運動物質内の相対論(7)(電子の古典模型)

運動物質内の相対論の続きです。

前回は閉じていない系について述べましたが,その叙述が中途になっていたので,まずはその続きからです。

まず,途中で中断したので改めて閉じていない系の一般的事項を再確認します。

対象とする閉じていない系をΣとし,そのエネルギー運動量テンソルをＴ^μνとします。

また,この系Σに影響する外界全体のエネルギー運動量テンソルをＳ^μνと書けば,∂Ｔ^μν/∂ｘ^ν＝ｆ^μ＝－∂Ｓ^μν/∂ｘ^νと書けます。

ｆ^μは,系Σの各点で外界によって及ぼされる４元力密度です。

系のエネルギー密度をｈ,３次元のエネルギー流束密度ベクトルをＳ,運動量密度のベクトルをｇで表わすと,これらは成分表示でＳ^k＝ｃＴ^0k,ｇ^k＝Ｔ^k0/ｃ,ｈ＝Ｔ⁰⁰,またはｇ^μ＝(ｈ/ｃ,ｇ)＝Ｔ^μ0/ｃで定義されます。

さて,ここからしばらくは閉じていない系の中でも特に静的な系と呼ばれるものを考察します。

まず,静的な系の定義です。

これまでの前提では,系に働く力の密度ｆ^μは∂Ｔ^μν/∂ｘ^ν＝ｆ^μ＝－∂Ｓ^μν/∂ｘ^νで与えられるとされています。

つまり,力の密度ｆ^μは系の外部のテンソルＳ^μνによってｆ^μ＝－∂Ｓ^μν/∂ｘ^νのようにある種の外力ｆ^μ＝ｆ_ext^μとして与えられるものとしていました。

しかし,ここでは対象としている閉じていない系のエネルギー運動量テンソルをＴ^μνで表わすのは同じですが,ｆ^μが外力ｆ_ext^μではなく系の内部の歪みによるる弾性的応力のように,対象とする系Ｔ^μν自身からｆ^μ＝－∂Ｔ^μν/∂ｘ^νによって与えられるとします。

そして,ある慣性座標系Ｓ⁰が存在して座標系Ｓ⁰では,あらゆる物理量が時間に無関係で,しかもＧ⁰＝∫ｇ⁰ｄＶ⁰＝0,∫Ｓ⁰ｄＶ⁰＝0 となるようにできるとき,この系(Σ,Ｔ^μν)を静的であると言います。

つまり,座標系Ｓ⁰では運動量やエネルギー流は全く無く,全ての量は座標系Ｓ⁰に固定されていて全体に静止している系ですね。

この場合に,Ｘ(Ｓ⁰)＝(1/Ｈ⁰)∫ｈ⁰(ｘ,ｔ)ｘｄＶ⁰＝(1/Ｈ⁰){∫ｘｇ⁰ｄＶ}⁰で定義されるＳ⁰系での質量中心Ｘ(Ｓ⁰)を考えます。

以前のＳ系での質量中心Ｘ(Ｓ)の移動速度に対する式は,ｄＸ(Ｓ)/ｄｔ＝ｃ²Ｇ/Ｈ－ｃＸ(Ｓ)(∫ｆ⁰ｄＶ)/Ｈ－ｃ(∫ｘｆ⁰ｄＶ)/Ｈ＋ｃ{∫(Ｓ/ｃ－ｃｇ)ｄＶ}/Ｈです。

この式において,右辺の物理量に全て上添字 0 を入れるとき,今の系ではｆ⁰は外力という意味ではゼロなので,ｄＸ(Ｓ⁰)/ｄｔ＝0 となり,質量中心Ｘ(Ｓ⁰)はＳ⁰系で静止しています。

したがって,静的な系はニュートン的重心の定義を相対論に一般化することが可能な例の１つになっています。

さて,静的な系の１例として,特定の座標系Ｓ⁰で静止している荷電物質の電磁場を挙げることができます。物質を除いた電磁場だけを対象としているため,系のエネルギー運動量テンソルＴ^μνは電磁エネルギー運動量テンソルで与えられます。

特に誘電率がε₀,透磁率がμ₀の真空中と同じ電磁場を仮定します。既に真空中の電磁場の電磁エネルギー運動量テンソルＳ_EM^μνは,Ｓ_EM^μν＝－(ｃ²ε₀)(Ｆ_λ^μＦ^λν－(1/4)η^μν(Ｆ_λσＦ^λσ)]なる形で与えられることを知っています。

ここに,Ｆ^μν≡∂^μＡ^ν－∂^νＡ^μでＡ^μ≡(φ/c,Ａ)は電磁場を示す電磁ポテンシャルです。すなわち,φはスカラーポテンシャル,Ａはベクトルポテンシャルです。

今の場合には,Ｔ^μν＝Ｓ_EM^μνなのでｆ^μ＝－∂Ｔ^μν/∂ｘ^ν＝－∂Ｓ_EM^μν/∂ｘ^νであり,ｆ^μは荷電物質に働く４元的電磁力の密度を表わします。

そして,電磁場のエネルギー流束密度はＳ＝Ｅ×Ｈなるポインティングベクトルで表わされます。

系が静的であるための条件:Ｇ⁰＝0,∫Ｓ⁰ｄＶ⁰＝0 が成立することは,この座標系では電磁場の移動速度がｃ²Ｇ⁰/Ｈ＝ｕ⁰＝0 に等しいということなので,電磁場の系が静止していることを意味します。

言い換えると,ポインティングベクトルがゼロになるような系をＳ⁰系に取っているという意味です。例えば,Ｅ⁰≠0 でＨ⁰＝0 の静電場はそうですね。

静的な閉じていない系の他の１例としては,容器に入れられた流体があります。これは流体が容器の壁からの外圧で容器中に閉じ込められている場合です。 

Ｓ⁰が速度ｕで運動しているように見える慣性系をＳとすると,ＳはＳ⁰に対して－ｕで運動しているので,Ｓ⁰ →Ｓのローレンツ変換の係数Λ^μ_ν (ｘ^μ＝Λ^μ_νｘ^0ν)は,Λⁱ_j＝δⁱ_j－(ｕⁱｕ_j/ｕ²)(γ－1),Λ^k₀＝Λ⁰_k＝γｕ^k/ｃ＝－γｕ_k/ｃ,Λ⁰₀＝γで与えられます。

ただし,γ≡1/(1－ｕ²/ｃ²)^1/2です。

これの逆変換の係数Λ_μ^νは係数Λ^μ_νにおいて,ｕ →－ｕとすれば得られ,Λ_i^j＝δ_i^j－(ｕ_iｕ^j/ｕ²)(γ－1),Λ₀^k＝Λ_k⁰＝－γｕ^k/ｃ＝γｕ_k/ｃ,Λ₀⁰＝γとなります。

そこで,テンソルの変換性Ｔ^μν＝Λ^μ_λΛ^ν_σＴ^0λσに,これら具体的な変換係数Λ^μ_νを代入して全空間で積分し,ｄＶ＝ｄＶ⁰(1－ｕ²/ｃ²)^1/2を用います。

まず,Ｔ^k0＝Λ^k₀Λ⁰₀Ｔ⁰⁰⁰＋Λ^k_iΛ⁰₀Ｔ⁰ⁱ⁰＋Λ^k₀Λ⁰_iＴ⁰⁰ⁱ＋Λ^k_iΛ⁰_jＴ^0ij,およびＴ⁰⁰＝Λ⁰₀Λ⁰₀Ｔ⁰⁰⁰＋Λ⁰_iΛ⁰₀Ｔ⁰ⁱ⁰＋Λ⁰₀Λ⁰_iＴ⁰⁰ⁱ＋Λ⁰_iΛ⁰_jＴ^0ijです。

結局,ｃｇ^k＝γ²ｈ⁰ｕ^k/ｃ＋ｃγｇ⁰ⁱ{δ^k_i－(ｕ^kｕ_i/ｕ²)(γ－1)}＋γ²ｕ^kｕⁱＳ⁰ⁱ/ｃ²＋γｕ^jＴ^0ij{δ^k_i－(ｕ^kｕ_i/ｕ²)(γ－1)}/ｃ,ｈ＝γ²ｈ⁰＋γ²ｕⁱｇ⁰ⁱ＋γ²ｕⁱＳ⁰ⁱ/ｃ²＋γ²ｕⁱｕ^jＴ^0ij/ｃ²を得ます。

また,もちろん∫ｇ⁰ｄＶ⁰＝0,∫Ｓ⁰ｄＶ⁰＝0 です。,

したがって,流体のＳ系での運動量とエネルギーの表式としてＧ＝∫ｇｄＶ＝∫ｇｄＶ⁰/γ＝ｕ[Ｈ⁰＋({ｕ(∫Ｔ⁰ｄＶ⁰)ｕ}/ｕ²)(1－1/γ)]/{ｃ²(1－ｕ²/ｃ²)^1/2}＋{(∫Ｔ⁰ｄＶ⁰)ｕ}/ｃ²,およびＨ＝∫ｈｄＶ＝∫ｈｄＶ⁰/γ＝[Ｈ⁰＋{ｕ(∫Ｔ⁰ｄＶ⁰)ｕ}/ｃ²] /(1－ｕ²/ｃ²)^1/2が得られます。

ここに,Ｔ⁰は成分がＴ^0ijのテンソルです。Ｇ,Ｈは時間的に一定ですが,Ｇ^μ≡(Ｈ/ｃ,Ｇ)は４元ベクトルのようには変換しないことがわかります。

これは,Ｔ＝－ｔ＝τとすると,以前に弾性体に対して求めた式:ｇ＝ｕ(γ²/ｃ²){ｈ⁰＋(1－1/γ)(ｕτ⁰ｕ)/ｕ²)}＋γ(τ⁰ｕ)/ｃ²,およびｈ＝{ｈ⁰＋(ｕτ⁰ｕ)/ｃ²}/(1－ｕ²/ｃ²)を,弾性体内のいたるところでｕが一定と見て全空間で積分した後に,ｄＶ＝ｄＶ⁰(1－ｕ²/ｃ²)^1/2としたものに一致します。

いずれにしても,弾性体内のいたるところで応力がゼロ,つまりＴ⁰＝0 でない限り,Ｇ^μ≡(Ｈ/ｃ,Ｇ)は４元ベクトルとは成り得ず,それゆえ閉じた系でもないことがわかります。

また,特にＴ^0ij＝ｐ⁰δ^ijなら,完全流体の式;Ｇ＝(Ｈ⁰＋ｐ⁰Ｖ⁰)ｕ/{ｃ²(1－ｕ²/ｃ²)^1/2},Ｈ＝(Ｈ⁰＋ｐ⁰Ｖ⁰ｕ²/ｃ²)/(1－ｕ²/ｃ²)^1/2と同じになります。

特に,ある系Ｓ⁰で荷電物体が静止している場合を考察してみます。 

対象とする系を荷電物体に付随する電磁場のみとして,系のエネルギー運動量テンソルをＴ^μνと書けば,これは電磁エネルギー運動量テンソルＳ_EM^μνそのものですから,Ｔ^μν＝Ｓ_EM^μν＝－(ｃ²ε₀)(Ｆ_λ^μＦ^λν－(1/4)η^μν(Ｆ_λσＦ^λσ)]と表現されます。

先にも述べたように,Ｆ^μν＝∂^μＡ^ν－∂^νＡ^μであり,Ａ^μ≡(φ/c,Ａ)は電磁場を示す電磁ポテンシャルです。

電磁場の強さを示す電場はＥ＝－∇φ－∂Ａ/∂ｔ,磁束密度はＢ＝∇×Ａで与えられます。

これらは,Ｆ^μνで表現するとＥ＝(Ｅ¹,Ｅ²,Ｅ³)＝－ｃ(Ｆ⁰¹,Ｆ⁰²,Ｆ⁰³),Ｂ＝(Ｂ¹,Ｂ²,Ｂ³)＝－(Ｆ²³,Ｆ³¹,Ｆ¹²)です。

また,電束密度Ｄ,および磁場の強さＨは,それぞれＤ＝ε⁰Ｅ,およびＨ＝Ｂ/μ⁰で与えられます。

さらに,マクスウェルの応力テンソルはｔ^ij＝ε₀ＥⁱＥ^j＋μ₀^-1ＢⁱＢ^j－(1/2)δ^ij(ε₀Ｅ²＋μ₀^-1Ｂ²)ですが,これは今の場合Ｔ^μνの空間成分にマイナスをつけたものです。つまり,ｔ^ij＝－Ｔ^ij＝－Ｓ_EM^ijです。

(以前の応力表記ではτ^ij＝－ｔ^ij＝Ｔ^ij＝Ｓ_EM^ijです。)

電磁場のエネルギー流束密度を示すポインティングベクトルは,Ｓ＝Ｅ×Ｈで定義されますが,これはＳ⁰系ではＳ⁰＝Ｅ⁰×Ｈ⁰です。

もちろん∫Ｓ⁰ｄＶ⁰＝0 であるはずですが,今の場合は定常的な伝導電流は無いと考え,いたるところでＨ⁰＝Ｂ⁰＝0 とすると,実質的な場としては電場Ｅ⁰≠0 のみがあって,いたるところでＳ⁰＝0 です。

また電磁運動量密度もゼロ,つまりｇ⁰＝0 となるはずです。

そこで,Ｈ⁰＝Ｂ⁰＝0 の静電場のエネルギー密度ｈ⁰,エネルギー流Ｓ⁰,電磁運動量密度ｇ⁰,マクスウェルの応力テンソルｔ^0ijを具体的に書くと,ｈ⁰＝ε₀|Ｅ⁰|²/2,Ｓ⁰＝ｇ⁰＝0,ｔ^0ij＝ε₀Ｅ⁰ⁱＥ^0j－(1/2)δ^ijε₀|Ｅ⁰|²となります。

さらに,荷電物体の電荷分布が球対称になっている場合のみを考えることにします。

この場合には対称性から場も球対称となるはずで,ある点の電場Ｅ⁰は電荷分布の中心とその点を結ぶ動径ベクトルの方向を向いています。

したがって,∫Ｅ⁰ⁱＥ^0jｄＶ⁰＝(1/3)δ^ij∫|Ｅ⁰|²ｄＶ⁰となり,それ故,∫ｔ^0ijｄＶ⁰＝－(1/6)δ^ij∫|Ｅ⁰|²ｄＶ⁰＝－(1/3)δ^ij∫ｈ⁰ｄＶ⁰＝－(1/3)δ^ijＨ⁰です。

そこで,前に求めた一般式Ｇ＝∫ｇｄＶ＝ｕ[Ｈ⁰＋({ｕ(∫Ｔ⁰ｄＶ⁰)ｕ}/ｕ²)(1－1/γ)]/{ｃ²(1－ｕ²/ｃ²)^1/2}＋{(∫Ｔ⁰ｄＶ⁰)ｕ}/ｃ²,Ｈ＝∫ｈｄＶ＝∫ｈｄＶ⁰/γ＝[Ｈ⁰＋{ｕ(∫Ｔ⁰ｄＶ⁰)ｕ}/ｃ²]/(1－ｕ²/ｃ²)^1/2に∫Ｔ^0ijｄＶ⁰＝－∫ｔ^0ijｄＶ⁰＝(1/3)δ^ijＨ⁰を代入すれば,球対称電荷分布の荷電物体が速度ｕで運動しているときの電磁運動量Ｇ_elと電磁エネルギーＨ_elが得られます。

この結果,Ｇ_el＝(4/3)Ｈ_el⁰ｕ/{ｃ²(1－ｕ²/ｃ²)^1/2},Ｈ_el＝Ｈ_el⁰{1＋(1/3)ｕ²/ｃ²}/(1－ｕ²/ｃ²)^1/2が得られます。

ただしＨ_el⁰は電荷の静止系Ｓ⁰における荷電物体に付随した電磁場のみのエネルギーです。

ローレンツの古典電子論の基礎方程式は物質中の現象論的マクスウェル方程式において,誘電率がε＝ε₀,透磁率がμ＝μ₀の極限,つまり真空中のマクスウェル方程式と一致していますから,上述の球対称荷電物体がローレンツらによる電子の古典模型を表わしています。

ローレンツは電子の質量,エネルギー,運動量の起源を全て電磁的なものに求める立場を提唱しました。

しかし,上の最後に得られた式:Ｇ_el＝(4/3)(Ｈ_el⁰/ｃ²)ｕ/(1－ｕ²/ｃ²)^1/2,およびＨ_el＝Ｈ_el⁰{1＋(1/3)ｕ²/ｃ²}/(1－ｕ²/ｃ²)^1/2によれば,(Ｈ_el/ｃ,Ｇ_el)は４元ベクトルにはなりません。

そこで,これらを電子を自由な質点粒子と見たときの４元運動量とみなす立場をとることは不可能なことがわかります。

したがって,電子の系は電磁場単独では閉じていない系として典型的なものです。

真空中のマクスウェル方程式が全空間にわたって成立することを認める限り,電子の矛盾のない古典的描像を作るためには,電子の内部に電磁的でないエネルギーや運動量が存在すると仮定する必要があります。

静止系で球対称な電荷分布を持つ電子の古典模型として,内部には電荷がなく表面だけに総電荷ｅが一様に分布した半径ａの弾性球を考えてみます。

動径方向の単位ベクトルをｎ≡ｒ/ｒ(ｒ≡|ｒ|)として真空中のマクスウェル方程式を解くと,ｒ＞ａではＥ⁰＝－ｅｎ/(4πε₀ｒ²),ｒ＜ａではＥ⁰＝0 です。また磁場は全空間でＨ⁰＝Ｂ⁰＝0 です。

これらを,ｈ⁰＝(1/2)ε₀|Ｅ⁰|²,Ｓ⁰＝ｇ⁰＝0,ｔ^0ij＝ε₀Ｅ⁰ⁱＥ^0j－(1/2)δ^ijε₀|Ｅ⁰|²に代入すると,ｔ^0ij＝ε₀ｅ²ｎⁱｎ^j/(4πε₀ｒ²)²－(1/2)δ^ijε₀/(4πε₀ｒ²)²,かつＨ_el⁰＝∫ｈ₀ｄＶ⁰＝(1/2)∫ε₀|Ｅ⁰|²ｄＶ⁰＝4π[ε₀ｅ²/{2(4πε₀)²]∫_a^∞ｄｒ(ｒ²/ｒ⁴)＝ｅ²/(8πε₀ａ)となります。

そこで,Ｈ_el⁰＝ｍ_elｃ²と書けばｍ_el＝ｅ²/(8πε₀ｃ²ａ)でありこれは電磁場の電子の静止質量への寄与を示していると考えられます。

この系で球自身に働く球表面の単位面積当たりの電気力は,ｆ_el⁰ⁱ＝ｔ^0ijｎ^j＝ε₀ｅ²ｎⁱ/(4πε₀ａ²)²－(1/2)ε₀ｎⁱ/(4πε₀ｒａ²)²＝(1/2)ε₀ｎⁱ/(4πε₀ａ²)²,つまりｆ_el⁰＝(1/2)ε₀ｎ/(4πε₀ａ²)²です。

こうして球表面上で中心から動径外向きに働く電気的斥力は球表面に逆向きに弾性応力として働く張力と釣り合うはずです。

つまり,応力というのは例えば外部から圧力を受けるときには弾性歪みへの反発力として同じ大きさの圧力として発現し,また張力を受けるときには同じ大きさの張力として現われます。

いずれにしろ結果的には釣り合うものですね。

したがって,この系は球内部に対して働く応力テンソルが垂直応力の形:－ｔ_me^0ij＝ｐ⁰δ^ij,ｐ⁰＝－(1/2)ε₀δ^ij/(4πε₀ａ²)²＝－Ｈ_el⁰/(4πａ³)をしているので,数学的形式だけの意味なら完全流体の系で圧力を張力に変えただけの系に対応しています。

そこで,既に以前の項目で求めてあった完全流体に対する全運動量と全エネルギーについての表式Ｇ＝(Ｈ⁰＋ｐ⁰Ｖ⁰)ｕ/{ｃ²(1－ｕ²/ｃ²)^1/2},およびＨ＝(Ｈ⁰＋ｐ⁰Ｖ⁰ｕ²/ｃ²)/(1－ｕ²/ｃ²)^1/2を参照すると,荷電物体の力学的な運動量,およびエネルギーの表式が得られます。

すなわち,Ｇ_me＝(Ｈ_me⁰＋ｐ⁰Ｖ⁰)ｕ/{ｃ²(1－ｕ²/ｃ²)^1/2},およびＨ_me＝(Ｈ_me⁰＋ｐ⁰Ｖ⁰ｕ²/ｃ²)/(1－ｕ²/ｃ²)^1/2になります。

これに,ｐ⁰＝－Ｈ_el⁰/(4πａ³),Ｖ⁰＝4πａ³/3を代入すればＧ_me＝[{Ｈ_me⁰－(1/3)Ｈ_el⁰}ｕ/ｃ²]/(1－ｕ²/ｃ²)^1/2,およびＨ_me＝{Ｈ_me⁰－(1/3)Ｈ_el⁰ｕ²/ｃ²}/(1－ｕ²/ｃ²)^1/2を得ます。

これと,先に得られているＧ_el＝(4/3)(Ｈ_el⁰ｕ/ｃ²)/(1－ｕ²/ｃ²)^1/2,およびＨ_el＝Ｈ_el⁰{1＋(1/3)ｕ²/ｃ²}/(1－ｕ²/ｃ²)^1/2の和を取れば,Ｇ≡Ｇ_me＋Ｇ_el＝{(Ｈ_me⁰＋Ｈ_el⁰)ｕ/ｃ²}/(1－ｕ²/ｃ²)^1/2＝(Ｈ⁰ｕ/ｃ²)/(1－ｕ²/ｃ²)^1/2,およびＨ≡Ｈ_me＋Ｈ_el＝(Ｈ_me⁰＋Ｈ_el⁰)/(1－ｕ²/ｃ²)^1/2＝Ｈ⁰/(1－ｕ²/ｃ²)^1/2となります。

以上から,力学的量と電磁的量を加えた全系での量Ｇ^μ＝(Ｈ/ｃ,Ｇ)は静止質量として,Ｈ⁰/ｃ²を持つ質点粒子のエネルギー運動量４元ベクトルの表現に一致しており,もちろん閉じた系となっています。

以上の模型はポアンカレ(Poincare')が初めて用いた電子模型ですが,彼は電子の中で電気的張力に抗する"弾性力"の本性を特に規定しようとはしませんでした。

ただ,ポアンカレは電磁的ではない力が存在すること,およびその力が対応するエネルギー運動量テンソルと,電磁エネルギー運動量テンソルの和で作られた全エネルギー運動量テンソルＴ^μνが∂Ｔ^μν/∂ｘ^ν＝0 を満足することを仮定しただけでした。

この式:∂Ｔ^μν/∂ｘ^ν＝0 はこれまで述べてきたように閉じた系の特性です。

こうしたポアンカレのように非電磁的性質を持つ場の量を是非とも導入する必要があるという言わば二元的な立場とは正反対の一元的な立場を支持したのがミイ(Mie)とボルン(Born)でした。

彼らは,電子内部に余分に導入される場も,もちろん電磁場であるとしました。ただし電子内部では場が非常に強いので電子内部の場の方程式はマクスウェル方程式からかなりずれたものを採用しています。

そして,この電子内部の電磁場の方程式はもはや線型ではありませんが,彼らの模型では,全体である電磁エネルギー運動量テンソルＳ_EM^μνが必要条件として∂Ｓ_EM^μν/∂ｘ^ν＝0 を満たすようになっていて,自己力ｆ^μ＝－∂Ｓ_EM^μν/∂ｘ^νが消えるという条件を満たしています。

現時点的には電子のような素粒子に関する問題の最終解を古典論に頼るのは絶望的な話です。

プランク(Planck)の作用量子の他にも,長さの次元を持つ新しい基本定数を導入することなどが必要でしょう。

しかし,とにかく系のエネルギー運動量テンソルの存在を認める限り,相対性理論から自己力が消えること,つまりこのテンソルの４次元発散がゼロになることが必然的に要求されることがわかりました。

今日はここで終わります。 

参考文献：メラー 著(永田恒夫,伊藤大介 訳)「相対性理論」(みすず書房)

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