運動物質内の相対論(4)(弾性連続体(2),完全流体)

今日は弾性連続体の続きと,完全流体(理想流体)の相対論的扱いを考えます。

座標系ＳとＳ⁰は,空間軸の向きについては全て同じであるとします。そして,Ｓに対するＳ⁰の速度は,考えている点における弾性体の速度ｕとします。

そこで,座標系Ｓ→Ｓ⁰のローレンツ変換:ｘ^0μ＝Λ^μ_νｘ^νにおける係数Λ^μ_νは,Λⁱ_j＝δⁱ_j－(ｕⁱｕ_j/ｕ²)(γ－1),Λ^k₀＝Λ⁰_k＝－γｕ^k/ｃ＝γｕ_k/ｃ,Λ⁰₀＝γです。ただし,γ＝1/(1－ｕ²/ｃ²)^1/2です。

逆変換Λ_μ^νは,Λ^μ_νの表式でｕ→(－ｕ)とすればよくて,それ故,Λ_i^j＝δ_i^j－(ｕ_iｕ^j/ｕ²)(γ－1),Λ₀^k＝Λ_k⁰＝γｕ^k/ｃ＝－γｕ_k/ｃ,Λ₀⁰＝γです。

そして,エネルギー運動量テンソルはＴ^μν＝θ^μν＋Ｓ^μν;θ^μν＝μ⁰Ｕ^μＵ^νと分解できて,Ｔ⁰⁰＝ｈ,Ｔⁱ⁰＝Ｔ⁰ⁱ＝ｃｇⁱ,Ｔ^ij＝τ^ij＋ｇⁱｕ^jで与えられます。

さらに物体の静止系では,τ^0ik＝Ｔ^0ik＝Ｔ^0ki＝τ^0ki,Ｓ^0ik＝ｃ²ｇ^0ik＝ｃＴ^0k0＝0 ,ｈ⁰＝Ｔ⁰⁰⁰ が成立します。

ただし,ｈ⁰は連続体の静止エネルギー密度です。なお,静止系での量には全て上添字 0 を付けています。

したがって,テンソルの変換性:Ｔ^μν＝Ｔ^0λσΛ_λ^μΛ_σ^νにより,Ｔ^μν＝τ^0ijΛ_i^μΛ_j^ν＋ｈ⁰Λ₀^μΛ₀^νです。

この式で,もしもμ＝ν＝0 ならｈ＝τ^0ijΛ_i⁰Λ_j⁰＋ｈ⁰Λ₀⁰Λ₀⁰＝γ²ｕ_iτ^0ijｕ_j/ｃ²＋γ²ｈ⁰,つまりｈ＝{ｈ⁰＋(ｕτ⁰ｕ)/ｃ}/(1－ｕ²/ｃ²)を得ます。

これと,以前に求めた式ｈ＝ｈ⁰＋(ｇｕ)＝{ｈ⁰＋(ｕτｕ)}/(1－ｕ²/ｃ²)との比較から,等式(ｕτｕ)＝(ｕτ⁰ｕ)の成立がわかります。

また,μ＝0,ν＝ｉなら,ｇⁱ＝Ｔⁱ⁰/ｃ＝{τ^0kjΛ_kⁱΛ_j⁰＋ｈ⁰Λ₀ⁱΛ₀⁰}/ｃ＝－{δ_kⁱ－(ｕ_kｕⁱ/ｕ²)(γ－1)}γｕ_jτ^0kj/ｃ²＋γ²ｈ⁰ｕⁱ/ｃ²＝(ｕⁱγ²/ｃ²){ｈ⁰＋(ｕ_kτ^0kjｕ_j/ｕ²)(1－1/γ)}－γτ^0ijｕ_j/ｃ²です。

つまり,ｇ＝ｕ(γ²/ｃ²){ｈ⁰＋(1－1/γ)(ｕτ⁰ｕ)/ｕ²)}＋γ(τ⁰ｕ)/ｃ²となります。

最後に,μ＝ｉ,ν＝ｊなら,τ^ij＋ｇⁱｕ^j＝τ^0klΛ_kⁱΛ_l^j＋ｈ⁰Λ₀ⁱΛ₀^jより,τ^ij＝τ^0kl{δ_kⁱ－(ｕ_kｕⁱ/ｕ²)(γ－1)}{δ_l^j－(ｕ_lｕ^j/ｕ²)(γ－1)}＋γ²ｕⁱｕ^jｈ⁰/ｃ²－(ｕⁱｕ^jγ²/ｃ²){ｈ⁰＋(ｕ_kτ^0klｕ_l/ｕ²)(1－1/γ)}＋γτ^0ikｕ_kｕ^j/ｃ²です。

つまり,τ^ij＝τ^0ij－ｕ_kｕⁱτ^0kj(γ－1)/ｕ²－ｕ_lｕ^jτ^0il(γ－1)/ｕ²＋ｕⁱｕ^jｕ_kτ^0klｕ_l(γ－1)²/(ｕ²)²－ｕⁱｕ^jｕ_kτ^0klｕ_lγ(γ－1)/(ｃ²ｕ²)＋γτ^0ikｕ_kｕ^j/ｃ²＝τ^0ij－ｕ_kｕⁱτ^0kj(γ－1)/ｕ²＋ｕ_kｕ^jτ^0ik(γ－1)/(γｕ²)－[(γ－1)²/{γ(ｕ²)²}]ｕⁱｕ^j(ｕτ⁰ｕ)となります。

そこで,τ＝τ⁰＋ｕ⊗(ｕτ⁰)(γ－1)/ｕ²－(τ⁰ｕ)⊗ｕ(γ－1)/(γｕ²)－{(ｕ⊗ｕ)(ｕτ⁰ｕ)/(ｕ²)²}(γ－1)²/γです。

ここで,空間ベクトルａ,ｂのテンソル積,すなわち(ｉ,ｊ)成分がａⁱｂ^jで与えられるテンソルを記号ａ⊗ｂで表わしました。

これにより,(ｕτｕ)＝(ｕτ⁰ｕ)＋(ｕτ⁰ｕ)(γ－1)－(ｕτ⁰ｕ)(γ－1)/γ－(ｕτ⁰ｕ)(γ－1)²/γ＝(ｕτ⁰ｕ)なので,前にｈの変換性から結論づけた等式:(ｕτｕ)＝(ｕτ⁰ｕ)が成立することも陽に確かめることができました。

そして,静止系でのτ^ijであるτ^0ijが対称テンソルなので,(τ⁰ｕ)＝(ｕτ⁰)となることから,変換τ＝τ⁰＋ｕ⊗(ｕτ⁰)(γ－1)/ｕ²－(τ⁰ｕ)⊗ｕ(γ－1)/(γｕ²)－{(ｕ⊗ｕ)(ｕτ⁰ｕ)/(ｕ²)²}(γ－1)²/γが,前に求めた恒等式:(ｕτ)(1－ｕ²/ｃ²)＝(τｕ)－(ｕτｕ)ｕ/ｃ²と矛盾しないことを確かめることもできます。ここでは割愛します。

特にｕがｘ軸に平行でｕ＝(ｕ,0,0)のときには,上の変換はｈ＝γ²(ｈ⁰＋τ⁰¹¹ｕ²/ｃ²),ｇ＝(γ²(μ⁰＋τ⁰¹¹/ｃ²)ｕ,γτ⁰²¹ｕ/ｃ²,γτ⁰³¹ｕ/ｃ²),(τ¹¹,τ¹²,τ¹³)＝(τ⁰¹¹,γτ⁰¹²,γτ⁰¹³),(τ²¹,τ²²,τ²³)＝(τ⁰²¹/γ,τ⁰²²,τ⁰²³),(τ³¹,τ³²,τ³³)＝(τ⁰³¹/γ,τ⁰³²,τ⁰³³)となります。

さて,連続物体が完全流体である場合には応力は圧力ｐのみなので,流体の面素の外向き法線ベクトルをｎとすると,その流体部分の面がそれの外部に及ぼすｎ向きの単位体積当りの力はτ(ｎ)＝ｐｎです。

そして,テンソルτ(ｎ)の成分はτⁱ(ｎ)＝τ^ijｎ^jと書けますからτ(ｎ)＝ｐｎは,τ^ijｎ^j＝ｐｎ^jとなります。

結局,τ^ij＝ｐδ^ijを意味します。特に静止系では,τ^0ij＝ｐ⁰δ^ijという形になります。

※書物によっては,τ(ｎ)ではなく,これにマイナス符号を付けたｔ(ｎ)≡－τ(ｎ)を応力テンソルと定義するものがあります。

つまり,面要素ｄσが外部に及ぼす力を考えるか,ｄσが外部から受ける力を考えるかによって向きが逆になるわけですね。

今の,τ(ｎ)＝ｐｎ,τ^ij＝ｐδ^ijの場合には,ｔ(ｎ)＝－ｐｎ,ｔ^ij＝－ｐδ^ijとなりますね。

さて変換:τ＝τ⁰＋ｕ⊗(ｕτ⁰)(γ－1)/ｕ²－(τ⁰ｕ)⊗ｕ(γ－1)/(γｕ²)－{(ｕ⊗ｕ)(ｕτ⁰ｕ)/(ｕ²)²}(γ－1)²/γ,または成分表示でτ^ij＝τ^0ij＋ｕ^kｕⁱτ^0kj(γ－1)/ｕ²－ｕ^kｕ^jτ^0ik(γ－1)/(γｕ²)－{ｕⁱｕ^j(ｕτ⁰ｕ)/(ｕ²)²}(γ－1)²/γなる表式を考えます。

テンソルτ,τ⁰の成分として,それぞれτ^ij＝ｐδ^ij,τ^0ij＝ｐ⁰δ^ijを代入すると,ｐδ^ij＝ｐ⁰δ^ij＋ｕ^jｕⁱｐ⁰(γ－1)/ｕ²－ｕⁱｕ^jｐ⁰(γ－1)/(γｕ²)－ｕⁱｕ^jｐ⁰(γ－1)²/(γｕ²)＝ｐ⁰δ^ijを得ます。

したがって,ｐ＝ｐ⁰,つまりτ^ij＝ｐδ^ij＝τ^0ij＝ｐ⁰δ^ijとなって,圧力のスカラー性が保証されました。

そして,前に書いたように,Ｔ^μν＝θ^μν＋Ｓ^μν;θ^μν＝μ⁰Ｕ^μＵ^νと分解すると,Ｓ^ij＝Ｓ^ji＝＝Ｔ^ij－μ⁰ＵⁱＵ^j＝τ^ij＋(Ｕⁱτ^ijＵ^j)/ｃ²,Ｓ^k0＝Ｓ^0k＝Ｔ^k0－μ⁰Ｕ^kＵ⁰＝(Ｕⁱτ^ikＵ⁰)/ｃ²,Ｓ⁰⁰＝Ｔ⁰⁰－μ⁰Ｕ⁰Ｕ⁰＝(Ｕⁱτ^ikＵ^k)/ｃ²です。

そこで,完全流体τ^ij＝ｐδ^ijでは,Ｓ^ij＝Ｓ^ji＝ｐδ^ij＋ｐＵⁱＵ^j/ｃ²,Ｓ^k0＝Ｓ^0k＝ｐＵ^kＵ⁰/ｃ²,Ｓ⁰⁰＝ｐＵⁱＵⁱ/ｃ²＝ｐＵ⁰Ｕ⁰/ｃ²－ｐなる表現を得ます。

すなわち,ｐ＝ｐ⁰,かつＳ^μν＝ｐＵ^μＵ^ν/ｃ²－ｐη^μνです。

これから,Ｓ^μ_μ＝ｐ－4ｐ＝－3ｐ,つまりｐ＝－Ｓ^μ_μ/3＝－Ｓ_μ^μ/3なる表現を得ますが,Ｓ^μνはテンソルですから,再びｐが１つの"不変量＝スカラー"であるという事実が得られます。

結局,Ｔ^μν＝θ^μν＋Ｓ^μν;θ^μν＝μ⁰Ｕ^μＵ^ν;Ｓ^μν＝ｐＵ^μＵ^ν/ｃ²－ｐη^μνによって,完全流体のエネルギー運動量テンソルがＴ^μν＝(μ⁰＋ｐ/ｃ²)Ｕ^μＵ^ν－ｐη^μνとなることがわかりました。

この表現から,右辺のミンコフスキー計量(Minkowski-metric)η^μνを一般の時空多様体の計量(metric)ｇ^μνに置き換えます。

さらに４元速度Ｕ^μ≡ｄｘ^μ/ｄτの表記をｕ^μ≡ｄｘ^μ/ｄτに変えて,密度μ⁰をρ,圧力ｐを大文字のＰに変えると,エネルギー運動量テンソルの新表現:Ｔ^μν＝(Ｐ/ｃ²＋ρ)ｕ^μｕ^ν－Ｐｇ^μνを得ます。

この表現は,一般相対論の重力場の方程式:Ｒ^μν－(1/2)ｇ^μνＲ＝κＴ^μνにおいて,宇宙空間を連続的な(完全)流体で近似したときの右辺のエネルギー運動量テンソルＴ^μνに同定されます。

もっとも,重力場の方程式はアインシュタイン(Einstein)もしたように,この他にｇ^μνに比例した宇宙項があって,Ｒ^μν－(1/2)ｇ^μνＲ＝κＴ^μνではなく,Ｒ^μν－(1/2)ｇ^μνＲ－Λｇ^μν＝κＴ^μνとする場合もあります。

さて,Ｓ^μνによる弾性的内力はｆ_elast^μ＝－∂Ｓ^μν/∂ｘ^νですが,さらに,この完全流体が４元力密度がｆ_ext^μの外力を受けているなら運動方程式は,∂θ^μν/∂ｘ^ν＝ｆ_elast^μ＋ｆ_ext^μ＝ｆ^μとなります。

この場合には,∂Ｔ^μν/∂ｘ^ν＝∂Ｓ^μν/∂ｘ^ν＋∂θ^μν/∂ｘ^ν＝ｆ_ext^μであり,外力ｆ_ext^μがゼロでないなら,もはや∂Ｔ^μν/∂ｘ^ν＝0 を満たさず,閉じた系の範囲を超えた話になります。

そして,Ｓ^μν＝ｐＵ^μＵ^ν/ｃ²－ｐη^μνによって,ｆ_elast^μ＝－∂Ｓ^μν/∂ｘ^ν＝－ｐＵ^μ(∂Ｕ^ν/∂ｘ^ν)/ｃ²－ｐＵ^ν(∂Ｕ^μ/∂ｘ^ν)/ｃ²－(∂ｐ/∂ｘ^ν)Ｕ^μＵ^ν/ｃ²＋∂ｐ/∂ｘ^μです。

公式:ｄ/ｄτ＝(∂/∂ｘ^ν)(ｄｘ^ν/ｄτ)＝Ｕ^ν(∂/∂ｘ^ν)を用いると,ｆ_elast^μ＝－ｐＵ^μ(∂Ｕ^ν/∂ｘ^ν)/ｃ²－ｐ(ｄＵ^μ/ｄτ)/ｃ²－(ｄｐ/ｄτ)Ｕ^μ/ｃ²＋∂ｐ/∂ｘ^μとなります。

ところで,外力ｆ_ext^μは純粋に力学的な力でｆ_ext^μ＝((ｆ_extｕ)/ｃ,ｆ_ext)の形であると仮定すると,既に示したように,この外力密度はｆ_ext^μＵ_μ＝0 を満足するはずです。

しかし,たった今上で求めた弾性的力ｆ_elast^μについては,ｆ_elast^μＵ_μ＝－ｐ(∂Ｕ^ν/∂ｘ^ν)＝－ｐ⁰div⁰ｕ≠0 なる式を得ます。

何故なら,ｐ＝ｐ⁰であり,∂Ｕ^ν/∂ｘ^ν＝(∂/∂ｘ⁰){ｃ/(1－ｕ²/ｃ²)^1/2}－∂Ｕ^k/∂ｘ^k＝(ｕ/ｃ)(∂ｕ/∂ｘ⁰)(1－ｕ²/ｃ²)^-3/2－∂Ｕ^k/∂ｘ^kなので,ｕ＝0 の静止系を考えると(∂Ｕ^ν/∂ｘ^ν)⁰＝(∂Ｕ^k/∂ｘ^k)⁰＝(divＵ)⁰です。

そして,∂Ｕ^k/∂ｘ^k＝(∂ｕ^k/∂ｘ^k)(1－ｕ²/ｃ²)^-1/2＋(ｕ^j/ｃ²)(∂ｕ^j/∂ｘ^k)(1－ｕ²/ｃ²)^-3/2なので,ｕ＝0 の静止系では(∂Ｕ^k/∂ｘ^k)⁰＝(∂ｕ^k/∂ｘ^k)⁰＝div⁰ｕとなって,結局∂Ｕ^ν/∂ｘ^ν＝div⁰ｕが成立するからです。

そこで,ｆ^μＵ_μ＝ｆ_elast^μＵ_μ＋ｆ_ext^μＵ_μ＝－ｐ⁰div⁰ｕ≠0ですが,すぐ前の記事で書いたように,ｆ^μ＝({(ｆｕ)＋ｑ}/ｃ,ｆ)と書くとｆ^μＵ_μ＝ｑ/(1－ｕ²/ｃ²)^1/2＝ｑ⁰で,ｑ⁰は弾性的応力によって生じた非力学的エネルギーの増加率です。

そこで,ｑ⁰＝ｆ_elast^μＵ_μ＝－ｐ⁰div⁰ｕより,この－ｐ⁰div⁰ｕは弾性エネルギーの単位時間当たりの増加を示します。

実際,div⁰ｕは静止系での体積膨張率{ｄ(δＶ⁰)/ｄｔ}/δＶ⁰に等しいので,ｑ⁰＝－ｐ⁰div⁰ｕ＝－ｐ⁰{ｄ(δＶ⁰)/ｄｔ}/δＶ⁰であり,これはδＶ⁰の体積膨張に伴なって圧力がなす仕事による内部エネルギーの減少を示しています。

同じ運動方程式:∂θ^μν/∂ｘ^ν＝∂(μ⁰Ｕ^μＵ^ν)/∂ｘ^ν＝ｆ_elast^μ＋ｆ_ext^μから,Ｕ_μ∂(μ⁰Ｕ^μＵ^ν)/∂ｘ^ν＝ｆ_elast^μＵ_μによって,∂(μ⁰Ｕ^ν)/∂ｘ^ν＝－(ｐ/ｃ²)(∂Ｕ^ν/∂ｘ^ν)＝－ｐ⁰div⁰ｕ/ｃ²,つまり∂(μ⁰Ｕ^ν)/∂ｘ^ν＝ｑ⁰/ｃ²を得ます。

これは単位時間に単位体積当りの質量μ⁰が弾性エネルギー密度の増加分ｑ⁰に対してｑ⁰/ｃ²だけ増加するということで固有質量の生成に寄与しています。

つまり,これは質量とエネルギーの等価性に関わるアインシュタインの関係式を意味しています。

そこで,完全流体がさらに非圧縮性を有するなら,弾性力による質量生成項の∂(μ⁰Ｕ^ν)/∂ｘ^ν＝ｑ⁰/ｃ²＝－ｐ⁰div⁰ｕ/ｃ²がゼロであるべきなので,div⁰ｕ＝{ｄ(δＶ⁰)/ｄｔ}/δＶ⁰＝0 であり,それ故,ｄ(μ⁰δＶ⁰)/ｄｔ＝(ｄμ⁰/ｄｔ)δＶ⁰＋μ⁰{ｄ(δＶ⁰)/ｄｔ}＝(ｄμ⁰/ｄｔ)δＶ⁰となります。

他方,ｄ/ｄτ＝(∂/∂ｘ^ν)(ｄｘ^ν/ｄτ)＝Ｕ^ν(∂/∂ｘ^ν)より,∂(μ⁰Ｕ^ν)/∂ｘ^ν＝ｄμ⁰/ｄτ＋μ⁰(∂Ｕ^ν/∂ｘ^ν)で∂Ｕ^ν/∂ｘ^ν)＝div⁰ｕ＝0より∂(μ⁰Ｕ^ν)/∂ｘ^ν＝ｄμ⁰/ｄτですが,左辺の∂(μ⁰Ｕ^ν)/∂ｘ^ν＝－ｐ⁰div⁰ｕ/ｃ²＝0 なのでｄμ⁰/ｄτ＝0 となります。

さて,∂(μ⁰Ｕ^ν)/∂ｘ^ν＝－(ｐ/ｃ²)(∂Ｕ^ν/∂ｘ^ν)を代入し返すと,∂θ^μν/∂ｘ^ν＝∂(μ⁰Ｕ^μＵ^ν)/∂ｘ^ν＝μ⁰Ｕ^ν(∂Ｕ^μ/∂ｘ^ν)＋Ｕ^μ∂(μ⁰Ｕ^ν)/∂ｘ^ν＝μ⁰(ｄＵ^μ/ｄτ)－(ｐＵ^μ/ｃ²)(∂Ｕ^ν/∂ｘ^ν)を得ます。

これと,∂θ^μν/∂ｘ^ν＝ｆ_elast^μ＋ｆ_ext^μ,およびｆ_elast^μ＝－ｐＵ^μ(∂Ｕ^ν/∂ｘ^ν)/ｃ²－ｐ(ｄＵ^μ/ｄτ)/ｃ²－(ｄｐ/ｄτ)Ｕ^μ/ｃ²＋∂ｐ/∂ｘ^μから,μ⁰(ｄＵ^μ/ｄτ)－(ｐＵ^μ/ｃ²)(∂Ｕ^ν/∂ｘ^ν)＝ｆ_ext^μ－ｐ(ｄＵ^μ/ｄτ)/ｃ²－(ｐＵ^μ/ｃ²)(∂Ｕ^ν/∂ｘ^ν)－(Ｕ^μ/ｃ²)(ｄｐ/ｄτ)＋∂ｐ/∂ｘ^μを得ます。

結局,完全流体の相対論的運動方程式は(μ⁰＋ｐ/ｃ²)(ｄＵ^μ/ｄτ)＝ｆ_ext^μ－∂ｐ/∂ｘ^μ－(Ｕ^μ/ｃ²)(ｄｐ/ｄτ)となります。

この方程式は,非相対論において,密度がｆ_extの外力がある場合の完全流体の基本方程式であるオイラーの方程式:ρ(ｄｕⁱ/ｄｔ)＝ｆ_extⁱ－∂ｐ/∂ｘⁱ (ρ＝μ⁰)に対し,圧力ｐと関わる相対論的補正がなされた方程式に見えます。

ただし,ｄｕⁱ/ｄｔはラグランジュ微分:Ｄｕⁱ/Ｄｔ≡∂ｕⁱ/∂ｔ＋ｕ^k(∂ｕⁱ/∂ｘ^k)です。

既に見たように連続弾性体の運動量密度:ｇとエネルギー密度:ｈは,ｇ＝Ｓ/ｃ²＝μｕ＋(ｕτ)/ｃ²,およびｈ＝ｈ⁰＋(ｇｕ)＝{ｈ⁰＋(ｕτｕ)/ｃ²}/(1－ｕ²/ｃ²),またはｈ⁰＝ｈ(1－ｕ²/ｃ²)－(ｕτｕ)/ｃ²なる表式で与えられます。

これに完全流体の条件:τ^ij＝ｐδ^ijを代入すると,まずμ⁰＝μ(1－ｕ²/ｃ²)－ｐｕ²/ｃ⁴が得られ,そして運動量密度ｇ＝(μ＋ｐ/ｃ²)ｕ＝(μ⁰＋ｐ/ｃ²)ｕ/(1－ｕ²/ｃ²),およびエネルギー密度ｈ＝(ｈ⁰＋ｐｕ²/ｃ²)/(1－ｕ²/ｃ²)が得られます。

もしも,量μ⁰,ｐ＝ｐ⁰,ｕが全て流体のあらゆる位置で一定の等しい値を取る空間の定数なら,これら運動量密度とエネルギー密度の表式を全体積Ｖ≡Ｖ⁰(1－ｕ²/ｃ²)^1/2にわたって空間積分すると,全運動量はＧ＝ｇＶ＝(ｈ⁰＋ｐ)Ｖｕ/{ｃ²(1－ｕ²/ｃ²)}＝(ｈ⁰＋ｐ)Ｖ⁰ｕ/{ｃ²(1－ｕ²/ｃ²)^1/2}＝(Ｈ⁰＋ｐＶ⁰)ｕ/{ｃ²(1－ｕ²/ｃ²)^1/2}となります。

一方,全エネルギーは,Ｈ＝ｈＶ＝(Ｈ⁰＋ｐＶ⁰ｕ²/ｃ²)/(1－ｕ²/ｃ²)^1/2となります。

しかし,これを見ると,Ｇ^μ≡(Ｈ/ｃ,Ｇ)＝((Ｈ⁰＋ｐＶ⁰ｕ²/ｃ²)/{ｃ(1－ｕ²/ｃ²)^1/2},(Ｈ⁰＋ｐＶ⁰)ｕ/{ｃ²(1－ｕ²/ｃ²)^1/2})なる４つの量は明らかにローレンツ共変な４元ベクトルにはなりません。

これは,前の連続物体の一般論において,Ｇ^μ≡∫ｇ^μｄＶ＝(Ｈ/ｃ,Ｇ)が４元ベクトルであることを証明した事実と矛盾するように見えますが,実は以前の証明では対象が閉じた系であることを仮定していたもので,今の場合は閉じた系の範囲を超えた話のため,矛盾しません。

すなわち,今の場合のようにμ⁰,ｐ＝ｐ⁰,ｕが流体のあらゆる位置で一定の等しい値を取るためには,流体を一様速度ｕで運動する容器に閉じ込める必要がありますが,流体がこの容器の壁に及ぼす力はエネルギー運動量テンソルＴ^μν＝(μ⁰＋ｐ/ｃ²)Ｕ^μＵ^ν－ｐη^μνの中には含まれていません。

Ｇ＝(Ｈ⁰＋ｐＶ⁰)ｕ/{ｃ²(1－ｕ²/ｃ²)^1/2}は,Ｇ＝{(Ｈ＋ｐＶ)/ｃ²}ｕ,Ｈ＋ｐＶ＝(Ｈ⁰＋ｐＶ⁰)/(1－ｕ²/ｃ²)^1/2と書き直せます。

そこで,もしもＧ^μ≡(Ｈ/ｃ,Ｇ)ではなくＧ^μ≡((Ｈ＋ｐＶ)/ｃ,Ｇ)とおくなら静止質量が(Ｈ⁰＋ｐＶ⁰)/ｃ²の質点のエネルギー運動量ベクトルと同じになって４元ベクトルになります。

これは完全流体の流体力学では,系を閉じた系にするには内部エネルギーＨに加えて圧力による仕事をも含むエンタルピー:Ｈ＋ｐＶを系の全エネルギーと考えるべきであることを示唆しています。

今日はこれで終わります。

参考文献：メラー 著(永田恒夫,伊藤大介 訳)「相対性理論」(みすず書房)

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