運動物質内の相対論の続きです。
透明な絶縁体中での"光波＝電磁波"の屈折現象に関連して,ミンコフスキー理論(Minkowski theory)とアブラハム理論(Abraham theory)を比較してみます。
マクスウェル(Maxwell)の"電磁波＝光波"の理論によれば,屈折率がｎの屈折性物体中の光学現象は(εμ)1/2＝ｎ(ε0μ0)1/2＝ｎ/ｃ,またはｎ＝ｃ(εμ)1/2なる関係式で結ばれる誘電率ε,および透磁率μを有する物質に関するマクスウェルの現象論的電磁力学の式で記述されます。
そして,少なくとも波長が十分長い場合には,あらゆる分散現象が無視できるので,これは十分な精度で正しいことです。
さらに光を全く吸収しない理想的な透明体は完全な絶縁体でなければなりません。すなわち,σ＝0,ρ＝0,Ｊ＝0です。ただしσは電気伝導度,ρは電荷密度,Ｊは電流密度です。
さて,光線速度は波のエネルギーの伝播速度に等しいはずです。例えば光行差の角度の存在は,望遠鏡で物を見る際に物からの"光線＝エネルギー"が望遠鏡の筒の中を通るためには望遠鏡を傾ける必要があることを意味します。
ところが電磁場のエネルギー運動量テンソルが与えられている場合,これをＴμνとしてエネルギー密度をｈ＝Ｔ00,エネルギーの流れ密度をＳk＝ｃＴ0kとすればエネルギーの速度はｕ*≡Ｓ/ｈで与えられることがわかっています。
そして相対論では光は波であるにも関わらず,質点粒子と同一の挙動をすることが要求されます。
つまり光波の場合,ｕ*＝Ｓ/ｈが質点粒子の速度と同じ変換性を持つことが要求されます。
このことは４つの値を持つ量Ｕ*μをＵ*μ≡(ｃ/(1－ｕ*2/ｃ2)1/2,ｕ*/(1－ｕ*2/ｃ2)1/2)で定義したとき,これが４元ベクトルになることを意味します。
ところが,以前の2008年10/31の記事「運動物質内の相対論(1)」によれば,Ｕ*μが４元ベクトルになるためには,条件として式Ｒμν≡Ｔμν－ＴμλＵ*λＵ*ν/ｃ2＝0 が常に成立することが必要十分であることがわかっています。
これの根拠を見るため,この2008年10/31の記事「運動物質内の相対論(1)」を引用します。
(※引用):まず,(1－ｕ*2/ｃ2)1/2＝{1－Ｓ2/(ｈ2ｃ2)}1/2＝(ＳμＳμ)1/2/(ｈｃ)なのでＵ*μ＝ｃ(ＳλＳλ)-1/2Ｓμと表わすことができます。特にＵ*μＵ*μ＝ｃ2は常に満たされています。
２つの慣性系ＳとＳ'が無限小ローレンツ変換ｘ'μ＝ｘμ＋εμνｘν＝(δμν＋εμν)ｘν,εμν＝ενμで結ばれているとします。
このとき,εμνの２次以上の微小量を無視すれば,テンソルの変換性によりＴ'0μ＝(δ0λ＋ε0λ)(δμν＋εμν)Ｔλν＝Ｔ0μ＋ε0λＴλμ＋εμνＴ0νなのでＳ'μ＝Ｓμ＋εμνＳν＋ｃε0λＴλμ,Ｓ'μＳ'μ＝ＳμＳμ＋2ｃε0λＴλμＳμです。
そこで(Ｓ'μＳ'μ)-1/2＝(ＳμＳμ)-1/2[1－ｃε0λＴλρＳρ(ＳτＳτ)-1/2]と書けます。
したがって,Ｕ*'μ＝ｃ(Ｓ'λＳ'λ)-1/2Ｓ'μ＝Ｕ*μ＋εμνＵ*ν＋ｃ2ε0λ(ＳσＳσ)-1/2[Ｔλμ－ＴλρＵ*ρＵ*μ/ｃ2]となります。
ここでＲμν≡Ｔμν－ＴμλＵ*λＵ*ν/ｃ2とおくとＵ*'μ＝Ｕ*μ＋εμνＵ*ν＋ｃ2ε0λ(ＳσＳσ)-1/2Ｒλμです。
そして,μ＝0 なら恒等的にＲ0ν＝Ｔ0ν－Ｔ0λＵ*λＵ*ν/ｃ2＝Ｓν/ｃ－Ｓλ/ｃ＝0 が満たされています。
そこで,Ｕ*μがＵ*'μ＝Ｕ*μ＋εμνＵ*νとなって４元ベクトルのように変換されるためには,μ＝1,2,3と全てのνについて恒等的にＲμν＝0 が満たされることが必要十分です。(引用終わり)
さて,以下ではＵ*μが４元ベクトルになるための条件:Ｒμν≡Ｔμν－ＴμλＵ*λＵ*ν/ｃ2＝0 が満たされているかどうか,をＴμνがミンコフスキーのテンソルに等しい場合:Ｔμν＝Ｓμνとアブラハムのテンソルに等しい場合:Ｔμν＝ＳAbrμνのそれぞれについて調べてみることにします。
まず,基本的な前提事項です。
まず,前記事同様,Ｆμν,Ｈμνの存在を仮定し電場をＥ,磁束密度をＢ,電束密度をＤ,磁場の強さをＨとして,これらがＥ＝(Ｅ1,Ｅ2,Ｅ3)≡－ｃ(Ｆ01,Ｆ02,Ｆ03),Ｂ＝(Ｂ1,Ｂ2,Ｂ3)≡－(Ｆ23,Ｆ31,Ｆ12),Ｄ＝(Ｄ1,Ｄ2,Ｄ3)≡－ｃ-1(Ｈ01,Ｈ02,Ｈ03),Ｈ＝(Ｈ1,Ｈ2,Ｈ3)≡－(Ｈ23,Ｈ31,Ｈ12)で与えられるとします。
ここにＦμν＝∂Ａν/∂ｘμ－∂Ａμ/∂ｘνですが,Ｈμνの電磁ポテンシャルＡμによる表現は特に指定しません。
このとき,電荷も電流密度もない:ρ＝0,Ｊ＝0 の空間における電磁場の方程式の解の中で,静止系での波動法線がｎの平面波となるものを取れば,その最も一般的な形は電場Ｅと磁場ＨについてＥ＝ε-1/2{ｆ(ｔ－(ｘｎ)/ｗ)ｅ1＋ｇ(ｔ－(ｘｎ)/ｗ)ｅ2},Ｈ＝μ-1/2{－ｇ(ｔ－(ｘｎ)/ｗ)ｅ1＋ｆ(ｔ－(ｘｎ)/ｗ)ｅ2}となります。
ここで,ｅ1とｅ2は互いに直交し共にｎに垂直な単位ベクトルです。つまり,(ｅ1ｅ2)＝(ｅ1ｎ)＝(ｅ2ｎ)＝0,ｅ1×ｅ2＝ｎとします。ｆ,ｇは任意関数でありｗはｗ＝|ｗ|,ｗ≡(εμ)-1/2ｎ＝(ｃ/ｎ)ｎで定義されています。ｗはこの平面波の位相速度です。
これらは,ほぼ自明なことですが一応証明しておきます。
(証明)ρ＝0,Ｊ＝0 の均質で等方的な物質の静止Ｓ0系では電磁場のマクスウェルの方程式はdiv0Ｄ0＝ρ0,div0Ｂ0＝0,およびrotＨ0－∂Ｄ0/∂ｔ＝Ｊ0,rot0Ｅ0＋∂Ｂ0/∂ｔ＝0,Ｄ0＝εＥ0,Ｂ0＝μＨ0で与えられます。
これらの式で,上添字 0を省略した後,ρ＝0,Ｊ＝0 とすれば,divＥ＝divＨ＝0,ε∂Ｅ/∂ｔ＝rotＨ,μ∂Ｈ/∂ｔ＝－rotＥです。
そこで,ＥとＨはそれぞれ独立に∂2Ｅ/∂ｔ2＝ｗ2∇2Ｅ,∂2Ｈ/∂ｔ2＝ｗ2∇2Ｈなる同じ形の波動方程式を満足することがわかります。
ただし,ｗ2＝1/(εμ)です。
一般性を失うことなく,ｘ＝(ｘ,ｙ,ｚ)の座標成分の系で波動法線をｎ＝(1,0,0)に取ると,ｎはポインティングベクトル(Poynting vector)Ｓ＝Ｅ×Ｈに平行ですから(Ｅｎ)＝0,(Ｈｎ)＝0 でＥ,Ｈはｙ,ｚ成分のみを持ちｘ成分を持ちません。すなわち,Ｅx＝Ｈx≡0です。
また,Ｆ*μν≡(1/2)εμνλσＦλσでＦμνに双対な擬テンソルＦ*μνを定義すると,対称性から明らかに,ＦμνＦ*μν＝(1/2)εμνλσＦμνＦλσ＝0 ですが,この変換Ｆμν→ Ｆ*μνはＥ→ －ｃＢ,Ｂ →－Ｅ/ｃとする操作に対応しますから,Ｅ＝－ｃ(Ｆ01,Ｆ02,Ｆ03),Ｂ＝－(Ｆ23,Ｆ31,Ｆ12),Ｂ＝μＨにより(ＥＨ)＝0 と結論されます。
ｎ＝(1,0,0)より,任意の時刻ｔにｘ＝(ｘ,ｙ,ｚ)のｘが一定のｙｚ平面上ではＥ,Ｈが一定というのがＥ,Ｈが平面波であるという意味ですから,Ｅ,Ｈは(ｘ,ｔ)だけの関数になります。
そこで,divＥ＝divＨ＝0 は∂Ｅx/∂ｘ＝∂Ｈx/∂ｘ＝0 を意味しますが,これは今の場合はＥx＝Ｈx≡0 なので自動的に満たされます。
結局,Ｅ＝(0,Ｅy(ｘ,ｔ),Ｅz(ｘ,ｔ)),Ｈ＝(0,Ｈy(ｘ,ｔ),Ｈz(ｘ,ｔ))と表わすことができることがわかります。
一方,Ｅ,Ｈが(ｘ,ｔ)だけの関数なので,波動方程式∂2Ｅ/∂ｔ2＝ｗ2∇2Ｅ,∂2Ｈ/∂ｔ2＝ｗ2∇2Ｈは∂2Ｅ/∂ｔ2＝ｗ2∂2Ｅ/∂ｘ2,∂2Ｈ/∂ｔ2＝ｗ2∂2Ｈ/∂ｘ2となります。
つまりＥy,Ｅz,Ｈy,Ｈzの各々は全て同じ方程式∂2ψ/∂ｔ2＝ｗ2∂2ψ/∂ｘ2の解ψ(ｘ,ｔ)の１つを表わします。
そして,(ｘ,ｔ)だけの波動方程式∂2ψ/∂ｔ2＝ｗ2∂2ψ/∂ｘ2の一般解ψがｆ1,ｆ2を任意の１変数関数としてψ(ｘ,ｔ)＝ｆ1(ｔ－ｘ/ｗ)＋ｆ2(ｔ＋ｘ/ｗ)なる形に書けることは微分方程式解法の一般論から良く知られている事実です。
特に,電場Ｅy,Ｅzについてｘ軸の正方向にのみ伝播する波と考えてＥy＝ε-1/2ｆ(ｔ－ｘ/ｗ),Ｅz＝ε-1/2ｇ(ｔ－ｘ/ｗ)とします。
このとき,μ∂Ｈ/∂ｔ＝－rotＥから,μ∂Ｈy/∂ｔ＝∂Ｅz/∂ｘ,μ∂Ｈz/∂ｔ＝－∂Ｅy/∂ｘです。
これらを積分するとＨy＝－μ-1/2ｇ(ｔ－ｘ/ｗ),Ｈz＝μ-1/2ｆ(ｔ－ｘ/ｗ)となります。
そこで,ｎ＝(1,0,0)に対してｅ1＝(0,1,0),ｅ2＝(0,0,1)とおけば,Ｅ＝ε-1/2{ｆ(ｔ－(ｘｎ)/ｗ)ｅ1＋ｇ(ｔ－(ｘｎ)/ｗ)ｅ2},Ｈ＝μ-1/2{－ｇ(ｔ－(ｘｎ)/ｗ)ｅ1＋ｆ(ｔ－(ｘｎ)/ｗ)ｅ2}と書けます。(証明終わり)
そこで,この静止系での波動法線ｎを改めてｅと書けば,電磁場のエネルギーの流れ密度,つまりポインテイングベクトルＳはＳ＝Ｅ×Ｈ＝(εμ)-1/2(ｆ2＋ｇ2)ｅ (ただしｅ≡ｅ1×ｅ2)となります。
また,エネルギー密度は,ｈ＝(1/2)(εＥ2＋μＨ2)＝ｆ2＋ｇ2です。
そこでｕ*＝Ｓ/ｈ＝(εμ)-1/2ｅ＝(ｃ/ｎ)ｅ＝ｗとなります。すなわち,この系ではエネルギーの速度は位相速度に一致します。特にｕ*2＝ｗ2＝(εμ)-1＝ｃ2/ｎ2で1/(1－ｕ*2/ｃ2)1/2＝ｃ(εμ)1/2/(ｃ2εμ－1)1/2＝ｃ/(ｎ2－1)です。
平面波の位相というのはｆ(ｔ－(ｘｎ)/ｗ)＝ｆ(ｔ－ｘ/ｗ)の引数(ｔ－ｘ/ｗ)のことですね。
実際には単位も符号も関係なく(ｘ－ｗｔ)＝－ｗ(ｔ－ｘ/ｗ)も位相と呼ぶようです。関数ｆの値を一意に決める引数のパラメータという意味では,(ｔ－ｘ/ｗ)でも(ｘ－ｗｔ)でもどちらでもいいからですね。
そしてｆ(ｔ－ｘ/ｗ)という関数は,ｆがｆ(α)という一定値を取る平面波の波面,つまり時刻ｔにｔ－ｘ/ｗ＝α,または平面の方程式ｘ＝ｗ(ｔ＋α)で表わされるｙｚ面に平行な面が時刻ｔ＋Δｔには(ｔ＋Δｔ)－ｘ/ｗ＝α,または方程式ｘ＝ｗ(ｔ＋Δｔ＋α)で表わされるｙｚ面に平行な面に移動する描像と見えます。
それ故に,位相αが一定の波面のαの値に無関係な移動速さΔｘ/Δｔ＝ｗを位相速度と呼ぶのです。
速さでなく速度というからには,向きがあるので,実際の位相速度はｎまたはｅという向きを持つベクトルです。
さて,ここで表記の煩わしさを避けるため,比誘電率εrと比透磁率μrなる無次元量を導入します。
すなわち,誘電率,透磁率の真空のそれらに対する比を示す量εr≡ε/ε0,μr≡μ/μ0を定義します。
別の単位系では,この無単位の比誘電率εr,比透磁率μrを誘電率,透磁率と定義してεr,μrを単にε,μと表記する場合もあります。
これらを用いると,ε＝εrε0,μ＝μrμ0となります。そしてｃ＝(ε0μ0)-1/2ですから,屈折率ｎが(εμ)1/2＝ｎ(ε0μ0)1/2＝ｎ/ｃで与えられることは,ｎ＝(εrμr)1/2なることと同等です。
また,(εμ)1/2＝(εrμr)1/2/ｃですから,ｃ2εμ－1＝εrμr－1とやや簡単になります。
このことから,Ｕ*μ≡(ｃ/(1－ｕ*2/ｃ2)1/2,ｕ*/(1－ｕ*2/ｃ2)1/2)＝(ｃ(εrμr)1/2/(εrμr－1)1/2,ｃｅ/(εrμr－1)1/2),Ｓμ＝ｃＴ0μ＝(ｃｈ,Ｓ)＝(ｆ2＋ｇ2)(ｃ,(εμ)-1/2ｅ)＝ｃ(ｆ2＋ｇ2)(1,(εrμr)-1/2ｅ)が得られます。
また,マクスウェルの応力テンソルはｔij＝ＥiＤj＋ＨiＢj－(1/2)(ＥＤ＋ＨＢ)δij＝εＥiＥj＋μＨiＨj－ｈδij＝(ｆ2＋ｇ2)(ｅ1iｅ1j＋ｅ2iｅ2 j－δij)＝－(ｆ2＋ｇ2)ｅiｅjと書けます。
ここではｅ3≡ｅと置くとｅ1iｅ1j＋ｅ2iｅ2 j＋ｅiｅj＝Σkｅkiｅj k＝Σkδkiδkj＝δijと書けることを用いました。
そこで,静止系ではミンコフスキーのテンソルの空間部分はＳij＝－ｔij＝(ｆ2＋ｇ2)ｅiｅjです。また,空間時間成分はＳk0＝ｃｇkでｇ≡Ｄ×Ｂ＝εμ(Ｅ×Ｈ)＝(εrμr)1/2ｃ-1(ｆ2＋ｇ2)ｅよりＳk0＝ｃｇk＝(εrμr)1/2(ｆ2＋ｇ2)ｅkとなります。
したがって,ａμ≡(ＳμλＵ*λ)/ｃ2において,μ＝ｋに対する式としてａk＝ｃ-2(ｃｇkＵ*0＋ｔkjＵ*j)＝ｃ-2{(εrμr)1/2(ｆ2＋ｇ2)ｅk}{ｃ(εrμr)1/2/(εrμr－1)1/2}－{(ｆ2＋ｇ2)ｅkｅj}{ｃｅj/(εrμr－1)1/2}]＝ｃ-1(ｆ2＋ｇ2)(εrμr－1)1/2ｅkを得ます。
つまりａ＝ｃ-1(ｆ2＋ｇ2)(εrμr－1)1/2ｅです。
Ｒμν≡Ｔμν－ＴμλＵ*λＵ*ν/ｃ2でＴμν＝ＳμνとおけばＲμν＝Ｓμν－ＳμλＵ*λＵ*ν/ｃ2＝Ｓμν－ａμＵ*νですが,前にも述べたようにＲ0ν＝Ｓ0ν－Ｓ0λＵ*λＵ*ν/ｃ2については,Ｕ*μ＝ｃ(ＳρＳρ)-1/2Ｓμなので恒等的にＲ0ν＝Ｓν/ｃ－Ｓν/ｃ＝0 です。
つまりＴμνの選択に関係なく,常にＲ0ν＝Ｔ0ν－Ｔ0λＵ*λＵ*ν/ｃ2はゼロです。
一方,Ｒij＝－ｔij－ａiＵ*j＝(ｆ2＋ｇ2)ｅiｅj－(ｆ2＋ｇ2)ｅiｅj＝0, Ｒk0≡ｃｇk－ａkＵ*0＝(εrμr)1/2(ｆ2＋ｇ2)ｅk－{ｃ-1(ｆ2＋ｇ2)(εrμr－1)1/2ｅk}{ｃ(εrμr)1/2/(εrμr－1)1/2}＝0 です。
結局,全てのμ,νについてＲμν＝0 ですね。
以上から,Ｔμνがミンコフスキーのテンソルの場合,つまりＴμν＝Ｓμνの場合にはＵ*μが４元ベクトルになるための条件:Ｒμν≡Ｔμν－ＴμλＵ*λＵ*ν/ｃ2＝0 が満足され,エネルギー伝播速度ｕ*＝Ｓ/ｈが任意の座標系でホイヘンスの原理(Huygense principle)から決まる光線速度に一致することがわかりました。
ここで物体の静止系ＳがＳと同じ空間軸の向きを持った座標系Ｓ'に対して微小速度ｖを持った座標系に対し,先ほど引用した「運動物質内の相対論(1)」でのＳ→Ｓ'の無限小ローレンツ変換:ｘ'μ＝ｘμ＋εμνｘν＝(δμν＋εμν)ｘν,εμν＝ενμでεij＝0, ε0k＝εk0＝ｖ k/ｃ,ε00＝0 を考えてみます。
εμνの２次以上の微小量を無視すれば,テンソルの変換性からＴ'0μ＝(δ0λ＋ε0λ)(δμν＋εμν)Ｔλν＝Ｔ0μ＋ε0λＴλμ＋εμνＴ0νなので,Ｓ'μ＝Ｓμ＋εμνＳν＋ｃε0λＴλμ,Ｓ'μＳ'μ＝ＳμＳμ＋2ｃε0λＴλμＳμです。
そこで(Ｓ'μＳ'μ)-1/2＝(ＳμＳμ)-1/2[1－ｃε0λＴλρＳρ(ＳτＳτ)-1/2]と書けます。
Ｓ'系でのエネルギー速度はｕ*'k＝Ｓ'k/ｈ'＝ｃＳ'k/Ｓ'0＝ｃＵ*'k/Ｕ*'0です。今のミンコフスキーの採択ではＵ*μが４元ベクトルとして変換するのでｘ'μ＝ｘμ＋εμνｘνと同様,Ｕ*μはＵ*'μ＝Ｕ*μ＋εμνＵ*νと変換されます。
すなわち,Ｕ*'k＝Ｕ*k＋ｖkＵ*0/ｃ＝[cｅk＋ｖk(εrμr)1/2]/(εrμr－1)1/2,Ｕ*'0＝Ｕ*0＋ｖkＵ*k/ｃ＝[ｃ(εrμr)1/2＋ｖｅ]/(εrμr－1)1/2なので,エネルギー速度の定義式に代入するとｃＵ*'k/Ｕ*'0＝[ｃｅk＋ｖk(εrμr)1/2]/[(εrμr)1/2＋ｃ-1ｖｅ] ～ ｃ(εrμr)-1/2ｅk＋ｖ k－(ｖｅ)ｅk/(εrμr)となります。
結局,ｕ*'＝ｃ(εrμr)-1/2ｅ＋ｖ－(ｖｅ)ｅ/(εrμr),あるいはｕ*＝ｃ(εrμr)-1/2ｅ＝(ｃ/ｎ)ｅなのでｕ*'＝ｕ*＋ｖ－(ｖｕ*)ｕ*/ｃ2 ですね。
ところで,一般的なＳ'がＳに対してｖで運動している場合の位置座標のローレンツ変換はｘ'＝ｘ＋ｖ[(ｖｘ){(1－ｖ2/ｃ2)-1/2－1}/ｖ2－ｔ(1－ｖ2/ｃ2)-1/2],ｔ'＝(1－ｖ2/ｃ2)-1/2{ｔ－(ｖｘ)/ｃ2}です。
今の場合は,ＳがＳ'に対してｖで運動しているので,まずｖ→ －ｖとすると,ｘ'＝ｘ＋ｖ[(ｖｘ){(1－ｖ2/ｃ2)-1/2－1}/ｖ2＋ｔ(1－ｖ2/ｃ2)-1/2],ｔ'＝(1－ｖ2/ｃ2)-1/2{ｔ＋(ｖｘ)/ｃ2}に変わります。
これらの微分を取り,ｄｘ'＝ｄｘ＋ｖ[(ｖｄｘ){(1－ｖ2/ｃ2)-1/2－1}/ｖ2＋ｄｔ(1－ｖ2/ｃ2)-1/2],ｄｔ'＝(1－ｖ2/ｃ2)-1/2{ｄｔ＋(ｖｄｘ)/ｃ2}＝(1－ｖ2/ｃ2)-1/2ｄｔ{1＋(ｖｕ)/ｃ2}とした後,ｄｘ'をｄｔ'で割ってｕ'＝ｄｘ'/ｄｔ',ｕ＝ｄｘ/ｄｔとすれば,Ｓ系での速度ｕのＳ'系での速度ｕ'への変換が得られるはずです。
まずｄｘ'の表式の両辺をｄｔで割ると,ｄｘ'/ｄｔ＝ｕ＋ｖ[(ｖｕ){(1－ｖ2/ｃ2)-1/2－1}/ｖ2＋(1－ｖ2/ｃ2)-1/2]となります。そしてｕ'＝ｄｘ'/ｄｔ'＝(1－ｖ2/ｃ2)1/2(ｄｘ'/ｄｔ)/{1＋(ｖｕ)/ｃ2}ですから,結局ｕ'＝(1－ｖ2/ｃ2)1/2ｕ/{1＋(ｖｕ)/ｃ2}＋[(ｖｕ)ｖ{1－(1－ｖ2/ｃ2)1/2}/ｖ2＋ｖ]/{1＋(ｖｕ)/ｃ2}となります。
ここで,ｖが微小であるとしてｖの２次以上を無視すれば,変換式はｕ'＝ｕ＋ｖ－(ｖｕ)ｕ/ｃ2となります。
この最後の表式ｕ'＝ｕ＋ｖ－(ｖｕ)ｕ/ｃ2を上で得られた光線についてのｕ*→ｕ*'の変換式ｕ*'＝ｃ(εrμr)-1/2ｅ＋ｖ－(ｖｅ)ｅ/(εrμr)＝ｕ*＋ｖ－(ｖｕ*)ｕ*/ｃ2と比較すると,エネルギー速度ｕ*が確かに質点粒子の速度ｕと同じ変換性を持つことがわかります。
そしてｕ*'2＝ｃ2(εrμr)-1＋ｖ2＋(ｅｖ)2/(εrμr)2＋2ｃ(εrμr)-1/2(ｅｖ){1－(εrμr)-1}より,ｕ*' ～ ｃ(εrμr)-1/2[1＋(εrμr)1/2(ｅｖ){1－(εrμr)-1}/ｃ]です。
つまり,ｕ*'＝ｃ/ｎ＋(ｅｖ)(1－1/ｎ2)です。
これは,"フレネル(Fresnel)の公式"として知られている式です。
例えば,屈折率がｎの水などが微小な速度ｖで流れていて流れに平行に光が入射するとき,位相速度ｗもエネルギー速度ｕ*＝ｃ/ｎもｗ'＝ｕ*'＝ｃ/ｎ＋ｖ(1－1/ｎ2)となって,近似的にフレネルの随伴係数α＝(1－1/ｎ2)だけ光波が水に引きずられるという描像に対応しています。
さて,これに対して,Ｔμνがアブラハムのテンソル,すなわちＴμν＝ＳAbrμνのの場合を考えます。
これの静止系での空間部分は,ミンコフスキーのテンソルの空間部分と同じくマクスウェルの応力テンソルに一致します。
すなわち,ＳAbrij＝－ｔij＝(ｆ2＋ｇ2)ｅiｅjですね。
しかし,空間時間成分はミンコフスキーのそれとは違います。
これはＳk0＝ｃｇkで与えられますが,ｇkがミンコフスキーの場合のｇ≡Ｄ×Ｂ＝εμ(Ｅ×Ｈ)＝ｃ-1(εrμr)1/2(ｆ2＋ｇ2)ｅではなくアブラハムでは,ｇ→ ｇAbr＝Ｓ/ｃ2＝(Ｅ×Ｈ)/ｃ2＝ε0μ0(Ｅ×Ｈ)＝ｃ-1(εrμr)-1/2(ｆ2＋ｇ2)ｅとなりＳk0→ＳAbrk0＝ｃｇAbrkです。
そこでｇAbr≡(Ｅ×Ｈ)/ｃ2＝Ｓ/ｃ2,ｇ≡Ｄ×Ｂ＝εμ(Ｅ×Ｈ)＝εμＳによりｇAbr＝ｇ－(εrμr－1)Ｓ/ｃ2ですからＳAbrk0＝ｃｇk－(εrμr－1)Ｓk/ｃと表現できます。
それ故,ミンコフスキーのテンソルＳμνに対してＲμν≡Ｓμν－ＳμλＵ*λＵ*ν/ｃ2＝Ｓμν－ａμＵ*νによって係数ａμ≡(ＳμλＵ*λ)/ｃ2を定義したのと同じく,アブラハムのテンソルＳAbrμνに対してもＲAbrμν≡ＳAbrμν－ＳAbrμλＵ*λＵ*ν/ｃ2＝ＳAbrμν－ａAbrμＵ*νによって係数ａAbrμ≡(ＳAbrμλＵ*λ)/ｃ2を定義すれば,以上の結果から静止系でのこれを計算することができます。
すなわち,μ＝ｋに対してミンコフスキーのａμがａk＝ｃ-2(ｃｇkＵ*0＋ｔkjＵ*j)であったのに対し,アブラハムのそれはａAbrk＝ｃ-2(ｃｇAbrkＵ*0＋ｔkjＵ*j)＝ａk－ｃ-2(εrμr－1)(Ｓk/ｃ)Ｕ*0＝ａk－ｃ-2(εrμr－1)(Ｓk/ｃ){ｃ(εrμr)1/2/(εrμr－1)1/2}＝ａk－(εrμr)1/2(εrμr－1)1/2Ｓk/ｃ2となることがわかります。
一方,ミンコフスキーのＲμνが全てゼロなので,ＲAbrkj＝－ｔkj－ａAbrkＵ*j＝Ｒkj＋(εrμr)1/2(εrμr－1)1/2ＳkＵ*j/ｃ2＝(εrμr)1/2(εrμr－1)1/2ＳkＵ*j/ｃ2,ＲAbrk0≡ｃｇAbrk－ａAbrkＵ*0＝Ｒk0－(εrμr－1)Ｓk/ｃ＋(εrμr)1/2(εrμr－1)1/2ＳkＵ*0/ｃ2＝－(εrμr－1)Ｓk/ｃ＋(εrμr)1/2(εrμr－1)1/2ＳkＵ*0/ｃ2となります。
したがって,ＲAbrkj＝{(εrμr)1/2(εrμr－1)1/2Ｓk/ｃ2}{ｃｅj/(εrμr－1)1/2}＝ｃ-1(εrμr)1/2Ｓkｅj,ＲAbrk0＝－(εrμr－1)Ｓk/ｃ＋{(εrμr)1/2(εrμr－1)1/2Ｓk/ｃ2}{ｃ(εrμr)1/2/(εrμr－1)1/2}＝－(εrμr－1)Ｓk/ｃ＋εrμrＳk/ｃ＝Ｓk/ｃとなります。
つまり,ＲAbrkj＝ｃ-1(εrμr)1/2Ｓkｅj≠0 ,ＲAbrk0＝Ｓk/ｃ≠0 となります。
いずれにしても,ＲAbrμν≠0 なので,Ｔμνがアブラハムのテンソルの場合:Ｔμν＝ＳAbrμνの場合には,Ｕ*μが４元ベクトルになるための条件Ｒμν≡Ｔμν－ＴμλＵ*λＵ*ν/ｃ2＝0 が満たされず,エネルギー伝播速度ｕ*＝Ｓ/ｈがホイヘンスの原理から決まる光線速度と一致しない座標系が存在することになります。
既に無限小ローレンツ変換ｘ'μ＝ｘμ＋εμνｘν＝(δμν＋εμν)ｘν,εμν＝ενμに対して,Ｕ*'μ＝Ｕ*μ＋εμνＵ*ν＋ｃ2εμλ(ＳσＳσ)-1/2Ｒλνと変換されることを知っています。
ミンコフスキーの理論ではＲλν≡0 であったのに対して,アブラハム理論ではＲλν＝ＲAbrλν≠0 となので,Ｕ*'μ＝Ｕ*μ＋εμνＵ*ν＋ｃ2εμλ(ＳσＳσ)-1/2ＲAbrλνと変換されます。
すなわち,Ｕ*'0＝Ｕ*0＋ε0kＵ*k＋ｃ2ε0k(ＳσＳσ)-1/2ＲAbrk0＝Ｕ*0＋ε0kＵ*k＋ｃε0k(ＳσＳσ)-1/2Ｓk,かつＵ*'i＝Ｕ*i＋εiνＵ*ν＋ｃ2ε0k(ＳσＳσ)-1/2ＲAbrki＝Ｕ*i＋εiνＵ*ν＋ｃε0k(ＳσＳσ)-1/2(εrμr)1/2Ｓkｅiです。
そこで,先と同じく微小なｖについてεij＝0,ε0k＝εk0＝ｖ k/ｃ,ε00＝0 の場合はＵ*'0＝Ｕ*0＋ｖkＵ*k/ｃ＋ｖkＵ*k/ｃ＝Ｕ*0＋2ｖkＵ*k/ｃ＝[ｃ(εrμr)1/2＋2(ｖｅ)]/(εrμr－1)1/2です。また,Ｕ*'i＝Ｕ*k＋ｖiＵ*0/ｃ＋ｖk(εrμr)1/2Ｕ*kｅi＝ｃｅi＋ｖi(εrμr)1/2＋(ｖｅ)ｅi(εrμr)1/2/(εrμr－1)1/2
ｕ*'i＝ｃＵ*'i/Ｕ*'0＝ｃｅi/(εrμr)1/2＋ｖi＋(ｖｅ)ｅi－2(ｖｅ)ｅi/(εrμr),つまりｕ*'＝ｃｅ/(εrμr)1/2＋ｖ－(ｖｅ)ｅ/(εrμr)＋(ｖｅ){1－1/(εrμr)}ｅ,またはｕ*＝ｃ(εrμr)-1/2ｅ＝(ｃ/ｎ)ｅなのでｕ*'＝ｕ*＋ｖ－(ｖｕ*)ｕ*/ｃ2＋(ｖｕ*)ｕ*(1－1/ｎ2)/ｃ2です。
そこで,ｕ*'＝(ｃ/ｎ)＋2(ｅｖ)(1－1/ｎ2)ですね。
これは,ミンコフスキーの理論で質点の変換公式であるフレネルの公式:ｕ*'＝ｃ/ｎ＋(ｅｖ)(1－1/ｎ2)と比較して,(ｅｖ)(1－1/ｎ2)だけ異なっています。
アブラハムの理論では,ｖがｅに平行な場合でさえ,エネルギー速度が位相速度と異なることになります。
ミンコフスキーの４元力密度ｆμ＝－∂Ｓμν/∂ｘν(ｃｆ0＝－∂ｈ/∂ｔ－divＳ,ｆk＝－∂ｇk/∂ｔ＋∂ｔkj/∂ｘj)はρ＝Ｊ＝0 の場合にはゼロですが,アブラハムの理論ではｇAbr＝ｇ－(εrμr－1)Ｓ/ｃ2なので一様な絶縁体の中でも４元力密度はゼロにはなりません。
つまり,Ｓ＝ｃ(εrμr)-1/2(ｆ2＋ｇ2)ｅより,静止系ではｆAbr＝ｃ-2(εrμr－1)(∂Ｓ/∂ｔ)＝ｃ-1(εrμr)1/2(εrμr－1)(∂/∂ｔ)[(ｆ2＋ｇ2)ｅ],ｆ0 Abr＝ｆ0 ＝0 ですが,Ｓ'系ではｆμAbr'＝ｆμAbr＋εμνｆνAbrよりｃｆ0Abr'＝ｃε0kｆkAbr＝ｃ-2(εrμr－1)(ｖ∂Ｓ/∂ｔ)＝ｃ-1(εrμr)1/2(εrμr－1)(ｖｅ)(∂/∂ｔ)(ｆ2＋ｇ2)が得られます。
エネルギー保存の連続の方程式が∂ｈ/∂ｔ＋divＳ＝－ｃｆ0ですから,アブラハムの理論でｆ0＝ｆAbr0 とすると,電荷も電流もないとき物体静止のＳ系では－ｃｆAbr0がゼロですからエネルギーの湧き出し吸い込みがなく電磁場だけでエネルギーが保存しますが,上記の計算ではＳ'系では－ｃｆ0Abr'がゼロでないので電磁場だけではエネルギーが保存されないことを意味します。
－ｃｆ0Abr'はＳ'系で単位時間に単位体積当たりに物質になされる力学的仕事です。これはＳ'系では電磁系と力学系の間に光の吸収,および再放出が生じることを意味しています。
慣性座標系というのは全て対等であるというのが特殊相対論ですが,Ｓ系では物体が静止していてもＳに対して微小速度－ｖで運動しているＳ'系では物体が静止せずｖで運動しているという当然の違いはありますね。
もしも物体が絶縁体でＳ系でρ＝0でもＪ≠0なら,Ｓ'系では電荷密度がρ'≠0 にもなり得るし,Ｓ系でＪ＝0 でもρ≠0 なら少なくともＳ'系で物体の運動に伴なうρｖという形の携帯電流が現われのでＪ'≠0となりますが,ρ＝0,かつＪ＝0なら如何なる座標系Ｓ'に移っても,ρ'＝0,かつＪ'＝0 のはずですね。
これに対してミンコフスキー理論ではＳでもＳ'系でも湧き出し吸い込みはゼロなので電磁場だけでエネルギーが保存されます。
ミンコフスキー理論では,たとえ局所的)にでも透明体と電磁場の間にエネルギーのやり取りはありません。
しかし,閉じた系を仮定すれば,エネルギー運動量テンソルが対称テンソルであることを要求されますが,電磁エネルギー運動量テンソルはミンコフスキーの表現では対称でなくアブラハムの表現の方は対称です。
ミンコフスキーの正当性を求めるために電磁系だけでは閉じていないと仮定して,電磁エネルギー運動量テンソルだけでは非対称で電磁角運動量は保存しなくてもよいとしました。
さらにエネルギー速度を光線速度と考えることができるという意味でここでの話はミンコフスキーの正当性が強調される内容になっていますが,実は私には上記の話は逆にミンコフスキーの方が電磁系で閉じていると考えているという意味で,前の意図とは矛盾する話に帰結している,と感じました。とにかく,この程度の話で優越性の決着とするわけには行きません。
とりあえず,今日はここで終わります。
次回はちょっと話の本筋をブレイクして光の量子論での扱い,Ｅ＝ｈν＝ｈｃωなるエネルギーを持つ光子が屈折率がｎ＝(εrμr)1/2の物体中を通過するときの話などをしてみたいと思います。(ｈｃ≡ｈ/(2π)でｈはプランク定数です。)
(こちらはアブラハム理論の優位性につながるでしょうかね。)
参考文献：メラー 著(永田恒夫,伊藤大介訳)「相対性理論」(みすず書房)
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