超弦理論(8)(弦の頂点演算子とＭ点散乱振幅)

超弦理論(superstring theory)の続きです。

まず,図1-12を再掲します。

　

↑図1-12:タイプΛ₁,Λ₂,..,Λ_Mと運動量ｋ₁,ｋ₂,..,ｋ_MのＭ個の外粒子の散乱に対する振幅の表現

運動量ｋ^μを持つ粒子Λの頂点演算子(vertex):Ｖ_Λ(ｋ)＝∫ｄ²σ[ｈ^1/2Ｗ_Λ(σ,τ)exp(－iｋＸ)]と,それを挿入したＭ点散乱振幅,またはＭ点Grren関数Ａの表式:Ａ(Λ₁,ｋ₁;Λ₂,ｋ₂;..;Λ_M,ｋ_M)＝κ^M-2∫ＤＸ(σ,τ)Ｄｈ_αβ(σ,τ)exp[{－i/(2π)}∫ｄ²σ(ｈ^1/2ｈ^αβ∂_αＸ^μ∂_βＸ_μ)]{Π_i=1^MＶ_Λi(ｋ_i)}からスタートします。

外線粒子が連結している頂点がＭ個あるのに結合定数κに関する因子はκ^M-2であり,κの(Ｍ－2)乗でしかないのは,例えば外線が２本しかないＭ＝２のグラフの場合なら,そのグラフは事実上単に１つの粒子が頂点など無関係に何の相互作用もせず自由に運動している描像と位相的には同じであるためです。

つまり,Ｍ個の外線のうちの２本は１本の"自由粒子＝自由弦"の入射と射出の２つに対応していると考えられ,結局何らの相互作用もせず単に慣性運動している自由粒子の伝播を示しているに過ぎないと見なせるからです。

　さて,もしも前に述べたような共形不変性がないなら,この複雑なＡの表式を具体的に評価するのは大変難しくて評価不可能かもしれません。

　しかし,実際には２×２対称テンソルｈの３つの独立成分から世界面の再パラメータ化(rescaling)により２成分を消去できるので,σとτの再パラメータ化で局所的にはｈをｈ＝(expφ)ｈ₀の形にできます。

　ここでｈ₀は弦の世界面上で自由に取って良い計量(metric)です。

Riemannの古典的理論によれば,世界面が球の場合,つまり種数(genus)がゼロのツリーグラフの場合にも同じことが大域的に真になります。

パラメータの選択によって,例えばｈ₀が球Ｓ²の標準極座標の計量であるとしても,ｈ＝(expφ)ｈ₀の形に書けることが保証されます。

実際,球Ｓ²をｘ-ｙ平面Ｒ²に立体射影する際にも共形不変性(conformal invariance)を用いるのは便利でさえあります。

こうして,実際に平坦な計量ｈ^αβ＝(expφ)δ^αβ,つまりｄｓ²＝(expφ)(ｄｘ²＋ｄｙ²)と取ることができます。

さらに,共形不変性のおかげで因子expφも落ちて,Ｍ点Green関数はＡ＝κ^M-2∫ＤＸ(ｘ,ｙ)exp[{1/(2π)}∫ｄ²ｘ(∂_αＸ^μ∂_βＸ_μ)]{Π_i=1^MＶ_Λi(ｋ_i)}＝κ^M-2＜Π_i=1^MＶ_Λi(ｋ_i)＞と簡単化されます。

ただし,右辺のｄ²ｘはｄｘｄｙの略で,記号＜ ＞はGauss測度の上での経路積分による期待値を意味します。

ここで重要な点は,今や事実上平坦な２次元世界の上の自由場理論を扱っているに過ぎないので,Ｍ点Green関数の具体的計算ができると期待されることです。

ここで,Ｍ点Green関数の元の複雑な一般表現から簡単化された表現へと進む際に,Ｄｈ_αβ積分は何の努力もなく消えました。

実際,この手続きでのいくつかの巧妙さは注目に値します。

特に,ｈ＝(expφ)ｈ₀のφの消去に共形不変性を用いましたが,この単純な手続きがそれだけでそのまま正しい扱いなのか,あるいは実はこの手続きの中に量子アノマリー(anomaly)が存在して,それほど単純ではないのか？を検討する必要があります。

これをチェックするには,ゲージ選択;ｈ＝(expφ)ｈ₀を行なったときに当然生じるＦＰゴースト(Fadeev-Popov ghost)を考慮することが重要となります。

これの解析については,後で詳述する予定ですが,それはやや技巧的です。結果だけ述べると,共形不変性を使用した平坦Green関数の導出でも通常は量子アノマリーが存在します。

それが無くて,この手続きが単純に正当化されるのは,時空が26次元のときのみです。

こうしたこととも関連しますが,ｄｓ²＝(expφ)(ｄｘ²＋ｄｙ²)を要求しても,これで再パラメータ化不変性が完全に一意的に固定されたわけではないということもいえます。

つまり,このｈの形は世界面Ｓ²におけるある種の大域的変換に対しては,なお保存されます。

それと関連して共形変換の最も簡単なケースとして,ｚ＝ｘ＋iｙなる複素座標を採用することができます。

この場合はｄｓ²＝(expφ)(ｄｘ²＋ｄｙ²)＝(expφ)ｄｚｄｚ^*です。

そして複素座標ｚからｚのある解析関数ｗ(ｚ)への変数変換を行なうと,ｄｚ＝(ｄｚ/ｄｗ)ｄｗですから,計量はｄｓ²＝(expφ)|ｄｚ/ｄｗ|²ｄｗｄｗ^*を満たします。

こうしたｚ→ｗ(ｚ)なる変換は,いわゆる共形ゲージ変換でありｄｓ²＝(expφ)(ｄｘ²＋ｄｙ²)なる形式が保持されたままで許される座標変換です。

また,計量を保持したままの残りのゲージ不変性として微小変換ですが,εをｚの解析関数ε(ｚ)としてδｚ＝ε(ｚ),ｚ→ｚ＋δｚなる変換を考えることができます。

実際には,以下に記述する理由のためにε(ｚ)をｚの任意の解析関数とするわけにはいかず,ε(ｚ)の形には強い制約が必要です。

上の議論では,種数がゼロのツリーグラフを複素平面に立体射影したものを考察していますが,射影前の元々の弦の世界面形状は球Ｓ²です。

そして,この球を"ｚ平面＋無限遠点"から成るRiemann球と考えると,ｚ→ｚ＋δｚ＝ｚ＋ε(ｚ)におけるε(ｚ)が無限遠点ｚ＝∞ に極を持たないことが要求されます。

複素関数論では無限遠点ｚ＝∞ での解析は,通常それが原点ｚ~＝0 となるような新座標ｚ~≡1/ｚでなされますが,座標変換ｚ→ｚ＋δｚ＝ｚ＋ε(ｚ)はこの新座標系ではδｚ~＝－δｚ/ｚ²＝－ε(ｚ)/ｚ²となります。

そこで点ｚ→ ∞ (ｚ~＝0)でε(ｚ)/ｚ²が有限であるときに限ってｚ~平面上で点ｚ~＝0 が特異にならないことがわかります。

結果として,ε(ｚ)はｚの２次以下の多項式でなければならないと結論されます。

すなわち,共形ゲージの選択の他に,ａ,ｂ,ｃを任意の無限小の複素定数パラメータとしたδｚ＝ε(ｚ)＝ａ＋ｂｚ＋ｃｚ²についての変換ｚ→ｚ＋δｚ＝ｚ＋(ａ＋ｂｚ＋ｃｚ²)に対して不変であるという対称性がなお残っています。

ところで,行列式が１の２×２行列Ａ,つまりＡ∈ＳＬ(2,Ｃ)で,２次以上が無視できる無限小パラメータａ,ｂ,ｃに対し,その要素が第１行(1＋ｂ/2,ａ),第２行(－ｃ, 1－ｂ/2)で与えられるものを想定すれば,行列Ａによるｚの"１次分数変換＝メビウス変換"は{(1＋ｂ/2)ｚ＋ａ}/{－ｃｚ＋(1－ｂ/2)}～{(1＋ｂ/2)ｚ＋ａ}{1＋ｃｚ＋ｂ/2)～ｚ＋(ａ＋ｂｚ＋ｃｚ²)＝ｚ＋ε(ｚ)となります。

このことから,ｚ→ｚ＋δｚ＝ｚ＋(ａ＋ｂｚ＋ｃｚ²)(ａ,ｂ,ｃは無限小)なる変換は群ＳＬ(2,Ｃ)に同型な再パラメータ化の1つの群を生成します。

こうした群の部分群は,先のＭ点Green関数を複雑な表現から簡単化された表現へと導いたゲージ固定だけでは除去されないもので,これを含む完全なゲージ固定が必要な場合も生じると思われます。

さて,Ｍ点振幅Ａ＝κ^M-2＜Π_i=1^MＶ_Λi(ｋ_i)＞の表式で外粒子がタキオンである場合,つまり頂点演算子Ｖ_Λ(ｋ)が簡単な形Ｖ₀≡∫ｄ²ｚexp(－iｋＸ)で与えられる場合にＡを評価してみます。

これの評価はあまりむずかしくありません。

ここからは,複素変数ｚをｚ＝ｘ＋iｙではなく弦のパラメータτ,σによるｚ＝τ＋iσなる表現とします。

計量はｄｓ²＝ｄτ²＋ｄσ²＝ｄｚｄｚ^*ですが,面積要素をｄ²ｚ≡ｄｚ∧ｄｚ^*＝2iｄτ∧ｄσ＝2iｄ²σ,またはｄ²σ≡－iｄ²ｚ/2で定義します。

弦の２次元パラメータの変数として複素数ｚを用いると,外粒子がタキオンの場合のＭ点振幅ＡはＡ＝κ^M-2Π_i=1^M∫ｄ²ｚ_i＜exp{－iｋ_iＸ(ｚ_i)}＞となります。

ここで２次式の平方完成から得られるGauss積分に対する標準的公式＜exp{－i∫ｄ²ｚＪ_μ(ｚ)Ｘ^μ(ｚ)}＞＝exp{－(1/4)∫ｄ²ｚｄ²ｚ'Ｊ_μ(ｚ)Ｇ(ｚ,ｚ')Ｊ^μ(ｚ')}が成立することが思い出されます。

ただし,Ｊ_μ(ｚ)は任意の粒子源でＧ(ｚ,ｚ')は自由場Ｘ^μの伝播関数(Green関数:propagator)です。

※(訳注８):弦の２次元Minkowski平面を計算の便宜上,２次元Euclid平面に変換するため,(τ,σ)→(τ',σ')＝(－iτ,σ)なる変換をすれば,これによって計量はｄｓ²＝η_αβｄτｄσ＝ｄτ²－ｄσ²＝－(ｄτ'²＋ｄσ'²)となります。

　つまり,ｈ^αβ＝η^αβ→ －δ^αβとなり平面の計量は確かに平坦なEuclid計量になります。

そして,この変換は複素ｚ平面上ではｚ＝τ＋iσ→ ｚ'＝(－iτ,σ)＝(－i)ｚ＝exp(－iπ/2)ｚとなるので,回転角(－π/2)のWick回転(Wick's rotation)に相当します。

ｚ'＝τ'＋iσ'＝－iτ＋iσ＝－i(τ＋σ),ｚ'^*＝τ'－iσ'＝－i(τ－σ)なのでｄ²ｚ'＝2iｄ²σ'＝2ｄ²σ＝(－i)ｄ²ｚですから一般的な形式Ａ(Λ₁,ｋ₁;Λ₂,ｋ₂;..;Λ_M,ｋ_M)＝κ^M-2∫ＤＸ(σ,τ)Ｄｈ_αβ(σ,τ)exp[{－i/(2π)}∫ｄ²σ(ｈ^1/2ｈ^αβ∂_αＸ^μ∂_βＸ_μ)]{Π_i=1^MＶ_Λi(ｋ_i)}における因子(－i)∫ｄ²σ{(ｈ^1/2ｈ^αβ∂_αＸ^μ∂_βＸ_μ)}は∫ｄ²σ'(∂_αＸ^μ∂_αＸ_μ)となります。

そこで,Ｍ点振幅Ａの簡略表現Ａ＝κ^M-2∫ＤＸ(ｘ,ｙ)exp[{1/(2π)}∫ｄ²ｘ(∂_αＸ^μ∂_βＸ_μ)]{Π_i=1^MＶ_Λi(ｋ_i)}＝κ^M-2＜Π_i=1^MＶ_Λi(ｋ_i)＞の等式におけるように,任意関数Ｐ(ｘ,ｙ)の経路積分による期待値＜Ｐ＞は,具体的には＜Ｐ＞＝∫ＤＸ(ｘ,ｙ)exp[{1/(2π)}∫ｄ²ｘ(∂_αＸ^μ∂_βＸ_μ)]Ｐ(ｘ,ｙ)で与えられます。

そこで,この(訳注８)で証明すべき等式＜exp{－i∫ｄ²ｚＪ_μ(ｚ)Ｘ^μ(ｚ)}＞＝exp{－(1/4)∫ｄ²ｚｄ²ｚ'Ｊ_μ(ｚ)Ｇ(ｚ,ｚ')Ｊ^μ(ｚ')}の左辺の期待値を陽に書くと∫ＤＸ(ｚ)[exp{1/(2π)}∫ｄ²ｚ(∂_αＸ^μ∂_αＸ_μ)]exp{－i∫ｄ²ｚＪ_μ(ｚ)Ｘ^μ(ｚ)}となります。

さらに,∫ｄ²ｚ(∂_αＸ^μ∂_αＸ_μ)＝－∫ｄ²ｚ(Ｘ^μ∂_α∂_αＸ_μ)＝－∫ｄ²ｚ{(∂_α∂_αＸ_μ)Ｘ^μ}であり,またGreen関数の定義から∂_α∂_αＧ(ｚ,ｚ')＝2πδ²(ｚ－ｚ')です。

それ故,＜exp{－i∫ｄ²ｚＪ_μ(ｚ)Ｘ^μ(ｚ)}＞＝∫ＤＸ(ｚ)[exp{1/(2π)}∫ｄ²ｚ(∂_αＸ^μ∂_αＸ_μ)]exp{－i∫ｄ²ｚＪ_μ(ｚ)Ｘ^μ(ｚ)}＝∫ＤＸ(ｚ)[exp{－1/(2π)}∫ｄ²ｚ{(Ｘ^μ∂_α∂_αＸ_μ)＋i(2π)Ｊ_μＸ^μ}となります。

∫ＤＸ(ｚ)[exp{－1/(2π)}∫ｄ²ｚ{(Ｘ^μ∂_α∂_αＸ_μ)＋i(2π)Ｊ_μＸ^μ}＝∫ＤＸ(ｚ)[exp {－1/(2π)}∫ｄ²ｚｄ²ｚ'{Ｘ^μ(ｚ)∂_α∂_αδ²(ｚ－ｚ')Ｘ_μ(ｚ')＋i(2π)δ²(ｚ－ｚ')Ｊ_μ(ｚ')Ｘ^μ(ｚ')}＝∫ＤＸ(ｚ)[exp {－1/(2π)}∫ｄ²ｚｄ²ｚ'{Ｘ^μ(ｚ)∂_α∂_αδ²(ｚ－ｚ')Ｘ_μ(ｚ')＋i∂_α∂_αＧ(ｚ,ｚ')Ｊ_μ(ｚ')Ｘ^μ(ｚ')}

　＝∫ＤＸ(ｚ)[exp{－1/(2π)}∫ｄ²ｚ∫ｄ²ｚ'{Ｘ^μ(ｚ)δ²(ｚ－ｚ')＋iＧ(ｚ,ｚ')Ｊ_μ(ｚ')/2}∂_α∂_α∫ｄ²ｚ"{Ｘ^μ(ｚ')δ²(ｚ'－ｚ")＋iＧ(ｚ',ｚ")Ｊ_μ(ｚ")/2}×(exp[(－1/4)∫ｄｚｄｚ'ｄｚ"{Ｊ_μ(ｚ)δ²(ｚ－ｚ')Ｇ(ｚ',ｚ")Ｊ_μ(ｚ")}]となります。

ところが,∫ＤＸ(ｚ)[exp{－1/(2π)}∫ｄ²ｚ∫ｄ²ｚ'{Ｘ^μ(ｚ)δ²(ｚ－ｚ')＋iＧ(ｚ,ｚ')Ｊ_μ(ｚ')/2}∂_α∂_α∫ｄ²ｚ"{Ｘ^μ(ｚ')δ²(ｚ'－ｚ")＋iＧ(ｚ',ｚ")Ｊ_μ(ｚ")/2}は,結局この式でＪ_μ≡0 の場合の式∫ＤＸ[exp{－1/(2π)}{∫ｄ²ｚＸ^μ∂_α∂_αＸ^μ}]＝∫ＤＸ[exp{1/(2π)}∫ｄ²ｚ∂_αＸ^μ∂_αＸ^μ}]＝＜1＞に等しいので,

経路積分のGauss積分が１に規格化されているとすれば,結局exp[∫ｄ²ｚｄ²ｚ'ｄ²ｚ"{(－1/4)Ｊ_μ(ｚ)δ²(ｚ－ｚ')Ｇ(ｚ',ｚ")Ｊ_μ(ｚ")}＝exp[(－1/4)∫ｄ²ｚｄ²ｚ'Ｊ_μ(ｚ)Ｇ(ｚ,ｚ')Ｊ_μ(ｚ')となります。

以上で公式＜exp{－i∫ｄ²ｚＪ_μ(ｚ)Ｘ^μ(ｚ)}＞＝exp[－(1/4)∫ｄ²ｚｄ²ｚ'{Ｊ_μ(ｚ)Ｇ(ｚ,ｚ')Ｊ^μ(ｚ')}の成立することが証明されました。(訳注８終わり)※

外粒子がタキオン(tachyon)の場合のＭ点振幅の表式:Ａ＝κ^M-2Π_i=1^M∫ｄ²ｚ_i＜exp{－iｋ_iＸ(ｚ_i)}＞での右辺の因子;Π_j=1^M＜exp{－iｋ_jＸ(ｚ_j)}＞＝＜exp[－iΣ_j=1^M{ｋ_iμＸ^μ(ｚ_j)}＞は,たった今書いた公式＜exp{－i∫ｄ²ｚＪ_μ(ｚ)Ｘ^μ(ｚ)}＞＝exp[－(1/4)∫ｄ²ｚｄ²ｚ'{Ｊ_μ(ｚ)Ｇ(ｚ,ｚ')Ｊ^μ(ｚ')}でＪ_μ(ｚ)≡Σ_i=1^Mｋ_iμδ²(ｚ－ｚ_i)としたものに相当しています。

したがって,これを代入してＡ＝κ^M-2∫Π_i=1^Mｄ²ｚ_iΠ_i<jexp{－(1/2)ｋ_jｋ_jＧ(ｚ_j,ｚ_j)}が得られます。

ここで正規順序積を取る,または"お玉じゃくし型のdiagram(頂点が１つだけの１ループ)"の寄与は物理的計算結果には寄与しないとしてｉ＝ｊの項は無視しています。

(※(訳注)実際,点粒子の場理論では外線のない真空泡のグラフは規格化因子と相殺するので振幅には寄与しません。)

また,２次元のLaplace方程式に対するGreen関数Ｇ(ｚ,ｚ')は方程式Δ_ｚＧ(ｚ,ｚ')＝∂_α∂_αＧ(ｚ,ｚ')＝2πδ(ｚ－ｚ')を満たします。(ただしΔ_ｚ≡∂_α∂_αは２次元Laplace演算子(Laplacian))

それ故,Ｇ(ｚ,ｚ')＝－2π∫ｄ²ｑ[expiｑ(ｚ－ｚ')/(4πｑ²)]＝ln(μ|ｚ－ｚ'|)と書けます。ここで,μは右辺のｑ＝0 での発散を処理するために必要な赤外切断です。

※     (訳注９):∫ｄ²ｑ[expiｑ(ｚ－ｚ')/ｑ²]で分母のｑ²を(ｑ²＋μ²)

としたHelmholtz方程式;(Δ_ｚ－μ²)ｆ＝0 の解ｆは,Green関数

としてはｆ(ｚ,ｚ';μ)＝∫ｄ²ｑ[exp{iｑ(ｚ－ｚ')}/(ｑ²＋μ²)]＝

∫₀^∞ｄｑ{ｑ/(ｑ²＋μ²)}∫₀^2πｄφ[exp{iｑ|ｚ－ｚ'|cosφ}]＝

2π∫₀^∞ｄｑ{ｑＪ₀(ｑ|ｚ－ｚ'|)/(ｑ²＋μ²)}＝2πＫ₀(μ|ｚ－ｚ'|)と

なります。

　Ｊ₀(ｚ)は 0次のBessel関数;Ｋ₀(ｚ)は 0次の第二種変形Bessel

関数です。

そしてμ→ 0 に対しては2πＫ₀(μ|ｚ－ｚ'|)～ －2πln(μ|ｚ－ｚ'|/2)となりますが,ln(1/2)は積分定数なので,μ→2μとすれば,結局－2π∫ｄ²ｑ[expiｑ(ｚ－ｚ')/(4πｑ²)]＝lim_{μ→ 0}{－2π∫ｄ²ｑ[exp{iｑ(ｚ－ｚ')}/{4π(ｑ²＋μ²)}]})＝lim_{μ→ 0} ln(μ|ｚ－ｚ'|)を得ます。

実際,ｚ＝τ＋iσ,ｑ＝ｑ¹＋iｑ²,ｑ(ｚ－ｚ')＝ｑ|ｚ－ｚ'|cosφでありΔ_ｚ≡∂_α∂_α＝∂²/∂τ²＋∂²/∂σ²ですから,Δ_ｚexp{iｑ(ｚ－ｚ')}＝－ｑ² exp{iｑ(ｚ－ｚ')}です。

(訳注９終わり)※

そこで,Ａ＝κ^M-2∫Π_i=1^Mｄ²ｚ_iΠ_i<jexp{－(1/2)ｋ_iｋ_jＧ(ｚ_j,ｚ_l)}にＧ(ｚ,ｚ')＝ln(μ|ｚ－ｚ'|)を代入すれば,Ａ＝κ^M-2∫Π_i=1^Mｄ²ｚ_iΠ_i<j|ｚ_i－ｚ_j|^-kikj/2が得られます。

ただし,μに依存する未知の因子は.結合定数因子κ^M-2の中に吸収させました。

正しくはμ依存性は正規順序積,またはｉ＝ｊの項に由来する同様な依存性と相殺するので,μの寄与を気にする必要はありません。

しかし,実は何も考えずにＡ＝κ^M-2∫Π_i=1^Mｄ²ｚ_iΠ_i<j|ｚ_i－ｚ_j|^-kikj/2の右辺の積分を実行すると,これは無限大になってしまいます。

これはこの式を導くのに用いたゲージ固定が再パラメータ不変性を完全に除去するには到らず,対称性δｚ＝ａ＋ｂｚ＋ｃｚ²を残しているためです。

残りの不変性を除去することができていないので,ＳＬ(2,Ｃ)群全体の無限大体積にわたる積分を含むため無限大になるわけです。

そこで,ＳＬ(2,Ｃ)群の３つのパラメータａ,ｂ,ｃを固定する代わりにｚ_i(ｉ＝1,2,..,Ｍ)のうちの任意の３個を好きなようにセットすることでＳＬ(2,Ｃ)不変性を完全に除去することができます。

慣習的にはｚ₁＝0,ｚ₂＝1,ｚ₃＝∞ と選びます。このとき例えばｚ₃→ ∞ の極限では項|ｚ₃－ｚ_j|^-k3kj/2は全て落とすことができます。

何故なら,|ｚ₃|→ ∞ の極限ではｊ≠3の全てのｚ_jに対し,項|ｚ₃－ｚ_j|^-k3kj/2は|ｚ₃－ｚ_j|^-k3kj/2～ |ｚ₃|^-k3kj/2と挙動して互いに独立になり,また,エネルギー運動量の保存式Σｋ_j＝0 を用いるとこれらの項のＭ点振幅への寄与がΠ_j≠3|ｚ₃－ｚ_j|^-k3kj/2～ Π_j≠3|ｚ₃|^-k3kj/2＝|ｚ₃|^k3k3/2＝|ｚ₃|^m2/2となります。

最右辺の|ｚ₃|のベキｋ₃²/2＝ｍ²/2のｍ²は基底状態のタキオンの平方質量です。後に見るようにＳＬ(2,Ｃ)不変性から,ｍ²＝－８となることがわかります。

この|ｚ₃|^m2/2＝|ｚ₃|^-4は外粒子の運動量ｋ_jには全く無関係な因子なので,この因子は単に振幅にかかる共通定数因子として捨て去ることができます。正しい扱いではＳＬ(2,Ｃ)ゲージ固定で入るミニＦＰ行列式と相殺します。

そこで結局,Ｍ点散乱振幅は,Ａ＝κ^M-2∫Π_j=4^Mｄ²ｚ_j|ｚ_j|^-k1kj/2|1－ｚ_j|^-k2kj/2Π_4<i<j≦M|ｚ_i－ｚ_j|^-kikj/2となります。

特に外線が４つ,つまりＭ＝４の４点散乱振幅の場合にはＡ＝κ²∫|ｚ₄|^-k1k4/2|1－ｚ₄|^-k2k4/2ｄ²ｚ₄となります。

歴史的には,まず４点関数がVirasoroによって初めて導入され,ShapiroによってＭ点関数に一般化されました。

ところで,４点散乱振幅としては以前.双対共鳴模型(dual resonance model)としてVeneziano振幅:Ａ(ｓ,ｔ)＝ｇ²Γ(－α(ｓ))Γ(－α(ｔ))/Γ(－α(ｓ)－α(ｔ))＝ｇ²∫₀¹ｘ^-α(s)-1(1－ｘ)^-α(t)-1ｄｘ＝ｇ²Β(α(ｓ),α(ｔ))を与えました。

ここで,Γ(ｘ)はEulerのガンマ関数,Β(ｘ,ｙ)はEulerのベータ関数です。

今の４点振幅Ａ＝κ²∫|ｚ₄|^-k1k4/2|1－ｚ₄|^-k2k4/2ｄｚ₄で被積分関数|ｚ₄|^-k1k4/2|1－ｚ₄|^-k2k4/2がゼロでない寄与をするのは,0≦ｚ₄≦1の範囲のｚ₄だけなので,結合定数κをｇに積分変数ｚ₄をｘに書き換えれば,Ａ＝ｇ²∫₀¹ｘ^-k1k4/2(1－ｘ)^-k2k4/2ｄｘ＝ｇ²Β(ｋ₁ｋ₄/2－1,ｋ₂ｋ₄/2)となります。

ｓ＝(ｋ₁＋ｋ₄)²,ｔ＝(ｋ₂＋ｋ₄)²となるチャンネルと考えて,α(ｓ)≡ｋ₁ｋ₄/2－１＝{ｓ－(ｍ₁²＋ｍ₄²)}/4－１,α(ｔ)≡ｋ₂ｋ₄/2－１＝{ｔ－(ｍ₂²＋ｍ₄²)}/4－1とおけば,４点振幅Ａ＝κ²∫|ｚ₄|^-k1k4/2|1－ｚ₄|^-k2k4/2ｄｚ₄はVeneziano振幅;Ａ(ｓ,ｔ)＝ｇ²Β(α(ｓ),α(ｔ))に一致します。

特に,３つの外粒子1,2,4が全て平方質量－８の基底状態のタキオンであるとすれば,α(ｓ)＝ｓ/4＋3,α(ｔ)＝ｔ/4＋3としたときのVeneziano振幅に一致することがわかります。

こうして弦理論でのグラフ的考察から交叉対称性を持つVeneziano振幅が再現されました。

今日はここまでにします。

参考文献:M.B.Green,J.H.Schwarz,& E.Witten著「superstring theory」(Cambridge University Press)

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