運動物質内の相対論(3)(弾性連続体(1))

連続物質内の相対論の続きです。

今日は外力を全く受けない孤立した弾性連続体を考えます。

これも閉じた系に属しますから,系の全エネルギー運動量テンソルＴ^μνは,以下の諸式を満たします。

まず,閉じた系なので∂Ｔ^μν/∂ｘ^ν＝0 です。

そして３次元ベクトルＳを成分Ｓ^k≡ｃＴ^0kによって定義します。また全運動量密度ベクトルｇの成分をｇ^k≡Ｔ^k0/ｃ,全エネルギー密度をｈ＝Ｔ⁰⁰とします。

このとき,∂Ｔ^μν/∂ｘ^ν＝0 のμ＝1,2,3の式は微分形の運動量保存式:∂ｇⁱ/∂ｔ＋∂Ｔ^ij/∂ｘ^j＝0 を意味します。ここで,Ｔ^ijを応力テンソル,または運動量流束密度テンソルと呼びます。

また,μ＝0 の式は微分形のエネルギー保存式:∂ｈ/∂ｔ＋divＳ＝0 そのものですね。そこで,ベクトルＳを全エネルギー流束密度ベクトルと呼びます。

また,閉じた系であるための条件の１つである角運動量保存則が成立するためには,テンソルＴ^μνが対称であること,つまりＴ^νμ＝Ｔ^μνなることが必要です。

そこで,特に時間成分についてはＴ^0ｋ＝Ｔ^k0なることから,閉じた系ではｇ＝Ｓ/ｃ²が成立します

ｕ^*≡Ｓ/ｈ,ｕ^*k＝ｃＴ^0k/Ｔ⁰⁰として,これを場のエネルギーの伝播速度とすれば,場の運動量密度はｇ＝Ｓ/ｃ²＝(ｈ/ｃ²)ｕ^*と書けます。

ところで,力場の全く存在しない自由空間の連続体ではｈ＝μｃ²/(1－ｕ²/ｃ²)^1/2,Ｓ＝μｃ²ｕ/(1－ｕ²/ｃ²)^1/2ですから,こうした場合にはｕ^*は実際の系の運動速度ｕに一致します。

上述のことは,一般に総エネルギーＥ＝∫ｈｄＶを持つ粒子が速度ｕ^*で運動しているとき,その力学的エネルギー密度がｈなら,運動量密度がｇ＝(ｈ/ｃ²)ｕ^*で与えられるという関係を表わしています。

つまり,"エネルギー密度ｈには質量密度μ＝ｈ/ｃ²が対応する。"というアインシュタインの関係式を意味しているのですね。

さて空間内の１点において単位ベクトルｎで外向き法線方向が指定される無限小の面要素をｄσとします。

この面素の両側にある物質はｄσに比例する弾性的内力を受けます。法線ｎの指している側に作用する力をτ(ｎ)ｄσと書くことにします。

このとき法線ｎの向きとは反対側に作用する力は,τ(－ｎ)ｄσと表わされますが,作用・反作用の法則によって,τ(－ｎ)ｄσ＝－τ(ｎ)ｄσです。

ある点Ｐを１つの頂点とし,Ｐを通る各稜がｘ¹,ｘ²,ｘ³の直交軸に平行な無限小体積の四面体ＰＡＢＣで表わされる物質部分を考えます。

ｘ¹,ｘ²,ｘ³軸の方向単位ベクトルをｎ⁽¹⁾,ｎ⁽²⁾,ｎ⁽³⁾とし,⊿ＡＢＣの面積をｄσ,その外向き法線方向の単位ベクトルをｎ≡(ｎ¹,ｎ²,ｎ³)とします。

このとき,ｎ⁽¹⁾,ｎ⁽²⁾,ｎ⁽³⁾に垂直な面⊿ＰＢＣ,⊿ＰＣＡ, ⊿ＰＡＢの面積は,それぞれｎ¹ｄσ,ｎ²ｄσ,ｎ³ｄσです。

それ故,この無限小四面体ＰＡＢＣに作用する全弾性力は,－τ(ｎ)ｄσ＋τ(ｎ⁽¹⁾)ｎ¹ｄσ＋τ(ｎ⁽²⁾)ｎ²ｄσ＋τ(ｎ⁽³⁾)ｎ³ｄσです。

この力は,この四面体部分の体積をｄＶとするときの単位時間当たりの運動量ｇｄＶの変化に等しいはずです。

すなわち,ｄ(ｇｄＶ)/ｄｔ＝－τ(ｎ)ｄσ＋τ(ｎ⁽¹⁾)ｎ¹ｄσ＋τ(ｎ⁽²⁾)ｎ²ｄσ＋τ(ｎ⁽³⁾)ｎ³ｄσです。

両辺をｄσで割ると,[ｄ(ｇｄＶ)/ｄｔ]/ｄσ＝－τ(ｎ)＋τ(ｎ⁽¹⁾)ｎ¹＋τ(ｎ⁽²⁾)ｎ²＋τ(ｎ⁽³⁾)ｎ³ですが,ｄＶ→ 0 の極限を取るとｄＶ/ｄσ→ 0 なので左辺はゼロです。

そこで,－τ(ｎ)＋τ(ｎ⁽¹⁾)ｎ¹＋τ(ｎ⁽²⁾)ｎ²＋τ(ｎ⁽³⁾)ｎ³＝ 0 ,つまり,τ(ｎ)＝τ(ｎ⁽¹⁾)ｎ¹＋τ(ｎ⁽²⁾)ｎ²＋τ(ｎ⁽³⁾)ｎ³です。

したがって,τ(ｎ^(k))≡(τ^1k,τ^2k,τ^3k)と定義すると,これはτⁱ(ｎ)＝τ^ijｎ^jと書けます。

あるいは,ｎ_j＝－ｎ^jによって,τⁱ(ｎ)＝－τ^ijｎ_jとも書けます。これによりτ^ijは空間テンソルの成分であることがわかります。

この空間テンソルτ^ijは弾性応力テンソルと呼ばれるものです。

さらに,Ｔ^μνの空間部分Ｔ^ijを絶対応力テンソルと呼びます。これに対しτ^ijを相対応力テンソルと呼ぶことにします。

さて,ある閉曲面をΣとし,その内部にある物質に作用する全弾性力をＦとすると,これはＦ＝－∫_Στ(ｎ)ｄσ,またはガウスの定理からＦⁱ＝－∫_Στ^1jｎ^jｄσ＝－∫_Ω∂(∂τ^1j/∂ｘ^j)ｄＶと表わされます。

そこで,弾性力の密度ｆをＦⁱ＝∫_ΩｆⁱｄＶで定義して,上の表式と比較するとｆⁱ＝－∂τ^ij/∂ｘ^jなる表式を得ます。

この結果と体積δＶの微小物質片に対する運動方程式ｄ(ｇδＶ)/ｄｔ＝ｆδＶから,ｄ(ｇⁱδＶ)/ｄｔ＝(－∂τ^ij/∂ｘ^j)δＶを得ます。

これの左辺は,ｄ(ｇⁱδＶ)/ｄｔ＝{∂ｇⁱ/∂ｔ＋(∂ｇⁱ/∂ｘ^j)ｕ^j}δＶ＋ｇⁱδＶ(∂ｕ^j/∂ｘ^j)＝{∂ｇⁱ/∂ｔ＋∂(ｇⁱｕ^j)/∂ｘ^j}δＶと変形されることから,結局∂ｇⁱ/∂ｔ＋∂(ｇⁱｕ^j＋∂τ^ij)/∂ｘ^j＝0 なる式を得ます。

一方,運動量の保存則の表式として,本文の最初の方で∂ｇⁱ/∂ｔ＋∂Ｔ^ij/∂ｘ^j＝0 なる式が得ています。

これと,上の∂ｇⁱ/∂ｔ＋∂(ｇⁱｕ^j＋∂ｔ^ij)/∂ｘ^j＝0 を比較すると,絶対応力テンソルＴ^ijと相対応力テンソルｔ^ijを結ぶ関係式:Ｔ^ij＝τ^ij＋ｇⁱｕ^jが得られます。

また,閉曲面Σの内部にある物質に単位時間当たりに弾性力のなす仕事は,Ａ＝－∫_Στ(ｎ)ｕｄσ＝－∫_Σ(ｕⁱτ^ijｎ^j)ｄσ＝－∫_Ω{∂(ｕⁱτ^ij)/∂ｘ^j}ｄＶ＝∫_Ω{∂(ｕ_iτ^ij)/∂ｘ^j}ｄＶです。

したがって, 体積δＶの微小物質片がなされる仕事は,δＡ＝－{∂(ｕⁱτ^ij)/∂ｘ^j}δＶ＝{∂(ｕ_iτ^ij)/∂ｘ^j}δＶです。

これが,δＶにおける単位時間当たりの全エネルギーの増加ｄ(ｈδＶ)/ｄｔ＝{∂ｈ/∂ｔ＋∂(ｈｕ^j)/∂ｘ^j}δＶに等しいことから,これらを等置すると,∂ｈ/∂ｔ＋∂(ｈｕ^j＋ｕⁱτ^ij))/∂ｘ^j＝0 または∂ｈ/∂ｔ＋∂(ｈｕ^j－ｕ_iτ^ij))/∂ｘ^j＝0 です。

これを,エネルギー保存式∂ｈ/∂ｔ＋divＳ＝0 と比較すると,Ｓ＝ｈｕ＋(ｕτ)を得ます。

ここに,(ｕτ)は成分が(ｕτ)^k＝－ｕ_iτ^ik＝ｕⁱτ^ikで与えられる空間ベクトルを意味します。

このようにエネルギー流Ｓには,携帯流ｈｕの他に,弾性力により生じるエネルギーの移動が加わってきます。

ここで,先にも述べたように,閉じた系ではＴ^μνが対称テンソルなので,全運動量密度ｇはｇ＝Ｓ/ｃ²で与えられます。

したがって,上に得られたＳの表式Ｓ＝ｈｕ＋(ｕτ)から,ｇ＝μｕ＋(ｕτ)/ｃ²を得ます。ただし,μ≡ｈ/ｃ²は弾性エネルギーも含めた全質量密度です。

そこで,全運動量密度ｇを成分で書くと,ｇ^k＝μｕ^k＋ｕⁱτ^1kですが,右辺第２項があるため,一般にｇⁱｕ^k≠ｇ^kｕⁱです。

ところが絶対応力テンソルＴ^ij＝τ^ij＋ｇⁱｕ^jは対称ですからＴ^ij＝Ｔ^jiです。

そこで,τ^ij－τ^ji＝－ｇⁱｕ^j＋ｇ^jｕⁱ＝－(ｕτ)ⁱｕ^j ＋(ｕτ)^jｕⁱ≠0 となり,結局,ｕ＝0 の静止系以外では,一般に相対応力テンソルτ^ijは対称ではないと結論されます。

静止系ではｕ＝ｕ⁰＝0 ですから,この系だけを考えるなら関係式:τ^0ik＝Ｔ^0ik＝Ｔ^0ki＝τ^0ki,Ｓ^0ik＝ｃ²ｇ^0ik＝ｃＴ^0k0＝0 ,ｈ⁰＝Ｔ⁰⁰⁰が成立します。

ただしｈ⁰は静止エネルギー密度です。なお静止系での量には全て上添字 0 をつけています。

したがって,静止系では４元速度が,Ｕ^0μ＝(ｃ,0)＝Ｕ⁰_μで与えられるのでＴ^0μνＵ⁰_ν＝ｃｈ⁰＝ｈ⁰Ｕ^0μと書けます。

これはローレンツ座標系で共変な４元ベクトルの表現なので任意の座標系においてＴ^μνＵ_ν＝ｈ⁰Ｕ^μとなります。

そして,以前に示したように固有質量がμ₀δＶ＝μ⁰δＶ⁰の粒子の基本的運動方程式ｄｐ^μ/ｄτ＝Ｆ_M^μはｄ(μ⁰δＶ⁰Ｕ^μ)/ｄτ＝ｆ^μδＶ⁰と表現されますが,これはθ^μν≡μ⁰Ｕ^μＵ^νと置けば∂θ^μν/∂ｘ^ν＝ｆ^μなる形にも書けることがわかります。

ただしμ⁰は静止質量密度でローレンツスカラーです,また,Ｆ_M^μ≡ｆ^μδＶ⁰＝ｆ^μδＶ/(1－ｕ²/ｃ²)^1/2で定義されるｆ^μは４元的力の密度でｆ^μ≡((ｆｕ)/ｃ,ｆ)ですね。

この,θ^μν≡μ⁰Ｕ^μＵ^νに対しては,θ^μνＵ_ν＝μ⁰Ｕ^μＵ^νＵ_ν＝μ⁰ｃ²Ｕ^μ,つまりθ^μνＵ_ν＝ｈ⁰Ｕ^μなる式が直ちに導かれますが,これはＴ^μνＵ_ν＝ｈ⁰Ｕ^μなる式でＴ^μνが純力学的なエネルギー運動量テンソルθ^μνに等しい特別な場合を示しています。

ここで,ｈ⁰＝μ⁰ｃ²なる関係式を用いました。

さらに,Ｔ^μνＵ_ν＝ｈ⁰Ｕ^μより,Ｕ_μＴ^μνＵ_ν＝ｈ⁰ｃ²,あるいはｈ⁰＝Ｕ_μＴ^μνＵ_ν/ｃ²が得られます。

また,μ＝1,2,3の場合には,Ｔⁱ⁰Ｕ₀＋Ｔ^ijＵ_j＝ｈ⁰Ｕⁱですが,これはＴⁱ⁰＝ｃｇⁱ,Ｔ^ij＝τ^ij＋ｇⁱｕ^j,およびＵ^μ＝(ｃ/(1－ｕ²/ｃ²)^1/2,ｕ/(1－ｕ²/ｃ²)^1/2)を用いると,ｃ²ｇⁱ－(τ^ij＋ｇⁱｕ^j)ｕ^j＝ｈ⁰ｕⁱとなります。

最後の式をｇⁱについて解けば,全運動量密度ｇとしてｇ＝{μ⁰ｕ＋(τｕ)/ｃ²}/(1－ｕ²/ｃ²)なる表現も可能なことがわかります。

この式では(τｕ)と書きましたが,(τｕ)≡(ｕτ)ですから,これは成分が(τｕ)^k＝－τ^ikｕ_i＝τ^ikｕ_iの空間ベクトルのことです。

そして,再び,Ｕ^μ＝(ｃ/(1－ｕ²/ｃ²)^1/2,ｕ/(1－ｕ²/ｃ²)^1/2)を用いれば,ｇ＝{μ⁰ｕ＋(ｔｕ)/ｃ²}/(1－ｕ²/ｃ²)またはｇ^k＝{μ⁰ｕ^k＋τ^ikｕⁱ/ｃ²}/(1－ｕ²/ｃ²)は,ｃｇ^k＝Ｔ^k0＝Ｔ^0k＝μ⁰Ｕ^kＵ⁰＋(Ｕⁱτ^ikＵ⁰)/ｃ²＝μ⁰Ｕ^kＵ⁰－(Ｕ_iτ^ikＵ⁰)/ｃ²とも表現されます。

また,Ｔ^μνＵ_ν＝ｈ⁰Ｕ^μでμ＝0 とすると,Ｔ^0νＵ_ν＝ｈ⁰Ｕ⁰よりＴ⁰⁰Ｕ₀＋Ｔ^0kＵ_k＝ｈ⁰Ｕ⁰,つまりｈｃ－ｃｇ^kｕ^k＝ｈ⁰ｃ,あるいはｈ＝ｈ⁰＋(ｇｕ)＝{ｈ⁰＋(ｕτｕ)/ｃ²}/(1－ｕ²/ｃ²)を得ます。

ここに(ｕτｕ)≡ｕⁱτ^ikｕ^k＝ｕ_iτ^ikｕ_kです。これについても,ｈ＝Ｔ⁰⁰＝μ⁰Ｕ⁰Ｕ⁰＋(Ｕⁱτ^ikＵ^k)/ｃ²＝μ⁰Ｕ⁰Ｕ⁰＋(Ｕ_iτ^ikＵ_k)/ｃ²と表現できます。

また,ｈ⁰＝Ｕ_μＴ^μνＵ_ν/ｃ²より,ｈ⁰＝Ｕ₀Ｔ⁰⁰Ｕ₀/ｃ²＋Ｕ_iＴⁱ⁰Ｕ₀/ｃ²＋Ｕ₀Ｔ^0jＵ_j/ｃ²＋Ｕ_iＴ^ijＵ_j/ｃ²＝ｈ(Ｕ⁰Ｕ⁰)/ｃ²－2(ＵⁱＵ⁰)ｇⁱ/ｃ＋Ｕ_i(τ^ik＋ｇⁱｕ^k)Ｕ_k/ｃ²

＝ｈ/(1－ｕ²/ｃ²)－2μ⁰ｕ²/(1－ｕ²/ｃ²)²－2{(ｕτｕ)/ｃ²}/(1－ｕ²/ｃ²)²＋{(ｕτｕ)/ｃ²}/(1－ｕ²/ｃ²)＋{μ⁰(ｕ²)²/ｃ²}/(1－ｕ²/ｃ²)²＋{(ｕτｕ)ｕ²/ｃ⁴}/(1－ｕ²/ｃ²)²＝ｈ/(1－ｕ²/ｃ²) －2μ⁰ｕ²/(1－ｕ²/ｃ²)²＋{μ⁰(ｕ²)²/ｃ²}/(1－ｕ²/ｃ²)²－{(ｕτｕ)/ｃ²}/(1－ｕ²/ｃ²)²です。

すなわち,ｈ⁰(1－ｕ²/ｃ²)²＝ｈ(1－ｕ²/ｃ²)－2ｈ⁰ｕ²/ｃ²＋ｈ⁰ｃ²(ｕ²/ｃ²)²－{(ｕτｕ)/ｃ²}です。

したがって,ｈ⁰＝ｈ(1－ｕ²/ｃ²)－(ｕτｕ)/ｃ²を得ます。

長い計算をしたにもかかわらず,当然ながらこれはすぐ上で既に求めていた式であるｈ＝ｈ⁰＋(ｇｕ)＝{ｈ⁰＋(ｕτｕ)/ｃ²}/(1－ｕ²/ｃ²)と同じものです。

いずれにしろ,ｈ⁰＝ｈ(1－ｕ²/ｃ²)－(ｕτｕ)/ｃ²の左辺ｈ⁰が不変量なので右辺も"スカラー＝不変量"です。

また,両辺をｃ²で割ればμ⁰＝μ(1－ｕ²/ｃ²)－(ｕτｕ)/ｃ⁴です。

これは応力がない場合のμ⁰＝μ(1－ｕ²/ｃ²),またはμ＝μ⁰/(1－ｕ²/ｃ²)の拡張sion)になっています。

さらに前に求めたｇ＝Ｓ/ｃ²＝μｕ＋(ｕτ)/ｃ²,およびｇ＝{μ⁰ｕ＋(τｕ)/ｃ²}/(1－ｕ²/ｃ²)を,このμ⁰＝μ(1－ｕ²/ｃ²)－(ｕτｕ)/ｃ⁴と比較すると計算することなく,(ｕτ)(1－ｕ²/ｃ²)＝(τｕ)－(ｕτｕ)ｕ/ｃ²なる恒等式が得られます。

閉じた系のエネルギー運動量テンソルＴ^μνを閉じてない部分系に分ける方法は無数にありますが,特にＴ^μν＝θ^μν＋Ｓ^μν;θ^μν＝μ⁰Ｕ^μＵ^νと分けてみます。

θ^μνは前には純力学的エネルギー運動量テンソルと表現しましたが,要するに運動エネルギー運動量テンソルのことです。

一方,Ｔ^ij＝τ^ij＋ｇⁱｕ^j＝τ^ij＋{μ⁰ＵⁱＵ⁰＋(Ｕ^kτ^ikＵ⁰)/ｃ²}(ｕ^j/ｃ)＝μ⁰ＵⁱＵ^j＋τ^ij＋(Ｕⁱτ^ijＵ^j)/ｃ²ですから,Ｓ^ij＝τ^ij＋(Ｕⁱτ^ijＵ^j)/ｃ²ですね。

また,Ｔ^k0＝Ｔ^0k＝μ⁰Ｕ^kＵ⁰＋(Ｕⁱτ^ikＵ⁰)/ｃ²＝μ⁰Ｕ^kＵ⁰－(Ｕ_iτ^ikＵ⁰)/ｃ²よりＳ^k0＝Ｓ^0k＝(Ｕⁱτ^ikＵ⁰)/ｃ²,Ｔ⁰⁰＝μ⁰Ｕ⁰Ｕ⁰＋(Ｕⁱτ^ikＵ^k)/ｃ²＝μ⁰Ｕ⁰Ｕ⁰＋(Ｕ_iτ^ikＵ_k)/ｃ²により,Ｓ⁰⁰＝(Ｕⁱτ^ikＵ^k)/ｃ²です。

そしてＴ^μνＵ_ν＝ｈ⁰Ｕ^μ,かつθ^μνＵ_ν＝ｈ⁰Ｕ^μであったので,Ｓ^μνはＳ^μνＵ_ν＝0 なる条件式を満たします。

特に,静止系ではＵ^0μ＝(ｃ,0)＝Ｕ⁰_μによって,Ｓ^0ij＝τ^0ij,Ｓ^0μ0＝Ｓ^00μ＝0 です。

さらに,ｆ^μ_elast≡－∂Ｓ^μν/∂ｘ^νと置けばＴ^μν＝θ^μν＋Ｓ^μν,および∂Ｔ^μν/∂ｘ^ν＝0 により,∂θ^μν/∂ｘ^ν＝ｆ^μ_elastなる運動方程式の形に書けます。

ただし静止系以外ではＳ^ij＝τ^ij,Ｓ^μ0＝Ｓ^0μ＝0 とはならないので,ｆ^μ_elast≡－∂Ｓ^μν/∂ｘ^νで定義した力の密度ｆ_elastは,先にＦ＝－∫_Στ(ｎ)ｄσ,あるいはＦⁱ＝－∫_Στ^ijｎ^jｄσ＝－∫_Ω∂(∂τ^ij/∂ｘ^j)ｄＶからｆⁱ＝－∂τ^ij/∂ｘ^jで与えた弾性力密度ｆと一般には一致しません。

そして,静止系ではｆ^0μ_elastＵ⁰_μ＝ｃｆ⁰⁰_elast＝－ｃ∂Ｓ^00ν/∂ｘ^ν＝(－1/ｃ)[∂(Ｕⁱτ^ikＵ^k) ⁰/∂ｘ⁰＋∂(Ｕⁱτ^ikＵ⁰)⁰/∂ｘ^k]＝∂(Ｕⁱτ^ik)⁰/∂ｘ^k≠0 なので,任意の系でもｆ^μ_elastＵ_μ≠0 となります。

ところが,一般的な運動方程式ｄ(μ⁰δＶ⁰Ｕ^μ)/ｄτ＝ｆ^μδＶ⁰において,固有質量μ⁰δＶ⁰が保存される場合,すなわち,ｄ(μ⁰δＶ⁰)/ｄτ＝0 の場合には,運動方程式はμ⁰(ｄＵ^μ/ｄτ)＝ｆ^μとなって恒等的にｆ^μＵ_μ＝μ⁰(ｄＵ^μ/ｄτ)Ｕ_μ＝0 を満たします。

そこで,先に求めた式ｆ^μ_elastＵ_μ≠0 は,この弾性連続体の閉じた系では固有質量が保存されないことを示しています。

実際,運動方程式ｄ(μ⁰δＶ⁰Ｕ^μ)/ｄτ＝ｆ^μδＶ⁰よりｆ^μＵ_μδＶ⁰＝Ｕ_μｄ(μ⁰δＶ⁰Ｕ^μ)/ｄτ＝ｃ²ｄ(μ⁰δＶ⁰)/ｄτです。

または,力の密度ではなくミンコフスキーの４元力:Ｆ_M^μ≡ｆ^μδＶ⁰,および,固有質量ｍ⁰≡μ₀δＶ＝[μ⁰/(1－ｕ²/ｃ²)^1/2]δＶ⁰(1－ｕ²/ｃ²)^1/2＝μ⁰δＶ⁰＝μδＶによる表現で,Ｆ_M^μＵ_μ＝ｄ(ｍ⁰ｃ²)/ｄτを得ます。

そこで,Ｆ_M^μが通常のＦ_M^μ＝((Ｆ_Mｕ)/ｃ,Ｆ_M)＝((Ｆｕ)/{ｃ(1－ｕ²/ｃ²)^1/2},Ｆ/(1－ｕ²/ｃ²)^1/2)ではなく,Ｆ_M^μ≡＝((Ｆ_Mｕ)/ｃ＋(Ｑ/ｃ)/(1－ｕ²/ｃ²)^1/2,Ｆ_M)＝({(Ｆｕ)＋Ｑ}/{ｃ(1－ｕ²/ｃ²)^1/2},Ｆ/(1－ｕ²/ｃ²)^1/2)と表現される場合,

運動方程式:ｄｐ/ｄｔ＝Ｆ,またはｄｐ/ｄτ＝Ｆ/(1－ｕ²/ｃ²)^1/2はそのままで,Ｆ_M^μＵ_μ＝0 ではなくＦ_M^μＵ_μ＝{ｄ(ｍ⁰ｃ²)/ｄτ)(1－ｕ²/ｃ²)^1/2＝Ｑ/(1－ｕ²/ｃ²)^1/2が成立します。

これは,Ｑ/(1－ｕ²/ｃ²)^1/2＝ｄ(ｍ⁰ｃ²)/ｄτ,またはＱ＝ｄ(ｍ⁰ｃ²)/ｄｔを意味します。

運動方程式ｄｐ/ｄｔ＝Ｆ,またはｄｐ/ｄτ＝Ｆ_M＝Ｆ/(1－ｕ²/ｃ²)^1/2だけでなく,その共変形ｄｐ^μ/ｄτ＝Ｆ_M^μも保持される,

つまり,Ｆ_M^μ≡((Ｆ_Mｕ)/ｃ,Ｆ_M)＝({(Ｆｕ)＋Ｑ}/{ｃ(1－ｕ²/ｃ²)^1/2},Ｆ/(1－ｕ²/ｃ²)^1/2)と表現してもなお,Ｆ_M^μの４元ベクトル性が保たれるとすれば,ｐ⁰＝Ｅ/{ｃ(1－ｕ²/ｃ²)^1/2}なので,第ゼロ成分の式ｄｐ⁰/ｄτ＝Ｆ_M⁰はｄＥ/ｄｔ＝(Ｆｕ)＋Ｑを意味します。

また,Ｆ_M^μＵ_μ＝Ｑ/(1－ｕ²/ｃ²)^1/2は,左辺が不変量なので右辺も不変量ですから,静止系ｕ＝0 での量をＱ⁰＝Ｑ/(1－ｕ²/ｃ²)^1/2と書けば,これも不変量です。

そして,先に得られた式ｄ(ｍ⁰ｃ²)/ｄτ＝Ｑ/(1－ｕ²/ｃ²)^1/2,あるいはｄｍ⁰/ｄτ＝(Ｑ/ｃ²)/(1－ｕ²/ｃ²)^1/2は,ｄｍ⁰/ｄτ＝Ｑ⁰/ｃ²とも書けます。

静止系では,τは時間ｔに等しいので,このｄｍ⁰/ｄτ＝Ｑ⁰/ｃ²は単位時間当りの力学的仕事Ａ≡(Ｆｕ)以外に外部から受ける熱などの単位時間当りの非力学的エネルギーＱ⁰がアインシュタインの関係ｍ＝Ｅ/ｃ²で示される慣性質量Ｑ⁰/ｃ²を有することを示しています。

そしてＱがゼロでない場合には,Ｆ_M^μ≡ｆ^μδＶ⁰で定義される力の密度ｆ^μも素朴なｆ^μ＝((ｆｕ)/ｃ,ｆ)ではなくｆ^μ＝({(ｆｕ)＋ｑ}/ｃ,ｆ)で与えられｆ^μＵ_μ＝ｑ/(1－ｕ²/ｃ²)^1/2＝ｑ⁰を満たします。

したがって,先にｆ^μ_elast≡－∂Ｓ^μν/∂ｘ^νで定義した弾性力の密度ｆ^μ_elastによる不変量ｆ^μ_elastＵ_μも,これをｑ⁰_elast＝ｑ_elast/(1－ｕ²/ｃ²)^1/2とおいてｆ^μ_elastＵ_μ＝－(∂Ｓ^μν/∂ｘ^ν)Ｕ_μ＝ｑ⁰_elastと書けば,弾性力によって発生し連続体物質の質量の増加に寄与する非力学的エネルギー密度と解釈できます。

そして,静止系ではｑ⁰_elast＝∂(Ｕⁱτ^ik)⁰/∂ｘ^k≠0 と書けますから,ｑ_elastは確かに,相対応力(τ^ij)によってなされる仕事率を示していることがわかります。

今日はここで終わりますが,このシリーズはまだまだ続く予定です。

参考文献:メラー 著(永田恒夫,伊藤大介 訳)「相対性理論」(みすず書房)

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