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2008年12月22日 (月)

運動物質内の相対論(9)(電磁場のエネルギー運動量)

運動物質内の相対論の続きです。やっと物質中の電磁場のエネルギー運動量テンソルに言及するところまで来ました。

電磁場のエネルギー運動量テンソルに言及した過去記事2008年6/15の記事「電磁気学と相対論(8)(物質中の電磁気学2)」から関係する部分を引用して再掲します。

 

(新しいことも付け加えるつもりでしたが量が多くて,結局自分の過去記事からの丸々引用の手抜きとなってしまいました。)

 

(再掲)前回の記事では,運動する物質中の電磁場に対して2つの2階反対称反変テンソルFμν,Hμνを導入しました。

 

それによって,電場,磁束密度,電束密度,磁場の強さを,E=(E1,E2,E3)≡-c(F01,F02,F03),B=(B1,B2,B3)≡-(F23,F31,F12),D=(D1,D2,D3)≡-c-1(H01,H02,H03),H=(H1,H2,H3)≡-(H23,H31,H12)で定義しました。

そして,ρを物質の電荷密度,Uμを運動物質の4元速度Uμ≡(c/(1-2/c2)1/2,/(1-2/c2)1/2)として,4元電流密度をJμ≡(cρ,)=ρ0μ+sμ=(cρ,ρ),sμ=(s0,)=Jμ-(Jλλ)Uμ/c2=(0,-ρ)とします。

 

こうすれば,任意の座標系における電磁力学の基本方程式は,∂Fμν/∂xλ+∂Fνλ/∂xμ+∂Fλμ/∂xν=0 ,∂Hμν/∂xν=-Jμと表現されます。

さらに,Fμν,Hμνから4元ベクトルFμ≡Fμνν=((Eu)/{c(1-2/c2)1/2},(×)/(1-2/c2)1/2),およびKμ≡Hμνν/c2=((Du)/{c2 (1-2/c2)1/2},{+(×)/c2}/(1-2/c2)1/2)を作ります。

 

また,Fμν,Hμνに双対な擬テンソルF*μν≡(1/2)εμνλσλσ,H*μν≡(1/2)εμνλσλσ)を構成します。

 

そして,4元擬ベクトルF≡-F*μνν/c=((Bu)/{c(1-2/c2)1/2},{-(×)/c2}/(1-2/c2)1/2)=(()/{c(1-2/c2)1/2},/(1-2/c2)1/2),およびK≡-H*μνν/c=((Hu)/{c(1-2/c2)1/2},{-(×)/c2}/(1-2/c2)1/2)を作ります。

特に,0 の静止系S0ではF=(0,0),K=(0,0),F*0μ=(0,0),K*0μ=(0,0)です。

 

これら4元ベクトルFμ,Kμ,F,Kを,S系のミンコフスキーの4元力の表現FMμ≡((M)/c,M)=({(Fu)/c}/(1-2/c2)1/2,/(1-2/c2)1/2)と比較します。

 

すると,×,および+(×)/c2は,それぞれ単位量の試験電荷に作用する"canal field",および"gap field"の電気力,×,および-(×)/c2は,それぞれ単位磁極の試験磁荷に作用する"canals field",および"gap field"の磁気力であることがわかります。

そしてS系での量×,+(×)/c2,×,-(×)/c2のS0系(0)での表現:0,0,0,0に対しては,等方性媒質の場合,εを誘電率,μを透磁率と呼ばれる比例定数として0=ε0,0=μ0と書けます。

  

このことから,=ε,=μ,あるいはKμ=εFμ,F=μKが成立し試験体に作用する"canal field"の力と"gap field"の力が互いに比例するという表式が得られます。

これらの式はまた,Hμνν/c2=εFμνν,F*μνν/c=μH*μνν/cとも書けます。

 

そして後者:F*μνν/c=μH*μνν/cは,Fμνλ+Fνλμ+Fλμν=μ(Hμνλ+Hνλμ+Hλμν)なる等式と同等であることを示すこともできます。

さらに,σを電気伝導度とすると,S0系でのオームの法則は0=σ0で与えられます。そこで,sμ=(s0,)=Jμ-(Jλλ)Uμ/c2=(0,-ρ)のS0系での形は,s=(0,0)=(0,σ0)=σFと書けます。

 

それ故,S系ではsμ=σFμより,Jμ-(Jλλ)Uμ/c2=σFμなる形で,オームの法則のテンソル表現が得られます。

結局,電流密度Jμが与えられている場合の電磁力学の基本方程式の閉じた形式は,∂Fμν/∂xλ+∂Fνλ/∂xμ+∂Fλμ/∂xν=0 ,∂Hμν/∂xν=-Jμと,Hμνν/c2=εFμνν,Fμνλ+Fνλμ+Fλμν=μ(Hμνλ+Hνλμ+Hλμν),Jμ-(Jλλ)Uμ/c2=σFμの組で与えられます。

 

原理的には,これらから物質内の場を決定できるはずです。

ここで,物質と真空の境界で場の量が満足すべき境界条件は,については方程式 rot+d/dt=0,rot+d/dt=-ρu=sを物質の境界面のすぐ内側と外側に相対する2辺を持つ小さな長方形が囲む無限小面内で積分することから得られます。

 

これは,,あるいはの境界面に平行な成分が連続であるべきという条件になります。

一方,については,方程式 div=0,div=ρを積分することにより,の垂直成分:Bnは境界で連続であるべきで,の垂直成分:Dnは物質外部から内部に向かって境界表面の電荷密度分ΔDnだけ不連続に変化してDn+ΔDnなるべきという条件が得られます。

ただし,定義×,+(×)/c2,×,-(×)/c2におけるは"境界の外=真空領域"でも物質の速度に等しいとしています。

先に2008年5/30の記事電磁気学と相対論(6)(真空中の電磁気学5)」では,μをローレンツの電子論における電流密度とするとき,真空中での電磁気力の4元力密度fμがfμ=ρ0μνν=Fμννなる表式で与えられることを見ました。

4元力がこの形に書けることは,静電荷(=0)に作用する力の密度がρ00であるという電場の定義から明らかです。

しかしε≠ε0,μ≠μ0の一般の物質内で作用する力の密度を一意的に表現するのは容易ではありません。このような力の定義の曖昧さは当然ながら,エネルギー運動量テンソルの曖昧さを呼び起こします。

ともあれ,ここではまず電子論での話にならって,fμ=Fμννにおいて携帯電流ρのみで書かれた4元電流密度sμを,ρに伝導電流(を加えた物質における全4元電流密度Jμで置き換えた4元ベクトル量Fμννを取り上げて考えてみます。

場の方程式:∂Fμν/∂xλ+∂Fνλ/∂xμ+∂Fλμ/∂xν=0 ,∂Hμν/∂xν=-Jμによって,Fμνν=-Fμν(∂Hνλ/∂xλ)=-∂(Fμννλ)/∂xλ+(∂Fμν/∂xλ)Hνλ

  

=∂(Fμνλν)/∂xλ+(1/2)(∂Fμν/∂xλ+∂Fλμ/∂xν)Hνλ=∂(Fμνλν)/∂xλ-(1/2)(∂Fνλ/∂xμ)Hνλ=∂(Fμνλν)/∂xλ-(1/4)∂(Fνλνλ)/∂xμ-(1/4){(∂Fνλ/∂xμ)Hνλ-Fνλ(∂Hνλ/∂xμ)}が得られます。

したがって,Fμνν(1/4){Fσλ(∂Hσλ/∂xμ)-(∂Fλσ/∂xμ)Hσλ}=-∂Sμν/∂xνが成立します。

 

μν≡-ηνσμλσλ+(1/4)Fλσλσημνです。

このテンソルSμνの空間成分;ij≡-tijを,E=(E1,E2,E3)-c(F01,F02,F03),B=(B1,B2,B3)-(F23,F31,F12),およびD=(D1,D2,D3)-c-1(H01,H02,H03),H=(H1,H2,H3)-(H23,H31,H12)を用いて表わすと,tij=Eij+Hij-(1/2)(EDHBijとになります。

それ故,Sμνの空間成分Sijにマイナス符号をつけたtijは静止系S0では物体におけるマクスウェルの応力テンソルに一致します。

さらに,/c≡(S01,S01,S03)と定義すれば,×はポインティングベクトルになっています。また,h≡S00とするとh=(1/2)(EDHB)となります。

 

すなわち,静止系S0ではおよびhはそれぞれ定常運動している物体の電磁エネルギー流,および電磁エネルギー密度に一致します。

また,c≡(S10,S20,S30)で与えられる3次元ベクトルをとすると×となり,真空中の理論からのアナロジーで,これは電磁運動量密度を示していると思われます。

これらのことから,Fμνν-(1/4){Fσλ(∂Hσλ/∂xμ)-(∂Fλσ/∂xμ)Hσλ}=-∂Sμν/∂xνの左辺がこの際の電磁的な4元力密度fμであって,Sμνが電磁エネルギー運動量テンソルを表わしていると暗示されます。

 

この結果,,h,は静止系S0だけでなく,任意の座標系Sにおいても電磁エネルギー流,電磁エネルギー密度,電磁運動量密度に相当するものとして扱えると考えられます。

 

,h,を上述のように表現することは,ミンコフスキーに始まりますが,これらはε=ε0,μ=μ0のときには,いずれも電子論における表現形式に帰着します。

 

ところで,一般物質から成る対象帯電物体が均質かつ等方的であればFμνν-(1/4){Fσλ(∂Hσλ/∂xμ)-(∂Fλσ/∂xμ)Hσλ}=-∂Sμν/∂xνの左辺第2項はゼロになることを示せます。

 

すなわち,(1/4){F0σλ(∂H0σλ/∂x0μ)-(∂F0λσ/∂x0μ)H0σλ}=(1/2)[0(∂0/∂x0μ)-0(∂0/∂x0μ)-(∂0/∂x0μ)0+(∂0/∂x0μ)0]=-(1/2)[|0|2(∂μ/∂x0μ)+|0|2(∂ε/∂x0μ)]となりますが,S0系でεとμが定数ならば最右辺はゼロです。

 

この式は座標系によらない表現なので,任意の系Sでもゼロであるというわけです。

こうして,均質かつ等方的な物体内部ではfμ=Fμννとなりますが,Jμ=(cρ,)よりfμ=((EJ)/c,ρ+(×))を得ます。

 

つまり,=ρ+(×)=ρ[+(×)]+(×),f0=(EJ)/c={)}/c=(ρEC)/c=(fu)/cとなります。

すなわち,cf0fuですが,これは静止S0系(=0)では物体中の単位体積中で単位時間に発生する熱量=ジュール熱を表わしたもの0~00と一致しています。

 

一方,fuはどんな座標系でも力学的仕事を示すので,fμが相対論的力学において定式化された4元力密度の一般的な表現形式fμ=((fu+q)/c,)(qは単位時間当りに系が自身の運動で放出する非力学的エネルギー)と合致するためには,先の式の項がこのプロセスで発生する熱量率qを示している,と考える必要があります。

実際,系の力学的エネルギーをEmとするとcf0=dEm/dt=(エネルギーの増加率)ですから,これは力学系が受け取るエネルギー率そのものです。

そこで,独立な4個の方程式fμ=-∂Sμν/∂xνは通常のエネルギー運動量の保存法則を示しています。

 

そしてfμ=Fμνν=((EJ)/c,ρ+(×))からfμμ=Uμμνν=U0μ0μν0ν=(00)0=不変量が得られます。

0は静止系での力学的効果以外の効果を示しており,もちろんスカラーですがfμ=((fu+q)/c,),Uμ=(c/(1-2/c2)1/2,/(1-2/c2)1/2)から得られるfμμの表式において0 とおけばわかるように,q0=q/(1-2/c2)1/2,あるいはq=q0(1-2/c2)1/2が成立します。

一方,先に同じく2008年5/30の記事「電磁気学と相対論(6)(真空中の電磁気学5)」で述べたように,

  

μを対象とする帯電物体の"密度(静止質量密度)をμとし,μ0 を物質の不変質量密度(静止系での物質密度)とすれば,μ=μ0/(1-2/c2)1/2と書けるので,この物体の微小体積をΔVとしたとき,これが従うべき運動方程式はd(μ0ΔV0μ)/dτ=fμΔV0となります。

 

そして,この方程式が∂(μ0μν)/∂xν=fμなる式と等価であることも示しました。

そこで,この両辺にUμを掛けてμで縮約すると,Uμμ=c2,,かつUμ(dUμ/dτ)=0 であってfμμ=q0なので,∂(μ0ν)/∂xν=q0/c2,つまり∂μ/∂t+div(μ)=q0/c2なる質量保存の連続方程式が得られます。

連続方程式の右辺は質量の湧き出しですから,この式は正に非力学的エネルギーq0,今の場合は"q0=(00)(~0,C0)=(ジュール熱)"を受け取ることによって,物質の固有質量がq0/c2だけ増加することを意味しています。

 

つまり,電磁場の話は質量とエネルギーについてのアインシュタインの一般定理(E=mc2)の典型例の1つを示していると考えられます。

ミンコフスキーの電磁エネルギー運動量テンソル:Sμν=-ηνσμλσλ(1/4)Fλσλνημνは,電子論の場合のそれと同じくトレ-スレス(対角和がゼロ)という性質:Sμμ=-Fμλμλ+(1/4)4Fλσλσ=0 を確かに満たしています。

 

しかし,Fμλνλ≠FνλμλなのでSμν≠Sνμとなり,Sμνは対称テンソルではありません。

μνの空間部分Sij=-tij=-Eij-Hij(1/2)(EDHBijは,等方性物体なら静止系S0では0=ε0,0=μ0なので対称テンソルですが,時間と空間の混合成分は静止系でも,Si0-S0i=c(gi-Si/c2)=c(εμ-ε0μ0)(0×0)≠0 となって確かに対称ではありません。

 

したがって,一般に等方性物体でもS0系以外ではSij≠Sjiであって空間成分も非対称です。

こうしたミンコフスキーのエネルギー運動量テンソルの非対称性については長い間文献上で議論が続けられ,この非対称性の中にミンコフスキー理論の真の難点が現われているという感がありました。

そこで,アブラハムは対称性を持つ電磁エネルギー運動量テンソルの表現形式を作ってみました。

  

彼の電磁エネルギー運動量テンソルの表現:SAμνはとにかく静止系S0で等方性物体の場合には,SAij=-tAij=-Eij-Hij+(1/2)(EDHBij,×=c(SA01,SA01,SA03),h=(1/2)(EDHB)=SA00となるように作られています。

しかし,電磁運動量密度については,ミンコフスキーが自身のテンソルSμνから≡(S10,S20,S30)=×としてこれを与えたのに対し,アブラハムはあくまでもテンソルの対称性が保たれるように,静止系S0=(×)/c2/c2の形をとるものと仮定しました。

アブラハムのテンソルSAμν,静止系S0では対称ですから,任意の座標系Sでも対称です。

 

しかしS0系以外の任意系Sでの成分はS0系での表現SAij=-tAij=-Eij-Hij+(1/2)(EDHBij,×=c(SA01,SA01,SA03),h=(1/2)(EDHB)=SA00のような簡単な形にはならず,場を示す変数,,,でSAμνを表わそうとすると,物質速度を示すが非常に複雑な形で入ってきます。

そして,テンソルSAμνから方程式fAμ=-∂SAμν/∂xνを満たすものとして導かれるアブラハムの4元力密度fAμは,先の表現式fμ=Fμνν=((EJ)/c,ρ+(×))からのずれも,きわめて複雑な形になります。

ミンコフスキーの表現の場合,静止系でもFμννからのずれが,-(1/4){F0σλ(∂H0σλ/∂x0μ)-(∂F0λσ/∂x0μ)H0σλ}=(1/2)[|0|2(∂μ/∂x0μ)+|0|2(∂ε/∂x0μ)]であり,これは均質,かつ等方的な物質内ならゼロになります。

 

一方,アブラハムの表現の場合には,静止系では空間成分の力の密度Aが,A+{(εμ-ε0μ0)/c2}(∂/∂t)と表わせることがわかっています。

 

これによれば,アブラハムの力の密度Aはミンコフスキーのそれよりも{(εμ-ε0μ0)/c2}(∂/∂t)だけ異なります。しかし,この違いを実験的に検証するのは困難らしいです。

そして,ごく最近まで,ほとんどの物理学者はアブラハムの理論を採用する方向に向かっていましたが,これについてはまだ決着が付いていたわけではなく,最近タム(Tamm)はこの問題の論議を再開して,結局ミンコフスキーの表現形式の方が正しいという結論を得ています。

  

(最近というのは"参考文献=メラーの著書"が書かれた当時のことですが,現在については調べていません。)

すなわち,ある物体中の電磁場は本質的には閉じた系ではないため,電磁エネルギー運動量テンソルが対称であるべき,という先験的理由(a-prioriな理由)はありません。

 

アブラハムがテンソルが対称であるべきことを主張する主な論拠は,"巨視的理論に現われる諸量は,各々に対応する電子論の諸量を適当な大きさの時空領域で平均して得られるべきで,電子論での微視的なエネルギー運動量テンソルsμνは対称なので,その平均として得られるSμν=<sμν>も対称でなければならない。"というものでした。

しかし,タムが着目したのは,"巨視的テンソルSμνは,必ずしもsμνの平均<sμν>に一致する必要はなく,むしろSμνが力の密度,および力のモーメント(能率)を正しく与えるように定義すべきである"ということです。

 

つまり,彼は,"fμ=-∂Sμν/∂xν=-<∂sμν/∂xν>,およびαμν=xμν-xνμ+Sμν-Sνμ=-xμ(∂Sνλ/∂xλ)-xν(∂Sμλ/∂xλ)+Sμν-Sνμ=-<xμ(∂sνλ/∂xλ)>+<xν(∂sμλ/∂xλ)>の成立を条件とすべきである"と主張しました。

 

それ故,タムによれば,aμνを∂aμν/∂xν=0 を満たす適切な非対称テンソルとして,Sμν=<sμν>+aμνと書かれるべきことがいえるのみです。

そして,これを力のモーメントテンソルの等式αμν=-xμ(∂Sνλ/∂xλ)-xν(∂Sμλ/∂xλ)+Sμν-Sνμ=-<xμ(∂sνλ/∂xλ)>+<xν(∂sμλ/∂xλ)>に代入すると,-<xμ(∂sνλ/∂xλ)>+<xν(∂sμλ/∂xλ)>=-<xμ><∂sνλ/∂xλ>+<xν><∂sμλ/∂xλ>が成立するときに限って,Sμνが対称となることがわかります。

 

そして,今の電磁場のテンソルの場合に,こうなる必然性はないということです。

さらに加えて,タムはミンコフスキーのテンソル表現が電子論と一致するのに反し,アブラハムの表現はある特別な場合には誤った結果に導くことを示し得ました。

 

また,ダレンバッハ(Dallenbach)は電子論からミンコフスキーのテンソルを一般的に導く方法を与えました。

 

これらのことから,電磁エネルギー運動量テンソルは一般に非対称であるとしてよいと思われますが,物質と電磁場の全エネルギー運動量テンソルは依然として対称であると仮定できます。(再掲終わり)

 

ともあれ,最終的にはここでの最後の言明のようにミンコフスキーの表現がアブラハムのそれよりも優っているというわけではないことを述べる予定です。次回はこの項目から一旦移りますが最後にはこのテーマに戻ります。

 

とりあえず,今日はここで終わります。

参考文献:メラー 著(永田恒夫,伊藤大介 訳)「相対性理論」(みすず書房)

 

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