« 運動物質内の相対論(5)(スカラー場,自由電磁場) | トップページ | 相対論の幾何学(第Ⅱ部-7)(リー群とリー代数) »

2008年12月 3日 (水)

超弦理論(8)(弦の頂点演算子とM点散乱振幅)

超弦理論(superstring theory)の続きです。

 

まず,図1-12を再掲します。

 

↑図1-12:タイプΛ12,..,ΛMと運動量1,2,..,MのM個の外粒子の散乱に対する振幅の表現

 

運動量μを持つ粒子Λの頂点演算子(vertex):VΛ()=∫d2σ[h1/2Λ(σ,τ)exp(-ikX)]と,それを挿入したM点散乱振幅,またはM点Grren関数Aの表式:A(Λ1,12,2;..;ΛM,M)=κM-2∫D(σ,τ)Dhαβ(σ,τ)exp[{-i/(2π)}∫d2σ(h1/2αβαμβμ)]{Πi=1MΛi(i)}からスタートします。

外線粒子が連結している頂点がM個あるのに結合定数κに関する因子はκM-2であり,κの(M-2)乗でしかないのは,例えば外線が2本しかないM=2のグラフの場合なら,そのグラフは事実上単に1つの粒子が頂点など無関係に何の相互作用もせず自由に運動している描像と位相的には同じであるためです。

 

つまり,M個の外線のうちの2本は1本の"自由粒子=自由弦"の入射と射出の2つに対応していると考えられ,結局何らの相互作用もせず単に慣性運動している自由粒子の伝播を示しているに過ぎないと見なせるからです。

 さて,もしも前に述べたような共形不変性がないなら,この複雑なAの表式を具体的に評価するのは大変難しくて評価不可能かもしれません。

 

 しかし,実際には2×2対称テンソルhの3つの独立成分から世界面の再パラメータ化(rescaling)により2成分を消去できるので,σとτの再パラメータ化で局所的にはhをh=(expφ)h0の形にできます。

 

 ここでh0は弦の世界面上で自由に取って良い計量(metric)です。

Riemannの古典的理論によれば,世界面が球の場合,つまり種数(genus)がゼロのツリーグラフの場合にも同じことが大域的に真になります。

パラメータの選択によって,例えばh0が球S2の標準極座標の計量であるとしても,h=(expφ)h0の形に書けることが保証されます。

 

実際,球S2をx-y平面2に立体射影する際にも共形不変性(conformal invariance)を用いるのは便利でさえあります。

 

こうして,実際に平坦な計量hαβ=(expφ)δαβ,つまりds2=(expφ)(dx2+dy2)と取ることができます。

さらに,共形不変性のおかげで因子expφも落ちて,M点Green関数はA=κM-2∫D(x,y)exp[{1/(2π)}∫d2(∂αμβμ)]{Πi=1MΛi(i)}=κM-2<Πi=1MΛi(i)>と簡単化されます。

 

ただし,右辺のd2はdxdyの略で,記号< >はGauss測度の上での経路積分による期待値を意味します。

ここで重要な点は,今や事実上平坦な2次元世界の上の自由場理論を扱っているに過ぎないので,M点Green関数の具体的計算ができると期待されることです。

 

ここで,M点Green関数の元の複雑な一般表現から簡単化された表現へと進む際に,Dhαβ積分は何の努力もなく消えました。

実際,この手続きでのいくつかの巧妙さは注目に値します。

 

特に,h=(expφ)h0のφの消去に共形不変性を用いましたが,この単純な手続きがそれだけでそのまま正しい扱いなのか,あるいは実はこの手続きの中に量子アノマリー(anomaly)が存在して,それほど単純ではないのか?を検討する必要があります。

これをチェックするには,ゲージ選択;h=(expφ)h0を行なったときに当然生じるFPゴースト(Fadeev-Popov ghost)を考慮することが重要となります。

 

これの解析については,後で詳述する予定ですが,それはやや技巧的です。結果だけ述べると,共形不変性を使用した平坦Green関数の導出でも通常は量子アノマリーが存在します。

 

それが無くて,この手続きが単純に正当化されるのは,時空が26次元のときのみです。

こうしたこととも関連しますが,ds2=(expφ)(dx2+dy2)を要求しても,これで再パラメータ化不変性が完全に一意的に固定されたわけではないということもいえます。

 

つまり,このhの形は世界面S2におけるある種の大域的変換に対しては,なお保存されます。

それと関連して共形変換の最も簡単なケースとして,z=x+iyなる複素座標を採用することができます。

 

この場合はds2=(expφ)(dx2+dy2)=(expφ)dzdz*です。

 

そして複素座標zからzのある解析関数w(z)への変数変換を行なうと,dz=(dz/dw)dwですから,計量はds2=(expφ)|dz/dw|2dwdw*を満たします。

 

こうしたz→w(z)なる変換は,いわゆる共形ゲージ変換でありds2=(expφ)(dx2+dy2)なる形式が保持されたままで許される座標変換です。

また,計量を保持したままの残りのゲージ不変性として微小変換ですが,εをzの解析関数ε(z)としてδz=ε(z),z→z+δzなる変換を考えることができます。

 

実際には,以下に記述する理由のためにε(z)をzの任意の解析関数とするわけにはいかず,ε(z)の形には強い制約が必要です。

上の議論では,種数がゼロのツリーグラフを複素平面に立体射影したものを考察していますが,射影前の元々の弦の世界面形状は球S2です。

 

そして,この球を"z平面+無限遠点"から成るRiemann球と考えると,z→z+δz=z+ε(z)におけるε(z)が無限遠点z=∞ に極を持たないことが要求されます。

複素関数論では無限遠点z=∞ での解析は,通常それが原点z~=0 となるような新座標z~≡1/zでなされますが,座標変換z→z+δz=z+ε(z)はこの新座標系ではδz~=-δz/z2=-ε(z)/z2となります。

 

そこで点z→ ∞ (z~=0)でε(z)/z2が有限であるときに限ってz~平面上で点z~=0 が特異にならないことがわかります。

 

結果として,ε(z)はzの2次以下の多項式でなければならないと結論されます。

すなわち,共形ゲージの選択の他に,a,b,cを任意の無限小の複素定数パラメータとしたδz=ε(z)=a+bz+cz2についての変換z→z+δz=z+(a+bz+cz2)に対して不変であるという対称性がなお残っています。

ところで,行列式が1の2×2行列A,つまりA∈SL(2,)で,2次以上が無視できる無限小パラメータa,b,cに対し,その要素が第1行(1+b/2,a),第2行(-c, 1-b/2)で与えられるものを想定すれば,行列Aによるzの"1次分数変換=メビウス変換"は{(1+b/2)z+a}/{-cz+(1-b/2)}~{(1+b/2)z+a}{1+cz+b/2)~z+(a+bz+cz2)=z+ε(z)となります。

このことから,z→z+δz=z+(a+bz+cz2)(a,b,cは無限小)なる変換は群SL(2,)に同型な再パラメータ化の1つの群を生成します。

 

こうした群の部分群は,先のM点Green関数を複雑な表現から簡単化された表現へと導いたゲージ固定だけでは除去されないもので,これを含む完全なゲージ固定が必要な場合も生じると思われます。

さて,M点振幅A=κM-2<Πi=1MΛi(i)>の表式で外粒子がタキオンである場合,つまり頂点演算子VΛ()が簡単な形V0≡∫d2zexp(-ikX)で与えられる場合にAを評価してみます。

 

これの評価はあまりむずかしくありません。

ここからは,複素変数zをz=x+iyではなく弦のパラメータτ,σによるz=τ+iσなる表現とします。

 

計量はds2=dτ2+dσ2=dzdz*ですが,面積要素をd2z≡dz∧dz*=2idτ∧dσ=2id2σ,またはd2σ≡-id2z/2で定義します。

 

弦の2次元パラメータの変数として複素数zを用いると,外粒子がタキオンの場合のM点振幅AはA=κM-2Πi=1M∫d2i<exp{-ii(zi)}>となります。

ここで2次式の平方完成から得られるGauss積分に対する標準的公式<exp{-i∫d2zJμ(z)Xμ(z)}>=exp{-(1/4)∫d2zd2z'Jμ(z)G(z,z')Jμ(z')}が成立することが思い出されます。

 

ただし,Jμ(z)は任意の粒子源でG(z,z')は自由場Xμの伝播関数(Green関数:propagator)です。

(訳注8):弦の2次元Minkowski平面を計算の便宜上,2次元Euclid平面に変換するため,(τ,σ)→(τ',σ')=(-iτ,σ)なる変換をすれば,これによって計量はds2=ηαβdτdσ=dτ2-dσ2=-(dτ'2+dσ'2)となります。

 

 つまり,hαβ=ηαβ→ -δαβとなり平面の計量は確かに平坦なEuclid計量になります。

そして,この変換は複素z平面上ではz=τ+iσ→ z'=(-iτ,σ)=(-i)z=exp(-iπ/2)zとなるので,回転角(-π/2)のWick回転(Wick's rotation)に相当します。

 

z'=τ'+iσ'=-iτ+iσ=-i(τ+σ),z'*=τ'-iσ'=-i(τ-σ)なのでd2z'=2id2σ'=2d2σ=(-i)d2zですから一般的な形式A(Λ1,12,2;..;ΛM,M)=κM-2∫D(σ,τ)Dhαβ(σ,τ)exp[{-i/(2π)}∫d2σ(h1/2αβαμβμ)]{Πi=1MΛi(i)}における因子(-i)∫d2σ{(h1/2αβαμβμ)}は∫d2σ'(∂αμαμ)となります。

そこで,M点振幅Aの簡略表現A=κM-2∫D(x,y)exp[{1/(2π)}∫d2x(∂αμβμ)]{Πi=1MΛi(i)}=κM-2<Πi=1MΛi(i)>の等式におけるように,任意関数P(x,y)の経路積分による期待値<P>は,具体的には<P>=∫D(x,y)exp[{1/(2π)}∫d2x(∂αμβμ)]P(x,y)で与えられます。

 

そこで,この(訳注8)で証明すべき等式<exp{-i∫d2zJμ(z)Xμ(z)}>=exp{-(1/4)∫d2zd2z'Jμ(z)G(z,z')Jμ(z')}の左辺の期待値を陽に書くと∫D(z)[exp{1/(2π)}∫d2z(∂αμαμ)]exp{-i∫d2zJμ(z)Xμ(z)}となります。

さらに,∫d2z(∂αμαμ)=-∫d2z(Xμααμ)=-∫d2z{(∂ααμ)Xμ}であり,またGreen関数の定義から∂ααG(z,z')=2πδ2(z-z')です。

 

それ故,<exp{-i∫d2zJμ(z)Xμ(z)}>=∫D(z)[exp{1/(2π)}∫d2z(∂αμαμ)]exp{-i∫d2zJμ(z)Xμ(z)}=∫D(z)[exp{-1/(2π)}∫d2z{(Xμααμ)+i(2π)Jμμ}となります。

∫D(z)[exp{-1/(2π)}∫d2z{(Xμααμ)+i(2π)Jμμ}=∫D(z)[exp {-1/(2π)}∫d2zd2z'{Xμ(z)∂ααδ2(z-z')Xμ(z')+i(2π)δ2(z-z')Jμ(z')Xμ(z')}=∫D(z)[exp {-1/(2π)}∫d2zd2z'{Xμ(z)∂ααδ2(z-z')Xμ(z')+i∂ααG(z,z')Jμ(z')Xμ(z')}

 

 =∫D(z)[exp{-1/(2π)}∫d2z∫d2z'{Xμ(z)δ2(z-z')+iG(z,z')Jμ(z')/2}∂αα∫d2z"{Xμ(z')δ2(z'-z")+iG(z',z")Jμ(z")/2}×(exp[(-1/4)∫dzdz'dz"{Jμ(z)δ2(z-z')G(z',z")Jμ(z")}]となります。

ところが,∫D(z)[exp{-1/(2π)}∫d2z∫d2z'{Xμ(z)δ2(z-z')+iG(z,z')Jμ(z')/2}∂αα∫d2z"{Xμ(z')δ2(z'-z")+iG(z',z")Jμ(z")/2}は,結局この式でJμ≡0 の場合の式∫D[exp{-1/(2π)}{∫d2zXμααμ}]=∫D[exp{1/(2π)}∫d2z∂αμαμ}]=<1>に等しいので,

 

経路積分のGauss積分が1に規格化されているとすれば,結局exp[∫d2zd2z'd2z"{(-1/4)Jμ(z)δ2(z-z')G(z',z")Jμ(z")}=exp[(-1/4)∫d2zd2z'Jμ(z)G(z,z')Jμ(z')となります。

以上で公式<exp{-i∫d2zJμ(z)Xμ(z)}>=exp[-(1/4)∫d2zd2z'{Jμ(z)G(z,z')Jμ(z')}の成立することが証明されました。(訳注8終わり)※

外粒子がタキオン(tachyon)の場合のM点振幅の表式:A=κM-2Πi=1M∫d2iexp{-ii(zi)}>での右辺の因子;Πj=1M<exp{-ij(zj)}>=<exp[-iΣj=1M{kμ(zj)}>は,たった今書いた公式<exp{-i∫d2zJμ(z)Xμ(z)}>=exp[-(1/4)∫d2zd2z'{Jμ(z)G(z,z')Jμ(z')}でJμ(z)≡Σi=1Mδ2(z-zi)としたものに相当しています。

 

したがって,これを代入してA=κM-2∫Πi=1M2iΠi<jexp{-(1/2)kjjG(zj,zj)}が得られます。

ここで正規順序積を取る,または"お玉じゃくし型のdiagram(頂点が1つだけの1ループ)"の寄与は物理的計算結果には寄与しないとしてi=jの項は無視しています。

 

(※(訳注)実際,点粒子の場理論では外線のない真空泡のグラフは規格化因子と相殺するので振幅には寄与しません。)

また,2次元のLaplace方程式に対するGreen関数G(z,z')は方程式ΔG(z,z')=∂ααG(z,z')=2πδ(z-z')を満たします。(ただしΔ≡∂ααは2次元Laplace演算子(Laplacian))

 

それ故,G(z,z')=-2π∫d2[expi(z-z')/(4π2)]=ln(μ|z-z'|)と書けます。ここで,μは右辺のq=0 での発散を処理するために必要な赤外切断です。

     (訳注9):∫d2[expi(z-z')/2]で分母の2を(2+μ2)

したHelmholtz方程式;(Δ-μ2)f=0 の解fは,Green関数

してはf(z,z';μ)=∫d2[exp{i(z-z')}/(2+μ2)]=

0dq{q/(q2+μ2)}∫0dφ[exp{iq|z-z'|cosφ}]=

2π∫0q{qJ0(q|z-z'|)/(q2+μ2)}=2πK0(μ|z-z'|)と

なります。

 

 J0(z)は 0次のBessel関数;K0(z)は 0次の第二種変形Bessel

数です。

 

そしてμ→ 0 に対しては2πK0(μ|z-z'|)~ -2πln(μ|z-z'|/2)となりますが,ln(1/2)は積分定数なので,μ→2μとすれば,結局-2π∫d2[expi(z-z')/(4π2)]=limμ→ 0{-2π∫d2[exp{i(z-z')}/{4π(2+μ2)}]})=limμ→ 0 ln(μ|z-z'|)を得ます。

実際,z=τ+iσ,=q1+iq2,(z-z')=q|z-z'|cosφでありΔ≡∂αα=∂2/∂τ2+∂2/∂σ2ですから,Δexp{i(z-z')}=-2 exp{i(z-z')}です。

 

(訳注9終わり)※

そこで,A=κM-2∫Πi=1M2iΠi<jexp{-(1/2)kijG(zj,zl)}にG(z,z')=ln(μ|z-z'|)を代入すれば,A=κM-2∫Πi=1M2iΠi<j|zi-zj|-kikj/2が得られます。

 

ただし,μに依存する未知の因子は.結合定数因子κM-2の中に吸収させました。

 

正しくはμ依存性は正規順序積,またはi=jの項に由来する同様な依存性と相殺するので,μの寄与を気にする必要はありません。

しかし,実は何も考えずにA=κM-2∫Πi=1M2iΠi<j|zi-zj|-kikj/2の右辺の積分を実行すると,これは無限大になってしまいます。

 

これはこの式を導くのに用いたゲージ固定が再パラメータ不変性を完全に除去するには到らず,対称性δz=a+bz+cz2を残しているためです。

 

残りの不変性を除去することができていないので,SL(2,)群全体の無限大体積にわたる積分を含むため無限大になるわけです。

そこで,SL(2,)群の3つのパラメータa,b,cを固定する代わりにzi(i=1,2,..,M)のうちの任意の3個を好きなようにセットすることでSL(2,)不変性を完全に除去することができます。

 

慣習的にはz1=0,z2=1,z3=∞ と選びます。このとき例えばz3→ ∞ の極限では項|z3-zj|-k3kj/2は全て落とすことができます。

何故なら,|z3|→ ∞ の極限ではj≠3の全てのzjに対し,項|z3-zj|-k3kj/2は|z3-zj|-k3kj/2~ |z3|-k3kj/2と挙動して互いに独立になり,また,エネルギー運動量の保存式Σkj=0 を用いるとこれらの項のM点振幅への寄与がΠj≠3|z3-zj|-k3kj/2~ Πj≠3|z3|-k3kj/2=|z3|k3k3/2=|z3|m2/2となります。

最右辺の|z3|のベキk32/2=m2/2のm2は基底状態のタキオンの平方質量です。後に見るようにSL(2,)不変性から,m2=-8となることがわかります。

 

この|z3|m2/2=|z3|-4は外粒子の運動量kjには全く無関係な因子なので,この因子は単に振幅にかかる共通定数因子として捨て去ることができます。正しい扱いではSL(2,)ゲージ固定で入るミニFP行列式と相殺します。

そこで結局,M点散乱振幅は,A=κM-2∫Πj=4M2j|zj|-k1kj/2|1-zj|-k2kj/2Π4<i<j≦M|zi-zj|-kikj/2となります。

 

特に外線が4つ,つまりM=4の4点散乱振幅の場合にはA=κ2∫|z4|-k1k4/2|1-z4|-k2k4/224となります。

 

歴史的には,まず4点関数がVirasoroによって初めて導入され,ShapiroによってM点関数に一般化されました。

ところで,4点散乱振幅としては以前.双対共鳴模型(dual resonance model)としてVeneziano振幅:A(s,t)=g2Γ(-α(s))Γ(-α(t))/Γ(-α(s)-α(t))=g201-α(s)-1(1-x)-α(t)-1dx=g2Β(α(s),α(t))を与えました。

 

ここで,Γ(x)はEulerのガンマ関数,Β(x,y)はEulerのベータ関数です。

今の4点振幅A=κ2|z4|-k1k4/2|1-z4|-k2k4/2dz4で被積分関数|z4|-k1k4/2|1-z4|-k2k4/2がゼロでない寄与をするのは,0≦z4≦1の範囲のz4だけなので,結合定数κをgに積分変数z4をxに書き換えれば,A=g201-k1k4/2(1-x)-k2k4/2dx=g2Β(k14/2-1,k24/2)となります。

s=(k1+k4)2,t=(k2+k4)2となるチャンネルと考えて,α(s)≡k14/2-1={s-(m12+m42)}/4-1,α(t)≡k24/2-1={t-(m22+m42)}/4-1とおけば,4点振幅A=κ2∫|z4|-k1k4/2|1-z4|-k2k4/2dz4はVeneziano振幅;A(s,t)=g2Β(α(s),α(t))に一致します。

 

特に,3つの外粒子1,2,4が全て平方質量-8の基底状態のタキオンであるとすれば,α(s)=s/4+3,α(t)=t/4+3としたときのVeneziano振幅に一致することがわかります。

 

こうして弦理論でのグラフ的考察から交叉対称性を持つVeneziano振幅が再現されました。

今日はここまでにします。

参考文献:M.B.Green,J.H.Schwarz,& E.Witten著「superstring theory」(Cambridge University Press)

 

Attention!! [広告宣伝]です。

http://www.rakuten.co.jp/trs-kenko-land/  健康商品の店「TRS健康ランド」- SCS(食品洗浄剤),黒ウコン,酒の帝王,鵜鶏王などの専売店  ←この店は私TOSHIが店長をしています。(楽天ショップです。TRSのTはTOSHIのTです。)

 「TRS健康ランド」では2008年1月10日よりお徳用SCS500mlを新発売!!当店の専売です。

 そこのお酒のみの方,いろいろと飲食の機会の増えたあなた,悪酔いを防止すると言われているウコンがいいですよ!! そして特に今回提供する沖縄原産の純粋な黒ウコンは当店が専売の新製品ですが古くから沖縄地方ではいわゆる男性の力に効果があると言われています。

 おやおや,そこの静電気バチバチの人、いいものありますよ。。。

 それから農薬を落とした後の皮がピカピカに光っているリンゴなど商品として販売する際の見栄えをよくするなどのために化学処理をした食品を安全に洗浄する新商品の洗浄液SCSはいかがですか。。。農薬ジクロルポスも食品専用の洗浄液SCSで落ちて安全になります。(厚労省試験済み)

http://www.mediator.co.jp/category/pages.php?id=115「中古パソコン!メディエーター巣鴨店」

http://folomy.jp/heart/「folomy 物理フォーラム」サブマネージャーです。 

人気blogランキングへ ← クリックして投票してください。(1クリック=1投票です。1人1日1投票しかできません。クリックすると人気blogランキングに跳びます。)

にほんブログ村 科学ブログへ にほんブログ村 科学ブログ 物理学へクリックして投票してください。(ブログ村科学ブログランキング投票です。1クリック=1投票です。1人1日1投票しかできません。クリックするとブログ村の人気ランキング一覧のホ-ムページームに跳びます。)

iconDell-個人のお客様ページ

(Dellの100円パソコン(Mini9)↓私も注文しました。)

デル株式会社

 

ブックオフオンライン 

三国志特集 ▼コミック 横山光輝 「三国志全巻セット」 icon 「三国志(文庫版)全巻セット」 icon  「三国志(ワイド版)全巻セット」 icon  ▼書籍 「三国志」/吉川英治 icon  「三国志」/北方謙三 icon  「三国志」/宮城谷昌光

iconオンライン書店 boople.com(ブープル)

|

« 運動物質内の相対論(5)(スカラー場,自由電磁場) | トップページ | 相対論の幾何学(第Ⅱ部-7)(リー群とリー代数) »

116. 弦理論」カテゴリの記事

コメント

コメントを書く



(ウェブ上には掲載しません)




« 運動物質内の相対論(5)(スカラー場,自由電磁場) | トップページ | 相対論の幾何学(第Ⅱ部-7)(リー群とリー代数) »