相対論の幾何学(第Ⅱ部-6)(微分形式(2)): TOSHIの宇宙

2008年11月26日 (水)

相対論の幾何学(第Ⅱ部-6)(微分形式(2))

相対論の幾何学シリーズの続きで,多様体上の作用素としての微分形式の話の続きです。

多様体Ｍ上のｒ-形式(r-form):Ω^r(Ｍ)を(ｒ－1)形式:Ω^r-1(Ｍ)へ写す写像で,ベクトル場:Ｘ^≡Ｘ^μ(∂/∂ｘ^μ)∈Ｘ(Ｍ)に関連した内部積:ｉ_Xというものを考えます。

任意のｒ-形式ω≡(1/ｒ!)ω_μ1μ2..μrｄｘ^μ1∧ｄｘ^μ2∧..∧ｄｘ^μr∈Ω^r(Ｍ)に対して,写像ｉ_Xωをｉ_Xω(Ｘ₁^,Ｘ₂^,..,Ｘ_r-1^)≡ω(Ｘ^,Ｘ₁^,Ｘ₂^,..,Ｘ_r-1^)で定義します。

これは,陽な成分表現では,ｉ_Xω＝{1/(ｒ－1)!}Ｘ^νω_νμ2..μrｄｘ^μ2∧..∧ｄｘ^μr＝(1/ｒ!)Σ_s=1^rＸ^μsω_μ1μ2..μr(－1)^s-1ｄｘ^μ1∧..∧^ｄｘ^μs∧..∧ｄｘ^μrとなります。

ここで,^ｄｘ^μsなる記号は,各項から因子ｄｘ^μsを削除することを意味します。

この内部積の定義では,例えばｉ_e_x(ｄｘ∧ｄｙ)＝ｄｙ,ｉ_e_x(ｄｙ∧ｄｚ)＝0,ｉ_e_x(ｄｚ∧ｄｘ)＝－ｄｚとなります。

また,このｉ_Xと外微分ｄを組み合わせると,任意の１-形式ω≡ω_μｄｘ^μに対し,(ｄｌ_X＋ｉ_Xｄ)ω＝ｄ(Ｘ^μω_μ)＋ｉ_X[(1/2)(∂_μω_ν－∂_νω_μ)ｄｘ^μ∧^ｄｘ^ν]＝(ω_μ∂_νＸ^μ－Ｘ^μ∂_νω_μ)ｄｘ^ν＋Ｘ^μ(∂_μω_ν－∂_νω_μ)ｄｘ^ν＝(ω_μ∂_νＸ^μ＋Ｘ^μ∂_μω_ν)ｄｘ^νとなります。

これは丁度ωのリー微分:Ｌxωの表式Ｌxω＝(Ｘ^ν∂_νω_μ＋∂_μＸ^νω_ν)ｄｘ^μと一致します。

すなわち,1-形式ωに対してはＬxω＝(ｄi_X＋i_Xｄ)ωなる等式が成立することがわかります。

そして,一般のｒ-形式ω≡(1/ｒ!)ω_μ1μ2..μrｄｘ^μ1∧ｄｘ^μ2∧..∧ｄｘ^μr∈Ω^r(Ｍ)に対しては,Ｌxω＝lim_ε→0[(1/ε){(σ_ε)^*ω|_σε(ｘ)－ω|_ｘ}]＝(1/ｒ!)[Ｘ^ν∂_νω_μ1μ2..μrｄｘ^μ1∧ｄｘ^μ2∧..∧ｄｘ^μr＋Σ_s=1^r∂_μsＸ^νω_{μ1μ2..ν...μr}ｄｘ^μ1∧..∧^ｄｘ^μs∧..∧ｄｘ^μr]です。

この場合にも,(ｄｉ_X＋ｉ_Xｄ)ωがこのＬxωと全く同じ表式になるので,一般に任意の微分形式ωに対して,リー微分は内部積で簡単に表現できて,Ｌxω＝(ｄｉ_X＋ｉ_Xｄ)ωと表現できることがわかります。

次に,連結なｍ次元微分多様体Ｍの上での微分形式の積分について再考します。

まず,点ｐ∈Ｍにおける接空間Ｔ_p(Ｍ)は,基底{ｅ_μ}≡{∂/∂ｘ^μ}によって張られます。

ここで,ｘ＝{ｘ^μ}は点ｐが属するチャートＵ_i上の局所座標です。

Ｕ_jをＵ_i∩Ｕ_j≠φを満たす局所座標ｙ＝{ｙ^μ}を持つ別のチャートとし,{ｅ~_μ}≡{∂/∂ｙ^μ}とすると,ｐ∈Ｕ_i∩Ｕ_jなる同じ点ｐの座標が別々のチャートＵ_i,Ｕ_jによって,それぞれｘ,ｙで表現されます。

これらの基底の変換は,ｅ~_ν＝(∂ｘ^μ/∂ｙ^ν)ｅ_μとなります。

このとき,もしもＵ_i∩Ｕ_jの上で常にＪ≡det(∂ｘ^μ/∂ｙ^ν)＞0 なら,{ｅ_μ}と{ｅ~_μ}はＵ_i∩Ｕ_jの上で同じ向きを定めるといい,Ｊ＜0 なら逆の向きを定めるといいます。

[定義３]:Ｍをチャート(開集合族){Ｕ_i}で被覆される連結な多様体とする,Ｕ_i∩Ｕ_j≠φを満たす任意の対Ｕ_i,Ｕ_jに対しＪ＝det(∂ｘ^μ/∂ｙ^ν)＞0 を満たすＵ_i上の局所座標{ｘ^μ}とＵ_j上の局所座標{ｙ^μ}が存在すればＭは向き付け可能であるといわれる。

ｍ次元多様体Ｍが向き付け可能なら,Ｍ上の任意の点でゼロでないｍ形式ωで,体積要素と呼ばれるものを取ることができます。

例えば,あるチャート(Ｕ_i,φ_i)によるｐの座標をｘ＝φ_i(ｐ)とし,ｈ(ｐ)をこのチャート上の正定値関数とします。

このとき,ｍ形式ω＝ｈ(ｐ)ｄｘ¹∧ｄｘ²∧..∧ｄｘ^mを取ると,もしもＭが向き付け可能なら,このωをＵ_i∩Ｕ_j≠φを満たす任意のチャートＵ_j上でｈ(ｐ)が正であるように拡張定義できます。

なぜなら,ｐ∈Ｕ_i∩Ｕ_jなる同じ点の座標がｘ＝{ｘ^μ},かつｙ＝{ｙ^μ}で表現されるとき,ω＝ｈ(ｐ)ｄｘ¹∧ｄｘ²∧..∧ｄｘ^m＝ｈ(ｐ){(∂ｘ¹/∂ｙ^μ1)ｄｙ^μ1}∧{(∂ｘ²/∂ｙ^μ2)ｄｙ^μ2}∧..∧{(∂ｘ^m/∂ｙ^μm)ｄｙ^μm}＝ｈ(ｐ)det(∂ｘ^μ/∂ｙ^ν)ｄｙ¹∧ｄｙ²∧..∧ｄｙ^mとなるからです。このｍ形式ωを体積要素と呼びます。

向き付け可能なｍ次元連結多様体の上での関数ｆ:Ｍ→Ｒが与えられ,Ｍにおけるｐ∈Ｍでの体積要素がω＝ｈ(ｐ)ｄｘ¹∧ｄｘ²∧..∧ｄｘ^mなるとき,ｐの近傍Ｕ_iでのｍ形式ｆωの積分を∫_Ｕiｆω≡∫_φi-1(Ｕi)ｆ(φ_i^-1(ｘ))ｈ(φ_i^-1(ｘ))ｄｘ¹ｄｘ²..ｘ^mで定義します。

Ｕ_i上でのｆの積分が定義されれば,Ｍ全体の上でのｆの積分が１の分割を用いて定義できます。

[定義４]:Ｍの開被覆{Ｕ_i}に対しＭの各点が有限個のＵ_iで覆われるようなものを選ぶ。これが常に可能なときには,Ｍはパラコンパクトであるといわれるが,ここでは,Ｍはパラコンパクトと仮定する。

　もし微分可能な関数族{ε_i(ｐ)}が,(ⅰ) 0≦ε_i(ｐ)≦1,(ⅱ)￢ｐ∈Ｕ_iならε_i(ｐ)＝0,(ⅲ)∀ｐ∈Ｍに対してε₁(ｐ)＋ε₂(ｐ)＋..＝1を満たすなら,関数族{ε_i(ｐ)}を被覆{Ｕ_i}に属する１の分割と呼ぶ。

条件(ⅲ)から,ｆ(ｐ)＝Σ_iｆ_i(ｐ),ｆ_i(ｐ)≡ｆ(ｐ)ε_i(ｐ)が成立することがわかります。

そして,(ⅱ)よりｆ_i(ｐ)≡ｆ(ｐ)ε_i(ｐ)はＵ_iの外ではゼロです。

そしてパラコンパクト性の仮定からｆ(ｐ)＝Σ_iｆ_i(ｐ)は有限和であることが保証されます。

各々のｆ_i(ｐ)に対して∫_Ｕiｆω＝∫_Ｕiｆ_iωを定義できるので,Ｍ上でのｆの積分は∫_Ｍｆω≡Σ_i∫_Ｕiｆ_iωで与えられます。

異なるアトラス{(Ｖ_i,ψ_i)}は異なる座標の分割と異なる１の分割を与えますが積分は変わりません。

　次にリー群(Lie group)とリー環(Lie algebla)です。

[定義５]:リー群Ｇとは微分多様体であって次の群演算

(ⅰ)・:Ｇ×Ｇ→Ｇ,(ｇ₁,ｇ₂)→ｇ₁・ｇ₂,(ⅱ)-1:Ｇ→Ｇ,ｇ→ｇ^-1によって群の構造を与えたものである。ただし,これらの演算は共に滑らかな写像であるとする。

リー群Ｇの単位元をｅと書き,またＧの次元を多様体としてのＧの次元として定義します。なお,積記号・は省略して,以下ではｇ₁・ｇ₂をｇ₁ｇ₂のように表記することにします。

さて,実数のベクトル空間Ｒⁿにおける非特異な線型変換全体の集合をＧＬ(ｎ,Ｒ)とすると,これはｎ×ｎ非特異実行列全体で与えられるリー群をなします。

このＧＬ(ｎ,Ｒ)は一般線型群と呼ばれます。ここでＧＬ(ｎ,Ｒ)の代わりに実数Ｒを複素数ＣとしてＲⁿでなくベクトル空間Ｃⁿにおける非特異な線型変換全体の集合を考えて,これをＧＬ(ｎ,Ｃ)と書くと,これも一般線型群と呼ばれ,ＧＬ(ｎ,Ｒ)はＧＬ(ｎ,Ｃ)の部分群です。

特に直交群:Ｏ(ｎ),特殊線型群:ＳＬ(ｎ,Ｒ),特殊直交群:ＳＯ(ｎ)はＧＬ(ｎ,Ｒ)の部分群で,物理学への応用で重要なものです。

これらの定義は,Ｏ(ｎ)≡{Ｍ∈ＧＬ(ｎ,Ｒ)|^tＭＭ＝Ｍ^tＭ＝1},ＳＬ(ｎ,Ｒ)≡{Ｍ∈ＧＬ(ｎ,Ｒ)|detＭ＝1},ＳＯ(ｎ)≡{Ｍ∈Ｏ(ｎ)|detＭ＝1}ですね。

また,特殊相対論では,Ｏ(1,3)≡{Ｍ∈ＧＬ(4,Ｒ)|Ｍη^tＭ＝η}がよく出現します。ただし,^tＭは行列Ｍの転置です。ηはミンコフスキー計量(Minkowski metric):η＝diag(1,－1,－1,－1)です。

これらは,多様体としてＯ(1,3)以外はコンパクトです。

また,対応するＧＬ(ｎ,Ｃ)の部分群はユニタリ群Ｕ(ｎ),特殊線型群ＳＬ(ｎ,Ｃ),特殊ユニタリ群ＳＵ(ｎ)で,次のように定義されます。

Ｕ(ｎ)≡{Ｍ∈ＧＬ(ｎ,Ｃ)|ＭＭ^＋＝Ｍ^＋Ｍ＝1},ＳＬ(ｎ,Ｃ)≡{Ｍ∈ＧＬ(ｎ,Ｃ)|detＭ＝1},ＳＵ(ｎ)≡{Ｍ∈Ｕ(ｎ)|detＭ＝1}です。

ただし,Ｍ^＋は行列Ｍのエルミート共役でＭ^＋≡^tＭ^*です。

次にリー環の概念について述べます。

[定義６]:リー群をＧとしａ,ｇ∈Ｇとする。Ｇの上での変換;ｇのａによる右移動Ｒ_a,左移動Ｌ_aを,Ｒ_aｇ≡ｇａ,Ｌ_aｇ≡ａｇで定義する。

　定義によって,Ｒ_a,Ｌ_aは明らかに共にＧからＧへの微分同相写像です。したがって誘導写像Ｒ_a*:Ｔ_g(Ｇ)→Ｔ_ga(Ｇ),およびＬ_a*:Ｔ_g(Ｇ)→Ｔ_ag(Ｇ)が存在します。

　これら両方の移動は等価なので以下では移動といえば左移動のみを想定します。

[定義７]:Ｘ^＝Ｘ^μ(∂/∂ｘ^μ)をリー群Ｇ上のベクトル場とする。これが左移動に対してＬ_a*Ｘ^|_g＝Ｘ^|_agを満たすとき,このＸ^は左不変ベクトル場であるという。

ｇ,ａｇ∈Ｇに対する多様体Ｇ上の座標を,それぞれｘ^μ(ｇ),ｘ^μ(ａｇ)と書くと誘導写像の定義(ｆ:Ｍ→Ｎに対し誘導写像ｆ_*:Ｔ_p(Ｍ)→Ｔ_f(p)(Ｎ)がＮ上の任意関数ｈについて,ｆ_*Ｘ^[ｈ]≡Ｘ^[ｈ・ｆ]なる等式で定義される)から,Ｇ上の任意関数ｈについてＬ_a*Ｘ^|_g[ｈ]＝Ｘ^|_g[ｈ・ａ]＝Ｘ^μ(ｇ)(∂(ｈ(ｘ(ａｇ)))/∂ｘ^μ(ｇ))です。

一方,Ｘ^|_ag[ｈ]＝Ｘ^μ(ａｇ)(∂ｈ(ｘ(ａｇ))/∂ｘ^μ(ａｇ))ですから,左不変ベクトル場であること;Ｌ_a*Ｘ^|_g＝Ｘ^|_agは,Ｘ^μ(ｇ){∂(ｈ(ｘ(ａｇ)))/∂ｘ^μ(ｇ)}＝Ｘ^μ(ａｇ){∂ｈ(ｘ(ａｇ))/∂ｘ^μ(ａｇ)}を意味します。

すなわち,Ｘ^μ(ｇ){∂ｈ(ｘ(ａｇ))/∂ｘ^ν(ａｇ)}{∂ｘ^ν(ａｇ)/∂ｘ^μ(ｇ)}＝Ｘ^μ(ａｇ){∂ｈ(ｘ(ａｇ))/∂ｘ^μ(ａｇ)},またはｈを消してＸ^μ(ｇ){∂ｘ^ν(ａｇ)/∂ｘ^μ(ｇ)}(∂/∂ｘ^ν)|_ag＝Ｘ^μ(ａｇ)(∂/∂ｘ^μ)|_agです。

　そこで,任意のベクトル場Ｖ^＝Ｔ_e(Ｇ)に対して,ベクトル場Ｘ_V^をＸ_V^|_g≡Ｌ_g*Ｖ^,ｇ∈Ｇで定義します。

　Ｘ_V^|_g,ｇ∈ＧはＧ全体で決まります。

　そして,これはＸ_V^|_ag＝Ｌ_ag*Ｖ^＝(Ｌ_a*Ｌ_g*)Ｖ^＝Ｌ_a*Ｘ_V^|_gを満たしますから,Ｘ_V^はそれ自身左不変です。

　逆にＧの上の任意の左不変ベクトル場Ｘ^があるとき,Ｔ_e(Ｇ)の元としてＶ^≡Ｘ^|_eを与えると,Ｘ_V^|_g＝Ｌ_g_*Ｖ^が得られますから,Ｘ_V^≡Ｘ^です。

以上からＶ^＝Ｔ_e(Ｇ)に対して左不変ベクトル場Ｘ_V^は一意的であり,Ｇの上の左不変ベクトル場全体の集合をｇと書けば写像Ｖ^→Ｘ_V^はＴ_ｅ(Ｇ)からｇへの同型写像であることがわかります。

つまり,左不変ベクトル場全体ｇは,１つのＴ_ｅ(Ｇ)に同型なベクトル空間です。そして,特にdimｇ＝dimＧです。

Ｘ_V^をＶ^によって生成される左不変ベクトル場といいます。

左不変ベクトル場の全体ｇはベクトル場の集合なので「流れとリー微分」の記事で述べたリー括弧積が∀Ｘ^,Ｙ^∈ｇに対して[Ｘ^,Ｙ^]≡(Ｘ^μ∂_μＹ^ν－Ｙ^μ∂_μＸ^ν)∂_νによって定義されます。

ベクトル場のリー括弧積自身がまたベクトル場になることは既に示しましたが,ｆ_* [Ｘ^,Ｙ^]＝[ｆ_*Ｘ^,ｆ_*Ｙ^]によってＬ_a*[Ｘ^,Ｙ^]|_g＝[Ｌ_a*Ｘ^|_g,Ｌ_a*Ｙ^|_g]＝[Ｘ^,Ｙ^]|_agなので,左不変性もまた保持されます。

したがって,∀Ｘ^,Ｙ^∈ｇに対して[Ｘ^,Ｙ^]∈ｇとなり,ｇはリー括弧積について閉じています。

リー群Ｇの例として,一般線型群ＧＬ(ｎ,Ｒ)を考えます。この群ををｎ×ｎ行列ｇ全体のｎ²次元の微分多様体と考えて,ｇの座標ｘ(ｇ)をその成分ｘ(ｇ)≡{ｘ^ij(ｇ)}であると考えます。

このとき,単位元の成分はｘ(ｅ)＝{１^ij}＝{δ^ij}であり,ｇ∈Ｇのａ∈Ｇによる左移動はＬ_aｇ＝ａｇ＝Σ_kｘ^ik(ａ)ｘ^kj(ｇ)なる行列積で与えられます。

ベクトルＶ^＝Ｖ^μ(∂/∂ｘ^μ)|_e∈Ｔ_e(Ｇ)は,今のＧ＝ＧＬ(ｎ,Ｒ)の場合Ｖ^＝Ｖ^ij(∂/∂ｘ^ij)|_eとなり,Ｖ^で生成される左不変ベクトル場Ｘ_V^はＸ_V^|_g＝Ｌ_a*Ｖ^|_g＝Σ_ijklmＶ^ij[∂({ｘ^kl(ｇ)ｘ^lm(ｅ)}/∂ｘ^ij(ｅ)}{∂/∂ｘ^km(ｇ)}＝Σ_ijkｘ^ki(ｇ)Ｖ^ij(ｅ)(∂/∂ｘ^kj)|_gと表現されます。

ここで,ｇの座標行列とＶ^の行列の積として係数成分をΣ_kｘ^ki(ｇ)Ｖ^ij(ｅ)＝(ｇＶ)^kjと書くことにすれば,Ｘ_V^|_g＝Σ_ij(ｇＶ)^ij(∂/∂ｘ^ij)|_gとなります。

Ｘ_V^|_g＝Σ_ij(ｇＶ)^ij(∂/∂ｘ^ij)|_gですから,Ｖ^μ(∂/∂ｘ^μ)をＶ^と称するのと同じくＸ_V^をｇＶと書くこともあります。

Ｖ^＝Ｖ^ij(∂/∂ｘ^ij)|_e,Ｗ^＝Ｗ^ij(∂/∂ｘ^ij)|_eによって生成されるＸ_V^,Ｘ_W^のリー括弧積は,定義[Ｘ^,Ｙ^]≡(Ｘ^μ∂_μＹ^ν－Ｙ^μ∂_μＸ^ν)∂_νから[Ｘ_V^,Ｘ_W^]|_g＝Σ_ijkl[(ｇＶ)^ij{∂(ｇＷ)^kl/∂ｘ^ij}－(ｇＷ)^ij{∂(ｇＷ)^kl/∂ｘ^ij)}](∂/∂ｘ^kl)|_g＝Σ_ij(ｇ[Ｖ,Ｗ])^ij(∂/∂ｘ^ij)|_g＝Ｘ_[Ｖ,Ｗ]^|_gです。