロです。

以上から,ｄ²＝0,あるいはｄ_r+1ｄ_r＝0 が示されました。

例えば,電磁ポテンシャル:Ａ＝Ａ^μ＝(φ/ｃ,Ａ)は,Ａ＝Ａ_μｄｘ^μなる形の1-形式(後述の接続1-形式)です。

そして,"電磁場テンソル＝2-形式"は,Ａの外微分Ｆ≡ｄＡで定義されます。Ｆ＝(1/2)Ｆ_μνｄｘ^μ∧ｄｘ^ν,Ｆ_μν＝－Ｆ_νμと書けば,ｄＡ＝(∂Ａ_μ/∂ｘ^ν)ｄｘ^μ∧ｄｘ^νなので,Ｆ_μν＝∂Ａ_μ/∂ｘ^ν－∂Ａ_ν/∂ｘ^μを得ます。

そして,電場はＥ^k/ｃ≡Ｆ^0k＝－Ｆ⁰_k＝－∂Ａ⁰/∂ｘ^k－∂Ａ^k/∂ｘ⁰,磁場はＢ¹≡Ｆ²³＝－∂Ａ²/∂ｘ³＋∂Ａ³/∂ｘ²etc.で定義されます。

Ｅ＝－∇φ－∂Ａ/∂ｔ,Ｂ＝∇×Ａですね。２つのマクスウェル方程式∇Ｂ＝0,∂Ｂ/∂ｔ＝－∇×ＥはｄＦ＝ｄ(ｄＡ)＝ｄ²Ａ＝0 そのものです。

短かいですが今日はこれで終わります。 

参考文献：中原幹夫 著「理論物理学のための幾何学とトポロジー」(ピアソン・エデュケーション)

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