運動物質内の相対論(9)(電磁場のエネルギー運動量): TOSHIの宇宙

2008年12月22日 (月)

運動物質内の相対論(9)(電磁場のエネルギー運動量)

運動物質内の相対論の続きです。やっと物質中の電磁場のエネルギー運動量テンソルに言及するところまで来ました。

電磁場のエネルギー運動量テンソルに言及した過去記事2008年6/15の記事「電磁気学と相対論(8)(物質中の電磁気学２)」から関係する部分を引用して再掲します。

(新しいことも付け加えるつもりでしたが量が多くて,結局自分の過去記事からの丸々引用の手抜きとなってしまいました。)

(再掲)前回の記事では,運動する物質中の電磁場に対して２つの２階反対称反変テンソルＦ^μν,Ｈ^μνを導入しました。

それによって,電場Ｅ,磁束密度Ｂ,電束密度Ｄ,磁場の強さＨを,Ｅ＝(Ｅ¹,Ｅ²,Ｅ³)≡－ｃ(Ｆ⁰¹,Ｆ⁰²,Ｆ⁰³),Ｂ＝(Ｂ¹,Ｂ²,Ｂ³)≡－(Ｆ²³,Ｆ³¹,Ｆ¹²),Ｄ＝(Ｄ¹,Ｄ²,Ｄ³)≡－ｃ^-1(Ｈ⁰¹,Ｈ⁰²,Ｈ⁰³),Ｈ＝(Ｈ¹,Ｈ²,Ｈ³)≡－(Ｈ²³,Ｈ³¹,Ｈ¹²)で定義しました。

そして,ρを物質の電荷密度,Ｕ^μを運動物質の４元速度Ｕ^μ≡(ｃ/(1－ｕ²/ｃ²)^1/2,ｕ/(1－ｕ²/ｃ²)^1/2)として,４元電流密度をＪ^μ≡(ｃρ,Ｊ)＝ρ⁰Ｕ^μ＋ｓ^μ＝(ｃρ,ρｕ＋ｓ),ｓ^μ＝(ｓ⁰,ｓ)＝Ｊ^μ－(Ｊ^λＵ_λ)Ｕ^μ/ｃ²＝(0,Ｊ－ρｕ)とします。

こうすれば,任意の座標系における電磁力学の基本方程式は,∂Ｆ^μν/∂ｘ_λ＋∂Ｆ^νλ/∂ｘ_μ＋∂Ｆ^λμ/∂ｘ_ν＝0 ,∂Ｈ^μν/∂ｘ^ν＝－Ｊ^μと表現されます。

さらに,Ｆ^μν,Ｈ^μνから４元ベクトルＦ^μ≡Ｆ^μνＵ_ν＝((Ｅｕ)/{ｃ(1－ｕ²/ｃ²)^1/2},(Ｅ＋ｕ×Ｂ)/(1－ｕ²/ｃ²)^1/2),およびＫ^μ≡Ｈ^μνＵ_ν/ｃ²＝((Ｄｕ)/{ｃ² (1－ｕ²/ｃ²)^1/2},{Ｄ＋(ｕ×Ｈ)/ｃ²}/(1－ｕ²/ｃ²)^1/2)を作ります。

また,Ｆ^μν,Ｈ^μνに双対な擬テンソルＦ^*_μν≡(1/2)ε_μνλσＦ^λσ,Ｈ^*_μν≡(1/2)ε_μνλσＨ^λσ)を構成します。

そして,４元擬ベクトルＦ^*μ≡－Ｆ^*μνＵ_ν/ｃ＝((Ｂｕ)/{ｃ(1－ｕ²/ｃ²)^1/2},{Ｂ－(ｕ×Ｅ)/ｃ²}/(1－ｕ²/ｃ²)^1/2)＝((Ｂ^～ｕ)/{ｃ(1－ｕ²/ｃ²)^1/2},Ｂ^～/(1－ｕ²/ｃ²)^1/2),およびＫ^*μ≡－Ｈ^*μνＵ_ν/ｃ＝((Ｈｕ)/{ｃ(1－ｕ²/ｃ²)^1/2},{Ｈ－(ｕ×Ｄ)/ｃ²}/(1－ｕ²/ｃ²)^1/2)を作ります。

特に,ｕ＝0 の静止系Ｓ⁰ではＦ^0μ＝(0,Ｅ⁰),Ｋ^0μ＝(0,Ｄ⁰),Ｆ^*0μ＝(0,Ｂ⁰),Ｋ^*0μ＝(0,Ｈ⁰)です。

これら４元ベクトルＦ^μ,Ｋ^μ,Ｆ^*μ,Ｋ^*μを,Ｓ系のミンコフスキーの４元力の表現Ｆ_M^μ≡((Ｆ_Mｕ)/ｃ,Ｆ_M)＝({(Ｆｕ)/ｃ}/(1－ｕ²/ｃ²)^1/2,Ｆ/(1－ｕ²/ｃ²)^1/2)と比較します。

すると,Ｅ^～≡Ｅ＋ｕ×Ｂ,およびＤ^～≡Ｄ＋(ｕ×Ｈ)/ｃ²は,それぞれ単位量の試験電荷に作用する"canal field",および"gap field"の電気力,Ｂ^～＝Ｂ－ｕ×Ｅ,およびＨ^～＝Ｈ－(ｕ×Ｄ)/ｃ²は,それぞれ単位磁極の試験磁荷に作用する"canals field",および"gap field"の磁気力であることがわかります。

そしてＳ系での量Ｅ^～≡Ｅ＋ｕ×Ｂ,Ｄ^～≡Ｄ＋(ｕ×Ｈ)/ｃ²,Ｂ^～＝Ｂ－ｕ×Ｅ,Ｈ^～＝Ｈ－(ｕ×Ｄ)/ｃ²のＳ⁰系(ｕ＝0)での表現:Ｅ⁰,Ｄ⁰,Ｂ⁰,Ｈ⁰に対しては,等方性媒質の場合,εを誘電率,μを透磁率と呼ばれる比例定数としてＤ⁰＝εＥ⁰,Ｂ⁰＝μＨ⁰と書けます。

このことから,Ｄ^～＝εＥ^～,Ｂ^～＝μＨ^～,あるいはＫ^μ＝εＦ^μ,Ｆ^*μ＝μＫ^*μが成立し試験体に作用する"canal field"の力と"gap field"の力が互いに比例するという表式が得られます。

これらの式はまた,Ｈ^μνＵ_ν/ｃ²＝εＦ^μνＵ_ν,Ｆ^*_μνＵ^ν/ｃ＝μＨ^*_μνＵ^ν/ｃとも書けます。

そして後者:Ｆ^*_μνＵ^ν/ｃ＝μＨ^*_μνＵ^ν/ｃは,Ｆ^μνＵ^λ＋Ｆ^νλＵ^μ＋Ｆ^λμＵ^ν＝μ(Ｈ^μνＵ^λ＋Ｈ^νλＵ^μ＋Ｈ^λμＵ^ν)なる等式と同等であることを示すこともできます。

さらに,σを電気伝導度とすると,Ｓ⁰系でのオームの法則はＪ⁰＝σＥ⁰で与えられます。そこで,ｓ^μ＝(ｓ⁰,ｓ)＝Ｊ^μ－(Ｊ^λＵ_λ)Ｕ^μ/ｃ²＝(0,Ｊ－ρｕ)のＳ⁰系での形は,ｓ^0μ＝(0,Ｊ⁰)＝(0,σＥ⁰)＝σＦ^0μと書けます。

それ故,Ｓ系ではｓ^μ＝σＦ^μより,Ｊ^μ－(Ｊ^λＵ_λ)Ｕ^μ/ｃ²＝σＦ^μなる形で,オームの法則のテンソル表現が得られます。

結局,電流密度Ｊ^μが与えられている場合の電磁力学の基本方程式の閉じた形式は,∂Ｆ^μν/∂ｘ_λ＋∂Ｆ^νλ/∂ｘ_μ＋∂Ｆ^λμ/∂ｘ_ν＝0 ,∂Ｈ^μν/∂ｘ^ν＝－Ｊ^μと,Ｈ^μνＵ_ν/ｃ²＝εＦ^μνＵ_ν,Ｆ^μνＵ^λ＋Ｆ^νλＵ^μ＋Ｆ^λμＵ^ν＝μ(Ｈ^μνＵ^λ＋Ｈ^νλＵ^μ＋Ｈ^λμＵ^ν),Ｊ^μ－(Ｊ^λＵ_λ)Ｕ^μ/ｃ²＝σＦ^μの組で与えられます。

原理的には,これらから物質内の場を決定できるはずです。

ここで,物質と真空の境界で場の量が満足すべき境界条件は,ＥとＨについては方程式 rotＥ^～＋ｄＢ^～/ｄｔ＝0,rotＨ^～＋ｄＤ^～/ｄｔ＝Ｊ－ρｕ＝ｓを物質の境界面のすぐ内側と外側に相対する２辺を持つ小さな長方形が囲む無限小面内で積分することから得られます。

これは,Ｅ,あるいはＨの境界面に平行な成分が連続であるべきという条件になります。

一方,ＢとＤについては,方程式 divＢ＝0,divＤ＝ρを積分することにより,Ｂの垂直成分:Ｂ_nは境界で連続であるべきで,Ｄの垂直成分:Ｄ_nは物質外部から内部に向かって境界表面の電荷密度分ΔＤ_nだけ不連続に変化してＤ_n＋ΔＤ_nになるべきという条件が得られます。

ただし,定義Ｅ^～≡Ｅ＋ｕ×Ｂ,Ｄ^～≡Ｄ＋(ｕ×Ｈ)/ｃ²,Ｂ^～＝Ｂ－ｕ×Ｅ,Ｈ^～＝Ｈ－(ｕ×Ｄ)/ｃ²におけるｕは"境界の外＝真空領域"でも物質の速度に等しいとしています。

先に2008年5/30の記事「電磁気学と相対論(6)(真空中の電磁気学５)」では,ｓ^μをローレンツの電子論における電流密度とするとき,真空中での電磁気力の４元力密度ｆ^μがｆ^μ＝ρ⁰Ｆ^μνＵ_ν＝Ｆ^μνｓ_νなる表式で与えられることを見ました。

４元力がこの形に書けることは,静電荷(ｕ＝0)に作用する力の密度がρ⁰Ｅ⁰であるという電場の定義から明らかです。

しかしε≠ε₀,μ≠μ₀の一般の物質内で作用する力の密度を一意的に表現するのは容易ではありません。このような力の定義の曖昧さは当然ながら,エネルギー運動量テンソルの曖昧さを呼び起こします。

ともあれ,ここではまず電子論での話にならって,ｆ^μ＝Ｆ^μνｓ_νにおいて携帯電流ρｕのみで書かれた４元電流密度ｓ^μを,ρｕに伝導電流(Ｃを加えた物質における全４元電流密度Ｊ^μで置き換えた４元ベクトル量Ｆ^μνＪ_νを取り上げて考えてみます。

場の方程式:∂Ｆ^μν/∂ｘ_λ＋∂Ｆ^νλ/∂ｘ_μ＋∂Ｆ^λμ/∂ｘ_ν＝0 ,∂Ｈ^μν/∂ｘ^ν＝－Ｊ^μによって,Ｆ^μνＪ_ν＝－Ｆ^μν(∂Ｈ_νλ/∂ｘ_λ)＝－∂(Ｆ^μνＨ_νλ)/∂ｘ_λ＋(∂Ｆ^μν/∂ｘ_λ)Ｈ_νλ

＝∂(Ｆ^μνＨ_λν)/∂ｘ_λ＋(1/2)(∂Ｆ^μν/∂ｘ_λ＋∂Ｆ^λμ/∂ｘ_ν)Ｈ_νλ＝∂(Ｆ^μνＨ_λν)/∂ｘ_λ－(1/2)(∂Ｆ^νλ/∂ｘ_μ)Ｈ_νλ＝∂(Ｆ^μνＨ_λν)/∂ｘ_λ－(1/4)∂(Ｆ^νλＨ_νλ)/∂ｘ_μ－(1/4){(∂Ｆ^νλ/∂ｘ_μ)Ｈ_νλ－Ｆ^νλ(∂Ｈ_νλ/∂ｘ_μ)}が得られます。

したがって,Ｆ^μνＪ_ν－(1/4){Ｆ^σλ(∂Ｈ_σλ/∂ｘ_μ)－(∂Ｆ^λσ/∂ｘ_μ)Ｈ_σλ}＝－∂Ｓ^μν/∂ｘ_νが成立します。

Ｓ^μν≡－η^νσＦ^μλＨ_σλ＋(1/4)Ｆ^λσＨ_λση^μνです。

このテンソルＳ^μνの空間成分;Ｓ^ij≡－ｔ^ijを,Ｅ＝(Ｅ¹,Ｅ²,Ｅ³)＝－ｃ(Ｆ⁰¹,Ｆ⁰²,Ｆ⁰³),Ｂ＝(Ｂ¹,Ｂ²,Ｂ³)＝－(Ｆ²³,Ｆ³¹,Ｆ¹²),およびＤ＝(Ｄ¹,Ｄ²,Ｄ³)＝－ｃ^-1(Ｈ⁰¹,Ｈ⁰²,Ｈ⁰³),Ｈ＝(Ｈ¹,Ｈ²,Ｈ³)＝－(Ｈ²³,Ｈ³¹,Ｈ¹²)を用いて表わすと,ｔ^ij＝ＥⁱＤ^j＋ＨⁱＢ^j－(1/2)(ＥＤ＋ＨＢ)δ^ijとになります。

それ故,Ｓ^μνの空間成分Ｓ^ijにマイナス符号をつけたｔ^ijは静止系Ｓ⁰では物体におけるマクスウェルの応力テンソルに一致します。

さらに,Ｓ/ｃ≡(Ｓ⁰¹,Ｓ⁰¹,Ｓ⁰³)と定義すれば,Ｓ＝Ｅ×Ｈはポインティングベクトルになっています。また,ｈ≡Ｓ⁰⁰とするとｈ＝(1/2)(ＥＤ＋ＨＢ)となります。

すなわち,静止系Ｓ⁰ではＳおよびｈはそれぞれ定常運動している物体の電磁エネルギー流,および電磁エネルギー密度に一致します。

また,ｃｇ≡(Ｓ¹⁰,Ｓ²⁰,Ｓ³⁰)で与えられる３次元ベクトルをｇとするとｇ＝Ｄ×Ｂとなり,真空中の理論からのアナロジーで,これは電磁運動量密度を示していると思われます。

これらのことから,Ｆ^μνＪ_ν－(1/4){Ｆ^σλ(∂Ｈ_σλ/∂ｘ_μ)－(∂Ｆ^λσ/∂ｘ_μ)Ｈ_σλ}＝－∂Ｓ^μν/∂ｘ_νの左辺がこの際の電磁的な４元力密度ｆ^μであって,Ｓ^μνが電磁エネルギー運動量テンソルを表わしていると暗示されます。

この結果,Ｓ,ｈ,ｇは静止系Ｓ⁰だけでなく,任意の座標系Ｓにおいても電磁エネルギー流,電磁エネルギー密度,電磁運動量密度に相当するものとして扱えると考えられます。

Ｓ,ｈ,ｇを上述のように表現することは,ミンコフスキーに始まりますが,これらはε＝ε₀,μ＝μ₀のときには,いずれも電子論における表現形式に帰着します。

ところで,一般物質から成る対象帯電物体が均質かつ等方的であればＦ^μνＪ_ν－(1/4){Ｆ^σλ(∂Ｈ_σλ/∂ｘ_μ)－(∂Ｆ^λσ/∂ｘ_μ)Ｈ_σλ}＝－∂Ｓ^μν/∂ｘ_νの左辺第２項はゼロになることを示せます。

すなわち,(1/4){Ｆ^0σλ(∂Ｈ⁰_σλ/∂ｘ⁰_μ)－(∂Ｆ^0λσ/∂ｘ⁰_μ)Ｈ⁰_σλ}＝(1/2)[Ｂ⁰(∂Ｈ⁰/∂ｘ⁰_μ)－Ｅ⁰(∂Ｄ⁰/∂ｘ⁰_μ)－(∂Ｂ⁰/∂ｘ⁰_μ)Ｈ⁰＋(∂Ｅ⁰/∂ｘ⁰_μ)Ｄ⁰]＝－(1/2)[|Ｈ⁰|²(∂μ/∂ｘ⁰_μ)＋|Ｅ⁰|²(∂ε/∂ｘ⁰_μ)]となりますが,Ｓ⁰系でεとμが定数ならば最右辺はゼロです。

この式は座標系によらない表現なので,任意の系Ｓでもゼロであるというわけです。

こうして,均質かつ等方的な物体内部ではｆ^μ＝Ｆ^μνＪ_νとなりますが,Ｊ^μ＝(ｃρ,Ｊ)よりｆ^μ＝((ＥＪ)/ｃ,ρＥ＋(Ｊ×Ｂ))を得ます。

つまり,ｆ＝ρＥ＋(Ｊ×Ｂ)＝ρ[Ｅ＋(ｕ×Ｂ)]＋(Ｃ×Ｂ),ｆ⁰＝(ＥＪ)/ｃ＝{Ｅ(ρｕ＋Ｃ)}/ｃ＝(ρＥ^～ｕ＋ＥＣ)/ｃ＝(ｆｕ＋Ｅ^～Ｃ)/ｃとなります。

すなわち,ｃｆ⁰＝ｆｕ＋Ｅ^～Ｃですが,これは静止Ｓ⁰系(ｕ＝0)では物体中の単位体積中で単位時間に発生する熱量＝ジュール熱を表わしたものＥ^0～Ｃ⁰＝ｑ⁰と一致しています。

一方,ｆｕはどんな座標系でも力学的仕事を示すので,ｆ^μが相対論的力学において定式化された４元力密度の一般的な表現形式ｆ^μ＝((ｆｕ＋ｑ)/ｃ,ｆ)(ｑは単位時間当りに系が自身の運動で放出する非力学的エネルギー)と合致するためには,先の式の項Ｅ^～Ｃがこのプロセスで発生する熱量率ｑを示している,と考える必要があります。

実際,系の力学的エネルギーをＥ_mとするとｃｆ⁰＝ｄＥ_m/ｄｔ＝(エネルギーの増加率)ですから,これは力学系が受け取るエネルギー率そのものです。

そこで,独立な４個の方程式ｆ^μ＝－∂Ｓ^μν/∂ｘ^νは通常のエネルギー運動量の保存法則を示しています。

そしてｆ^μ＝Ｆ^μνＪ_ν＝((ＥＪ)/ｃ,ρＥ＋(Ｊ×Ｂ))からｆ^μＵ_μ＝Ｕ_μＦ^μνＪ_ν＝Ｕ⁰_μＦ^0μνＪ⁰_ν＝(Ｅ⁰Ｊ⁰)＝ｑ⁰＝不変量が得られます。

ｑ⁰は静止系での力学的効果以外の効果を示しており,もちろんスカラーですがｆ^μ＝((ｆｕ＋ｑ)/ｃ,ｆ),Ｕ^μ＝(ｃ/(1－ｕ²/ｃ²)^1/2,ｕ/(1－ｕ²/ｃ²)^1/2)から得られるｆ^μＵ_μの表式においてｕ＝0 とおけばわかるように,ｑ⁰＝ｑ/(1－ｕ²/ｃ²)^1/2,あるいはｑ＝ｑ⁰(1－ｕ²/ｃ²)^1/2が成立します。

一方,先に同じく2008年5/30の記事「電磁気学と相対論(6)(真空中の電磁気学５)」で述べたように,

μを対象とする帯電物体の"密度(静止質量密度)をμとし,μ⁰ を物質の不変質量密度(静止系での物質密度)とすれば,μ＝μ⁰/(1－ｕ²/ｃ²)^1/2と書けるので,この物体の微小体積をΔＶとしたとき,これが従うべき運動方程式はｄ(μ⁰ΔＶ⁰Ｕ^μ)/ｄτ＝ｆ^μΔＶ⁰となります。

そして,この方程式が∂(μ⁰Ｕ^μＵ^ν)/∂ｘ^ν＝ｆ^μなる式と等価であることも示しました。

そこで,この両辺にＵ_μを掛けてμで縮約すると,Ｕ^μＵ_μ＝ｃ^2,,かつＵ_μ(ｄＵ^μ/ｄτ)＝0 であってｆ^μＵ_μ＝ｑ⁰なので,∂(μ⁰Ｕ^ν)/∂ｘ^ν＝ｑ⁰/ｃ²,つまり∂μ/∂ｔ＋div(μｕ)＝ｑ⁰/ｃ²なる質量保存の連続方程式が得られます。

連続方程式の右辺は質量の湧き出しですから,この式は正に非力学的エネルギーｑ⁰,今の場合は"ｑ⁰＝(Ｅ⁰Ｊ⁰)＝(Ｅ^～0,Ｃ⁰)＝(ジュール熱)"を受け取ることによって,物質の固有質量がｑ⁰/ｃ²だけ増加することを意味しています。

つまり,電磁場の話は質量とエネルギーについてのアインシュタインの一般定理(Ｅ＝ｍｃ²)の典型例の１つを示していると考えられます。

ミンコフスキーの電磁エネルギー運動量テンソル:Ｓ^μν＝－η^νσＦ^μλＨ_σλ＋(1/4)Ｆ^λσＨ_λνη^μνは,電子論の場合のそれと同じくトレ－スレス(対角和がゼロ)という性質:Ｓ^μ_μ＝－Ｆ^μλＨ_μλ＋(1/4)4Ｆ^λσＨ_λσ＝0 を確かに満たしています。

しかし,Ｆ^μλＨ^ν_λ≠Ｆ^νλＨ^μ_λなのでＳ^μν≠Ｓ^νμとなり,Ｓ^μνは対称テンソルではありません。

Ｓ^μνの空間部分Ｓ^ij＝－ｔ^ij＝－ＥⁱＤ^j－ＨⁱＢ^j＋(1/2)(ＥＤ＋ＨＢ)δ^ijは,等方性物体なら静止系Ｓ⁰ではＤ⁰＝εＥ⁰,Ｂ⁰＝μＨ⁰なので対称テンソルですが,時間と空間の混合成分は静止系でも,Ｓⁱ⁰－Ｓ⁰ⁱ＝ｃ(ｇⁱ－Ｓⁱ/ｃ²)＝ｃ(εμ－ε₀μ₀)(Ｅ⁰×Ｈ⁰)≠0 となって確かに対称ではありません。

したがって,一般に等方性物体でもＳ⁰系以外ではＳ^ij≠Ｓ^jiであって空間成分も非対称です。

こうしたミンコフスキーのエネルギー運動量テンソルの非対称性については長い間文献上で議論が続けられ,この非対称性の中にミンコフスキー理論の真の難点が現われているという感がありました。

そこで,アブラハムは対称性を持つ電磁エネルギー運動量テンソルの表現形式を作ってみました。

彼の電磁エネルギー運動量テンソルの表現:Ｓ_A^μνはとにかく静止系Ｓ⁰で等方性物体の場合には,Ｓ_A^ij＝－ｔ_A^ij＝－ＥⁱＤ^j－ＨⁱＢ^j＋(1/2)(ＥＤ＋ＨＢ)δ^ij,Ｓ＝Ｅ×Ｈ＝ｃ(Ｓ_A⁰¹,Ｓ_A⁰¹,Ｓ_A⁰³),ｈ＝(1/2)(ＥＤ＋ＨＢ)＝Ｓ_A⁰⁰となるように作られています。

しかし,電磁運動量密度ｇについては,ミンコフスキーが自身のテンソルＳ^μνからｇ≡(Ｓ¹⁰,Ｓ²⁰,Ｓ³⁰)＝Ｄ×Ｂとしてこれを与えたのに対し,アブラハムはあくまでもテンソルの対称性が保たれるように,静止系Ｓ⁰でｇ＝(Ｅ×Ｈ)/ｃ²＝Ｓ/ｃ²の形をとるものと仮定しました。

アブラハムのテンソルＳ_A^μνは,静止系Ｓ⁰では対称ですから,任意の座標系Ｓでも対称です。

しかしＳ⁰系以外の任意系Ｓでの成分はＳ⁰系での表現Ｓ_A^ij＝－ｔ_A^ij＝－ＥⁱＤ^j－ＨⁱＢ^j＋(1/2)(ＥＤ＋ＨＢ)δ^ij,Ｓ＝Ｅ×Ｈ＝ｃ(Ｓ_A⁰¹,Ｓ_A⁰¹,Ｓ_A⁰³),ｈ＝(1/2)(ＥＤ＋ＨＢ)＝Ｓ_A⁰⁰のような簡単な形にはならず,場を示す変数Ｅ,Ｄ,Ｈ,ＢでＳ_A^μνを表わそうとすると,物質速度を示すｕが非常に複雑な形で入ってきます。

そして,テンソルＳ_A^μνから方程式ｆ_A^μ＝－∂Ｓ_A^μν/∂ｘ^νを満たすものとして導かれるアブラハムの４元力密度ｆ_A^μは,先の表現式ｆ^μ＝Ｆ^μνＪ_ν＝((ＥＪ)/ｃ,ρＥ＋(Ｊ×Ｂ))からのずれも,きわめて複雑な形になります。

ミンコフスキーの表現の場合,静止系でもＦ^μνＪ_νからのずれが,－(1/4){Ｆ^0σλ(∂Ｈ⁰_σλ/∂ｘ⁰_μ)－(∂Ｆ^0λσ/∂ｘ⁰_μ)Ｈ⁰_σλ}＝(1/2)[|Ｈ⁰|²(∂μ/∂ｘ⁰_μ)＋|Ｅ⁰|²(∂ε/∂ｘ⁰_μ)]であり,これは均質,かつ等方的な物質内ならゼロになります。

一方,アブラハムの表現の場合には,静止系では空間成分の力の密度ｆ_Aが,ｆ_A＝ｆ＋{(εμ－ε₀μ₀)/ｃ²}(∂Ｓ/∂ｔ)と表わせることがわかっています。

これによれば,アブラハムの力の密度ｆ_Aはミンコフスキーのそれｆよりも{(εμ－ε₀μ₀)/ｃ²}(∂Ｓ/∂ｔ)だけ異なります。しかし,この違いを実験的に検証するのは困難らしいです。

そして,ごく最近まで,ほとんどの物理学者はアブラハムの理論を採用する方向に向かっていましたが,これについてはまだ決着が付いていたわけではなく,最近タム(Tamm)はこの問題の論議を再開して,結局ミンコフスキーの表現形式の方が正しいという結論を得ています。

(最近というのは"参考文献＝メラーの著書"が書かれた当時のことですが,現在については調べていません。)

すなわち,ある物体中の電磁場は本質的には閉じた系ではないため,電磁エネルギー運動量テンソルが対称であるべき,という先験的理由(a-prioriな理由)はありません。

アブラハムがテンソルが対称であるべきことを主張する主な論拠は,"巨視的理論に現われる諸量は,各々に対応する電子論の諸量を適当な大きさの時空領域で平均して得られるべきで,電子論での微視的なエネルギー運動量テンソルｓ^μνは対称なので,その平均として得られるＳ^μν＝＜ｓ^μν＞も対称でなければならない。"というものでした。

しかし,タムが着目したのは,"巨視的テンソルＳ^μνは,必ずしもｓ^μνの平均＜ｓ^μν＞に一致する必要はなく,むしろＳ^μνが力の密度,および力のモーメント(能率)を正しく与えるように定義すべきである"ということです。

つまり,彼は,"ｆ^μ＝－∂Ｓ^μν/∂ｘ^ν＝－＜∂ｓ^μν/∂ｘ^ν＞,およびα^μν＝ｘ^μｆ^ν－ｘ^νｆ^μ＋Ｓ^μν－Ｓ^νμ＝－ｘ^μ(∂Ｓ^νλ/∂ｘ^λ)－ｘ^ν(∂Ｓ^μλ/∂ｘ^λ)＋Ｓ^μν－Ｓ^νμ＝－＜ｘ^μ(∂ｓ^νλ/∂ｘ^λ)＞＋＜ｘ^ν(∂ｓ^μλ/∂ｘ^λ)＞の成立を条件とすべきである"と主張しました。

それ故,タムによれば,ａ^μνを∂ａ^μν/∂ｘ^ν＝0 を満たす適切な非対称テンソルとして,Ｓ^μν＝＜ｓ^μν＞＋ａ^μνと書かれるべきことがいえるのみです。

そして,これを力のモーメントテンソルの等式α^μν＝－ｘ^μ(∂Ｓ^νλ/∂ｘ^λ)－ｘ^ν(∂Ｓ^μλ/∂ｘ^λ)＋Ｓ^μν－Ｓ^νμ＝－＜ｘ^μ(∂ｓ^νλ/∂ｘ^λ)＞＋＜ｘ^ν(∂ｓ^μλ/∂ｘ^λ)＞に代入すると,－＜ｘ^μ(∂ｓ^νλ/∂ｘ^λ)＞＋＜ｘ^ν(∂ｓ^μλ/∂ｘ^λ)＞＝－＜ｘ^μ＞＜∂ｓ^νλ/∂ｘ^λ＞＋＜ｘ^ν＞＜∂ｓ^μλ/∂ｘ^λ＞が成立するときに限って,Ｓ^μνが対称となることがわかります。