運動物質内の相対論(6)(閉じていない系)

運動物質内の相対論の続きです。

ここからは閉じていない系に入ります。

まず,一般論です。

どんな場合にも,それに応じて対象となる領域を十分大きい範囲に取れば,全体としては必ず閉じた系になるはずですから,その閉じた系をΣとして系の全エネルギー運動量テンソルをＴ^μνとします。

そして,全系Σを２つの閉じていない系Σ₍₁₎,およびΣ₍₂₎に分割して,それらのエネルギー運動量テンソルをそれぞれＴ₍₁₎^μν,およびＴ₍₂₎^μνとします。

系の分割というのは,単にＴ^μνをＴ^μν＝Ｔ₍₁₎^μν＋Ｔ₍₂₎^μνと２つに分けることを意味します。

Ｔ^μνを２つに分ける方法は無数にあるので,それらに応じて系を２つの閉じていない系に分割する仕方も無数にあります。

例えば閉じた全系Σが帯電体である場合,Ｔ₍₁₎^μνに物質の力学的エネルギー運動量テンソルを,Ｔ₍₂₎^μνに電磁エネルギー運動量テンソルを振り分ける方法もあります。

そして,ｆ^μ≡－∂Ｔ₍₂₎^μν/∂ｘ^νによって,４元ベクトルｆ^μを定義すると,Ｔ^μν＝Ｔ₍₁₎^μν＋Ｔ₍₂₎^μνであり,かつ∂Ｔ^μν/∂ｘ^ν＝0 なので∂Ｔ₍₁₎^μν/∂ｘ^ν＝－∂Ｔ₍₂₎^μν/∂ｘ^ν＝ｆ^μを得ます。

改めて上記のΣ₍₁₎,Ｔ₍₁₎^μνを単にΣ,Ｔ^μνと書いて任意の閉じていない系と考え,また上記のＴ₍₂₎^μνをＳ^μνと書くことで一般の任意の閉じていない系(Σ,Ｔ^μν)に対して,常に∂Ｔ^μν/∂ｘ^ν＝ｆ^μ＝－∂Ｓ^μν/∂ｘ^νと書けることがわかります。

そして,閉じてない系のエネルギー運動量テンソルＴ^μνの時間空間成分Ｔ^0k,およびＴ^μ0の物理的意味は閉じた系の場合と同じと考えます。

すなわち,系のエネルギー密度をｈ,３次元のエネルギー流束密度ベクトルをＳ,運動量密度ベクトルをｇで表わすとき,成分表示でＳ^k＝ｃＴ^0kであり,ｇ^k＝Ｔ^k0/ｃ,ｈ＝Ｔ⁰⁰,またはｇ^μ＝(ｈ/ｃ,ｇ)＝Ｔ^μ0/ｃと考えます。

しかし,以前には成立していた微分形の運動量保存式∂ｇⁱ/∂ｔ＋∂Ｔ^ij/∂ｘ^j＝0 ,およびエネルギー保存式∂ｈ/∂ｔ＋divＳ＝0 は閉じていない系では成立しません。

今の場合は,∂Ｔ^μν/∂ｘ^ν＝ｆ^μによって,∂ｇⁱ/∂ｔ＋∂Ｔ^ij/∂ｘ^j＝ｆⁱ,および∂ｈ/∂ｔ＋divＳ＝ｃｆ⁰に変わります。

ただしＴ^ijは閉じた系と同じく応力テンソル,または運動量流束テンソルを表わします。

先にも述べたように,閉じた系を２つの閉じていない系に分割する仕方は無数にあるので,閉じていない系のエネルギー運動量テンソルＴ^μνは必ずしも対称である必要はありませんが,総和(Ｔ^μν＋Ｓ^μν)は閉じた系なので対称です。

Ｔ^μν－Ｔ^νμ＝－(Ｓ^μν－Ｓ^νμ)が成立する必要があります。

また,先に閉じた系では,∂Ｔ^μν/∂ｘ^ν＝0 によって(ｄ/ｄｔ)(∫Ｔ^μ0ｄＶ)＝0 が成立するので,Ｇ^μ≡∫ｇ^μｄＶ＝(Ｈ/ｃ,Ｇ)で定義される４つの量は時間的に一定になると述べました。

これらも今の系では∂Ｔ^μν/∂ｘ^ν＝ｆ^μなので,(ｄ/ｄｔ)(∫Ｔ^μ0ｄＶ)/ｃ＝ｄＧ^μ/ｄｔ＝∫ｆ^μｄＶとなって一般に一定値ではないことがわかります。

ここで,前と同じくＧは系の運動量,Ｈは系のエネルギーに同定されるとしています。

閉じた系では,ａ^μを任意の定４元ベクトルとしてｂ^ν≡ａ_μＴ^μνとおけば,∂Ｔ^μν/∂ｘ^ν＝0 により∂ｂ^ν/∂ｘ^ν＝ａ_μ∂Ｔ^μν/∂ｘ^ν＝0 が成立しますから,両辺に４次元体積要素ｄΣ＝ｄｘ⁰ｄｘ¹ｄｘ²ｄｘ³を掛けて積分し拡張されたガウスの定理を用いると∫_Ωｂ^μｄＶ_μ＝0 となります。

ここでΩは４次元領域Σの３次元境界を示しています。

そこで,(3＋1)次元空間の任意の２つの慣性座標系をＳ,およびＳ'とし,Ｓ系のｘ⁰＝一定で定義される超平面Ω₁とＳ'系のｘ'⁰＝一定で定義される超平面をΩ₂として対象とする(3＋1)次元区域Σを境界Ωが超平面Ω₁,Ω₂,およびＴ^μν≠0 を満たす管を含む円筒の側面の超曲面Ω₃で形成されるように取ります。

このとき,側面Ω₃上ではＴ^μν＝0 なので,∫_Ω3ｂ^μｄＶ_μ＝0 となり,上で求めた∫_Ωｂ^μｄＶ_μ＝0 は,∫_Ω1ｂ^μｄＶ_μ＋∫_Ω2ｂ^μｄＶ_μ＝0 を意味することになります。

そして,この式∫_Ω1ｂ^μｄＶ_μ＋∫_Ω2ｂ^μｄＶ_μ＝0 ,および左辺の積分項は座標系の取り方によらず不変ですから,左辺第１項をＳ系,第２項をＳ'系で計算してΩ₂上の事象はΩ₁上の事象よりも時間的に未来であるとすれば,∫_Ω1ｂ⁰ｄＶ＝∫_Ω2ｂ'⁰ｄＶ'です。

つまりａ_μＧ^μ＝(ａ_μ/ｃ)[∫Ｔ^μ0ｄＶ]＝(1/ｃ)[∫ｂ⁰ｄＶ]によりａ_μＧ^μ＝ａ'_μＧ'^μとなって,これはａ_μＧ^μがスカラーであることを意味します。

そして,ａ^μは任意の４元ベクトルなので,閉じた系ならＧ^μ≡∫ｇ^μｄＶ＝(Ｈ/ｃ,Ｇ)も４元ベクトルであることが示されます。

しかし,これを今の閉じてない系の∂Ｔ^μν/∂ｘ^ν＝ｆ^μの場合で考えると,閉じた系という前提で成立した式:∂ｂ^ν/∂ｘ^ν＝ａ_μ∂Ｔ^μν/∂ｘ^ν＝0 は,今度は∂ｂ^ν/∂ｘ^ν＝ａ_μ∂Ｔ^μν/∂ｘ^ν＝ａ_μｆ^μなる式に変わっています。

そこで,∫_Ωｂ^μｄＶ_μ＝∫_Ω1ｂ^μｄＶ_μ＋∫_Ω2ｂ^μｄＶ_μ＝0 なる式も,∫_Ω1ｂ^μｄＶ_μ＋∫_Ω2ｂ^μｄＶ_μ＝∫_Σａ_μｆ^μｄΣに変わり,結局∫_Ω1ｂ⁰ｄＶ≠∫_Ω2ｂ'⁰ｄＶ',つまりａ_μＧ^μ≠ａ'_μＧ'^μです。

すなわち,今の場合ａ_μＧ^μがスカラーではなくなるので,閉じてない系ではＧ^μ≡∫ｇ^μｄＶ＝(Ｈ/ｃ,Ｇ)は４元ベクトルではないという結論が得られます。

また,角運動量はＭ^μν＝∫(ｘ^μｇ^ν－ｘ^νｇ^μ)ｄＶで定義されますが,これも時間の関数であり閉じた系では∂Ｔ^μν/∂ｘ^ν＝0 ,およびＴ^μν＝Ｔ^νμの成立から(∂/∂ｘ^λ)(ｘ^μＴ^νλ－ｘ^νＴ^μλ)＝Ｔ^νμ－Ｔ^μν＝0 なる等式が得られました。

しかし,今の閉じていない系:∂Ｔ^μν/∂ｘ^ν＝ｆ^μの場合には,これは(∂/∂ｘ^λ)(ｘ^μＴ^νλ－ｘ^νＴ^μλ)＝ｘ^μｆ^ν－ｘ^νｆ^μ＋Ｔ^νμ－Ｔ^μνに変わり,右辺は一般にゼロとはなりません。

さらに,これを全物理空間で積分するとｄＭ^μν/ｄｔ＝∫(ｘ^μｆ^ν－ｘ^νｆ^μ＋Ｔ^νμ－Ｔ^μν)ｄＶとなります。

したがって角運動量保存の運動方程式をｄＭ^μν/ｄｔ＝∫ｄ^μνｄＶと書き,右辺を力のモーメント(力能率)と考えると,その密度ｄ^μνはｄ^μν＝ｘ^μｆ^ν－ｘ^νｆ^μ＋Ｔ^νμ－Ｔ^μν＝ｘ^μｆ^ν－ｘ^νｆ^μ＋Ｓ^μν－Ｓ^νμとなるべきであるということになります。

このｄ^μνの空間成分ｄ^ijは通常の軸性ベクトルとしての力のモーメント部分∫(ｘ×ｆ)ｄＶの他に,余計なゆがみ項∫(Ｓ^ij－Ｓ^ji)ｄＶを持っています。

さらに閉じていない系では質量中心,つまり"重心＝慣性中心"は物理的に重要な概念ではないことを示すことができます。

ニュートン力学では密度がμ＝μ(ｘ,ｔ)で与えられるような物理系の"重心＝慣性中心,または質量中心"の座標ベクトルはＸ≡(1/Ｍ)∫μ(ｘ,ｔ)ｘｄＶによって定義されます。

ただしＭは全質量でＭ＝∫μ(ｘ,ｔ)ｄＶです。

ところが相対性理論の力学では,慣性系Ｓにおいて,密度μはエネルギー密度ｈとμ＝ｈ/ｃ²なる関係で結びついています。

そして質量中心の座標(位置ベクトル)Ｘは準拠とする系Ｓに依存して異なります。

そこで,Ｓに固有の重心の位置ベクトルをＸ(Ｓ)と書けば,Ｘ(Ｓ)＝(1/Ｈ)∫ｈ(ｘ,ｔ)ｘｄＶ＝(1/Ｇ⁰)∫ｘｇ⁰ｄＶとなります。

両辺をｔで微分すると,質量中心の移動速度)の式が得られ,ｄＸ(Ｓ)/ｄｔ＝(1/Ｇ⁰){(ｄ/ｄｔ)∫ｘｇ⁰ｄＶ}－(1/Ｇ⁰)²(ｄＧ⁰/ｄｔ)(∫ｘｇ⁰ｄＶ) ＝－{Ｘ(Ｓ)/Ｇ⁰}∫ｆ⁰ｄＶ＋(1/Ｇ⁰){(ｄ/ｄｔ)∫ｘｇ⁰ｄＶ}となります。

ところが,角運動量保存の運動方程式ｄＭ^μν/ｄｔ＝∫(ｘ^μｆ^ν－ｘ^νｆ^μ＋Ｓ^μν－Ｓ^νμ)ｄＶから,ｄＭ^ko/ｄｔ＝(ｄ/ｄｔ)[∫(ｘ^kｇ⁰－ｘ⁰ｇ^k)ｄＶ]＝∫(ｘ^kｆ⁰－ｘ⁰ｆ^k＋Ｓ^k0－Ｓ^0k)ｄＶです。

質量中心の速度を示す上式の右辺では,さらに(ｄ/ｄｔ)(∫ｘ^kｇ⁰ｄＶ)＝∫{ｄ(ｘ⁰ｇ^k)/ｄｔ}ｄＶ－∫(ｘ^kｆ⁰－ｘ⁰ｆ^k)ｄＶ＋∫(Ｓ^k/ｃ－ｃｇ^k)ｄＶとなります。

そして,∫{ｄ(ｘ⁰ｇ^k)/ｄｔ}ｄＶ＝ｃＧ^k＋∫ｘ⁰ｆ^kｄＶ－ｘ⁰∫(∂ｔ^kj/∂ｘ^j)ｄＶ＝ｃＧ^k＋∫ｘ⁰ｆ^kｄＶとなりますから,結局,ｄＸ(Ｓ)/ｄｔ＝ｃ²Ｇ/Ｈ－ｃＸ(Ｓ)(∫ｆ⁰ｄＶ)/Ｈ－ｃ(∫ｘｆ⁰ｄＶ)/Ｈ＋ｃ{∫(Ｓ/ｃ－ｃｇ)ｄＶ}/Ｈです。

この式は,閉じた系の場合には,ｇ＝Ｓ/ｃ²であることもあってｄＸ(Ｓ)/ｄｔ＝ｃ²Ｇ/Ｈと簡単になり,Ｘ(Ｓ)の移動速度はｃ²Ｇ/Ｈと一定だったのですが,今の閉じていな系の場合のＸ(Ｓ)の速度ははるかに複雑に変動します。

これでは物理系を代表する点としての"質量中心＝重心"の価値は非常に狭い範囲に限られてしまうと思われます。

そして,閉じた系では固有質量中心とは物体の静止座標系における質量中心のことでした。

閉じていない系でも時刻ごとに異なるとしても系のある時刻の静止系では質量中心となるような系の代表点を定義できるかどうかが詳しく研究され,上のような定義からでは,こうした代表点を一義的に決めることが不可能であることがわかっています。

実は,閉じた系においてさえ,如何なる時刻でもその時刻の静止系での質量中心となり得る点が無数に在ることがわかっています。

既に以前に定義した固有質量中心がＸ(Ｓ⁰)の静止系Ｓ⁰において,その固有中心のまわりの"相対角運動量＝内部角運動量"をｍ⁰とすると,一定角速度ω⁰≡Ｍ₀ｃ²ｍ⁰/(ｍ⁰)²で固有中心のまわりを回転する円板上の任意の点Ｐの中心からの動径をａとすれば,Ｐの回転速度ｖはｖ＝ω⁰×ａ＝{Ｍ₀ｃ²/(ｍ⁰)²}(ｍ⁰×ａ)となり,(ｖ×ｍ⁰)/(Ｍ₀ｃ²)＝ａとなります。

これを,以前の座標系による質量中心の位置の差の公式:Ｘ(Ｓ)－Ｘ(Ｓ⁰)＝(ｖ×ｍ⁰)/(Ｍ₀ｃ²)と比較すれば,Ｘ(Ｓ)＝Ｘ(Ｓ⁰)＋ａとなることがわかり,確かに円板上の任意の点ＰはＳ⁰に対するＰ自身の速度ｖで運動する座標系Ｓにおいての質量中心になることがわかります。

閉じた系でもそうなのですから,閉じてない系での質量中心の多義性はなおさらです。

そこで閉じていない系でのニュートン的重心を相対論へと一義的に拡張できるのは,外力ｆ^μが非常に特別な性質を持つ場合に限られます。

しかし,後述の予定ですが,これには唯一重要な例外があります。

それは,外力が重力で対象とする系が十分小さい場合です。このときにはニュートン的重心の性質を全て保有した固有質量中心を一義的に定義することが常に可能になります。

短かいですが今日はここで終わります。 

参考文献：メラー 著(永田恒夫,伊藤大介 訳)「相対性理論」(みすず書房)

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