運動物質内の相対論(2)(角運動量と重心)

運動物質内の相対論の続きです。

さて,閉じた系のエネルギー運動量テンソルをＴ^μνとするとき,エネルギー運動量密度をｇ^μ≡Ｔ^μ0/ｃ＝(ｈ/ｃ,ｇ)とし,エネルギー密度,エネルギー流束密度をＳ^μ≡(ｃｈ,Ｓ)＝ｃＴ^0μとします。

このとき,角運動量保存のために要求される対称テンソルの条件Ｔ^νμ＝Ｔ^μνのうち,時間成分のそれ:Ｔ^0ｋ＝Ｔ^k0はｇ^μ＝Ｓ^μ/ｃ²を意味します。

そして,閉じた系では,Ｔ^μνが∂Ｔ^μν/∂ｘ^ν＝0 を満足するので,∂ｇ^μ/∂ｘ^μ＝0 なる式が得られます。

しかし,この際ｇ^μ,またはＳ^μは,一般には(3＋1)次元ミンコフスキー(Minkowski)空間の４元ベクトルではないことに注意が必要です。

物理空間において,ある区域の外ではＴ^μνの全てがゼロとなるような有限な系に関して,これらｇ^μの性質を調べて見ます。

閉じた系の条件式である保存式:∂Ｔ^μν/∂ｘ^ν＝0 の両辺にｄＶ≡ｄｘ¹ｄｘ²ｄｘ³を掛けて,時空の中のｘ⁰＝ｃｔ＝(一定)の断面の３次元空間の全範囲にわたって,これを積分します。

このとき,∂Ｔ^μν/∂ｘ^ν＝0 の左辺のうちの空間座標による微分の３項:∂Ｔ^μk/∂ｘ^k(ｋ＝1,2,3)の積分は,遠方においてＴ^μkの表面積分になり,そこではＴ^μνの全てがゼロなので,これの積分項の寄与は全てゼロとなって消えます。

結果,(ｄ/ｄｘ⁰)(∫Ｔ^μ0ｄＶ)＝0 が成立することがわかります。

したがって,ｇ^μ≡Ｔ^μ0/ｃ,Ｇ^μ≡∫ｇ^μｄＶ＝(Ｈ/ｃ,Ｇ)で定義される４つの量Ｇ^μは時間的に一定な保存量です。Ｇは系の全運動量,Ｈは系の全エネルギーです。

先に書いたように,エネルギー密度と運動量密度:ｇ^μは(3＋1)次元ミコフスキー空間の４元ベクトルではないのですが,実は全エネルギー,全運動量Ｇ^μ≡∫ｇ^μｄＶは４元ベクトルです。

これはある意味では明らかなのですが,以下に証明しておきます。

(証明)ａ^μを任意の定４元ベクトルとして,ｂ^ν≡ａ_μＴ^μνとすると,∂Ｔ^μν/∂ｘ^ν＝0 により∂ｂ^ν/∂ｘ^ν＝ａ_μ∂Ｔ^μν/∂ｘ^ν＝0 です。

この両辺に４次元体積要素ｄΣ＝ｄｘ⁰ｄｘ¹ｄｘ²ｄｘ³を掛けて積分します。拡張されたガウスの定理を用いれば,∫_Ωｂ^μｄＶ_μ＝0 が得られます。ここで,Ωは(3＋1)次元の積分領域Σの３次元の境界です。

※拡張されたガウスの定理は,Ａ^μを任意の４元ベクトルとしてΣを３次元の閉超曲面Ωで囲まれた(3＋1)次元領域とすると,∫_Σ(∂Ａ^μ/∂ｘ^μ)ｄΣ＝∫_ΩＡ^μｄＶ_μ＝∫_VＡ^με_μνλσｄｘ^νδｘ^λΔｘ^σが成立するという定理です。

これは,３次元空間でのガウスの定理の(3＋1)次元への拡張です。ここにｄＶ_μ≡(1/3!)ε_μνλσｄｘ^νδｘ^λΔｘ^σです。

これは,2007年12月20日の記事「微分形式とベクトル解析」でも書いたように,微分形式で書いたストークス(Stokes)の定理∫_ｄΣω＝∫_Σｄωをミンコフスキー空間のベクトルに適用したものです。

不変体積要素はｄΣ＝ｄｘ⁰∧ｄｘ¹∧ｄｘ²∧ｄｘ³＝det[∂(ｘ⁰,ｘ¹,ｘ²,ｘ³)/∂(ｕ⁰,ｕ¹,ｕ²,ｕ³)]ｄｕ⁰∧ｄｕ¹∧ｄｕ²∧ｄｕ³で与えられます。

すなわち,ベクトル場:Ａ≡Ａ^μ(∂/∂ｘ^μ)の双対を星印作用素(Hodge star operator)を用いて,Ａ^*≡Ａ^μｄｘ_μ＝η_μνＡ^μｄｘ^νで定義し,また,Ｂ＝Ｂ^μｄｘ_μに対して*Ｂを,*Ｂ≡(1/3!)ε_μνλσＢ^μｄｘ^ν∧ｄｘ^λ∧ｄｘ^σで定義すれば,*(Ａ^*)＝(1/3!)ε_μνλσＡ^μｄｘ^ν∧ｄｘ^λ∧ｄｘ^σとなります。

そこで,これの外微分を取ると,ｄ*(Ａ^*)＝(1/3!)ε_μνλσ(∂Ａ^μ/∂ｘ^ρ)ｄｘ^ρ∧ｄｘ^ν∧ｄｘ^λ∧ｄｘ^σ＝ε₀₁₂₃(∂Ａ^ρ/∂ｘ^ρ)ｄｘ⁰∧ｄｘ¹∧ｄｘ²∧ｄｘ³となりますから,上記ストークスの定理は∫_ｄΣ*(Ａ^*)＝∫_Σｄ*(Ａ^*)です。

これは,∫_ΩＡ^μｄＶ_μ＝ε₀₁₂₃∫_Σ(∂Ａ^μ/∂ｘ^μ)ｄΣと表現されます。ｄＶ_μ≡(1/3!)ε_μνλσｄｘ^ν∧ｄｘ^λ∧ｄｘ^σ,ｄΣ≡ｄｘ⁰∧ｄｘ¹∧ｄｘ²∧ｄｘ³です。

Σの境界Ωがｘ⁰＝一定の超平面の境界Ｖの場合なら３つの互いに直交する４元ベクトル要素(ｄｘ^μ),(δｘ^μ),(Δｘ^μ)は全てが"時間軸＝ｘ⁰軸"に直交するので,ｄｘ^μ＝(0,ｄｘ¹,0,0),δｘ^μ＝(0, 0,ｄｘ²,0),Δｘ^μ＝(0,0,0,ｄｘ³)と選択できますから擬ベクトルｄＶ_μの成分はｄＶ_μ＝(±ｄｘ¹ｄｘ²ｄｘ³,0,0,0)と取れます。

ただし符号はε₀₁₂₃＝－ε⁰¹²³＝－1 に対応して,領域Σの境界Ω＝Ｖにおいて外向き法線が時間軸の正の向きならマイナスを時間軸の負の向きならプラスを取ります。※

今の∫_Ωｂ^μｄＶ_μ＝∫_Σ(∂ｂ^ν/∂ｘ^ν)ｄΣ＝0 においては,有限な物理系を考えていて,(3＋1)次元空間においてＴ^μν≠0 なる領域を含む区域をΣとしていますが,Ｔ^μνはＴ^μν＝μ⁰Ｕ^μＵ^ν＋Ｓ^μνなる形のテンソルなので,Σは系の世界線の集合に相当します。

そこで,Σはそれに属する世界線と直交する空間的方向の断面積が有限な管状になっていると思われます。

さて,(3＋1)次元空間の任意の２つの慣性座標系をＳ,およびＳ'系とし,Ｓ系のｘ⁰＝一定で定義される超平面をΩ₁,Ｓ'系のｘ'⁰＝一定で定義される超平面をΩ₂とします。

そして対象とする(3＋1)次元区域Σを,この超平面Ω₁,Ω₂,およびＴ^μν≠0 を満たす管を含む円筒の側面をなす超曲面Ω₃で境界される領域に取ります。

このときΣの境界Ωは,Ω₁,Ω₂,Ω₃で形成されます。

そして,∫_Ωｂ^μｄＶ_μ＝0 の左辺において,側面Ω₃では常にＴ^μν＝0 なので,ｂ^ν＝ａ_μＴ^μν＝0 より,Ω₃での寄与∫_Ω3ｂ^μｄＶ_μはゼロです。

そこで,∫_Ω1ｂ^μｄＶ_μ＋∫_Ω2ｂ^μｄＶ_μ＝0 です。

式∫_Ω1ｂ^μｄＶ_μ＋∫_Ω2ｂ^μｄＶ_μ＝0 の左辺の積分項は座標系の取り方によらず不変なので,左辺の第１項をＳ系,第２項をＳ'系で計算してみます。

ただし,Ω₂上の事象は,Ω₁上の事象よりも時間的未来とします。

すると,Ω₁上の外向き法線は時間軸の負の向きなので,ｄＶ_μ＝(ｄｘ¹ｄｘ²ｄｘ³,0)より∫_Ω1ｂ^μｄＶ_μ＝∫_Ω1ｂ⁰ｄｘ¹ｄｘ²ｄｘ³です。

他方,Ω₂上ではｄＶ'_μ＝(－ｄｘ'¹ｄｘ'²ｄｘ'³,0)なので,∫_Ω2ｂ^μｄＶ_μ＝∫_Ω2ｂ'^μｄＶ'_μ＝－∫_Ω2ｂ'⁰ｄｘ'¹ｄｘ'²ｄｘ'³です。

したがって,∫_Ω1ｂ^μｄＶ_μ＋∫_Ω2ｂ^μｄＶ_μ＝0 は,∫_Ω1ｂ⁰ｄＶ＝∫_Ω2ｂ'⁰ｄＶ'を意味します。

ａ_μＧ^μ＝(ａ_μ/ｃ)[∫Ｔ^μ0ｄＶ]＝(1/ｃ)[∫ｂ⁰ｄＶ]により,これはａ_μＧ^μ＝ａ'_μＧ'^μと同等です。

Ｓ系とＳ'系は任意なので,これはａ_μＧ^μがスカラーであることを意味しますが,ａ^μは任意の４元ベクトルであったので,結局Ｇ^μ≡∫ｇ^μｄＶ＝(Ｈ/ｃ,Ｇ)は４元ベクトルであることが示されました。(証明終わり)

ただし,この証明ではＴ^μνがΣの至るところで特異ではないことを条件にしていることを最後に注意しておきます。

さて,系の全エネルギー運動量Ｇ^μがベクトルなので,Ｇ_μＧ^μはスカラーです。

そこで,通常の１粒子の場合,ｍ₀を静止質量とするとエネルギー運動量ベクトルｐ^μについて,等式ｐ_μｐ^μ＝ｍ₀²ｃ²が成立するのに習って,一般の閉じた系の全エネルギー運動量ベクトル:Ｇ^μについても,Ｇ_μＧ^μ≡Ｍ₀²ｃ²とおいて系の全固有質量Ｍ₀を定義します。

そして,ｇ^μ＝(ｈ/ｃ,ｇ)＝(Ｓ⁰/ｃ²,Ｓ/ｃ²)に対して,ｈ＞0 ,かつｕ^*≡Ｓ/ｈについて|ｕ^*|≦ｃの場合には,ｇ_μｇ^μ＝(ｃ²ｈ²－Ｓ²)/ｃ⁴≧0 ですから,Ｇ_μＧ^μ≧0 となります。

このとき,Ｍ₀²＝Ｇ_μＧ^μ/ｃ²≧0 なので,質量Ｍ₀は実数です。

一方,∂Ｔ^μν/∂ｘ^ν＝0 とＴ^μν＝Ｔ^νμを用いると,(∂/∂ｘ^λ)(ｘ^μＴ^νλ－ｘ^νＴ^μλ)＝δ^μ_λＴ^νλ－δ^ν_λＴ^μλ＝Ｔ^νμ－Ｔ^μν＝0 が成立します。

これを,全物理空間で積分すれば全エネルギー運動量の場合と同じように,(ｄ/ｄｘ⁰){∫(ｘ^μＴ^ν0－ｘ^νＴ^μ0)ｄＶ}＝0 を得ます。

これは,Ｍ^μν＝∫(ｘ^μｇ^ν－ｘ^νｇ^μ)ｄＶ＝－Ｍ^νμで与えられる６個の量が時間的に一定であることを示しています。

Ｇ^μがローレンツ・ベクトルであることを証明するのに用いたのと同様な方法を用いると,Ｍ^μνは２階反対称テンソルの成分であることがわかります。

そして,特に(Ｍ^μν)の空間成分から成る軸性ベクトルＭ≡(Ｍ²³,Ｍ³¹,Ｍ¹²)＝∫(ｘ×ｇ)ｄＶは,系の全角運動量ベクトルなのでＭ^μνは原点に関する系の全角運動量テンソルと見なすことができます。

話を戻して,Ｇ_μＧ^μ≡Ｍ₀²ｃ²＞0 ,つまり全エネルギー運動量ベクトルＧ^μ＝(Ｇ⁰,Ｇ)が時間的の場合,全運動量がゼロ:"Ｇ＝Ｇ⁰＝0 となるような慣性系＝静止系"Ｓ⁰を見出すことが常に可能です。

そして,Ｓ⁰系ではＧ^μの成分はＧ^0μ＝(Ｍ₀ｃ,0)です。

このとき,Ｓ⁰静止系のＳ系に対する速度をｕとすると,Ｓ系での表現ではＧ^μ＝(Ｇ⁰,Ｇ)は質点粒子の場合と同じくＧ⁰＝Ｈ/ｃ＝Ｍ₀ｃ/(1－ｕ²/ｃ²)^1/2,Ｇ＝Ｍ₀ｕ/(1－ｕ²/ｃ²)^1/2なので,ｕ＝ｃ²Ｇ/Ｈが成立します。

ところで,ニュートン力学では(質量)密度の分布がμ＝μ(ｘ,ｔ)で与えられるような物理系の"重心＝慣性中心,または質量中心":Ｃの位置ベクトルはＸ≡(1/Ｍ)∫μ(ｘ,ｔ)ｘｄＶで定義されます。

ただし,Ｍは全質量で,Ｍ＝∫μ(ｘ,ｔ)ｄＶです。

ところが相対性理論の力学では,密度μはエネルギー密度ｈとμ＝ｈ/ｃ²なる関係式で結びついています。

そこで,上のように一応"重心＝慣性中心"の位置を定義することはできますが,こうして定めた点の位置は明らかに準拠とする慣性座標系Ｓによって違います。

すなわち,各慣性系Ｓは各々がそのＳに固有の重心:Ｃ＝Ｃ(Ｓ)を有することになり,その位置ベクトルはＸ(Ｃ(Ｓ))＝Ｘ(Ｓ)＝(1/Ｈ)∫ｈ(ｘ,ｔ)ｘｄＶです。これはＳに依存します。

さて,∂(ｇ^μｘ^ν)/∂ｘ^μ＝ｇ^μδ^ν_μ＋(∂ｇ^μ/∂ｘ^μ)ｘ^νであり,∂ｇ^μ/∂ｘ^μ＝0 なので,如何なる座標系でも∂(ｇ^μｘ^ν)/∂ｘ^μ＝ｇ^νです。

この両辺を３次元の空間全体で積分すると,(ｄ/ｄｘ⁰){∫(ｇ⁰ｘ^ν)ｄＶ}＝Ｇ^νが得られます。

そして,ｇ⁰＝ｈ/ｃなので,上の最後の式は(ｄ/ｄｔ){∫(ｈ(ｘ,ｔ)ｘ/ｃ²)ｄＶ]＝Ｇを意味します。

すなわち,ｄＸ(Ｓ)/ｄｔ＝ｃ²Ｇ/Ｈです。これの左辺のｄＸ(Ｓ)/ｄｔは重心Ｘ(Ｓ)の運動速度ですが,右辺では全エネルギーＨも全運動量Ｇも時間的に一定なので,ｃ²Ｇ/Ｈ自身が一定であり,しかもｃ²Ｇ/ＨはＳ⁰静止系のＳ系に対する相対速度ｕそのものです。

それ故,それぞれ座標系Ｓによって異なる重心Ｃ(Ｓ)の全てがＳに対してＳ⁰系と同じｕ＝ｃ²Ｇ/Ｈの等速度運動をします。

そこで,Ｓ⁰系では,様々なＳに固有の重心Ｃ(Ｓ)が位置は違いますが全て静止しています。

そして,これら重心Ｃ(Ｓ)のうちで特別な役割をするものとして静止系における重心Ｃ⁰≡Ｃ(Ｓ⁰)があります。

これは固有重心とでも呼ぶべきものです。

Ｘ^μ(Ｓ⁰)として,Ｘ^μ＝(Ｘ⁰,Ｘ)を固有重心の任意の座標系での時空座標とすると,これはＳ⁰系でのＸ^0μ＝Ｘ^0μ(Ｓ⁰)では,Ｇ⁰＝0 によりｕ⁰＝ｃ²Ｇ⁰/Ｈ＝0 ですから,Ｓ⁰系ではＸは静止しています。

しかし,Ｓ系ではｄＸ/ｄｔ＝ｕ＝ｃ²Ｇ/Ｈ＝(一定),あるいはｄＸ/ｄτ＝Ｕ＝(一定)で運動します。

よって,Ｘ＝Ｕτ＋Ｘ₀ですが,Ｘ^μ,Ｕ^μは共に４元ベクトルなので,ｄＸ⁰/ｄτ＝Ｕ⁰＝(一定)も成立し,Ｕ_μＵ^μ＝ｃ²です。

それ故,Ｕ⁰＝(ｃ²－Ｕ²)^1/2により,Ｘ⁰もＸ⁰＝(ｃ²－Ｕ²)^1/2τ＋Ｘ⁰₀とτの一次関数です。

すなわち,固有重心の軌道としてのＸ^μ＝Ｘ^μ(τ)はτの１次関数で,Ｕ^μ＝ｄＸ^μ/ｄτ＝(ｃ/(1－ｕ²/ｃ²)^1/2,ｕ/(1－ｕ²/ｃ²)^1/2)ですから,Ｇ^μ＝Ｍ₀Ｕ^μとなって,全４元運動量Ｇ^μと固有重心の速度との関係は質点の場合のそれと同じになります。

時空座標Ｘ^μ＝(Ｘ⁰,Ｘ)を持つ固有重心Ｃ⁰に関する相対角運動量の４元テンソルｍ^μνをｍ^μν≡∫[(ｘ^μ－Ｘ^μ)ｇ^ν－(ｘ^ν－Ｘ^ν)ｇ^μ]ｄＶ＝Ｍ^μν－(Ｘ^μＧ^ν－Ｘ^νＧ^μ)で定義します。

すると,ｄＭ^μν/ｄｘ⁰＝0,ｄＧ^μ/ｄｘ⁰＝ｄＧ^ν/ｄｘ⁰＝0 によって,ｄｍ^μν/ｄｘ⁰＝－(1－ｕ²/ｃ²)^1/2(Ｕ^μＧ^ν－Ｕ^νＧ^μ)＝0 ,あるいはｄｍ^μν/ｄτ＝－(Ｕ^μＧ^ν－Ｕ^νＧ^μ)＝0 が成立します。

こうして,ｍ≡(ｍ²³,ｍ³¹,ｍ¹²),－ｎ≡(ｍ¹⁰,ｍ²⁰,ｍ³⁰)で定義される２つの空間ベクトルは運動の恒量であることもわかりました。

ｄｍ^μν/ｄｘ⁰＝0 は,ｘ⁰が何であろうと関係なくｍ^μνは同じということを意味しています。

そこで,特にｘ⁰＝Ｘ⁰と選んでもいいわけです。そうするとｍ^k0＝∫[(ｘ^k－Ｘ^k)ｇ⁰]ｄＶです。

すると,ｍ＝∫{(ｘ－Ｘ)×ｇ}ｄＶ|_ｘ0＝Ｘ0,－ｎ/ｃ＝∫{ (ｈ/ｃ²)(ｘ－Ｘ)}ｄＶ_|ｘ0＝Ｘ0＝∫{μ(ｘ－Ｘ)}ｄＶ_|ｘ0＝Ｘ0と書けます。

このｍは"固有重心の周りの相対角運動量＝内部角運動量"で,－ｎ/ｃは"固有重心の周りの質量のモーメント"ですね。

そして,等式－ｎ/ｃ＝∫{μ(ｘ－Ｘ)}ｄＶから,－ｎ/ｃ＝∫(μｘ)ｄＶ－ＭＸにより,Ｘ＝Ｘ(Ｓ)＋ｃｎ/Ｈなる式を得ます。

右辺のＸ(Ｓ)はＳ系での重心Ｃ(Ｓ)の座標,左辺のＸはＸ≡Ｘ(Ｓ⁰)でＳ系での固有重心Ｃ⁰≡Ｃ(Ｓ⁰)の座標です。

Ｓ＝Ｓ⁰なら,定義によりＸ⁰＝Ｘ⁰(Ｓ⁰)＝Ｘ⁰(Ｓ)が成立するので,ｎ⁰＝0,あるいはｍ^0k0＝0です。

ところが,Ｓ⁰系ではＧ^0μ＝(Ｍ₀ｃ,0)なので,ｎ⁰＝0 はｍ^0μνＧ⁰_ν＝0を意味します。

そこで共変性から,一般のＳ系ではｎ⁰＝0 はｍ^μνＧ_ν＝0 なることと同等です。これは,固有重心がそれ自身静止系における重心であることを共変的な形で表わすものです。

もしも,Ｓ⁰だけではなく如何なる座標系Ｓでもｎ＝0 ,あるいはｍ^k0＝0 が成立するなら,そのときに限り常にＸ(Ｓ)＝Ｘとなって,どの重心も固有重心に一致します。

しかし,任意の座標系ＳでのｎはＳ⁰系でのｍ⁰,ｎ⁰両方の成分の線型結合で与えられるなので,静止系Ｓ⁰系ではｎ⁰＝0ですが,それに加えて内部角運動量ｍ⁰もゼロでないなら,ｎが任意の座標系でゼロになるということにはなりません。

もしも,静止系で内部角運動量ｍ⁰がゼロなら,如何なる座標系でもｎはゼロなので常にＸ(Ｓ)＝Ｘで,どの重心も固有重心に一致しますが。。。

実際,Ｓ⁰と同じ空間軸の向きのＳへのローレンツ変換に対しｎ⁰はｎ＝(ｍ⁰¹,ｍ⁰²,ｍ⁰³)＝－(ｕ×ｍ⁰)/(ｃ²－ｕ²)^1/2＝(ｖ×ｍ⁰)/(ｃ²－ｖ²)^1/2に変換されます。

そこで,重心と固有重心の差は,α(Ｓ)≡Ｘ(Ｓ)－Ｘ＝－ｃｎ/Ｈ＝(ｍ⁰×ｖ)/(Ｍ₀ｃ²)で与えられることになります。

ここでｖ≡－ｕとしましたが,これはＳのＳ⁰に対する速度です。一般にはｍ⁰≠0 なのでＸ(Ｓ)≠Ｘです。

Ｓ系における重心と固有重心の差α(Ｓ)＝(ｖ×ｍ⁰)/(Ｍ₀ｃ²)は相対速度ｖに直交しますが,ＳからＳ⁰への回転を伴わないローレンツ変換ではｖに直交するベクトルは変化しないので,α(Ｓ⁰)＝α(Ｓ)です。

そこで,静止系Ｓ⁰における重心と固有重心の差α(Ｓ⁰)も同じ(ｖ×ｍ⁰)/(Ｍ₀ｃ²)で与えられます。

α(Ｓ⁰)＝α(Ｓ)＝Ｘ(Ｓ)－Ｘ＝(ｖ×ｍ⁰)/(Ｍ₀ｃ²)の|ｖ|→ｃとした極限における大きさをρ≡|ｍ⁰|/(Ｍ₀ｃ)とおくと,静止系Ｓ⁰において,Ｓ,またはｖを変化させて得られる重心Ｃ(Ｓ)は全て固有重心Ｃ⁰＝Ｃ(Ｓ⁰)を中心とした半径ρの範囲内にあります。

しかもＸ(Ｓ)－Ｘは,定ベクトルｍ⁰に常に直交するので,重心点Ｘ(Ｓ)の集合はＸが中心の２次元的な円板を形成します。

そして,非相対論ではｃ→ ∞ なので,この円板の半径ρ＝|ｍ⁰|/(Ｍ₀ｃ)はゼロに収束して重心はただ１つになります。これはいわゆるニュートンの重心です。

しかし,相対論では一般に重心は１つではなく,それらの全体は固有重心を中心とした円板を形成します。そして系が内部角運動量を持たないときに限ってその円板の半径がゼロになります。

巨視的な系では,重心円板の半径ρは系の大きさと比べて非常に小さく,例えば系が地球の場合ならρ＝|ｍ⁰|/(Ｍ₀ｃ)～ 10ｍ程度です。

しかし,原子,分子のようなレベルのミクロな系では,ρは系自身と同程度になります。

こうした考察から,与えられた内部角運動量ｍ⁰と固有質量Ｍ₀を有する系の大きさについて,ある種の結論めいた評価式が得られます。

静止系Ｓ⁰で固有重心Ｃ⁰を中心としエネルギー運動量テンソル(Ｔ^μν)の成分がゼロでない領域が半径ｒの球内に納まっているような閉じた系を想定します。

さらに,エネルギー密度ｈは,どの慣性座標系Ｓでも至るところで正であると仮定します。

このとき,重心が形成する円板全体がこの球の内部に含まれるのは明らかですから,ｒ≧|ｍ⁰|/(Ｍ₀ｃ)なる条件式が得られます。

したがって,"エネルギー密度が正で,与えられた内部角運動量ｍ⁰と静止質量Ｍ₀を有する系はｒ≧|ｍ⁰|/(Ｍ₀ｃ)を満たす有限な拡がりを持たなければならない"ことになります。

言い換えると,"もしも系の大きさの規模が|ｍ⁰|/(Ｍ₀ｃ)より小さければ,どの慣性系でもエネルギー密度ｈがいたるところ正であるというわけにはいかない"ということです。

今日はここで終わります。

参考文献：メラー 著(永田恒夫,伊藤大介 訳)「相対性理論」(みすず書房)

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