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2008年11月

2008年11月30日 (日)

ちょっと商売(,アフィリエイト(Delll100円PC他),アドセンス)

 私のブログは商売抜きのつもりですが,そもそもココログ・フリーというのは基本的にはスポンサーの広告付きなので無料というわけですから,意図とは関係なく商用でもあるわけです。

 まあ,私の場合,今のプロバイダはニフティだけではありませんがパソコン通信の時代からニフティのIDを持っていて,解約せず今でも一応有料のニフティのアカウントは持っていますから例えばニフティ会員なら無料のココログ・ベーシックも使えたのですが,3年ほど前にニフティ以外のメール・アドレスを記入して間違えてココログ・フリーでブログを書き始めました。

 途中で気づいて乗り換えようとしたけど.別のブログコミュニティからなら結構簡単なのに,同じココログ同士の移行は,既に相当経ってからでは簡単な作業ではないらしいし,フリーでも機能が特段劣っているというわけではないので,そのままですね。

 さて,実は昨日,飲んで使って残ったお金で午前中に食料を買い出しに行って帰ると財布には3600円しかなかったところへ朝日新聞(朝刊のみ)の集金が来て3670円といわれて70円足りず繰り越しで来月分として払うとか言ったので,持ち金ゼロという情けない状況になりました。

 そもそも新聞なんて,ほとんどネットで無料で見られるんだし,前のようにやめた方がいいかも。。。

 というわけで,本当に1円もなくなったので。。ちょっと商売でも。。。。と思ったのでした。。。。。。あ,50円玉1個見つけた。。

 まあ,申し訳で見よう見まねで以前からアフィリエイト広告は付けてますが,例えばアマゾンだと私のホームページから入ってアマゾンのページに行ってそこで本を注文すると数パーセントの報酬が入ります。

 例えば500円の本だと5円くらい入るのだったかな?というような仕組みですね。でもアマゾンの報酬は3年間で1000円入ったかどうかでしょう。

 ほとんど私自身が注文した本の分しかなかったりして。。。

 その他にグーグル・アドセンス(Google-Adsense)というのも契約していて,こちらはグーグルにブログが商用でないことを認めてもらわないと載せられないものですが,これは既に認めてもらっています。

 こちらも,宣伝のテキストやバナーを付けるのはアフィリエイトと同じです。

 しかし,こちらは品物が売れなくても,誰かが項目を合計千回クリックして,そのホームページを千回訪問したら,私が1ドル頂けるとかいうもので,高いものでも千回クリックで10ドルまでは行かないのかな?

 それに自分自身とか同一人が,1人で何回もクリックするというのは確か判別されてダブル・カウントはされないんだったかなあ?

 私のブログなら,現状では平均300アクセス/日ですから,千回クリックで3ドルの広告なら1アクセスで1回クリックされれば,3日くらいで3ドルになり,1日1ドルで1ヶ月30ドル~3000円にでもなるという計算です。

 まあ現実には全然収入なしですね。

 というかあまり不成績なのでグーグルから打ち切りのメールが来ていたような気がするから広告まだ載せてるけど無意味かもしれません。

 まあ,アフィリエイトにしてもアドセンスにしても本格的にやろうという気になればヤフーや楽天そしてライブドアなどを筆頭にしたネット商売の一環で,結構もうかるという話は聞いているのですが。。。

 ブログのアフィリエイトならブログ自体が商品の紹介記事のオンパレードだったり,アドセンスにしてもホームページを1つだけでなく携帯サイトも含めて数百,数千も増殖させれば1つのサイトで1日1ドル~100円の場合でも数百,数千サイトあれば1日数万~数十万円のマージンが見込めるということらしいです。

 あと,アダルトサイト関係とか,お金に徹してなりふり構わず宣伝広告を出せば少しはましなのでしょうが。。。。

 当然,これに力を注ぎこめば,商売と無関係な科学記事などについて,私の意図した読者は減ることになるでしょう。。

 というわけで,なりふり構わずという気にはまだなりませんが,まずは最近話題のDellの100円パソコンなどを筆頭に私の契約しているアフィリエイトを目立たせてみましょう。(右や左のだんな様,あわれな文無しにお恵みを。。)

 Dell-個人のお客様ページ(Dellの100円パソコン↓私も注文しました。)

デル株式会社

 Dellの100円のノートパソコンですが,もちろん何の裏もなくただパソコンが100円というわけであるはずもなく,下り3.6MbpsのUSBスティック型のインターネット通信用の無線モデムが附属ですが基本料金2940円でイー・モバイルと最低2年契約することが条件です。

 要するに,かつて携帯電話やPHSの本体が名目上は無料とか1円とかだったけれど,代わりにドコモとかauとかと契約する必要があったというようなのと同じでしょう。

 もちろん,別に固定回線を持っている人なら普段は光やADSLの固定回線で普通通りにネットにつなぎ,イー・モバイルを使う必要があるとすれば屋外や移動時だけです。さらに言えば基本料金2940円を2年間ローン感覚で払っていさえすれば別にイー・モバイルを使わなくても何を言われることもなく関係ないですね

 まあ,固定電話を持たない人ならこれだけでどこにいても普通にネット通信ができるわけですから苦にならないでしょうし,こうした回線もそのうちもっと速くなるでしょうが,今のところは現実はともかく光100Mbps以上を謳っている固定回線のフレッツ光などと比べるとイー・モバイルの通信速度は10分の1程度ですし,またあまり田舎だと今のところは中継ポイントさえなくて通信できないという私自身の経験もあります。

 しかし,本製品は画面は8.9インチでノートPCというよりもモバイルに近いものだと思われるので,持ち運び専門の携帯電話や電子手帳と同様,外で通信するための道具という目的で使用するなら,固定回線を持っている人でも十分利用価値があるでしょう。

 (私の場合,病院の入院患者に使用が許されるかどうか疑問ですが,これから以後入院などで固定回線が使えないことも多々ありそうなので。。)

 イー・モバイルには既にもっと速い機種のカードモデムなどもあるようですがこれに接続可能なUSBスティックタイプのモデムは現時点では最大で下り3.6Mbpsです。しかし,これでも一昔前のことを考えれば,十分速いもので動画など非常に大きいデータをダウンロードするとかでなければ十分な速さですね。

 (まだウィンドウズもインターネットも全く無かった時代に仕事で取引先に5インチフロッピーの内容を1200bpsのモデムで数時間かけて送っていたオジサンなんかには夢のように速いです。)

 しかし,そもそも現実にはモバイルPCなのでDVDなどのメディアを利用するには外付け機器をつなぐことが必要なため,このPC1台だけしか持っていないなら新しいソフトをインストールするだけでもインストールCDが必要なときにはそのCDを読むために別途外付けのCD,またはDVD機器が必要です。

 そこで既に別にPCを持っていて持ち運び用にこれを購入するのではなくて,このPC一台だけを持っているという使い方をするなら,別途外付け機器を入手して本体につないでいる必要があり普通はそれらいろいろな外付け機器が本体に枝なりに連なっているという状況になって,全体をどこかに移動しようとするたびに,外部機器を一部または全部はずしてまたつなぐいう手間がかかることになるでしょうね。

 もちろん,それでもよいというなら,結局は単にデスクトップと同じ使い方なのでノートとかモバイルという意味は薄れるかもしれませんが初心者あるいは1台目のマシンとして使うことも可能です。

 しかし,実際にはデスクトップとか別のPCをホストコンピュータとして持っていて必要なとき,それらとLANでつなげばソフトのインストールなどの際にも外付け機器のお世話になる必要はないですから,むしろ他にメインのデスクトップなどを持っている人の2台目以後のマシンとして使用した方がいいと思います。

 いずれにしろ100円といっても毎月2940円の新聞代くらいのデータ通信代を24ヶ月ローンと考えるなら2年間合計で7万円くらいの出費にはなるでしょうか。。携帯電話の契約とは異なり2年経てば自由の身ですね。

 近くの中古店では既にほぼ新品のこの機種の中古が44800円で売り出されているのを発見しましたから,現在100円(送料無料)で売られていますが新品の製品にはその程度以上の価値はあるようです。

 確か1人,数台限定で私へのアフィリエイト報酬は1台当たり100円以上入るらしいですから仮にたくさん売れたら結構おいしいですね。(IT関連では引越し時にヤフオクで置けなくなったオーディオを処分売却したとき以外大きい取引をしたことないので全然期待していませんが。。)

 次にブック・オフ。これは古本の専門チェーンで私もコミック中心に利用してます。

 最近では1冊101円程度で「ドクター・コトー診療所」22巻と「サラリーマン金太郎」30巻を買いました。

 引越しなどで紛失したコミックはネットで入手したものが多々あります。

 「愛がゆく」(小山ゆう)「少年の町ZF(ゼフ)」(平野 仁・小池一夫)「アイウエオ・ボーイ(I(愛)餓男)」(池上遼一・小池一夫)「餓鬼(がき)」(ちばてつや)」などはそうです。今は「青春の尻尾」)」(平野 仁・小池一夫)を捜索中です。

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今回の紹介は以上であとは広告だけです。

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2008年11月29日 (土)

コンニャクと婚約しました。

 人間の女が相手にしてくれないのでコンニャクと婚約(こんにゃく)しました。

 よく暖めなきゃ,アチチチ。。。ふぅふぅ(夫婦ぅ)!!

 って,こりゃ何十年か前にビッグコミック・オリジナル?で見た黒鉄ヒロシ(くろがねひろし)氏のギャグの盗作でした。。。。

PS:コンニャクもいいけど,土曜の夜に久しぶりに近くのスナックにいってカウンターで飲んでいたら,初めて会った水野久美を若くしたような顔の美女の酔っ払いが隣に来て(そんなはずないキモイクソジジィを)「顔がいい」とか褒めて,おっぱいが自慢らしく綺麗なおっぱいを見せた後に

 「おっぱい好き?」とか「おっぱいなめて!」とか言われ,私の顔を胸に押し付けられたりしたのはよかったです。

 単純なのですぐファンになりました。

 哀しい?男のサガですね。。。うん。人間の女も少し見直しましたね。。。

 (なんか知らんけどブログの名刺を渡したわけでもないのにアインシュタインとか呼んで似てるとか「舌を出して見て」とか言ってたから,それがジジィのときの有名な舌を出した写真のことだとすると,酔っていても私がジジィだということだけはわかってたらしい。。)

Attention!! [広告宣伝]です。

http://www.rakuten.co.jp/trs-kenko-land/  健康商品の店「TRS健康ランド」- SCS(食品洗浄剤),黒ウコン,酒の帝王,鵜鶏王などの専売店  ←この店は私TOSHIが店長をしています。(楽天ショップです。TRSのTはTOSHIのTです。)

 「TRS健康ランド」では2008年1月10日よりお徳用SCS500mlを新発売!!当店の専売です。

 そこのお酒のみの方,いろいろと飲食の機会の増えたあなた,悪酔いを防止すると言われているウコンがいいですよ!! そして特に今回提供する沖縄原産の純粋な黒ウコンは当店が専売の新製品ですが古くから沖縄地方ではいわゆる男性の力に効果があると言われています。

 おやおや,そこの静電気バチバチの人、いいものありますよ。。。

 それから農薬を落とした後の皮がピカピカに光っているリンゴなど商品として販売する際の見栄えをよくするなどのために化学処理をした食品を安全に洗浄する新商品の洗浄液SCSはいかがですか。。。農薬ジクロルポスも食品専用の洗浄液SCSで落ちて安全になります。(厚労省試験済み)

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http://folomy.jp/heart/「folomy 物理フォーラム」サブマネージャーです。 

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2008年11月28日 (金)

運動物質内の相対論(4)(弾性連続体(2),完全流体)

今日は弾性連続体の続きと,完全流体(理想流体)の相対論的扱いを考えます。

座標系SとS0は,空間軸の向きについては全て同じであるとします。そして,Sに対するS0の速度は,考えている点における弾性体の速度とします。

 

そこで,座標系S→S0のローレンツ変換:x=Λμννにおける係数Λμνは,Λij=δij-(uij/2)(γ-1),Λk0=Λ0k=-γuk/c=γuk/c,Λ00=γです。ただし,γ=1/(1-2/c2)1/2です。

 

逆変換Λμνは,Λμνの表式で→(-)とすればよくて,それ故,Λij=δij-(uij/2)(γ-1),Λ0k=Λk0=γuk/c=-γuk/c,Λ00=γです。

そして,エネルギー運動量テンソルはTμν=θμν+Sμνμν=μ0μνと分解できて,T00=h,Ti0=T0i=cgi,Tij=τij+gijで与えられます。

 

さらに物体の静止系では,τ0ik=T0ik=T0ki=τ0ki,S0ik=c20ik=cT0k0=0 ,h0=T000 が成立します。

 

ただし,h0は連続体の静止エネルギー密度です。なお,静止系での量には全て上添字 0 を付けています。

したがって,テンソルの変換性:Tμν=T0λσΛλμΛσνにより,Tμν=τ0ijΛiμΛjν+h0Λ0μΛ0νです。

 

この式で,もしもμ=ν=0 ならh=τ0ijΛi0Λj0+h0Λ00Λ00=γ2iτ0ijj/c2+γ20,つまりh={h0+(uτ0)/c}/(1-2/c2)を得ます。

 

これと,以前に求めた式h=h0+(gu)={h0+(uτu)}/(1-2/c2)との比較から,等式(uτu)=(uτ0)の成立がわかります。

また,μ=0,ν=iなら,gi=Ti0/c={τ0kjΛkiΛj0+h0Λ0iΛ00}/c=-{δki-(uki/2)(γ-1)}γujτ0kj/c2+γ20i/c2=(uiγ2/c2){h0+(ukτ0kjj/2)(1-1/γ)}-γτ0ijj/c2です。

 

つまり,2/c2){h0+(1-1/γ)(uτ0)/2)}+γ(τ0)/c2となります。

最後に,μ=i,ν=jなら,τij+gij=τ0klΛkiΛlj+h0Λ0iΛ0jより,τij=τ0klki-(uki/2)(γ-1)}{δlj-(ulj/2)(γ-1)}+γ2ij0/c2-(uijγ2/c2){h0+(ukτ0kll/2)(1-1/γ)}+γτ0ikkj/c2です。

 

つまり,τij=τ0ij-ukiτ0kj(γ-1)/2-uljτ0il(γ-1)/2+uijkτ0kll(γ-1)2/(2)2-uijkτ0kllγ(γ-1)/(c22)+γτ0ikkj/c2=τ0ij-ukiτ0kj(γ-1)/2+ukjτ0ik(γ-1)/(γ2)-[(γ-1)2/{γ(2)2}]uij(uτ0)となります。

そこで,ττ0(uτ0)(γ-1)/2-(τ0)⊗(γ-1)/(γ2)-{()(uτ0)/(2)2}(γ-1)2/γです。

 

ここで,空間ベクトル,のテンソル積,すなわち(i,j)成分がaijで与えられるテンソルを記号で表わしました。

 

これにより,(uτu)=(uτ0)+(uτ0)(γ-1)-(uτ0)(γ-1)/γ-(uτ0)(γ-1)2/γ=(uτ0)なので,前にhの変換性から結論づけた等式:(uτu)=(uτ0)が成立することも陽に確かめることができました。

そして,静止系でのτijであるτ0ijが対称テンソルなので,(τ0)=(uτ0)となることから,変換ττ0⊗(uτ0)(γ-1)/2-(τ0)⊗(γ-1)/(γ2)-{()(uτ0)/(2)2}(γ-1)2/γが,前に求めた恒等式:(uτ)(1-2/c2)=(τu)-(uτu)/c2と矛盾しないことを確かめることもできます。ここでは割愛します。

特にがx軸に平行=(u,0,0)のときには,上の変換はh=γ2(h0+τ0112/c2),=(γ20+τ011/c2)u,γτ021u/c2,γτ031u/c2),(τ111213)=(τ011,γτ012,γτ013),(τ212223)=(τ021/γ,τ022023),(τ313233)=(τ031/γ,τ032033)となります。

さて,連続物体が完全流体である場合には応力は圧力pのみなので,流体の面素の外向き法線ベクトルをとすると,その流体部分の面がそれの外部に及ぼす向きの単位体積当りの力はτ()=pです。

 

そして,テンソルτ()の成分はτi()=τijjと書けますからτ()=pは,τijj=pnjとなります。

 

結局,τij=pδijを意味します。特に静止系では,τ0ij=p0δijという形になります。

 

※書物によっては,τ()ではなく,これにマイナス符号を付けた()≡-τ()を応力テンソルと定義するものがあります。

 

つまり,面要素dσが外部に及ぼす力を考えるか,dσが外部から受ける力を考えるかによって向きが逆になるわけですね。

 

今の,τ()=pij=pδijの場合には,()=-p,tij=-pδijとなりますね。

さて変換:ττ0⊗(uτ0)(γ-1)/2-(τ0)⊗(γ-1)/(γ2)-{()(uτ0)/(2)2}(γ-1)2/γ,または成分表示でτij=τ0ij+ukiτ0kj(γ-1)/2-ukjτ0ik(γ-1)/(γ2)-{uij(uτ0)/(2)2}(γ-1)2/γなる表式を考えます。

 

テンソルτ,τ0の成分として,それぞれτij=pδij0ij=p0δijを代入すると,pδij=p0δij+uji0(γ-1)/2-uij0(γ-1)/(γ2)-uij0(γ-1)2/(γ2)=p0δijを得ます。

 

したがって,p=p0,つまりτij=pδij=τ0ij=p0δijとなって,圧力のスカラー性が保証されました。

そして,前に書いたように,Tμν=θμν+Sμνμν=μ0μνと分解すると,Sij=Sji==Tij-μ0ij=τij+(Uiτijj)/c2,Sk0=S0k=Tk0-μ0k0=(Uiτik0)/c2,S00=T00-μ000=(Uiτikk)/c2です。

 

そこで,完全流体τij=pδijでは,Sij=Sji=pδij+pUij/c2,Sk0=S0k=pUk0/c2,S00=pUii/c2=pU00/c2-pなる表現を得ます。

すなわち,p=p0,かつSμν=pUμν/c2-pημνです。

 

これから,Sμμ=p-4p=-3p,つまりp=-Sμμ/3=-Sμμ/3なる表現を得ますが,Sμνはテンソルですから,再びpが1つの"不変量=スカラー"であるという事実が得られます。

結局,Tμν=θμν+Sμνμν=μ0μν;Sμν=pUμν/c2-pημνによって,完全流体のエネルギー運動量テンソルがTμν=(μ0+p/c2)Uμν-pημνとなることがわかりました。

この表現から,右辺のミンコフスキー計量(Minkowski-metric)ημνを一般の時空多様体の計量(metric)gμνに置き換えます。

 

さらに4元速度Uμ≡dxμ/dτの表記をuμ≡dxμ/dτに変えて,密度μ0をρ,圧力pを大文字のPに変えると,エネルギー運動量テンソルの新表現:Tμν=(P/c2+ρ)uμν-Pgμνを得ます。

 

この表現は,一般相対論の重力場の方程式:Rμν-(1/2)gμνR=κTμνにおいて,宇宙空間を連続的な(完全)流体で近似したときの右辺のエネルギー運動量テンソルTμνに同定されます。

もっとも,重力場の方程式はアインシュタイン(Einstein)もしたように,この他にgμνに比例した宇宙項があって,Rμν-(1/2)gμνR=κTμνではなく,Rμν-(1/2)gμνR-Λgμν=κTμνとする場合もあります。

さて,Sμνによる弾性的内力はfelastμ=-∂Sμν/∂xνですが,さらに,この完全流体が4元力密度がfextμの外力を受けているなら運動方程式は,∂θμν/∂xν=felastμ+fextμ=fμとなります。

 

この場合には,∂Tμν/∂xν=∂Sμν/∂xν+∂θμν/∂xν=fextμであり,外力fextμがゼロでないなら,もはや∂Tμν/∂xν=0 を満たさず,閉じた系の範囲を超えた話になります。

そして,Sμν=pUμν/c2-pημνによって,felastμ=-∂Sμν/∂xν=-pUμ(∂Uν/∂xν)/c2-pUν(∂Uμ/∂xν)/c2-(∂p/∂xν)Uμν/c2+∂p/∂xμです。

 

公式:d/dτ=(∂/∂xν)(dxν/dτ)=Uν(∂/∂xν)を用いると,felastμ=-pUμ(∂Uν/∂xν)/c2-p(dUμ/dτ)/c2-(dp/dτ)Uμ/c2+∂p/∂xμとなります。

ところで,外力fextμは純粋に力学的な力でfextμ=((ext)/c,ext)の形であると仮定すると,既に示したように,この外力密度はfextμμ=0 を満足するはずです。

 

しかし,たった今上で求めた弾性的力felastμについては,felastμμ=-p(∂Uν/∂xν)=-p0div0≠0 なる式を得ます。

何故なら,p=p0であり,∂Uν/∂xν=(∂/∂x0){c/(1-2/c2)1/2}-∂Uk/∂xk=(/c)(∂/∂x0)(1-2/c2)-3/2-∂Uk/∂xkなので,0 の静止系を考えると(∂Uν/∂xν)0=(∂Uk/∂xk)0=(div)0です。

 

そして,∂Uk/∂xk=(∂uk/∂xk)(1-2/c2)-1/2+(uj/c2)(∂uj/∂xk)(1-2/c2)-3/2なので,0 の静止系では(∂Uk/∂xk)0=(∂uk/∂xk)0=div0となって,結局∂Uν/∂xν=div0が成立するからです。

そこで,fμμ=felastμμ+fextμμ=-p0div0≠0ですが,すぐ前の記事で書いたように,fμ=({(fu)+q}/c,)と書くとfμμ=q/(1-2/c2)1/2=q0で,q0は弾性的応力によって生じた非力学的エネルギーの増加率です。

 

そこで,q0=felastμμ=-p0div0より,この-p0div0は弾性エネルギーの単位時間当たりの増加を示します。

実際,div0は静止系での体積膨張率{d(δV0)/dt}/δV0に等しいので,q0=-p0div0=-p0{d(δV0)/dt}/δV0であり,これはδV0の体積膨張に伴なって圧力がなす仕事による内部エネルギーの減少を示しています。

同じ運動方程式:∂θμν/∂xν=∂(μ0μν)/∂xν=felastμ+fextμから,Uμ∂(μ0μν)/∂xν=felastμμによって,∂(μ0ν)/∂xν=-(p/c2)(∂Uν/∂xν)=-p0div0/c2,つまり∂(μ0ν)/∂xν=q0/c2を得ます。

 

これは単位時間に単位体積当りの質量μ0が弾性エネルギー密度の増加分q0に対してq0/c2だけ増加するということで固有質量の生成に寄与しています。

 

つまり,これは質量とエネルギーの等価性に関わるアインシュタインの関係式を意味しています。

そこで,完全流体がさらに非圧縮性を有するなら,弾性力による質量生成項の∂(μ0ν)/∂xν=q0/c2=-p0div0/c2がゼロであるべきなので,div0={d(δV0)/dt}/δV0=0 であり,それ故,d(μ0δV0)/dt=(dμ0/dt)δV0+μ0{d(δV0)/dt}=(dμ0/dt)δV0となります。

 

他方,d/dτ=(∂/∂xν)(dxν/dτ)=Uν(∂/∂xν)より,∂(μ0ν)/∂xν=dμ0/dτ+μ0(∂Uν/∂xν)で∂Uν/∂xν)=div0=0より∂(μ0ν)/∂xν=dμ0/dτですが,左辺の∂(μ0ν)/∂xν-p0div0/c2=0 なのでdμ0/dτ=0 となります。

さて,∂(μ0ν)/∂xν=-(p/c2)(∂Uν/∂xν)を代入し返すと,∂θμν/∂xν=∂(μ0μν)/∂xν=μ0ν(∂Uμ/∂xν)+Uμ∂(μ0ν)/∂xν=μ0(dUμ/dτ)-(pUμ/c2)(∂Uν/∂xν)を得ます。

 

これと,∂θμν/∂xν=felastμ+fextμ,およびfelastμ=-pUμ(∂Uν/∂xν)/c2-p(dUμ/dτ)/c2-(dp/dτ)Uμ/c2+∂p/∂xμから,μ0(dUμ/dτ)-(pUμ/c2)(∂Uν/∂xν)=fextμ-p(dUμ/dτ)/c2-(pUμ/c2)(∂Uν/∂xν)-(Uμ/c2)(dp/dτ)+∂p/∂xμを得ます。

結局,完全流体の相対論的運動方程式は(μ0+p/c2)(dUμ/dτ)=fextμ-∂p/∂xμ-(Uμ/c2)(dp/dτ)となります。

 

この方程式は,非相対論において,密度がextの外力がある場合の完全流体の基本方程式であるオイラーの方程式:ρ(dui/dt)=fexti-∂p/∂xi (ρ=μ0)に対し,圧力pと関わる相対論的補正がなされた方程式に見えます。

 

ただし,dui/dtはラグランジュ微分:Dui/Dt≡∂ui/∂t+uk(∂ui/∂xk)です。

既に見たように連続弾性体の運動量密度:とエネルギー密度:hは,/c2=μ+(uτ)/c2,およびh=h0+(gu)={h0+(uτu)/c2}/(1-2/c2),またはh0=h(1-2/c2)-(uτu)/c2なる表式で与えられます。

 

これに完全流体の条件:τij=pδijを代入すると,まずμ0=μ(1-2/c2)-p2/c4が得られ,そして運動量密度=(μ+p/c2)=(μ0+p/c2)/(1-2/c2),およびエネルギー密度h=(h0+p2/c2)/(1-2/c2)が得られます。

もしも,量μ0,p=p0,が全て流体のあらゆる位置で一定の等しい値を取る空間の定数なら,これら運動量密度とエネルギー密度の表式を全体積V≡V0(1-2/c2)1/2にわたって空間積分すると,全運動量はV=(h0+p)V/{c2(1-2/c2)}=(h0+p)V0/{c2(1-2/c2)1/2}=(H0+pV0)/{c2(1-2/c2)1/2}となります。

 

一方,全エネルギーは,H=hV=(H0+pV02/c2)/(1-2/c2)1/2となります。

しかし,これを見ると,Gμ≡(H/c,)=((H0+pV02/c2)/{c(1-2/c2)1/2},(H0+pV0)/{c2(1-2/c2)1/2})なる4つの量は明らかにローレンツ共変な4元ベクトルにはなりません。

これは,前の連続物体の一般論において,Gμ≡∫gμdV=(H/c,)が4元ベクトルであることを証明した事実と矛盾するように見えますが,実は以前の証明では対象が閉じた系であることを仮定していたもので,今の場合は閉じた系の範囲を超えた話のため,矛盾しません。

すなわち,今の場合のようにμ0,p=p0,が流体のあらゆる位置で一定の等しい値を取るためには,流体を一様速度で運動する容器に閉じ込める必要がありますが,流体がこの容器の壁に及ぼす力はエネルギー運動量テンソルTμν=(μ0+p/c2)Uμν-pημνの中には含まれていません。

(H0+pV0)/{c2(1-2/c2)1/2}は,={(H+pV)/c2},H+pV=(H0+pV0)/(1-2/c2)1/2と書き直せます。

 

そこで,もしもGμ≡(H/c,)ではなくGμ≡((H+pV)/c,)とおくなら静止質量が(H0+pV0)/c2の質点のエネルギー運動量ベクトルと同じになって4元ベクトルになります。

 

これは完全流体の流体力学では,系を閉じた系にするには内部エネルギーHに加えて圧力による仕事をも含むエンタルピー:H+pVを系の全エネルギーと考えるべきであることを示唆しています。

今日はこれで終わります。

参考文献:メラー 著(永田恒夫,伊藤大介 訳)「相対性理論」(みすず書房)

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やった!羽賀研二無罪!!

 羽賀研二と渡辺二郎が大阪地裁で無罪を勝ち取ったらしい。。(MSN産経ニュース2008年11/28)http://sankei.jp.msn.com/affairs/trial/081128/trl0811281011001-n1.htm

 結果を知ったから言うわけではないが,この件では最近の痴漢事件などにはありがちなことで,一癖も二癖もありそうな"被害者=原告"の被害詐称の疑いがあると思っていたので,まだ判決内容の詳細は見ていませんがうれしい結果です。

 渡辺二郎はともかく羽賀研二はそのキャラクターを昔から嫌いではなかったしひそかに応援していました。

 裁判で無罪になったからといって真っ白かどうかはこれまた不明なことですし,たとえ有罪だとしても見捨てたりはしませんが,小室氏や加勢氏の件とかをも含め,今までファンであったような方の多くがごく簡単に掌を返すような仕打ちをしているように見えることもあるので,私はいつも"そうじゃないだろ?"と思っています。

 さすがに,その他応援している大学教授だった植草氏や,かつて好きだった田代まさし氏が復権するのは無理だろうし。。。,

 また好きではないキャラクターだが,ホリエモンや村上君の完全復活もダメだろうなあ。。

PS:その後,弁護側証人の偽証疑惑→検察側控訴

 「実は羽賀研二は被害者?」(日刊サイゾー)http://www.cyzo.com/2008/12/post_1355.html

 検察側「犯行は明白」羽賀研二被告の控訴審初公判(MSN産経ニュース2009年11/19)http://sankei.jp.msn.com/affairs/trial/091119/trl0911191704007-n1.htm

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2008年11月27日 (木)

「手紙」(東野圭吾)慟哭した。

 いやあ,まいった。。感性は鈍感になり少しのことでは喜怒哀楽が起きない老いて乾いている心なのに何故か涙が止まらなかった。

 映画を見た後に流す涙とも異質なものだった。

 これは推理小説でも犯罪小説でもない。。人間社会とはそういうものだと思い知らされる物語だった。。。現実に近いのであろう。。。

 テレビドラマなどでは,殺人犯などが捕まっても,服役して出てくればまた第二の人生があるから頑張れよというメッセージが流れることが多い,

 非情報社会の時代劇などの時代背景ならそうかもしれない。。。。

 しかし,この小説は殺人者の弟=近親者でさえ,そうなのだから,当人が何もなかったごとく平穏な生活を送れるはずもないというのが本当のところだということを思い知らせるような内容だった。

 本当に時間が解決するのだろうか?

 昔はいくら社会差別に反対と唱えている人でも,例えば愛娘が差別されている当事者と結婚するかもしれない状況になると反対するようじゃ,社会差別に反対というのは実はポーズだけの汚い野郎だ。。

 とか単純に考えていた時期もありました。

 しかし,実は当人には差別意識がなくても,世間にそれがあって直ちには解消できない状況なら,ミスミス自分の娘が不幸にさらされることがわかっていて嫁がせる親もないだろうと言う気持ちもわかるようになりました。

 最初,「宿命」,「白夜」を読んだ後なので,シリーズとして「秘密」というのがあるらしいと知って近くの本屋で探していたがなかったので,まあいいやと「手紙」を買ったのですが,最近になく読み始めると一気に最後までいってしまいました。

 いや,本当にフィクションなのだろうか?

 もちろん取材などもやるのでしょうが,この「手紙」は実際に経験したものでなければ書けないのじゃないかとさえ思いました。

 いいものを読ませてもらいました。ありがとうございました。。書評なんておこがましいですね。。

PS;かつて「靖国参拝」関連の記事で,我々戦争に参加してないものが60年以上前に祖父母や親の世代の行なったことの尻拭いをするのは仕方ないということの根拠として,

 肉親が凶悪な殺人などを起こしたときには理不尽だとは承知していてそれを肯定するわけじゃないけれど,その犯罪には無垢な近親者も普通の暮らしをできるはずがない云々のことを無感動に軽い気持ちで書きました。

 まあ,侵略戦争などの国家犯罪と,個人の犯罪との差異は歴然としていますがね。。。(いわゆるみんなでやるなら恐くはない。。。)

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2008年11月26日 (水)

スッポン食べてみたい!

 スッポン食べたことないなあ。。。ごちそうしてもらえる奇特な女性でもいないかなあ。。

 ところで,某TV朝日も玉石混合のようだ。。

 先日,40年前の金嬉老事件のドキュメンタリーをやっていたが,今は79か80歳の当人と当時の人質やマスコミ,警察などへのインタビューが中心でなかなか興味深い内容だった。

 当時私は高校卒業直前,かつ大学入試も直前で,それどころではなかった。

 しかもまだ極めて幼稚な価値観しか持っておらず,凶悪なライフル魔が立てこもったけれど結局は捕まった程度の文字通り事実?報道そのものを認識して特段の感想もなかった。

 私の方は,その後滑り止めの国立大学に合格したけれど手続きもせず,1年浪人で予備校に通った後,次の年には今度は東大安田講堂事件で東大の入試が中止になったこともあって,またしても同じ滑り止めの国立大学に結局は入学したのでした。

 (↑うーむ。。また関係ない話だ。。。昔は確かにあった学歴コンプレックス,いや学校歴コンプレックスかな?。。。がいまだにトラウマとして残っているんだなあ。。。ああイヤラシ>自分)

 金嬉老は,今もあるけれど今よりもはるかに激しかった日本人による在日朝鮮人,韓国人の差別の時代に,暴力団員2人を殺したのち寸又峡に立てこもって本来両成敗のはずのケンカか何かで差別の故であろう一方的に不公平な扱いをされた当時の警察に謝罪を求めたという。。。

 まあ,暴力団の殺人の方の詳細は知らないが,立てこもりの方は政治犯的なものだと思う。確か昔「ビート(北野)たけし」が金嬉老に扮した社会的映画もあったと記憶している。

 さて,今回の厚生労働省元事務官夫妻等の殺傷事件が政治犯罪かどうかはわからないし,金嬉老のように,現在的には犯人の彼の方に理があるという見方の方が多いというようなものとは,たぶん違うのだろうが。。。

 とはいえ某TVニュースでは例によっていつもの頭の悪いコメンテータが自分の比較的狭量な価値観で測っただけであろう完全な憶測を断定的に述べた後,それを根拠に自分はいかにも善人たる一般市民の代表であり,犯罪を犯すなんてけしからん。天に代わって。。

 という調子でコメントを述べているのは,温厚な私もつい腹が立って,思わず自室に一人ながらTVに向かって悪態をついてしまった。

 こんなことは最近はよくあるけど。。。

 まあ歳食ったせいなんだろうなあ。。

 どうにもならんけど。。(世間ではあっちのほうが頭がいいんだろうし。。)

 

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相対論の幾何学(第Ⅱ部-6)(微分形式(2))

相対論の幾何学シリーズの続きで,多様体上の作用素としての微分形式の話の続きです。

多様体M上のr-形式(r-form):Ωr(M)を(r-1)形式:Ωr-1(M)へ写す写像で,ベクトル場:^≡Xμ(∂/∂xμ)∈(M)に関連した内部積:iXというものを考えます。

 

任意のr-形式ω≡(1/r!)ωμ1μ2..μrdxμ1∧dxμ2∧..∧dxμr∈Ωr(M)に対して,写像iXωをiXω(1^,2^,..,r-1^)≡ω(^,1^,2^,..,r-1^)で定義します。

これは,陽な成分表現では,iXω={1/(r-1)!}Xνωνμ2..μrdxμ2∧..∧dxμr=(1/r!)Σs=1rμsωμ1μ2..μr(-1)s-1dxμ1∧..∧^dxμs∧..∧dxμrとなります。

 

ここで,^dxμsなる記号は,各項から因子dxμsを削除することを意味します。

 

この内部積の定義では,例えばiex(dx∧dy)=dy,iex(dy∧dz)=0,iex(dz∧dx)=-dzとなります。

また,このiXと外微分dを組み合わせると,任意の1-形式ω≡ωμdxμに対し,(dlX+iXd)ω=d(Xμωμ)+iX[(1/2)(∂μων-∂νωμ)dxμ∧^dxν]=(ωμνμ-Xμνωμ)dxν+Xμ(∂μων-∂νωμ)dxν=(ωμνμ+Xμμων)dxνとなります。

 

これは丁度ωのリー微分:xωの表式xω=(Xννωμ+∂μνων)dxμと一致します。

 

すなわち,1-形式ωに対してはxω=(diX+iXd)ωなる等式が成立することがわかります。

そして,一般のr-形式ω≡(1/r!)ωμ1μ2..μrdxμ1∧dxμ2∧..∧dxμr∈Ωr(M)に対しては,xω=limε→0[(1/ε){(σε)*ω|σε(x)-ω|}]=(1/r!)[Xννωμ1μ2..μrdxμ1∧dxμ2∧..∧dxμr+Σs=1rμsνωμ1μ2..ν...μrdxμ1∧..∧^dxμs∧..∧dxμr]です。

 

この場合にも,(diX+iXd)ωがこのxωと全く同じ表式になるので,一般に任意の微分形式ωに対して,リー微分は内部積で簡単に表現できて,xω=(diX+iXd)ωと表現できることがわかります。

次に,連結なm次元微分多様体Mの上での微分形式の積分について再考します。

まず,点p∈Mにおける接空間p(M)は,基底{μ}≡{∂/∂xμ}によって張られます。

 

ここで,={xμ}は点pが属するチャートUi上の局所座標です。

 

jをUi∩Uj≠φを満たす局所座標={yμ}を持つ別のチャートとし,{~μ}≡{∂/∂yμ}とすると,p∈Ui∩Ujなる同じ点pの座標が別々のチャートUi,Ujによって,それぞれ,で表現されます。

 

これらの基底の変換は,~ν=(∂xμ/∂yν)μとなります。

このとき,もしもUi∩Ujの上で常にJ≡det(∂xμ/∂yν)>0 なら,{μ}と{~μ}はUi∩Ujの上で同じ向きを定めるといい,J<0 なら逆の向きを定めるといいます。

[定義3]:Mをチャート(開集合族){Ui}で被覆される連結な多様体とする,Ui∩Uj≠φを満たす任意の対Ui,Ujに対しJ=det(∂xμ/∂yν)>0 を満たすUi上の局所座標{xμ}とUj上の局所座標{yμ}が存在すればMは向き付け可能であるといわれる。

m次元多様体Mが向き付け可能なら,M上の任意の点でゼロでないm形式ωで,体積要素と呼ばれるものを取ることができます。

例えば,あるチャート(Uii)によるpの座標を=φi(p)とし,h(p)をこのチャート上の正定値関数とします。

 

このとき,m形式ω=h(p)dx1∧dx2∧..∧dxmを取ると,もしもMが向き付け可能なら,このωをUi∩Uj≠φを満たす任意のチャートUj上でh(p)が正であるように拡張定義できます。

なぜなら,p∈Ui∩Ujなる同じ点の座標が={xμ},かつ={yμ}で表現されるとき,ω=h(p)dx1∧dx2∧..∧dxm=h(p){(∂x1/∂yμ1)dyμ1}∧{(∂x2/∂yμ2)dyμ2}∧..∧{(∂xm/∂yμm)dyμm}=h(p)det(∂xμ/∂yν)dy1∧dy2∧..∧dymとなるからです。このm形式ωを体積要素と呼びます。

向き付け可能なm次元連結多様体の上での関数f:M→が与えられ,Mにおけるp∈Mでの体積要素がω=h(p)dx1∧dx2∧..∧dxmなるとき,pの近傍Uiでのm形式fωの積分を∫Uifω≡∫φi-1(Ui)f(φi-1(x))h(φi-1(x))dx1dx2..xmで定義します。

 

i上でのfの積分が定義されれば,M全体の上でのfの積分が1の分割を用いて定義できます。

[定義4]:Mの開被覆{Ui}に対しMの各点が有限個のUiで覆われるようなものを選ぶ。これが常に可能なときには,Mはパラコンパクトであるといわれるが,ここでは,Mはパラコンパクトと仮定する。

 

 もし微分可能な関数族{εi(p)}が,(ⅰ) 0≦εi(p)≦1,(ⅱ)¬p∈Uiならεi(p)=0,(ⅲ)∀p∈Mに対してε1(p)+ε2(p)+..=1を満たすなら,関数族{εi(p)}を被覆{Ui}に属する1の分割と呼ぶ。

条件(ⅲ)から,f(p)=Σii(p),fi(p)≡f(p)εi(p)が成立することがわかります。

 

そして,(ⅱ)よりfi(p)≡f(p)εi(p)はUiの外ではゼロです。

 

そしてパラコンパクト性の仮定からf(p)=Σii(p)は有限和であることが保証されます。

 

各々のfi(p)に対して∫Uifω=∫Uiiωを定義できるので,M上でのfの積分は∫fω≡ΣiUiiωで与えられます。

 

異なるアトラス{(Vii)}は異なる座標の分割と異なる1の分割を与えますが積分は変わりません。

 次にリー群(Lie group)とリー環(Lie algebla)です。

[定義5]:リー群Gとは微分多様体であって次の群演算

(ⅰ)・:G×G→G,(g1,g2)→g1・g2,(ⅱ)-1:G→G,g→g-1によって群の構造を与えたものである。ただし,これらの演算は共に滑らかな写像であるとする。

リー群Gの単位元をeと書き,またGの次元を多様体としてのGの次元として定義します。なお,積記号・は省略して,以下ではg1・g2をg12のように表記することにします。

さて,実数のベクトル空間nにおける非特異な線型変換全体の集合をGL(n,)とすると,これはn×n非特異実行列全体で与えられるリー群をなします。

 

このGL(n,)は一般線型群と呼ばれます。ここでGL(n,)の代わりに実数を複素数としてnでなくベクトル空間nにおける非特異な線型変換全体の集合を考えて,これをGL(n,)と書くと,これも一般線型群と呼ばれ,GL(n,)はGL(n,)の部分群です。

 

特に直交群:O(n),特殊線型群:SL(n,),特殊直交群:SO(n)はGL(n,)の部分群で,物理学への応用で重要なものです。

 

これらの定義は,O(n)≡{M∈GL(n,)|tMM=MtM=1},SL(n,)≡{M∈GL(n,)|detM=1},SO(n)≡{M∈O(n)|detM=1}ですね。

 

また,特殊相対論では,O(1,3)≡{M∈GL(4,)|MηtM=η}がよく出現します。ただし,tMは行列Mの転置です。ηはミンコフスキー計量(Minkowski metric):η=diag(1,-1,-1,-1)です。

 

これらは,多様体としてO(1,3)以外はコンパクトです。

また,対応するGL(n,)の部分群はユニタリ群U(n),特殊線型群SL(n,),特殊ユニタリ群SU(n)で,次のように定義されます。

 

U(n)≡{M∈GL(n,)|MM=MM=1},SL(n,)≡{M∈GL(n,)|detM=1},SU(n)≡{M∈U(n)|detM=1}です。

 

ただし,Mは行列Mのエルミート共役でMt*です。

 

次にリー環の概念について述べます。

[定義6]:リー群をGとしa,g∈Gとする。Gの上での変換;gのaによる右移動Ra,左移動Laを,Rag≡ga,Lag≡agで定義する。

 定義によって,Ra,Laは明らかに共にGからGへの微分同相写像です。したがって誘導写像Ra*:Tg(G)→Tga(G),およびLa*:Tg(G)→Tag(G)が存在します。

 

 これら両方の移動は等価なので以下では移動といえば左移動のみを想定します。

[定義7]:^=Xμ(∂/∂xμ)をリー群G上のベクトル場とする。これが左移動に対してLa*^|g^|agを満たすとき,この^は左不変ベクトル場であるという。

,ag∈Gに対する多様体G上の座標を,それぞれxμ(g),xμ(ag)と書くと誘導写像の定義(f:M→Nに対し誘導写像f*:Tp(M)→Tf(p)(N)がN上の任意関数hについて,f*^[h]≡^[h・f]なる等式で定義される)から,G上の任意関数hについてLa*^|g[h]=^|g[h・a]=Xμ(g)(∂(h((ag)))/∂xμ(g))です。

 

一方,^|ag[h]=Xμ(ag)(∂h((ag))/∂xμ(ag))ですから,左不変ベクトル場であること;La*^|g^|agは,Xμ(g){∂(h((ag)))/∂xμ(g)}=Xμ(ag){∂h((ag))/∂xμ(ag)}を意味します。

すなわち,Xμ(g){∂h((ag))/∂xν(ag)}{∂xν(ag)/∂xμ(g)}=Xμ(ag){∂h((ag))/∂xμ(ag)},またはhを消してXμ(g){∂xν(ag)/∂xμ(g)}(∂/∂xν)|ag=Xμ(ag)(∂/∂xμ)|agです。

 そこで,任意のベクトル場^=Te(G)に対して,ベクトル場V^をV^|g≡Lg*^,g∈Gで定義します。

 

 XV^|g,g∈GはG全体で決まります。

 

 そして,これはV^|ag=Lag*^=(La*g*)^=La*V^|gを満たしますから,V^はそれ自身左不変です。

 

 逆にGの上の任意の左不変ベクトル場^があるとき,Te(G)の元として^≡^|eを与えると,V^|g=Lg*^が得られますから,V^≡^です。

以上から^=Te(G)に対して左不変ベクトル場V^は一意的であり,Gの上の左不変ベクトル場全体の集合をと書けば写像^→V^はT(G)からへの同型写像であることがわかります。

 

つまり,左不変ベクトル場全体は,1つのT(G)に同型なベクトル空間です。そして,特にdim=dimGです。

 

V^を^によって生成される左不変ベクトル場といいます。

左不変ベクトル場の全体はベクトル場の集合なので「流れとリー微分」の記事で述べたリー括弧積が∀^,^∈に対して[^,^]≡(Xμμν-Yμμν)∂νによって定義されます。

 

ベクトル場のリー括弧積自身がまたベクトル場になることは既に示しましたが,f* [^,^]=[f*^,f*^]によってLa*[^,^]|g=[La*^|g,La*^|g]=[^,^]|agなので,左不変性もまた保持されます。

 

したがって,∀^,^∈に対して[^,^]∈となり,はリー括弧積について閉じています。

リー群Gの例として,一般線型群GL(n,)を考えます。この群ををn×n行列g全体のn2次元の微分多様体と考えて,gの座標(g)をその成分(g)≡{xij(g)}であると考えます。

 

このとき,単位元の成分は(e)={1ij}={δij}であり,g∈Gのa∈Gによる左移動はLag=ag=Σkik(a)xkj(g)なる行列積で与えられます。

ベクトル^=Vμ(∂/∂xμ)|e∈Te(G)は,今のG=GL(n,)の場合^=Vij(∂/∂xij)|eとなり,^で生成される左不変ベクトル場V^はV^|g=La*^|g=Σijklmij[∂({xkl(g)xlm(e)}/∂xij(e)}{∂/∂xkm(g)}=Σijkki(g)Vij(e)(∂/∂xkj)|gと表現されます。

 

ここで,gの座標行列と^の行列の積として係数成分をΣkki(g)Vij(e)=(gV)kjと書くことにすれば,V^|g=Σij(gV)ij(∂/∂xij)|gとなります。

V^|g=Σij(gV)ij(∂/∂xij)|gですから,Vμ(∂/∂xμ)を^と称するのと同じくV^をgと書くこともあります。

 

^=Vij(∂/∂xij)|e,^=Wij(∂/∂xij)|eによって生成されるV^,W^のリー括弧積は,定義[^,^]≡(Xμμν-Yμμν)∂νから[V^,W^]|g=Σijkl[(gV)ij{∂(gW)kl/∂xij}-(gW)ij{∂(gW)kl/∂xij)}](∂/∂xkl)|g=Σij(g[,])ij(∂/∂xij)|g[,]^|gです。

 

または,[g,g]=g[,] for ∀g∈Gです。

 

これによって次の定義が得られます。

 

[定義8]:Gの上の左不変ベクトル場全体の集合であって,リー括弧積[,]:×が定義されたものをリー環,またはリー代数という。

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2008年11月24日 (月)

雑感

 何?意見の違いを殺人とか暴力で解決ってのが許せないだと?。。。

 何抜かしとんじゃい。。。

 それじゃ何言ってもノラリクラリやってて,いつまで経ってもわけのわからん奴をどうするんじゃい。。。一生水掛け論やってるのか。。。。

 殺さないまでも殴る程度はやるぞ。。

 まさに,最近の社会保険庁とかの官僚の一部?田母神とか,

 あるいは朝鮮の本来無辜の人民たちを苦しめ,韓国人,日本人その他を拉致しても鉄面皮で動じない野郎の金正日一派なんかどうするんだ。。。

 (しかし国家そのものを制裁したりするのは,誰を敵だと思ってるんだろう?)

 何のために権力,暴力装置を握っているんだよ。。。

 正に拘束力のない言論なんて屁みたいなもんだ。。

 結局,論争なんてどんな論争だろうと,つまるところは"これは俺のもんだ,イヤ俺のもんだ"という物の取り合いにしか過ぎないんだから,最後は暴力で取り合うしかない話なんだ。。キレイごと抜かすなよ。。

 って。。。何で怒ってるんだろ?>自分

 今回の殺人犯?の経歴は,なんとなく自分に似てると思ったけど。。

 (あ,私の方は中三で父親が病死して高校以後は貧乏な母子家庭だったのが違うか。。)

 まあ,私は楽観主義者のキリギリスであるところが少し違うかな。。

 本当のことを言ってるのかどうかは不明だけど,もし本当なら何か生きがいなどというと大げさだけど貧乏であっても金のかからない趣味に逃避すれば,10年以上もトラウマ的な怒りに苛まれることからはある程度は解放され,それがいいかどうかはわからないが,諦めの境地に到ったカモしれないと思う。。。。

 でも本当に犬のカタキだとしたらエライ奴かも。。。

 まあ,今回の被害者と犬猫の殺処分に直接的関連は薄いと思うけど。。逆恨みかな。。

 え?,犬の命より人間の命の方が重い?誰が決めたんだ?

 仮に自分が家族同然にしている犬を気まぐれで惨殺されたら,私でもその人間を殺したいと思うかもしれない。。

 そういえば学生時代に先輩とフライドチキン食べながら,これまで何羽のニワトリの命を食べただろう?なんて話題出したら,露骨にイヤな顔されたこともありましたね。。。 

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高校生の倉敷藤花誕生!

 林葉直子,中井広恵に次ぐ3番目に若い女流初タイトル里美香奈ちゃん(16) 偉い!http://sankei.jp.msn.com/culture/shogi/081123/shg0811231715000-n1.htm (将棋女流棋戦)

http://sankei.jp.msn.com/culture/shogi/081123/shg0811232034001-n1.htm

 そういえば。。。野沢菜ちゃんも頑張ってね。。。。

   

 大きなお世話でしょうが,表のオバサン臭い不敵な笑み?のプロフィール写真はいいかげん差し替えたらどうでしょうか。。。と個人的趣味では思います。着物の方の写真は大変いいのですが。。。

PS:前にブログのURL入りの名刺あげたけど,どうせ捨てたでしょうし暇人でもないから読んでないとは思いつつ。。)

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2008年11月23日 (日)

超弦理論(7)(弦の相互作用と頂点演算子)

 超弦理論(superstring theory)の続きです。

 ここまでは,自由弦についてのみ論じてきましたが,ここで相互作用,あるいは非線型理論を導入する手続きについて述べます。

 まず,場の理論でのFeynman-diagramについて復習します。

 

 例えばn次元時空の質量がゼロのスカラー場に対して時空の点の間の標準伝播関数は-<|□-1|>です。

 

 ここに,□はd'Alembert演算子(d'Alembertian),または波動演算子と呼ばれるもので,□≡ημνμνです。

 

 そして,この波動演算子の逆演算子を示す伝播関数は,-<|□-1|>=∫0dτ<|exp(τ□)|>で与えられます。

 

 (n+1)次元での質量mの非相対論的粒子のHamiltonianは単に=p^2/(2m)=-□/(2m)ですが,特にm=1/2と取れば=p^2/(2m)=-□です。

 

 ただし,ここでの演算子:exp(τ□)におけるτは虚数固有時間であり,それ故,これは非相対論的な時間発展の演算子(作用素):exp(-it)を示しています。

 

 何故なら,=p^2/(2m)より,exp(τ□)=exp(-τ)=exp{-i(-iτ)}=なので,τ=itとおけば,exp(τ□)=exp(-it)となるからです。

 

 これに対して,よく知られた経路積分の公式があります。

 

 すなわち,<|-□-1|>=∫0dτ∫xy(t)exp{-(1/4)∫0τdt(d/dt)2}です。

 

 ここで指数部分は丁度古典的粒子の作用です。記号∫xyはt=0にでスタートしてt=τにで終わる,全ての経路(t):0≦t≦τにわたる積分を表わすものです。

(訳注6):経路積分の公式というのはガウス・フレネル積分の公式:∫-∞exp(-iax2/2)dx={2π/(ia)}1/2を用いて,とにかくHamiltonianによる時間発展の積分を"Lagrangianの積分=作用積分"の式に変換するものです。

 そして,-<|□-1|>=∫0dτ<|exp(τ□)|>ですが,被積分関数は,τ=itについて実は<,t|,0>=<|exp(τ□)|>=<|exp(-it)|>=∫xyDx(t)exp{i∫0tdt1[(x,dx/dt)]となります。

ここで=p^2/(2m)に対しては,(,d/dt)=(m/2)(d/dt)2=(1/4)(d/dt)2 (m=1/2)ですから,∫xy(t)exp{i∫0tdt1[(x,dx/dt1)]=∫xy(t)exp{(i/4)∫0tdt1(dx/dt1)2}=∫xy(t)exp{-(1/4)∫0τdt(d/dt)2}です。

 

ここで,t=it1,で(dx/dt1)2=-(d/dt)2を用いました。

したがって,-<|□-1|>=-∫0dτ∫xy(t)exp{-(1/4)∫0τdt(d/dt)2}と書けるわけです。

 

(訳注6:終わり)※

 そして,<|-□-1|>=∫0dτ∫xy(t)exp{-(1/4)∫0τdt(d/dt)2}の右辺は,固有時τにおいてからへと伝播する際に可能なあらゆる軌道にわたって積分し,さらに固有時τにわたって積分します。

 

 下の図1-5のような典型的なFeynmanのツリーグラフを見てみます。

↑図1-5:場の量子論における典型的なFeynmanグラフ(※時空点A,B,C,Dに源を発する4つの外粒子はpとqで相互作用しつつtreeレベルの散乱を受ける。※)

    

図1-5のグラフを運動量空間で評価する代わり,慣習的なものですが座標空間で考察します。

  

すると,この図では外粒子は時空点A,B,C,Dに始まり相互作用はp,qで生じます。Feynmanグラフから振幅を計算する通常のルールによれば図1-5の各ラインは伝播関数に対応します。

 

伝播関数に対する表現:<|-□-1|>=∫0dτ∫xy(t)exp{-(1/4)∫0τdt(d/dt)2}では,図1-5の各ラインは示された時空の点の間を伝播する粒子の軌跡にわたる積分を表現しています。

 

中間状態の線分pqが1つの伝播関数に対応していて,頂点p,qの間の時空を伝播する粒子の軌跡の全体にわたる積分を表現すると見るなら,この図は摂動計算を表わすツールではなく時空を伝播し相互作用頂点で結合し分離する現実の粒子運動の履歴と捉えることもできます。

点粒子のFeynman-diagramのアナロジーを弦理論に拡張定式化することを考えます。 

 

↑図1-6:場の理論と弦理論での相互作用頂点

 

(※(a)点粒子が2つに分かれる。(b)閉弦が2つに分かれる。(b)では異なる2つのLorentz系での一定時刻の軌跡表面をそれぞれ実線と点線で示す。※)

  

点粒子の軌道が相互作用頂点で2つに枝分かれするグラフ:図1-6(a)と同様,弦においても1つの伝播する世界面軌道がある種の"頂点"で2つに枝分かれするグラフ:図1-6(b)を考えることができます。

 

ただし,この図では閉弦のケースを想定しています。

 

点粒子と弦の決定的な違いは,点粒子の場合に分離が生じる相互作用頂点に相当する時空の点というwell-definedでLorentz不変な概念があるのに対して,弦の場合にはどこで分離が生じたか?という明確な概念がないことです。

 

図1-6(b)では2つの異なるLorentz系での一定時刻における表面をスケッチしました。

 

一方のLorentz系では分割は黒丸で示される点で生じます。これよりも過去には1つの弦しかなく,これより未来には2つの弦が在ります。他方の系では白丸で示される点が相互作用開始点です。

この点粒子と弦の描像の違いから多くの帰結が生み出されます。

 

とりわけ,点粒子には様々な相互作用(強い,弱い,電磁etc.)に対応した多くの場理論が在るのに対して,弦にはあまり多くの理論がないという理由の一端が見られます。

すなわち,図1-6(a)より点粒子には確定した相互作用頂点があるのでFeynman振幅を定める際,こうした頂点で多くの特殊因子を選択することが可能ですが,弦のグラフ:図1-6(b)では確定した頂点がなくて相互作用して分離している部分も局所的には何の変化もなく伝播する自由弦の一部のようにしか見えないということです。

 

つまり,弦では頂点の多様な結合因子を含むことが困難なので,一旦自由弦の伝播ルールを定めたなら,それに付加すべきどんな追加の選択肢もありません。

 

そしてなお,自由弦そのものにもあまり多くの可能性が存在しない理由を理解することも必要です。

自由弦には可能性が少ないことの論拠は,Polyakov作用:S=-(T/2)∫d2σ[h1/2αβαμβμ]を量子化する試みと,その様々な一般化を生み出してきた研究の歴史から従います。

 

結局,図1-6(b)からは,弦理論では1つの自由弦理論を決めればLorentz不変な確定した頂点が存在しない故,相互作用の形もユニークに決まってしまうことの理由の1つが見て取れるわけです。

 これと密接に関わる話として,弦理論では,点粒子の場の量子論で避けがたい困難である紫外発散から解放されるのですが,グラフを調べることで何故そうなのかということの発見的理由を得ることができます。 

 ↑図1-7:(※(a)1-loop Feynman-diagramのスケッチ(p,q,r,sと名付けられた相互作用頂点を持つ)(b)閉弦のdiagramのスケッチ※)

  

 図1-7に1-ループのFeynmanグラフをスケッチしました。これは場の量子論では紫外発散します。そして対応するのは閉弦グラフです。

 

 図1-7(b)の弦のグラフが-図1-7(a)の場理論のグラフと異なるのは,点粒子の全ての世界線を示す伝播関数が,弦の世界面では閉じた弦を断面とする世界管(tube)に置き換わっている点です。

ループグラフの評価は,その上を伝播する粒子の軌跡にわたる時空内の積分として計算されます。

 

そして,弦理論での図1-7(b)のループグラフは軌跡をつくる個々の世界管の断面の半径が小さい極限では点粒子のそれに帰着します。これが場理論が弦理論の長波長極限として出現する道です。

では,図1-7(a)では紫外発散があって図1-7(b)ではそれがなくなるのは何故でしょうか?

 

決定的な違いは,図1-7(a)においてはp,q,r,sというwell-definedな大きさのない相互作用頂点があることです。

 

図1-7(a)の点粒子で紫外発散が生じるのは,これら頂点p,q,r,sが一点に帰するような軌跡(p=q=r=s)に対して頂点間を結ぶ伝播関数が高次の無限大の寄与をするためです。

 

※(訳注7):時空積分において頂点が一点に帰すること,つまり頂点間の時空距離が無限小になるということは,Fourier変換によって,これを時空座標に相補的な運動量積分に変換すると運動量距離としては無限大になることを意味します。(終わり)

ところが,図1-7(b)の弦の場合には,伝播関数は断面が閉じた弦の世界管なので,図1-7(a)の点粒子のような相互作用頂点p,q,r,sの明確でwell-definedなアナロジーは全く存在しません。

 

弦グラフの"頂点"間の距離には最低でも世界管断面の径程度の曖昧さがありますから,結果として無限小距離というp=q=r=sの危険領域は存在しなくなります。

 

このことだけでもって,弦の場合にグラフの寄与が有限であることが保証されるわけではないですが,これは弦において紫外発散の困難が除去される理由への強いヒントを与えてくれます。

↑図1-8:4粒子振幅に寄与する閉弦diagramsの全てのスケッチ(※摂動論の各次数で1つ,唯1つのグラフがある。)

   

点粒子の場理論のグラフと弦理論のグラフのもう1つの大きな違いは,点粒子のグラフに比べて同様な内容を表わす弦のグラフがはるかに少ないことです。

 

↑図1-9:場理論の区別できる幾つかの別々のグラフが弦理論では唯一として同型である。

  

(※(a)には場理論での4粒子振幅の1-loop補正を示す異なる3つのグラフを示した。それぞれに対応する(b)の3つの閉弦グラフは全て同じトポロジーを有し,3つの図は単に同じ1つの弦グラフの異なる積分領域を示しているに過ぎない。※)

 

すなわち,全ての点粒子の場理論のグラフの各々にその世界線を世界管に膨らませて作った弦理論のグラフが対応します。

 

例えば,1つだけのループを持つ摂動グラフを考えると,点粒子の場理論ではいくつかのチャンネルに対応する複数のグラフがあるのですが,これらに対応する弦理論のグラフは唯一つであり,それは1つの穴(genu:s取っ手)を持つ2次元多様体です。

この規則はより多くの任意個数のループを持つグラフにも当てはまるもので,グラフにおけるループの数を多様体に開いた穴の数に対応させれば,位相的に同型な2次元多様体グラフは穴の数だけで決まるので,これらをまとめて唯一のグラフと考えます。

 さて,こうした弦のグラフを具体的に弦の世界面にわたって積分評価するのはかなりむずかしいと思われます。

  

 弦グラフの積分を実行可能にするのは,世界面の計量(metric)の共形的な再尺度化(rescaling):hαβ→(expφ)hαβの下での作用:S=-(T/2)∫d2σ[h1/2αβαμβμ]の不変性です。

図1-10:(※共形不変性(conformal invariance)は弦グラフの評価を実行可能にする。入射,散乱粒子に対応する穴をふさいで世界面をコンパクト化することを可能にする。

 

例えば図の(a)の外粒子の弦は(b)に示されるように点に射影される。そして,これらの点は適切な局所演算子の挿入と解釈される。※)

 

変換:hαβ→(expφ)hαβのφを適切に選択すれば,はるか過去に伸びる世界管に対応する2つの入射弦と,はるか未来に伸びる世界管に対応する2つの射出弦を持つ世界面:図1-10(a)は,コンパクトな4つの頂点穴を持つ図1-10(b)へと変換可能です。

 

そして,外粒子に対応する弦の世界面の穴は密閉されて点として現われるようになります。

 

では,如何なる種類の計量の共形的変化がこうしたマジックを引き起こし得るでしょうか?

 

これを見るために外粒子の穴として1つの入射弦と1つの射出弦のみを持つ最も単純な世界面グラフを考えます。(下図1-11)

 ↑図1-11:(※(a)において1つの入る弦と1つの出る弦を持つ世界面はconformalに他の図へと写像される。

 

 例えば原点にある入射弦と図には示してないが∞点にある出ていく弦を有する平面(b),または入る弦と出る弦をそれぞれ南極点と北極点に有する球面(c)へとmapされる。※) 

  

 上図1-11(a)の円筒において,弦の世界面として意味を持つのは円筒の側面です。

  

 これは多様体としては2次元ですから2つの座標パラメータを例えば(z,φ)(-∞<z<∞,0≦φ≦2π)とした円筒座標に取り,計量をds2=dz2+dφ2で与えることができます。

   

 さらに,z=lnrとすればds2=r-2(dr2+r2dφ2)です。

 

 ここで計量の共形的な変換:ds2→ds^2=r2ds2を実施すると新しい計量ds^2=dr2+r2dφ2を得ます。

 

これは,通常のx=rcosφ,y=rsinφで与えられる平面極座標を持つの平面の計量と同じなので,結局円筒側面は(r,φ)なる極座標で指定される平面と同定されます。

z=lnrなので,これによって入射する遠い無限の過去の円z=-∞,0≦φ≦2πは有限距離r=0 の点に射影され,出ていく粒子z=∞,0≦φ≦2πはr=∞の無限遠点に射影されます。

 

もしも入射弦と射出弦の両方を有限距離に射影したいなら,共形因子として小さいrにはr2,大きいrにはr-2のように挙動するようなものを採用する必要があります。例えばr2/(1+r2/a2)2を掛けて再尺度化すれば,ds2=(dr2+r2dφ2)(1+r2/a2)2球の標準計量です。

2つだけでなくより多くの外線粒子を持つような複雑な弦グラフに対しても,共形因子:(expφ)を各々が有限点に写されるように選択することが可能です。

 

本質的なことは,与えられた入射弦,または射出弦を有限距離の点に写すことに関連するのは弦から遠くの点での因子:(expφ)の漸近的挙動のみであるということです。

 

そして,共形因子:(expφ)の漸近的な挙動については,各弦について独立に選択することができます。

さて,もしも本当に外粒子弦の状態を有限点に共形的に写すなら,それらの持つ量子数は容易に失われることはなく,それが写された穴,または頂点には,その量子数を持つ局所演算子が出現する必要があります。

 

そこで,各弦状態に対して弦の伝播を記述する(1+1)次元の量子場理論のある局所演算子を見出さなければならないという発想に到ります。

 

このようにして,ある弦状態|Λ>に対応する局所演算子を|Λ>の吸収,または放出に対する頂点演算子と呼びます。

閉弦の場合について適切な頂点演算子を推測してみます。

 

とりわけ閉弦理論で各々の粒子タイプΛに対してパラメータσとτの再パラメータ化の下でスカラーであるようなΛと同じ量子数を持つ局所演算子WΛ(σ,τ)を探して見ます。

ΛはXμ(σ,τ)とその微分で構成される適当な多項式です。

 

例えばΛがタキオン(tachyon)なら,それは26次元Lorentz変換の下でスピン量子数(spin)がゼロとして変換するので,単にWΛ=1と取ることができます。

 

もしも,Λが重力子Gなら,WΛはスピン2を持つように作る必要があります。

 

μ(σ,τ)と,その微分で構成されるスピン2を持つ極小の演算子は分極がμνの1重力子に対して,WΛμν=∂αμανです。

 

また,もしもΛが質量ゼロのディラトン(dilaton):Dなら,それはスピンゼロですが,同じスピンゼロのタキオンに垂直な極小の選択は,WD ~∂αμαμですね。

こうした演算子や後に考える他の演算子(例えばexp(-ikX))について全て正規順序(normal ordering)を取ることは暗に仮定され,これを1つずつ陽に示すことはしません。

こうして定義される演算子WΛは,時空のLorentz回転の下で正しく変換しますが,時空のずらしについても考慮する必要があります。

 

各弦の位置が定量aμだけシフトされるときの大域的な対称性はXμ→Xμ+aμの下で運動量kμを持つ外的状態の波動関数に因子:exp(-ika)が掛けられるという意味を持ちます。

 

μ →Xμ+aμの下で,こうした変換を与える最も簡単な量子演算子はexp(-ikX)です。

 

それ故,運動量kμを持つ弦の吸収,放出に対して,この因子:exp(-ikX)が存在すると仮定します。

さらに,頂点演算子が挿入される頂点穴は閉弦の世界面の表面の任意の位置に出現可能です。

 

こうした事実を考慮すれば,頂点演算子の定義として,次のVΛなる形式が考えられます。

 

すなわち,VΛ()=∫d2σ[h1/2Λ(σ,τ)exp(-ikX)]ですが,これはタイプΛ,運動量kμの弦の吸収,放出に対するものです。

では,これらの頂点演算子をグラフの計算においてどのように使うのでしょうか?

 

 

↑図1-12:タイプΛ12,..,ΛMと運動量1,2,..,MのM個の外粒子の散乱に対する振幅の表現

 

例えば,上図1-12のグラフは,タイプΛ12,..,ΛMと運動量1,2,..,Mを持つ粒子の散乱に対する振幅Aが演算子VΛi(i)を因子として挿入した弦の伝播を支配する(1+1)次元量子場理論での経路積分であるべきことを示唆しています。

つまり,T=1/πとすれば,A(Λ1,12,2;..;ΛM,M)=κM-2∫D(σ,τ)Dhαβ(σ,τ)exp[{-i/(2π)}∫d2σ(h1/2αβαμβμ)]{Πi=1MΛi(i)}と書けます。

 

ここで,κは結合定数であり,記号DXμやDhαβは共形因子でコンパクト化した世界面上での経路積分を意味します。

ツリーグラフを評価するためには球を,1ループグラフを評価するためにはトーラス(torus)を,そして一般にn-ループグラフを評価するためには種数(genus)nのリーマン面と呼ばれるn個の取っ手の表面であるような面が要求されます。

この式では26次元時空の散乱振幅が補助的な(1+1)次元場理論の相関関数(※訳注:これは"Green関数=伝播関数"の意と思われる)で表現されています。

 

量子場理論の標準的なLSZ定式化によれば,(1+1)次元場理論の相関関数("Green関数=伝播関数")は(1+1)次元散乱過程とうまく関連付けられています。

 

これが26次元時空における散乱振幅を与えると解釈できるとしたら,これは弦理論の驚嘆すべきことの1つでしょう。

今日はここまでにします。 

参考文献:M.B.Green,J.H.Schwarz,& E.Witten著「superstring theory」(Cambridge University Press)

 

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2008年11月21日 (金)

麻生発言の真意

 どうも世間は"麻生たたき"を楽しんでいるかのようですが"KY(漢字読めない)"はさておき,"ア〇ウ首相"などと言いかねないマスコミの批判論調をそのまま受け取っていいものか。。。

 まあ貧乏人の気持ちがわからない"おボッちゃま"であるのは否めないけど,それは2世,3世の小泉,安倍,福田氏とか,かつての野党首相の細川氏も含めその他多勢と同じです。

 例えば医師会発言についてはmixi「文十郎さんの日記(ブログ)」経由で知ったのですが「池田信夫氏のblog記事」によると,医師一般を批判しているのではなく医師会を批判しているのだとしたら,つまり現状の医師不足を招いたのが"お宅ら=医師会"の責任であるという意図なら,むしろ麻生発言は正論に属するらしいのですね。

 だから医師会が反発するのは当然としても世論がその尻馬に乗るべきなのかは疑問です。。。

 医師会というのは一般の医師にとっては1つの圧力団体として存在しているのでしょうから,例として適当かどうか?文部省または日教組の考え方を教員全体の考え方と見るのと同じく,,医師会の意向を医師全体の意向と同一視するのもおかしな話でしょうしね。。。

 もっとも麻生氏の発言は思っていることをうまく表現して伝える能力が不足しているためか誤解を招きやすいのは事実です。

 まあ自民党の首相なので五十歩百歩なのでしょうが,あるいは支持率の差なのか。。無内容な発言でも巧言令色とパフォーマンスそのもので都合が悪いと「人生いろいろ」などと言って逃げる策士の小泉氏とは違って,逆に麻生氏は実は党内部からも批判されるほど"人がいい",そして"わかりやすい人"なのじゃないか,と感じるのは私だけの異常感覚でしょうか?。。。。

 まあ,私の場合はいつもの"みんなが貶すものは褒める"という天邪鬼な判官びいきなのかもしれませんが。。。

 ほぼ100%が”そうだそうだ”の大合唱でリンチになびきそうな話はアウトサイダーとして眺めるとチャチャを入れたくなるので,つい反応してしまいます。。。

 ”死者に鞭打つ"ことはしたくないのですが,今回のテロ?の被害者である厚労省の事務次官たちにしても,退職金も含めて通常のサラリーマンの生涯賃金の数倍の蓄財をしていたらしいということで,決して”聖人君子”という印象ではないというのが本当らしいですよ。。。。 

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2008年11月19日 (水)

運動物質内の相対論(3)(弾性連続体(1))

連続物質内の相対論の続きです。

 

今日は外力を全く受けない孤立した弾性連続体を考えます。

 

これも閉じた系に属しますから,系の全エネルギー運動量テンソルμνは,以下の諸式を満たします。

まず,閉じた系なので∂Tμν/∂xν=0 です。

 

そして3次元ベクトルを成分Sk≡cT0kによって定義します。また全運動量密度ベクトルの成分をgk≡Tk0/c,全エネルギー密度をh=T00とします。

 

このとき,∂Tμν/∂xν=0 のμ=1,2,3の式は微分形の運動量保存式:∂gi/∂t+∂Tij/∂xj=0 を意味します。ここで,Tijを応力テンソル,または運動量流束密度テンソルと呼びます。

また,μ=0 の式は微分形のエネルギー保存式:∂h/∂t+div=0 そのものですね。そこで,ベクトルを全エネルギー流束密度ベクトルと呼びます。

また,閉じた系であるための条件の1つである角運動量保存則が成立するためには,テンソルTμνが対称であること,つまりTνμ=Tμνなることが必要です。

 

そこで,特に時間成分についてはT0k=Tk0なることから,閉じた系では/c2が成立します

*/h,u*k=cT0k/T00として,これを場のエネルギーの伝播速度とすれば,場の運動量密度は/c2=(h/c2)*と書けます。

 

ところで,力場の全く存在しない自由空間の連続体ではh=μc2/(1-2/c2)1/2,=μc2/(1-2/c2)1/2ですから,こうした場合には*は実際の系の運動速度に一致します。

上述のことは,一般に総エネルギーE=∫hdVを持つ粒子が速度*で運動しているとき,その力学的エネルギー密度がhなら,運動量密度が=(h/c2)*で与えられるという関係を表わしています。

 

つまり,"エネルギー密度hには質量密度μ=h/c2が対応する。"というアインシュタインの関係式を意味しているのですね。

さて空間内の1点において単位ベクトルで外向き法線方向が指定される無限小の面要素をdσとします。

 

この面素の両側にある物質はdσに比例する弾性的内力を受けます。法線の指している側に作用する力をτ()dσと書くことにします。

 

このとき法線の向きとは反対側に作用する力は,τ(-)dσと表わされますが,作用・反作用の法則によって,τ(-)dσ=-τ()dσです。

ある点Pを1つの頂点とし,Pを通る各稜がx1,x2,x3の直交軸に平行な無限小体積の四面体PABCで表わされる物質部分を考えます。

 

1,x2,x3軸の方向単位ベクトルを(1),(2),(3)とし,⊿ABCの面積をdσ,その外向き法線方向の単位ベクトルを≡(n1,n2,n3)とします。

このとき,(1),(2),(3)に垂直な面⊿PBC,⊿PCA, ⊿PABの面積は,それぞれn1dσ,n2dσ,n3dσです。

 

それ故,この無限小四面体PABCに作用する全弾性力は,-τ()dσ+τ((1))n1dσ+τ((2))n2dσ+τ((3))n3dσです。

この力は,この四面体部分の体積をdVとするときの単位時間当たりの運動量dVの変化に等しいはずです。

 

すなわち,d(dV)/dt=-τ()dσ+τ((1))n1dσ+τ((2))n2dσ+τ((3))n3dσです。

 

両辺をdσで割ると,[d(dV)/dt]/dσ=-τ()+τ((1))n1τ((2))n2τ((3))n3ですが,dV→ 0 の極限を取るとdV/dσ→ 0 なので左辺はゼロです。

そこで,-τ()+τ((1))n1τ((2))n2τ((3))n3= 0 ,つまり,τ()=τ((1))n1τ((2))n2τ((3))n3です。

 

したがって,τ((k))≡(τ1k2k3k)と定義すると,これはτi()=τijjと書けます。

 

あるいは,nj=-njによって,τi()=-τijjとも書けます。これによりτijは空間テンソルの成分であることがわかります。

 

この空間テンソルτijは弾性応力テンソルと呼ばれるものです。

さらに,Tμνの空間部分Tijを絶対応力テンソルと呼びます。これに対しτijを相対応力テンソルと呼ぶことにします。

さて,ある閉曲面をΣとし,その内部にある物質に作用する全弾性力をとすると,これは=-∫Στ()dσ,またはガウスの定理からFi=-∫Στ1jjdσ=-∫Ω∂(∂τ1j/∂xj)dVと表わされます。

 

そこで,弾性力の密度をFi=∫ΩidVで定義して,上の表式と比較するとfi=-∂τij/∂xjなる表式を得ます。

この結果と体積δVの微小物質片に対する運動方程式d(δV)/dt=δVから,d(giδV)/dt=(-∂τij/∂xj)δVを得ます。

 

これの左辺は,d(giδV)/dt={∂gi/∂t+(∂gi/∂xj)uj}δV+giδV(∂uj/∂xj)={∂gi/∂t+∂(gij)/∂xj}δVと変形されることから,結局∂gi/∂t+∂(gij+∂τij)/∂xj=0 なる式を得ます。

一方,運動量の保存則の表式として,本文の最初の方で∂gi/∂t+∂Tij/∂xj=0 なる式が得ています。

 

これと,上の∂gi/∂t+∂(gij+∂tij)/∂xj=0 を比較すると,絶対応力テンソルTijと相対応力テンソルtijを結ぶ関係式:Tij=τij+gijが得られます。

また,閉曲面Σの内部にある物質に単位時間当たりに弾性力のなす仕事は,A=-∫Στ()dσ=-∫Σ(uiτijj)dσ=-∫Ω{∂(uiτij)/∂xj}dV=∫Ω{∂(uiτij)/∂xj}dVです。

 

したがって, 体積δVの微小物質片がなされる仕事は,δA=-{∂(uiτij)/∂xj}δV={∂(uiτij)/∂xj}δVです。

 

これが,δVにおける単位時間当たりの全エネルギーの増加d(hδV)/dt={∂h/∂t+∂(huj)/∂xj}δVに等しいことから,これらを等置すると,∂h/∂t+∂(huj+uiτij))/∂xj=0 または∂h/∂t+∂(huj-uiτij))/∂xj=0 です。

これを,エネルギー保存式∂h/∂t+div=0 と比較すると,=h+(uτ)を得ます。

 

ここに,(uτ)は成分が(uτ)k=-uiτik=uiτikで与えられる空間ベクトルを意味します。

 

このようにエネルギー流には,携帯流hの他に,弾性力により生じるエネルギーの移動が加わってきます。

ここで,先にも述べたように,閉じた系ではTμνが対称テンソルなので,全運動量密度/c2で与えられます。

 

したがって,上に得られたの表式=h+(uτ)から,=μ+(uτ)/c2を得ます。ただし,μ≡h/c2は弾性エネルギーも含めた全質量密度です。

そこで,全運動量密度を成分で書くと,gk=μuk+uiτ1kですが,右辺第2項があるため,一般にgik≠gkiです。

 

ところが絶対応力テンソルTij=τij+gijは対称ですからTij=Tjiです。

 

そこで,τij-τji=-gij+gji=-(uτ)ij +(uτ)ji≠0 となり,結局,=0 の静止系以外では,一般に相対応力テンソルτijは対称ではないと結論されます。

静止系では00 ですから,この系だけを考えるなら関係式:τ0ik=T0ik=T0ki=τ0ki,S0ik=c20ik=cT0k0=0 ,h0=T000が成立します。

 

ただしh0は静止エネルギー密度です。なお静止系での量には全て上添字 0 をつけています。

したがって,静止系では4元速度が,U(c,0)=U0μで与えられるのでT0μν0ν=ch0=h0と書けます。

 

これはローレンツ座標系で共変な4元ベクトルの表現なので任意の座標系においてTμνν=h0μとなります。

 

そして,以前に示したように固有質量がμ0δV=μ0δV0の粒子の基本的運動方程式dpμ/dτ=FMμはd(μ0δV0μ)/dτ=fμδV0と表現されますが,これはθμν≡μ0μνと置けば∂θμν/∂xν=fμなる形にも書けることがわかります。

 

ただしμ0は静止質量密度でローレンツスカラーです,また,FMμ≡fμδV0=fμδV/(1-2/c2)1/2で定義されるfμは4元的力の密度でfμ≡((fu)/c,)ですね。

この,θμν≡μ0μνに対しては,θμνν=μ0μνν=μ02μ,つまりθμνν=h0μなる式が直ちに導かれますが,これはTμνν=h0μなる式でTμνが純力学的なエネルギー運動量テンソルθμνに等しい特別な場合を示しています。

 

ここで,h0=μ02なる関係式を用いました。

さらに,Tμνν=h0μより,Uμμνν=h02,あるいはh0=Uμμνν/c2が得られます。

 

また,μ=1,2,3の場合には,Ti00+Tijj=h0iですが,これはTi0=cgi,Tij=τij+gij,およびUμ=(c/(1-2/c2)1/2,/(1-2/c2)1/2)を用いると,c2i-(τij+gij)uj=h0iとなります。

最後の式をgiについて解けば,全運動量密度として0+(τu)/c2}/(1-2/c2)なる表現も可能なことがわかります。

 

この式では(τu)と書きましたが,(τu)≡(uτ)ですから,これは成分が(τu)k=-τiki=τikiの空間ベクトルのことです。

そして,再び,Uμ=(c/(1-2/c2)1/2,/(1-2/c2)1/2)を用いれば,={μ0+(tu)/c2}/(1-2/c2)またはgk={μ0k+τiki/c2}/(1-2/c2)は,cgk=Tk0=T0k=μ0k0+(Uiτik0)/c2=μ0k0-(Uiτik0)/c2とも表現されます。

また,Tμνν=h0μでμ=0 とすると,Tν=h00よりT000+T0kk=h00,つまりhc-cgkk=h0c,あるいはh=h0+(gu)={h0+(uτu)/c2}/(1-2/c2)を得ます。

 

ここに(uτu)≡uiτikk=uiτikkです。これについても,h=T00=μ000+(Uiτikk)/c2=μ000+(Uiτikk)/c2と表現できます。

また,h0=Uμμνν/c2より,h0=U0000/c2+Uii00/c2+U00jj/c2+Uiijj/c2=h(U00)/c2-2(Ui0)gi/c+Uiik+gik)Uk/c2

 

=h/(1-2/c2)-2μ02/(1-2/c2)2-2{(uτu)/c2}/(1-2/c2)2+{(uτu)/c2}/(1-2/c2)+{μ0(2)2/c2}/(1-2/c2)2+{(uτu)2/c4}/(1-2/c2)2=h/(1-2/c2) -2μ02/(1-2/c2)2+{μ0(2)2/c2}/(1-2/c2)2-{(uτu)/c2}/(1-2/c2)2です。

 

すなわち,h0(1-2/c2)2=h(1-2/c2)-2h02/c2+h02(2/c2)2-{(uτu)/c2}です。

 

したがって,h0=h(1-2/c2)-(uτu)/c2を得ます。

 

長い計算をしたにもかかわらず,当然ながらこれはすぐ上で既に求めていた式であるh=h0+(gu)={h0+(uτu)/c2}/(1-2/c2)と同じものです。

 

いずれにしろ,h0=h(1-2/c2)-(uτu)/c2の左辺h0が不変量なので右辺も"スカラー=不変量"です。

 

また,両辺をc2で割ればμ0=μ(1-2/c2)-(uτu)/c4です。

 

これは応力がない場合のμ0=μ(1-2/c2),またはμ=μ0/(1-2/c2)の拡張sion)になっています。

 

さらに前に求めた/c2=μ+(uτ)/c2,および={μ0+(τu)/c2}/(1-2/c2)を,このμ0=μ(1-2/c2)-(uτu)/c4と比較すると計算することなく,(uτ)(1-2/c2)=(τu)-(uτu)/c2なる恒等式が得られます。

閉じた系のエネルギー運動量テンソルTμνを閉じてない部分系に分ける方法は無数にありますが,特にμν=θμν+Sμνμν=μ0μνと分けてみます。

 

θμνは前には純力学的エネルギー運動量テンソルと表現しましたが,要するに運動エネルギー運動量テンソルのことです。

 

一方,Tij=τij+gij=τij+{μ0i0+(Ukτik0)/c2}(uj/c)=μ0ij+τij+(Uiτijj)/c2ですから,Sij=τij+(Uiτijj)/c2ですね。

また,Tk0=T0k=μ0k0+(Uiτik0)/c2=μ0k0-(Uiτik0)/c2よりSk0=S0k=(Uiτik0)/c2,T00=μ000+(Uiτikk)/c2=μ000+(Uiτikk)/c2により,S00=(Uiτikk)/c2です。

 

そしてTμνν=h0μ,かつθμνν=h0μであったので,SμνはSμνν=0 なる条件式を満たします。

 

特に,静止系ではU=(c,0)=U0μによって,S0ij=τ0ij,S0μ0=S00μ=0 です。

さらに,fμelast≡-∂Sμν/∂xνと置けばTμν=θμν+Sμν,および∂Tμν/∂xν=0 により,∂θμν/∂xν=fμelastなる運動方程式の形に書けます。

 

ただし静止系以外ではSij=τij,Sμ0=S=0 とはならないので,fμelast≡-∂Sμν/∂xνで定義した力の密度elastは,先に=-∫Στ()dσ,あるいはFi=-∫Στijjdσ=-∫Ω∂(∂τij/∂xj)dVからfi=-∂τij/∂xjで与えた弾性力密度と一般には一致しません。

そして,静止系ではfelast0μ=cf00elast=-c∂S00ν/∂xν=(-1/c)[∂(Uiτikk) 0/∂x0+∂(Uiτik0)0/∂xk]=∂(Uiτik)0/∂xk≠0 なので,任意の系でもfμelastμ≠0 となります。

ところが,一般的な運動方程式d0δV0μ)/dτ=fμδV0において,固有質量μ0δV0が保存される場合,すなわち,d(μ0δV0)/dτ=0 の場合には,運動方程式はμ0(dUμ/dτ)=fμとなって恒等的にfμμ=μ0(dUμ/dτ)Uμ=0 を満たします。

 

そこで,先に求めた式fμelastμ≠0 は,この弾性連続体の閉じた系では固有質量が保存されないことを示しています。

実際,運動方程式d0δV0μ)/dτ=fμδV0よりfμμδV0=Uμd(μ0δV0μ)/dτ=c2d(μ0δV0)/dτです。

 

または,力の密度ではなくミンコフスキーの4元力:FMμ≡fμδV0,および,固有質量m0≡μ0δV=[μ0/(1-2/c2)1/2]δV0(1-2/c2)1/2=μ0δV0=μδVによる表現で,FMμμ=d(m02)/dτを得ます。

そこで,FMμが通常のFMμ((M)/c,M)=((Fu)/{c(1-2/c2)1/2},/(1-2/c2)1/2)ではなく,Mμ≡=((M)/c+(Q/c)/(1-2/c2)1/2,M)=({(Fu)+Q}/{c(1-2/c2)1/2},/(1-2/c2)1/2)と表現される場合,

 

運動方程式:d/dt=,またはd/dτ=/(1-2/c2)1/2はそのままで,FMμμ=0 ではなくFMμμ={d(m02)/dτ)(1-2/c2)1/2=Q/(1-2/c2)1/2が成立します。

 

これは,Q/(1-2/c2)1/2=d(m02)/dτ,またはQ=d(m02)/dtを意味します。

 

運動方程式d/dt=,またはd/dτ=M/(1-2/c2)1/2だけでなく,その共変形dpμ/dτ=FMμも保持される,

 

つまり,FMμ((M)/c,M)=({(Fu)+Q}/{c(1-2/c2)1/2},/(1-2/c2)1/2)と表現してもなお,FMμの4元ベクトル性が保たれるとすれば,p0=E/{c(1-2/c2)1/2}なので,第ゼロ成分の式dp0/dτ=FM0はdE/dt=(Fu)+Qを意味します。

 

また,FMμμ=Q/(1-2/c2)1/2は,左辺が不変量なので右辺も不変量ですから,静止系=0 での量をQ0=Q/(1-2/c2)1/2と書けば,これも不変量です。

 

そして,先に得られた式d(m02)/dτ=Q/(1-2/c2)1/2,あるいはdm0/dτ=(Q/c2)/(1-2/c2)1/2は,dm0/dτ=Q0/c2とも書けます。

 

静止系では,τは時間tに等しいので,このdm0/dτ=Q0/c2は単位時間当りの力学的仕事A≡(Fu)以外に外部から受ける熱などの単位時間当りの非力学的エネルギーQ0がアインシュタインの関係m=E/c2で示される慣性質量Q0/c2を有することを示しています。

 

そしてQがゼロでない場合には,FMμ≡fμδV0で定義される力の密度fμも素朴なfμ=((fu)/c,)ではなくfμ({(fu)+q}/c,)で与えられfμμ=q/(1-2/c2)1/2=q0を満たします。

 

したがって,先にfμelast≡-∂Sμν/∂xνで定義した弾性力の密度fμelastによる不変量fμelastμも,これをq0elast=qelast/(1-2/c2)1/2とおいてfμelastμ=-(∂Sμν/∂xν)Uμ=q0elastと書けば,弾性力によって発生し連続体物質の質量の増加に寄与する非力学的エネルギー密度と解釈できます。

 

そして,静止系ではq0elast∂(Uiτik)0/∂xk≠0 と書けますから,qelastは確かに,相対応力(τij)によってなされる仕事率を示していることがわかります。

 

今日はここで終わりますが,このシリーズはまだまだ続く予定です。

 

参考文献:メラー 著(永田恒夫,伊藤大介 訳)「相対性理論」(みすず書房)

 

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2008年11月17日 (月)

将棋の日 (今日のテーマ)

BlogPet 今日のテーマ 将棋の日

「将棋の名前、駒、ルールを使った遊びは色々とありますが、あなたが好きなものはなんですか?」 

   と聞かれてつい反応しました。

 答はあなたのブログに書きます。とあったけど。。。

 そこには自分のブログ置いてなかったので??だったけど,

 ここ「TOSHIの宇宙」の意味だったのか?

 いやどうもパソコン音痴で。。。(汗々;^^;)

 このブログで飼っているブログペットの"ココロのページ"などには,めったにアクセスしないので不慣れでわからなかったのですね。。。

そうか「ココロ」はココログのペットだったから,ここなんだ。。。。

答)将棋は一応,アマチュアですが,町道場では参段か四段で指していた程度です。イヤほんと段なんかあってないようなもの。。。
 
 といっても昔パソコン通信の時代に偶然当時のニフティ名人の筆無精氏にRT将棋(リアルタイム将棋=現在のネットでは当たり前ですが当時はメール将棋がメインだったので珍しかった。。)で1回だけ偶然に勝って,それ以後一局もやってないとかで,恐らく相手が酔っ払ってたのでしょうが,こういうのは自慢ですね。
 
 ニフティの歴代名人というと,全国アマ名人もいますからね。
 
 段の話ですが名誉段などもあるようです。
 
 例えば五段とかいってもいろいろいて,娘さんが有名な歌人の俵万智さんで当時ある会社(信越化学かな?)の部長さんだった俵好夫五段なんかは,私とトントンでした。
 
 しかし,やはり有名人で森田将棋のmoritan(もりたん)さんなんかは,本当は五段以上なのでしょう。。
 
 数局しか遊んでもらったことがないけど,全然歯が立たなかった。。という記憶がありますね。
 
 あとは,まあ1,2度しかやったことはない北陸地方だったかの代表のJumeiさんとかは遊びでも歯が立ちませんでした。
 
 対局するだけなら,RTは当時やる人が少なかったので,元県代表や元アマ女流名人とかとも遊びでは,やっていたけど,もちろん戦績は芳しくありません。
 
 今の段はインフレですから,よくわかりません。。。
 
 でも今も可能だとは思うけれど,昔のリアルタイム将棋は今と同じく顔は見えないけど,ノンビリチャットでお話しながら指していたので,あまり殺伐とした雰囲気ではなかったですね。
 
 それでもメール将棋に比べ,RT将棋の人口が少なかったのは,課金,つまり今とは比べものにならないくらい通信に料金がかかったからです。
 
 電話料金が市内で3分10円で,通信の方がニフティですけど1分10円,つまり1時間つなぎっぱなしだとアクセスポイントが市内なら800円です。
 
 そして1200bps,とか2400bps(毎秒2400ビット)のスピードでしたが,チャットや対局には関係なかったです。
 
 今は雲泥の差なのに,今の方が対局時間の制限がきついですね。
 世間がせちがらくなっているんでしょう。
 
 まあ,それと当時はまだパソコン自体がマイナーな趣味で,その上通信までしている人というのはさらに少なく,まあ,だからこそ私のようにどこの馬の骨かわからない人間が比較的有名な人とも知り合えたのでしょうが。。。(虎の威を借る何とやらですね。。。)
 
 いずれにしろ,私はどうもこうしたゲーム(将棋をゲームというと怒る方もおられますが。。)に向いていないようで,現在は目的が勝つことでなくなってきています。
 
 ケンカ売られると負けるのがわかっていても買う性格なので,ダメです。
 王手をかけられて逃げたら勝ちの局面でも,「コノヤロー」とか思って逃げないとか論外の話です。。。「さあ,殺せ。。」って奴ですね。。。
 
 (イヤ将棋は王を詰めるゲームであって,取るゲームじゃないから王手で逃げないのは反則負けなんですね。
 
 ただ私の「さあ,殺せ。。」というのは自分が詰んでいて負けましたと投了するのがイヤだから逃げない。というのじゃなくて,逃げたら手がなくて,逆に"相手の方が確実に詰む=私の勝ちが決まっている"局面でも,そのときの気分で王様を取らせるという"悪質な?"ヤツです。。。
 
 いずれにしろ,今のネット将棋でもほぼ勝ちの局面だろうが時間切れになるくらいなら投了するっていうバカな性格ですから,ダメ人間です。。)

 将棋は引退かな。。。といってもプロじゃなし本格的に真剣な時期もほとんどなかったけど。。ダメですね。。
 
 別に負けても命取られるわけじゃないという気分だから,ジェンジェン勝てません。。。
 
 ただし,旧ニフティからこれだけは続いている年1回の夏合宿旅行には将棋以外にも出会いなどの楽しみがあるから,生きてる限り行きますよ。。。女流も大好きです。。。
 
 将棋というと関口勝雄先生にもまた会いたいなあ。。。「関口会」はまだあるのだろうか。。。
 
 昔「高田馬場道場」にいた席主だったのか.名前を知らなかった先生(田中先生?)や小野さんも懐かしい。。。
 
PS:ほんと,最近のネット将棋って殺伐。。。
 
 このところ王手飛車まではいかないけど,まだ序盤でこちらが決定的に勝勢になると5分くらい待っても指さないので相手確認するといない。。。
 
 投了の代わりにいなくなるって。。よく考えたものです。
 
 その将棋だけ指しているならイライラするでしょうね。。
 まあ,私なら相手が指さないと別のことやってる,
 
 特に仕事中以外ならテレビ見てるとか別のホームページ行って指した音が聞こえたら戻るとかすることが多いからいいけど。。。
 

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2008年11月15日 (土)

フーリエ級数のフーリエ積分展開(2)

 続きです。

  

 ここまでは,実はフーリエ(Fourier)級数とかフーリエ積分とかを中心としたもので,どちらかというと数学の話であり,量子論的考察を含まない展開でした。

 

 例えば,離散表示での単独のφk(x)は運動量演算子:p^=-id/dxの固有関数ではありますが,エネルギーの演算子H^の固有関数ではありません。

  

 あるエネルギー固有値E=p2/(2m)≡(kπ/L)2/(2m)に属するH^の固有関数解は端点で連続,つまりゼロになるという境界条件を満たすべきことから,kと-kの2つ運動量固有関数の差の形:2-1/2k(x)-φ-k(x)]で与えられ,これの波動関数は台の内部では,sin関数:(2/L)1/2sin(kπx/L)で与えられます。

 

 さて,量子力学ではエネルギーを表わす演算子であるハミルトニアンH^=p^2/(2m)+V^が理論の主役になります。

 

 量子力学の基本方程式を抽象ヒルベルト空間のケットベクトルで表現すると,これは時間を含む状態を示すベクトル|ψ,t>に対するシュレーディンガー(Schoroedinger)の波動方程式 i(∂/∂t)|ψ,t>=H^|ψ,t>になります。

 

 この方程式を形式的に解くと解は,|ψ,t>=exp(-iH^t)|ψ,0>になります。

 

 また,特に,変数分離解を仮定して|ψ,t>=|ψ>|t>とおいて方程式に代入すれば|ψ>(id|t>/dt)=H^|ψ>|t>となります。

 

 そこで,両辺に共通なある定数Eが存在してH^|ψ>=E|ψ>,i(d|t>/dt)=E|t>とおけることになります。

 

 これの後者からは,解が|t>=exp(-iEt)|0>なる形になることがわかります。

 

 変数分離解の表わす状態は定常状態と呼ばれ,時間発展因子|t>の部分について,<0|0>=1と規格化しておけば,この因子の寄与は干渉がない場合には検知できない単なる位相です。

 

 まあ,そういうわけで量子論的状態が時間に依存するにも関わらず,古典論で時間に依存しないことを意味する定常状態と呼ばれるのですね。

 

 一方,因子|ψ>の方はH^|ψ>=E|ψ>と書けば,これは|ψ>がH^の固有値Eに属する固有ベクトルであることを意味する固有値問題になりますが,これを定常状態のシュレーディンガー方程式と呼びます。

 

 ここで位置x^の固有ベクトルが存在すると仮定して,その時間tを含まない固有ベクトルを|x>とします。

 

 x^|x>=x|x>で|x>≠0 ですね。そして,これが連続スペクトルであって,完全系をなす。つまり∫dx|x><x|=1とします 。

 

 定常状態のシュレーディンガー方程式,H^|ψ>=E|ψ>の左から<x|を掛けると,<x|H^|ψ>=E<x|ψ>となります。

 

 これに完全系条件を挿入すると∫dx'<x|H|x'><x'|ψ>=E<x|ψ>です。ここで<x|ψ>は波動関数と呼ばれ,通常はψ(x)と書かれます。

 

 またH^は位置座標x^の行列要素として対角成分しか持たず,行列要素を陽に書くと<x|H^|x'>=<x|p^2/(2m)+V^|x'>=δ(x-x')(-id/dx')2+V(x')です。

 

 これから,[(-id/dx)2+V(x)]ψ(x)=Eψ(x)なる,普通の定常状態シュレーディンガー方程式の表現が得られました。

 

 p^を(-id/dx)で置き換えたのは,これが単に正準交換関係[x,p^]=iを満たすべきという量子化条件からで,もちろん,p^=(-id/dx)でなくp^=(-id/dx)+f(x)でもかまいません。

 

 一方,同じく運動量p^の固有ベクトルが存在すると仮定して,その時間tを含まない固有ベクトルを|p>とします。

 

 x^のときと同じように,p^|p>=p|p>で|p>≠0 です。これも連続スペクトルであって完全系をなします。

 

 つまり,∫dp|p><p|=1とすると∫dp'<p|H|p'><p|ψ>=E<p|ψ>です。

 

 そして,先の記事と共通の表現ではap=<p|ψ>であり,これを運動量波動関数と呼びます。

 

 x表示では<x|H^|x'>=<x|p^2/(2m)+V^|x'>=δ(x-x')(-id/dx')2+V(x')ですが,p表示では<p|H|p'>=<p|p^2/(2m)+V|p'>=δ(p-p')p'2/(2m)+<p|V|p'>です。

  

 ここで,<x|V|x'>=δ(x-x')V(x')でしたから,<p|V|p'>=∫dx1dx2<p|x1><x1|V|x2><x2|p'>=∫dx1<p|x1>V(x1)<x1|p'>と書けます。

 

 ところが<x|p^|x'>=δ(x-x')(-id/dx')で,かつp^|p>=p|p>なので,<x|p^|p>=p<x|p>より,∫dx'δ(x-x')(-id/dx')<x'|p>=p<x|p>,つまり(-id/dx)<x|p>=p<x|p>が得られます。

 

 この方程式を解くと,<x|p>=cexp(ipx)です。これは一般解でc=0 の場合,つまり<x|p>=0 も解ですが,固有関数という場合にはゼロ解は含みません。

 

 さらに,∫dx<p'|x><x|p>=<p'|p>ですが,<p'|p>=δ(p-p')により|c|2=(2π)-1ですから,cが実数になるように係数の位相を決めてc=(2π)-1/2とすれば,<x|p>=(2π)-1/2exp(ipx)となります。

 

 したがって,結局<p|V|p'>=∫dx<p|x>V(x)<x|p'>=(2π)-1∫dxV(x)exp{-i(p-p')x}=Vp-p'となります。ここに,VpはV(x)のフーリエ変換です。

 

 そこで,p表示でのシュレーディンガー方程式は,{p2/(2m)}ap+∫dp'Vp-p'p'=Eap,または∫dp'Vp-p'p'={E-p2/(2m)}apと書けます。

 

 ここまでずっと,pについても連続変数の表記をしてきましたが,もしもp^の固有状態が離散的:{|pk>}k=0,±1,±2,..,p^|pk>=pk|pk>(k=0,±1,±2...)であって,完全系条件としてΣk|pk><pk|=1を満たす場合,固有ベクトルの正規直交性は<pk|pj>=δkjで与えられます。

 

 このとき,Σk|pk><pk|=1から,|ψ>=Σk|pk><pk|ψ>ですから左から<x|を掛けると,<x|ψ>=Σk<x|pk><pk|ψ>が得られます。

 

 そして,今対象としている閉じた箱の系の場合なら,<x|pk>=φk(x)であり,pk=kπ/Lです。

 

 また,<x|ψ>=ψ(x)=2-1/2k(x)-φ-k(x)]=(2/L)1/2sin(kπx/L))](-L/2<x<L/2),=0 (|x|>L/2)の場合の状態のケットベクトル表現は,|ψ>=2-1/2[|pk>-|p-k>]です。

 

したがって,x表示とかp表示とか,またはその他の演算子による表示には全く関係なく,p^|ψ>=2-1/2[pk|pk>-p-k|p-k>]であり,p^n|ψ>=2-1/2[pkn|pk>-p-kn|p-k>]となります。

 

 そこで,p^nの期待値は,<ψ|p^n|ψ>=2-1[<pk|-<p-k|][pkn|pk>-p-kn|p-k>]=2-1(pkn+p-kn)で与えられ,p-k=-pkなので<ψ|p^n|ψ>=pkn{1+(-1)n}となるわけで,nが奇数ならゼロなんですね。

 

 この期待値の表現は,もちろん表示にはよらないわけですが,もしもx表示なら,∫dx|x><x|=1により,∫dxψ*(x)(-id/dx)nψ(x)=2-1∫dx{φk*(x)-φ-k*(x)}{pknφk(x)-p-knφ-k(x)}=2-1(pkn+p-kn)と書けます。

 

 一方,p表示なら,連続スペクトルだと∫dp|p><p|=1により,∫dpap*np=2-1∫dp(apk*-ap-k*)(pknpk-p-knp-k)=2-1(pkn+p-kn),離散スペクトルだとΣk|pk><pk|=1,および<pj|ψ>=2-1/2j,k-δj,-kn)により,Σj2-1/2(pjnδj,k+pjnδj,-k)=2-1(pkn+p-kn)となります。

 

 結局,量子力学の定式化だけを粛々と進めれば,人間がどう考えようと本来無問題だったのです。

 

 というわけで,結局,問題となるのは,前記事で書いたように,等式変形で書いてきた両辺の計算が,結果的に何故食い違うかということだけに尖鋭化され集約されました。

 

 ではお待たせの結論です。誰も待ってないか。。。

 

 単刀直入ですが,実はφk(x)=∫-∞pχp(x)dpと書けるという仮定が間違っていたのですね。

  

 χp(x)=(2π)-1/2exp(ipx)なのですが,x<-L/2,x>L/2の領域ではφk(x)=0 なることを上の等式で表現することは不可能です。

 

 すなわち,例えばx=c>L/2と固定すると,上の等式はφk(c)=∫-∞pχp(c)dp,つまり 0=(2π)-1/2-∞pexp(ipc)dpとなりますが,これはほとんど全てのpに対してap=0 を意味します。

 

 疑うなら逆変換ap=(2π)-1/2-∞ 0 exp(-ipc)dcのようなものを想像してみてください。

 

 もちろん,より超関数的なもので反例を探してもいいですが,そうした特別なものを想定しなくても,ap≡0 であることを認めて以下の議論で矛盾はありません。

 

 そしてap≡0 とすると,x<-L/2,x>L/2で 0=φk(x)=∫-∞pχp(x)dpが満たされますが,逆に-L/2<x<L/2の台の上でφk(x)=∫-∞pχp(x)dpが成立しなくなります。

 

 以上から,台を持つ単一波長の定在波も台のない自由波で展開される,言い換えるとフーリエ級数もフーリエ積分も同時にできると考えたのは間違いであったということになります。

 

 したがって,離散的なフーリエ展開での運動量波動関数,すなわち,p=pjなら,ap=<pj|ψ>=2-1/2j,k-δj,-kn),それ以外のpではap=<p|ψ>=0 という表現,と連続的な展開での運動量波動関数:ap=<p|ψ>の表現の両立は不可能です。

 

 元々何も想定せずに連続定式化をすることから,場合によっては離散運動量が必然的になるということを数学として演繹的に導くことはあきらめ,物理的考察から台のある系では最初から離散的扱いしかできないということを考慮して理論展開するしかないようです。

 

(以上。。。今度こそ完全に終わりです。)

 

PS:甘泉法師さんのコメントを見て,少し考え直してみました。

 

 別に自分自身が神の如く絶対的に正しいと思い上がっているわけもなく(そもそもかなりオッチョコチョイです),また自然科学は文科系の何かのように論争の勝ち負けで決着が付くというものでもありませんから,ふと思いついたときにしばしば考え直したりします。

 

 さて 0=(2π)-1/2-∞pexp(ipc)dpとするには超関数を使ってもいいなら,例えばap=(1/2)[δ(p-π/c)-δ(p+π/c)]のようなものならO.Kですね。うーむ。

 

 これでも,ほとんど全てのpに対してap=0 というのは確かに正しいです。

 

 もちろん,φk(x)=∫-∞pχp(x)dpにap=<χpk>={2/(πL)}1/2sin(Lp/2-kπ/2)/(p-kπ/L)を代入して,ちゃんと全てのx∈(-∞,∞)でこれが成立するなら問題ないのですが。。。

 

 あ,あまり真剣に計算しなかったので前の結論になったのですが,どうやら計算してみるとこれ自身は成立します。

 

 だったら"台を持つ単一波長の定在波も台のない自由波で展開される,言い換えるとフーリエ級数もフーリエ積分も同時にできると考えたのは間違いであったということになります"と書いたのが間違いで問題は別の式ですね。

  

 ここまででも最初から1つずつ式を検証してたどりついた道なのに,また戻るのはメンドクサいという気がしますが。。

 

 うーむ,別にx表示だと良くて,p表示だとうまくいかないなら,それはp表示への変換がうまくユニタリ(量子論)になってないだけで,x表示の答だけで十分じゃないかとも思います。

 

 いやいやちゃんと考えましょう。。

 

 そうかそうか,結局φk(x)=∫-∞pχp(x)dpの被積分関数apχp(x)はpの関数として二乗可積分の空間に属していますが,両辺をxでn回微分した形式的等式:(-id/dx)nφk(x)=∫-∞pnχp(x)dpはnが大きくなると,そもそも被積分関数apnχp(x)が明らかに二乗可積分じゃなくなるので,右辺だけ発散して等式が成立しなくなりますね。

 

 これが原因だったのですね。やっと終わりましたはんどるさんとの長い議論はこれだったのでしたか。。

 

 まあ,いずれにしても,左辺のx表示(-id/dx)nφk(x)は生きていて,<p^n>=∫dxψ*(x)(id/dx)nψ(x)=2-1(pkn+p-kn)という結論に変わりはありません。

 

(失礼しました。。ワールドカップ予選日本対カタールをTV観戦しながら。。)

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2008年11月14日 (金)

久しぶりに芝居を観に行きます。

 他人の悪口を言うくらいの趣味しかない無教養な頭(これは昔同じカマの飯を食べていた奥野先輩によく言われていたセリフですが。。)で,いろいろと考えすぎて知恵熱が出たらしく,偏頭痛がします。。。イタタタ。。。

 ところで,明日は,久しぶりに,私の先輩の友人で新宿ゴールデン街の「ゲットー」の元マスターで演出家の高橋征雄氏の作・演出「夜の滝」というのを神楽坂に見に行く予定です。

映画「カッコーの巣の上で」のパロディか何からしいですね。。。

 最近はいろいろな意味で余裕がなくて,そうしたものには行けませんでしたが,もう先も長くないし受動的な楽しみで経験できるものなら何でもやっておこうと思います。

 彼(高橋氏)の作品を最後に観たのは確か数年前,新橋ででしたね。。。

 それは亡くなる前の草薙幸二郎氏と草薙良一氏が共演した珍しいものだったと記憶しています。。 

 もっと前なら「螺旋階段」とか「水の中のナイフ」とかいろいろ見ましたが,若かったので出演者や大道具小道具などのスタッフなんかと観劇後の打ち上げなんかで飲んだという記憶もあります。

 こういう比較的マイナーな演劇を観るという趣味は30年以上も前の学生時代に主催は寺山氏だったか唐十郎氏だったか忘れたけど黒テントなど前衛劇団がドサまわりでやってきたときに観たことから始まったものです。

 当時,こうしたものは学生にとってファッションだったし,誘われて見栄もあって観ただけだったのですが,意外に面白かったので,まだ続いている趣味の1つですね。

 まあ,東京に出てきて10年前後の当時は勤務していた会社の先ほど述べた先輩の弟さんが,それらに出演していたということもありますが,若い頃はその他にも新桜台で麿赤兒氏主催の前衛舞踊「大駱駝鑑」にも誘われて何度か通ったことがあります。。

 別口ですが当時ちょっとだけ付き合いのあった女性が準主役で出演していたとかで渋谷ジャンジャンなどで劇団「銅鑼」の公演なども見ましたね。

 (彼女はボーカルもやっていてビリー・ジョエルの唄「オネスティ-」は彼女の関係で覚えたという記憶があります。

 さっきホームページで見たらまだいるらしい。。

 ヤバイからあまりバラすのはやめとこう。

 もっとも私のブログなど関係者は誰も見てないとは思うけどね。

 そうそう渋谷で観たのは難破して無人島へ行くとかいうストーリ-の「あっぱれクライトン」だったかなあ。。

 あとで「水戸黄門」みたいだったとか感想言うと真剣に怒っていたのはこれだったかな。。。

 うん,写真は歳は食ってるけど,自分の道を歩んでいて幸せそうな顔だ。。)

 まあ,全体に舞踊も含め観たものは喜劇であったことが多いですが。。。

 実は古いマイミクの独身時代は,関西にいた女性友達の中に観劇が趣味という方もいましたが何故かその種の話はしたことがありませんでしたね。

 今回も昔も観に行くのは常にひとりですが,寂しいから,誰かを誘ってみようかなあ。。。 

PS:さっそく「忙しいから」と第一候補に断られました。。。

 結局,前売り券でも3500円だしお金が乏しいので誘うのは第一候補だけでやめました。。。。

 高橋征男さんには珍しく?シリアスでもう少しで涙が出るところでした。。。

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2008年11月13日 (木)

フーリエ級数のフーリエ積分展開(1)

かつて「箱の中の粒子の運動量について(決着版)」(2008年9月10日)を書いたものをまたまた蒸し返すようですが。。。もっとうまい説明はないものか。。。と反芻してみました。

 

この問題に関連した話ですが,甘泉法師さんのときどき口にする疑問?:"ハミルトニアンの固有値,つまりエネルギーが無限大じゃなぜ悪いのか?"とか言うようなことについては私もついていけない話ですからこれはここでは考えません。

 

こういうのは,あもんさんの得意な言葉である「ピグマリオン症」ではないけれど物理学以前の話ですね。

 

"無限大"という"数"は,どんな数(実数)よりも大きい実体であることを意味する概念であって,実際にエネルギーだとどうやって測定評価するのかわかりませんが,少なくとも観測可能な物理量を測定してその値が無限大であるということはありません。

 

固有値に上限がないと言っても,それは,エネルギー固有値としてE=∞を代入してもいいということではないです。

 

(考えるのは自由ですが,論理的整合性があっても想念で生み出した抽象的概念が必ずしも物理学の対象とする実体であるとは限りません。

 

アリストテレスの形而上学の時代ではないですから,表象世界といえども実証科学では,座して沈思黙考するという純粋思惟だけで全てが理解できるというわけでもありませんし。。。)

まあ,問題は"剛体ポテンシャル=無限大障壁"なので,固有値問題の式における演算子(作用素)の方が無限大に成り得るというような話です。

 

固有値が無限大で,固有ベクトルがゼロというような話にも発展し得ますが,そもそも数学の定義では,固有ベクトルというのは"ゼロベクトルでないもの=つまり長さを1に規格化可能なものである"です。

 

そもそもゼロベクトルを固有ベクトルの仲間に入れたとしても,それは量子論では確率としてゼロの寄与しかしない波動関数に相当します。

いずれにしろ,ゼロベクトルというのは物理的に無意味です。これなどはあってもなくても関係ないものですね。。。

 

りゃあ,まあ量子力学だから,ポテンシャル障壁がいくら高くてもトンネル効果とかで浸み出すことはあるでしょう。

 

しかし,非常に堅い金属とかコンクリートとか,ほぼ剛体の壁を持つ箱に閉じ込められた粒子を問題にするとき,粒子が箱の外にある波動関数の値がほぼゼロであろうと考えることに,なぜ抵抗があるのかが私にはわかりません。

 

常識というのは,物理では頑固ではいけないものでしょうけど,常識で考えて非常に堅固なものに閉じ込められているものが自然に外に出られる確率は限りなくゼロに近いでしょう。

 

動物園にいるライオンが,ひとりでに檻の外に出られる確率もゼロではないですが,今までの宇宙の年齢の間に1回も有り得ないようなトンネル効果でライオンを怖がることはないでしょう。

 

もちろん,数学であれば例えば複素関数論にも複素平面上のどこだか指定はできませんが無限遠点というのを考える必要があり,これはz= ∞ をそのまま考えるという意味ですが。。。

 

かつては整数の全ても実数の全ても2進数として表現できて,2nはnが無限大までずっと数えられる整数に対応できるから,2の可算無限乗個も数えられるんじゃ?と疑問を持ったこともありました。

 

しかし,この場合は2nの肩のnを実際に無限大,つまりn=可算無限(アレフ・ゼロ)とおくことを意味するので非可算です。

 

これも,物理学での固有値問題とは違いますが,これらはあくまでも数学,特に抽象数学の話です。

 

※また,ちょっとここでは関係ない話で思ったことでなんですが,運動量,角運動量,特に力学的なそれらが保存しない例として,オイラーラグランジュ方程式がニュートンの運動方程式と一致するというだけで,相互作用がない場合に運動エネルギーに帰するとか,示量変数の要件である相加性さえ満たさないものを持ち出されてもついていけません。

  

運動量,角運動量が保存しない例を出すだけなら,統計力学の対象である巨視的個数の粒子が容器内に閉じ込められているようなものでも十分ですが,保存しないのは別に時間変数とは関係ありません。※

  

さて,表題のトピックに入りますが,問題の主要なポイントは関数f(x)は,それが有界な台を持つ場合でもフーリエ(Fourier)級数展開だけでなく連続スペクトルのフーリエ変換として積分展開もできるということにあります。

 

例えば,f(x)はx<-L/2,x>L/2では恒等的にゼロ,つまり[-L/2,L/2]という有界な台(support)を持つとします。

 

これは,周期がLの直交する三角関数系{sin(kπx/L)}(k=1,2,..),および{cos(kπx/L)}(k=0,1,2,..)により,チェザロ和(Cezaro-sum)の意味でフーリエ級数に展開されます。

 

すなわち,-L/2<x<L/2では,f(x)=a0/2+Σk=1[akcos(kπx/L)+bksin(kπx/L)]と書けます。

ただし,系の直交性∫-L/2/2cos(kπx/L)cos(lπx/L)dx=(L/2)δk,l,∫-L/2L/2sin(kπx/L)sin(lπx/L)dx=(L/2)δk,l,∫-L/2L/2cos(kπx/L)sin(lπx/L)dx=0 を考慮し,

 

右辺の級数の係数をak=(2/L)∫-L/2L/2f(x)cos(kπx/L)dx,bk=(2/L)∫-L/2L/2f(x)sin(kπx/L)dxで定義します。

 

また,境界の点x=±L/2では,f(x)=a0/2+Σk=1[akcos(kπx/L)+bksin(kπx/L)]は一般に成立してなくて,{f(x-0)+f(x+0)}/2=a0/2+Σk=1[akcos(kπx/L)+bksin(kπx/L)]となります。

 

もちろん,f(x)が境界でも連続であって{f(x-0)+f(x+0)}/2=f(x)(x=±L/2)なら,境界点も含めて同じ式で展開されます。

そして,今はf(x)は台[-L/2,L/2]を持つ関数なので,f(x)を(-∞,∞)で定義された関数として,係数をak=(2/L)∫-∞f(x)cos(kπx/L)dx,bk=(2/L)∫-∞f(x)sin(kπx/L)dxと書くこともできます。

 三角関数を用いた表現は煩わしいので,cos(kπx/L)=(1/2)[exp(ikπx/L)+exp(-ikπx/L)],sin(kπx/L)={1/(2i)}[exp(ikπx/L)-exp(-ikπx/L)]を,f(x)=a0/2+Σk=1[akcos(kπx/L)+bksin(kπx/L)]に代入してみます。

すると,f(x)=a0/2+Σk=1[(ak/2-ibk/2)exp(ikπx/L)+(ak/2+ibk/2)exp(-ikπx/L)]となります。

そこで,f(x)=Σk=-∞[ckexp(ikπx/L)]と書き,ck≡ak/2-ibk/2=(1/L)∫-L/2L/2f(x)[cos(kπx/L)-isin(kπx/L)]dx(ただしb0=0),つまりck≡(1/L)∫-L/2L/2f(x)exp(-ikπx/L)dx,またはck≡(1/L)∫-∞f(x)exp(-ikπx/L)dxとすると扱いやすい表現式になります。

 

この展開では,完全系をなす直交関数系は三角関数ではなく{exp(ikπx/L)}(k=0,1±1,±2,..)です。

そして,この場合の関数の直交性は∫-L/2/2exp(ikπx/L)exp(ilπx/L)dx=Lδk,-lです。

 

必要なら,{φk(x)}(k=0,1±1,±2,..);φk(x)≡L-1/2 exp(ikπx/L)と定義して,直交性を∫-L/2L/2φk*(x)φl(x)=δk,lと書いて正規直交系とすることもできます。

この新しい表記法では,f(x)=Σk=-∞kφk(x)],αk≡∫-∞φk*(x)f(x)dxとなります。

 

一般に関数χとψのユニタリ内積を<χ|ψ>≡∫-∞χ*(x)ψ(x)dxで定義するなら,αk=<φk|f>です。

 

しかし,直交性∫-L/2L/2φk*(x)φl(x)dx=δk,lは,これだけでは<φkl>=δk,lとは書けません。

 

しかし,φk(x)≡L-1/2 exp(ikπx/L)も,(-∞,∞)全体で定義されていて,台[-L/2,L/2]を持つ関数であると考えれば,この直交性も<φkl>=∫-∞φk*(x)φl(x)=δk,lと表現できます。

ところで,f(x)が(-∞,∞)で定義された台[-L/2,L/2]を持つ関数の場合,これがf(x)=Σk=-∞kφk(x)],αk≡∫-∞φk*(x)f(x)dxとフーリエ級数展開できるのはもちろんですが,これはフーリエ変換によってフーリエ積分にも展開できます。

 

これが厄介なのですね。こうした台を持つ特定の定まった波長を持つ波でさえ,あらゆる波長の波の重ね合わせとしても書けるという困った話がこの問題の根っこであると思います。

問題のフーリエ積分の話では,面倒なので最初から三角関数ではなく指数関数でのスペクトル展開として,f(x)=∫-∞pχp(x)dp;χp(x)≡(2π)-1/2exp(ipx)と書きます。

 

関数系の直交性は,<χpq>=∫-∞χp*(x)χq(x)dx=δ(p-q)です。この結果,ap=<χp|f>=∫-∞χp *(x)f(x)dxとなります。

そこで,Σk=-∞kφk(x)]=∫-∞pχp(x)dpと書けます。

 

例えば,左辺の関数をある1つのkのαkだけが1に等しい以外は全てゼロの場合は,φk(x)=∫-∞pχp(x)dpです。

 

(もしも,閉じた1次元の箱の中のように,左辺のΣk=-∞kφk(x)]がkと-kの2つ以外がゼロの正弦(sin)関数の場合なら,これは2-1/2k(x)-φ-k(x)]ですね。)

[L/2,L/2]では,φk(x)=L-1/2exp(ikπx/L)ですから,φk(x)=∫-∞pχp(x)dpなる展開の右辺の係数はap=<χpk>=∫-∞χp *(x)φk(x)dx=(2πL)-1/2-L/2L/2exp{-i(p-kπ/L)x}dxです。

 

そこで,もしもL→ ∞ ならap=(2π/L)1/2δ(p-kπ/L)(L→∞)となって,apはpの関数としてp=kπ/Lに鋭い無限大のピークを持つ完全な線スペクトルとなります。

 

L→ ∞ の極限では,pには全く線幅がなくpはkπ/Lに確定して,それ以外の値は取り得ないという意味になるわけです。

しかし,実際にはLは有限ですから,ap=<χpk>=∫-∞χp *(x)φk(x)dx=∫-L/2L/2χp *(x)φk(x)dx=(2πL)-1/2-L/2L/2exp{-i(p-kπ/L)x}dx={2/(πL)}1/2sin(Lp/2-kπ/2)/(p-kπ/L)です。

 

これの右辺は確かにp=kπ/Lに鋭いピークを持ちますが,デルタ関数ではないので,無限大ピークの線スペクトルではありません。

pを運動量波動関数と考え,|ap|2dpが運動量がpを取る確率測度であると考えても,それはp=kπ/Lにピークを持ち両側に対称で緩やかに減衰してゆく関数であり,pについて有限な台を持つわけでもなくp→±∞までの幅を持つ関数です。

これは何を意味しているのでしょうか?

 

有限な台を持つ関数φk(x)=L-1/2exp(ikπx/L)=L-1/2[cos(kπx/L)-isin(kπx/L)](-L/2<x<L/2),=0 (|x|>L/2)の意味するものは,境界条件を工夫すれば長さLの箱に閉じ込められた固定端があって波長がλ=2L/k(k=1,2,..)の値に限られた定在波,または定常波ですね。

 

一方,同じ関数をφk(x)=∫-∞pχp(x)dpと書いたとき,これの意味するものは,上記の閉じ込められて波長が一定値λ=2L/kの定在波を,全く閉じ込められていない自由平面波の重ね合わせとして表現することも可能であるということです。

 

そして,重ね合わせの個々の成分波としては,この定在波と同じ波長の自由波成分の寄与が最大ですが,それだけではなく,あらゆる波長の自由波が重ね合わせ成分として寄与します。

現実に,調和解析,スペクトル解析では,こういうことは常識ですから,もちろんこれにも意味があります。

 

(あっと,この常識はシャノンの定理(Shannnon's theorem)に関する話のように,台があるというよりも台の外では周期関数になっていて折り返しノイズが発生するという話だったかも知れません。

 

台の外の成分をすぱっとカットするのは,ローパスなどのフィルターを入れる話だったかな?(→ 2006年,11/10の記事「シャノンのサンプリング定理」,11/11の記事「折り返しノイズ 」)

では,実際のバイオリンなど楽器についているような共鳴箱のように,箱の大きさで規定された定在波において,波長と同定されている離散的な量は実は音として単一音を示しているわけではないのでしょうか?

 

上記のように,離散的な最大成分を持つけれども,無限大の共鳴箱の定在波の重ね合わせの多重合成音としての意味しかないという方が正しいのでしょうか?

量子論で運動量とされているp=-id/dxをφk(x)=∫-∞pχp(x)dpの両辺に作用させて見ます。

 

すると,左辺は(-id/dx)φk(x)=(kπ/L)φk(x)(-∞<x<∞)と書けます。

 

一方,右辺は∫-∞p(-id/dx)χp(x)dp=∫-∞ppχp(x)dpですね。

 

これは,(-id/dx)φk(x)=(kπ/L)φk(x)=∫-∞ppχp(x)dpを意味します。

 

これを繰り返せば,(-id/dx)nφk(x)=(kπ/L)nφk(x)=∫-∞pnχp(x)dpと書けますね。

これに左からφk*(x)を掛けて(-∞,∞)の区間でx積分すると,期待値を与える式として,<(-id/dx)n>=∫-∞φk*(x)(-id/dx)nφk(x)dx=(kπ/L)n-∞φk*(x)φk(x)dx=∫-∞dxφk*(x)∫-∞pnχp(x)dpを得ます。

 

φk(x)は∫-∞φk*(x)φk(x)dx=<φkk>=1と規格化されていますから,上の等式は<(-id/dx)n>=(kπ/L)n=∫-∞dxφk*(x)∫-∞pnχp(x)dpとなります。

 

これはまあ,左辺の座標表示だけなら素朴なシュレーディンガー(Shoroedinger)の量子力学での物理量の期待値の表現そのものですね。

 

-∞φk*(x)χp(x)dx=ap*なので,上式の最右辺は-∞p*npdp=∫-∞n|ap|2dpとなります。

 

この連続なp空間の描像では,確かに|ap|2をpに対する確率密度(つまりapを運動量波動関数)と解釈できます。

 

いずれにしても,<(-id/dx)n>の期待値が(kπ/L)n=∫-∞n|ap|2dpとなることは,これまで展開してきた手順を追っていけば式としては無問題ですね。。。

 

ここまでは,全く矛盾がないように見えるので,ここで終わっていればどちらの見解という議論もなかったのですね。観測結果として同じであれば両者OKでしょう。

 

というわけで,一旦ここでペンディングにしたのでした。。。

 

ところが,これが無問題でなかったのがfolomyでの論争ですね。

 

計算上はこうなるはずというのは,これまでの式展開を見れば明らかなのですが。。。

 

実際に,期待値を示す等式の右辺の方の運動量表示の積分表示式∫-∞n|ap|2dp={2/(πL)}∫-∞dp[pn{sin2(Lp/2-kπ/2)/(p-kπ/L)2]の計算を実行すると,(kπ/L)nとならず,ときには発散するという結果になります。

 

もしもこの計算結果がちゃんと(kπ/L)nに一致していて矛盾が起きなければ,パウリ(Pauli)本とかランダウ(Landau)本とかは関係なく,少なくともfolomyでの論争は,もっと小さいものだったはずです。

 

では,演繹的に同値変換のみで進めてきたつもりの式展開のどこが間違いで,等しい値であるべき等式の食い違いが生じたのでしょうか?

 

これが,直ちにわかっていれば,そもそもこうした迷路に入ることはなかったのです。。。

 

まあ,この展開では式の数は多くないので,解決するには,最後の式は別にして,どの等式変形が実は同値変形ではないのか?をチェックするだけでいいのですが。。

 

そもそも,フーリエ級数,フーリエ変換はチェザロ和(強収束=ノルム収束),あるいは2乗可積分関数の展開においてのみ意味があり,ノルムが|2=<f|f>=0 なら,f=0 であるという意味は,測度がゼロの集合を除いて(ほとんど至るところで)f(x)=0 が成立するという意味ですね。

 

実際,指数関数exp(ipx)を(-∞,∞)で積分するとどうなりますか?

 

まあ,積分展開表示の両辺で,微分が許されるかどうか?

 

例えば級数展開式なら微分記号と積分記号の交換が許されるのは収束が一様収束というのが十分条件です。

 

そもそも級数展開式なら収束しないせず発散するような収束半径の外であれば,見かけ上正しい展開式に見えても等式は成立しません。。。

                   (つづく)

 

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 「TRS健康ランド」では2008年1月10日よりお徳用SCS500mlを新発売!!当店の専売です。

 そこのお酒のみの方,いろいろと飲食の機会の増えたあなた,悪酔いを防止すると言われているウコンがいいですよ!! そして特に今回提供する沖縄原産の純粋な黒ウコンは当店が専売の新製品ですが古くから沖縄地方ではいわゆる男性の力に効果があると言われています。

 おやおや,そこの静電気バチバチの人、いいものありますよ。。。

 それから農薬を落とした後の皮がピカピカに光っているリンゴなど商品として販売する際の見栄えをよくするなどのために化学処理をした食品を安全に洗浄する新商品の洗浄液SCSはいかがですか。。。農薬ジクロルポスも食品専用の洗浄液SCSで落ちて安全になります。(厚労省試験済み)

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20万アクセス

 あ,気がつかないうちにカウンターが20万アクセス越えてる。。。

 最近は平日なら300~500アクセス/日なので,おそらく昨日か今日到達したのでしょう。

 実は何故だかわからないけど外に表示しているカウンターの数は管理している本当のカウンターの数よりも300程度小さいのですね。

 したがって,今見た外のカウンターが200272なのに対して,丁度この記事を書いている内部のカウンターは200600を越えています。

 10万アクセスが2007年12月26日ですから,それから1年経っていません。

 今年はあと48日です。ということは322日で10万?丁度1日平均300アクセスですね。。。

 ブログ開設は比較的遅くて2006年3月20日ですから,10万までは1年9ヶ月だったのに,それから僅か11ヶ月半でプラス10万ですから,倍くらいのペースに加速されていますね。

 まだまだアクセス数が増えているみたいなので,たった1日でも私の1年分のアクセス数を越えたりギネスにも乗るような芸能人など有名人のブログにはかなわないけど,生きているうちに一応の目標としていた100万アクセスまでは到達できるかも。。。。

 皆様ありがとうございます。。。。

 ブログを初めた頃は張り切っていたせいか1日に1つか2つも記事を書いていましたが1日当たりのアクセスはやっと2桁くらいでしたね。。。

 今は重い科学記事だと,ワープロのA4用紙で1記事当たりの平均6ページ以上ですから,まあ3日に1つくらいしか書けませんが,それにしては宣伝もしないのにアクセスが伸びているようで,コメントを頂くこともそうですが,また記事を書き続けていこうかな。。という動機になっています。

 これからもよろしくね。。。

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珍しくもまたタダ酒

 一週間に二回もタダ酒は珍しいんだけど今度は2つか3つ年上の女性におごって貰いました。

 巣鴨で行きつけの巣鴨1丁目の「若大将」という店から夜中の1時半に電話がかかってきて,その店はマスター1人しかいないんだけど,「今チャコちゃんが来てるから来ない?」とか言うので女好きの私はすぐに行きました。

 チャコちゃんに会うのも半年ぶりくらいかなあ。。。。

 彼女は千石4丁目の「チャチャ」という店のママで小池百合子さんにそっくりで自称小池さんより若いと言うのですが,自分の店が終わって友達?の店に飲みに来たらしく,既に完全に出来上がっていて「べらんめえ」口調になっていました。

 さすがの私もついていけなかったんですが,「男同士?でもう一軒行こうぜ」って言うので,近くの「セイコ」という店に行って「若大将」のマスターも一緒に朝4時まで飲みました。

 そこは私には初めての店だしママと女の子2人がいたけど,何故かほとんど相手してもらえませんでした。

 経験上こうした場合は2パターンあって1つは相手をしても面白くない奴だとか,いかにも貧乏人で2度と来てくれそうにないという場合と,旦那とかパパとかと勘違いされた場合です。。

 まあタダ酒で自分の中では楽しかったのだからどっちでもいいけど。。。

 パパって顔じゃないから前者かなあ?。。。 

 しかし内輪で知り合いの同業者だけを接待しても楽しいかもしれないけど商売としてのメリットは少ないと思うのですがね。。。。

 あと最近の別の日の話ですが巣鴨では2件目の体験だけど初めて入った店で偶々他に知り合いがいたので入れてくれたけど実はフリーの客(いちげんさん)はイヤイヤだったということがありました。

 誰でも最初は"いちげんさん"だし,私は客としては見かけほどキモイ奴ではないと思うのですが。。。。

 まあ,天地真理を例に出しては悪いでしょうが,私も外見上は20年前くらいとすごいギャップがあり,身内以外に昔の写真を見せても目以外には面影はまったく感じないと言われます。

 でも私自身は鏡を見ない限り,意識は20年前と同じなので外から見るとギャップでしょうね。

 常に鏡を見ながら行動すればガマの油ではないけど恐らくテンションは最低になっていくでしょうネ。。

 というわけでいちげんの見かけではオーラのかけらも感じない。。

 というのが正解でしょう。。。

 いずれにしても今はこの業界,客を選ぶほどの殿様商売はできないはずなので他に金の成る木=パパ?でもいるのかな。。

 邪推する奴もキモイけど。。。

 というわけで酔っ払って帰ってきた頭で書いています。。。

 さあ寝よっと。。。

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2008年11月10日 (月)

白夜行(東野圭吾)

 東野圭吾については,以前は人気作家であることさえも知らなかったのですが,今年の4月末,偶々ゴールデンウィークだから何か1冊くらい娯楽的な小説でも読もうかと思って近くの書店に平積みにしてあった「流星の絆」という小説を何気なく買って読んだのが初めてでした。

 それについては,2007年5月9日のブログ記事「流星の絆(東野圭吾)」に書きましたが結末にやや不満が残りました。 

 しかし,それをきっかけにしてもっと前の作品も読もうという気になりました。

 次には,2007年9月22日に「宿命」という小説を読んで完成度に感心した。と書きました。(「9/22 宿命(東野圭吾) 」参照)l 

 で,今回も閑はあるけど金がなく,間食が好きで買い物中毒なのに,そうしたことは何もできないしので,昔買って読みかけていたけど,物語が終わるまで十何年も経過し場面と登場人物も多様すぎて途中でモチベーションを失いかけていた「白夜行」を持ち出してきて,一気に最後まで読みました。

 最後の方で終わりが想像できたので読み切れました。

 整合性は取れているし,ネタバレになるかもしれませんが殺された人間の嗜好が私の変態趣味に近いというのもありましたが,何か「宿命」と似た匂いを感じました。

 人生が幼い頃のトラウマに支配されていくというのは「流星の絆」もそうですから作者自身のテーマなのでしょうか?

 長編なので冗長になるのは仕方ないと思いましたが,伏線のような意味では不必要なものはないという感じではあります。

 プロットとしては伝奇物ではないけど何かそういうものを感じました。

 もう1つか2つ,このラインに乗った彼の小説があるらしいですね。

 ところで,小説を読んではいませんが,丁度,「探偵ガリレオ」とか「容疑者Xの献身」とかに続いて,観てはいませんが「流星の絆」もドラマになって放映されているようで,東野作品は最近ブームなようですね。

 そういえば,学生時代に読んだ野坂昭如の「火垂るの墓」も,アニメになったり実写になっているし,

 食わず嫌いだった韓国映画も「僕の彼女を。。。」という映画のDVDを観てチョン・ジヒョン ↓に興味を持ってから,「猟奇的な彼女」,「ホワイト・バレンタイン」と観ていったら,

 スマップの草薙つよぽんと田中麗奈が同じ「猟奇的な彼女」をTVドラマとして日本版としてやっていたし。。

         

 俺も意外とトレンディ(死語?)を先取りしてる。。と思ったりします。。

 錯覚かな?。。。 

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相対論の幾何学(第Ⅱ部-5)(多様体と微分形式(1))

相対論の幾何学の続きです。

改めて,多様体上の線型作用素の1種であるテンソルから微分形式を定義する話をします。

まずはテンソルの話からです。

 

多様体M上の点pにおける(0,r)型テンソル:ω∈T0r,p(M)上の対称作用素^を,^ω(1,2,..,r)≡ω(P(1),P(2),..,P(r))によって定義します。

 

ここで,iは接空間Tp(M)に属するベクトルです。

 

一方,^はr次の対称群Srの元です。

そして,座標基底:{μ}={∂/∂xμ}をとると,この基底でのωの成分はωμ1μ2..