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2008年11月28日 (金)

運動物質内の相対論(4)(弾性連続体(2),完全流体)

今日は弾性連続体の続きと,完全流体(理想流体)の相対論的扱いを考えます。

座標系SとS0は,空間軸の向きについては全て同じであるとします。そして,Sに対するS0の速度は,考えている点における弾性体の速度とします。

 

そこで,座標系S→S0のローレンツ変換:x=Λμννにおける係数Λμνは,Λij=δij-(uij/2)(γ-1),Λk0=Λ0k=-γuk/c=γuk/c,Λ00=γです。ただし,γ=1/(1-2/c2)1/2です。

 

逆変換Λμνは,Λμνの表式で→(-)とすればよくて,それ故,Λij=δij-(uij/2)(γ-1),Λ0k=Λk0=γuk/c=-γuk/c,Λ00=γです。

そして,エネルギー運動量テンソルはTμν=θμν+Sμνμν=μ0μνと分解できて,T00=h,Ti0=T0i=cgi,Tij=τij+gijで与えられます。

 

さらに物体の静止系では,τ0ik=T0ik=T0ki=τ0ki,S0ik=c20ik=cT0k0=0 ,h0=T000 が成立します。

 

ただし,h0は連続体の静止エネルギー密度です。なお,静止系での量には全て上添字 0 を付けています。

したがって,テンソルの変換性:Tμν=T0λσΛλμΛσνにより,Tμν=τ0ijΛiμΛjν+h0Λ0μΛ0νです。

 

この式で,もしもμ=ν=0 ならh=τ0ijΛi0Λj0+h0Λ00Λ00=γ2iτ0ijj/c2+γ20,つまりh={h0+(uτ0)/c}/(1-2/c2)を得ます。

 

これと,以前に求めた式h=h0+(gu)={h0+(uτu)}/(1-2/c2)との比較から,等式(uτu)=(uτ0)の成立がわかります。

また,μ=0,ν=iなら,gi=Ti0/c={τ0kjΛkiΛj0+h0Λ0iΛ00}/c=-{δki-(uki/2)(γ-1)}γujτ0kj/c2+γ20i/c2=(uiγ2/c2){h0+(ukτ0kjj/2)(1-1/γ)}-γτ0ijj/c2です。

 

つまり,2/c2){h0+(1-1/γ)(uτ0)/2)}+γ(τ0)/c2となります。

最後に,μ=i,ν=jなら,τij+gij=τ0klΛkiΛlj+h0Λ0iΛ0jより,τij=τ0klki-(uki/2)(γ-1)}{δlj-(ulj/2)(γ-1)}+γ2ij0/c2-(uijγ2/c2){h0+(ukτ0kll/2)(1-1/γ)}+γτ0ikkj/c2です。

 

つまり,τij=τ0ij-ukiτ0kj(γ-1)/2-uljτ0il(γ-1)/2+uijkτ0kll(γ-1)2/(2)2-uijkτ0kllγ(γ-1)/(c22)+γτ0ikkj/c2=τ0ij-ukiτ0kj(γ-1)/2+ukjτ0ik(γ-1)/(γ2)-[(γ-1)2/{γ(2)2}]uij(uτ0)となります。

そこで,ττ0(uτ0)(γ-1)/2-(τ0)⊗(γ-1)/(γ2)-{()(uτ0)/(2)2}(γ-1)2/γです。

 

ここで,空間ベクトル,のテンソル積,すなわち(i,j)成分がaijで与えられるテンソルを記号で表わしました。

 

これにより,(uτu)=(uτ0)+(uτ0)(γ-1)-(uτ0)(γ-1)/γ-(uτ0)(γ-1)2/γ=(uτ0)なので,前にhの変換性から結論づけた等式:(uτu)=(uτ0)が成立することも陽に確かめることができました。

そして,静止系でのτijであるτ0ijが対称テンソルなので,(τ0)=(uτ0)となることから,変換ττ0⊗(uτ0)(γ-1)/2-(τ0)⊗(γ-1)/(γ2)-{()(uτ0)/(2)2}(γ-1)2/γが,前に求めた恒等式:(uτ)(1-2/c2)=(τu)-(uτu)/c2と矛盾しないことを確かめることもできます。ここでは割愛します。

特にがx軸に平行=(u,0,0)のときには,上の変換はh=γ2(h0+τ0112/c2),=(γ20+τ011/c2)u,γτ021u/c2,γτ031u/c2),(τ111213)=(τ011,γτ012,γτ013),(τ212223)=(τ021/γ,τ022023),(τ313233)=(τ031/γ,τ032033)となります。

さて,連続物体が完全流体である場合には応力は圧力pのみなので,流体の面素の外向き法線ベクトルをとすると,その流体部分の面がそれの外部に及ぼす向きの単位体積当りの力はτ()=pです。

 

そして,テンソルτ()の成分はτi()=τijjと書けますからτ()=pは,τijj=pnjとなります。

 

結局,τij=pδijを意味します。特に静止系では,τ0ij=p0δijという形になります。

 

※書物によっては,τ()ではなく,これにマイナス符号を付けた()≡-τ()を応力テンソルと定義するものがあります。

 

つまり,面要素dσが外部に及ぼす力を考えるか,dσが外部から受ける力を考えるかによって向きが逆になるわけですね。

 

今の,τ()=pij=pδijの場合には,()=-p,tij=-pδijとなりますね。

さて変換:ττ0⊗(uτ0)(γ-1)/2-(τ0)⊗(γ-1)/(γ2)-{()(uτ0)/(2)2}(γ-1)2/γ,または成分表示でτij=τ0ij+ukiτ0kj(γ-1)/2-ukjτ0ik(γ-1)/(γ2)-{uij(uτ0)/(2)2}(γ-1)2/γなる表式を考えます。

 

テンソルτ,τ0の成分として,それぞれτij=pδij0ij=p0δijを代入すると,pδij=p0δij+uji0(γ-1)/2-uij0(γ-1)/(γ2)-uij0(γ-1)2/(γ2)=p0δijを得ます。

 

したがって,p=p0,つまりτij=pδij=τ0ij=p0δijとなって,圧力のスカラー性が保証されました。

そして,前に書いたように,Tμν=θμν+Sμνμν=μ0μνと分解すると,Sij=Sji==Tij-μ0ij=τij+(Uiτijj)/c2,Sk0=S0k=Tk0-μ0k0=(Uiτik0)/c2,S00=T00-μ000=(Uiτikk)/c2です。

 

そこで,完全流体τij=pδijでは,Sij=Sji=pδij+pUij/c2,Sk0=S0k=pUk0/c2,S00=pUii/c2=pU00/c2-pなる表現を得ます。

すなわち,p=p0,かつSμν=pUμν/c2-pημνです。

 

これから,Sμμ=p-4p=-3p,つまりp=-Sμμ/3=-Sμμ/3なる表現を得ますが,Sμνはテンソルですから,再びpが1つの"不変量=スカラー"であるという事実が得られます。

結局,Tμν=θμν+Sμνμν=μ0μν;Sμν=pUμν/c2-pημνによって,完全流体のエネルギー運動量テンソルがTμν=(μ0+p/c2)Uμν-pημνとなることがわかりました。

この表現から,右辺のミンコフスキー計量(Minkowski-metric)ημνを一般の時空多様体の計量(metric)gμνに置き換えます。

 

さらに4元速度Uμ≡dxμ/dτの表記をuμ≡dxμ/dτに変えて,密度μ0をρ,圧力pを大文字のPに変えると,エネルギー運動量テンソルの新表現:Tμν=(P/c2+ρ)uμν-Pgμνを得ます。

 

この表現は,一般相対論の重力場の方程式:Rμν-(1/2)gμνR=κTμνにおいて,宇宙空間を連続的な(完全)流体で近似したときの右辺のエネルギー運動量テンソルTμνに同定されます。

もっとも,重力場の方程式はアインシュタイン(Einstein)もしたように,この他にgμνに比例した宇宙項があって,Rμν-(1/2)gμνR=κTμνではなく,Rμν-(1/2)gμνR-Λgμν=κTμνとする場合もあります。

さて,Sμνによる弾性的内力はfelastμ=-∂Sμν/∂xνですが,さらに,この完全流体が4元力密度がfextμの外力を受けているなら運動方程式は,∂θμν/∂xν=felastμ+fextμ=fμとなります。

 

この場合には,∂Tμν/∂xν=∂Sμν/∂xν+∂θμν/∂xν=fextμであり,外力fextμがゼロでないなら,もはや∂Tμν/∂xν=0 を満たさず,閉じた系の範囲を超えた話になります。

そして,Sμν=pUμν/c2-pημνによって,felastμ=-∂Sμν/∂xν=-pUμ(∂Uν/∂xν)/c2-pUν(∂Uμ/∂xν)/c2-(∂p/∂xν)Uμν/c2+∂p/∂xμです。

 

公式:d/dτ=(∂/∂xν)(dxν/dτ)=Uν(∂/∂xν)を用いると,felastμ=-pUμ(∂Uν/∂xν)/c2-p(dUμ/dτ)/c2-(dp/dτ)Uμ/c2+∂p/∂xμとなります。

ところで,外力fextμは純粋に力学的な力でfextμ=((ext)/c,ext)の形であると仮定すると,既に示したように,この外力密度はfextμμ=0 を満足するはずです。

 

しかし,たった今上で求めた弾性的力felastμについては,felastμμ=-p(∂Uν/∂xν)=-p0div0≠0 なる式を得ます。

何故なら,p=p0であり,∂Uν/∂xν=(∂/∂x0){c/(1-2/c2)1/2}-∂Uk/∂xk=(/c)(∂/∂x0)(1-2/c2)-3/2-∂Uk/∂xkなので,0 の静止系を考えると(∂Uν/∂xν)0=(∂Uk/∂xk)0=(div)0です。

 

そして,∂Uk/∂xk=(∂uk/∂xk)(1-2/c2)-1/2+(uj/c2)(∂uj/∂xk)(1-2/c2)-3/2なので,0 の静止系では(∂Uk/∂xk)0=(∂uk/∂xk)0=div0となって,結局∂Uν/∂xν=div0が成立するからです。

そこで,fμμ=felastμμ+fextμμ=-p0div0≠0ですが,すぐ前の記事で書いたように,fμ=({(fu)+q}/c,)と書くとfμμ=q/(1-2/c2)1/2=q0で,q0は弾性的応力によって生じた非力学的エネルギーの増加率です。

 

そこで,q0=felastμμ=-p0div0より,この-p0div0は弾性エネルギーの単位時間当たりの増加を示します。

実際,div0は静止系での体積膨張率{d(δV0)/dt}/δV0に等しいので,q0=-p0div0=-p0{d(δV0)/dt}/δV0であり,これはδV0の体積膨張に伴なって圧力がなす仕事による内部エネルギーの減少を示しています。

同じ運動方程式:∂θμν/∂xν=∂(μ0μν)/∂xν=felastμ+fextμから,Uμ∂(μ0μν)/∂xν=felastμμによって,∂(μ0ν)/∂xν=-(p/c2)(∂Uν/∂xν)=-p0div0/c2,つまり∂(μ0ν)/∂xν=q0/c2を得ます。

 

これは単位時間に単位体積当りの質量μ0が弾性エネルギー密度の増加分q0に対してq0/c2だけ増加するということで固有質量の生成に寄与しています。

 

つまり,これは質量とエネルギーの等価性に関わるアインシュタインの関係式を意味しています。

そこで,完全流体がさらに非圧縮性を有するなら,弾性力による質量生成項の∂(μ0ν)/∂xν=q0/c2=-p0div0/c2がゼロであるべきなので,div0={d(δV0)/dt}/δV0=0 であり,それ故,d(μ0δV0)/dt=(dμ0/dt)δV0+μ0{d(δV0)/dt}=(dμ0/dt)δV0となります。

 

他方,d/dτ=(∂/∂xν)(dxν/dτ)=Uν(∂/∂xν)より,∂(μ0ν)/∂xν=dμ0/dτ+μ0(∂Uν/∂xν)で∂Uν/∂xν)=div0=0より∂(μ0ν)/∂xν=dμ0/dτですが,左辺の∂(μ0ν)/∂xν-p0div0/c2=0 なのでdμ0/dτ=0 となります。

さて,∂(μ0ν)/∂xν=-(p/c2)(∂Uν/∂xν)を代入し返すと,∂θμν/∂xν=∂(μ0μν)/∂xν=μ0ν(∂Uμ/∂xν)+Uμ∂(μ0ν)/∂xν=μ0(dUμ/dτ)-(pUμ/c2)(∂Uν/∂xν)を得ます。

 

これと,∂θμν/∂xν=felastμ+fextμ,およびfelastμ=-pUμ(∂Uν/∂xν)/c2-p(dUμ/dτ)/c2-(dp/dτ)Uμ/c2+∂p/∂xμから,μ0(dUμ/dτ)-(pUμ/c2)(∂Uν/∂xν)=fextμ-p(dUμ/dτ)/c2-(pUμ/c2)(∂Uν/∂xν)-(Uμ/c2)(dp/dτ)+∂p/∂xμを得ます。

結局,完全流体の相対論的運動方程式は(μ0+p/c2)(dUμ/dτ)=fextμ-∂p/∂xμ-(Uμ/c2)(dp/dτ)となります。

 

この方程式は,非相対論において,密度がextの外力がある場合の完全流体の基本方程式であるオイラーの方程式:ρ(dui/dt)=fexti-∂p/∂xi (ρ=μ0)に対し,圧力pと関わる相対論的補正がなされた方程式に見えます。

 

ただし,dui/dtはラグランジュ微分:Dui/Dt≡∂ui/∂t+uk(∂ui/∂xk)です。

既に見たように連続弾性体の運動量密度:とエネルギー密度:hは,/c2=μ+(uτ)/c2,およびh=h0+(gu)={h0+(uτu)/c2}/(1-2/c2),またはh0=h(1-2/c2)-(uτu)/c2なる表式で与えられます。

 

これに完全流体の条件:τij=pδijを代入すると,まずμ0=μ(1-2/c2)-p2/c4が得られ,そして運動量密度=(μ+p/c2)=(μ0+p/c2)/(1-2/c2),およびエネルギー密度h=(h0+p2/c2)/(1-2/c2)が得られます。

もしも,量μ0,p=p0,が全て流体のあらゆる位置で一定の等しい値を取る空間の定数なら,これら運動量密度とエネルギー密度の表式を全体積V≡V0(1-2/c2)1/2にわたって空間積分すると,全運動量はV=(h0+p)V/{c2(1-2/c2)}=(h0+p)V0/{c2(1-2/c2)1/2}=(H0+pV0)/{c2(1-2/c2)1/2}となります。

 

一方,全エネルギーは,H=hV=(H0+pV02/c2)/(1-2/c2)1/2となります。

しかし,これを見ると,Gμ≡(H/c,)=((H0+pV02/c2)/{c(1-2/c2)1/2},(H0+pV0)/{c2(1-2/c2)1/2})なる4つの量は明らかにローレンツ共変な4元ベクトルにはなりません。

これは,前の連続物体の一般論において,Gμ≡∫gμdV=(H/c,)が4元ベクトルであることを証明した事実と矛盾するように見えますが,実は以前の証明では対象が閉じた系であることを仮定していたもので,今の場合は閉じた系の範囲を超えた話のため,矛盾しません。

すなわち,今の場合のようにμ0,p=p0,が流体のあらゆる位置で一定の等しい値を取るためには,流体を一様速度で運動する容器に閉じ込める必要がありますが,流体がこの容器の壁に及ぼす力はエネルギー運動量テンソルTμν=(μ0+p/c2)Uμν-pημνの中には含まれていません。

(H0+pV0)/{c2(1-2/c2)1/2}は,={(H+pV)/c2},H+pV=(H0+pV0)/(1-2/c2)1/2と書き直せます。

 

そこで,もしもGμ≡(H/c,)ではなくGμ≡((H+pV)/c,)とおくなら静止質量が(H0+pV0)/c2の質点のエネルギー運動量ベクトルと同じになって4元ベクトルになります。

 

これは完全流体の流体力学では,系を閉じた系にするには内部エネルギーHに加えて圧力による仕事をも含むエンタルピー:H+pVを系の全エネルギーと考えるべきであることを示唆しています。

今日はこれで終わります。

参考文献:メラー 著(永田恒夫,伊藤大介 訳)「相対性理論」(みすず書房)

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コメント

 どもhirotaさん。。TOSHIです。

>直積って書いてますが、⊗ は普通テンソル積と言うんでは?

 そうですね普通は確かにテンソル積と言うようです。
 
 まあ定義ですから読めばそれであると解釈できるのでいいんじゃないかとは思いましたが。。英語ではdiadicとも呼ぶと思います。

 まあ直積といってもわかるとは思いますがここは書き直しておきましょう。

 ありがとうございました。

            TOSHI

投稿: TOSHI | 2009年1月 4日 (日) 09時00分

直積って書いてますが、⊗ は普通テンソル積と言うんでは?

投稿: hirota | 2009年1月 2日 (金) 14時41分

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