運動物質内の相対論(8)(現象論的電磁場方程式と電子論): TOSHIの宇宙

2008年12月21日 (日)

運動物質内の相対論(8)(現象論的電磁場方程式と電子論)

運動物質内の相対論の続きです。

このシリーズもそろそろ結論まで進み,終わりにしたいのでちょっと駆け足になります。

今日の論題は2008年5/30の記事「電磁気学と相対論(6)(真空中の電磁気学５)」や2008年6/5の記事「電磁気学と相対論(7)(物質中の電磁気学１)」と重複する部分が多いですが,これらの記事を逐一参照する煩わしさよりもむしろ,重複を選択することにします。

さて,ローレンツ(Lorentz)がその電子論において示したように,定常運動をしている荷電物質中の電磁場に対する現象論的なマクスウェルの電磁力学の方程式は,巨視的には小さいがその中に莫大な個数の電子を含む領域での平均化を行なうことによって,より基本的な電子論の基礎方程式から導くことができます。

そして,電子論の基礎方程式は真空中のマクスウェルの方程式:divＢ＝0,rotＥ＋∂Ｂ/∂ｔ＝0,divＤ＝ρ,rotＨ－∂Ｄ/∂ｔ＝Ｊ,およびその中にある莫大な数の個々の電子の運動方程式系から成っています。

ここにＥは電場,Ｄは電束密度,Ｈは磁場の強さ,Ｂは磁束密度であり,ρは電荷密度,Ｊは電流密度です。

ただしε₀,μ₀をそれぞれ真空の誘電率,透磁率とすれば,Ｄ＝ε₀Ｅ,Ｂ＝μ₀Ｈです。ε₀,μ₀は真空中の光速ｃとｃ²＝1/(ε₀μ₀)なる関係にあります。

真空中のマクスウェルの方程式をテンソル方程式で書けば,∂Ｆ^μν/∂ｘ_λ＋∂Ｆ^νλ/∂ｘ_μ＋∂Ｆ^λμ/∂ｘ_ν＝0 ,∂Ｆ^μν/∂ｘ^ν＝－ｓ^μ/(ｃ²ε₀)となります。

ただし,Ｆ^μν＝∂Ａ^ν/∂ｘ_μ－∂Ａ^μ/∂ｘ_ν,Ｅ＝(Ｅ¹,Ｅ²,Ｅ³)＝－ｃ(Ｆ⁰¹,Ｆ⁰²,Ｆ⁰³),Ｂ＝(Ｂ¹,Ｂ²,Ｂ³)＝－(Ｆ²³,Ｆ³¹,Ｆ¹²)です。

また,ｓ^μは４元電流密度でありｓ^μ＝(ｃρ,ρｕ)＝ρ⁰Ｕ^μです。ｕは電荷密度がρの物質の運動速度ですから,真空中で運動する荷電物質についてはＪ＝ρｕ＝ρ⁰Ｕ,あるいはｓ^μ＝(ｃρ,Ｊ)です。

これらの式は相対論的に共変な形になっているので,これを適当に取った時空領域において平均化すれば共変性が保たれた運動物体中の巨視的な電磁力学の方程式が得られるはずです。

こうした考えに基づく手法はボルン(Born)とダレンバッハ(Dallenbach)によっても実行されました。

一方,電子のように電荷ｅを有する荷電粒子が電場Ｅ,磁場Ｂの中を速度ｕで運動している系で荷電粒子に働く電磁力はローレンツの式Ｆ＝ｅ(Ｅ＋ｕ×Ｂ)で与えられます。

そこで,この電磁力に対する,ミンコフスキーの４元力Ｆ_M^μはＦ_M^μ＝ｅ((Ｅｕ)/{ｃ(1－ｕ²/ｃ²)^1/2},(Ｅ＋ｕ×Ｂ)/(1－ｕ²/ｃ²)^1/2)で与えられます。

これをＦ^μνＵ_νと比較すれば,Ｆ_M^μ＝ｅＦ^μνＵ_νと書けることがわかります。

そこで質量ｍ,電荷ｅを持つ粒子が電磁場Ａ^μの中を運動するとき,この粒子に対する４次元共変な運動方程式はｄ(ｍＵ^μ)/ｄτ＝Ｆ_M^μ＝ｅＦ^μνＵ_νなる形で与えられることがわかります。

より一般の電荷密度ρの荷電物体が速度ｕで並進運動をしている場合を想定すると,粒子の場合の運動方程式ｄ(ｍＵ^μ)/ｄτ＝ｅＦ^μνＵ_νの左辺のｍ,右辺のｅが,それぞれそれに相当するμΔＶ＝μ⁰ΔＶ⁰,ρΔＶ＝ρ⁰ΔＶ⁰に変わります。

それ故,連続荷電物体の場合の運動方程式はｄ(μ⁰ΔＶ⁰Ｕ^μ)/ｄτ＝ρ⁰ΔＶ⁰Ｆ^μνＵ_νとなります。

これは,右辺でさらにｓ^μ＝(ｃρ,ρｕ)＝ρ⁰Ｕ^μを用いると,ｄ(μ⁰ΔＶ⁰Ｕ^μ)/ｄτ＝Ｆ^μνｓ_νΔＶ⁰と書けますね。

もしも,運動中に物体の固有質量が保存される,つまりｄ(μ⁰ΔＶ⁰)/ｄτ＝0 が成立するなら,上の運動方程式はμ⁰ｄＵ^μ/ｄτ＝Ｆ^μνｓ_νとなるのですが,一般にはｄ(μ⁰ΔＶ⁰)/ｄτ＝0 が成立するとは限りません。

一般にｄＶ/ｄｔ＝∫_σｕｄσ＝∫_V(divｕ)ｄＶ＝∫_V(∇ｕ)ｄＶなので,ΔＶが微小ならｄ(ΔＶ)/ｄｔ＝(divｕ)ΔＶ＝(∇ｕ)ΔＶです。

そこで,ｄ(μ⁰ΔＶ⁰)/ｄｔ＝ｄ(μΔＶ)/ｄｔ＝(ｄμ/ｄｔ)ΔＶ＋μ{ｄ(ΔＶ)/ｄｔ}＝[ｄμ/ｄｔ＋μdivｕ]ΔＶ＝[∂μ/∂ｔ＋div(μｕ)]ΔＶと書けます。

したがって,ｄ(μ⁰ΔＶ⁰)/ｄτ＝0 なる式の成立は質量保存の連続の方程式:∂μ/∂ｔ＋div(μｕ)＝ｄμ/ｄｔ＋μdivｕ＝0 の成立と同等です。

そして,Ｓ⁰系ではｄｔ⁰＝ｄτですからｄ(ΔＶ)/ｄｔ＝(divｕ)ΔＶはｄ(ΔＶ⁰)/ｄτ＝(div⁰ｕ⁰)ΔＶ⁰を意味しますが,速度がｕの物体の４元速度Ｕ^μについてのスカラー量∂Ｕ^μ/∂ｘ^μを考えると,Ｓ⁰系での４元速度Ｕ^0μ＝(ｃ,0)に対して等式∂Ｕ^0μ/∂ｘ^0μ＝∂Ｕ^μ/∂ｘ^μが成立します。

ところが,４元速度の定義Ｕ^μ≡(ｃ/(1－ｕ²/ｃ²)^1/2,ｕ/(1－ｕ²/ｃ²)^1/2)から,∂Ｕ⁰/∂ｘ⁰＝ｃｕ(∂ｕ/∂ｘ⁰)/(1－ｕ²/ｃ²)^3/2なので,ｕ＝0 のＳ⁰系では∂Ｕ⁰/∂ｘ⁰がゼロとなり,∂Ｕ^μ/∂ｘ^μ＝∂Ｕ^0μ/∂ｘ^0μ＝div⁰ｕ⁰が得られます。

そこで,ｄ(ΔＶ⁰)/ｄｔ＝(div⁰ｕ⁰)ｕ⁰ΔＶ⁰＝(∂Ｕ^μ/∂ｘ^μ)ΔＶ⁰が成立します。

これを用いると,ｄ(μ⁰ΔＶ⁰)/ｄτ＝(ｄμ⁰/ｄτ)ΔＶ⁰＋μ⁰ｄ(ΔＶ⁰)/ｄτ＝[(ｄμ⁰/ｄτ)＋μ⁰(∂Ｕ^μ/∂ｘ^μ)]ΔＶ⁰と書けます。

そこで,運動方程式ｄ(μ⁰Ｕ^μΔＶ⁰)/ｄτ＝Ｆ^μνｓ_νΔＶ⁰は,[ｄ(μ⁰Ｕ^μ)/ｄτ＋μ⁰Ｕ^μ(∂Ｕ^ν/∂ｘ^ν)]ΔＶ⁰＝Ｆ^μνｓ_νΔＶ⁰と変形されます。

またｄ(μ⁰Ｕ^μ)/ｄτ＝{∂(μ⁰Ｕ^μ)/∂ｘ^ν}(ｄｘ^ν/ｄτ)＝{∂(μ⁰Ｕ^μ)/∂ｘ^ν}Ｕ^νですから,結局荷電物体の運動方程式は∂(μ⁰Ｕ^μＵ^ν)/∂ｘ^ν＝ρＦ^μνｓ_νとなることがわかりります。

そこで,この物体の力学的なエネルギー運動量テンソルをθ^μν≡μ⁰Ｕ^μＵ^νによって定義すれば,荷電連続物体の運動方程式は∂θ^μν/∂ｘ^ν＝Ｆ^μνｓ_νなるエネルギー運動量の保存形になります。

さて,マクスウェルの現象論的方程式は,divＢ＝0 ,rotＥ＋∂Ｂ/∂ｔ＝0, divＤ＝ρ,rotＨ－∂Ｄ/∂ｔ＝Ｊに加えて荷電物体が等方性を持つ誘電体や常磁性体であると仮定してε,μをそれぞれ物質の誘電率,透磁率と呼ばれる比例係数としてＤ＝εＥ,Ｂ＝μＨとするものです。

このマクスウェルの現象論的な方程式が,少なくとも物質の静止系Ｓ⁰においては正しいことを認めるなら,同じ物体が運動中に見える任意の慣性系でもローレンツ変換によって同じ方程式が得られるはずであると考えられますが,こうした考えて最初にこの方法を実行に移したのはミンコフスキー(Minkowski)でした。

すなわち,相対性理論によれば物体の静止系Ｓ⁰系においても恒星に対して静止した系であるＳ系における定常運動物体中のマクスウェルの方程式はそのまま成立し,その際逆にＳ⁰系の恒星系Ｓに対する速度を考慮する必要もありません。

そこで,任意の座標系ＳにおいてＦ^μν＝∂Ａ^ν/∂ｘ_μ－∂Ａ^μ/∂ｘ_ν,Ｅ＝(Ｅ¹,Ｅ²,Ｅ³)＝－ｃ(Ｆ⁰¹,Ｆ⁰²,Ｆ⁰³),Ｂ＝(Ｂ¹,Ｂ²,Ｂ³)＝－(Ｆ²³,Ｆ³¹,Ｆ¹²)をそのままの形で定義し,一方Ｈ^μνなる量を２階反対称テンソルの成分としてＳ系の３次元空間の極性ベクトルである電束密度Ｄと軸性ベクトルである磁場の強さＨを,それぞれＤ＝(Ｄ¹,Ｄ²,Ｄ³)≡－ｃ^-1(Ｈ⁰¹,Ｈ⁰²,Ｈ⁰³),Ｈ＝(Ｈ¹,Ｈ²,Ｈ³)≡－(Ｈ²³,Ｈ³¹,Ｈ¹²)で定義します。

また,Ｓ系において成分が(ｃρ,Ｊ)であるような４元ベクトルをＪ^μ＝(Ｊ⁰,Ｊ¹,Ｊ²,Ｊ³)≡(ｃρ,Ｊ)としてこれを４元電流密度と呼ぶことにします。

テンソルＦ^μν,Ｈ^μν,およびベクトルＪ^μは,ある１つの座標系での成分が与えられさえすれば,他のどんな座標系における成分もテンソルの変換公式Ｆ'^μν＝Λ^μ_λΛ^ν_σＦ^λσ,Ｈ'^μν＝Λ^μ_λΛ^ν_σＨ^λσ,およびベクトルの変換公式Ｊ'^μ＝Λ^μ_νＪ^νを用いて計算できます。

このように定義された量Ｅ,Ｄ,Ｈ,Ｂ,Ｊ,ρが物質の静止系Ｓ⁰ではそれぞれＥ⁰,Ｄ⁰,Ｈ⁰,Ｂ⁰,Ｊ⁰,ρ⁰に一致し,Ｓ⁰系ではＤ⁰＝εＥ⁰,Ｂ⁰＝μＨ⁰を満たすようにＦ^μν,Ｈ^μν,Ｊ^μを定義すると,任意の座標系における電磁力学の基本方程式は∂Ｆ^μν/∂ｘ_λ＋∂Ｆ^νλ/∂ｘ_μ＋∂Ｆ^λμ/∂ｘ_ν＝0 ,∂Ｈ^μν/∂ｘ^ν＝－Ｊ^μとなります。

これらはテンソル方程式ですから,任意の慣性系で成立し特に,静止系Ｓ⁰ではdiv⁰Ｂ⁰＝0 rot⁰Ｅ⁰＋∂Ｂ⁰/∂ｔ⁰＝0, div⁰Ｄ⁰＝ρ⁰,rot⁰Ｈ⁰－∂Ｄ⁰/∂ｔ⁰＝Ｊ⁰に一致します。

これらを構成する物理量は全て原理的にはＳ⁰系での巨視的実験にて決めることができます。

そして任意の慣性系Ｓでも,divＢ＝0,rotＥ＋∂Ｂ/∂ｔ＝0,divＤ＝ρ,rotＨ－∂Ｄ/∂ｔ＝Ｊが成立すると考えられます。

Ｈ^μνの反対称性と方程式∂Ｈ^μν/∂ｘ^ν＝－Ｊ^μから,∂Ｊ^μ/∂ｘ^μ＝－∂Ｈ^μν/∂ｘ^μ∂ｘ^ν＝0 なる式が成立することがわかります。

Ｊ^μ＝(ｃρ,Ｊ)から,これは∂ρ/∂ｔ＋divＪ＝0 を意味しますが,ρは電荷密度,Ｊは電流密度ですから,結局,∂Ｊ^μ/∂ｘ^μ＝0 は電荷の保存を示す連続の方程式を示していることがわかります。

特に,物質が絶縁体なら,静止系Ｓ⁰においてはＪ⁰≡0 が成立するので,ρ＝{ρ'＋(ｕＪ')/ｃ²}/(1－ｕ²/ｃ²)^1/2,Ｊ＝Ｊ'＋(ｕ/ｕ²)[(ｕＪ'){1－(1－ｕ²/ｃ²)^1/2}＋ρ'ｕ²]/(1－ｕ²/ｃ²)^1/2により,ρ＝ρ⁰/(1－ｕ²/ｃ²)^1/2,Ｊ＝ρ⁰ｕ/(1－ｕ²/ｃ²)^1/2＝ρｕが得られます。ただしｕはＳ系における絶縁体の速度です。

それ故,微小体積ΔＶ＝ΔＶ⁰(1－ｕ²/ｃ²)^1/2の微小物質片が帯びている総電荷ΔｅがΔｅ＝ρΔＶ＝ρ⁰ΔＶ⁰を満たし,Δｅが"不変量＝ローレンツスカラー"であることを再確認できます。

また,Ｊ＝ρｕなる形の電流は荷電物体の運動自体が電流を表現しているので,これを携帯電流と呼びます。

絶縁体の場合は電流は純粋に携帯電流のみですが,一般の物質の場合は電流は携帯電流ρｕと,いわゆる伝導電流Ｃの和の形でＪ＝ρｕ＋Ｃと書けます。

しかし,この分割の仕方は相対論的に不変ではありません。

つまり,静止系Ｓ⁰でρ⁰＝0 ならＪ⁰＝Ｃ⁰となって静止系では純粋に伝導電流のみですが,この場合でもＳ系ではρ≠0 であり,その結果Ｓではρｕ≠0 なる携帯電流が出現します。

この状況を具体的に示すとρ⁰＝0 ,Ｊ⁰＝Ｃ⁰,およびρ＝{ρ'＋(ｕＪ')/ｃ²}/(1－ｕ²/ｃ²)^1/2,Ｊ＝Ｊ'＋(ｕ/ｕ²)[(ｕＪ'){1－(1－ｕ²/ｃ²)^1/2}＋ρ'ｕ²]/(1－ｕ²/ｃ²)^1/2でＳ⁰系をＳ'系とした式により,ρ＝(ｕＣ⁰)/{ｃ²(1－ｕ²/ｃ²)^1/2},Ｊ＝Ｃ⁰＋(ｕ/ｕ²)[(ｕＣ⁰){1－(1－ｕ²/ｃ²)^1/2}]/(1－ｕ²/ｃ²)^1/2＝ρｕ＋Ｃですから,Ｃ＝Ｃ⁰＋(ｕ/ｕ²)[(ｕＣ⁰){(1－ｕ²/ｃ²)^1/2－1}}となります。

しかし,ρ⁰,Ｕ^μ,ｓ^μを次のような量として,これらによって以下のようなＪ^μの分解を与えるなら,この分解が相対論的に不変になるようにできます。

すなわち,Ｊ^μ≡ρ⁰Ｕ^μ＋ｓ^μ,あるいはｓ^μ≡Ｊ^μ－ρ⁰Ｕ^μと書いてｓ^μ＝(ｓ⁰,ｓ)を定義します。

こうすれば,この分解は最初から４元ベクトルの和の形をしているので相対論的に不変なことは自明です。

そしてρ⁰Ｕ^μ,ｓ^μをそれぞれ携帯４元電流,伝導４元電流とみなすわけです。ここで,もちろんρ⁰は静止系Ｓ⁰における物質の電荷密度,Ｕ^μは４元速度Ｕ^μ＝(ｃ/(1－ｕ²/ｃ²)^1/2,ｕ/(1－ｕ²/ｃ²)^1/2)です。

このとき.静止系Ｓ⁰で考えるとＪ^0μ＝ρ⁰Ｕ^0μ＋ｓ^0μ,Ｕ^0μ＝(ｃ,0)なので,ｓ^μ＝(ｓ⁰,ｓ)は静止系ではｓ^0μ＝(0,Ｊ⁰)となるような４元ベクトルを示すことになります。

また,ｓ^μＵ_μ＝ｓ^0μＵ⁰_μ＝0 ですからＪ^μＵ_μ＝ｃ²ρ⁰によりρ⁰＝(Ｊ^μＵ_μ)/ｃ²です。そこで,ｓ^μ＝Ｊ^μ－(Ｊ^λＵ_λ)Ｕ^μ/ｃ²なる具体的表現式が得られます。

よって,常にｓ⁰＝0,ｓ＝Ｊ－ρｕであり,Ｊ^μ＝(ｃρ,ρｕ＋ｓ)ですからｓ^μ＝(ｓ⁰,ｓ)の空間成分ｓは確かに伝導電流を示しています。

前の方で真空中の場合のｓ^μをｓ^μ≡(ｃρ,ρｕ)＝ρ⁰Ｕ^μで定義しましたが,これは伝導電流がゼロの場合の全電流Ｊ^μを示していますから,ｓ^μを伝導電流とする今の定義とは異なるものです。

さて,マクスウェルの方程式:divＢ＝0 rotＥ＋∂Ｂ/∂ｔ＝0,divＤ＝ρ,rotＨ－∂Ｄ/∂ｔ＝Ｊに現われる量の中で,ρ,Ｊについては直接物理的意味を与えることができますが,場の変数Ｅ,Ｄ,Ｈ,ＢにはＳが物体の静止系Ｓ⁰に一致する場合を除けば物理的意味付けを与えること自体が簡単ではありません。

まず,Ｆ^μ≡Ｆ^μνＵ_νによって４元ベクトルＦ^μを定義すれば,Ｓ系でのＦ^μの成分はＦ^μ＝((Ｅｕ)/{ｃ(1－ｕ²/ｃ²)^1/2},(Ｅ＋ｕ×Ｂ)/(1－ｕ²/ｃ²)^1/2)となります。

そこで,これの静止系Ｓ⁰での成分はＦ^0μ＝(0,Ｅ⁰)となりますが,これは以前の2008年4/21の記事「電場と電束密度,磁場と磁束密度(1)」で述べた

canal field(誘電分極を示す直列に並ぶ双極子の腕ベクトルの上に電荷を置いたと想定した場合の電場),つまり物質中の電場の方向に入れた切れ目の中にある静止単位電荷に作用する電気力となっています。

さらに,Ｅ~≡Ｅ＋ｕ×Ｂなる量Ｅ~を導入すれば,Ｆ^μ＝((Ｅ~ｕ)/{ｃ(1－ｕ²/ｃ²)^1/2},Ｅ~/(1－ｕ²/ｃ²)^1/2)となります。

これをミンコフスキーの４元力Ｆ_M^μ≡((Ｆ_Mｕ)/ｃ,Ｆ_M)＝((Ｆｕ)/{ｃ(1－ｕ²/ｃ²)^1/2},Ｆ/(1－ｕ²/ｃ²)^1/2)の表式と比較するとＥ^～は任意のＳ系で単位量の試験電荷に作用するcanal fieldの電気力そのものであることがわかります。

同様に,Ｋ^μ≡Ｈ^μνＵ_ν/ｃ²によって４元ベクトルＫ^μを定義すれば,Ｋ^μ＝((Ｄｕ)/{ｃ² (1－ｕ²/ｃ²)^1/2},{Ｄ＋(ｕ×Ｈ)/ｃ²}/(1－ｕ²/ｃ²)^1/2)となります。

Ｅ~と同様,Ｄ~≡Ｄ＋(ｕ×Ｈ)/ｃ²とおけばＫ^μ＝((Ｄ~ｕ)/{ｃ(1－ｕ²/ｃ²)^1/2},Ｄ~/(1－ｕ²/ｃ²)^1/2)であり,静止系Ｓ⁰ではＫ^0μ＝(0,Ｄ⁰)ですが,これも「電場と電束密度,磁場と磁束密度(1)」で述べた

gap field(誘電分極を示す直列に並んだ双極子と双極子の間に電荷を置いたと想定した場合の電場),つまり物質中の電場の方向に垂直に入れた切れ目の中の静止単位電荷に作用する電気力となっています。

Ｄ~≡Ｄ＋(ｕ×Ｈ)/ｃ²はＳ系で単位量の試験電荷に作用するgap fieldの電気力ですね。

さらに,Ｆ^μν,Ｈ^μνに対偶な擬テンソルをそれぞれＦ^*_μν,Ｈ^*_μν(Ｆ^*_μν≡(1/2)ε_μνλσＦ^λσ,Ｈ^*_μν≡(1/2)ε_μνλσＨ^λσ)とすれば,これはＦ^μν,Ｈ^μνでＥ→ －ｃＢ,Ｂ→ －Ｅ/ｃ,およびＤ→ －Ｈ/ｃ,Ｈ→ －ｃＤなる変換をするのと同じことを意味します。

そして,Ｆ^*≡－Ｆ^*νＵ_ν/ｃ＝((Ｂｕ)/{ｃ(1－ｕ²/ｃ²)^1/2},{Ｂ－(ｕ×Ｅ)/ｃ²}/(1－ｕ²/ｃ²)^1/2)＝((Ｂ^～ｕ)/{ｃ(1－ｕ²/ｃ²)^1/2},Ｂ^～/(1－ｕ²/ｃ²)^1/2),およびＫ^*≡－Ｈ^*νＵ_ν/ｃ＝((Ｈｕ)/{ｃ(1－ｕ²/ｃ²)^1/2},{Ｈ－(ｕ×Ｄ)/ｃ²}/(1－ｕ²/ｃ²)^1/2)によって２つの４元擬ベクトルＦ^*,Ｋ^*が得られます。

Ｆ^μ,Ｋ^μとＥ~,Ｄ~のアナロジーからＦ^*,Ｋ^*はそれぞれ物質にあけた磁場に平行な割れ目,垂直な割れ目に単位磁極の試験磁荷を置いたとき作用する４元磁気力ということになります。

したがってＥ~,Ｄ~の場合と同じく,Ｂ~＝Ｂ－ｕ×Ｅ,Ｈ~＝Ｈ－(ｕ×Ｄ)/ｃ²はＳ系で単位磁極の試験磁荷に作用する磁気力を表わしています。

そして,上述のようにベクトルＥ~,Ｄ~,Ｈ~,Ｂ~(すなわち,Ｆ^μ,Ｋ^μ,Ｋ^*,Ｆ^*)は原理的には単位電極や単位磁極に働く力を調べることでＳ系の観測者の測定により直接得ることができる量です。

また,Ｆ^μν,Ｈ^μνを逆にＦ^μ,Ｋ^μ,Ｋ^*,Ｆ^*で表現すれば,Ｆ^μν＝(Ｕ^μＦ^ν－Ｕ^νＦ^μ)/ｃ－ε^μνλσＦ^*Ｕ_σ/ｃ,Ｈ^μν＝(Ｕ^μＫ^ν－Ｕ^νＫ^μ)/ｃ－ε^μνλσＫ^*Ｕ_σ/ｃとなります。

そして４元ベクトル,４元擬ベクトルＦ^μ,Ｋ^μ,Ｋ^*,Ｆ^*は静止Ｓ⁰系ではＦ^0μ＝(0,Ｅ⁰),Ｋ^0μ＝(0,Ｄ⁰),Ｆ^*μ＝(0,Ｂ⁰),Ｋ^*μ＝(0,Ｈ⁰)となり,ｕ＝0ではＥ~＝Ｅ⁰,Ｄ~＝Ｄ⁰,Ｂ~＝Ｂ⁰,Ｈ~＝Ｈ⁰なので任意のｕのＳ系におけるＥ,Ｄ,Ｈ,Ｂは実質的にはＥ~,Ｄ~,Ｈ~,Ｂ~で与えられると考えていいと思われます。

今の場合,荷電物質は定常な並進運動をしており各点の移動速度ｕは全て同一な一様速度であると仮定しているので,rot(ｕ×Ｂ)＝－(ｕgrad)Ｂ,rot(ｕ×Ｄ)＝－(ｕgrad)Ｄ＋ρｕですから,マクスウェルの電磁場の方程式divＢ＝0 ,rotＥ＋∂Ｂ/∂ｔ＝0 ,divＤ＝ρ,rotＨ－∂Ｄ/∂ｔ＝Ｊは,Ｅ~,Ｄ~,Ｈ~,Ｂ~による表現としてrotＥ~＋∂Ｂ~/∂ｔ＝0, rotＨ~－∂Ｄ~/∂ｔ＝Ｊ－ρｕ＝ｓ, divＢ＝0 ,divＤ＝ρとなります。

これまでの議論は一定速度ｕで運動している物体が１つだけある場合を想定していました。しかし,マクスウェルの場の方程式は線型なので,場の加法性が成立することになり,いくつかの物体が真空によって間を隔てられていて各々が互いに異なる速度で一様運動をしている場合でも,基本方程式として∂Ｆ^μν/∂ｘ_λ＋∂Ｆ^νλ/∂ｘ_μ＋∂Ｆ^λμ/∂ｘ_ν＝0 ,∂Ｈ^μν/∂ｘ^ν＝－Ｊ^μを適用していいと思われます。