運動物質内の相対論(8)(現象論的電磁場方程式と電子論)
運動物質内の相対論の続きです。
このシリーズもそろそろ結論まで進み,終わりにしたいのでちょっと駆け足になります。
今日の論題は2008年5/30の記事「電磁気学と相対論(6)(真空中の電磁気学5)」や2008年6/5の記事「電磁気学と相対論(7)(物質中の電磁気学1)」と重複する部分が多いですが,これらの記事を逐一参照する煩わしさよりもむしろ,重複を選択することにします。
さて,ローレンツ(Lorentz)がその電子論において示したように,定常運動をしている荷電物質中の電磁場に対する現象論的なマクスウェルの電磁力学の方程式は,巨視的には小さいがその中に莫大な個数の電子を含む領域での平均化を行なうことによって,より基本的な電子論の基礎方程式から導くことができます。
そして,電子論の基礎方程式は真空中のマクスウェルの方程式:divB=0,rotE+∂B/∂t=0,divD=ρ,rotH-∂D/∂t=J,およびその中にある莫大な数の個々の電子の運動方程式系から成っています。
ここにEは電場,Dは電束密度,Hは磁場の強さ,Bは磁束密度であり,ρは電荷密度,Jは電流密度です。
ただしε0,μ0をそれぞれ真空の誘電率,透磁率とすれば,D=ε0E,B=μ0Hです。ε0,μ0は真空中の光速cとc2=1/(ε0μ0)なる関係にあります。
真空中のマクスウェルの方程式をテンソル方程式で書けば,∂Fμν/∂xλ+∂Fνλ/∂xμ+∂Fλμ/∂xν=0 ,∂Fμν/∂xν=-sμ/(c2ε0)となります。
ただし,Fμν=∂Aν/∂xμ-∂Aμ/∂xν,E=(E1,E2,E3)=-c(F01,F02,F03),B=(B1,B2,B3)=-(F23,F31,F12)です。
また,sμは4元電流密度でありsμ=(cρ,ρu)=ρ0Uμです。uは電荷密度がρの物質の運動速度ですから,真空中で運動する荷電物質についてはJ=ρu=ρ0U,あるいはsμ=(cρ,J)です。
これらの式は相対論的に共変な形になっているので,これを適当に取った時空領域において平均化すれば共変性が保たれた運動物体中の巨視的な電磁力学の方程式が得られるはずです。
こうした考えに基づく手法はボルン(Born)とダレンバッハ(Dallenbach)によっても実行されました。
一方,電子のように電荷eを有する荷電粒子が電場E,磁場Bの中を速度uで運動している系で荷電粒子に働く電磁力はローレンツの式F=e(E+u×B)で与えられます。
そこで,この電磁力に対する,ミンコフスキーの4元力FMμはFMμ=e((Eu)/{c(1-u2/c2)1/2},(E+u×B)/(1-u2/c2)1/2)で与えられます。
これをFμνUνと比較すれば,FMμ=eFμνUνと書けることがわかります。
そこで質量m,電荷eを持つ粒子が電磁場Aμの中を運動するとき,この粒子に対する4次元共変な運動方程式はd(mUμ)/dτ=FMμ=eFμνUνなる形で与えられることがわかります。
より一般の電荷密度ρの荷電物体が速度uで並進運動をしている場合を想定すると,粒子の場合の運動方程式d(mUμ)/dτ=eFμνUνの左辺のm,右辺のeが,それぞれそれに相当するμΔV=μ0ΔV0,ρΔV=ρ0ΔV0に変わります。
それ故,連続荷電物体の場合の運動方程式はd(μ0ΔV0Uμ)/dτ=ρ0ΔV0FμνUνとなります。
これは,右辺でさらにsμ=(cρ,ρu)=ρ0Uμを用いると,d(μ0ΔV0Uμ)/dτ=FμνsνΔV0と書けますね。
もしも,運動中に物体の固有質量が保存される,つまりd(μ0ΔV0)/dτ=0 が成立するなら,上の運動方程式はμ0dUμ/dτ=Fμνsνとなるのですが,一般にはd(μ0ΔV0)/dτ=0 が成立するとは限りません。
一般にdV/dt=∫σudσ=∫V(divu)dV=∫V(∇u)dVなので,ΔVが微小ならd(ΔV)/dt=(divu)ΔV=(∇u)ΔVです。
そこで,d(μ0ΔV0)/dt=d(μΔV)/dt=(dμ/dt)ΔV+μ{d(ΔV)/dt}=[dμ/dt+μdivu]ΔV=[∂μ/∂t+div(μu)]ΔVと書けます。
したがって,d(μ0ΔV0)/dτ=0 なる式の成立は質量保存の連続の方程式:∂μ/∂t+div(μu)=dμ/dt+μdivu=0 の成立と同等です。
そして,S0系ではdt0=dτですからd(ΔV)/dt=(divu)ΔVはd(ΔV0)/dτ=(div0u0)ΔV0を意味しますが,速度がuの物体の4元速度Uμについてのスカラー量∂Uμ/∂xμを考えると,S0系での4元速度U0μ=(c,0)に対して等式∂U0μ/∂x0μ=∂Uμ/∂xμが成立します。
ところが,4元速度の定義Uμ≡(c/(1-u2/c2)1/2,u/(1-u2/c2)1/2)から,∂U0/∂x0=cu(∂u/∂x0)/(1-u2/c2)3/2なので,u=0 のS0系では∂U0/∂x0がゼロとなり,∂Uμ/∂xμ=∂U0μ/∂x0μ=div0u0が得られます。
そこで,d(ΔV0)/dt=(div0u0)u0ΔV0=(∂Uμ/∂xμ)ΔV0が成立します。
これを用いると,d(μ0ΔV0)/dτ=(dμ0/dτ)ΔV0+μ0d(ΔV0)/dτ=[(dμ0/dτ)+μ0(∂Uμ/∂xμ)]ΔV0と書けます。
そこで,運動方程式d(μ0UμΔV0)/dτ=FμνsνΔV0は,[d(μ0Uμ)/dτ+μ0Uμ(∂Uν/∂xν)]ΔV0=FμνsνΔV0と変形されます。
またd(μ0Uμ)/dτ={∂(μ0Uμ)/∂xν}(dxν/dτ)={∂(μ0Uμ)/∂xν}Uνですから,結局荷電物体の運動方程式は∂(μ0UμUν)/∂xν=ρFμνsνとなることがわかりります。
そこで,この物体の力学的なエネルギー運動量テンソルをθμν≡μ0UμUνによって定義すれば,荷電連続物体の運動方程式は∂θμν/∂xν=Fμνsνなるエネルギー運動量の保存形になります。
さて,マクスウェルの現象論的方程式は,divB=0 ,rotE+∂B/∂t=0, divD=ρ,rotH-∂D/∂t=Jに加えて荷電物体が等方性を持つ誘電体や常磁性体であると仮定してε,μをそれぞれ物質の誘電率,透磁率と呼ばれる比例係数としてD=εE,B=μHとするものです。
このマクスウェルの現象論的な方程式が,少なくとも物質の静止系S0においては正しいことを認めるなら,同じ物体が運動中に見える任意の慣性系でもローレンツ変換によって同じ方程式が得られるはずであると考えられますが,こうした考えて最初にこの方法を実行に移したのはミンコフスキー(Minkowski)でした。
すなわち,相対性理論によれば物体の静止系S0系においても恒星に対して静止した系であるS系における定常運動物体中のマクスウェルの方程式はそのまま成立し,その際逆にS0系の恒星系Sに対する速度を考慮する必要もありません。
そこで,任意の座標系SにおいてFμν=∂Aν/∂xμ-∂Aμ/∂xν,E=(E1,E2,E3)=-c(F01,F02,F03),B=(B1,B2,B3)=-(F23,F31,F12)をそのままの形で定義し,一方Hμνなる量を2階反対称テンソルの成分としてS系の3次元空間の極性ベクトルである電束密度Dと軸性ベクトルである磁場の強さHを,それぞれD=(D1,D2,D3)≡-c-1(H01,H02,H03),H=(H1,H2,H3)≡-(H23,H31,H12)で定義します。
また,S系において成分が(cρ,J)であるような4元ベクトルをJμ=(J0,J1,J2,J3)≡(cρ,J)としてこれを4元電流密度と呼ぶことにします。
テンソルFμν,Hμν,およびベクトルJμは,ある1つの座標系での成分が与えられさえすれば,他のどんな座標系における成分もテンソルの変換公式F'μν=ΛμλΛνσFλσ,H'μν=ΛμλΛνσHλσ,およびベクトルの変換公式J'μ=ΛμνJνを用いて計算できます。
このように定義された量E,D,H,B,J,ρが物質の静止系S0ではそれぞれE0,D0,H0,B0,J0,ρ0に一致し,S0系ではD0=εE0,B0=μH0を満たすようにFμν,Hμν,Jμを定義すると,任意の座標系における電磁力学の基本方程式は∂Fμν/∂xλ+∂Fνλ/∂xμ+∂Fλμ/∂xν=0 ,∂Hμν/∂xν=-Jμとなります。
これらはテンソル方程式ですから,任意の慣性系で成立し特に,静止系S0ではdiv0B0=0 rot0E0+∂B0/∂t0=0, div0D0=ρ0,rot0H0-∂D0/∂t0=J0に一致します。
これらを構成する物理量は全て原理的にはS0系での巨視的実験にて決めることができます。
そして任意の慣性系Sでも,divB=0,rotE+∂B/∂t=0,divD=ρ,rotH-∂D/∂t=Jが成立すると考えられます。
Hμνの反対称性と方程式∂Hμν/∂xν=-Jμから,∂Jμ/∂xμ=-∂Hμν/∂xμ∂xν=0 なる式が成立することがわかります。
Jμ=(cρ,J)から,これは∂ρ/∂t+divJ=0 を意味しますが,ρは電荷密度,Jは電流密度ですから,結局,∂Jμ/∂xμ=0 は電荷の保存を示す連続の方程式を示していることがわかります。
特に,物質が絶縁体なら,静止系S0においてはJ0≡0 が成立するので,ρ={ρ'+(uJ')/c2}/(1-u2/c2)1/2,J=J'+(u/u2)[(uJ'){1-(1-u2/c2)1/2}+ρ'u2]/(1-u2/c2)1/2により,ρ=ρ0/(1-u2/c2)1/2,J=ρ0u/(1-u2/c2)1/2=ρuが得られます。ただしuはS系における絶縁体の速度です。
それ故,微小体積ΔV=ΔV0(1-u2/c2)1/2の微小物質片が帯びている総電荷ΔeがΔe=ρΔV=ρ0ΔV0を満たし,Δeが"不変量=ローレンツスカラー"であることを再確認できます。
また,J=ρuなる形の電流は荷電物体の運動自体が電流を表現しているので,これを携帯電流と呼びます。
絶縁体の場合は電流は純粋に携帯電流のみですが,一般の物質の場合は電流は携帯電流ρuと,いわゆる伝導電流Cの和の形でJ=ρu+Cと書けます。
しかし,この分割の仕方は相対論的に不変ではありません。
つまり,静止系S0でρ0=0 ならJ0=C0となって静止系では純粋に伝導電流のみですが,この場合でもS系ではρ≠0 であり,その結果Sではρu≠0 なる携帯電流が出現します。
この状況を具体的に示すとρ0=0 ,J0=C0,およびρ={ρ'+(uJ')/c2}/(1-u2/c2)1/2,J=J'+(u/u2)[(uJ'){1-(1-u2/c2)1/2}+ρ'u2]/(1-u2/c2)1/2でS0系をS'系とした式により,ρ=(uC0)/{c2(1-u2/c2)1/2},J=C0+(u/u2)[(uC0){1-(1-u2/c2)1/2}]/(1-u2/c2)1/2=ρu+Cですから,C=C0+(u/u2)[(uC0){(1-u2/c2)1/2-1}}となります。
しかし,ρ0,Uμ,sμを次のような量として,これらによって以下のようなJμの分解を与えるなら,この分解が相対論的に不変になるようにできます。
すなわち,Jμ≡ρ0Uμ+sμ,あるいはsμ≡Jμ-ρ0Uμと書いてsμ=(s0,s)を定義します。
こうすれば,この分解は最初から4元ベクトルの和の形をしているので相対論的に不変なことは自明です。
そしてρ0Uμ,sμをそれぞれ携帯4元電流,伝導4元電流とみなすわけです。ここで,もちろんρ0は静止系S0における物質の電荷密度,Uμは4元速度Uμ=(c/(1-u2/c2)1/2,u/(1-u2/c2)1/2)です。
このとき.静止系S0で考えるとJ0μ=ρ0U0μ+s0μ,U0μ=(c,0)なので,sμ=(s0,s)は静止系ではs0μ=(0,J0)となるような4元ベクトルを示すことになります。
また,sμUμ=s0μU0μ=0 ですからJμUμ=c2ρ0によりρ0=(JμUμ)/c2です。そこで,sμ=Jμ-(JλUλ)Uμ/c2なる具体的表現式が得られます。
よって,常にs0=0,s=J-ρuであり,Jμ=(cρ,ρu+s)ですからsμ=(s0,s)の空間成分sは確かに伝導電流を示しています。
前の方で真空中の場合のsμをsμ≡(cρ,ρu)=ρ0Uμで定義しましたが,これは伝導電流がゼロの場合の全電流Jμを示していますから,sμを伝導電流とする今の定義とは異なるものです。
さて,マクスウェルの方程式:divB=0 rotE+∂B/∂t=0,divD=ρ,rotH-∂D/∂t=Jに現われる量の中で,ρ,Jについては直接物理的意味を与えることができますが,場の変数E,D,H,BにはSが物体の静止系S0に一致する場合を除けば物理的意味付けを与えること自体が簡単ではありません。
まず,Fμ≡FμνUνによって4元ベクトルFμを定義すれば,S系でのFμの成分はFμ=((Eu)/{c(1-u2/c2)1/2},(E+u×B)/(1-u2/c2)1/2)となります。
そこで,これの静止系S0での成分はF0μ=(0,E0)となりますが,これは以前の2008年4/21の記事「電場と電束密度,磁場と磁束密度(1)」で述べた
canal field(誘電分極を示す直列に並ぶ双極子の腕ベクトルの上に電荷を置いたと想定した場合の電場),つまり物質中の電場の方向に入れた切れ目の中にある静止単位電荷に作用する電気力となっています。
さらに,E~≡E+u×Bなる量E~を導入すれば,Fμ=((E~u)/{c(1-u2/c2)1/2},E~/(1-u2/c2)1/2)となります。
これをミンコフスキーの4元力FMμ≡((FMu)/c,FM)=((Fu)/{c(1-u2/c2)1/2},F/(1-u2/c2)1/2)の表式と比較するとE~は任意のS系で単位量の試験電荷に作用するcanal fieldの電気力そのものであることがわかります。
同様に,Kμ≡HμνUν/c2によって4元ベクトルKμを定義すれば,Kμ=((Du)/{c2 (1-u2/c2)1/2},{D+(u×H)/c2}/(1-u2/c2)1/2)となります。
E~と同様,D~≡D+(u×H)/c2とおけばKμ=((D~u)/{c(1-u2/c2)1/2},D~/(1-u2/c2)1/2)であり,静止系S0ではK0μ=(0,D0)ですが,これも「電場と電束密度,磁場と磁束密度(1)」で述べた
gap field(誘電分極を示す直列に並んだ双極子と双極子の間に電荷を置いたと想定した場合の電場),つまり物質中の電場の方向に垂直に入れた切れ目の中の静止単位電荷に作用する電気力となっています。
D~≡D+(u×H)/c2はS系で単位量の試験電荷に作用するgap fieldの電気力ですね。
さらに,Fμν,Hμνに対偶な擬テンソルをそれぞれF*μν,H*μν(F*μν≡(1/2)εμνλσFλσ,H*μν≡(1/2)εμνλσHλσ)とすれば,これはFμν,HμνでE→ -cB,B→ -E/c,およびD→ -H/c,H→ -cDなる変換をするのと同じことを意味します。
そして,F*≡-F*νUν/c=((Bu)/{c(1-u2/c2)1/2},{B-(u×E)/c2}/(1-u2/c2)1/2)=((B~u)/{c(1-u2/c2)1/2},B~/(1-u2/c2)1/2),およびK*≡-H*νUν/c=((Hu)/{c(1-u2/c2)1/2},{H-(u×D)/c2}/(1-u2/c2)1/2)によって2つの4元擬ベクトルF*,K*が得られます。
Fμ,KμとE~,D~のアナロジーからF*,K*はそれぞれ物質にあけた磁場に平行な割れ目,垂直な割れ目に単位磁極の試験磁荷を置いたとき作用する4元磁気力ということになります。
したがってE~,D~の場合と同じく,B~=B-u×E,H~=H-(u×D)/c2はS系で単位磁極の試験磁荷に作用する磁気力を表わしています。
そして,上述のようにベクトルE~,D~,H~,B~(すなわち,Fμ,Kμ,K*,F*)は原理的には単位電極や単位磁極に働く力を調べることでS系の観測者の測定により直接得ることができる量です。
また,Fμν,Hμνを逆にFμ,Kμ,K*,F*で表現すれば,Fμν=(UμFν-UνFμ)/c-εμνλσF*Uσ/c,Hμν=(UμKν-UνKμ)/c-εμνλσK*Uσ/cとなります。
そして4元ベクトル,4元擬ベクトルFμ,Kμ,K*,F*は静止S0系ではF0μ=(0,E0),K0μ=(0,D0),F*μ=(0,B0),K*μ=(0,H0)となり,u=0ではE~=E0,D~=D0,B~=B0,H~=H0なので任意のuのS系におけるE,D,H,Bは実質的にはE~,D~,H~,B~で与えられると考えていいと思われます。
今の場合,荷電物質は定常な並進運動をしており各点の移動速度uは全て同一な一様速度であると仮定しているので,rot(u×B)=-(ugrad)B,rot(u×D)=-(ugrad)D+ρuですから,マクスウェルの電磁場の方程式divB=0 ,rotE+∂B/∂t=0 ,divD=ρ,rotH-∂D/∂t=Jは,E~,D~,H~,B~による表現としてrotE~+∂B~/∂t=0, rotH~-∂D~/∂t=J-ρu=s, divB=0 ,divD=ρとなります。
これまでの議論は一定速度uで運動している物体が1つだけある場合を想定していました。しかし,マクスウェルの場の方程式は線型なので,場の加法性が成立することになり,いくつかの物体が真空によって間を隔てられていて各々が互いに異なる速度で一様運動をしている場合でも,基本方程式として∂Fμν/∂xλ+∂Fνλ/∂xμ+∂Fλμ/∂xν=0 ,∂Hμν/∂xν=-Jμを適用していいと思われます。
さらに,電磁力によって物体に生じる加速度が小さいと見てよい場合は,上のテンソル方程式は依然として運動する荷電物体から成る電磁系を記述する良い近似式を与えると思われます。
そうしてS0系ではD0=εE0,B0=μH0が成立しているので,これは任意のS系ではD~=εE~,B~=μH~,あるいはKμ=εFμ,F*=εK*なることを意味します。
これらはまたHμνUν=εFμνUν,F*νUν=μH*νUνとも書けます。後者のF*νUν=μH*νUνはFμνUλ+FνλUμ+FλμUν=μ(HμνUλ+HνλUμ+HλμUν)と同等です。
今日はここで終わります。
参考文献:メラー 著(永田恒夫,伊藤大介 訳)「相対性理論」(みすず書房)
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