相対論の幾何学(第Ⅲ部-2)(リーマン幾何学(2)): TOSHIの宇宙

2009年1月22日 (木)

相対論の幾何学(第Ⅲ部-2)(リーマン幾何学(2))

前に2008年12/10に書いてからずいぶん間が開きましたが相対論の幾何学シリーズの第Ⅲ部-1:リーマン幾何学(1)の続きです。

今日は平行移動,接続,そして共変微分など一般相対性理論の定式化と関連した事項を中心に話を進めていきます。

まず,いつものようにＭをｍ次元の微分可能多様体とします。

Ｍ上のベクトル場Ｖ^≡Ｖ^μ(∂/∂ｘ^μ)はＭ上の関数ｆに対しＶ^:ｆ→ Ｖ^[ｆ]＝Ｖ^μ(∂ｆ/∂ｘ^μ)なる写像として作用し,方向微分と呼ばれる演算子です。

しかし,これのアナロジーとなるべき,一般の(ｐ,ｑ)型テンソルの方向微分なるものは存在しません。また,前に述べたリー微分Ｌ_UＶ^＝[Ｕ^,Ｖ^]もＵ^の微分に依存するため,いわゆる方向微分に対応するような概念ではありません。

　そもそも,素朴な微積分学で学ぶｍ次元空間Ｍでの方向微分という概念とは何かということを考えることから始めましょう。

　記憶に頼ると,Ｍの上で微分可能な関数ｆ:Ｍ→Ｒがあって,これをＭ上の点の位置座標を意味するｍ次元の数ベクトルｘ＝(ｘ¹,ｘ²,..,ｘ^m)の関数としてｆ＝ｆ(ｘ)と書くとき,座標ｘで表わされる点Ｐから座標ｘ＋ｄｘで表わされる点ＱまでＰＱ＝ｄｘだけの変位に対するｆ(ｘ)からｆ(ｘ＋ｄｘ)＝ｆ(ｘ)＋ｄｆまでのｆの変化ｄｆに対して定義され,ベクトル解析でいう勾配∇ｆ＝gradｆという量が方向微分係数を意味するものだったような。。。

　まあ,ここでは方向微分という言葉の厳密な定義を問題にしているのではなく,共変微分という概念を発見的に導入するための伏線に過ぎませんから,ちょっとイイカゲンです。

　まあ,昔から掲示板などで論じている際に,物理用語と同じように数学用語を駆使していて,特に数学屋さんからよく重箱的なツッコミが入りましたね。

　これは,大体は本で調べるのを面倒がって記憶に頼って数学書で一度か二度接した聞きかじった程度の用語の定義や概念を一旦自分の頭で理解して記憶したと思っていることなどをテキトーに使う傾向があるためです。

　私の場合,昔から,数学という意味では大切な厳密さやディテールを犠牲にした不完全な発言であることがわかっていて,割と軽々しく意見を主張するものですから,発言を正反対の意味に取られたりしたことも多々ありましたし,実際,私自身の勘違いもよくありましたが,そこは掲示板の短かい文章で行なう議論の限界でしょうね。

　その点,いまどきの科学ブログでは,かなりディテールまで突っ込んで書くことが可能なので少しはましですね。。

　ああ,また余談を長々とやってしまった。

　さて,勾配∇ｆという量は,ＰＱ＝ｄｘなる変位に対して,ｄｆをベクトル∇ｆとｄｘのスカラー積として,ｄｆ＝∇ｆｄｘと表現できることを意味し,ｄｘがいわゆる反変ベクトルであるなら,∇ｆはそれに双対な共変ベクトルを意味しますね。

　∇ｆは,またｆの変化率が最大となる向きを表わしますから,物理学ではｆの勾配を∇ｆ＝gradｆと表記する代わりに,記号的にｄｆ/ｄｘと略記してｆのｘによる全微分係数と同一視します。

　直感的には,２次元平面上に山があって,その高さ方向をｚ軸として,ｘｙ平面の座標における山の高さをｚ＝ｆ(ｘ,ｙ)として,これが山の斜面の曲面を表わす方程式を与えるというような描像がわかりやすいのではないか,と思いました。

　すなわち,ｘｙ平面上の点の微小変位(ｘ,ｙ)→(ｘ＋Δｘ,ｙ＋Δｙ)に対し,山の高さｚはｚ＝ｆ(ｘ,ｙ)→ｚ＋Δｚ＝ｆ(ｘ＋Δｘ,ｙ＋Δｙ)＝ｆ(ｘ,ｙ)＋(∂ｆ/∂ｘ)Δｘ＋(∂ｆ/∂ｙ)Δｙと変動します。

　そこで,平面上の変位をベクトル表記でΔｒ＝(Δｘ,Δｙ)と書き,勾配と呼ばれるベクトルを∇ｆ≡(∂ｆ/∂ｘ,∂ｆ/∂ｙ)で定義すれば,変位に対応するｆの増分ΔｚはΔｚ＝(∂ｆ/∂ｘ)Δｘ＋(∂ｆ/∂ｙ)Δｙ＝∇ｆΔｒとスカラー積で表現されます。

　したがって,変位Δｒに対して山の高さの変化率,すなわち,傾きはΔｚ/|Δｒ|＝|∇ｆ|cosθとなります。

　ここで,θは勾配ベクトル∇ｆ≡(∂ｆ/∂ｘ,∂ｆ/∂ｙ)と変位ベクトルΔｒ＝(Δｘ,Δｙ)のなす角です。そして,もしも変位Δｒの向きが勾配∇ｆの向きと丁度一致すればΔｚ/|Δｒ|＝|∇ｆ|となります。

　このことは,その点(ｘ,ｙ)では勾配∇ｆの向きへの変位に対する傾きが最大であり,例えば平面上のその点に対応する山の面上の点で水を流すと,水の流れる主流方向は－∇ｆの方向になることを意味します。

　つまり方向微分,あるいは方向微分係数が∇ｆ,またはその成分を意味するものであるというのが正しいなら,それはその点での様々な方向への微小変位に対する変化率,あるいは最大変化率を代表するものであると直感されます。

　しかし一方,多様体と表題されるような数学の本で,Ｍが多様体の場合の方向微分は大体,次のような描像から導入されます。

すなわち,多様体Ｍ上で座標としてｘ＝(ｘ¹,ｘ²..,ｘ^m)を有する点Ｐ∈Ｍを通る任意の滑らかな曲線)をｃ(ｔ)＝(ｃ^μ(ｔ))(ただしｃ^μ(0)＝ｘ^μ)とし合成関数としてｆ(ｃ(ｔ))をｔの関数と見ます。

このとき"ｔに対するｆの傾き＝微分係数"を求めると,ｄｆ/ｄｔ＝(ｄｃ^μ/ｄｔ)(∂ｆ/∂ｘ^μ)＝(ｄｃ/ｄｔ)∇ｆとなります。

これは,ｔ＝0 のときＶ^μ≡(ｄｃ^μ/ｄｔ)_ｔ=0として演算子Ｖ^をＶ^≡Ｖ^μ(∂/∂ｘ^μ)と定義すれば(ｄｆ/ｄｔ)_t=0＝Ｖ^[ｆ]と書けますから,先に与えた一般のベクトル場Ｖ^の演算子表記が(ｄｃ/ｄｔ)_t=0∇なる演算子に一致します。

つまり,単に勾配∇というベクトル演算子ではなく,曲線ｘ＝ｃ(ｔ)に沿ったある向きｄｘ＝ｄｃへの勾配∇に変動係数ｄｃまたは(ｄｃ/ｄｔ)をも含めたスカラー演算子 (ｄｃ/ｄｔ)∇を方向微分と同定するわけです。

逆に,任意のベクトルＶ^＝Ｖ^μ(∂/∂ｘ^μ)に対し,ｄｃ^μ/ｄｔ＝Ｖ^μを満たす曲線ｃ(ｔ)＝(ｃ^μ(ｔ))が常に存在します。

そこで,多様体の立場でＶ^＝Ｖ^μ(∂/∂ｘ^μ)を方向微分と呼ぶのは妥当な呼称と思われます。

そして初期条件ｃ^μ(0)＝ｘ^μを満たすｄｃ^μ/ｄｔ＝Ｖ^μの解曲線を求めるのは,いわゆる力学系問題ですね。

　さて,幾何学というよりも解析学の問題として,ｍ次元ユークリッド空間Ｍにおける関数ｆ:Ｍ→Ｒに対する方向微分係数∇ｆの概念を,Ｍからｎ次元ユークリッド空間Ｎへの写像ｆ:Ｍ→Ｎ;ｙ＝ｆ(ｘ),ｘ＝(ｘ¹,ｘ²..,ｘ^m)∈Ｍ,ｙ＝(ｙ¹,ｙ²..,ｙⁿ)＝(ｆ¹(ｘ),ｆ²(ｘ),．,ｆⁿ(ｘ))∈Ｎに対する概念に拡張することを考えます。

ｄｙ＝ｄｆ＝(ｄｆ¹,ｄｆ²..,ｄｆⁿ)＝(∇ｆ¹ｄｘ,∇ｆ²ｄｘ.,．．,∇ｆⁿｄｘ)ですから,(∂ｆ/∂ｘ)を(ｉ,ｊ)成分が∂ｆⁱ/∂ｘ^j(ｉ＝1,2,..ｎ,ｊ＝1,2,..ｍ)のｎ行ｍ列のヤコービ行列とし,ｄｘ＝(ｄｘ¹,ｄｘ²..,ｄｘ^m)をｍ成分の列ベクトルｄｘ＝^t(ｄｘ¹,ｄｘ²..,ｄｘ^m)とすれば,ｄｆ＝(∂ｆ/∂ｘ)ｄｘと書けるので,係数行列(∂ｆ/∂ｘ)を全微分係数(と同一視します。

先に方向微分と考えた関数ｆの勾配∇ｆ＝ｄｆ/ｄｘは,ｎ×ｍヤコービ行列(∂ｆ/∂ｘ)のｎ＝1,Ｎ＝Ｒ (ｍ＝1)の特別な場合である,と考えれば自然ですね。

このときにも,ｘ＝ｃ(ｔ)に対してｆ(ｃ(ｔ))をｔで微分すると,ｄｆ/ｄｔ＝(∂ｆ/∂ｘ)(ｄｃ/ｄｔ)ですから,Ｖ^μ≡ｄｃ^μ/ｄｔ,かつＶ^＝Ｖ^μ(∂/∂ｘ^μ)と置いてｄｆ/ｄｔ＝(∂ｆ/∂ｘ)(ｄｃ/ｄｔ)を考えるとｄｆ^ν/ｄｔ＝(∂ｆ^ν/∂ｘ^μ)(ｄｃ^μ/ｄｔ)＝Ｖ^μ(∂ｆ^ν/∂ｘ^μ)＝Ｖ^[ｆ^ν],または記号的にｄｆ/ｄｔ＝Ｖ^[ｆ]と表現できます。

　さて,一般の多様体Ｍ上のベクトル場Ｖ^＝Ｖ^μ(∂/∂ｘ^μ)において,基底をｅ_μ≡∂/∂ｘ^μとすれば,Ｖ^＝Ｖ^μｅ_μと表記できます。

　そして,ベクトル場Ｖ^＝Ｖ^μｅ_μのｘ^νに関する微分係数

は,通常はμ成分として偏微分係数の形で∂Ｖ^μ/∂ｘ^ν＝lim_Δｘν→0[{Ｖ^μ(..,ｘ^ν＋Δｘ^ν,..)－Ｖ^μ(..,ｘ^ν,..)}/Δｘ^ν]を持つということで定義されます。

　しかし,この右辺の分子の第２項のＶ^μは点ｘ≡(ｘ^μ)で定義される量であるのに対して,第１項のＶ^μは点ｘ＋Δｘ≡(..,ｘ^ν＋Δｘ^ν,..)で定義される量です。

ベクトルＶ^(ｘ)をｘからｘ＋Δｘまで座標を移動させたときに,平行移動したベクトルＶ^のμ成分の差というからには点ｘにおけるμ軸と点ｘ＋Δｘにおけるμ軸が同じ軸であるか,少なくとも同じ向きである場合でなければ平行移動という意味はないと思われます。

そこで,例えばベクトルＶ^(ｘ)の点ｘにおけるμ軸の成分Ｖ^μ(ｘ)ではなく,点ｘ＋Δｘにおけるμ軸成分を求める必要があります。そのＶ^(ｘ)の点ｘ＋Δｘにおけるμ軸成分をＶ~^μ(ｘ＋Δｘ)と書くことにします。

このとき,２つのμ軸成分の差Ｖ~^μ(ｘ＋Δｘ)－Ｖ^μ(ｘ)はΔｘに比例するオーダーを持ちますから,この差をＣ^μ_ν(Ｖ^)Δｘ^νと書くことにします。すなわち,Ｖ~^μ(ｘ＋Δｘ)＝Ｖ^μ(ｘ)＋Ｃ^μ_ν(Ｖ^)Δｘ^νとします。

ｘ,およびｘ＋Δｘで定義される任意のベクトルＶ^(ｘ),Ｗ^(ｘ)があるとき,ベクトルの和の同じμ軸成分ですから常に(Ｖ＋Ｗ)~^μ(ｘ＋Δｘ)＝Ｖ~^μ(ｘ＋Δｘ)＋Ｗ~^μ(ｘ＋Δｘ)なる線形性が成立すると考えられます。

これはＣ^μ_ν(Ｖ^＋Ｗ^)＝Ｃ^μ_ν(Ｖ^)＋Ｃ^μ_ν(Ｗ^)を意味します。

つまり,Ｃ^μ_ν(Ｖ^)はベクトルＶ^の定数項を持たない１次関数です。そこで比例係数行列の成分をＶ^には無関係な－Γ^μ_νλなる記号で表わせば,Ｃ^μ_ν(Ｖ^)は結局Ｃ^μ_ν(Ｖ^)＝－Γ^μ_νλＶ^λなる形に書けます。

そこで,Ｖ~^μ(ｘ＋Δｘ)＝Ｖ^μ(ｘ)－Γ^μ_νλＶ^λΔｘ^νですね。

それ故,"(0,0)型テンソル＝関数"ｆの方向微分に対応する(0,1)型テンソルＶ^の方向微分として,lim_Δｘν→0[{Ｖ^μ(ｘ＋Δｘ)－Ｖ~^μ(ｘ＋Δｘ)}/Δｘ^ν]なる量を共変微分という名称で定義すると,これは∂Ｖ^μ/∂ｘ^ν＋Γ^μ_νλＶ^λと書けます。

そしてＶ^μ(ｘ)→Ｖ~^μ(ｘ＋Δｘ)＝Ｖ^μ(ｘ)－Γ^μ_νλＶ^λΔｘ^νなる変換を平行移動と呼ぶことにします。

　ただし,今のところ係数Γ^μ_νλの選び方に何の制限も与えていないので,係数Γ＝{Γ^μ_νλ}の１つの選択ごとに平行移動,共変微分の規則が１つ決まることになります。

　しかし,多様体Ｍに計量(metric)が与えられている場合には,都合のよい係数Γ＝{Γ^μ_νλ}の選択が存在します。

　すなわち,Γ^λ_νμ＝Γ^λ_μνなる対称性を満たし平行移動の前後でベクトルのノルムが不変であるという２条件を満たすという規則を持つレビ-チビタ接続(Levi-Civita接続)と呼ばれるものを採用します。

　以上のような直感的考察を踏まえて,まずアファイン接続(affine connection;アフィン接続)を定義します。

[定義Ⅲ.3] アファイン接続∇とは(Ｘ^,Ｙ^)に∇_XＹ^を対応させる１つの写像∇:Ｘ(Ｍ)×Ｘ(Ｍ)→Ｘ(Ｍ)であって次の条件を満たすものを言う。ここでＸ(Ｍ)は多様体Ｍ上のベクトル場の全体を指す。

　満たすべき条件とは∀Ｘ^,Ｙ^,Ｚ^∈Ｘ(Ｍ),およびＭ上の任意関数ｆに対して,∇_X(Ｙ^＋Ｚ^)＝∇_XＹ^＋∇_XＺ^,∇_(X+Y)Ｚ^＝∇_XＺ^＋∇_YＺ^,∇_fXＹ^＝ｆ∇_XＹ^,∇_X(ｆＹ^)＝Ｘ[ｆ]Ｙ^＋ｆ∇_XＹ^が成立することである。

　Ｍ上で座標ｘ＝φ(ｐ)を持つチャート(Ｕ,φ)を選びｍ³個の接続係数と呼ばれる変数を∇_νｅ_μ≡∇_eνｅ_μ＝ｅ_λΓ^λ_νμで定義します。ただし,{ｅ_μ}＝{∂/∂ｘ^μ}はＴ_p(Ｍ)の座標基底です。

　こうしてアファイン接続∇の基底ベクトル{ｅ_μ}への作用∇_νｅ_μ≡∇_eνｅ_μが定義されれば,∇の任意のベクトルへの作用が計算可能です。

　例えばＶ^＝Ｖ^μｅ_μ,Ｗ^＝Ｗ^μｅ_μ∈Ｔ_p(Ｍ)に対して∇_VＷ^＝Ｖ^μ∇_eμ(Ｗ^νｅ_ν)＝Ｖ^μ{ｅ_μ[Ｗ^ν]＋Ｗ^ν∇_eμｅ_ν}＝Ｖ^μ(∂Ｗ^λ/∂ｘ^μ＋Ｗ^νΓ^λ_μν)ｅ_λとなります。

　右辺における因子は先に直感的に得られた共変微分と形が一致していますね。

　そこで,∇_μＷ^λ≡∂Ｗ^λ/∂ｘ^μ＋Ｗ^νΓ^λ_μνとおけばアファイン接続∇は,２つのベクトルＶ^＝Ｖ^μｅ_μ,Ｗ^＝Ｗ^μｅ_μ∈Ｔ_p(Ｍ)を新しいベクトル∇_VＷ^＝Ｖ^μ(∂Ｗ^ν/∂ｘ^μ＋Ｗ^νΓ^λ_μν)ｅ_λに移し,これのλ番目の成分がＶ^μ∇_μＷ^λで与えられることになります。