運動物質内の相対論(5)(スカラー場,自由電磁場)

運動物質内の相対論の続きです。

今回は,自由な古典場の理論について述べます。

唐突ですが量子論のπ中間子の場のような自由スカラー場をφ(ｘ)とすると,これは通常クライン・ゴルドン方程式(Klein-Gordon方程式):(□－κ²)φ＝(∂²φ/∂ｘ^μ∂ｘ_μ)－κ²φ＝0 に従います。

ここで,κは核力の湯川ポテンシャルＶ(ｒ)＝Ａexp(－κｒ)/ｒにおける定数で,κ＞0に取れば,これは核力の到達距離として1/κを与えるものです。単位をうまく選ぶとκは中間子の質量に相当します。

場φ(ｘ)が従うクライン・ゴルドン方程式(□＋κ²)φ＝(∂²φ/∂ｘ^μ∂ｘ_μ)－κ²φ＝0 は,∂φ/∂ｘ^μを∂_μφと書くと∂_μ∂^μφ－κ²φ＝0 と書き直すことができます。

この方程式は,ラグランジアン密度と呼ばれるあるφと∂_μφの関数Ｌ(φ,∂_μφ)に対する１つの変分原理δ∫Ｌ(φ,∂_μφ)ｄΣ＝0 から導くことができます。

すなわち,φの変分:δφ＝δφ(ｘ)を任意の４次元積分領域の３次元境界でゼロになるように選べば,δ∫ＬｄΣ＝∫δＬｄΣ＝∫[(∂Ｌ/∂φ)δφ＋{∂Ｌ/∂(∂_μφ)}δ(∂_μφ)]ｄΣ＝∫[∂Ｌ/∂φ－∂_μ{∂Ｌ/∂(∂_μφ)}]δφｄΣとなります。

これが境界を除く領域では任意のδφに対して常にゼロですから,到るところで,∂Ｌ/∂φ－∂_μ{∂Ｌ/∂(∂_μφ)}＝0 が成立する必要があります。

この方程式を,変分原理δ∫ＬｄΣ＝0 に対するオイラー・ラグランジュの方程式と呼びます。

そして,特にＬ(φ,∂_μφ)≡－(1/2)(∂_μφ∂^μφ＋κ²φ²)とおけば∂Ｌ/∂φ－∂_μ{∂Ｌ/∂(∂_μφ)}＝－κ²φ＋∂_μ∂^μφなので,変分原理から導かれるオイラー・ラグランジュの方程式:∂Ｌ/∂φ－∂_μ{∂Ｌ/∂(∂_μφ)}＝0 がクライン・ゴルドン方程式(□＋κ²)φ＝∂_μ∂^μφ－κ²φ＝0 に一致します。

そして,理論の座標の平行移動不変性に関するネーターの定理から,エネルギー運動量テンソル:Ｔ^μνはＴ^μν＝{∂Ｌ/∂(∂_νφ)}∂^μφ－η^μνＬで与えられることがわかります。

このエネルギー運動量テンソルＴ^μνが保存則∂Ｔ^μν/∂ｘ^ν＝0 を満たすことは,ネーター(Noether)の定理で保証されます。

(これらの詳細については例えばこのブログの2008年６/22の記事「ネーターの定理と電磁エネルギー運動量テンソル」を参照してください。)

今の場合はＬ(φ,∂_μφ)≡－(1/2)(∂_μφ∂^μφ＋κ²φ²)なので,Ｔ^μνの陽な形は,Ｔ^μν＝－∂^μφ∂^νφ＋(1/2)η^μν(∂_μφ∂^μφ＋κ²φ²)＝(1/2)(－∂^μφ∂^νφ＋κ²η^μνφ²)ですが,これは確かに対称テンソルです。

特に,Ｔ⁰⁰＝{∂Ｌ/∂(∂₀φ)}∂₀φ－Ｌなので,系のエネルギーはＨ＝∫Ｔ⁰⁰ｄＶ＝∫[{∂Ｌ/∂(∂₀φ)}∂⁰φ－Ｌ]ｄＶと表わされます。

この右辺の形は系のラグランジアンＬがＬ≡∫ＬｄＶで与えられるとするとき,多体系のハミルトニアンが,Ｈ＝Σ_i[{∂Ｌ/∂(ｄｑⁱ/ｄｔ)}(ｄｑⁱ/ｄｔ)－Ｌ}Σ_i{ｐⁱ(ｄｑⁱ/ｄｔ)－Ｌ}で与えられるという事実の連続体への拡張になっています。

そして今の場合は,具体的にＴ⁰⁰＝(1/2)(－∂⁰φ∂⁰φ＋κ²φ²)なのでＨ＝(1/2)∫(－∂⁰φ∂⁰φ＋κ²φ²)ｄＶです。

一般には,上のスカラー場φ＝φ(ｘ)は多数の場の変数{φ^k}＝{φ^k(ｘ)}＝{φ¹(ｘ),φ²(ｘ),..}で記述される系の特別な場合と考えられます。

∂_μφ^k≡∂φ^k/∂ｘ^μと書くと,一般の場合のφ^k(ｘ)が従う方程式もローレンツ不変なスカラー関数の１つであるラグランジアン密度Ｌ＝Ｌ(φⁱ,∂_μφ^j)に対する変分原理;δ∫Ｌ(φⁱ,∂_μφ^j)ｄΣ＝0 から導かれるオイラー・ラグランジュの方程式∂Ｌ/∂φⁱ－∂_μ{∂Ｌ/∂(∂_μφⁱ)}＝0 で与えられます。

仮定によってＬ(φⁱ,∂_μφ^j)はスカラーですから場の方程式∂Ｌ/∂φⁱ－∂_μ{∂Ｌ/∂(∂_μφⁱ)}＝0 は,どの慣性系でも同じ形を持ちます。

そして,この場合のネーターの定理から与えられるエネルギー運動量テンソルをθ^μνと書くと,θ^μν＝Σ_i{∂Ｌ/∂(∂_νφⁱ)}∂^μφⁱ－η^μνＬであり,もちろん∂θ^μν/∂ｘ^ν＝0 を満たします。

Ｌ(φⁱ,∂_μφ^j)がスカラーなので,θ^μνがテンソルであることも明らかで,これを正準エネルギー運動量テンソルと呼びます。

前述した１変数の場合と同じように,特に時間成分θ⁰⁰＝Σ_i{∂Ｌ/∂(∂₀φⁱ)}∂⁰φⁱ－Ｌはハミルトニアン密度関数です。

このθ^μνが対称テンソルであるかどうかは,系のラグランジアンが回転対称性を有しているかどうかに依存します。

閉じた系は回転対称性を持っていて,総角運動量が保存することが要求されます。

そこで,求めたθ^μνが対称テンソルでない一般の場合には,ｔ^μν－ｔ^νμ＝－(θ^μν－θ^νμ),かつ∂ｔ^μν/∂ｘ^ν＝0 を満たす任意のテンソルｔ^μνを加え,Ｔ^μν≡θ^μν＋ｔ^μνがＴ^μν＝Ｔ^νμを満たすようにして,このＴ^μνを真のエネルギー運動量テンソルと呼ぶこともあるようです。

既に述べた真空中の自由電磁場では,Ｌ(Ａ^μ,∂_μＡ^ν)＝－(ｃ²ε₀/4)Ｆ_μνＦ^μν＝－(ｃ²ε₀/4)(∂_μＡ_ν－∂_νＡ_μ)(∂^μＡ^ν－∂^νＡ^μ)＝－(ｃ²ε₀/2)(∂_μＡ_ν∂^μＡ^ν－∂_μＡ_ν∂^νＡ^μ)＝(1/2)(ε₀Ｅ²－μ₀^-1Ｂ²)です。

この場合の場の運動方程式であるオイラー・ラグランジュの方程式∂Ｌ/∂φⁱ－∂_μ{∂Ｌ/∂(∂_μφⁱ)}＝0 は∂Ｌ/∂Ａ_ν－∂_μ{∂Ｌ/∂(∂_μＡ_ν)}＝－∂_μ{∂Ｌ/∂(∂_μＡ_ν)}＝0 となります。

そして∂Ｌ/∂(∂_μＡ_ν)＝－(∂^μＡ^ν－∂^νＡ^μ)＝(ｃ²ε₀)Ｆ^νμなので,場の方程式は∂_μＦ^νμ＝0 ,あるいは∂_νＦ^μν＝∂Ｆ^μν/∂ｘ^ν＝0 となります。

これは,さらに(∂²Ａ^μ/∂ｘ^ν∂ｘ^ν)－(∂²Ａ^ν/∂ｘ^ν∂ｘ^μ)＝□Ａ^μ－(∂/∂ｘ^μ)(∂Ａ^ν/∂ｘ^ν)＝0 と書けますが,特に補助的ゲージ条件としてＡ^μがローレンツ条件(ローレンス条件)∂Ａ^μ/∂ｘ^μ＝0 を満たす場合には□Ａ^μ＝0 という簡単な形になります。

また,真空中の電磁場の場合には,θ^μν＝Σ_i{∂Ｌ/∂(∂_νφⁱ)}∂^μφⁱ－η^μνＬはθ^μν＝∂Ｌ/∂(∂_νＡ^λ)}∂^μＡ^λ－η^μνＬ＝(ｃ²ε₀)[Ｆ_λ^ν∂^μＡ^λ＋(1/4)η^μν(Ｆ_λσＦ^λσ)],つまりθ^μν＝(ｃ²ε₀)[Ｆ_λ^ν∂^μＡ^λ＋(1/4)η^μν(Ｆ_λσＦ^λσ)]です。

一方,以前2008年５/30の本ブログの記事「電磁気学と相対論(6)(真空中の電磁気学５)」で与えた電磁エネルギー運動量テンソルの表現はＳ^μν＝－(ｃ²ε₀)(Ｆ_λ^μＦ^λν－(1/4)η^μν(Ｆ_λσＦ^λσ)]です。

この形を見ると,明らかにＳ^μνは対称テンソルでＳ^μν＝Ｓ^νμですから,Ｓ^μν＝－(ｃ²ε₀)(Ｆ_λ^νＦ^λμ－(1/4)η^μν(Ｆ_λσＦ^λσ)]とも書けますが,これはＳ^μν＝θ^μν＋ｔ^μνと書くと上のθ^μνとｔ^μν＝－(ｃ²ε₀)Ｆ_λ^ν∂^λＡ^μだけ違うことがわかります。

しかし,運動方程式∂Ｆ^μν/∂ｘ^ν＝0 より∂ｔ^μν/∂ｘ^ν＝－(ｃ²ε₀){∂_ν(Ｆ_λ^ν∂^λＡ^μ)＝－(ｃ²ε₀)Ｆ_λ^ν(∂_ν∂^λＡ^μ)＝－(ｃ²ε₀)Ｆ_λν(∂^ν∂^λＡ^μ)＝0 です。

なぜならＦ_λνは反対称:Ｆ_λν＝－Ｆ_νλで,∂^ν∂^λＡ^μは対称:∂^ν∂^λＡ^μ＝∂^λ∂^νＡ^μ)なので,Ｆ_λν(∂^ν∂^λＡ^μ)＝－Ｆ_λν(∂^ν∂^λＡ^μ)となるからです。

とにかく,ネーター保存量には∂ｔ^μν/∂ｘ^ν＝0 を満たすｔ^μνだけの曖昧さがあります。

θ^νμ－θ^μν＝(ｃ²ε₀)(Ｆ_λ^μ∂^νＡ^λ－Ｆ_λ^ν∂^μＡ^λ)＝(ｃ²ε₀)[(∂_λＡ^μ－∂^μＡ_λ)∂^νＡ^λ－(∂_λＡ^ν－∂^νＡ_λ)∂^μＡ^λ]＝(ｃ²ε₀)(∂_λＡ^μ∂^νＡ^λ－∂_λＡ^ν∂^μＡ^λ)＝－(ｔ^νμ－ｔ^μν)≠0 ですから,θ^μν単独では角運動量は保存しません。

そこで,θ^μνにｔ^μνを加えたもので,かつての記事で導いたＳ^μν＝－(ｃ²ε₀)(Ｆ_λ^μＦ^λν－(1/4)η^μν(Ｆ_λσＦ^λσ)]を角運動量の保存をも含む真の真空中の電磁エネルギー運動量テンソルと考えます。

ところで,全ての保存量はある種の対称性と関わっていてそれを理論的に示すものがネーター保存量であるとよくいわれます。

そもそも,２つのネーターカレントｊ₁^μ(ｘ),とｊ₂^μ(ｘ)があって,保存則∂ｊ₁^μ/∂ｘ^μ＝0,∂ｊ₂^μ/∂ｘ^μ＝0 ,またはＱ₁≡∫ｊ₁⁰(ｘ,ｔ)ｄｘ,Ｑ₂≡∫ｊ₁⁰(ｘ,ｔ)ｄｘについてｄＱ₁/ｄｔ＝0,ｄＱ₂/ｄｔ＝0 が成立するとします。

このとき,∂(ａｊ₁^μ＋ｂｊ₂^μ)/∂ｘ^μ＝0,またはｄ(ａＱ₁＋ｂＱ₂)/ｄｔ＝0 が成立して,ａＱ₁＋ｂＱ₂も保存量になりますから,極端な話,総電荷Ｑと総質量Ｍが保存する系なら単位が違って明らかに無意味ですが,単純和(Ｑ＋Ｍ)も保存されます。

よって,全ての保存量はある種の対称性と関わっているということの本質も,注意して用いないと誤解を生みそうな言葉です。

ところで運動物質内の相対論という表題なのに,真空中の電磁場というと少し違和感を感じるかもしれないので,いくらか補足説明をしておきます。

すなわち,かつての力学的世界観では,波動というと現実に何かの媒質が振動してエネルギーあるいは信号が伝播していくというイメージしかなかったわけです。

力学的な作用の主要な原因は電磁気的作用であるというような正しい認識がなかった力学的世界観の時代には,離れた２点の間で力が伝達されるとき,それを近接作用として理解しようとすれば,それら２点はある連続体物質で連結されていて,その間をつなぐ連続物質を媒質と呼ぶなら媒質内部の隣接部分同士で力を伝達するのは圧力などの弾性応力作用しか考えられなかったわけです。

そして,弾性応力が伝播する作用を波動として表現するとき,当時は"弾性波＝音波"しか考えられなかったのです。

そこで,電気力や磁気力の存在を知ったときも,何か得体はわからないけれど,それらの力を媒介する物質が存在すると仮定しその媒質を"エーテル"と呼んだわけです。

例えば通常の"音波＝弾性波"の伝達には常に媒質があります。

そしてこの媒質が空気の場合なら,その中での音速は摂氏15度の常温では約340m/sであるといわれていますが,その速度の値というのは実は媒質が静止している座標系での音波の速度(位相速度)の値です。

しかし,例えば媒質である空気の速度が10m/sに見える座標系＝観測者が秒速10ｍの風が吹いていると感じるような座標系では,同じ音の速さが,風の向きによっては,約330m/sとか,約350m/sと観測されます。

これは媒質中の弾性波の伝播は,実は媒質自身の力学的振動の伝達によるものなので,媒質静止時の音速に媒質自身の運動速度が加味されるからです。

しかし,例えば逆に無風である空気中を走る電車から発せられる警笛のように,音源がある速度で運動していても観測者に対して媒質である空気が静止している限りは,約340m/sなりの音速が観測されることに変わりはないわけです。

ですから,音波でなく光波であろうと,そして媒質として"エーテル"が存在しようがしまいが,光が波でありさえすれば,音速＝音波の位相速度と同じく,光速＝光波の位相速度も光源の運動状態に全く無関係であるのは当然です。

そこで,アインシュタイン(Einstein)が相対性理論を発表した当時に最初に書いていた"光速は光源の運動に無関係である云々"という有名な言葉の意味を解釈するとき,これは単に光が波であることを述べているのだろうか？とか,結構悩ましかったという記憶があります。

風が吹いてなきゃ,音速だって音源の運動に無関係ですからね。

"光速が光源の運動によらない"というよりも,"観測者,あるいは彼の乗っている慣性座標系によらず,光速は常に一定値として観測される"というのなら,現状の相対論に対する認識と同じです。

これなら,"媒質＝エーテルが存在して光の波はエーテルが振動して伝播する波である"というような描像は破綻します。

そうすれば,"光波は媒質のない真空中を伝播する",または,"媒質が存在しても,"媒質＝エーテル"は観測者が慣性座標系を乗り換えても常に彼と一緒に同じように運動する不可思議なものである"ということになります。

したがって,いつも観測される同じ値の光速というのは,そも何に対する速度なのか？,あるいは,どの座標系に乗った観測者の測定する速度なのか？という疑問が生じて,そこから相対論発見への道が開けると思えます。

というわけで,ちょっと長い説明でしたが,力場が場の伝達のための連続物質の存在を必要としない場合,つまり場を語るのにそれを媒介する連続体を必要とせず真空中で十分である場合という例として真空中の電磁場を想定したわけです。

でも,それと光波が何の関係があるの？とか言われると,それは結局,電磁気力においては,弾性応力を伝達する"弾性波＝音波"に対応する波が電磁波であり光も電磁波だからです。

とは言え,現実には物質内の誘電体とか磁性体などを扱う現象論的な物質内の電磁気学という物理学の分野もあるじゃないか？と言われるかもしれません。そうした扱いの現象論物理学も確かに存在します。

しかし,既に古典論の段階でも物質の熱物理学や流体力学などでは実際には連続ではない微視的な莫大な個数の分子や原子の集まりを連続体と近似し,統計的平均量を扱っている近似理論であることが認識されていました。

そして,これらと同じように電磁気学も,当初からローレンツの電子論などの思想があって,物質を構成する個々の原子,あるいはそれを構成する原子核や電子にとっては,周りはスカスカの真空空間であり,個々の荷電粒子は単に真空中の電磁場と相互作用しているだけです。

それ故,微視的には各々の構成粒子が真空中のマクスウェル(Maxwell)方程式に従う電磁場に影響され,他方電磁場の方も逆に物質を構成する原子,分子の影響を受けているという,互いに相互作用しているという描像を考えれば十分です。

結局,それらの相互作用を含む構成粒子と電磁場双方が従う完全な運動方程式を立てて分析できれば,特に誘電体の誘電率とか磁性体の透磁率とかの現象論的な定数を考える必要ありません。

これら誘電率とか透磁率とかの量は,流体力学において散逸と関わる粘性率などと同じく,単に巨視的な粒子の集まりを連続体近似したときの統計的平均量で,基本的方程式系から導いた現象論的方程式に寄与するだけであると思われます。

もちろん,これらは基礎理論じゃなく応用だなどといって,基礎理論の優位性を主張するものではありません。

実際,物性理論や統計物理学なしに微視的理論から直接現実の巨視的現象を説明することは事実上は不可能です。

ともあれ,次回以降では電磁場だけで閉じた系ではなく,"電磁場＋物質"の総体が閉じた系であるとする系を考察します。

真空中では全く問題がなかった上記のエネルギー運動量テンソルが現象論的な物質中のマクスウェル理論においては,ミンコフスキー(Minkowski)の表現とアブラハム(Abraham)の表現に代表されるような様々な形式の表現が主張されます。

こうした,歴史的な混乱を生み出してきた主要な理由は,単に"電磁場＋物質"のエネルギー運動量テンソルの部分系への分割の仕方の問題でしかないことを示すつもりです。

余談ですが,この前まで論じていた"箱の中に閉じ込められた粒子"の議論でも連続と離散が問題になっていました。

既に書いたように,これは結局は単に無限級数において項別微分が許されるかどうか?ということと同じ問題です。

つまり,このケースは級数ではなく無限区間での定積分が対象ですからシグマ記号ではなく積分記号ですが,そうした記号の中でexp(ipx)などの因子を含む被積分関数を積分記号を飛び越えて微分することが可能かどうか?ということから生じた数式の不一致が問題です。

これは,ほぼ純粋に数学の問題です。

まあ,そもそも量子論では,有限であるべき散乱振幅などの計算において,運動量やエネルギーによるファインマン積分が無限大になるという紫外発散の困難があります。

これは,そもそも積分区間が無限大であることが発散の主因なので,これを避ける有効理論としての"くりこみ理論"で発散を除去する正規化法の１つは運動量ｐ＝ｈ/λやエネルギーＥ＝ｈｃ/λに上限があるとすることです。

つまり,"紫外極限＝ｐ,Ｅ ～ ∞ (λ～ 0 )"を避けるため,最低の長さの"切断波長λ_c(λ≧λ_c)"を設定することです。

そして,これは時空自身が連続体ではなく,Δｘ～λ_c程度の刻みを持つ格子空間であるとか,"大きさ＝長さ"のある紐であるとか,あるいは時空の量子化などを考えることによって,ある種の離散時空の空間であると考えることに同等です。

つまり,"時空が離散的であること"が,"運動量空間のエネルギーや運動量に上限があること",つまり,"その空間上の関数には台があるということ"に対応していて,これによって紫外発散や零点エネルギーなどの困難が回避できる,という思想があります。

これは"箱の中に閉じ込められた粒子"の話とは座標空間と運動量空間が逆転していますが,こうした時空の量子化や格子,そして紐の話は運動量空間が有限な上限を持つ箱の内部に限定され,その結果,運動量の関数は常に有限な台を持ち,その連続的な運動量によるフーリエ積分を座標空間に変換すると,Δｘ～λ_c程度の刻みのフーリエ級数になるということを意味します。

こうした理論では,時空の離散化がくりこみ回避の１つの鍵に成り得ます。

これも余談ですが,結晶が周期構造を持つ物性物理の固体物理学でも,座標格子空間の逆格子空間が運動量格子であり,相補的量であるｘとｐの双対性を考えることは,常に重要な示唆を与えると感じます。早い話,不確定性原理なんですね 。

例によって脱線しかけたので,今日はこれで終わります。次回からは閉じてない系の話に入る予定です。

参考文献：メラー 著(永田恒夫,伊藤大介 訳)「相対性理論」(みすず書房)

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