フーリエ級数のフーリエ積分展開(１)

かつて「箱の中の粒子の運動量について(決着版)」(2008年９月10日)を書いたものをまたまた蒸し返すようですが。。。もっとうまい説明はないものか。。。と反芻してみました。

この問題に関連した話ですが,甘泉法師さんのときどき口にする疑問？:"ハミルトニアンの固有値,つまりエネルギーが無限大じゃなぜ悪いのか？"とか言うようなことについては私もついていけない話ですからこれはここでは考えません。

こういうのは,あもんさんの得意な言葉である「ピグマリオン症」ではないけれど物理学以前の話ですね。

"無限大"という"数"は,どんな数(実数)よりも大きい実体であることを意味する概念であって,実際にエネルギーだとどうやって測定評価するのかわかりませんが,少なくとも観測可能な物理量を測定してその値が無限大であるということはありません。

固有値に上限がないと言っても,それは,エネルギー固有値としてＥ＝∞を代入してもいいということではないです。

(考えるのは自由ですが,論理的整合性があっても想念で生み出した抽象的概念が必ずしも物理学の対象とする実体であるとは限りません。

アリストテレスの形而上学の時代ではないですから,表象世界といえども実証科学では,座して沈思黙考するという純粋思惟だけで全てが理解できるというわけでもありませんし。。。)

まあ,問題は"剛体ポテンシャル＝無限大障壁"なので,固有値問題の式における演算子(作用素)の方が無限大に成り得るというような話です。

固有値が無限大で,固有ベクトルがゼロというような話にも発展し得ますが,そもそも数学の定義では,固有ベクトルというのは"ゼロベクトルでないもの＝つまり長さを１に規格化可能なものである"です。

そもそもゼロベクトルを固有ベクトルの仲間に入れたとしても,それは量子論では確率としてゼロの寄与しかしない波動関数に相当します。

いずれにしろ,ゼロベクトルというのは物理的に無意味です。これなどはあってもなくても関係ないものですね。。。

そりゃあ,まあ量子力学だから,ポテンシャル障壁がいくら高くてもトンネル効果とかで浸み出すことはあるでしょう。

しかし,非常に堅い金属とかコンクリートとか,ほぼ剛体の壁を持つ箱に閉じ込められた粒子を問題にするとき,粒子が箱の外にある波動関数の値がほぼゼロであろうと考えることに,なぜ抵抗があるのかが私にはわかりません。

常識というのは,物理では頑固ではいけないものでしょうけど,常識で考えて非常に堅固なものに閉じ込められているものが自然に外に出られる確率は限りなくゼロに近いでしょう。

動物園にいるライオンが,ひとりでに檻の外に出られる確率もゼロではないですが,今までの宇宙の年齢の間に１回も有り得ないようなトンネル効果でライオンを怖がることはないでしょう。

もちろん,数学であれば例えば複素関数論にも複素平面上のどこだか指定はできませんが無限遠点というのを考える必要があり,これはｚ＝ ∞ をそのまま考えるという意味ですが。。。

かつては整数の全ても実数の全ても２進数として表現できて,2ⁿはｎが無限大までずっと数えられる整数に対応できるから,２の可算無限乗個も数えられるんじゃ？と疑問を持ったこともありました。

しかし,この場合は2ⁿの肩のｎを実際に無限大,つまりｎ＝可算無限(アレフ・ゼロ)とおくことを意味するので非可算です。

これも,物理学での固有値問題とは違いますが,これらはあくまでも数学,特に抽象数学の話です。

※また,ちょっとここでは関係ない話で思ったことでなんですが,運動量,角運動量,特に力学的なそれらが保存しない例として,オイラーラグランジュ方程式がニュートンの運動方程式と一致するというだけで,相互作用がない場合に運動エネルギーに帰するとか,示量変数の要件である相加性さえ満たさないものを持ち出されてもついていけません。

運動量,角運動量が保存しない例を出すだけなら,統計力学の対象である巨視的個数の粒子が容器内に閉じ込められているようなものでも十分ですが,保存しないのは別に時間変数とは関係ありません。※

さて,表題のトピックに入りますが,問題の主要なポイントは関数ｆ(ｘ)は,それが有界な台を持つ場合でもフーリエ(Fourier)級数展開だけでなく連続スペクトルのフーリエ変換として積分展開もできるということにあります。

例えば,f(ｘ)はｘ＜－Ｌ/2,ｘ＞Ｌ/2では恒等的にゼロ,つまり[－Ｌ/2,Ｌ/2]という有界な台(support)を持つとします。

これは,周期がＬの直交する三角関数系{sin(ｋπｘ/Ｌ)}(ｋ＝1,2,..),および{cos(ｋπｘ/Ｌ)}(ｋ＝0,1,2,..)により,チェザロ和(Cezaro-sum)の意味でフーリエ級数に展開されます。

すなわち,－Ｌ/2＜ｘ＜Ｌ/2では,ｆ(ｘ)＝ａ₀/2＋Σ_k=1^∞[ａ_kcos(ｋπｘ/Ｌ)＋ｂ_ksin(ｋπｘ/Ｌ)]と書けます。

ただし,系の直交性∫_－Ｌ/2^Ｌ/2cos(ｋπｘ/Ｌ)cos(lπｘ/Ｌ)ｄｘ＝(Ｌ/2)δ_k,l,∫_－Ｌ/2^Ｌ/2sin(kπｘ/Ｌ)sin(lπｘ/Ｌ)ｄｘ＝(Ｌ/2)δ_k,l,∫_－Ｌ/2^Ｌ/2cos(ｋπｘ/Ｌ)sin(lπｘ/Ｌ)ｄｘ＝0 を考慮し,

右辺の級数の係数をａ_k＝(2/Ｌ)∫_－Ｌ/2^Ｌ/2ｆ(ｘ)cos(ｋπｘ/Ｌ)ｄｘ,ｂ_k＝(2/Ｌ)∫_－Ｌ/2^Ｌ/2ｆ(ｘ)sin(ｋπｘ/Ｌ)ｄｘで定義します。

また,境界の点ｘ＝±Ｌ/2では,ｆ(ｘ)＝ａ₀/2＋Σ_k=1^∞[ａ_kcos(ｋπｘ/Ｌ)＋ｂ_ksin(ｋπｘ/Ｌ)]は一般に成立してなくて,{ｆ(ｘ－0)＋ｆ(ｘ＋0)}/2＝ａ₀/2＋Σ_k=1^∞[ａ_kcos(ｋπｘ/Ｌ)＋ｂ_ksin(ｋπｘ/Ｌ)]となります。

もちろん,ｆ(ｘ)が境界でも連続であって{ｆ(ｘ－0)＋ｆ(ｘ＋0)}/2＝ｆ(ｘ)(ｘ＝±Ｌ/2)なら,境界点も含めて同じ式で展開されます。

そして,今はf(ｘ)は台[－Ｌ/2,Ｌ/2]を持つ関数なので,f(ｘ)を(－∞,∞)で定義された関数として,係数をａ_k＝(2/Ｌ)∫_－∞^∞ｆ(ｘ)cos(ｋπｘ/Ｌ)ｄｘ,ｂ_k＝(2/Ｌ)∫_－∞^∞ｆ(ｘ)sin(ｋπｘ/Ｌ)ｄｘと書くこともできます。

　三角関数を用いた表現は煩わしいので,cos(ｋπｘ/Ｌ)＝(1/2)[exp(iｋπｘ/Ｌ)＋exp(－iｋπｘ/Ｌ)],sin(ｋπｘ/Ｌ)＝{1/(2i)}[exp(iｋπｘ/Ｌ)－exp(－iｋπｘ/Ｌ)]を,ｆ(ｘ)＝ａ₀/2＋Σ_k=1^∞[ａ_kcos(ｋπｘ/Ｌ)＋ｂ_ksin(ｋπｘ/Ｌ)]に代入してみます。

すると,ｆ(ｘ)＝ａ₀/2＋Σ_k=1^∞[(ａ_k/2－iｂ_k/2)exp(iｋπｘ/Ｌ)＋(ａ_k/2＋iｂ_k/2)exp(－iｋπｘ/Ｌ)]となります。

そこで,ｆ(ｘ)＝Σ_k=-∞^∞[ｃ_kexp(iｋπｘ/Ｌ)]と書き,ｃ_k≡ａ_k/2－iｂ_k/2＝(1/Ｌ)∫_－Ｌ/2^Ｌ/2ｆ(ｘ)[cos(ｋπｘ/Ｌ)－isin(ｋπｘ/Ｌ)]ｄｘ(ただしｂ₀＝0),つまりｃ_k≡(1/Ｌ)∫_－Ｌ/2^Ｌ/2ｆ(ｘ)exp(－iｋπｘ/Ｌ)ｄｘ,またはｃ_k≡(1/Ｌ)∫_－∞^∞ｆ(ｘ)exp(－iｋπｘ/Ｌ)ｄｘとすると扱いやすい表現式になります。

この展開では,完全系をなす直交関数系は三角関数ではなく{exp(iｋπｘ/Ｌ)}(ｋ＝0,1±1,±2,..)です。

そして,この場合の関数の直交性は∫_－Ｌ/2^Ｌ/2exp(iｋπｘ/Ｌ)exp(ilπｘ/Ｌ)ｄｘ＝Ｌδ_k,-lです。

必要なら,{φ_k(ｘ)}(ｋ＝0,1±1,±2,..);φ_k(ｘ)≡Ｌ_-1/2 exp(iｋπｘ/Ｌ)と定義して,直交性を∫_－Ｌ/2^Ｌ/2φ_k^*(ｘ)φ_l(ｘ)＝δ_k,lと書いて正規直交系とすることもできます。

この新しい表記法では,ｆ(ｘ)＝Σ_k=-∞^∞[α_kφ_k(ｘ)],α_k≡∫_－∞^∞φ_k^*(ｘ)ｆ(ｘ)ｄｘとなります。

一般に関数χとψのユニタリ内積を＜χ|ψ＞≡∫_－∞^∞χ^*(ｘ)ψ(ｘ)ｄｘで定義するなら,α_k＝＜φ_k|ｆ＞です。

しかし,直交性∫_－Ｌ/2^Ｌ/2φ_k^*(ｘ)φ_l(ｘ)ｄｘ＝δ_k,lは,これだけでは＜φ_k|φ_l＞＝δ_k,lとは書けません。

しかし,φ_k(ｘ)≡Ｌ^-1/2 exp(iｋπｘ/Ｌ)も,(－∞,∞)全体で定義されていて,台[－Ｌ/2,Ｌ/2]を持つ関数であると考えれば,この直交性も＜φ_k|φ_l＞＝∫_－∞^∞φ_k^*(ｘ)φ_l(ｘ)＝δ_k,lと表現できます。

ところで,f(ｘ)が(－∞,∞)で定義された台[－Ｌ/2,Ｌ/2]を持つ関数の場合,これがｆ(ｘ)＝Σ_k=-∞^∞[α_kφ_k(ｘ)],α_k≡∫_－∞^∞φ_k^*(ｘ)ｆ(ｘ)ｄｘとフーリエ級数展開できるのはもちろんですが,これはフーリエ変換によってフーリエ積分にも展開できます。

これが厄介なのですね。こうした台を持つ特定の定まった波長を持つ波でさえ,あらゆる波長の波の重ね合わせとしても書けるという困った話がこの問題の根っこであると思います。

問題のフーリエ積分の話では,面倒なので最初から三角関数ではなく指数関数でのスペクトル展開として,ｆ(ｘ)＝∫_－∞^∞ａ_pχ_p(ｘ)ｄｐ;χ_p(ｘ)≡(2π)^-1/2exp(iｐｘ)と書きます。

関数系の直交性は,＜χ_p|χ_q＞＝∫_－∞^∞χ_p^*(ｘ)χ_q(ｘ)ｄｘ＝δ(ｐ－ｑ)です。この結果,ａ_p＝＜χ_p|ｆ＞＝∫_－∞^∞χ_p ^*(ｘ)ｆ(ｘ)ｄｘとなります。

そこで,Σ_k=-∞^∞[α_kφ_k(ｘ)]＝∫_－∞^∞ａ_pχ_p(ｘ)ｄｐと書けます。

例えば,左辺の関数をある１つのｋのα_kだけが１に等しい以外は全てゼロの場合は,φ_k(ｘ)＝∫_－∞^∞ａ_pχ_p(ｘ)ｄｐです。

(もしも,閉じた１次元の箱の中のように,左辺のΣ_k=-∞^∞[α_kφ_k(ｘ)]がｋと－ｋの２つ以外がゼロの正弦(sin)関数の場合なら,これは2^-1/2[φ_k(ｘ)－φ_-k(ｘ)]ですね。)

[Ｌ/2,Ｌ/2]では,φ_k(ｘ)＝Ｌ^-1/2exp(iｋπｘ/Ｌ)ですから,φ_k(ｘ)＝∫_－∞^∞ａ_pχ_p(ｘ)ｄｐなる展開の右辺の係数はａ_p＝＜χ_p|φ_k＞＝∫_－∞^∞χ_p ^*(ｘ)φ_k(ｘ)ｄｘ＝(2πＬ)^-1/2∫_－Ｌ/2^Ｌ/2exp{－i(ｐ－ｋπ/Ｌ)ｘ}ｄｘです。

そこで,もしもＬ→ ∞ ならａ_p＝(2π/Ｌ)^1/2δ(ｐ－ｋπ/Ｌ)(Ｌ→∞)となって,ａ_pはｐの関数としてｐ＝ｋπ/Ｌに鋭い無限大のピークを持つ完全な線スペクトルとなります。

Ｌ→ ∞ の極限では,ｐには全く線幅がなくｐはｋπ/Ｌに確定して,それ以外の値は取り得ないという意味になるわけです。

しかし,実際にはＬは有限ですから,ａ_p＝＜χ_p|φ_k＞＝∫_－∞^∞χ_p ^*(ｘ)φ_k(ｘ)ｄｘ＝∫_－Ｌ/2^Ｌ/2χ_p ^*(ｘ)φ_k(ｘ)ｄｘ＝(2πＬ)^-1/2∫_－Ｌ/2^Ｌ/2exp{－i(ｐ－ｋπ/Ｌ)ｘ}ｄｘ＝{2/(πＬ)}^1/2sin(Ｌｐ/2－ｋπ/2)/(ｐ－ｋπ/Ｌ)です。

これの右辺は確かにｐ＝ｋπ/Ｌに鋭いピークを持ちますが,デルタ関数ではないので,無限大ピークの線スペクトルではありません。

ａ_pを運動量波動関数と考え,|ａ_p|²ｄｐが運動量がｐを取る確率測度であると考えても,それはｐ＝ｋπ/Ｌにピークを持ち両側に対称で緩やかに減衰してゆく関数であり,ｐについて有限な台を持つわけでもなくｐ→±∞までの幅を持つ関数です。

これは何を意味しているのでしょうか？

有限な台を持つ関数φ_k(ｘ)＝Ｌ^-1/2exp(iｋπｘ/Ｌ)＝Ｌ^-1/2[cos(ｋπｘ/Ｌ)－isin(ｋπｘ/Ｌ)](－Ｌ/2＜ｘ＜Ｌ/2),＝0 (|ｘ|＞Ｌ/2)の意味するものは,境界条件を工夫すれば長さＬの箱に閉じ込められた固定端があって波長がλ＝2Ｌ/ｋ(ｋ＝1,2,..)の値に限られた定在波,または定常波ですね。

一方,同じ関数をφ_k(ｘ)＝∫_－∞^∞ａ_pχ_p(ｘ)ｄｐと書いたとき,これの意味するものは,上記の閉じ込められて波長が一定値λ＝2Ｌ/ｋの定在波を,全く閉じ込められていない自由平面波の重ね合わせとして表現することも可能であるということです。

そして,重ね合わせの個々の成分波としては,この定在波と同じ波長の自由波成分の寄与が最大ですが,それだけではなく,あらゆる波長の自由波が重ね合わせ成分として寄与します。

現実に,調和解析,スペクトル解析では,こういうことは常識ですから,もちろんこれにも意味があります。

(あっと,この常識はシャノンの定理(Shannnon's theorem)に関する話のように,台があるというよりも台の外では周期関数になっていて折り返しノイズが発生するという話だったかも知れません。

台の外の成分をすぱっとカットするのは,ローパスなどのフィルターを入れる話だったかな？(→ 2006年,11/10の記事「シャノンのサンプリング定理」,11/11の記事「折り返しノイズ 」)

では,実際のバイオリンなど楽器についているような共鳴箱のように,箱の大きさで規定された定在波において,波長と同定されている離散的な量は実は音として単一音を示しているわけではないのでしょうか？

上記のように,離散的な最大成分を持つけれども,無限大の共鳴箱の定在波の重ね合わせの多重合成音としての意味しかないという方が正しいのでしょうか？

量子論で運動量とされているｐ＝－iｄ/ｄｘをφ_k(ｘ)＝∫_－∞^∞ａ_pχ_p(ｘ)ｄｐの両辺に作用させて見ます。

すると,左辺は(－iｄ/ｄｘ)φ_k(ｘ)＝(ｋπ/Ｌ)φ_k(ｘ)(－∞＜ｘ＜∞)と書けます。

一方,右辺は∫_－∞^∞ａ_p(－iｄ/ｄｘ)χ_p(ｘ)ｄｐ＝∫_－∞^∞ａ_pｐχ_p(ｘ)ｄｐですね。

これは,(－iｄ/ｄｘ)φ_k(ｘ)＝(ｋπ/Ｌ)φ_k(ｘ)＝∫_－∞^∞ａ_pｐχ_p(ｘ)ｄｐを意味します。

これを繰り返せば,(－iｄ/ｄｘ)ⁿφ_k(ｘ)＝(ｋπ/Ｌ)ⁿφ_k(ｘ)＝∫_－∞^∞ａ_pｐⁿχ_p(ｘ)ｄｐと書けますね。

これに左からφ_k^*(ｘ)を掛けて(－∞,∞)の区間でｘ積分すると,期待値を与える式として,＜(－iｄ/ｄｘ)ⁿ＞＝∫_－∞^∞φ_k^*(ｘ)(－iｄ/ｄｘ)ⁿφ_k(ｘ)ｄｘ＝(ｋπ/Ｌ)ⁿ∫_－∞^∞φ_k^*(ｘ)φ_k(ｘ)ｄｘ＝∫_－∞^∞ｄｘφ_k^*(ｘ)∫_－∞^∞ａ_pｐⁿχ_p(ｘ)ｄｐを得ます。

φ_k(ｘ)は∫_－∞^∞φ_k^*(ｘ)φ_k(ｘ)ｄｘ＝＜φ_k|φ_k＞＝1と規格化されていますから,上の等式は＜(－iｄ/ｄｘ)ⁿ＞＝(ｋπ/Ｌ)ⁿ＝∫_－∞^∞ｄｘφ_k^*(ｘ)∫_－∞^∞ａ_pｐⁿχ_p(ｘ)ｄｐとなります。

これはまあ,左辺の座標表示だけなら素朴なシュレーディンガー(Shoroedinger)の量子力学での物理量の期待値の表現そのものですね。

∫_－∞^∞φ_k^*(ｘ)χ_p(ｘ)ｄｘ＝ａ_p^*なので,上式の最右辺は∫_－∞^∞ａ_p^*ｐⁿａ_pｄｐ＝∫_－∞^∞ｐⁿ|ａ_p|²ｄｐとなります。

この連続なｐ空間の描像では,確かに|ａ_p|²をｐに対する確率密度(つまりａ_pを運動量波動関数)と解釈できます。

いずれにしても,＜(－iｄ/ｄｘ)ⁿ＞の期待値が(ｋπ/Ｌ)ⁿ＝∫_－∞^∞ｐⁿ|ａ_p|²ｄｐとなることは,これまで展開してきた手順を追っていけば式としては無問題ですね。。。

ここまでは,全く矛盾がないように見えるので,ここで終わっていればどちらの見解という議論もなかったのですね。観測結果として同じであれば両者ＯＫでしょう。

というわけで,一旦ここでペンディングにしたのでした。。。

ところが,これが無問題でなかったのがfolomyでの論争ですね。

計算上はこうなるはずというのは,これまでの式展開を見れば明らかなのですが。。。

実際に,期待値を示す等式の右辺の方の運動量表示の積分表示式∫_－∞^∞ｐⁿ|ａ_p|²ｄｐ＝{2/(πＬ)}∫_－∞^∞ｄｐ[ｐⁿ{sin²(Ｌｐ/2－ｋπ/2)/(ｐ－ｋπ/Ｌ)²]の計算を実行すると,(ｋπ/Ｌ)ⁿとならず,ときには発散するという結果になります。

もしもこの計算結果がちゃんと(ｋπ/Ｌ)ⁿに一致していて矛盾が起きなければ,パウリ(Pauli)本とかランダウ(Landau)本とかは関係なく,少なくともfolomyでの論争は,もっと小さいものだったはずです。

では,演繹的に同値変換のみで進めてきたつもりの式展開のどこが間違いで,等しい値であるべき等式の食い違いが生じたのでしょうか？

これが,直ちにわかっていれば,そもそもこうした迷路に入ることはなかったのです。。。

まあ,この展開では式の数は多くないので,解決するには,最後の式は別にして,どの等式変形が実は同値変形ではないのか？をチェックするだけでいいのですが。。

そもそも,フーリエ級数,フーリエ変換はチェザロ和(強収束＝ノルム収束),あるいは２乗可積分関数の展開においてのみ意味があり,ノルムが｜ｆ|²＝＜ｆ｜ｆ＞＝0 なら,ｆ＝0 であるという意味は,測度がゼロの集合を除いて(ほとんど至るところで)ｆ(ｘ)＝0 が成立するという意味ですね。

実際,指数関数exp(iｐｘ)を(－∞,∞)で積分するとどうなりますか？

まあ,積分展開表示の両辺で,微分が許されるかどうか？

例えば級数展開式なら微分記号と積分記号の交換が許されるのは収束が一様収束というのが十分条件です。

そもそも級数展開式なら収束しないせず発散するような収束半径の外であれば,見かけ上正しい展開式に見えても等式は成立しません。。。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(つづく)

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