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2008年11月19日 (水)

運動物質内の相対論(3)(弾性連続体(1))

連続物質内の相対論の続きです。

 

今日は外力を全く受けない孤立した弾性連続体を考えます。

 

これも閉じた系に属しますから,系の全エネルギー運動量テンソルμνは,以下の諸式を満たします。

まず,閉じた系なので∂Tμν/∂xν=0 です。

 

そして3次元ベクトルを成分Sk≡cT0kによって定義します。また全運動量密度ベクトルの成分をgk≡Tk0/c,全エネルギー密度をh=T00とします。

 

このとき,∂Tμν/∂xν=0 のμ=1,2,3の式は微分形の運動量保存式:∂gi/∂t+∂Tij/∂xj=0 を意味します。ここで,Tijを応力テンソル,または運動量流束密度テンソルと呼びます。

また,μ=0 の式は微分形のエネルギー保存式:∂h/∂t+div=0 そのものですね。そこで,ベクトルを全エネルギー流束密度ベクトルと呼びます。

また,閉じた系であるための条件の1つである角運動量保存則が成立するためには,テンソルTμνが対称であること,つまりTνμ=Tμνなることが必要です。

 

そこで,特に時間成分についてはT0k=Tk0なることから,閉じた系では/c2が成立します

*/h,u*k=cT0k/T00として,これを場のエネルギーの伝播速度とすれば,場の運動量密度は/c2=(h/c2)*と書けます。

 

ところで,力場の全く存在しない自由空間の連続体ではh=μc2/(1-2/c2)1/2,=μc2/(1-2/c2)1/2ですから,こうした場合には*は実際の系の運動速度に一致します。

上述のことは,一般に総エネルギーE=∫hdVを持つ粒子が速度*で運動しているとき,その力学的エネルギー密度がhなら,運動量密度が=(h/c2)*で与えられるという関係を表わしています。

 

つまり,"エネルギー密度hには質量密度μ=h/c2が対応する。"というアインシュタインの関係式を意味しているのですね。

さて空間内の1点において単位ベクトルで外向き法線方向が指定される無限小の面要素をdσとします。

 

この面素の両側にある物質はdσに比例する弾性的内力を受けます。法線の指している側に作用する力をτ()dσと書くことにします。

 

このとき法線の向きとは反対側に作用する力は,τ(-)dσと表わされますが,作用・反作用の法則によって,τ(-)dσ=-τ()dσです。

ある点Pを1つの頂点とし,Pを通る各稜がx1,x2,x3の直交軸に平行な無限小体積の四面体PABCで表わされる物質部分を考えます。

 

1,x2,x3軸の方向単位ベクトルを(1),(2),(3)とし,⊿ABCの面積をdσ,その外向き法線方向の単位ベクトルを≡(n1,n2,n3)とします。

このとき,(1),(2),(3)に垂直な面⊿PBC,⊿PCA, ⊿PABの面積は,それぞれn1dσ,n2dσ,n3dσです。

 

それ故,この無限小四面体PABCに作用する全弾性力は,-τ()dσ+τ((1))n1dσ+τ((2))n2dσ+τ((3))n3dσです。

この力は,この四面体部分の体積をdVとするときの単位時間当たりの運動量dVの変化に等しいはずです。

 

すなわち,d(dV)/dt=-τ()dσ+τ((1))n1dσ+τ((2))n2dσ+τ((3))n3dσです。

 

両辺をdσで割ると,[d(dV)/dt]/dσ=-τ()+τ((1))n1τ((2))n2τ((3))n3ですが,dV→ 0 の極限を取るとdV/dσ→ 0 なので左辺はゼロです。

そこで,-τ()+τ((1))n1τ((2))n2τ((3))n3= 0 ,つまり,τ()=τ((1))n1τ((2))n2τ((3))n3です。

 

したがって,τ((k))≡(τ1k2k3k)と定義すると,これはτi()=τijjと書けます。

 

あるいは,nj=-njによって,τi()=-τijjとも書けます。これによりτijは空間テンソルの成分であることがわかります。

 

この空間テンソルτijは弾性応力テンソルと呼ばれるものです。

さらに,Tμνの空間部分Tijを絶対応力テンソルと呼びます。これに対しτijを相対応力テンソルと呼ぶことにします。

さて,ある閉曲面をΣとし,その内部にある物質に作用する全弾性力をとすると,これは=-∫Στ()dσ,またはガウスの定理からFi=-∫Στ1jjdσ=-∫Ω∂(∂τ1j/∂xj)dVと表わされます。

 

そこで,弾性力の密度をFi=∫ΩidVで定義して,上の表式と比較するとfi=-∂τij/∂xjなる表式を得ます。

この結果と体積δVの微小物質片に対する運動方程式d(δV)/dt=δVから,d(giδV)/dt=(-∂τij/∂xj)δVを得ます。

 

これの左辺は,d(giδV)/dt={∂gi/∂t+(∂gi/∂xj)uj}δV+giδV(∂uj/∂xj)={∂gi/∂t+∂(gij)/∂xj}δVと変形されることから,結局∂gi/∂t+∂(gij+∂τij)/∂xj=0 なる式を得ます。

一方,運動量の保存則の表式として,本文の最初の方で∂gi/∂t+∂Tij/∂xj=0 なる式が得ています。

 

これと,上の∂gi/∂t+∂(gij+∂tij)/∂xj=0 を比較すると,絶対応力テンソルTijと相対応力テンソルtijを結ぶ関係式:Tij=τij+gijが得られます。

また,閉曲面Σの内部にある物質に単位時間当たりに弾性力のなす仕事は,A=-∫Στ()dσ=-∫Σ(uiτijj)dσ=-∫Ω{∂(uiτij)/∂xj}dV=∫Ω{∂(uiτij)/∂xj}dVです。

 

したがって, 体積δVの微小物質片がなされる仕事は,δA=-{∂(uiτij)/∂xj}δV={∂(uiτij)/∂xj}δVです。

 

これが,δVにおける単位時間当たりの全エネルギーの増加d(hδV)/dt={∂h/∂t+∂(huj)/∂xj}δVに等しいことから,これらを等置すると,∂h/∂t+∂(huj+uiτij))/∂xj=0 または∂h/∂t+∂(huj-uiτij))/∂xj=0 です。

これを,エネルギー保存式∂h/∂t+div=0 と比較すると,=h+(uτ)を得ます。

 

ここに,(uτ)は成分が(uτ)k=-uiτik=uiτikで与えられる空間ベクトルを意味します。

 

このようにエネルギー流には,携帯流hの他に,弾性力により生じるエネルギーの移動が加わってきます。

ここで,先にも述べたように,閉じた系ではTμνが対称テンソルなので,全運動量密度/c2で与えられます。

 

したがって,上に得られたの表式=h+(uτ)から,=μ+(uτ)/c2を得ます。ただし,μ≡h/c2は弾性エネルギーも含めた全質量密度です。

そこで,全運動量密度を成分で書くと,gk=μuk+uiτ1kですが,右辺第2項があるため,一般にgik≠gkiです。

 

ところが絶対応力テンソルTij=τij+gijは対称ですからTij=Tjiです。

 

そこで,τij-τji=-gij+gji=-(uτ)ij +(uτ)ji≠0 となり,結局,=0 の静止系以外では,一般に相対応力テンソルτijは対称ではないと結論されます。

静止系では00 ですから,この系だけを考えるなら関係式:τ0ik=T0ik=T0ki=τ0ki,S0ik=c20ik=cT0k0=0 ,h0=T000が成立します。

 

ただしh0は静止エネルギー密度です。なお静止系での量には全て上添字 0 をつけています。

したがって,静止系では4元速度が,U(c,0)=U0μで与えられるのでT0μν0ν=ch0=h0と書けます。

 

これはローレンツ座標系で共変な4元ベクトルの表現なので任意の座標系においてTμνν=h0μとなります。

 

そして,以前に示したように固有質量がμ0δV=μ0δV0の粒子の基本的運動方程式dpμ/dτ=FMμはd(μ0δV0μ)/dτ=fμδV0と表現されますが,これはθμν≡μ0μνと置けば∂θμν/∂xν=fμなる形にも書けることがわかります。

 

ただしμ0は静止質量密度でローレンツスカラーです,また,FMμ≡fμδV0=fμδV/(1-2/c2)1/2で定義されるfμは4元的力の密度でfμ≡((fu)/c,)ですね。

この,θμν≡μ0μνに対しては,θμνν=μ0μνν=μ02μ,つまりθμνν=h0μなる式が直ちに導かれますが,これはTμνν=h0μなる式でTμνが純力学的なエネルギー運動量テンソルθμνに等しい特別な場合を示しています。

 

ここで,h0=μ02なる関係式を用いました。

さらに,Tμνν=h0μより,Uμμνν=h02,あるいはh0=Uμμνν/c2が得られます。

 

また,μ=1,2,3の場合には,Ti00+Tijj=h0iですが,これはTi0=cgi,Tij=τij+gij,およびUμ=(c/(1-2/c2)1/2,/(1-2/c2)1/2)を用いると,c2i-(τij+gij)uj=h0iとなります。

最後の式をgiについて解けば,全運動量密度として0+(τu)/c2}/(1-2/c2)なる表現も可能なことがわかります。

 

この式では(τu)と書きましたが,(τu)≡(uτ)ですから,これは成分が(τu)k=-τiki=τikiの空間ベクトルのことです。

そして,再び,Uμ=(c/(1-2/c2)1/2,/(1-2/c2)1/2)を用いれば,={μ0+(tu)/c2}/(1-2/c2)またはgk={μ0k+τiki/c2}/(1-2/c2)は,cgk=Tk0=T0k=μ0k0+(Uiτik0)/c2=μ0k0-(Uiτik0)/c2とも表現されます。

また,Tμνν=h0μでμ=0 とすると,Tν=h00よりT000+T0kk=h00,つまりhc-cgkk=h0c,あるいはh=h0+(gu)={h0+(uτu)/c2}/(1-2/c2)を得ます。

 

ここに(uτu)≡uiτikk=uiτikkです。これについても,h=T00=μ000+(Uiτikk)/c2=μ000+(Uiτikk)/c2と表現できます。

また,h0=Uμμνν/c2より,h0=U0000/c2+Uii00/c2+U00jj/c2+Uiijj/c2=h(U00)/c2-2(Ui0)gi/c+Uiik+gik)Uk/c2

 

=h/(1-2/c2)-2μ02/(1-2/c2)2-2{(uτu)/c2}/(1-2/c2)2+{(uτu)/c2}/(1-2/c2)+{μ0(2)2/c2}/(1-2/c2)2+{(uτu)2/c4}/(1-2/c2)2=h/(1-2/c2) -2μ02/(1-2/c2)2+{μ0(2)2/c2}/(1-2/c2)2-{(uτu)/c2}/(1-2/c2)2です。

 

すなわち,h0(1-2/c2)2=h(1-2/c2)-2h02/c2+h02(2/c2)2-{(uτu)/c2}です。

 

したがって,h0=h(1-2/c2)-(uτu)/c2を得ます。

 

長い計算をしたにもかかわらず,当然ながらこれはすぐ上で既に求めていた式であるh=h0+(gu)={h0+(uτu)/c2}/(1-2/c2)と同じものです。

 

いずれにしろ,h0=h(1-2/c2)-(uτu)/c2の左辺h0が不変量なので右辺も"スカラー=不変量"です。

 

また,両辺をc2で割ればμ0=μ(1-2/c2)-(uτu)/c4です。

 

これは応力がない場合のμ0=μ(1-2/c2),またはμ=μ0/(1-2/c2)の拡張sion)になっています。

 

さらに前に求めた/c2=μ+(uτ)/c2,および={μ0+(τu)/c2}/(1-2/c2)を,このμ0=μ(1-2/c2)-(uτu)/c4と比較すると計算することなく,(uτ)(1-2/c2)=(τu)-(uτu)/c2なる恒等式が得られます。

閉じた系のエネルギー運動量テンソルTμνを閉じてない部分系に分ける方法は無数にありますが,特にμν=θμν+Sμνμν=μ0μνと分けてみます。

 

θμνは前には純力学的エネルギー運動量テンソルと表現しましたが,要するに運動エネルギー運動量テンソルのことです。

 

一方,Tij=τij+gij=τij+{μ0i0+(Ukτik0)/c2}(uj/c)=μ0ij+τij+(Uiτijj)/c2ですから,Sij=τij+(Uiτijj)/c2ですね。

また,Tk0=T0k=μ0k0+(Uiτik0)/c2=μ0k0-(Uiτik0)/c2よりSk0=S0k=(Uiτik0)/c2,T00=μ000+(Uiτikk)/c2=μ000+(Uiτikk)/c2により,S00=(Uiτikk)/c2です。

 

そしてTμνν=h0μ,かつθμνν=h0μであったので,SμνはSμνν=0 なる条件式を満たします。

 

特に,静止系ではU=(c,0)=U0μによって,S0ij=τ0ij,S0μ0=S00μ=0 です。

さらに,fμelast≡-∂Sμν/∂xνと置けばTμν=θμν+Sμν,および∂Tμν/∂xν=0 により,∂θμν/∂xν=fμelastなる運動方程式の形に書けます。

 

ただし静止系以外ではSij=τij,Sμ0=S=0 とはならないので,fμelast≡-∂Sμν/∂xνで定義した力の密度elastは,先に=-∫Στ()dσ,あるいはFi=-∫Στijjdσ=-∫Ω∂(∂τij/∂xj)dVからfi=-∂τij/∂xjで与えた弾性力密度と一般には一致しません。

そして,静止系ではfelast0μ=cf00elast=-c∂S00ν/∂xν=(-1/c)[∂(Uiτikk) 0/∂x0+∂(Uiτik0)0/∂xk]=∂(Uiτik)0/∂xk≠0 なので,任意の系でもfμelastμ≠0 となります。

ところが,一般的な運動方程式d0δV0μ)/dτ=fμδV0において,固有質量μ0δV0が保存される場合,すなわち,d(μ0δV0)/dτ=0 の場合には,運動方程式はμ0(dUμ/dτ)=fμとなって恒等的にfμμ=μ0(dUμ/dτ)Uμ=0 を満たします。

 

そこで,先に求めた式fμelastμ≠0 は,この弾性連続体の閉じた系では固有質量が保存されないことを示しています。

実際,運動方程式d0δV0μ)/dτ=fμδV0よりfμμδV0=Uμd(μ0δV0μ)/dτ=c2d(μ0δV0)/dτです。

 

または,力の密度ではなくミンコフスキーの4元力:FMμ≡fμδV0,および,固有質量m0≡μ0δV=[μ0/(1-2/c2)1/2]δV0(1-2/c2)1/2=μ0δV0=μδVによる表現で,FMμμ=d(m02)/dτを得ます。

そこで,FMμが通常のFMμ((M)/c,M)=((Fu)/{c(1-2/c2)1/2},/(1-2/c2)1/2)ではなく,Mμ≡=((M)/c+(Q/c)/(1-2/c2)1/2,M)=({(Fu)+Q}/{c(1-2/c2)1/2},/(1-2/c2)1/2)と表現される場合,

 

運動方程式:d/dt=,またはd/dτ=/(1-2/c2)1/2はそのままで,FMμμ=0 ではなくFMμμ={d(m02)/dτ)(1-2/c2)1/2=Q/(1-2/c2)1/2が成立します。

 

これは,Q/(1-2/c2)1/2=d(m02)/dτ,またはQ=d(m02)/dtを意味します。

 

運動方程式d/dt=,またはd/dτ=M/(1-2/c2)1/2だけでなく,その共変形dpμ/dτ=FMμも保持される,

 

つまり,FMμ((M)/c,M)=({(Fu)+Q}/{c(1-2/c2)1/2},/(1-2/c2)1/2)と表現してもなお,FMμの4元ベクトル性が保たれるとすれば,p0=E/{c(1-2/c2)1/2}なので,第ゼロ成分の式dp0/dτ=FM0はdE/dt=(Fu)+Qを意味します。

 

また,FMμμ=Q/(1-2/c2)1/2は,左辺が不変量なので右辺も不変量ですから,静止系=0 での量をQ0=Q/(1-2/c2)1/2と書けば,これも不変量です。

 

そして,先に得られた式d(m02)/dτ=Q/(1-2/c2)1/2,あるいはdm0/dτ=(Q/c2)/(1-2/c2)1/2は,dm0/dτ=Q0/c2とも書けます。

 

静止系では,τは時間tに等しいので,このdm0/dτ=Q0/c2は単位時間当りの力学的仕事A≡(Fu)以外に外部から受ける熱などの単位時間当りの非力学的エネルギーQ0がアインシュタインの関係m=E/c2で示される慣性質量Q0/c2を有することを示しています。

 

そしてQがゼロでない場合には,FMμ≡fμδV0で定義される力の密度fμも素朴なfμ=((fu)/c,)ではなくfμ({(fu)+q}/c,)で与えられfμμ=q/(1-2/c2)1/2=q0を満たします。

 

したがって,先にfμelast≡-∂Sμν/∂xνで定義した弾性力の密度fμelastによる不変量fμelastμも,これをq0elast=qelast/(1-2/c2)1/2とおいてfμelastμ=-(∂Sμν/∂xν)Uμ=q0elastと書けば,弾性力によって発生し連続体物質の質量の増加に寄与する非力学的エネルギー密度と解釈できます。

 

そして,静止系ではq0elast∂(Uiτik)0/∂xk≠0 と書けますから,qelastは確かに,相対応力(τij)によってなされる仕事率を示していることがわかります。

 

今日はここで終わりますが,このシリーズはまだまだ続く予定です。

 

参考文献:メラー 著(永田恒夫,伊藤大介 訳)「相対性理論」(みすず書房)

 

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