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2008年11月13日 (木)

フーリエ級数のフーリエ積分展開(1)

かつて「箱の中の粒子の運動量について(決着版)」(2008年9月10日)を書いたものをまたまた蒸し返すようですが。。。もっとうまい説明はないものか。。。と反芻してみました。

 

この問題に関連した話ですが,甘泉法師さんのときどき口にする疑問?:"ハミルトニアンの固有値,つまりエネルギーが無限大じゃなぜ悪いのか?"とか言うようなことについては私もついていけない話ですからこれはここでは考えません。

 

こういうのは,あもんさんの得意な言葉である「ピグマリオン症」ではないけれど物理学以前の話ですね。

 

"無限大"という"数"は,どんな数(実数)よりも大きい実体であることを意味する概念であって,実際にエネルギーだとどうやって測定評価するのかわかりませんが,少なくとも観測可能な物理量を測定してその値が無限大であるということはありません。

 

固有値に上限がないと言っても,それは,エネルギー固有値としてE=∞を代入してもいいということではないです。

 

(考えるのは自由ですが,論理的整合性があっても想念で生み出した抽象的概念が必ずしも物理学の対象とする実体であるとは限りません。

 

アリストテレスの形而上学の時代ではないですから,表象世界といえども実証科学では,座して沈思黙考するという純粋思惟だけで全てが理解できるというわけでもありませんし。。。)

まあ,問題は"剛体ポテンシャル=無限大障壁"なので,固有値問題の式における演算子(作用素)の方が無限大に成り得るというような話です。

 

固有値が無限大で,固有ベクトルがゼロというような話にも発展し得ますが,そもそも数学の定義では,固有ベクトルというのは"ゼロベクトルでないもの=つまり長さを1に規格化可能なものである"です。

 

そもそもゼロベクトルを固有ベクトルの仲間に入れたとしても,それは量子論では確率としてゼロの寄与しかしない波動関数に相当します。

いずれにしろ,ゼロベクトルというのは物理的に無意味です。これなどはあってもなくても関係ないものですね。。。

 

りゃあ,まあ量子力学だから,ポテンシャル障壁がいくら高くてもトンネル効果とかで浸み出すことはあるでしょう。

 

しかし,非常に堅い金属とかコンクリートとか,ほぼ剛体の壁を持つ箱に閉じ込められた粒子を問題にするとき,粒子が箱の外にある波動関数の値がほぼゼロであろうと考えることに,なぜ抵抗があるのかが私にはわかりません。

 

常識というのは,物理では頑固ではいけないものでしょうけど,常識で考えて非常に堅固なものに閉じ込められているものが自然に外に出られる確率は限りなくゼロに近いでしょう。

 

動物園にいるライオンが,ひとりでに檻の外に出られる確率もゼロではないですが,今までの宇宙の年齢の間に1回も有り得ないようなトンネル効果でライオンを怖がることはないでしょう。

 

もちろん,数学であれば例えば複素関数論にも複素平面上のどこだか指定はできませんが無限遠点というのを考える必要があり,これはz= ∞ をそのまま考えるという意味ですが。。。

 

かつては整数の全ても実数の全ても2進数として表現できて,2nはnが無限大までずっと数えられる整数に対応できるから,2の可算無限乗個も数えられるんじゃ?と疑問を持ったこともありました。

 

しかし,この場合は2nの肩のnを実際に無限大,つまりn=可算無限(アレフ・ゼロ)とおくことを意味するので非可算です。

 

これも,物理学での固有値問題とは違いますが,これらはあくまでも数学,特に抽象数学の話です。

 

※また,ちょっとここでは関係ない話で思ったことでなんですが,運動量,角運動量,特に力学的なそれらが保存しない例として,オイラーラグランジュ方程式がニュートンの運動方程式と一致するというだけで,相互作用がない場合に運動エネルギーに帰するとか,示量変数の要件である相加性さえ満たさないものを持ち出されてもついていけません。

  

運動量,角運動量が保存しない例を出すだけなら,統計力学の対象である巨視的個数の粒子が容器内に閉じ込められているようなものでも十分ですが,保存しないのは別に時間変数とは関係ありません。※

  

さて,表題のトピックに入りますが,問題の主要なポイントは関数f(x)は,それが有界な台を持つ場合でもフーリエ(Fourier)級数展開だけでなく連続スペクトルのフーリエ変換として積分展開もできるということにあります。

 

例えば,f(x)はx<-L/2,x>L/2では恒等的にゼロ,つまり[-L/2,L/2]という有界な台(support)を持つとします。

 

これは,周期がLの直交する三角関数系{sin(kπx/L)}(k=1,2,..),および{cos(kπx/L)}(k=0,1,2,..)により,チェザロ和(Cezaro-sum)の意味でフーリエ級数に展開されます。

 

すなわち,-L/2<x<L/2では,f(x)=a0/2+Σk=1[akcos(kπx/L)+bksin(kπx/L)]と書けます。

ただし,系の直交性∫-L/2/2cos(kπx/L)cos(lπx/L)dx=(L/2)δk,l,∫-L/2L/2sin(kπx/L)sin(lπx/L)dx=(L/2)δk,l,∫-L/2L/2cos(kπx/L)sin(lπx/L)dx=0 を考慮し,

 

右辺の級数の係数をak=(2/L)∫-L/2L/2f(x)cos(kπx/L)dx,bk=(2/L)∫-L/2L/2f(x)sin(kπx/L)dxで定義します。

 

また,境界の点x=±L/2では,f(x)=a0/2+Σk=1[akcos(kπx/L)+bksin(kπx/L)]は一般に成立してなくて,{f(x-0)+f(x+0)}/2=a0/2+Σk=1[akcos(kπx/L)+bksin(kπx/L)]となります。

 

もちろん,f(x)が境界でも連続であって{f(x-0)+f(x+0)}/2=f(x)(x=±L/2)なら,境界点も含めて同じ式で展開されます。

そして,今はf(x)は台[-L/2,L/2]を持つ関数なので,f(x)を(-∞,∞)で定義された関数として,係数をak=(2/L)∫-∞f(x)cos(kπx/L)dx,bk=(2/L)∫-∞f(x)sin(kπx/L)dxと書くこともできます。

 三角関数を用いた表現は煩わしいので,cos(kπx/L)=(1/2)[exp(ikπx/L)+exp(-ikπx/L)],sin(kπx/L)={1/(2i)}[exp(ikπx/L)-exp(-ikπx/L)]を,f(x)=a0/2+Σk=1[akcos(kπx/L)+bksin(kπx/L)]に代入してみます。

すると,f(x)=a0/2+Σk=1[(ak/2-ibk/2)exp(ikπx/L)+(ak/2+ibk/2)exp(-ikπx/L)]となります。

そこで,f(x)=Σk=-∞[ckexp(ikπx/L)]と書き,ck≡ak/2-ibk/2=(1/L)∫-L/2L/2f(x)[cos(kπx/L)-isin(kπx/L)]dx(ただしb0=0),つまりck≡(1/L)∫-L/2L/2f(x)exp(-ikπx/L)dx,またはck≡(1/L)∫-∞f(x)exp(-ikπx/L)dxとすると扱いやすい表現式になります。

 

この展開では,完全系をなす直交関数系は三角関数ではなく{exp(ikπx/L)}(k=0,1±1,±2,..)です。

そして,この場合の関数の直交性は∫-L/2/2exp(ikπx/L)exp(ilπx/L)dx=Lδk,-lです。

 

必要なら,{φk(x)}(k=0,1±1,±2,..);φk(x)≡L-1/2 exp(ikπx/L)と定義して,直交性を∫-L/2L/2φk*(x)φl(x)=δk,lと書いて正規直交系とすることもできます。

この新しい表記法では,f(x)=Σk=-∞kφk(x)],αk≡∫-∞φk*(x)f(x)dxとなります。

 

一般に関数χとψのユニタリ内積を<χ|ψ>≡∫-∞χ*(x)ψ(x)dxで定義するなら,αk=<φk|f>です。

 

しかし,直交性∫-L/2L/2φk*(x)φl(x)dx=δk,lは,これだけでは<φkl>=δk,lとは書けません。

 

しかし,φk(x)≡L-1/2 exp(ikπx/L)も,(-∞,∞)全体で定義されていて,台[-L/2,L/2]を持つ関数であると考えれば,この直交性も<φkl>=∫-∞φk*(x)φl(x)=δk,lと表現できます。

ところで,f(x)が(-∞,∞)で定義された台[-L/2,L/2]を持つ関数の場合,これがf(x)=Σk=-∞kφk(x)],αk≡∫-∞φk*(x)f(x)dxとフーリエ級数展開できるのはもちろんですが,これはフーリエ変換によってフーリエ積分にも展開できます。

 

これが厄介なのですね。こうした台を持つ特定の定まった波長を持つ波でさえ,あらゆる波長の波の重ね合わせとしても書けるという困った話がこの問題の根っこであると思います。

問題のフーリエ積分の話では,面倒なので最初から三角関数ではなく指数関数でのスペクトル展開として,f(x)=∫-∞pχp(x)dp;χp(x)≡(2π)-1/2exp(ipx)と書きます。

 

関数系の直交性は,<χpq>=∫-∞χp*(x)χq(x)dx=δ(p-q)です。この結果,ap=<χp|f>=∫-∞χp *(x)f(x)dxとなります。

そこで,Σk=-∞kφk(x)]=∫-∞pχp(x)dpと書けます。

 

例えば,左辺の関数をある1つのkのαkだけが1に等しい以外は全てゼロの場合は,φk(x)=∫-∞pχp(x)dpです。

 

(もしも,閉じた1次元の箱の中のように,左辺のΣk=-∞kφk(x)]がkと-kの2つ以外がゼロの正弦(sin)関数の場合なら,これは2-1/2k(x)-φ-k(x)]ですね。)

[L/2,L/2]では,φk(x)=L-1/2exp(ikπx/L)ですから,φk(x)=∫-∞pχp(x)dpなる展開の右辺の係数はap=<χpk>=∫-∞χp *(x)φk(x)dx=(2πL)-1/2-L/2L/2exp{-i(p-kπ/L)x}dxです。

 

そこで,もしもL→ ∞ ならap=(2π/L)1/2δ(p-kπ/L)(L→∞)となって,apはpの関数としてp=kπ/Lに鋭い無限大のピークを持つ完全な線スペクトルとなります。

 

L→ ∞ の極限では,pには全く線幅がなくpはkπ/Lに確定して,それ以外の値は取り得ないという意味になるわけです。

しかし,実際にはLは有限ですから,ap=<χpk>=∫-∞χp *(x)φk(x)dx=∫-L/2L/2χp *(x)φk(x)dx=(2πL)-1/2-L/2L/2exp{-i(p-kπ/L)x}dx={2/(πL)}1/2sin(Lp/2-kπ/2)/(p-kπ/L)です。

 

これの右辺は確かにp=kπ/Lに鋭いピークを持ちますが,デルタ関数ではないので,無限大ピークの線スペクトルではありません。

pを運動量波動関数と考え,|ap|2dpが運動量がpを取る確率測度であると考えても,それはp=kπ/Lにピークを持ち両側に対称で緩やかに減衰してゆく関数であり,pについて有限な台を持つわけでもなくp→±∞までの幅を持つ関数です。

これは何を意味しているのでしょうか?

 

有限な台を持つ関数φk(x)=L-1/2exp(ikπx/L)=L-1/2[cos(kπx/L)-isin(kπx/L)](-L/2<x<L/2),=0 (|x|>L/2)の意味するものは,境界条件を工夫すれば長さLの箱に閉じ込められた固定端があって波長がλ=2L/k(k=1,2,..)の値に限られた定在波,または定常波ですね。

 

一方,同じ関数をφk(x)=∫-∞pχp(x)dpと書いたとき,これの意味するものは,上記の閉じ込められて波長が一定値λ=2L/kの定在波を,全く閉じ込められていない自由平面波の重ね合わせとして表現することも可能であるということです。

 

そして,重ね合わせの個々の成分波としては,この定在波と同じ波長の自由波成分の寄与が最大ですが,それだけではなく,あらゆる波長の自由波が重ね合わせ成分として寄与します。

現実に,調和解析,スペクトル解析では,こういうことは常識ですから,もちろんこれにも意味があります。

 

(あっと,この常識はシャノンの定理(Shannnon's theorem)に関する話のように,台があるというよりも台の外では周期関数になっていて折り返しノイズが発生するという話だったかも知れません。

 

台の外の成分をすぱっとカットするのは,ローパスなどのフィルターを入れる話だったかな?(→ 2006年,11/10の記事「シャノンのサンプリング定理」,11/11の記事「折り返しノイズ 」)

では,実際のバイオリンなど楽器についているような共鳴箱のように,箱の大きさで規定された定在波において,波長と同定されている離散的な量は実は音として単一音を示しているわけではないのでしょうか?

 

上記のように,離散的な最大成分を持つけれども,無限大の共鳴箱の定在波の重ね合わせの多重合成音としての意味しかないという方が正しいのでしょうか?

量子論で運動量とされているp=-id/dxをφk(x)=∫-∞pχp(x)dpの両辺に作用させて見ます。

 

すると,左辺は(-id/dx)φk(x)=(kπ/L)φk(x)(-∞<x<∞)と書けます。

 

一方,右辺は∫-∞p(-id/dx)χp(x)dp=∫-∞ppχp(x)dpですね。

 

これは,(-id/dx)φk(x)=(kπ/L)φk(x)=∫-∞ppχp(x)dpを意味します。

 

これを繰り返せば,(-id/dx)nφk(x)=(kπ/L)nφk(x)=∫-∞pnχp(x)dpと書けますね。

これに左からφk*(x)を掛けて(-∞,∞)の区間でx積分すると,期待値を与える式として,<(-id/dx)n>=∫-∞φk*(x)(-id/dx)nφk(x)dx=(kπ/L)n-∞φk*(x)φk(x)dx=∫-∞dxφk*(x)∫-∞pnχp(x)dpを得ます。

 

φk(x)は∫-∞φk*(x)φk(x)dx=<φkk>=1と規格化されていますから,上の等式は<(-id/dx)n>=(kπ/L)n=∫-∞dxφk*(x)∫-∞pnχp(x)dpとなります。

 

これはまあ,左辺の座標表示だけなら素朴なシュレーディンガー(Shoroedinger)の量子力学での物理量の期待値の表現そのものですね。

 

-∞φk*(x)χp(x)dx=ap*なので,上式の最右辺は-∞p*npdp=∫-∞n|ap|2dpとなります。

 

この連続なp空間の描像では,確かに|ap|2をpに対する確率密度(つまりapを運動量波動関数)と解釈できます。

 

いずれにしても,<(-id/dx)n>の期待値が(kπ/L)n=∫-∞n|ap|2dpとなることは,これまで展開してきた手順を追っていけば式としては無問題ですね。。。

 

ここまでは,全く矛盾がないように見えるので,ここで終わっていればどちらの見解という議論もなかったのですね。観測結果として同じであれば両者OKでしょう。

 

というわけで,一旦ここでペンディングにしたのでした。。。

 

ところが,これが無問題でなかったのがfolomyでの論争ですね。

 

計算上はこうなるはずというのは,これまでの式展開を見れば明らかなのですが。。。

 

実際に,期待値を示す等式の右辺の方の運動量表示の積分表示式∫-∞n|ap|2dp={2/(πL)}∫-∞dp[pn{sin2(Lp/2-kπ/2)/(p-kπ/L)2]の計算を実行すると,(kπ/L)nとならず,ときには発散するという結果になります。

 

もしもこの計算結果がちゃんと(kπ/L)nに一致していて矛盾が起きなければ,パウリ(Pauli)本とかランダウ(Landau)本とかは関係なく,少なくともfolomyでの論争は,もっと小さいものだったはずです。

 

では,演繹的に同値変換のみで進めてきたつもりの式展開のどこが間違いで,等しい値であるべき等式の食い違いが生じたのでしょうか?

 

これが,直ちにわかっていれば,そもそもこうした迷路に入ることはなかったのです。。。

 

まあ,この展開では式の数は多くないので,解決するには,最後の式は別にして,どの等式変形が実は同値変形ではないのか?をチェックするだけでいいのですが。。

 

そもそも,フーリエ級数,フーリエ変換はチェザロ和(強収束=ノルム収束),あるいは2乗可積分関数の展開においてのみ意味があり,ノルムが|2=<f|f>=0 なら,f=0 であるという意味は,測度がゼロの集合を除いて(ほとんど至るところで)f(x)=0 が成立するという意味ですね。

 

実際,指数関数exp(ipx)を(-∞,∞)で積分するとどうなりますか?

 

まあ,積分展開表示の両辺で,微分が許されるかどうか?

 

例えば級数展開式なら微分記号と積分記号の交換が許されるのは収束が一様収束というのが十分条件です。

 

そもそも級数展開式なら収束しないせず発散するような収束半径の外であれば,見かけ上正しい展開式に見えても等式は成立しません。。。

                   (つづく)

 

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111. 量子論」カテゴリの記事

コメント

 どもhirotaさん。。いつも有益なコメントありがとうございます。TOSHIです。

>(*) 有界区間で定義された関数をフーリエ級数に展開すると、できた関数は自動的に定義区間外で区間値を繰り返す周期関数になってる。
つまり、有界な台を持ち、その外側でゼロになる関数はフーリエ級数に展開できない。

ということなんですが、これは共通理解になってますか?

 定義域を台に限定しない限り展開不可能であるという認識であれば私と共通です。

>ついでですが、シュレディンガー方程式に波動関数とポテンシャルの積がある以上、ポテンシャル障壁が高くなれば波動関数はゼロに近づき、障壁が無限大になれば浸み出しもゼロになります。

 その通りですね。。

 物理的に理想的でなくても閉じ込められた箱というものに粒子が入っていてその中の存在確率を問題にしてるのならある程度の質量と速度の粒子が飛び越えられないだけの障壁ポテンシャルを想定すればいいだけなのに魔法瓶でもなんでもいいけど何で壁の性質でグチャグチャ議論するのか理解できません。

 運動量表示で期待値を計算できなくてもふつうの座標表示の波動関数で計算できるならそれで十分ですしもしも運動量表示と一致しなきゃ変換がユニタリでないのでどこか間違っているに過ぎませんね。

 この話題は自分では問題意識はほとんどないのに説明のために一所懸命計算したり考察しても救いがありません。アキアキしてます。

 hirotaさんへのレスではありませんけど,過去の経験からも私が間違っていたことは当然いっぱいあって訂正したり中にはおわびしたこともありました。

 だから,問題点を指摘するなら的確なポイントを的確につついていただき返答にも腹蔵なく対応していただかないと水掛け論的なドグマの繰り返しではどこが問題でどこが誤っているのかがわかりません。

 別に自然科学の問題で間違って訂正するようなことがあってもショックを受けたりするより目を開かせてもらってありがとうと言いたいぐらいで恨んだりすることなどないですよ。。もちろん
            TOSHI

投稿: TOSHI | 2009年1月 4日 (日) 10時22分

なんだか、正しいことが書かれてても、意味不明なことと混ざってワケが分からなくなってるような気がしますが、正しいと思ったことだけ抜き出してみますと、

(*) 有界区間で定義された関数をフーリエ級数に展開すると、できた関数は自動的に定義区間外で区間値を繰り返す周期関数になってる。
つまり、有界な台を持ち、その外側でゼロになる関数はフーリエ級数に展開できない。

ということなんですが、これは共通理解になってますか?
フーリエ級数に展開できる周期関数は、フーリエ変換するとデルタ関数の和になるから、これは完全にフーリエ級数と対応します。

ついでですが、シュレディンガー方程式に波動関数とポテンシャルの積がある以上、ポテンシャル障壁が高くなれば波動関数はゼロに近づき、障壁が無限大になれば浸み出しもゼロになります。

投稿: hirota | 2008年12月18日 (木) 16時01分

1 コメントの係数の間違いを訂正します。台はS〔-L/2,L/2〕で


>パウリ本 TOSHIさん : 運動量固有状態のセットは{e^(i2πnx/L)*S}   


パウリ本 TOSHIさん : 運動量固有状態のセットは{e^(iπnx/L)*S}    
             

2 チェックポイントを追加します。

チェック#6:直交性

パウリ本-TOSHIさん:セットの関数どうしは直交しない。
ランダウ本-甘泉法師:セットの関数どうしは直交する。

展開の基底どうしの内積をとる。n≠mとする。
∫φm* Φndx= ∫exp{ πi(n-m)/L*x}/L*S dx 偶奇性を考え
 = ∫ cos { π(n-m)/L*x}/L*S dx
 = sin{ π(n-m)/2 } /{ π(n-m)/2}
 =  0   n-m=0 mod 2  直交
± 1 /{ π(n-m)/2}   +: n-m=1 mod 4  -:n-m=3 mod 4 
   直交しない。

=甘泉法師=

投稿: 甘泉法師 | 2008年11月25日 (火) 09時12分

TOSHIさん あ さん みなさま
先のコメントを補足します。


チェックに以下を追加します。
(当方に不利な点もチェックしないと不公平ですね。)


チェック#5:運動量のべきの期待値

エネルギー固有状態の<p^2n>は

パウリ本・TOSHIさん : 定数 p^2n
ランダウ本・甘泉法師: n≧2 で発散

運動量のべきの期待値が発散...問題ないか。



チェック#5についての自説の弁護を記します。

考え方1.問題なのか

n≧2 のモーメントが発散、つまり 運動量密度分布関数~p^-4 がどれほどおかしなことかわからない。具体的な困難・矛盾を教えてください。

考え方2.井戸ポテンシャルモデルが非物理的

有限井戸ポテンシャルの系ではフーリエ変換で運動量を求めることについて、TOSHIさんも含め皆さん異論はないと存じます。
その有限井戸の計算でも運動量密度分布関数~p^-6 となり、2n≧6 のモーメントが発散します。
計算方法は正しいがモデルが悪いために結果が物理的におかしいのではないか。
井戸ポテンシャルでポテンシャルが不連続に跳ぶことが現実的でないので。


チェック#2:固有値方程式
について、folomy のこの連休のやりとりで TOSHIさんが方程式を満たすと主張され、わたしが反論しています。
多くのかたにみていただきご意見・ご教示をいただければ幸いです。


=甘泉法師=

投稿: 甘泉法師 | 2008年11月24日 (月) 16時37分

あ さん  TOSHIさん
前コメントに係数など間違いがあったので、レビューとして増補し書き直します。


§1 展開式
定義域が(-∞,∞)で周期Lの関数のフーリエ級数展開は
  f(x)= Σ An e^(i2πnx/L)        (1)
両辺を台S[-L/2,L/2]に載せれば、
  f(x)*S = Σ An {e^(i2πnx/L)*S}(2)
定義域が(-∞,∞)で台S上の任意の関数は、関数のセット{e^(i2πnx/L)*S}で展開した級数で表せることがわかる。
この関数はフーリエ積分でもあらわせて

  f(x)*S = 1/√2 ∫ a(k) e^ikx dk   (3) 
 ここで a(k) = 1/√2 ∫ f(x)*S e^-ikx dx  

(1)は 周期関数のフーリエ級数展開=セット{e^(i2πnx/L)}による級数展開
(2)は 有界な台Sの上の関数のセット{e^(i2πnx/L)*S}による級数展開
(3)は 有限な台Sの上の関数のフーリエ積分展開=セット{e^ikx}による積分展開

 パウリ本 TOSHIさんは(2)、ランダウ本 甘泉法師は(3)を主張。 
 展開につかうセットが異なるので、級数か積分かが異なっても不思議はないですね。


§2 状態空間 
考える状態空間は、
パウリ本 TOSHIさん : 通常の状態空間の部分空間 {f(x)*S}  
ランダウ本 甘泉法師 : 通常の状態空間 {f(x)}


パウリ本 TOSHIさん:箱の完全閉じ込め
いくら上に行こうと壁があり外に出られない。
        ↑ 
○○○○●○○○●○○|○○○○○○○○○○
○○○○●○○○●○○|○○○○○○○○○○
○○○○●○○○●○○|○○○○○○○○○○
○○○○●○○○●○○|○○○○○○○○○○
○○○○●~~~●束縛|~~~~~~~~~~非束縛状態 
○○○○●○○○●○○|○○○○○○○○○○
○○○○●○○○●○○|○○○○○○○○○○
○○○○●○○○●○○|○○○○○○○○○○
○○○○●●●●●○○|●●●●○○○●●●エネルギー0
○○○○○○○○○○○|○○○●○○○●○○  
○○○○○○○○○○○|○○○●○○○●○○  
○○○○○○○○○○○|○○○●○○○●○○  
○○○○○○○○○○○|○○○●○○○●○○  
○○○○○○○○○○○|○○○●○○○●○○  
○○○○○○○○○○○|○○○●○○○●○○  
○○○○○○○○○○○|○○○●○○○●○○  
○○○○○○○○○○○|○○○●○○○●○○  
                  ↓
       ランダウ本 甘泉法師:無限に深い井戸
       いくら井戸が深くても非束縛状態はある。

式にあらわすと 
壁  V= -Dθ(a+x)θ(a-x)+D
井戸 V= -Dθ(a+x)θ(a-x)
定数D=∞の有無、すなわちエネルギーレベル0を開口にとるか底にとるか...

相手説の批判
パウリ本 TOSHIさん : e^(ikx)は、部分空間{f(x)*S}の要素でないので実在しない。よってフーリエ積分展開は不可能。
ランダウ本 甘泉法師 : 有限深さ井戸の状態は、空間{f(x)}の要素。無限深さ井戸のD→∞によって存在する空間はかわらない。
 仮に{f(x)*S}に収束するとしてもそれは方程式から自然にそうなっているはずで「ありき」と限定する必要はない。御説は理想の「数学」であるかもしれないが現実の「物理」につながらない。


§3 運動量固有状態 
パウリ本 TOSHIさん : 運動量固有状態のセットは{e^(i2πnx/L)*S}   
ランダウ本 甘泉法師 : 運動量固有状態のセットは{e^(ikx)}.

ランダウ本 甘泉法師 の検討は、教科書に書いてあることの再録になるので記載省略。
パウリ本 TOSHIさん の運動量固有状態のセットについて考える。
規格化した基底  φn= e^(i2πnx/L)/√L *S


チェック1:関数は不連続

x=L/2,-L/2で φn= (-1)^n /√L *S
x=-L/2+0で(-1)^n /√L、-L/2-0で0となり不連続だが...問題ありやなしや。  

なおエネルギー固有状態
ψn={ φn(x)-(-1)^nφ-n(x)}/√2
は境界で連続だが、この固有状態の運動量を観測した後の状態 φn(x)、φ-n(x)については上記のチェックがいる。 


チェック2:運動量固有値方程式を満たすかどうか

-iφn’= 2πn/L φn + e^(i2πnx/L)/√L *S’

右辺第二項の台の微分S’は、x=L/2,-L/2以外で0。x=L/2,-L/2では、台を超関数とみなすと、微分はデルタ関数になる

が...問題ありやなしや。


チェック3:交換関係

エネルギー固有状態は運動量固有状態でもあるので
〔H,P^2〕=0 これから
〔V,P^2〕=0となるが...問題ありやなしや。

チェック4:不確定関係

φnは台の上にある、すなわち座標空間の有限区間内にある。
基底 φnは、ΔpΔx=0*L=0 となり”不確定関係”を満足しないが...問題ありやなしや。

以上

=甘泉法師=

投稿: 甘泉法師 | 2008年11月21日 (金) 19時15分

あ さん 甘泉法師です。

>級数展開は可能であるが、その級数は同じく台を[0,L]に限定したものを用いる。
>これは、厳密な意味ではフーリエ級数展開というかどうかは知らない。

ご教示ありがとうございます。

確認のため再説してみます。


定義域が(-∞,∞)で周期Lの関数のフーリエ級数展開
  f(x)= Σ An e^(inx/L)       (1)
両辺を台S[0,L]にのせて
  f(x)*S = Σ An {e^(inx/L)*S}     (2)
定義域が(-∞,∞)である、台S[0,L]上の任意の関数は、関数のセット{e^(inx/L)*S}の和(級数)に展開できることがわかる。

  f(x)*S = 1/√2 ∫ a(k) e^ikx dx     (3) ともあらわせる。


(1)は フーリエ級数展開=関数のセット{e^(inx/L)}による級数展開
(2)は 関数のセット{e^(inx/L)*S}による級数展開
(3)は フーリエ積分展開=関数のセット{e^ikx}による積分展開

2 関数のセット{e^(inx/L)*S}について 

規格直交性:
 組み合わせた √2/L sin(nx/L),√2/Lcos (nx/L)は規格直交。
完全性:
 定義域が台[0,L]の内部(台を含む)の関数に対しては完全。
 定義域が台[0,L]をはみ出る(無限区間(-∞,∞)を含む)任意の関数は表せない。
 区間[0,L]の外では値が0であるような関数の集合 に限れば完全。

 TOSHIさんは一番下の行のように考え、級数展開を主張されていると理解しています。

 ご教示の岩波の教科書はすぐみれませんが機会があれば勉強することとします。ありがとうございました。
 

 
 =甘泉法師=

投稿: 甘泉法師 | 2008年11月20日 (木) 19時31分

甘露さん

級数展開は可能であるが、その級数は同じく台を[0,L]に限定したものを用いる。これは、厳密な意味ではフーリエ級数展開というかどうかは知らない。

exp(inπx/L)=Σ a_k sin(kπx/L)

については、ご自分で計算を。たとえば、n=0の場合については岩波の数学基礎コースのフーリエ積分にのっているので、自分で読んでください。

投稿: あ | 2008年11月20日 (木) 12時57分

あ さん ご教示ありがとうございます。

>この問題はすでに数学的に理解されてる問題

1 ご教示ありがとうございます。その数学的な理解をご承知のあさんに、有界な台の上の関数のフーリエ分解は級数か積分か 教えていただければたいへん助かります。

2 わたしの説明で使った 有界な台の上の平面波 φ について -iφ’を、あさんならどう計算されるでしょう。

 
>たとえば、x ∈(0,L)で、
> exp(inπx/L)=Σ a_k sin(kπx/L)
>とできます。x=0とx=Lはどうなっているって?もちろん、両辺0になります。

有限区間で定義された関数がフーリエ級数で展開できることは浅学の拙僧にも理解できます。無限区間で定義された、有界な台の上の関数のフーリエ分解は積分か級数か、を教えていただきたい次第です。
ところで御式左辺はつねに絶対値1なのでX=0,Lで値が0になるから仕組みがわかりません。解説していただけるでしょうか。

お願いばかりですみませんがご指導よろしくお願いします。

=甘泉法師=

投稿: 甘泉法師 | 2008年11月19日 (水) 13時04分

いくつか付属的な知識を。

フーリエ級数展開は区分的なめらかな関数の空間をなんでも再現します。たとえば、x ∈(0,L)で、

 exp(inπx/L)=Σ a_k sin(kπx/L)

とできます。x=0とx=Lはどうなっているって?もちろん、両辺0になります。

投稿: あ | 2008年11月19日 (水) 01時31分

甘露さん

この問題はすでに数学的に理解されてる問題で、ちゃんと数学書を読むべきだと思います。そのうえで、いくつか。

端っこでの値についてこだわって超関数を導入なさっているようですが、もし、そのようなことをするならば、P演算子は何らかの超関数を含むように書き換えられます。ただし、そのような取扱いをするためには、ちゃんと線形汎関数の空間を定義して、めんどくさい議論をする必要があります。

そのようなP演算子の超関数の入れ方はもちろん一意ではありません。そのような不定性が非有界演算子の定義域の不定性を示しています。

投稿: あ | 2008年11月19日 (水) 01時17分

TOSHIさん

投稿: 甘泉法師 | 2008年11月17日 (月) 17時23分
>つまり固有値方程式 (中略)が成り立ちません。

計算を示します。

設定:
下からn番目のエネルギー固有状態:ψn(x)
ψn(x)=1/√2 {φn(x)-(-1)^n φ-n(x)}
ここで、台〔-L/2,L/2〕上の平面波(台上で規格化):φn(x)
φn(x)=1/√L e^(inπx/L)θ(L/2-x)θ(L/2+x) 
ここで、θ(x)=(1+sgn(x))/2、ヘビサイドの1/2-階段関数。
    θ’(x)=δ(x) デルタ(超)関数。

計算:
φn(x)について運動量の固有値方程式がなりたつかみる。
-iφn’(x)
= nπ/L φn(x)  
  + 1/√L e^(inπx/L){θ(L/2-x)θ(L/2+x)}’
= nπ/L φn(x)  
  + 1/√L e^(inπx/L){-δ(L/2-x)θ(L/2+x)+θ(L/2-x)δ(L/2+x)}
= nπ/L φn(x)  
  + 1/√L e^(inπx/L){-δ(L/2-x)+δ(L/2+x)}
= nπ/L φn(x)- i /√L {δ(x-L/2)+δ(L/2+x)}

右辺第2項のせいで固有値方程式は成り立たない。

=甘泉法師=

投稿: 甘泉法師 | 2008年11月18日 (火) 11時12分

TOSHIさん 

>ところで,厄介なのはf(x)が(-∞,∞)で定義された台[-L/2,L/2]を持つ関数の場合,
>これがf(x)=Σk=-∞∞[αkφk(x)],αk≡∫-∞∞φk*(x)f(x)dxと
>フーリエ級数展開できるのはもちろんですが。

==================
フーリエ級数展開できないと存じます。

説明
1 f(x)=Σk=-∞,∞ [αkφk(x)]と展開できるかどうかを確認する。
 xに台の外の値、たとえばx=2nL、を代入するとφkの周期性から
 右辺は Σk=-∞,∞ [αkφk(2nL)]=Σk=-∞,∞ [αkφk(0)]で値が0とは限らない。
 左辺は、xが台の外なので、必ず0
 と、食い違います。右辺は無限にパターンを繰り返す周期関数です。

2 f(x)を台の外で無限繰り返しをする関数
  F(x)=f(x-nL)  -L/2<x-nL<L/2
  に改めれば
  F(x)=Σk=-∞,∞ [αkφk(x)]
  とフーリエ級数展開できます。

3 あるいはφk(x)を台に載せ、
  ηk(x)=φk(x) 台上で,0 台外で。
 を導入すれば 
 f(x)=Σk=-∞,∞ [αkηk(x)]
 が成り立ちます。
 しかしηk(x)は運動量の固有関数でない、つまり固有値方程式
 -ihbar ∂/∂x ηk(x) = kπ hbar/L ηk(x) が成り立ちません。

このように台上の関数f(x)はフーリエ級数展開ができません。
フーリエ積分展開の対象です。

==================

お詫び:
投稿: 甘泉法師 | 2008年11月14日 (金) 16時35分 のコメントは 
3.との思い込み、つまり
 φk(x)=C e^ikπx/L のことを 
 ηk(x)=C e^ikπx/L θ(L/2-x)θ(L/2+x)
と解してのものでした。誤解をお詫びして撤回します。
 
=甘泉法師=

投稿: 甘泉法師 | 2008年11月17日 (月) 17時23分

ASAです。また、お邪魔します。

>ASAさんも見てくれてたんだ。
 EMANさんとこのリンクから飛んでちょくちょく拝見しております。
 巨視的物質中の電磁気(相対論)は、昔考えたけど良く分からなかったので興味津々です、続きを楽しみにしてます。

>わかりませんでした。
 よく、はしょるものですいません。

>保存するわけがないでしょう。
 そうですよね。あもんさんのコメントは、散逸は想定外とするスタンスだったので突っ込んでみました。leleさんの疑問は、散逸との切り分けができないからこそ生じているものと観ましたから。

で、"教えてほしい"のは、
pf(ηt)=Const:{f;増加関数}みたいな例でなく、

例えば、pf(ηt)+B=Constのように、力学的運動量減少の分、代わりの運動量相当Bが増加してバランス取っているというのが導出できる具体例です。
 無論、運動方程式も相応のものが得られて、物理的意味づけができるものです。(Bが流体場の運動量とか)
TOSHIさんは、かなり、広範囲な物理学的知識をお持ちになられているようなのでご存じないかと思って尋ねたわけです(これが分かると散逸問題に関してかなりすっきりするんですよね)。

>ASAさんは先に「そんなものは決してない」と主張されて後からそれがあるかどうかを考えられるのですか?
 質問の意図が判りませんが、保存量に関しては、ある種の理想化(捨象)を伴うものと割り切っています。
 
>保存するでしょうね。。
 散逸場に浸かっていなければ、そうでしょうね。

 
 またの機会があれば、そのときもよろしくお願いします。

投稿: ASA | 2008年11月14日 (金) 17時51分

TOSHIさん

>有限な台を持つ関数:φk(x)=L-1/2exp(ikπ/L)=L-1/2[cos(ikπx/L)-isin(ikπx/L)](-L/2<x<L/2),=0 (|x|>L/2)
>左辺は(-id/dx)φk(x)=(kπ/L)φk(x)(-∞<x<∞)です。

1 最下行にある式の左辺で x=-L/2,L/2 のところの微分はどう処理されていますか。

2 この式は運動量の固有値方程式になっていますが運動量hbar nπ/Lの固有関数は平面波 e^(ix nπ/L) のほか、かかる有界な台を持つ関数など、複数とおりある ということなのでしょうか。

=甘泉法師=

投稿: 甘泉法師 | 2008年11月14日 (金) 16時35分

TOSHIさん
>f(x)はそれが有界な台(finite support)を持つ場合でもフーリエ級数展開(Fourier series expansion)だけでなく連>続スペクトル(continuous spectrum)のフーリエ変換(Fourier transformation)として積分展開(integral expansion)も>できる,ということにあります。


先のコメントの図の一番下の場合のように有界な台の上の関数はフーリエ積分展開できるが、フーリエ級数展開できないと存じます。

PS 台 X 級数 とは表現できますが、これは級数展開でも積分展開でもないですね。 

ご発言
>いずれにしても<(-id/dx)n>の期待値が(kπ/L)n=∫-∞∞pn|ap|2dpとなることは
>式としては無問題ですね。


より、TOSHIさんは <p^2m>=<p^2>^m 定数 を御主張ですね。folomyのログでいうところの「パウリ本」の支持者でいらっしゃいますね。

=甘泉法師=

投稿: 甘泉法師 | 2008年11月14日 (金) 16時06分

 お。。ASAさんも見てくれてたんだ。。 

 どもTOSHIです。とにかくありがとうございます。

 EMANさんのところで書くとケンカごしで書かれそうだから,ちょっとここ私の土俵でヒトリごちたのでしたが。。。

 相互作用なしがη→0も含むというのは説明なしではわかりませんでした。。

>運動エネルギーが散逸等で最終的に0になるような場合、そのようなケースでも運動量(角運動量)が初めと変らずに残っているというケースがイメージ的に想像できないのですよ(初めから角運動量=0はなしですよ)。

>もしそのようなケースをご存知でしたら、教えてほしいです。

 一応,考えてみますがトータルで閉じていて散逸に含まれる角運動量がゼロでなく,しかもその分を除いた残りを対象にするなら保存するわけがないでしょう。

 本題がそうであるかどうかはわかりませんが,ASAさんは先に「そんなものは決してない」と主張されて後からそれがあるかどうかを考えられるのですか?

 釈迦に説法でしょうが,力学的角運動量はトルクで決まるのでしょうからトルクがゼロでなくても保存するのは,角運動量そのものではなくトルクに垂直な成分だけでしょう。

 太陽と地球の単純な中心力の2体問題に理想化した場合での地球の自転のように外力があってもトルクがゼロなら,元々ゼロでない角運動量がある場合,散逸などで太陽のような外力のソースが消えてもそれは保存するでしょうね。。

              TOSHI


投稿: TOSHI | 2008年11月14日 (金) 11時09分

TOSHIさん ご説明の参考にならないかと思い図をかきました。 

級数適用の場合 1   外に世界なし

     ●
    ●●●
  |●●●●●●|    

級数適用の場合 2   同パターン無限くりかえし

     ●      ●      ●   
    ●●●   ●●●   ●●●  
  ~●●●●●●●●●●●●●●●~

 積分中の成分は離散値のδ関数になり、級数に帰する。


積分適用の場合     パターンくりかえしなし       

 例
      ●       
     ●●●     
------●●●●●●----------------
000000         000000000000000

ご笑納ください。

=甘泉法師=

投稿: 甘泉法師 | 2008年11月14日 (金) 10時45分

どうもASA です。

関係ない話ですが
L=(T-U)f(ηt)
で相互作用無しは、
U→0,η→0 でf(0)=1
を満たせば、
L=T
運動エネルギーと一致です。

足し算は
L=(∑Ti-U)f(ηt)

U=0 での保存量
f(ηt)∑∂(vi)Ti=Const
一般運動量は一定。
P=∑∂(vi)Ti=Const/f(ηt);力学的運動量トータルは時間変化。

 運動エネルギーが散逸等で最終的に0になるような場合、そのようなケースでも運動量(角運動量)が初めと変らずに残っているというケースがイメージ的に想像できないのですよ(初めから角運動量=0はなしですよ)。

 もしそのようなケースをご存知でしたら、教えてほしいです。

投稿: ASA | 2008年11月14日 (金) 08時50分

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