相対論の幾何学(第Ⅲ部-1)(リーマン幾何学(1): TOSHIの宇宙

2008年12月10日 (水)

相対論の幾何学(第Ⅲ部-1)(リーマン幾何学(1)

相対論の幾何学シリーズは大体第Ⅱ部でやっと準備段階が完了したので,さっそく第Ⅲ部を開始し,リーマン幾何学に入ります。

いきなり計量(metric)と計量付きの多様体の定義から入ります。

[定義Ⅲ.1]Ｍを微分多様体とする。Ｍ上の各点ｐで定義された(0,2)型テンソル:ｇをｐの関数としてｇ_p＝ｇ|_p:Ｔ_p(Ｍ)→Ｒと書くとき,これが次の公理を満たすなら,テンソルｇをリーマン計量(Riemannian metric)と呼ぶ。

　リーマン計量を持つ多様体をリーマン多様体(Riemannian manifold)と呼ぶ。以下,公理です。

公理:(ⅰ)∀Ｕ,Ｖ∈Ｔ_p(Ｍ)に対してｇ_p(Ｖ,Ｕ)＝ｇ_p(Ｕ,Ｖ),(ⅱ)∀Ｕ∈Ｔ_p(Ｍ)に対してｇ_p(Ｕ,Ｕ)≧0 である。特にｇ_p(Ｕ,Ｕ)＝0 ⇔ Ｕ＝0 である。(ｇ_pは正定値で対称な双１次形式です。)

[定義Ⅲ.2] Ｍを微分多様体とする。各点ｐ∈Ｍで定義された(0,2)型テンソル:ｇをｐの関数としてｇ_p＝ｇ|_p:Ｔ_p(Ｍ)→Ｒと書くとき,これが次の公理を満たすならテンソルｇを擬リーマン計量(semi-Riemannian metric)と呼ぶ。

　擬リーマン計量を持つ多様体を擬リーマン多様体(semi-Riemannian manifold)と呼ぶ。以下,公理です。

公理:(ⅰ)∀Ｕ,Ｖ∈Ｔ_p(Ｍ)に対してｇ_p(Ｖ,Ｕ)＝ｇ_p(Ｕ,Ｖ),(ⅱ) Ｖ∈Ｔ_p(Ｍ)とする,もしも∀Ｕ∈Ｔ_p(Ｍ)に対してｇ_p(Ｕ,Ｖ)＝0 ならＶ＝0 である。(ｇ_pは対称な双１次形式です。)

以下では,計量ｇが付与された微分多様体Ｍ,すなわちリーマン多様体や擬リーマン多様体Ｍを(Ｍ,ｇ)と表記します。

また,多様体Ｍの次元をｍとします。ｍ＝dimＭです。

　さて,以前の記事では,接ベクトルＶ∈Ｔ_p(Ｍ)と,その双対ベクトル(1-形式)ω∈Ｔ_p^*(Ｍ)との内積を＜,＞:Ｔ_p^*(Ｍ)×Ｔ_p(Ｍ)→Ｒなる写像として記号＜ω,Ｖ＞で定義しました。

今定義したばかりの計量ｇが存在する多様体では,２つの接ベクトルＵ,Ｖ∈Ｔ_p(Ｍ)に対し,ｇ_p:Ｔ_p(Ｍ)×Ｔ_p(Ｍ)→Ｒなる写像(＝(0,2)型テンソル)ｇ_p(Ｕ,Ｖ)を,この空間Ｔ_p(Ｍ)でのベクトルの内積と解釈します。

　Ｖ→ｇ_p(Ｕ,Ｖ)で定義される写像ｇ_p(Ｕ,):Ｔ_p(Ｍ)→Ｒはある1-形式ω_U∈Ｔ_p^*(Ｍ)(ω_U≡ｇ_p(Ｕ,))と同一視されます。

　逆に任意のω∈Ｔ_p^*(Ｍ)に対して,＜ω,Ｖ＞＝ｇ_p(Ｖ_ω,Ｕ)によってＶ_ω∈Ｔ_p(Ｍ)が誘導されます。

　したがって,このＵ→ω_U,およびω→Ｖ_ωなる１対１の対応によって計量ｇ_pはＴ_p(Ｍ)とＴ_p^*(Ｍ)の同型写像を引き起こします。

　Ｍの各点の近傍におけるチャート(Ｕ,φ)により,ｐ∈Ｍに座標ｘ≡{ｘ^μ}＝φ(ｐ)を与えます。(0,2)型テンソルｇ_pは線型空間Ｔ₀²_p(Ｍ)の元ですがＴ₀²_p(Ｍ)は基底{ｄｘ^μ⊗ｄｘ^ν}_{μ,ν=1,2,..m}で張られます。

　そこで,ｇ_pはｇ_p＝ｇ_μν(ｐ)ｄｘ^μ⊗ｄｘ^νと展開されます。

　それ故,ｇ_pを(2,0)形式の基底(∂/∂ｘ^μ,∂/∂ｘ^ν)に作用させると,ｇ_μν(ｐ)＝ｇ_p(∂/∂ｘ^μ,∂/∂ｘ^ν)＝ｇ_νμ(ｐ)となります。

以下,混乱がない限り,ｇ_μν(ｐ)のｐを省略してｇ_μνと書き,(ｇ_μν)を,(μ,ν)成分をｇ_μνとするｍ次対称行列と考えます。

ｇ_μνは(0,2)型テンソルｇ_pの成分で,Ｕ＝Ｕ^μ(∂/∂ｘ^μ),Ｖ＝Ｖ^μ(∂/∂ｘ^μ)に対してｇ_p(Ｕ,Ｖ)＝ｇ_μνＵ^μＶ^νが成立します。

　一般に,行列(ｇ_μν)＝(ｇ_μν(ｐ))の行列式det(ｇ_μν)はゼロでないので,(ｇ_μν)＝(ｇ_μν(ｐ))は逆行列(ｇ_μν)^-1＝(ｇ_μν(ｐ))^-1を持ちます。

　これを,慣例に従って(ｇ^μν)＝(ｇ^μν(ｐ))と表記します。つまりｇ_μνｇ^νλ＝ｇ^λνｇ_νμ＝δ_μ^λですね。

　以下では,det(ｇ_μν)をｇと表わします。明らかにdet(ｇ^μν)＝1/ｇです。

先に,ｇ_p(Ｕ,):Ｔ_p(Ｍ)→Ｒはある1-形式ω_U∈Ｔ_p^*(Ｍ)と同じであると述べました。

そして,ベクトルをＵ＝Ｕ^μ(∂/∂ｘ^μ),Ｖ＝Ｖ^μ(∂/∂ｘ^μ),ω_U＝ω_μｄｘ^μと成分表示で書けば,ｇ_μνは対称でｇ_p(Ｕ,Ｖ)＝ｇ_μνＵ^μＶ^ν＝＜ω_U,Ｖ＞＝ω_μＶ^μなので,ω_μ＝ｇ_μνＵ^ν,または逆にＵ^μ＝ｇ^μνω_νとなります。

このＵ→ω_U＝ｇ_p(Ｕ,)なる対応は,Ｔ_p(Ｍ)からＴ_p^*(Ｍ)への同型写像になっています。

ｇ_p＝ｇ_μνｄｘ^μ⊗ｄｘ^νなる定義から,座標ｘ≡{ｘ^μ}の点ｐ∈Ｍと座標ｘ＋ｄｘ≡{ｘ^μ＋ｄｘ^μ}の点ｐ'∈Ｍとの無限小距離の２乗ｄｓ²を意味するもの,無限小変位ベクトルｄｘ^≡ｄｘ^μ(∂/∂ｘ^μ)の長さの２乗を意味するものとして,ｄｓ²≡ｇ_p(ｄｘ^,ｄｘ^)＝ｇ_μνｄｘ^μｄｘ^νと定義します。

厳密な意味では計量とは,テンソルｇ_p＝ｇ_μνｄｘ^μ⊗ｄｘ^νのことですが,以下ではｄｓ²≡ｇ_p(ｄｘ^,ｄｘ^)＝ｇ_μνｄｘ^μｄｘ^νも計量と呼ぶことにします。

さて,(ｇ_μν)は対称行列なので,その固有値は全て実数です。

そしてｇ_pがリーマン計量なら計量行列(ｇ_μν)は正値なので,固有値は全て正ですが,擬リーマン計量なら,これはいわゆる不定計量なので固有値には負の値もあります。

そして一般のｎ次元の時空における計量行列を想定すると,適当な直交行列を用いてこの行列を対角化する,つまり基底ベクトルをうまく取るとき計量行列(ｇ_μν)は,その"固有値＝対角成分"が全て１または－1の対角行列"にすることができます。これを標準形といいます。

そして,この対角成分のうち１の個数(正の固有値の数)ｐと－1の数(負の固有値の数)ｑの対:(ｐ,ｑ)を計量の符号数と呼びますが,これは座標変換をしても不変な量です。

これはシルヴェスターの慣性律(シルベスターの慣性律)(Sylvester's law of inertia)として知られています。

そして,この記事で参考にしているテキストでは,ｑ＝1,つまり負の固有値が１個だけで他は正の符号数が(ｐ,1)の擬リーマン計量をローレンツ計量と呼ぶ,としています。

しかし,実は時空座標はその全体に符号(－1)を掛けたものを採用しても,理論としては同等なので符号数が(ｐ,ｑ)の時空と符号数が(ｑ,ｐ)の時空は,それを扱う理論全体の符号を取り違えることがないなら,全く同じ時空を表わすものと考えていいのです。

したがって,符号数が(ｐ,1)の場合だけでなく,(1,ｑ)の場合,つまり正の固有値が１個だけで他は負の擬リーマン計量もローレンツ計量と呼ぶことにします。

そして,特にこれら計量がローレンツ計量であるような擬リーマン多様体をローレンツ多様体(Lorentz manifold)と呼びます。

特に,時空次元がｎ＝４の４次元時空の場合には,リーマン計量からはユークリッド計量:δ≡diag(1,1,1,1)が得られ,ローレンツ計量からはミンコフスキー計量Minkowski metric):η≡diag(－1,1,1,1),またはη≡diag(1,－1,－1,－1)が得られます。

ただし,私の本シリーズの記事ではミンコフスキー計量として一貫して後者のη＝diag(－1,1,1,1)を採用します。

なお,シルヴェスターの慣性律関連については,過去2007年5/15のブログ記事「シルヴェスターの慣性律とローレンツ多様体」において詳述していますので,よろしかったら参照してください。

さて,(Ｍ,ｇ)がローレンツ多様体である場合,Ｔ_p(Ｍ)の元は次のように３つのクラスに分類できます。

(ⅰ)ｇ_p(Ｕ,Ｕ)＞0 :Ｕは時間的(time-like)である。(ⅱ)ｇ_p(Ｕ,Ｕ)＝0 :Ｕは光錐的(light-like),あるいは零(null)である,(ⅲ)ｇ_p(Ｕ,Ｕ)＜0 :Ｕは空間的(space-like)である。という分類ですね。

　ここで以前の2007年5/15のブログ記事「シルヴェスターの慣性律とローレンツ多様体」から少しだけ引用します。

(引用):時空座標がｘ^μ＝(ｘ⁰,ｘ¹,ｘ²,ｘ³)で与えられる点ｐの近傍での一般座標変換による局所的に平坦なミンコフスキー計量の座標をＸ^μとし,これらの間の変換をｄＸ^μ＝ａ^μ_ν(ｐ)ｄｘ^ν,またはＡ(ｐ)を成分が(ａ^μ_ν(ｐ))の行列としてｄＸ＝Ａ(ｐ)ｄｘと表わします。

　このとき,ａ^μ_ν(ｐ)＝(∂Ｘ^μ/∂ｘ^ν)|_ｐであり,計量を示す２次形式の不変式は,ｄｓ²＝ｇ_μν(ｐ)ｄｘ^μｄｘ^ν＝η_μνｄＸ^μｄＸ^ν＝η_λσａ^λ_μａ^σ_νｄｘ^μｄｘ^νと書けます。

すなわち,ｇ_μν(ｐ)＝η_λσａ^λ_μａ^σ_ν＝η_λσ(∂Ｘ^λ/∂ｘ^μ)(∂Ｘ^σ/∂ｘ^ν)|_ｐが成立します。

行列形式では,Ｇ(ｐ)＝^tＡ(ｐ)ΗＡ(ｐ)です。

ただし,行列Ｇ(ｐ),Ｈは成分がＧ(ｐ)≡[ｇ_μν(ｐ)],Η≡(η_μν)で与えられるとして定義しています。

Ｇ(ｐ),Ａ(ｐ)などにおける引数ｐを省略してこれらをＧ,Ａ etc.と書き,Ｐ≡(Ａ)^-1とおけば,Ｇ(ｐ)＝^tＡ(ｐ)ΗＡ(ｐ)は,Ｇ＝^tＰ^-1ΗＰ^-1,あるいはＨ＝^tＰＧＰとも書くことができます。

こうしたＰが常に存在することが,計量Ｇ(ｐ)を持つ多様体が"ローレンツ多様体"になるための条件です。

これを時空における基底の変換と解釈し,{ｅ_μ},および{ｅ⁰_μ}をそれぞれ計量がｇ_μν,およびη_μνとなる同じ時空点の局所座標の基底,すなわち,ｄｘ^μｅ_μ＝ｄＸ^μｅ⁰_μであるとします。

ｄＸ^μ＝ａ^μ_ν(ｘ)ｄｘ^νを代入すれば,ｄｘ^μｅ_μ＝ａ^ν_μ(ｘ)ｄｘ^μｅ⁰_νによってｅ_μ＝ａ^ν_μ(ｐ)ｅ⁰_ν,または(ｅ₀,ｅ₁,ｅ₂,ｅ₃)＝(ｅ⁰₀,ｅ⁰₁,ｅ⁰₂,ｅ⁰₃)Ａ(ｐ)です。

また,ｐを省略しＰ≡Ａ^-1を用いると(ｅ⁰₀,ｅ⁰₁,ｅ⁰₂,ｅ⁰₃)＝(ｅ₀,ｅ₁,ｅ₂,ｅ₃)Ｐです。(引用終わり)

さて,{ｅ⁰₀,ｅ⁰₁,ｅ⁰₃,ｅ⁰₄}を計量ｇ_μνがη_μνとなるるミンコフスキー標構の基底とします。

このとき,ｅ⁰_±≡(ｅ⁰₀±ｅ⁰₁)/2^1/2として,この新基底{ｅ⁰₊,ｅ⁰_-,ｅ⁰₃,ｅ⁰₄}に対する計量ｇ_μνをη^LC_μνとします。

すると,ｄＸ^μｅ⁰_μ＝ｄＸ⁰ｅ⁰₀＋ｄＸ¹ｅ⁰₁＋ｄＸ²ｅ⁰₂＋ｄＸ³ｅ⁰₃＝ｄＸ⁺ｅ⁰₊＋ｄＸ^-ｅ⁰_-＋ｄＸ²ｅ⁰₂＋ｄＸ³ｅ⁰₃なので,これからｄＸ⁰＝(ｄＸ⁺＋ｄＸ^-)/2^1/2,ｄＸ¹＝(ｄＸ⁺－ｄＸ^-)/2^1/2が得られます。

そこで,この変換に一般的公式ｇ_μν＝η_λσ(∂Ｘ^λ/∂ｘ^μ)(∂Ｘ^σ/∂ｘ^ν)を適用すると,η^LC₀₀＝η₀₀(∂Ｘ⁰/∂Ｘ⁺)(∂Ｘ⁰/∂Ｘ⁺)＋η₀₁(∂Ｘ⁰/∂Ｘ⁺)(∂Ｘ¹/∂Ｘ⁺)＋η₀₁(∂Ｘ¹/∂Ｘ⁺)(∂Ｘ⁰/∂Ｘ⁺)＋η₁₁(∂Ｘ¹/∂Ｘ⁺)(∂Ｘ¹/∂Ｘ⁺)＝1/2－1/2＝0,η^LC₀₁＝(∂Ｘ⁰/∂Ｘ⁺)(∂Ｘ⁰/∂Ｘ^-)－(∂Ｘ¹/∂Ｘ⁺)(∂Ｘ¹/∂Ｘ^-)＝1/2＋1/2＝1＝η^LC₁₀となります。

同様にη^LC₁₁＝0 となります。これ以外はη^LC_μν＝η_μνです。

計量がｇ_μν＝η^LC_μνの形になるような標構{ｅ⁰₊,ｅ⁰_-,ｅ⁰₃,ｅ⁰₄}を光錐標構といいます。

さて,ここでまた以前の2008年11/３の記事「相対論の幾何学(第Ⅱ部-4:流れとリー微分)」で述べた多様体におけるいくつかの概念の定義を再掲します。

(再掲) 一方,ｆ_*(Ｖ^)[ｇ]≡Ｖ^[ｇ・ｆ]を満たす写像としてｆ:Ｍ→Ｎからの誘導写像ｆ_*:Ｔ_p(Ｍ)→Ｔ_f(p)(Ｎ)を定めた上述の論旨のアナロジーで,双対空間においても写像ｆから誘導される写像ｆ^*:Ｔ_f(p)^*(Ｎ)→Ｔ_p^*(Ｍ)を,＜ｆ^*ω,Ｖ^＞＝＜ω,ｆ_*(Ｖ^)＞を満たす写像として自然に定義できます。

ｆ:Ｍ→Ｎに対して,ｆ_*がＴ_p(Ｍ)からＴ_f(p)(Ｎ)への写像であったのに反し,ｆ^*の方はＴ_f(p)^*(Ｎ)からＴ_p^*(Ｍ)への写像であって,これは対応する余接空間の間の写像の向きが元の多様体の間の写像の向きと逆なので,いわゆる引き戻しと呼ばれるものの一種です。

ここで,多様体Ｍ,Ｎの次元がｍ≦ｎ,すなわちdimＭ≦dimＮを満たす場合を想定します。

そして滑らかな写像ｆ：Ｍ→Ｎによって誘導される微分写像ｆ_*:Ｔ_p(Ｍ)→Ｔ_f(p)(Ｎ)が単射のとき,つまりrankｆ_*＝ｍ＝dimＭなるとき,写像ｆをＭからＮへの"はめ込み(immersion)"と言います。

写像ｆが"はめ込み"であって,かつ像ｆ(Ｍ)がＭに微分同相であるとき,ｆを"埋め込み(embedding)"であると言い,ｆ(Ｍ)をＮの部分多様体と呼びます。(再掲終わり)

さて,(Ｎ,ｇ_N)を計量ｇ_Nが与えられたｎ次元の微分多様体Ｍ⊂Ｎをｍ次元の部分多様体とします。

すなわち,ｆ：Ｍ→ＮがＭの部分多様体としての構造を誘導する"埋め込み"であるとします。このとき,引き戻しｆ^*はＭにおける自然な計量ｇ_Ｍ≡ｆ^*ｇ_Ｎを誘導します。この計量を誘導計量と言います。

定義をそのまま書き連ねてゆくと,まず写像ｆ:Ｍ→Ｎに対する引き戻しｆ^*は誘導写像ｆ^*:Ｔ_f(p)^*(Ｎ)→Ｔ_p^*(Ｍ)で,＜ｆ^*ω,Ｖ^＞＝＜ω,ｆ_*(Ｖ^)＞を満たすものとして定義されます。

そこで,∀Ｕ,Ｖ∈Ｔ_f(p)(Ｎ)に対しＶ→ｇ_Ｎ(Ｕ,Ｖ)で定義される写像(1-形式)ω_U≡ｇ_Ｎ(Ｕ,):Ｔ_f(p)(Ｎ)→Ｒの引き戻しは,＜ｆ^*ω_U,Ｖ^＞＝＜ω_U,ｆ_*(Ｖ^)＞,つまり＜ｆ^*ｇ_Ｎ(Ｕ,),Ｖ^＞＝＜ｇ_N(Ｕ,),ｆ_*(Ｖ^)＞を満たす写像です。

一方,ｆ:Ｍ→ＮとＶ^∈Ｔ_p(Ｍ)に対して誘導写像ｆ_*はｆ_*(Ｖ^)[ｈ]≡Ｖ^[ｈ・ｆ]で定義されます。

ここで,ｈはＮ上の任意関数です。

つまり∀Ｕ,Ｖ∈Ｔ_p(Ｍ)に対してｆ_*(Ｕ^),ｆ_*(Ｖ^)∈Ｔ_f(p)(Ｎ)ですから,写像ｇ_Ｍ≡ｆ^*ｇ_Ｎは＜ｆ^*ｇ_Ｎ(ｆ_*(Ｕ^),),ｆ_*(Ｖ^)＞＝＜ｇ_Ｎ(ｆ_*(Ｕ^),ｆ_*(Ｖ^)＞＝ｇ_Ｎ(ｆ_*(Ｕ^),ｆ_*(Ｖ^))を意味します。

結局,ｇ_Ｍ≡ｆ^*ｇ_Ｎなる定義は,ｇ_Ｍ(Ｕ^,Ｖ^)＝ｇ_Ｎ(ｆ_*(Ｕ^),ｆ_*(Ｖ^))なる等式を意味するというわけで,計量として自然な定義になっています。

ここで,最初の方で述べた(0,2)型テンソルｇを基底{ｄｘ^μ⊗ｄｘ^ν}で展開したときの係数ｇ_μν＝ｇ_μν(ｐ)が計量ｇ_pの成分である,という計量の成分の定義式:ｇ_p＝ｇ_μν(ｐ)ｄｘ^μ⊗ｄｘ^νを考えます。

点ｐ∈Ｍの座標をｘ,点ｆ(ｐ)∈Ｎの座標をｙ＝ｆ(ｘ)とし上の定義式ｇ_p＝ｇ_μν(ｐ)ｄｘ^μ⊗ｄｘ^νの代わりに,ｇ_Ｍ(ｘ)＝ｇ_Ｍμν(ｘ)ｄｘ^μ⊗ｄｘ^ν,ｇ_Ｎ(ｆ(ｘ))＝ｇ_Ｎ(ｙ)＝ｇ_Ｎμν(ｙ)ｄｙ^μ⊗ｄｙ^νと書いてみます。

一方,ｆ_*の定義式ｆ_*(Ｖ^)[ｈ]≡Ｖ^[ｈ・ｆ]にＶ^＝∂/∂ｘ^μを代入すると,ｆ_*(∂/∂ｘ^μ)[ｈ]＝[∂{ｈ(ｙ))/∂ｘ^μ]＝(∂ｆ^λ/∂ｘ^μ)(∂ｈ/∂ｙ^λ)ですから,結局ｆ_*(∂/∂ｘ^μ)＝(∂ｆ^λ/∂ｘ^μ)(∂/∂ｙ^λ)です。

そこで,上で得た等式ｇ_Ｍ(Ｕ^,Ｖ^)＝ｇ_Ｎ(ｆ_*(Ｕ^),ｆ_*(Ｖ^))にＵ^＝∂/∂ｘ^μ,Ｖ^＝∂/∂ｘ^νを代入すると,ｇ_Ｍ(∂/∂ｘ^μ,∂/∂ｘ^ν)＝ｇ_Ｎ(ｆ_*(∂/∂ｘ^μ),ｆ_*(∂/∂ｘ^ν))＝(∂ｆ^λ/∂ｘ^μ)(∂ｆ^σ/∂ｘ^ν)ｇ_Ｎ(∂/∂ｙ^λ,∂/∂ｙ^σ)を得ます。