相対論の幾何学(第Ⅱ部-7)(リー群とリー代数)

相対論の幾何学シリーズ記事の多様体に作用するリー群とリー代数等について残りの必要な知見を要約します。

まず,既に述べたことの復習です。

(復習):Ｘ^≡Ｘ^μ(∂/∂ｘ^μ)を微分多様体Ｍ上の滑らかなベクトル場とするとき,Ｘ^の積分曲線ｘ(ｔ)とはＭ上の曲線であって,その上の各点ｘ＝ｘ(ｔ)∈Ｍでの接ベクトルが丁度Ｘ^|_xに一致するものです。

つまり,ｘ＝ｘ(ｔ)がＸ^の積分曲線であるとは曲線上の各点ｘの近傍Ｕでチャート(Ｕ,φ)が与えられたとき,座標(位置ベクトル)ｘ(ｔ)＝{ｘ^μ(ｔ)}が,微分方程式ｄｘ^μ/ｄｔ＝Ｘ^μ(ｘ(ｔ))の解になることを意味します。

ただし,正確には点の座標ｘ^μ＝ｘ^μ(ｔ)とは,チャート(Ｕ,φ)による座標φ(ｘ(ｔ))の成分φ^μの意味です。

ベクトル場Ｘ^≡Ｘ^μ(∂/∂ｘ^μ)が滑らかなベクトル場であることから,初期条件として点ｘ(0)＝ｘ₀を与えれば,この点を通る一意的なｄｘ/ｄｔ＝Ｘの解が少なくとも局所的には存在することが,常微分方程式の解の存在と一意性の定理によって保証されます。

そこで初期条件ｘ(0)＝ｘ₀を満たすｄｘ/ｄｔ＝Ｘの一意解をσ(ｔ,ｘ₀)とします。

すなわち,ｄσ^μ(ｔ,ｘ₀)/ｄｔ＝Ｘ^μ(σ(ｔ,ｘ₀)),かつσ^μ(0,ｘ₀)＝ｘ₀^μとします。

このσ(ｔ,ｘ)∈Ｍ for (ｔ,ｘ)∈Ｒ×Ｍで表わされる写像σ:Ｒ×Ｍ → Ｍを"Ｍの上の滑らかなベクトル場Ｘ^によって生成される流れ"と呼びます。

[定義５]:リー群をＧとし,ａ,ｇ∈Ｇとする。Ｇの上での変換としてｇのａによる右移動Ｒ_a,および左移動Ｌ_aを,それぞれＲ_aｇ≡ｇａ,およびＬ_aｇ≡ａｇで定義する。

定義により,右左移動:Ｒ_a,Ｌ_aは共に明らかにＧからＧへの微分同相写像です。

したがって,これらに対して接ベクトルの空間の上の誘導写:Ｒ_a*:Ｔ_g(Ｇ)→Ｔ_ga(Ｇ),およびＬ_a*:Ｔ_g(Ｇ)→Ｔ_ag(Ｇ)が存在します。

そして,これら両方の移動は等価なので,以下では左移動のみを考えることにします。

以下,移動に関連する概念の定義をいくつか列記します。

[定義６]:Ｘ^＝Ｘ^μ(∂/∂ｘ^μ)をリー群Ｇ上のベクトル場とする。これが左移動に対してＬ_a*Ｘ^|_g＝Ｘ^|_agを満たすとき,このＸ^を左不変ベクトル場であるという。

[定義７]:Ｇの上の左不変ベクトル場全体の集合ｇであって,リー括弧積[ , ]:ｇ×ｇ →ｇが定義されたものをリー代数(Lie algebra),またはリー環という。

　(復習終わり)

　さて,Ｘ^≡Ｘ^μ(∂/∂ｘ^μ)を"リ－群Ｇ＝微分多様体Ｇ"上の滑らかな左不変ベクトル場とすると,これはＧにおける流れを生成します。これに関連して1つ定義を書きます。

[定義８]:Ｇにおける曲線φ:Ｒ→Ｇがφ(ｔ)φ(ｓ)＝φ(ｔ＋ｓ)を満たすとき,φをＧの１-パラメータ部分群)という。

これから,明らかにｅ＝φ(0),かつφ^-1(ｔ)＝φ(－ｔ)であり,曲線φはＲからＧへの準同型写像です。Ｇが非アーベル群の場合でも,曲線φの群は常にアーベル部分群であることもわかります。

Ｇの１-パラメータ部分群φ:Ｒ→Ｇが与えられたとき,ｄφ^μ(ｔ)/ｄｔ＝Ｘ^μを満たすベクトル場Ｘ≡Ｘ^μ(∂/∂ｘ^μ)が存在します。これがＧの上で左不変であることを示します。

すなわち,ｄ/ｄｔ≡(ｄφ^μ/ｄｔ)(∂/∂ｘ^μ)が左不変であることを証明します。

(証明):定義によれば,ベクトル場ｄ/ｄｔが左不変である,というのは(Ｌ_a)_*(ｄ/ｄｔ)|_g＝(ｄ/ｄｔ)||_agが成立することを意味しますが,点ｇと点ａｇが共に同じ流れ関数の曲線φ(ｔ)上の点でなければ,ｄ/ｄｔなる演算に意味がないのでｇ＝φ(ｓ),ａ＝φ(ｔ)とすると,φは１-パラメータ部分群なのでａｇ＝φ(ｔ)φ(ｓ)＝φ(ｔ＋ｓ)です。

今,ａもｇもパラメータｔ,ｓだけで決まるので,(Ｌ_a)_*(ｄ/ｄｔ)|_gを(Ｌ_t)_*(ｄ/ｄｔ)|_sと書きます。

そして,ｆ:Ｍ→Ｎに対する誘導写像ｆ_*:Ｔ_p(Ｍ)→Ｔ_f(p)(Ｎ)の定義式ｆ_*Ｘ^[ｈ]≡Ｘ^[ｈ・ｆ]で,ｆ,ｆ_*の代わりにＬ_t:Ｇ→Ｇ,(Ｌ_t)_*:Ｔ_φ(s)(Ｇ)→Ｔ_φ(t+s)(Ｇ)を代入し,ｈをＮ上の関数ではなくＧ上の任意関数とします。

すると,誘導写像の定義は,(Ｌ_t)_*(ｄｈ(φ(ｔ))/ｄｔ)|_s＝(ｄ/ｄｔ)[ｈ(Ｌ_tφ(ｓ))]＝(ｄ/ｄｔ)(ｈ(φ(ｔ＋ｓ)))を意味します。

それ故,１-パラメータ部分群φの場合,誘導写像の定義がそのまま左不変の定義(Ｌ_t)_*(ｄ/ｄｔ)|_s＝(ｄ/ｄｔ)|_t+sに一致しますから,確かにｄ/ｄｔ＝(ｄφ^μ/ｄｔ)(∂/∂ｘ^μ)は左不変です。

特に,ｇ＝φ(ｓ)でｓ＝0 つまりｇ＝φ(0)＝ｅとすれば左不変性は(Ｌ_t)_*(ｄ/ｄｔ)|₀＝(ｄ/ｄｔ)|_tと書けます。(証明終わり)

くどいようですが,Ｘ^≡Ｘ^μ(∂/∂ｘ^μ)の係数がＸ^μ≡ｄφ^μ(ｔ)/ｄｔで与えられる場合には,ｇ＝φ(ｔ)のときＸ^|_g＝Ｘ^μ(∂/∂ｘ^μ)|_g＝(ｄ/ｄｔ)|_t＝(ｄφ^μ/ｄｔ)(∂/∂ｘ^μ)|_φ(t)と書けます。

そして,この式でｔ＝0 としてｇの代わりにｅ＝φ(0)と書くと,Ｘ^|_e＝(ｄ/ｄｔ)|₀＝(ｄφ^μ/ｄｔ)(∂/∂ｘ^μ)|_φ(0)となります。

そこで,上に示したｄ/ｄｔの左不変性(Ｌ_t)_*(ｄ/ｄｔ)|₀＝(ｄ/ｄｔ)|_tは,ベクトル場Ｘ^を用いた表記ではＬ_g*Ｘ^|_e＝Ｘ^|_gとなります。

以上から,流れφ(ｔ)が与えられると,それに伴なう左不変ベクトル場Ｘ^|_gが常に存在することが示されました

逆に,左不変ベクトル場Ｘ^があると,ｄσ^μ(ｔ,ｇ)/ｄｔ＝Ｘ^μ|_g,かつσ(0,ｇ)＝ｇを満たす流れσ(ｔ,ｇ):Ｒ→Ｇが存在します。

そこでφ(ｔ)≡σ(ｔ,ｅ)と定義すると,曲線φ(ｔ)はＧの１-パラメータ部分群になることがわかります。

すなわち,定義によりｄσ^μ(ｔ,σ(ｓ,ｅ))/ｄｔ＝Ｘ^μ(σ(ｔ,σ(ｓ,ｅ))),つまりｄσ^μ(ｔ,φ(ｓ))/ｄｔ＝Ｘ^μ(σ(ｔ,φ(ｓ)))です。また特にσ(0,φ(ｓ))＝φ(ｓ)です。

一方,σ~(ｔ,φ(ｓ))をσ~(ｔ,φ(ｓ))≡φ(ｔ)φ(ｓ)で定義すれば,φ(ｔ)≡σ~(ｔ,ｅ)ですからｄσ~^μ(ｔ,φ(ｓ))/ｄｔ＝Ｘ^μ(σ~(ｔ,φ(ｓ))),かつσ~(0,φ(ｓ))＝φ(ｓ)です。

以上から,常微分方程式の解の一意性定理によって,σとσ~は一致します。つまりσ(ｔ,σ(ｓ,ｅ))＝σ~(ｔ,φ(ｓ))＝φ(ｔ)φ(ｓ)となりますが,σ(ｔ,ｇ)は流れですからσ(ｔ,σ(ｓ,ｅ))＝σ(ｔ＋ｓ,ｅ)＝φ(ｔ＋ｓ)を満足します。

そこで,結局φ(ｔ＋ｓ)＝φ(ｔ)φ(ｓ)が得られます。

こうして,Ｇの１-パラメータ部分群と左不変ベクトル場の間には１対１の対応があることがわかりました。

[定義９]:Ｇを１つのリー群としＶ＾∈Ｔ_e(Ｇ)とする。このとき指数写像:exp:Ｔ_e(Ｇ)→Ｇを,exp(Ｖ＾)≡φ_V(1)で定義する。ここでφ_V(ｔ)は左不変ベクトル場Ｘ_V|_g≡Ｌ_ｇ*Ｖ^に対応するＧの１-パラメータ部分群である。

(Ｘ_V|_e＝Ｖ＾∈Ｔ_e(Ｇ)であり,Ｘ_VはＸ_V|_g≡Ｌ_ｇ*Ｖ^で定義されて,これをＶ＾によって生成される左不変ベクトル場といいます。)

ここで,任意のベクトル場Ｖ^∈Ｔ_e(Ｇ)に対して一意的に決まる左不変ベクトル場Ｘ_V^の概念について,前記事で述べた内容を再掲します。

(再掲):任意のベクトル場Ｖ^∈Ｔ_e(Ｇ)とｇ∈Ｇに対して,ベクトル場Ｘ_V^をＸ_V^|_g≡Ｌ_g*Ｖ^で定義します。

　Ｘ_V^|_g,ｇ∈ＧはＧ全体で決まります。

　そして,これはＸ_V^|_ag＝Ｌ_ag*Ｖ^＝(Ｌ_a*Ｌ_g*)Ｖ^＝Ｌ_a*Ｘ_V^|_gを満たしますから,Ｘ_V^それ自身左不変です。

　逆にＧの上の任意の左不変ベクトル場Ｘ^があるとき,Ｔ_e(Ｇ)の元としてＶ^≡Ｘ^|_eを与えるとＸ_V^|_g＝Ｌ_a*Ｖ^|_gとなりますから,Ｘ_V^≡Ｘ^が成立します。

Ｇの上の左不変ベクトル場全体の集合をｇと書けば,写像Ｖ^→Ｘ_V^はＴ_ｅ(Ｇ)からｇへの同型写像であることがわかります。

左不変ベクトル場全体ｇはＴ_ｅ(Ｇ)に同型なベクトル空間です。そして,特にdimｇ＝dimＧです。

Ｘ_V^をＶ^によって生成される左不変ベクトル場といいます。

ベクトルＶ^＝Ｖ^μ(∂/∂ｘ^μ)|_e∈Ｔ_e(Ｇ)は,リー群Ｇが行列群ＧＬ(ｎ,Ｒ)の場合には,Ｖ^＝Ｖ^ij(∂/∂ｘ^ij)|_eとなり,Ｖ^で生成される左不変ベクトル場Ｘ_V^はＸ_V^|_g＝Ｌ_a*Ｖ^|_g＝Σ_ijklmＶ^ij[∂({ｘ^kl(ｇ)ｘ^lm(ｅ)}/∂ｘ^ij(ｅ)}{∂/∂ｘ^km(ｇ)}＝Σ_ijkｘ^ki(ｇ)Ｖ^ij(ｅ)(∂/∂ｘ^kj)|_gと表わされます。

(Ｖ^ijは行列Ｖ^の(ｉ,ｊ)要素ですが,これをｎ²次元ベクトルＶ^の成分Ｖ^μ(μ＝1,2,..ｎ²)と同一視しました。)

ここで,上の最後に陽に書いたベクトル場Ｘ_V^|_g＝Ｌ_a*Ｖ^|_gの係数をｇの座標を示す行列とＶ^の行列との積の行列要素として,Σ_kｘ^ki(ｇ)Ｖ^ij(ｅ)＝(ｇＶ)^kjと書くことにすれば,上記表現はＸ_V^|_g＝Σ_ij(ｇＶ)^ij(∂/∂ｘ^ij)|_gとなります。(再掲終わり)

さて,重要な定理を１つ与えて証明します。

[定理]:Ｇを１つのリー群としＶ＾∈Ｔ_e(Ｇ)とする。このときexp(ｔＶ＾)＝φ_V(ｔ)が成り立つ。

(証明)ａ∈Ｒをゼロでない定数とすると,φ_V(ａｔ)はｄφ_V^μ(ａｔ)/ｄｔ|_t=0＝ａｄφ_V^μ(ｔ)/ｄｔ|_t=0＝ａＶ^μを満たします。

　これは,φ_V(ａｔ)がａＶ＾で生成される左不変ベクトル場Ｘ_aV^|_g≡Ｌ_a*ａＶ^|_gから生成されるＧの１-パラメータ部分群φ_aV(ｔ)に一致することを意味しています。すなわち,φ_aV(ｔ)≡φ_V(ａｔ)です。

　ところが定義によって,exp(ａＶ＾)＝φ_aV(1)ですから,φ_aV(1)＝φ_V(ａ)により,exp(ａＶ＾)＝φ_V(ａ)です。

　最後の式でａをｔに置き換えると,exp(ｔＶ＾)＝φ_V(ｔ)を得ます。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(証明終わり)

さて,リー群Ｇが行列群ＧＬ(ｎ,Ｒ)の場合,そのリー代数をｇl(ｎ,Ｒ)と書くことにします。

つまり,Ｇの左不変ベクトル場全体の集合で,ｇ∈Ｇに対応して∀Ｖ＾∈Ｔ_e(Ｇ)に対しＸ_V^|_g＝Ｌ_g*Ｖ^＝ｇＶ∈ｇl(ｎ,Ｒ)が定義され,[Ｘ_V^,Ｘ_V^]|_g＝Ｌ_g*[Ｖ^,Ｗ^]|_g＝ｇ[Ｖ,Ｗ]なるリー括弧積[ , ]:ｇl(ｎ,Ｒ)×ｇl(ｎ,Ｒ)→ｇl(ｎ,Ｒ)が定義されるようなものをＧＬ(ｎ,Ｒ)のリー代数,またはリー環と呼び,ｇl(ｎ,Ｒ)と表記します。

一般に行列群Ｇに対して,Ｖ∈Ｔ_e(Ｇ)のときＶは行列であり,行列積:ｇＶがＸ_V^|_gの行列を表わします。

ｇＶ∈ｇl(ｎ,Ｒ)ですが,ｇ＝ｅとしたＶ^＝ｅＶも,もちろんリー代数ｇl(ｎ,Ｒ)の元です。

先述したように,Ｔ_e(Ｇ)はｇl(ｎ,Ｒ)と同型なのでＴ_e(Ｇ)をＧのリー代数ｇと同一視できます。

行列群に対しては指数写像は指数行列を意味します。

Ｇ＝ＧＬ(ｎ,Ｒ),Ａ∈ｇl(ｎ,Ｒ)のとき,Ａに対応する１-パラメータ部分群φ_A:Ｒ→ＧＬ(ｎ,Ｒ)をφ_A(ｔ)≡exp(ｔＡ)≡1＋ｔＡ＋ｔ²Ａ²/2！＋..＋ｔⁿＡⁿ/ｎ！＋..で定義します。

[φ_A(ｔ)]^-1＝φ_A(－ｔ)により,φ_A(ｔ)∈ｇl(ｎ,Ｒ)です。

そしてφ_A(ｔ＋ｓ)＝φ_A(ｔ)φ_A(ｓ),ｅ＝φ_A(0)も成立し,φ_A(ｔ)は確かにＧの１-パラメータ部分群として問題ありません。

またＡの指数写像:exp:Ｔ_e(Ｇ)→Ｇは,φ_A(1)＝exp(Ａ)＝1＋Ａ＋Ａ²/2！＋..＋Ａⁿ/ｎ！＋..で与えられます。

さらに,曲線ｇexp(ｔＡ)はｇ∈Ｇを通る流れであり,ｄ(ｇexp(ｔＡ))/ｄｔ|_t=0＝Ｘ_A|_g＝Ｌ_g*Ａ＝ｇＡが成立します。

曲線ｇexp(ｔＡ)は,各ｔに対して写像σ(ｔ):Ｇ→Ｇをσ(ｔ,ｇ)≡ｇexp(ｔＡ)によって定めます。これは右移動としてＲ_exp(ｔＡ)とも表現されます。

さて,次にはｎ＝dimＧとし,ｎは有限であって{Ｖ₁^,Ｖ₂^,..,Ｖ_n^}をＧ上のベクトル場Ｔ_e(Ｇ)の基底とします。

∀ｇ∈Ｇに対してＸ_μ^|_g≡Ｌ_g*Ｖ_μ^(μ＝1,2,..,ｎ)により,ｎ個の１次独立な左不変ベクトル場{Ｘ₁^,Ｘ₂^,..,Ｘ_n^}を定めます。

集合{Ｘ_μ^}_{μ＝1,2,..,n}はＧ全体で定義されるベクトル場Ｔ_g(Ｇ)の基底となり,標構と呼ばれます。

リー括弧積[Ｘ_μ^,Ｘ_ν^]|_gもまたＴ_g(Ｇ)の元ですから,基底{Ｘ_μ^}|_gの１次結合で表わすことができます。

すなわち,[Ｘ_μ^,Ｘ_ν^]＝ｃ_μν^λＸ_λ^と展開できます。このときの右辺の係数ｃ_μν^λをリー群Ｇの構造定数と呼びます。

構造定数ｃ_μν^λはｇ∈Ｇに依存すると考えられるので,[Ｘ_μ^,Ｘ_ν^]|_g＝ｃ_μν^λ(ｇ)Ｘ_λ^|_gと表記すれば,[Ｘ_μ^,Ｘ_ν^]|_e＝ｃ_μν^λ(ｅ)Ｘ_λ^|_eです。

この両辺にＬ_g*を作用させるとＬ_g*[Ｘ_μ^,Ｘ_ν^]|_e＝[Ｌ_g*Ｘ_μ^|_e,Ｌ_g*Ｘ_ν^|_e]＝[Ｘ_μ^,Ｘ_ν^]|_gなる公式によって[Ｘ_μ^,Ｘ_ν^]|_g＝ｃ_μν^λ(ｅ)Ｘ_λ^|_gが得られます。

つまり,ｃ_μν^λ(ｇ)＝ｃ_μν^λ(ｅ)です。これは構造定数ｃ_μν^λ(ｇ)がｇ∈Ｇに独立な定数であることを意味します。このことはリーの定理として知られています。

というわけで,以下では構造定数はｃ_μν^λ(ｇ)ではなく,ｃ_μν^λとのみ表記します。

構造定数は個々の元ｇに独立で全体のＧにのみ依存するので,むしろｃ_μν^λ(Ｇ)とでも表記すべきものです。ある意味では,これがリー群Ｇを完全に決定すると考えられます。

そして構造定数ｃ_μν^λは次の性質を持ちます。

(ａ)歪対称性:ｃ_νμ^λ＝－ｃ_μν^λ,これは[Ｘ_ν^,Ｘ_μ^]＝－[Ｘ_μ^,Ｘ_ν^]から明らかです。

(ｂ)ヤコービ恒等式:ｃ_μν^τｃ_τρ^λ＋ｃ_ρμ^τｃ_τν^λ＋ｃ_νρ^τｃ_τμ^λ＝0 ,これは,リー括弧積のヤコービ恒等式[[Ｘ_μ^,Ｘ_ν^],Ｘ_ρ^]＋[[Ｘ_ν^,Ｘ_ρ^],Ｘ_μ^]＋[[Ｘ_ρ^,Ｘ_μ^],Ｘ_ν^]＝0 を構造定数で表わしたものになっています。

次に{Ｘ_μ^}_{μ＝1,2,..,n}の双対基底,つまり左不変1-形式Ｔ_g^*(Ｇ)の基底であって,＜θ^μ,Ｘ_ν^＞＝θ^μ(Ｘ_ν^)＝δ^μ_νを満たすものを{θ^μ}_{μ＝1,2,..,n}と表わすことにします。

これは,以前の記事で,ｄｆ(Ｘ^)＝Ｘ^[ｆ]∈Ｒが内積の意味を持つため,これを＜ｄｆ,Ｘ^＞と表記したのと同じ意味です。

このときには,基底として{∂/∂ｘ^ν}を取り,その双対基底が{ｅ^*μ}＝{ｄｘ^μ}で与えられることを見ました。

そして基底の正規直交性を＜ｄｘ^μ,∂/∂ｘ^ν＞＝ｄｘ^μ(∂/∂ｘ^ν)＝δ^μ_νと表現しました。そして,任意のベクトル:Ｘ^＝Ｘ^μｅ_μ＝Ｘ^μ(∂/∂ｘ^μ)∈Ｔ_p(Ｍ)と,１-形式:ω＝ω_μｅ^{* μ}＝ω_μｄｘ^μ∈Ｔ_p^* (Ｍ)について＜ω,Ｘ^＞＝ω_μＸ^μとなり,これが基底の選択に依らないことを見ました。

さて,＜θ^μ,Ｘ_ν^＞＝δ^μ_νを満たす双対基底{θ^μ}はマウレ－・カルタン(Maurer-Cartan)の構造方程式と呼ばれる公式:ｄθ^μ＝(－1/2)ｃ_νλ^μθ^ν∧θ^λを満たします。

これも,以前に微分形式について述べたとき求めた公式:ｄω(Ｘ^,Ｙ^)＝Ｘ^[ω(Ｙ^)]－Ｙ^[ω(Ｘ^)]－ω([Ｘ^,Ｙ^])から導かれます。

すなわち,上式のω,Ｘ^,Ｙ^として,それぞれθ^μ,Ｘ_ν^,Ｘ_λ^を代入するとｄθ^μ(Ｘ_ν^,Ｘ_λ^)＝Ｘ_ν^[θ^μ(Ｘ_λ^)]－Ｘ_λ^[θ^μ(Ｘ_ν^)]－θ^μ([Ｘ_ν^,Ｘ_λ^])＝Ｘ_ν^[δ^μ_λ]－Ｘ_λ^[δ^μ_ν]－θ^μ(ｃ_νλ^ρＸ_ρ^)＝－ｃ_νλ^μとなります。

そこで,２-形式ｄθ^μを,基底{θ^ν∧θ^λ}で展開してｄθ^μ＝ａ_νλ^μθ^ν∧θ^λと書けば,上式からａ_νλ^μはａ_νλ^μ－ａ_λν^μ＝－ｃ_νλ^μを満たします。

係数ａ_νλ^μは,普通ａ_νλ^μ－ａ_λν^μ＝2ａ_νλ^μとなるように歪対称に選ぶので,ａ_νλ^μ＝(－1/2)ｃ_νλ^μとなり,それ故,ｄθ^μ＝(－1/2)ｃ_νλ^μθ^ν∧θ^λが得られます。

次に,リー代数:Ｔ_e(Ｇ)に値を持つ(1,1)-形式θ:Ｔ_g(Ｇ)→Ｔ_e(Ｇ)を,Ｘ^∈Ｔ_g(Ｇ)に対してθ(Ｘ^)≡(Ｌ_g-1)_*Ｘ^＝(Ｌ_g*)^-1Ｘ^∈Ｔ_e(Ｇ)で定義します。

このθ(Ｘ^)を,マウレー・カルタン形式,あるいは,標準１-形式と呼びます。

[定理]:(ａ)マウレー・カルタン形式θは,Ｔ_e(Ｇ)の基底{Ｖ_μ^}と,Ｔ_g^*(Ｇ)の基底{θ^μ}によってθ＝Ｖ_μ^⊗θ^μと展開される。

(ｂ)マウレ－・カルタン形式θは,ｄθ＋[θ∧θ]/2＝0 を満たす。ここでｄθ≡Ｖ_μ^⊗ｄθ^μであり,[θ∧θ]≡[Ｖ_μ^,Ｖ_ν^]⊗(θ^μ∧θ^ν)である。

(証明)(ａ)Ｔ_g(Ｇ)の基底を{Ｘ_μ^}とし,Ｘ_μ^＝Ｌ_g*Ｖ_μ^とするとθ(Ｘ_μ^)＝Ｖ_μ^,かつθ^μ(Ｘ_ν^)＝＜θ^μ,Ｘ_ν^＞＝δ^μ_νです。

　そこで,∀Ｙ^≡Ｙ^μＸ_μ^∈Ｔ_g(Ｇ)に対してθ(Ｙ^)＝Ｙ^μθ(Ｙ^)＝Ｙ^μＶ_μ^＝θ^μ(Ｙ^)Ｖ_μ^＝Ｖ_μ^⊗θ^μ(Ｙ^)です。

　Ｙ^は任意のＴ_g(Ｇ)の元なので,θ＝Ｖ_μ^⊗θ^μと結論されます。

(ｂ) ｄθ≡Ｖ_μ^⊗ｄθ^μ＝(－1/2)ｃ_νλ^μＶ_μ^⊗(θ^ν∧θ^λ)＝(－1/2)[Ｖ_ν^,Ｖ_λ^]⊗(θ^ν∧θ^λ)＝(－1/2)[θ∧θ]です。それ故,ｄθ＋[θ∧θ]/2＝0 を得ます。(証明終わり)

※素粒子論では自発的対称性の破れと関連してマウレー・カルタン形式が現われます。

すなわち,理論が元々は線型リー群Ｇに属する変換に対して不変であるという対称性を持っていたが,それが自発的に破れて部分群Ｈについてのみ不変という対称性が残ったとき,

"Ｇのリー代数ｇの基底＝Ｇの生成子"{Ｔ^A}を,対称性が破れていないＨの生成子{Ｓ^a}⊂ｈと,破れた生成子{Ｘ^a}⊂ｇ－ｈに分離します。

このとき現われる(dimＧ－dimＨ)個の零質量の南部・ゴールドストン粒子の場:π(ｘ)＝{π_a(ｘ)}は,(右)商空間Ｇ/Ｈ＝"(右)同値類:ｇＨ＝{ｇｈ∈Ｇ｜ｈ∈Ｈ}を元とする空間"のリー代数の座標となります。

Ｇ/Ｈの(右)同値類の代表元をξ(π)＝exp(iπ(ｘ)),π(ｘ)＝Σ_Xa∈ｇ-hπ_a(ｘ)Ｘ^a∈ｇ－ｈと書いて,α＝ξ^-1ｄξ∈ｇをマウレー・カルタン１-形式と呼びます。※

　さて,さらに群Ｇの作用を考えます。 

[定義10]:Ｍを多様体,ＧをＭに作用するリー群とする。ＧのＭへの作用は微分可能写像σ:Ｇ×Ｍ→Ｍで,(ⅰ)∀ｐ∈Ｍに対してσ(ｅ,ｐ)＝ｐ(ⅱ)σ(ｇ₁,σ(ｇ₂,ｐ))＝σ(ｇ₁ｇ₂,ｐ)を満たすものとする。

σ(ｇ,ｐ)をｇｐと表わすこともあります。

この表わし方では,上の作用規則は(ⅰ)∀ｐ∈Ｍに対してｅｐ＝ｐ(ⅱ) ｇ₁(ｇ₂ｐ)＝ｇ₁ｇ₂ｐを満たす,となります。

[定義11]:Ｍを多様体,ＧをＭに微分可能写像σ:Ｇ×Ｍ→Ｍによって作用するリー群とする。

(ａ)作用σが推移的である:とは∀ｐ₁,ｐ₂∈Ｍに対してσ(ｇ,ｐ₁)＝ｐ₂を満たすｇ∈Ｇが存在することをいう。

(ｂ)作用σが自由である:とは如何なる非自明なＧの元ｇもＭ内に不動点を持たないことをいう。すなわちσ(ｇ,ｐ)＝ｐなるｐ∈Ｍが存在するならｇ＝ｅでなければならないことをいう。

(ｃ)作用σが効果的である:とは,単位元ｅ∈ＧがＭ上に自明に作用する唯一の元であることをいう。すなわち,∀ｐ∈Ｍに対してσ(ｇ,ｐ)＝ｐならばｇ＝ｅでなければならないことをいう。

一般にリー群の左移動Ｌ:(ａｇ)→Ｌ_aｇ＝ａｇ,右移動Ｒ:(ａｇ)→Ｒ_aｇ＝ｇａはＧ自身の上で自由,かつ推移的ですね。

　また,点ｐ∈Ｍが与えられたとき,Ｇのｐへの作用σの下でのｐの軌道Ｇ_pを,Ｇ_p≡{σ(ｇ,ｐ)|ｇ∈Ｇ}で定義します。

　もしも,ＧのＭへの作用が推移的であれば,軌道Ｇ_pはＭ自身です。そしてＧのＧ_pへの作用は明らかに推移的です。

[定義12]:Ｍを多様体,ＧをＭに作用するリー群とする。

　点ｐ∈Ｍが与えられたときｐの等方群Ｈ(ｐ)とは,Ｈ(ｐ)≡{ｇ∈Ｇ|σ(ｇ,ｐ)＝ｐ}で定義されるＧの部分群である。

　Ｈ(ｐ)はまた,ｐの小群(little group),あるいは安定化部分群と呼ばれる。

※例えばＭを(3＋1)次元ミンコフスキー空間Ｒ^3,1,Ｇ＝ＳＯ(3,1)(ローレンツ群)とし,点ｐをｐ＝ｐ^μ＝(1,0,0,0)∈Ｒ^3,1に取ると,小群Ｈ(ｐ)は時間軸を固定した３次元空間の回転,つまりＳＯ(3)(回転群)に同型です。

　そこでＨ(ｐ)＝ＳＯ(3)の表現を調べることで,ローレンツ群全体の構造を知ることができます。

　つまり量子論における粒子のスピンによる分類におけるスカラー,ベクトル,テンソルetc.の粒子場が(3＋1)次元の幾何学量ではなく３次元空間の量であるのは,ローレンツ回転の自由度が"等方群＝ＳＯ(3)"で尽くされるからです。※

Ｇをリー群,Ｈをその任意の部分群とするとき剰余空間Ｇ/Ｈは微分構造を持ち多様体になります。

これを等質空間と呼びます。Ｇを多様対Ｍに推移的に作用するリー群とし,Ｈ(ｐ)を点ｐ∈Ｍに対する等方群とします。

このときの等質空間Ｇ/Ｈ(ｐ),Ｍがある種の要請を満たせば,Ｇ/Ｈ(ｐ)はＭに同相になります。

　Ｇを多様体Ｍ上で(ｇ,ｘ)→ｇｘとして作用するリー群とします。

　Ｖ^∈Ｔ_e(Ｇ)によって生成される左不変ベクトル場Ｘ_V^は,自然にＭにおけるベクトル場を誘導します。

　すなわち,Ｍにおける流れをσ(ｔ,ｘ)≡exp(ｔＶ^)ｘによって定義します。σ(ｔ,ｘ)はＧの１-パラメータ部分群です。このときＶ^#^|_x≡ｄσ(ｔ,ｘ)/ｄｔ|_t=0を誘導ベクトル場と呼ぶわけです。

　つまり,点σ(ｔ,ｘ)∈Ｍを陽に座標表示でσ^μ(ｔ,ｘ)と書くとき,Ｖ^#^|_x＝{ｄσ^μ(ｔ,ｘ) /ｄｔ|_t=0}(∂/∂ｘ^μ)|_x＝Ｖ^(∂/∂ｘ^μ)|_xが誘導ベクトル場です。

　Ｘ(Ｍ)を多様体Ｍ上のベクトル場全体の集合とするとき,Ｖ^→Ｖ^#^は＃:Ｔ_e(Ｇ)→Ｘ(Ｍ)なる１つの写像を定義します。

　さて,リー群ＧはＧ自身には特別な仕方で作用します。

[定義13]:Ｇをリー群とする。∀ａ∈Ｇに対して準同型ad_a:Ｇ→Ｇをad_aｇ≡ａｇａ^-1で定義する。一般に準同型を表現と呼ぶが,特にad_a:Ｇ→Ｇを随伴表現と呼ぶ。

　さて,ad_aｅ＝ｅですから,ad_a:Ｇ→Ｇの誘導写像ad_a*:Ｔ_g(Ｇ)→Ｔ_adag(Ｇ)のｇ＝ｅへの制限,ad_a*|_Ｔe(Ｇ)をAd_aと書くと,これはＴ_e(Ｇ)のＴ_e(Ｇ)自身への写像となります。

　そしてＴ_e(Ｇ)をＧのリー代数ｇと同一視して,Ad_aをＧ×ｇからｇへの写像と見るとき,この写像Ad_aを随伴写像と呼びます。

　Ｇが行列群であれば,随伴表現は単に行列演算になります。

　ｇ∈Ｇ,Ｘ_v∈ｇとしσ_v(ｔ)＝exp(ｔＶ)をＶ∈Ｔ_e(Ｇ)で生成される１-パラメータ部分群とすると,ad_gσ_v(ｔ)＝ｇexp(ｔＶ)ｇ^-1＝exp(ｔｇＶｇ^-1)(＝行列σ_v(ｔ)の共役)です。したがって,誘導ベクトル場もＶの共役であり,Ad_gＶ＝ｇＶｇ^-1を得ます。

今日はこれで終わります。

(相対論の幾何学第Ⅱ部終わり)

参考文献：中原幹夫 著「理論物理学のための幾何学とトポロジー」(ピアソン・エデュケーション),九後太一郎 著「ゲージ場の量子論Ⅱ」(培風館) ,大貫義郎 著「ポアンカレ群と波動方程式」(岩波書店)

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http://www.rakuten.co.jp/trs-kenko-land/　 健康商品の店「TRS健康ランド」－ SCS(食品洗浄剤),黒ウコン,酒の帝王,鵜鶏王などの専売店  ←この店は私TOSHIが店長をしています。(楽天ショップです。TRSのTはTOSHIのTです。)

　「TRS健康ランド」では2008年１月10日よりお徳用SCS500mlを新発売！！当店の専売です。

　そこのお酒のみの方，いろいろと飲食の機会の増えたあなた,悪酔いを防止すると言われているウコンがいいですよ！！　そして特に今回提供する沖縄原産の純粋な黒ウコンは当店が専売の新製品ですが古くから沖縄地方ではいわゆる男性の力に効果があると言われています。

　おやおや,そこの静電気バチバチの人、いいものありますよ。。。

　それから農薬を落とした後の皮がピカピカに光っているリンゴなど商品として販売する際の見栄えをよくするなどのために化学処理をした食品を安全に洗浄する新商品の洗浄液SCSはいかがですか。。。農薬ジクロルポスも食品専用の洗浄液SCSで落ちて安全になります。(厚労省試験済み)

http://www.mediator.co.jp/category/pages.php?id=115「中古パソコン！メディエーター巣鴨店」

http://folomy.jp/heart/「folomy 物理フォーラム」サブマネージャーです。 

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