運動物質内の相対論(2)(角運動量と重心)
運動物質内の相対論の続きです。
さて,閉じた系のエネルギー運動量テンソルをTμνとするとき,エネルギー運動量密度をgμ≡Tμ0/c=(h/c,g)とし,エネルギー密度,エネルギー流束密度をSμ≡(ch,S)=cT0μとします。
このとき,角運動量保存のために要求される対称テンソルの条件Tνμ=Tμνのうち,時間成分のそれ:T0k=Tk0はgμ=Sμ/c2を意味します。
そして,閉じた系では,Tμνが∂Tμν/∂xν=0 を満足するので,∂gμ/∂xμ=0 なる式が得られます。
しかし,この際gμ,またはSμは,一般には(3+1)次元ミンコフスキー(Minkowski)空間の4元ベクトルではないことに注意が必要です。
物理空間において,ある区域の外ではTμνの全てがゼロとなるような有限な系に関して,これらgμの性質を調べて見ます。
閉じた系の条件式である保存式:∂Tμν/∂xν=0 の両辺にdV≡dx1dx2dx3を掛けて,時空の中のx0=ct=(一定)の断面の3次元空間の全範囲にわたって,これを積分します。
このとき,∂Tμν/∂xν=0 の左辺のうちの空間座標による微分の3項:∂Tμk/∂xk(k=1,2,3)の積分は,遠方においてTμkの表面積分になり,そこではTμνの全てがゼロなので,これの積分項の寄与は全てゼロとなって消えます。
結果,(d/dx0)(∫Tμ0dV)=0 が成立することがわかります。
したがって,gμ≡Tμ0/c,Gμ≡∫gμdV=(H/c,G)で定義される4つの量Gμは時間的に一定な保存量です。Gは系の全運動量,Hは系の全エネルギーです。
先に書いたように,エネルギー密度と運動量密度:gμは(3+1)次元ミコフスキー空間の4元ベクトルではないのですが,実は全エネルギー,全運動量Gμ≡∫gμdVは4元ベクトルです。
これはある意味では明らかなのですが,以下に証明しておきます。
(証明)aμを任意の定4元ベクトルとして,bν≡aμTμνとすると,∂Tμν/∂xν=0 により∂bν/∂xν=aμ∂Tμν/∂xν=0 です。
この両辺に4次元体積要素dΣ=dx0dx1dx2dx3を掛けて積分します。拡張されたガウスの定理を用いれば,∫ΩbμdVμ=0 が得られます。ここで,Ωは(3+1)次元の積分領域Σの3次元の境界です。
※拡張されたガウスの定理は,Aμを任意の4元ベクトルとしてΣを3次元の閉超曲面Ωで囲まれた(3+1)次元領域とすると,∫Σ(∂Aμ/∂xμ)dΣ=∫ΩAμdVμ=∫VAμεμνλσdxνδxλΔxσが成立するという定理です。
これは,3次元空間でのガウスの定理の(3+1)次元への拡張です。ここにdVμ≡(1/3!)εμνλσdxνδxλΔxσです。
これは,2007年12月20日の記事「微分形式とベクトル解析」でも書いたように,微分形式で書いたストークス(Stokes)の定理∫dΣω=∫Σdωをミンコフスキー空間のベクトルに適用したものです。
不変体積要素はdΣ=dx0∧dx1∧dx2∧dx3=det[∂(x0,x1,x2,x3)/∂(u0,u1,u2,u3)]du0∧du1∧du2∧du3で与えられます。
すなわち,ベクトル場:A≡Aμ(∂/∂xμ)の双対を星印作用素(Hodge star operator)を用いて,A*≡Aμdxμ=ημνAμdxνで定義し,また,B=Bμdxμに対して*Bを,*B≡(1/3!)εμνλσBμdxν∧dxλ∧dxσで定義すれば,*(A*)=(1/3!)εμνλσAμdxν∧dxλ∧dxσとなります。
そこで,これの外微分を取ると,d*(A*)=(1/3!)εμνλσ(∂Aμ/∂xρ)dxρ∧dxν∧dxλ∧dxσ=ε0123(∂Aρ/∂xρ)dx0∧dx1∧dx2∧dx3となりますから,上記ストークスの定理は∫dΣ*(A*)=∫Σd*(A*)です。
これは,∫ΩAμdVμ=ε0123∫Σ(∂Aμ/∂xμ)dΣと表現されます。dVμ≡(1/3!)εμνλσdxν∧dxλ∧dxσ,dΣ≡dx0∧dx1∧dx2∧dx3です。
Σの境界Ωがx0=一定の超平面の境界Vの場合なら3つの互いに直交する4元ベクトル要素(dxμ),(δxμ),(Δxμ)は全てが"時間軸=x0軸"に直交するので,dxμ=(0,dx1,0,0),δxμ=(0, 0,dx2,0),Δxμ=(0,0,0,dx3)と選択できますから擬ベクトルdVμの成分はdVμ=(±dx1dx2dx3,0,0,0)と取れます。
ただし符号はε0123=-ε0123=-1 に対応して,領域Σの境界Ω=Vにおいて外向き法線が時間軸の正の向きならマイナスを時間軸の負の向きならプラスを取ります。※
今の∫ΩbμdVμ=∫Σ(∂bν/∂xν)dΣ=0 においては,有限な物理系を考えていて,(3+1)次元空間においてTμν≠0 なる領域を含む区域をΣとしていますが,TμνはTμν=μ0UμUν+Sμνなる形のテンソルなので,Σは系の世界線の集合に相当します。
そこで,Σはそれに属する世界線と直交する空間的方向の断面積が有限な管状になっていると思われます。
さて,(3+1)次元空間の任意の2つの慣性座標系をS,およびS'系とし,S系のx0=一定で定義される超平面をΩ1,S'系のx'0=一定で定義される超平面をΩ2とします。
そして対象とする(3+1)次元区域Σを,この超平面Ω1,Ω2,およびTμν≠0 を満たす管を含む円筒の側面をなす超曲面Ω3で境界される領域に取ります。
このときΣの境界Ωは,Ω1,Ω2,Ω3で形成されます。
そして,∫ΩbμdVμ=0 の左辺において,側面Ω3では常にTμν=0 なので,bν=aμTμν=0 より,Ω3での寄与∫Ω3bμdVμはゼロです。
そこで,∫Ω1bμdVμ+∫Ω2bμdVμ=0 です。
式∫Ω1bμdVμ+∫Ω2bμdVμ=0 の左辺の積分項は座標系の取り方によらず不変なので,左辺の第1項をS系,第2項をS'系で計算してみます。
ただし,Ω2上の事象は,Ω1上の事象よりも時間的未来とします。
すると,Ω1上の外向き法線は時間軸の負の向きなので,dVμ=(dx1dx2dx3,0)より∫Ω1bμdVμ=∫Ω1b0dx1dx2dx3です。
他方,Ω2上ではdV'μ=(-dx'1dx'2dx'3,0)なので,∫Ω2bμdVμ=∫Ω2b'μdV'μ=-∫Ω2b'0dx'1dx'2dx'3です。
したがって,∫Ω1bμdVμ+∫Ω2bμdVμ=0 は,∫Ω1b0dV=∫Ω2b'0dV'を意味します。
aμGμ=(aμ/c)[∫Tμ0dV]=(1/c)[∫b0dV]により,これはaμGμ=a'μG'μと同等です。
S系とS'系は任意なので,これはaμGμがスカラーであることを意味しますが,aμは任意の4元ベクトルであったので,結局Gμ≡∫gμdV=(H/c,G)は4元ベクトルであることが示されました。(証明終わり)
ただし,この証明ではTμνがΣの至るところで特異ではないことを条件にしていることを最後に注意しておきます。
さて,系の全エネルギー運動量Gμがベクトルなので,GμGμはスカラーです。
そこで,通常の1粒子の場合,m0を静止質量とするとエネルギー運動量ベクトルpμについて,等式pμpμ=m02c2が成立するのに習って,一般の閉じた系の全エネルギー運動量ベクトル:Gμについても,GμGμ≡M02c2とおいて系の全固有質量M0を定義します。
そして,gμ=(h/c,g)=(S0/c2,S/c2)に対して,h>0 ,かつu*≡S/hについて|u*|≦cの場合には,gμgμ=(c2h2-S2)/c4≧0 ですから,GμGμ≧0 となります。
このとき,M02=GμGμ/c2≧0 なので,質量M0は実数です。
一方,∂Tμν/∂xν=0 とTμν=Tνμを用いると,(∂/∂xλ)(xμTνλ-xνTμλ)=δμλTνλ-δνλTμλ=Tνμ-Tμν=0 が成立します。
これを,全物理空間で積分すれば全エネルギー運動量の場合と同じように,(d/dx0){∫(xμTν0-xνTμ0)dV}=0 を得ます。
これは,Mμν=∫(xμgν-xνgμ)dV=-Mνμで与えられる6個の量が時間的に一定であることを示しています。
Gμがローレンツ・ベクトルであることを証明するのに用いたのと同様な方法を用いると,Mμνは2階反対称テンソルの成分であることがわかります。
そして,特に(Mμν)の空間成分から成る軸性ベクトルM≡(M23,M31,M12)=∫(x×g)dVは,系の全角運動量ベクトルなのでMμνは原点に関する系の全角運動量テンソルと見なすことができます。
話を戻して,GμGμ≡M02c2>0 ,つまり全エネルギー運動量ベクトルGμ=(G0,G)が時間的の場合,全運動量がゼロ:"G=G0=0 となるような慣性系=静止系"S0を見出すことが常に可能です。
そして,S0系ではGμの成分はG0μ=(M0c,0)です。
このとき,S0静止系のS系に対する速度をuとすると,S系での表現ではGμ=(G0,G)は質点粒子の場合と同じくG0=H/c=M0c/(1-u2/c2)1/2,G=M0u/(1-u2/c2)1/2なので,u=c2G/Hが成立します。
ところで,ニュートン力学では(質量)密度の分布がμ=μ(x,t)で与えられるような物理系の"重心=慣性中心,または質量中心":Cの位置ベクトルはX≡(1/M)∫μ(x,t)xdVで定義されます。
ただし,Mは全質量で,M=∫μ(x,t)dVです。
ところが相対性理論の力学では,密度μはエネルギー密度hとμ=h/c2なる関係式で結びついています。
そこで,上のように一応"重心=慣性中心"の位置を定義することはできますが,こうして定めた点の位置は明らかに準拠とする慣性座標系Sによって違います。
すなわち,各慣性系Sは各々がそのSに固有の重心:C=C(S)を有することになり,その位置ベクトルはX(C(S))=X(S)=(1/H)∫h(x,t)xdVです。これはSに依存します。
さて,∂(gμxν)/∂xμ=gμδνμ+(∂gμ/∂xμ)xνであり,∂gμ/∂xμ=0 なので,如何なる座標系でも∂(gμxν)/∂xμ=gνです。
この両辺を3次元の空間全体で積分すると,(d/dx0){∫(g0xν)dV}=Gνが得られます。
そして,g0=h/cなので,上の最後の式は(d/dt){∫(h(x,t)x/c2)dV]=Gを意味します。
すなわち,dX(S)/dt=c2G/Hです。これの左辺のdX(S)/dtは重心X(S)の運動速度ですが,右辺では全エネルギーHも全運動量Gも時間的に一定なので,c2G/H自身が一定であり,しかもc2G/HはS0静止系のS系に対する相対速度uそのものです。
それ故,それぞれ座標系Sによって異なる重心C(S)の全てがSに対してS0系と同じu=c2G/Hの等速度運動をします。
そこで,S0系では,様々なSに固有の重心C(S)が位置は違いますが全て静止しています。
そして,これら重心C(S)のうちで特別な役割をするものとして静止系における重心C0≡C(S0)があります。
これは固有重心とでも呼ぶべきものです。
Xμ(S0)として,Xμ=(X0,X)を固有重心の任意の座標系での時空座標とすると,これはS0系でのX0μ=X0μ(S0)では,G0=0 によりu0=c2G0/H=0 ですから,S0系ではXは静止しています。
しかし,S系ではdX/dt=u=c2G/H=(一定),あるいはdX/dτ=U=(一定)で運動します。
よって,X=Uτ+X0ですが,Xμ,Uμは共に4元ベクトルなので,dX0/dτ=U0=(一定)も成立し,UμUμ=c2です。
それ故,U0=(c2-U2)1/2により,X0もX0=(c2-U2)1/2τ+X00とτの一次関数です。
すなわち,固有重心の軌道としてのXμ=Xμ(τ)はτの1次関数で,Uμ=dXμ/dτ=(c/(1-u2/c2)1/2,u/(1-u2/c2)1/2)ですから,Gμ=M0Uμとなって,全4元運動量Gμと固有重心の速度との関係は質点の場合のそれと同じになります。
時空座標Xμ=(X0,X)を持つ固有重心C0に関する相対角運動量の4元テンソルmμνをmμν≡∫[(xμ-Xμ)gν-(xν-Xν)gμ]dV=Mμν-(XμGν-XνGμ)で定義します。
すると,dMμν/dx0=0,dGμ/dx0=dGν/dx0=0 によって,dmμν/dx0=-(1-u2/c2)1/2(UμGν-UνGμ)=0 ,あるいはdmμν/dτ=-(UμGν-UνGμ)=0 が成立します。
こうして,m≡(m23,m31,m12),-n≡(m10,m20,m30)で定義される2つの空間ベクトルは運動の恒量であることもわかりました。
dmμν/dx0=0 は,x0が何であろうと関係なくmμνは同じということを意味しています。
そこで,特にx0=X0と選んでもいいわけです。そうするとmk0=∫[(xk-Xk)g0]dVです。
すると,m=∫{(x-X)×g}dV|x0=X0,-n/c=∫{ (h/c2)(x-X)}dV|x0=X0=∫{μ(x-X)}dV|x0=X0と書けます。
このmは"固有重心の周りの相対角運動量=内部角運動量"で,-n/cは"固有重心の周りの質量のモーメント"ですね。
そして,等式-n/c=∫{μ(x-X)}dVから,-n/c=∫(μx)dV-MXにより,X=X(S)+cn/Hなる式を得ます。
右辺のX(S)はS系での重心C(S)の座標,左辺のXはX≡X(S0)でS系での固有重心C0≡C(S0)の座標です。
S=S0なら,定義によりX0=X0(S0)=X0(S)が成立するので,n0=0,あるいはm0k0=0です。
ところが,S0系ではG0μ=(M0c,0)なので,n0=0 はm0μνG0ν=0を意味します。
そこで共変性から,一般のS系ではn0=0 はmμνGν=0 なることと同等です。これは,固有重心がそれ自身静止系における重心であることを共変的な形で表わすものです。
もしも,S0だけではなく如何なる座標系Sでもn=0 ,あるいはmk0=0 が成立するなら,そのときに限り常にX(S)=Xとなって,どの重心も固有重心に一致します。
しかし,任意の座標系SでのnはS0系でのm0,n0両方の成分の線型結合で与えられるなので,静止系S0系ではn0=0ですが,それに加えて内部角運動量m0もゼロでないなら,nが任意の座標系でゼロになるということにはなりません。
もしも,静止系で内部角運動量m0がゼロなら,如何なる座標系でもnはゼロなので常にX(S)=Xで,どの重心も固有重心に一致しますが。。。
実際,S0と同じ空間軸の向きのSへのローレンツ変換に対しn0はn=(m01,m02,m03)=-(u×m0)/(c2-u2)1/2=(v×m0)/(c2-v2)1/2に変換されます。
そこで,重心と固有重心の差は,α(S)≡X(S)-X=-cn/H=(m0×v)/(M0c2)で与えられることになります。
ここでv≡-uとしましたが,これはSのS0に対する速度です。一般にはm0≠0 なのでX(S)≠Xです。
S系における重心と固有重心の差α(S)=(v×m0)/(M0c2)は相対速度vに直交しますが,SからS0への回転を伴わないローレンツ変換ではvに直交するベクトルは変化しないので,α(S0)=α(S)です。
そこで,静止系S0における重心と固有重心の差α(S0)も同じ(v×m0)/(M0c2)で与えられます。
α(S0)=α(S)=X(S)-X=(v×m0)/(M0c2)の|v|→cとした極限における大きさをρ≡|m0|/(M0c)とおくと,静止系S0において,S,またはvを変化させて得られる重心C(S)は全て固有重心C0=C(S0)を中心とした半径ρの範囲内にあります。
しかもX(S)-Xは,定ベクトルm0に常に直交するので,重心点X(S)の集合はXが中心の2次元的な円板を形成します。
そして,非相対論ではc→ ∞ なので,この円板の半径ρ=|m0|/(M0c)はゼロに収束して重心はただ1つになります。これはいわゆるニュートンの重心です。
しかし,相対論では一般に重心は1つではなく,それらの全体は固有重心を中心とした円板を形成します。そして系が内部角運動量を持たないときに限ってその円板の半径がゼロになります。
巨視的な系では,重心円板の半径ρは系の大きさと比べて非常に小さく,例えば系が地球の場合ならρ=|m0|/(M0c)~ 10m程度です。
しかし,原子,分子のようなレベルのミクロな系では,ρは系自身と同程度になります。
こうした考察から,与えられた内部角運動量m0と固有質量M0を有する系の大きさについて,ある種の結論めいた評価式が得られます。
静止系S0で固有重心C0を中心としエネルギー運動量テンソル(Tμν)の成分がゼロでない領域が半径rの球内に納まっているような閉じた系を想定します。
さらに,エネルギー密度hは,どの慣性座標系Sでも至るところで正であると仮定します。
このとき,重心が形成する円板全体がこの球の内部に含まれるのは明らかですから,r≧|m0|/(M0c)なる条件式が得られます。
したがって,"エネルギー密度が正で,与えられた内部角運動量m0と静止質量M0を有する系はr≧|m0|/(M0c)を満たす有限な拡がりを持たなければならない"ことになります。
言い換えると,"もしも系の大きさの規模が|m0|/(M0c)より小さければ,どの慣性系でもエネルギー密度hがいたるところ正であるというわけにはいかない"ということです。
今日はここで終わります。
参考文献:メラー 著(永田恒夫,伊藤大介 訳)「相対性理論」(みすず書房)
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