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2008年12月10日 (水)

相対論の幾何学(第Ⅲ部-1)(リーマン幾何学(1)

相対論の幾何学シリーズは大体第Ⅱ部でやっと準備段階が完了したので,さっそく第Ⅲ部を開始し,リーマン幾何学に入ります。

いきなり計量(metric)と計量付きの多様体の定義から入ります。

[定義Ⅲ.1]Mを微分多様体とする。M上の各点pで定義された(0,2)型テンソル:gをpの関数としてgp=g|p:Tp(M)→と書くとき,これが次の公理を満たすなら,テンソルgをリーマン計量(Riemannian metric)と呼ぶ。

 

 リーマン計量を持つ多様体をリーマン多様体(Riemannian manifold)と呼ぶ。以下,公理です。

公理:(ⅰ)∀,∈Tp(M)に対してgp(,)=gp(,),(ⅱ)∀∈Tp(M)に対してgp(,)≧0 である。特にgp(,)=0 ⇔ =0 である。(gpは正定値で対称な双1次形式です。)

[定義Ⅲ.2] Mを微分多様体とする。各点p∈Mで定義された(0,2)型テンソル:gをpの関数としてgp=g|p:Tp(M)→と書くとき,これが次の公理を満たすならテンソルgを擬リーマン計量(semi-Riemannian metric)と呼ぶ。

 

 擬リーマン計量を持つ多様体を擬リーマン多様体(semi-Riemannian manifold)と呼ぶ。以下,公理です。

公理:(ⅰ)∀,∈Tp(M)に対してgp(,)=gp(,),(ⅱ)∈Tp(M)とする,もしも∀∈Tp(M)に対してgp(,)=0 なら=0 である。(gpは対称な双1次形式です。)

以下では,計量gが付与された微分多様体M,すなわちリーマン多様体や擬リーマン多様体Mを(M,g)と表記します。

 

また,多様体Mの次元をmとします。m=dimMです。

 さて,以前の記事では,接ベクトル∈Tp(M)と,その双対ベクトル(1-形式)ω∈Tp*(M)との内積を<,>:Tp*(M)×Tp(M)→なる写像として記号<ω,>で定義しました。

今定義したばかりの計量gが存在する多様体では,2つの接ベクトル,∈Tp(M)に対し,gp:Tp(M)×Tp(M)→なる写像(=(0,2)型テンソル)gp(,)を,この空間Tp(M)でのベクトルの内積と解釈します。

 →gp(,)で定義される写像gp(,):Tp(M)→はある1-形式ωU∈Tp*(M)(ωU≡gp(,))と同一視されます。

 

 逆に任意のω∈Tp*(M)に対して,<ω,>=gp(ω,)によってω∈Tp(M)が誘導されます。

 

 したがって,この→ωU,およびω→ωなる1対1の対応によって計量gpはTp(M)とTp*(M)の同型写像を引き起こします。

 Mの各点の近傍におけるチャート(U,φ)により,p∈Mに座標≡{xμ}=φ(p)を与えます。(0,2)型テンソルgpは線型空間T02p(M)の元ですがT02p(M)は基底{dxμ⊗dxν}μ,ν=1,2,..mで張られます。

 

 そこで,gpはgp=gμν(p)dxμ⊗dxνと展開されます。

 

 それ故,gpを(2,0)形式の基底(∂/∂xμ,∂/∂xν)に作用させると,gμν(p)=gp(∂/∂xμ,∂/∂xν)=gνμ(p)となります。

以下,混乱がない限り,gμν(p)のpを省略してgμνと書き,(gμν)を,(μ,ν)成分をgμνとするm次対称行列と考えます。

 

μνは(0,2)型テンソルgpの成分で,U=μ(∂/∂xμ),V=μ(∂/∂xμ)に対してgp(,)=gμνμνが成立します。

 一般に,行列(gμν)=(gμν(p))の行列式det(gμν)はゼロでないので,(gμν)=(gμν(p))は逆行列(gμν)-1=(gμν(p))-1を持ちます。

 

 これを,慣例に従って(gμν)=(gμν(p))と表記します。つまりgμννλ=gλννμ=δμλですね。

 

 以下では,det(gμν)をgと表わします。明らかにdet(gμν)=1/gです。

先に,gp(,):Tp(M)→はある1-形式ωU∈Tp*(M)と同じであると述べました。

 

そして,ベクトルをU=μ(∂/∂xμ),V=μ(∂/∂xμ),ωU=ωμdxμと成分表示で書けば,gμνは対称でgp(,)=gμνμν=<ωU,>=ωμμなので,ωμμνν,または逆にUμμνωνとなります。

 

この→ωU=gp(,)なる対応は,Tp(M)からTp*(M)への同型写像になっています。

p=gμνdxμ⊗dxνなる定義から,座標{xμ}の点p∈Mと座標+d≡{xμ+dxμ}の点p'∈Mとの無限小距離の2乗ds2を意味するもの,無限小変位ベクトルd^≡dxμ(∂/∂xμ)の長さの2乗を意味するものとして,ds2≡gp(d^,d^)=gμνdxμdxνと定義します。

 

厳密な意味では計量とは,テンソルgp=gμνdxμ⊗dxνのことですが,以下ではds2≡gp(d^,d^)=gμνdxμdxνも計量と呼ぶことにします。

さて,(gμν)は対称行列なので,その固有値は全て実数です。

 

そしてgpがリーマン計量なら計量行列(gμν)は正値なので,固有値は全て正ですが,擬リーマン計量なら,これはいわゆる不定計量なので固有値には負の値もあります。

そして一般のn次元の時空における計量行列を想定すると,適当な直交行列を用いてこの行列を対角化する,つまり基底ベクトルをうまく取るとき計量行列(gμν)は,その"固有値=対角成分"が全て1または-1の対角行列"にすることができます。これを標準形といいます。

 

そして,この対角成分のうち1の個数(正の固有値の数)pと-1の数(負の固有値の数)qの対:(p,q)を計量の符号数と呼びますが,これは座標変換をしても不変な量です。

 

これはシルヴェスターの慣性律(シルベスターの慣性律)(Sylvester's law of inertia)として知られています。

 

そして,この記事で参考にしているテキストでは,q=1,つまり負の固有値が1個だけで他は正の符号数が(p,1)の擬リーマン計量をローレンツ計量と呼ぶ,としています。

 

しかし,実は時空座標はその全体に符号(-1)を掛けたものを採用しても,理論としては同等なので符号数が(p,q)の時空と符号数が(q,p)の時空は,それを扱う理論全体の符号を取り違えることがないなら,全く同じ時空を表わすものと考えていいのです。

したがって,符号数が(p,1)の場合だけでなく,(1,q)の場合,つまり正の固有値が1個だけで他は負の擬リーマン計量もローレンツ計量と呼ぶことにします。

 

そして,特にこれら計量がローレンツ計量であるような擬リーマン多様体をローレンツ多様体(Lorentz manifold)と呼びます。

 

特に,時空次元がn=4の4次元時空の場合には,リーマン計量からはユークリッド計量:δ≡diag(1,1,1,1)が得られ,ローレンツ計量からはミンコフスキー計量Minkowski metric):η≡diag(-1,1,1,1),またはη≡diag(1,-1,-1,-1)が得られます。

ただし,私の本シリーズの記事ではミンコフスキー計量として一貫して後者のη=diag(-1,1,1,1)を採用します。

なお,シルヴェスターの慣性律関連については,過去2007年5/15のブログ記事「シルヴェスターの慣性律とローレンツ多様体」において詳述していますので,よろしかったら参照してください。

さて,(M,g)がローレンツ多様体である場合,Tp(M)の元は次のように3つのクラスに分類できます。

 

(ⅰ)gp(,)>0 :は時間的(time-like)である。(ⅱ)gp(,)=0 :は光錐的(light-like),あるいは零(null)である,(ⅲ)gp(,)<0 :は空間的(space-like)である。という分類ですね。

 ここで以前の2007年5/15のブログ記事「シルヴェスターの慣性律とローレンツ多様体」から少しだけ引用します。

(引用):時空座標がxμ(x0,x1,x2,x3)で与えられる点pの近傍での一般座標変換による局所的に平坦なミンコフスキー計量の座標をXμとし,これらの間の変換をdXμ=aμν(p)dxν,またはA(p)を成分が(aμν(p))の行列としてd=A(p)dと表わします。

 

 このとき,aμν(p)=(∂Xμ/∂xν)|であり,計量を示す2次形式の不変式は,ds2=gμν(p)dxμdxν=ημνdXμdXν=ηλσλμσνdxμdxνと書けます。

すなわち,μν(p)=ηλσλμσν=ηλσ(∂Xλ/∂xμ)(∂Xσ/∂xν)|が成立します。

 

行列形式では,G()t()ΗA()です。

 

ただし,行列G(),Hは成分が()≡[gμν(p)],Ημν)で与えられるとして定義しています。

 

(),A(p)などにおける引数pを省略してこれらをG,A etc.と書き,P≡(A)-1とおけば,G()t()ΗA()は,G=t-1Η-1,あるいはHtPGPとも書くことができます。

  

こうしたPが常に存在することが,計量G()を持つ多様体が"ローレンツ多様体"になるための条件です。

これを時空における基底の変換と解釈し,{μ},および{0μ}をそれぞれ計量がgμν,およびημνとなる同じ時空点の局所座標の基底,すなわち,dxμμ=dXμ0μであるとします。

 

dXμ=aμν()dxνを代入すれば,dxμμνμ()dxμ0νによってμνμ(p)0ν,または(0,1,2,3)=(00,01,02,03)A(p)です。

 

また,pを省略しP≡A-1を用いると(00,01,02,03)=(0,1,2,3)Pです。(引用終わり)

さて,{00,01,03,04}を計量gμνがημνとなるるミンコフスキー標構の基底とします。

 

このとき,0±≡(00±01)/21/2として,この新基底{0+,0-,03,04}に対する計量gμνをηLCμνとします。

 

すると,dXμ0μ=dX000+dX101+dX202+dX303=dX+0++dX-0-+dX202+dX303なので,これからdX0=(dX++dX-)/21/2,dX1=(dX+-dX-)/21/2が得られます。

そこで,この変換に一般的公式μν=ηλσ(∂Xλ/∂xμ)(∂Xσ/∂xν)を適用すると,ηLC00η00(∂X0/∂X+)(∂X0/∂X+)+η01(∂X0/∂X+)(∂X1/∂X+)+η01(∂X1/∂X+)(∂X0/∂X+)+η11(∂X1/∂X+)(∂X1/∂X+)=1/2-1/2=0,ηLC01(∂X0/∂X+)(∂X0/∂X-)-(∂X1/∂X+)(∂X1/∂X-)=1/2+1/2=1=ηLC10となります。

 

同様にηLC110 となります。これ以外はηLCμνημνです。

 

計量がgμνηLCμνの形になるような標構{0+,0-,03,04}を光錐標構といいます。

さて,ここでまた以前の2008年11/3の記事「相対論の幾何学(第Ⅱ部-4:流れとリー微分)で述べた多様体におけるいくつかの概念の定義を再掲します。

(再掲) 一方,f*(^)[g]≡^[g・f]を満たす写像としてf:M→Nからの誘導写像f*:Tp(M)→Tf(p)(N)を定めた上述の論旨のアナロジーで,双対空間においても写像fから誘導される写像f*:Tf(p)*(N)→Tp*(M)を,<f*ω,^>=<ω,f*(^)>を満たす写像として自然に定義できます。

:M→Nに対して,f*がTp(M)からTf(p)(N)への写像であったのに反し,f*の方はTf(p)*(N)からTp*(M)への写像であって,これは対応する余接空間の間の写像の向きが元の多様体の間の写像の向きと逆なので,いわゆる引き戻しと呼ばれるものの一種です。

ここで,多様体M,Nの次元がm≦n,すなわちdimM≦dimNを満たす場合を想定します。

 

そして滑らかな写像f:M→Nによって誘導される微分写像f*:Tp(M)→Tf(p)(N)が単射のとき,つまりrank­f*=m=dimMなるとき,写像fをMからNへの"はめ込み(immersion)"と言います。

写像fが"はめ込み"であって,かつ像f(M)がMに微分同相であるとき,fを"埋め込み(embedding)"であると言い,f(M)をNの部分多様体と呼びます。(再掲終わり)

さて,(N,gN)を計量gNが与えられたn次元の微分多様体M⊂Nをm次元の部分多様体とします。

 

すなわち,f:M→NがMの部分多様体としての構造を誘導する"埋め込み"であるとします。このとき,引き戻しf*はMにおける自然な計量g≡f*を誘導します。この計量を誘導計量と言います。

定義をそのまま書き連ねてゆくと,まず写像f:M→Nに対する引き戻しf*は誘導写像f*:Tf(p)*(N)→Tp*(M)で,<f*ω,^>=<ω,f*(^)>を満たすものとして定義されます。

 

そこで,∀,V∈f(p)(N)に対し→g(,)で定義される写像(1-形式)ωU≡g(,):Tf(p)(N)→の引き戻しは,<f*ωU,^>=<ωU,f*(^)>,つまり<f*(,),^>=<N(,),f*(^)>を満たす写像です。

一方,f:M→Nと^p(M)に対して誘導写像f*はf*(^)[h]≡^[h・f]で定義されます。

 

ここで,hはN上の任意関数です。

 

つまり∀,V∈p(M)に対してf*(^),f*(^)f(p)(N)ですから,写像≡f*は<f*(f*(^),),f*(^)>=<(f*(^),f*(^)>=(f*(^),f*(^))を意味します。

 

結局,≡f*なる定義は,(^,^)=(f*(^),f*(^))なる等式を意味するというわけで,計量として自然な定義になっています。

ここで,最初の方で述べた(0,2)型テンソルgを基底{dxμ⊗dxν}で展開したときの係数gμν=gμν(p)が計量gpの成分である,という計量の成分の定義式:gp=gμν(p)dxμ⊗dxνを考えます。

点p∈Mの座標を,点f(p)∈Nの座標を=f()とし上の定義式gp=gμν(p)dxμ⊗dxνの代わりに,()=gMμν()dxμ⊗dxν,(f())()=Nμν()dyμ⊗dyνと書いてみます。

一方,f*の定義式f*(^)[h]≡^[h・f]に^=∂/∂xμを代入すると,f*(∂/∂xμ)[h]=[∂{h(y))/∂xμ]=(∂fλ/∂xμ)(∂h/∂yλ)ですから,結局f*(∂/∂xμ)=(∂fλ/∂xμ)(∂/∂yλ)です。

そこで,上で得た等式(^,^)=(f*(^),f*(^))に^=∂/∂xμ,^=∂/∂xνを代入すると,(∂/∂xμ,∂/∂xν)=(f*(∂/∂xμ),f*(∂/∂xν))=(∂fλ/∂xμ)(∂fσ/∂xν)g(∂/∂yλ,∂/∂yσ)を得ます。

 

したがって,の成分はgの成分からgMμν()=Nλσ(())(∂fλ/∂xμ)(∂fσ/∂xν)によって誘導されます。

今日はこれで終わります。

参考文献:中原幹夫 著「理論物理学のための幾何学とトポロジー」(ピアソン・エデュケーション)

 

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