超弦理論(7)(弦の相互作用と頂点演算子)

　超弦理論(superstring theory)の続きです。

　ここまでは,自由弦についてのみ論じてきましたが,ここで相互作用,あるいは非線型理論を導入する手続きについて述べます。

　まず,場の理論でのファインマン・グラフ(Feynman diagrams)について復習します。

　例えばｎ次元時空の質量がゼロのスカラー場に対して時空の点ｘとｙの間の標準伝播関数は－＜ｙ|□^-1|ｘ＞です。

　ここに,□はダランベール演算子(d'Alembertian),または波動演算子と呼ばれるもので,□≡η^μν(∂²/∂ｘ^μ∂ｘ^ν)です。

　そして,この波動演算子の逆演算子を示す伝播関数は,－＜ｙ|□^-1|ｘ＞＝∫₀^∞ｄτ＜ｙ|exp(τ□)|ｘ＞で与えられます。

　(ｎ＋1)次元での質量ｍの非相対論的粒子のハミルトニアンは単にＨ＝ｐ^²/(2ｍ)＝－□/(2ｍ)ですが,特にｍ＝1/2と取ればＨ＝ｐ^²/(2ｍ)＝－□です。

　ただし,ここでの演算子exp(τ□)におけるτは虚数固有時間であり,それ故,これは非相対論的な時間発展の演算子(作用素):exp(－iＨｔ)を示しています。

　何故なら,Ｈ＝ｐ^²/(2ｍ)より,exp(τ□)＝exp(－τＨ )＝exp{－iＨ (－iτ)}＝なのでτ＝iｔとおけば,exp(τ□)＝exp(－iＨｔ)となるからです。

　これに対して,よく知られた経路積分の公式があります。

　すなわち,＜ｙ|－□^-1|ｘ＞＝∫₀^∞ｄτ∫_x^yＤｘ(ｔ)exp{－(1/4)∫₀^τｄｔ(ｄｘ/ｄｔ)²}です。

　ここで指数部分は丁度古典的粒子の作用です。記号∫_x^yＤｘはｔ＝0にｘでスタートしてｔ＝τにｙで終わる,全ての経路ｘ(ｔ):0≦ｔ≦τにわたる積分を表わすものです。

※(訳注６):経路積分の公式というのはガウス・フレネル積分の公式:∫_-∞^∞exp(－iａｘ²/2)ｄｘ＝{2π/(iａ)}^1/2を用いて,とにかくハミルトニアンによる時間発展の積分を"ラグランジアンの積分＝作用積分"の式に変換するものです。

　そして,－＜ｙ|□^-1|ｘ＞＝∫₀^∞ｄτ＜ｙ|exp(τ□)|ｘ＞ですが,被積分関数は,τ＝iｔについて実は＜ｙ,ｔ|ｘ,0＞＝＜ｙ|exp(τ□)|ｘ＞＝＜ｙ|exp(－iＨｔ)|ｘ＞＝∫_x^yＤｘ(ｔ)exp{i∫₀^tｄｔ₁[Ｌ(ｘ,ｄｘ/ｄｔ)]となります。

ここでＨ＝ｐ^²/(2ｍ)に対しては,Ｌ(ｘ,ｄｘ/ｄｔ)＝(ｍ/2)(ｄｘ/ｄｔ)²＝(1/4)(ｄｘ/ｄｔ)² (ｍ＝1/2)ですから,∫_x^yＤｘ(ｔ)exp{i∫₀^tｄｔ₁[Ｌ(ｘ,ｄｘ/ｄｔ₁)]＝∫_x^yＤｘ(ｔ)exp{(i/4)∫₀^tｄｔ₁(ｄｘ/ｄｔ₁)²}＝∫_x^yＤｘ(ｔ)exp{－(1/4)∫₀^τｄｔ(ｄｘ/ｄｔ)²}です。

ここで,ｔ＝iｔ₁,で(ｄｘ/ｄｔ₁)²＝－(ｄｘ/ｄｔ)²を用いました。

したがって,－＜ｙ|□^-1|ｘ＞＝－∫₀^∞ｄτ∫_x^yＤｘ(ｔ)exp{－(1/4)∫₀^τｄｔ(ｄｘ/ｄｔ)²}と書けるわけです。

(訳注6:終わり)※

　そして,＜ｙ|－□^-1|ｘ＞＝∫₀^∞ｄτ∫_x^yＤｘ(ｔ)exp{－(1/4)∫₀^τｄｔ(ｄｘ/ｄｔ)²}の右辺は固有時τにおいてｘからｙへと伝播する際に可能なあらゆる軌道にわたって積分し,さらに固有時τにわたって積分します。

座標空間で典型的なファインマンのツリーグラフを見ると,中間状態の線分が１つの伝播関数に対応し,それが両端の頂点の間の時空を伝播する粒子の軌跡の全体にわたる積分を表現すると見ると,摂動計算を表わすツールではなく,時空を伝播し相互作用頂点で結合し分離する現実の粒子運動の履歴と捉えることもできます。

点粒子のファインマン・グラフをアナロジーとして弦に拡張するとき,点粒子と同じく弦でも１つの伝播する世界面軌道がある相互作用頂点で２つに枝分かれするグラフを考えることができます。

点粒子と弦の決定的な違いは,点粒子の場合には分離が生じた相互作用頂点に相当する時空点についてのwell-definedでローレンツ不変な概念があるのに対し,弦にはどこで分離が生じたかという明確な概念がないことです。

この違いから多くの帰結が生み出されます。

とりわけ,点粒子には様々な相互作用に対応した多くの場理論があるのに,弦にはあまり多くの理論がないということがあります。

すなわち,点粒子には確定した相互作用頂点があるので,ファインマン振幅を定めるのに,この頂点で多くの特殊因子を選択することができますが,弦のグラフでは確定した頂点がなく,相互作用して分離している部分も局所的には何の変化もなく伝播する自由弦の一部のようにしか見えないということです。

つまり,一旦自由弦の伝播のルールを定めたなら,どんな追加の選択肢もありません。

こうして点粒子と比べ弦には可能性が少ないということの論拠は,ポリヤコフ作用(Polyakov action):Ｓ＝－(Ｔ/2)∫ｄ²σ[ｈ^1/2ｈ^αβ∂_αＸ^μ∂_βＸ_μ]を量子化する試みと,その様々な一般化を生み出してきた研究の歴史から言えることです。

弦理論では,ローレンツ不変な確定した頂点が存在しない故に,１つの自由弦理論を決めたら逆に相互作用の形もユニークに決まるのです。

　これと密接に関わる話として,弦理論では,点粒子の場の量子論で避けがたい困難である紫外発散から解放されるのですが,グラフを調べることで何故そうなのかということの発見的理由を得ることができます。

　これはファインマングラフで紫外発散と関わるループグラフでの点粒子の全ての世界線を示す伝播関数が,弦の世界面では閉じた弦を断面とする世界管に置き換わることに関わっています。

ループグラフの評価は,その上を伝播する粒子の軌跡にわたるの時空内の積分として計算されます。

そして,弦理論でのループグラフも軌跡をつくる個々の世界管の断面の半径が小さい極限では点粒子のそれに帰着します。

しかし,例えば４個の頂点を持ち４個の伝播関数に対応する辺を持つ四角形ループの軌跡の積分評価において,点粒子で紫外発散が生じるのは,これら頂点が一点に帰するような軌跡に対して頂点間を結ぶ伝播関数の寄与が無限大になるためです。

※(訳注７):時空積分において頂点が一点に帰すること,つまり頂点間の時空距離が無限小になるということは,フーリエ変換によって,これを時空座標に相補的な運動量積分に変換すると運動量距離としては無限大になることを意味します。(訳注終わり)※

ところが,弦の場合には,伝播関数は断面が閉じた弦の世界管なので点粒子の場合のような明確な相互作用頂点は存在せず,頂点間距離には最低でも世界管断面の径程度の曖昧さがありますから,無限小の距離といういわゆる危険部分は存在しなくなります。

このことだけでもって,弦の場合にグラフの寄与が有限であることが保証されるわけではありませんが,これは弦において紫外発散の困難が除去される理由への強いヒントを与えます。

点粒子の場理論のグラフと弦理論のグラフのもう１つの大きな違いは,点粒子のグラフに比べて同様な内容を表わす弦のグラフがはるかに少ないことです。

すなわち,全ての点粒子の場理論のグラフの各々にその世界線を世界管に膨らませて作った弦理論のグラフが対応します。

例えば,１つだけのループを持つ摂動グラフを考えると,点粒子の場理論ではいくつかのチャンネルに対応する複数のグラフがあるのですが,これらに対応する弦理論のグラフは唯一つであり,それは１つの穴(取っ手)を持つ２次元多様体です。

この規則はより多くの任意個数のループを持つグラフにも当てはまるもので,グラフにおけるループの数を多様体に開いた穴の数に対応させれば,位相的に同型な２次元多様体グラフは穴の数だけで決まるので,これらをまとめて唯一のグラフと考えます。

　さて,こうした弦のグラフを具体的に弦の世界面にわたって積分評価するのはかなりむずかしいと思われます。

　これを実行可能にするのは,世界面の計量(metric)の共形的な再尺度化:ｈ_αβ→(expφ)ｈ_αβの下での作用Ｓ＝－(Ｔ/2)∫ｄ²σ[ｈ^1/2ｈ^αβ∂_αＸ^μ∂_βＸ_μ]の不変性です。

例えば,このスケール変換でのφを適切に選択することによって,はるか過去に伸びる世界管に対応する２つの入射弦と,はるか未来に伸びる世界管に対応する２つの射出弦を持つ世界面は,コンパクト化された４つの頂点穴を持つ世界面へと変換可能です。

最も単純なケース:外粒子の穴として１つの入射弦と１つの射出弦のみを持つ世界面グラフを考えると,これは１つの円筒で記述されます。

この円筒で,弦の世界面として意味を持つのは円筒側面であり多様体としては２次元ですから,例えば２つの座標パラメータを(ｚ,φ)(－∞＜ｚ＜∞,0≦φ≦2π)とした円筒座標として,計量をｄｓ²＝ｄｚ²＋ｄφ²で与えることができます。

さらに,ｚ＝lnｒと取ればｄｓ²＝ｒ^-2(ｄｒ²＋ｒ²ｄφ²)です。

ここで計量の共形的な変換:ｄｓ²→ｄｓ^²＝ｒ²ｄｓ²を実施すると新しい計量ｄｓ^²＝ｄｒ²＋ｒ²ｄφ²を得ます。

これは,通常のｘ＝ｒcosφ,ｙ＝ｒsinφで与えられる平面極座標を持つの平面の計量と同じなので,結局円筒側面は(ｒ,φ)なる極座標で指定される平面と同定されます。

ｚ＝lnｒなので,これによって入射する遠い無限の過去の円ｚ＝－∞,0≦φ≦2πは有限距離ｒ＝0 の点に射影され,出ていく粒子ｚ＝∞,0≦φ≦2πはｒ＝∞の無限遠点に射影されます。

もしも入射弦と射出弦の両方を有限距離に射影したいなら,共形因子として小さいｒにはｒ²,大きいｒにはｒ^-2のように挙動するようなものを採用する必要があります。例えばｒ²/(1＋ｒ²/ａ²)²を掛けて再尺度化すれば,ｄｓ²＝(ｄｒ²＋ｒ²ｄφ²)(1＋ｒ²/ａ²)²球の標準計量です。

２つだけでなくより多くの外線粒子を持つような複雑な弦グラフに対しても,共形因子:(expφ)を各々が有限点に写されるように選択することが可能です。

本質的なことは,与えられた入射弦,または射出弦を有限距離の点に写すことに関連するのは弦から遠くの点での因子:(expφ)の漸近的挙動のみであるということです。

そして,共形因子:(expφ)の漸近的な挙動については,各弦について独立に選択することができます。

さて,もしも本当に外粒子弦の状態を有限点に共形的に写すなら,それらの持つ量子数は容易に失われることはなく,それが写された穴,または頂点には,その量子数を持つ局所演算子が出現する必要があります。

そこで,各弦状態に対して弦の伝播を記述する(1＋1)次元の量子場理論のある局所演算子を見出さなければならないという発想に到ります。

このようにして,ある弦状態|Λ＞に対応する局所演算子を|Λ＞の吸収,または放出に対する頂点演算子と呼びます。

閉弦の場合について適切な頂点演算子を推測してみます。

とりわけ閉弦理論で各々の粒子タイプΛに対してパラメータσとτの再パラメータ化の下でスカラーであるようなΛと同じ量子数を持つ局所演算子Ｗ_Λ(σ,τ)を探して見ます。

Ｗ_ΛはＸ^μ(σ,τ)とその微分で構成される適当な多項式です。

例えばΛがタキオン(tachyon)なら,それは26次元ローレンツ変換の下でスピン量子数がゼロとして変換するので,単にＷ_Λ＝1と取ることができます。

もしも,Λが重力子Ｇなら,Ｗ_Λはスピン２を持つように作る必要があります。

Ｘ^μ(σ,τ)と,その微分で構成されるスピン２を持つ極小の演算子は分極がμνの１重力子に対して,Ｗ_Λ^μν＝∂_αＸ^μ∂^αＸ^νです。

また,もしもΛが質量ゼロのディラトン(dilaton):Ｄなら,それはスピンゼロですが,同じスピンゼロのタキオンに垂直な極小の選択は,Ｗ_D ～∂_αＸ_μ∂^αＸ^μですね。

こうした演算子や後に考える他の演算子(例えばexp(－iｋＸ))について全て正規順序を取ることは暗に仮定され,これを１つずつ陽に示すことはしません。

こうして定義される演算子Ｗ_Λは,時空のローレンツ回転の下で正しく変換しますが,時空のずらしについても考慮する必要があります。

各弦の位置が定量ａ^μだけシフトされるときの大域的な対称性はＸ^μ→Ｘ^μ＋ａ^μの下で運動量ｋ^μを持つ外的状態の波動関数に因子exp(－iｋａ)が掛けられるという意味を持ちます。

Ｘ^μ →Ｘ^μ＋ａ^μの下で,こうした変換を与える最も簡単な量子演算子はexp(－iｋＸ)です。

それ故,運動量ｋ^μを持つ弦の吸収,放出に対して,この因子:exp(－iｋＸ)が存在すると仮定します。

さらに,頂点演算子が挿入される頂点穴は閉弦の世界面の表面の任意の位置に出現可能です。

こうした事実を考慮すれば,頂点演算子の定義として,次のＶ_Λなる形式が考えられます。

すなわち,Ｖ_Λ(ｋ)＝∫ｄ²σ[ｈ^1/2Ｗ_Λ(σ,τ)exp(－iｋＸ)]ですが,これはタイプΛ,運動量ｋ^μの弦の吸収,放出に対するものです。

では,これらの頂点演算子をグラフの計算においてどのように使うのでしょうか？

例えば,それぞれタイプΛ₁,Λ₂,..,Λ_M,かつ運動量ｋ₁,ｋ₂,..,ｋ_Mを持つ粒子の散乱に対する振幅Ａはグラフ的考察から演算子Ｖ_Λi(ｋ_i)を因子として挿入した弦の伝播を支配する(1＋1)次元量子場理論での経路積分であると示唆されます。

つまり,Ｔ＝1/πとすれば,Ａ(Λ₁,ｋ₁;Λ₂,ｋ₂;..;Λ_M,ｋ_M)＝κ^M-2∫ＤＸ(σ,τ)Ｄｈ_αβ(σ,τ)exp[{－i/(2π)}∫ｄ²σ(ｈ^1/2ｈ^αβ∂_αＸ^μ∂_βＸ_μ)]{Π_i=1^MＶ_Λi(ｋ_i)}と書けます。

ここで,κは結合定数であり,記号ＤＸ^μやＤｈ_αβは共形因子でコンパクト化した世界面上での経路積分を意味します。

ツリーグラフを評価するためには球を,１ループグラフを評価するためにはトーラスを,そして一般にｎ-ループグラフを評価するためには種数(genus)ｎのリーマン面と呼ばれるｎ個の取っ手の表面であるような面が要求されます。

この式では26次元時空の散乱振幅が補助的な(1＋1)次元場理論の相関関数(※訳注:"グリ－ン関数＝伝播関数"の意と思われる)で表現されています。

量子場理論の標準的なＬＳＺ定式化によれば,(1＋1)次元場理論の相関関数("グリ－ン関数＝伝播関数")は(1＋1)次元散乱過程とうまく関連付けられています。

これが26次元時空における散乱振幅を与えると解釈できるとしたら,これは弦理論の驚嘆すべきことの１つでしょう。

今日はここまでにします。 

参考文献:M.B.Green,J.H.Schwarz,& E.Witten著「superstring theory」(Cambridge University Press)

　Attention!! [広告宣伝]です。

http://www.rakuten.co.jp/trs-kenko-land/　 健康商品の店「TRS健康ランド」－ SCS(食品洗浄剤),黒ウコン,酒の帝王,鵜鶏王などの専売店  ←この店は私TOSHIが店長をしています。(楽天ショップです。TRSのTはTOSHIのTです。)

　「TRS健康ランド」では2008年１月10日よりお徳用SCS500mlを新発売！！当店の専売です。

　そこのお酒のみの方，いろいろと飲食の機会の増えたあなた,悪酔いを防止すると言われているウコンがいいですよ！！　そして特に今回提供する沖縄原産の純粋な黒ウコンは当店が専売の新製品ですが古くから沖縄地方ではいわゆる男性の力に効果があると言われています。

　おやおや,そこの静電気バチバチの人、いいものありますよ。。。

　それから農薬を落とした後の皮がピカピカに光っているリンゴなど商品として販売する際の見栄えをよくするなどのために化学処理をした食品を安全に洗浄する新商品の洗浄液SCSはいかがですか。。。農薬ジクロルポスも食品専用の洗浄液SCSで落ちて安全になります。(厚労省試験済み)

http://www.mediator.co.jp/category/pages.php?id=115「中古パソコン！メディエーター巣鴨店」

http://folomy.jp/heart/「folomy 物理フォーラム」サブマネージャーです。 

人気blogランキングへ　← クリックして投票してください。(１クリック＝１投票です。１人１日１投票しかできません。クリックすると人気blogランキングに跳びます。）

← クリックして投票してください。(ブログ村科学ブログランキング投票です。１クリック＝１投票です。１人１日１投票しかできません。クリックするとブログ村の人気ランキング一覧のホ－ムページームに跳びます。）

　

三国志特集　▼コミック 横山光輝 「三国志全巻セット」 「三国志（文庫版）全巻セット」   「三国志（ワイド版）全巻セット」 　▼書籍 「三国志」/吉川英治   「三国志」/北方謙三   「三国志」/宮城谷昌光