フーリエ級数のフーリエ積分展開(2)

　続きです。

　ここまでは,実はフーリエ(Fourier)級数とかフーリエ積分とかを中心としたもので,どちらかというと数学の話であり,量子論的考察を含まない展開でした。

　例えば,離散表示での単独のφ_k(ｘ)は運動量演算子:ｐ^＝－iｄ/ｄｘの固有関数ではありますが,エネルギーの演算子Ｈ^の固有関数ではありません。

　あるエネルギー固有値Ｅ＝ｐ²/(2ｍ)≡(ｋπ/Ｌ)²/(2ｍ)に属するＨ^の固有関数解は端点で連続,つまりゼロになるという境界条件を満たすべきことから,ｋと－ｋの２つ運動量固有関数の差の形:2^-1/2[φ_k(ｘ)－φ_-k(ｘ)]で与えられ,これの波動関数は台の内部では,sin関数:(2/Ｌ)^1/2sin(ｋπｘ/Ｌ)で与えられます。

　さて,量子力学ではエネルギーを表わす演算子であるハミルトニアンＨ^＝ｐ^²/(2ｍ)＋Ｖ^が理論の主役になります。

　量子力学の基本方程式を抽象ヒルベルト空間のケットベクトルで表現すると,これは時間を含む状態を示すベクトル|ψ,ｔ＞に対するシュレーディンガー(Schoroedinger)の波動方程式 i(∂/∂t)|ψ,ｔ＞＝Ｈ^|ψ,ｔ＞になります。

　この方程式を形式的に解くと解は,|ψ,ｔ＞＝exp(－iＨ^ｔ)|ψ,0＞になります。

　また,特に,変数分離解を仮定して|ψ,ｔ＞＝|ψ＞|ｔ＞とおいて方程式に代入すれば|ψ＞(iｄ|ｔ＞/ｄｔ)＝Ｈ^|ψ＞|ｔ＞となります。

　そこで,両辺に共通なある定数Ｅが存在してＨ^|ψ＞＝Ｅ|ψ＞,i(ｄ|ｔ＞/ｄｔ)＝Ｅ|ｔ＞とおけることになります。

　これの後者からは,解が|ｔ＞＝exp(－iＥｔ)|0＞なる形になることがわかります。

　変数分離解の表わす状態は定常状態と呼ばれ,時間発展因子|ｔ＞の部分について,＜0|0＞＝1と規格化しておけば,この因子の寄与は干渉がない場合には検知できない単なる位相です。

　まあ,そういうわけで量子論的状態が時間に依存するにも関わらず,古典論で時間に依存しないことを意味する定常状態と呼ばれるのですね。

　一方,因子|ψ＞の方はＨ^|ψ＞＝Ｅ|ψ＞と書けば,これは|ψ＞がＨ^の固有値Ｅに属する固有ベクトルであることを意味する固有値問題になりますが,これを定常状態のシュレーディンガー方程式と呼びます。

　ここで位置ｘ^の固有ベクトルが存在すると仮定して,その時間ｔを含まない固有ベクトルを|ｘ＞とします。

　ｘ^|ｘ＞＝ｘ|ｘ＞で|ｘ＞≠0 ですね。そして,これが連続スペクトルであって,完全系をなす。つまり∫ｄｘ|ｘ＞＜ｘ|＝1とします 。

　定常状態のシュレーディンガー方程式,Ｈ^|ψ＞＝Ｅ|ψ＞の左から＜ｘ|を掛けると,＜ｘ|Ｈ^|ψ＞＝Ｅ＜ｘ|ψ＞となります。

　これに完全系条件を挿入すると∫ｄｘ'＜ｘ|Ｈ|ｘ'＞＜ｘ'｜ψ＞＝Ｅ＜ｘ|ψ＞です。ここで＜ｘ|ψ＞は波動関数と呼ばれ,通常はψ(ｘ)と書かれます。

　またＨ^は位置座標ｘ^の行列要素として対角成分しか持たず,行列要素を陽に書くと＜ｘ|Ｈ^|ｘ'＞＝＜ｘ|ｐ^²/(2ｍ)＋Ｖ^|ｘ'＞＝δ(ｘ－ｘ')(－iｄ/ｄｘ')²＋Ｖ(ｘ')です。

　これから,[(－iｄ/ｄｘ)²＋Ｖ(ｘ)]ψ(ｘ)＝Ｅψ(ｘ)なる,普通の定常状態シュレーディンガー方程式の表現が得られました。

　ｐ^を(－iｄ/ｄｘ)で置き換えたのは,これが単に正準交換関係[ｘ,ｐ＾]＝iを満たすべきという量子化条件からで,もちろん,ｐ^＝(－iｄ/ｄｘ)でなくｐ^＝(－iｄ/ｄｘ)＋ｆ(ｘ)でもかまいません。

　一方,同じく運動量ｐ^の固有ベクトルが存在すると仮定して,その時間ｔを含まない固有ベクトルを|ｐ＞とします。

　ｘ^のときと同じように,ｐ^|ｐ＞＝ｐ|ｐ＞で|ｐ＞≠0 です。これも連続スペクトルであって完全系をなします。

　つまり,∫ｄｐ|ｐ＞＜ｐ|＝1とすると∫ｄｐ'＜ｐ|Ｈ|ｐ'＞＜ｐ|ψ＞＝Ｅ＜ｐ|ψ＞です。

　そして,先の記事と共通の表現ではａ_p＝＜ｐ|ψ＞であり,これを運動量波動関数と呼びます。

　ｘ表示では＜ｘ|Ｈ^|ｘ'＞＝＜ｘ|ｐ^²/(2ｍ)＋Ｖ^|ｘ'＞＝δ(ｘ－ｘ')(－iｄ/ｄｘ')²＋Ｖ(ｘ')ですが,ｐ表示では＜ｐ|Ｈ|ｐ'＞＝＜ｐ|ｐ^²/(2ｍ)＋Ｖ|ｐ'＞＝δ(ｐ－ｐ')ｐ'²/(2ｍ)＋＜ｐ|Ｖ|ｐ'＞です。

　ここで,＜ｘ|Ｖ|ｘ'＞＝δ(ｘ－ｘ')Ｖ(ｘ')でしたから,＜ｐ|Ｖ|ｐ'＞＝∫ｄｘ₁ｄｘ₂＜ｐ|ｘ₁＞＜ｘ₁|Ｖ|ｘ₂＞＜ｘ₂|ｐ'＞＝∫ｄｘ₁＜ｐ|ｘ₁＞Ｖ(ｘ₁)＜ｘ₁|ｐ'＞と書けます。

　ところが＜ｘ|ｐ^|ｘ'＞＝δ(ｘ－ｘ')(－iｄ/ｄｘ')で,かつｐ^|ｐ＞＝ｐ|ｐ＞なので,＜ｘ|ｐ^|ｐ＞＝ｐ＜ｘ|ｐ＞より,∫ｄｘ'δ(ｘ－ｘ')(－iｄ/ｄｘ')＜ｘ'|ｐ＞＝ｐ＜ｘ|ｐ＞,つまり(－iｄ/ｄｘ)＜ｘ|ｐ＞＝ｐ＜ｘ|ｐ＞が得られます。

　この方程式を解くと,＜ｘ|ｐ＞＝ｃexp(iｐｘ)です。これは一般解でｃ＝0 の場合,つまり＜ｘ|ｐ＞＝0 も解ですが,固有関数という場合にはゼロ解は含みません。

　さらに,∫ｄｘ＜ｐ'|ｘ＞＜ｘ|ｐ＞＝＜ｐ'|ｐ＞ですが,＜ｐ'|ｐ＞＝δ(ｐ－ｐ')により|ｃ|²＝(2π)^-1ですから,ｃが実数になるように係数の位相を決めてｃ＝(2π)^-1/2とすれば,＜ｘ|ｐ＞＝(2π)^-1/2exp(iｐｘ)となります。

　したがって,結局＜ｐ|Ｖ|ｐ'＞＝∫ｄｘ＜ｐ|ｘ＞Ｖ(ｘ)＜ｘ|ｐ'＞＝(2π)^-1∫ｄｘＶ(ｘ)exp{－i(ｐ－ｐ')ｘ}＝Ｖ_p-p'となります。ここに,Ｖ_pはＶ(ｘ)のフーリエ変換です。

　そこで,ｐ表示でのシュレーディンガー方程式は,{ｐ²/(2ｍ)}ａ_p＋∫ｄｐ'Ｖ_p-p'ａ_p'＝Ｅａ_p,または∫ｄｐ'Ｖ_p-p'ａ_p'＝{Ｅ－ｐ²/(2ｍ)}ａ_pと書けます。

　ここまでずっと,ｐについても連続変数の表記をしてきましたが,もしもｐ^の固有状態が離散的:{|ｐ_k＞}_{k=0,±1,±2,..},ｐ^|ｐ_k＞＝ｐ_k|ｐ_k＞(ｋ＝0,±1,±2...)であって,完全系条件としてΣ_k|ｐ_k＞＜ｐ_k|＝1を満たす場合,固有ベクトルの正規直交性は＜ｐ_k|ｐ_j＞＝δ_kjで与えられます。

　このとき,Σ_k|ｐ_k＞＜ｐ_k|＝1から,|ψ＞＝Σ_k|ｐ_k＞＜ｐ_k|ψ＞ですから左から＜ｘ|を掛けると,＜ｘ|ψ＞＝Σ_k＜ｘ|ｐ_k＞＜ｐ_k|ψ＞が得られます。

　そして,今対象としている閉じた箱の系の場合なら,＜ｘ|ｐ_k＞＝φ_k(ｘ)であり,ｐ_k＝ｋπ/Ｌです。

　また,＜ｘ|ψ＞＝ψ(ｘ)＝2^-1/2[φ_k(ｘ)－φ_-k(ｘ)]＝(2/Ｌ)^1/2sin(ｋπｘ/Ｌ))](－Ｌ/2＜ｘ＜Ｌ/2),＝0 (|ｘ|＞Ｌ/2)の場合の状態のケットベクトル表現は,|ψ＞＝2^-1/2[|ｐ_k＞－|ｐ_-k＞]です。

したがって,ｘ表示とかｐ表示とか,またはその他の演算子による表示には全く関係なく,ｐ^|ψ＞＝2^-1/2[ｐ_k|ｐ_k＞－ｐ_-k|ｐ_-k＞]であり,ｐ^ⁿ|ψ＞＝2^-1/2[ｐ_kⁿ|ｐ_k＞－ｐ_-kⁿ|ｐ_-k＞]となります。

　そこで,ｐ^ⁿの期待値は,＜ψ|ｐ^ⁿ|ψ＞＝2^-1[＜ｐ_k|－＜ｐ_-k|][ｐ_kⁿ|ｐ_k＞－ｐ_-kⁿ|ｐ_-k＞]＝2^-1(ｐ_kⁿ＋ｐ_-kⁿ)で与えられ,ｐ_-k＝－ｐ_kなので＜ψ|ｐ^ⁿ|ψ＞＝ｐ_kⁿ{1＋(－1)ⁿ}となるわけで,ｎが奇数ならゼロなんですね。

　この期待値の表現は,もちろん表示にはよらないわけですが,もしもｘ表示なら,∫ｄｘ|ｘ＞＜ｘ|＝1により,∫ｄｘψ^*(ｘ)(－iｄ/ｄｘ)ⁿψ(ｘ)＝2^-1∫ｄｘ{φ_k^*(ｘ)－φ_-k^*(ｘ)}{ｐ_kⁿφ_k(ｘ)－ｐ_-kⁿφ_-k(ｘ)}＝2^-1(ｐ_kⁿ＋ｐ_-kⁿ)と書けます。

　一方,ｐ表示なら,連続スペクトルだと∫ｄｐ|ｐ＞＜ｐ|＝1により,∫ｄｐａ_p^*ｐⁿａ_p＝2^-1∫ｄｐ(ａ_pk^*－ａ_p-k^*)(ｐ_kⁿａ_pk－ｐ_-kⁿａ_p-k)＝2^-1(ｐ_kⁿ＋ｐ_-kⁿ),離散スペクトルだとΣ_k|ｐ_k＞＜ｐ_k|＝1,および＜ｐ_j|ψ＞＝2^-1/2(δ_j,k－δ_j,-kⁿ)により,Σ_j2^-1/2(ｐ_jⁿδ_j,k＋ｐ_jⁿδ_j,-k)＝2^-1(ｐ_kⁿ＋ｐ_-kⁿ)となります。

　結局,量子力学の定式化だけを粛々と進めれば,人間がどう考えようと本来無問題だったのです。

　というわけで,結局,問題となるのは,前記事で書いたように,等式変形で書いてきた両辺の計算が,結果的に何故食い違うかということだけに尖鋭化され集約されました。

　ではお待たせの結論です。誰も待ってないか。。。

　単刀直入ですが,実はφ_k(ｘ)＝∫_-∞^∞ａ_pχ_p(ｘ)ｄｐと書けるという仮定が間違っていたのですね。

　χ_p(ｘ)＝(2π)^-1/2exp(iｐｘ)なのですが,ｘ＜－Ｌ/2,ｘ＞Ｌ/2の領域ではφ_k(ｘ)＝0 なることを上の等式で表現することは不可能です。

　すなわち,例えばｘ＝ｃ＞Ｌ/2と固定すると,上の等式はφ_k(ｃ)＝∫_-∞^∞ａ_pχ_p(ｃ)ｄｐ,つまり 0＝(2π)^-1/2∫_-∞^∞ａ_pexp(iｐｃ)ｄｐとなりますが,これはほとんど全てのｐに対してａ_p＝0 を意味します。

　疑うなら逆変換ａ_p＝(2π)^-1/2∫_-∞^∞ 0 exp(－iｐｃ)ｄｃのようなものを想像してみてください。

　もちろん,より超関数的なもので反例を探してもいいですが,そうした特別なものを想定しなくても,ａ_p≡0 であることを認めて以下の議論で矛盾はありません。

　そしてａ_p≡0 とすると,ｘ＜－Ｌ/2,ｘ＞Ｌ/2で 0＝φ_k(ｘ)＝∫_-∞^∞ａ_pχ_p(ｘ)ｄｐが満たされますが,逆に－Ｌ/2＜ｘ＜Ｌ/2の台の上でφ_k(ｘ)＝∫_-∞^∞ａ_pχ_p(ｘ)ｄｐが成立しなくなります。

　以上から,台を持つ単一波長の定在波も台のない自由波で展開される,言い換えるとフーリエ級数もフーリエ積分も同時にできると考えたのは間違いであったということになります。

　したがって,離散的なフーリエ展開での運動量波動関数,すなわち,ｐ＝ｐ_jなら,ａ_p＝＜ｐ_j|ψ＞＝2^-1/2(δ_j,k－δ_j,-kⁿ),それ以外のｐではａ_p＝＜ｐ|ψ＞＝0 という表現,と連続的な展開での運動量波動関数:ａ_p＝＜ｐ|ψ＞の表現の両立は不可能です。

　元々何も想定せずに連続定式化をすることから,場合によっては離散運動量が必然的になるということを数学として演繹的に導くことはあきらめ,物理的考察から台のある系では最初から離散的扱いしかできないということを考慮して理論展開するしかないようです。

(以上。。。今度こそ完全に終わりです。)

ＰＳ:甘泉法師さんのコメントを見て,少し考え直してみました。

　別に自分自身が神の如く絶対的に正しいと思い上がっているわけもなく(そもそもかなりオッチョコチョイです),また自然科学は文科系の何かのように論争の勝ち負けで決着が付くというものでもありませんから,ふと思いついたときにしばしば考え直したりします。

　さて 0＝(2π)^-1/2∫_-∞^∞ａ_pexp(iｐｃ)ｄｐとするには超関数を使ってもいいなら,例えばａ_p＝(1/2)[δ(ｐ－π/ｃ)－δ(ｐ＋π/ｃ)]のようなものならＯ.Ｋですね。うーむ。

　これでも,ほとんど全てのｐに対してａ_p＝0 というのは確かに正しいです。

　もちろん,φ_k(ｘ)＝∫_-∞^∞ａ_pχ_p(ｘ)ｄｐにａ_p＝＜χ_p|φ_k＞＝{2/(πＬ)}^1/2sin(Ｌｐ/2－ｋπ/2)/(ｐ－ｋπ/Ｌ)を代入して,ちゃんと全てのｘ∈(－∞,∞)でこれが成立するなら問題ないのですが。。。

　あ,あまり真剣に計算しなかったので前の結論になったのですが,どうやら計算してみるとこれ自身は成立します。

　だったら"台を持つ単一波長の定在波も台のない自由波で展開される,言い換えるとフーリエ級数もフーリエ積分も同時にできると考えたのは間違いであったということになります"と書いたのが間違いで問題は別の式ですね。

　ここまででも最初から１つずつ式を検証してたどりついた道なのに,また戻るのはメンドクサいという気がしますが。。

　うーむ,別にｘ表示だと良くて,ｐ表示だとうまくいかないなら,それはｐ表示への変換がうまくユニタリ(量子論)になってないだけで,ｘ表示の答だけで十分じゃないかとも思います。

　いやいやちゃんと考えましょう。。

　そうかそうか,結局φ_k(ｘ)＝∫_-∞^∞ａ_pχ_p(ｘ)ｄｐの被積分関数ａ_pχ_p(ｘ)はｐの関数として二乗可積分の空間に属していますが,両辺をｘでｎ回微分した形式的等式:(－iｄ/ｄｘ)ⁿφ_k(ｘ)＝∫_-∞^∞ａ_pｐⁿχ_p(ｘ)ｄｐはｎが大きくなると,そもそも被積分関数ａ_pｐⁿχ_p(ｘ)が明らかに二乗可積分じゃなくなるので,右辺だけ発散して等式が成立しなくなりますね。

　これが原因だったのですね。やっと終わりました。はんどるさんとの長い議論はこれだったのでしたか。。

　まあ,いずれにしても,左辺のｘ表示(－iｄ/ｄｘ)ⁿφ_k(ｘ)は生きていて,＜ｐ^ⁿ＞＝∫ｄｘψ^*(ｘ)(－iｄ/ｄｘ)ⁿψ(ｘ)＝2^-1(ｐ_kⁿ＋ｐ_-kⁿ)という結論に変わりはありません。

(失礼しました。。ワールドカップ予選日本対カタールをＴＶ観戦しながら。。)