束縛状態とベーテ・サルピーター方程式(1）: TOSHIの宇宙

2009年1月18日 (日)

束縛状態とベーテ・サルピーター方程式(1）

ここのところ書いていた科学記事は大体は40歳以後からごく最近までに読んだ本や論文について自分のノートにまとめたものに基づくものがほとんどでしたが,今日は,まだ25,26歳の学生時代に今ではなつかしい青焼きのコピーとして入手したProgress of Theoretical Physicsの1969年,No43.のSupplementを紹介します。

ちょっと部屋の片付けをしている際に,この論文を見つけて懐かしいと思ったので読む気になりました。

これは束縛状態を場の理論で記述する目的で用いられることが多いベーテ・サルピーター方程式(Bethe-Salpeter equation)に関するレポート論文で,当時基研におられた中西襄先生があまり注目されていなかったこの理論の紹介を兼ねてまとめられたものです。

私は,当時は今よりもなお浅学だったためもあるでしょうが,やはり途中で挫折したのですね。

でも,今ならモチベーションさえ続けば,ちゃんと読了できる自信があるので,自分自身の復習も兼ねて再読しながら紹介したいと思います。

相対論的場の量子論の素粒子関係での応用というのは,どちらかというと粒子衝突実験や宇宙線などと関連した散乱振幅の計算が主体なので,束縛状態を含む議論は比較的蔑ろにされていた傾向だったのですが,ベーテ・サルピーター方程式は束縛状態を場の理論で論じるのには便利なツールです。

この方程式は２体散乱の散乱振幅を摂動論に従って無限級数に展開する際,ファインマン・ダイアグラム(Feynman-diagram)に対して"はしご近似(ladder-approximation)"と呼ばれる手法を適用することからグラフ的に解釈できるものです。

当時素粒子論研究室の学生であった私は,まだ場の理論による摂動論のファインマン・ダイアグラムやくりこみなどの手法について勉強している最中で,そうしたものについて曲がりなりにも慣れてきたかどうか,という段階でした。

Ｓ行列要素の行と列に対応し,自身それぞれ完全系をなす漸近的に自由な入射波の状態や散乱波の散乱状態とは異なり,１と同一視して行列要素の間に挿むべきものとして相互作用を含む中間状態が完全系をなすためには準安定な共鳴状態や束縛状態が不可欠なことは一応当時も理解していました。

しかし,何にでも興味を抱く今では考えられないことですが当時は強い相互作用のＳ行列理論の極の挙動のようなものについての研究を専門としたいという気持ちが薄かったためか,束縛状態の記述に対してあまり興味を感じず流し読みした記憶があります。

さて,対象とする論文の正式な著者と表題は,Noboru Nakanishi(Reseach Institute for Mathematical Sciences Kyoto University,Kyoto) "A General survey of the Theory of the Bethe-Salpeter Equation" Supplement of Progress of Theoretical Physics No.43(1969)です。では序文から読んでいきましょう。

§1.序文(Introduction)

ベーテ・サルピーター方程式(Bethe-Salpeter equation;以下Ｂ-Ｓ.eq.と略記)は場の量子論の相対論的２体問題を論じるための最もオーソドックスなツールです。

Ｂ-Ｓ.eq.は約20年前に提案されましたが,その歴史の最初の10年間は数学的困難と"はしご近似"の正確さの解釈のむずかしさ故に,その理論的研究はさほど真剣にはなされませんでした。

しかし,最近はレッジェ極(Regge-pole)理論やＯ(4)対称性におけるゴーストの問題などに関連して大きな関心を得ています。

Ｂ-Ｓ.eq.での"はしご近似"は,興味深い"理論模型＝はしご模型"を生み出し,また,これは明らかにポアンカレ群の下で共変です。

この方程式は相対論的２体問題の定量的結果を予測するよりも,むしろ定性的特徴とその理解を得るために重要なものです。

本論文の目的は２つあります。

第１にはＢ-Ｓ.eq.の理論を徹底的に再検討することです。

これまで最も知られてきたと確信されていて獲得することができた種々の理論的結果を要約します。

主たる関心は束縛状態のＢ-Ｓ.eq.方程式を理論的に概観することにあります。その他のＢ-Ｓ.eq.の散乱問題やＢ-Ｓ.eq.の応用については手短に言及するだけにします。

第２には,これまでのＢ-Ｓ.eq.に関わる文献類の完璧なリストを与える試みです。

今までＢ-Ｓ.eq.について書いた多くの著者は,それより前に出された関連論文を知らずに書いてきたと思われます。

そこで徹底的な文献目録を作り,不幸な状況を除去する予定です。

すぐ後の節では,Ｂ-Ｓ.eq.の一般的枠組を論じます。これは考察されるモデルには依らず全く独立です。

その後の節ではＢ-Ｓeq.を解析するための幾つかの数学ツールを与えます。さらに後節ではスカラー-スカラー問題を取り上げ,スカラー中間子交換の"はしご近似モデル"に専念します。

もっと後の方では,Ｂ-Ｓ.eq.の３つの特性である異常解,負ノルム振幅の存在,および多重極の存在を扱います。

次にスピノル-スピノル模型を考察します。最後にのレッジェ極理論への応用について論じ,他のトピックについてごく手短に触れます。

本レポートを通して時間を特別視する計量,つまりｐ^μ＝(ｐ⁰,ｐ)でｐ²＝(ｐ⁰)²－ｐ²なる計量を採用します。(序文終わり)

§2.Ｂ-Ｓeqの導出(Derivation of the Bethe-Salpeter equation)

Ｂ-Ｓeq.は何人かの人によって提起されました。最初に提案したのは導出抜きでY.Nambu(南部(陽一郎))(1950)です。彼ははしご近似で位置空間の微分方程式を書き下しました。

そしてＢ-Ｓ.eq.の一般的な形を導き出したのはSalpeterとBethe(1951)でした。これはファインマングラフ的考察に基づいています。

場の理論に基づく定式化は,Gell-Mann,およびLow(1951)によって確立されました。

またＢ-Ｓ.eq.はSchwinger(1951)によっても,独立に提起されました。彼は関数微分による定式化をしました。

そしてKita(北)(1962)はＳ行列理論の考察を用いました。

エネルギー空間上の解析性に基づく導出はMandelstam(1955)によって提案されTakahashi(高橋(康))(1965)によって再検討されました。

さて,これから本論に入りますが,まずＢ-Ｓ.eq.を表現するために必要な諸量の定義を与えることから始めます。

そのため,２粒子ａ,ｂの弾性散乱;ａ＋ｂ→ａ＋ｂを考えます。

記述の簡単のためにａとｂは同種ではないスカラー粒子であると仮定します。後でより一般的なケースへと修正したいなら,この設定から直線的に行なうことが可能です。

φ_a(ｘ),φ_b(ｘ)を,それぞれａ,ｂのハイゼンベルク表示のスカラー場の演算子とします。そして散乱のグリーン関数:Ｇ(ｘ_a,ｘ_b;ｙ_a,ｙ_b)をＧ(ｘ_a,ｘ_b;ｙ_a,ｙ_b)≡＜0|Ｔ(φ_a(ｘ_a)φ_b(ｘ_b)φ_a^＋(ｙ_a)φ_b^＋(ｙ_b))|0＞で定義します。

上の式では,通常のディラック(Dirac)ブラケットを用いました。ただし,|0＞は真の真空でＴはWickのＴ積(時間順序積)を示す演算子,φ_a^＋はφ_aのエルミート共役etc.です。

グリーン関数Ｇを摂動級数に展開すれば,これは対応する連結したファインマン・ダイアグラムの総和で表現されます。

２体弾性散乱過程:ａ＋ｂ→ａ＋ｂに対するグリーン関数:Ｇ(ｘ_a,ｘ_b;ｙ_a,ｙ_b)のファインマン・ダイアグラムは粒子ａ,ｂが,それぞれｙ_a,ｙ_bで真空から生成された後,ある相互作用ボックスに入射した後に,再びそこから出て最後はｘ_a,ｘ_bで消滅するという描像となります。

Ｇに対する積分方程式を導くためにファインマン積分の総和の順序を並べ替えます。

そのため,まず,入射,散乱粒子の４つの"外線＝外部伝播関数"を切り離した"相互作用ボックス＝(ａ＋ｂ)中間状態"の中から"２つの内線＝２つの伝播関数"を除くだけでは互いに素な２つの部分に分割することが不可能な固有グラフ,つまり,この場合は２粒子既約部分,or (ａ＋ｂ)-既約な積分核の部分をＩ(ｘ_a,ｘ_b;ｙ_a,ｙ_b)と表記します。

さて,ファインマン積分の総和の順序を並べ替えるため,まずｘ_a,ｘ_bにつながる各外線に付随する自己エネルギー部分を総和し,次に相互作用ボックスを(ａ＋ｂ)-既約な積分核Ｉ(ｘ_a,ｘ_b;ｙ_a,ｙ_b)を持つ部分の和として取ります。

そうすれば,グラフ的考察からＧが従う積分方程式としてＧ(ｘ_a,ｘ_b;ｙ_a,ｙ_b)＝⊿_Fa'(ｘ_a－ｙ_a)⊿_Fb'(ｘ_b－ｙ_b)＋∫ｄ⁴ｚ_a∫ｄ⁴ｚ_b∫ｄ⁴ｚ_a'∫ｄ⁴ｚ_b'⊿_Fa'(ｘ_a－ｚ_a)⊿_Fb'(ｘ_b－ｚ_b)Ｉ(ｚ_a,ｚ_b;ｚ_a',ｚ_b')Ｇ(ｚ_a',ｚ_b';ｙ_a,ｙ_b)が得られます。

ここで,⊿_F'(ｘ－ｙ)は修正された伝播関数(２点グリーン関数)で一般にスカラー場φ(ｘ)に対しては,⊿_F'(ｘ－ｙ)≡＜0|Ｔ(φ(ｘ)φ^＋(ｙ))|0＞で定義されます。

※この積分方程式の成立は,摂動グラフ的にはほぼ自明なのですが,一応,Gell-MannとLow(1951)に従ってこれの数式的な証明の概略を書いてみます。

すなわち,４点グリ－ン関数Ｇは連結グラフの寄与のみを集めて真空泡を除去した規格化では,Ｇ(ｘ_a,ｘ_b;ｙ_a,ｙ_b)＝＜0|Ｔ(φ_aⁱⁿ(ｘ_a)φ_a^＋in(ｙ_a)φ_bⁱⁿ(ｘ_b)φ_b^＋in(ｙ_b)exp[－i∫ｄ⁴ｚＨ_Iⁱⁿ(ｚ)])|0＞/＜0|Ｔ(exp[－i∫ｄ⁴ｚＨ_Iⁱⁿ(ｚ)])|0＞です。

これの右辺は∑_n=0^∞{(－i)ⁿ/ｎ!}∫ｄ⁴ｚ₁ｄ⁴ｚ₂..ｄ⁴ｚ_n＜0|Ｔ(φ_aⁱⁿ(ｘ_a)φ_a^＋in(ｙ_a)φ_bⁱⁿ(ｘ_b)φ_b^＋in(ｙ_b)Ｈ_Iⁱⁿ(ｚ₁)Ｈ_Iⁱⁿ(ｚ₂)..Ｈ_Iⁱⁿ(ｚ_n)])|0＞^c(ｃは連結グラフ)と摂動展開できます。

簡単のために,ａ＋ｂ→ａ＋ｂの過程で交換される中間状態の仮想粒子としては場の演算子が実演算子φ_c(ｘ)で表わされるエルミートのスカラーボゾンのｃのみであると仮定します。

このとき,対応する相互作用ハミルトニアンは一般にＨ_I(ｘ)≡:ｇ_aφ_a^＋(ｘ)φ_a(ｘ)＋ｇ_bφ_b^＋(ｘ)φ_b(ｘ):φ_c(ｘ) (ｇ_a,ｇ_bは結合定数,: :は正規順序)なる形に書けます。

(こう仮定しても十分に一般性があります。)

そして,摂動のｎ番目の寄与:{(－i)ⁿ/ｎ!}∫ｄ⁴ｚ₁ｄ⁴ｚ₂..ｄ⁴ｚ_n＜0|Ｔ(φ_aⁱⁿ(ｘ_a)φ_a^＋in＋(ｙ_a)φ_bⁱⁿ(ｘ_b)φ_b^＋in(ｙ_b)Ｈ_Iⁱⁿ(ｚ₁)Ｈ_Iⁱⁿ(ｚ₂)..Ｈ_Iⁱⁿ(ｚ_n)])|0＞^cの中で因子＜0|Ｔ(Ｈ_Iⁱⁿ(ｚ₁)Ｈ_Iⁱⁿ(ｚ₂)..Ｈ_Iⁱⁿ(ｚ_n)に含まれている＜0|Ｔ(φ_cⁱⁿ(ｚ₁)φ_cⁱⁿ(ｚ₂)..φ_cⁱⁿ(ｚ_n))|0＞^cはｚ₁,ｚ₂..,ｚ_nの完全対称な関数です。

そして,摂動級数をより具体的に書くと,Ｇ(ｘ_a,ｘ_b;ｙ_a,ｙ_b)＝∑_n=0^∞[∫ｄ⁴ｚ₁ｄ⁴ｚ₂..ｄ⁴ｚ_sｄ⁴ｚ_s+1ｄ⁴ｚ_s+2..ｄ⁴ｚ_n∑_s=0ⁿ{(－iｇ_a)^s/ｓ!}＜0|Ｔ(φ_aⁱⁿ(ｘ_a)φ_a^＋in(ｙ_a):φ_aⁱⁿ(ｚ₁)φ_aⁱⁿ(ｚ₂)..φ_aⁱⁿ(ｚ_s):)|0＞^c×{(－iｇ_b)^n-s/(ｎ－ｓ)!}＜0|Ｔ(φ_bⁱⁿ(ｘ_b)φ_b^＋in(ｙ_b):φ_bⁱⁿ(ｚ_s+1)φ_bⁱⁿ(ｚ_s+2)..φ_bⁱⁿ(ｚ_n):)|0＞^c×[∑_perm{＜0|Ｔ(φ_cⁱⁿ(ｚ_p1)φ_cⁱⁿ(ｚ_p2))|0＞＜0|Ｔ(φ_cⁱⁿ(ｚ_p3)φ_cⁱⁿ(ｚ_p4))|0＞..＜0|Ｔ(φ_cⁱⁿ(ｚ_pn-1)φ_cⁱⁿ(ｚ_n))|0＞}]となります。

一方,⊿_Fa'(ｘ_a－ｙ_a)＝＜0|Ｔ(φ_a(ｘ_a)φ_a^＋(ｙ_a))|0＞＝∑_m=0^∞{(－i)ⁿ/ｍ!}∫ｄ⁴ｚ₁ｄ⁴ｚ₂..ｄ⁴ｚ_m＜0|Ｔ(φ_aⁱⁿ(ｘ_a)φ_a^＋in(ｙ_a)Ｈ_Iⁱⁿ(ｚ₁)Ｈ_Iⁱⁿ(ｚ₂)..Ｈ_Iⁱⁿ(ｚ_m)])|0＞^c＝∑_m=0^∞{(－iｇ_a)^m/ｍ!}∫ｄ⁴ｚ₁ｄ⁴ｚ₂..ｄ⁴ｚ_m＜0|Ｔ(φ_aⁱⁿ(ｘ_a)φ_a^＋in(ｙ_a):φ_aⁱⁿ(ｚ₁)φ_a^＋im(ｚ₁)..φ_aⁱⁿ(ｚ_m)φ_a^＋im(ｚ_m):)|0＞^c＜0|Ｔ(φ_cⁱⁿ(ｚ₁)φ_cⁱⁿ(ｚ₂)..φ_cⁱⁿ(ｚ_m))|0＞です。

同様に,⊿_Fb'(ｘ_b－ｙ_b)＝＜0|Ｔ(φ_b(ｘ_b)φ_b^＋(ｙ_b))|0＞＝∑_k=0^∞{(－iｇ_b)^k/ｋ!}∫ｄ⁴ｗ₁ｄ⁴ｗ₂..ｄ⁴ｗ_k＜0|Ｔ(φ_bⁱⁿ(ｘ_b)φ_b^＋in(ｙ_b):φ_bⁱⁿ(ｗ₁)φ_b^＋im(ｗ₁)..φ_bⁱⁿ(ｗ_k)φ_a^＋im(ｗ_k):)|0＞^c＜0|Ｔ(φ_cⁱⁿ(ｗ₁)φ_cⁱⁿ(ｗ₂)..φ_cⁱⁿ(ｗ_k))|0＞です。

以下,Ｇ(ｘ_a,ｘ_b;ｙ_a,ｙ_b)の摂動級数展開におけるｎ番目の項の寄与[∫ｄ⁴ｚ₁ｄ⁴ｚ₂..ｄ⁴ｚ_sｄ⁴ｚ_s+1ｄ⁴ｚ_s+2..ｄ⁴ｚ_n∑_s=0ⁿ{(－iｇ_a)^s/ｓ!}＜0|Ｔ(φ_aⁱⁿ(ｘ_a)φ_a^＋in(ｙ_a):φ_aⁱⁿ(ｚ₁)φ_aⁱⁿ(ｚ₂)..φ_aⁱⁿ(ｚ_s):)|0＞^c×{(－iｇ_b)^n-s/(ｎ－ｓ)!}＜0|Ｔ(φ_bⁱⁿ(ｘ_b)φ_b^＋in(ｙ_b):φ_bⁱⁿ(ｚ_s+1)φ_bⁱⁿ(ｚ_s+2)..φ_bⁱⁿ(ｚ_n):)|0＞^c×[∑_perm{＜0|Ｔ(φ_cⁱⁿ(ｚ_p1)φ_cⁱⁿ(ｚ_p2))|0＞＜0|Ｔ(φ_cⁱⁿ(ｚ_p3)φ_cⁱⁿ(ｚ_p4))|0＞..＜0|Ｔ(φ_cⁱⁿ(ｚ_pn-1)φ_cⁱⁿ(ｚ_n))|0＞}]のみに着目します。

この項の最後の因子:∑_perm{＜0|Ｔ(φ_cⁱⁿ(ｚ_p1)φ_cⁱⁿ(ｚ_p2))|0＞＜0|Ｔ(φ_cⁱⁿ(ｚ_p3)φ_cⁱⁿ(ｚ_p4))|0＞..＜0|Ｔ(φ_cⁱⁿ(ｚ_pn-1)φ_cⁱⁿ(ｚ_n))|0＞}のうちで,0≦ｓ≦ｎを満たすあるｓを取って,上のｚ_pj-1,ｚ_pj(ｊ＝1,2,..,ｎ)の対の各々について,ｚ_pj-1,ｚ_pjの両方が共に{ｚ₁,ｚ₂,..,ｚ_s}か{ｚ_s+1,ｚ₂,..,ｚ_n}のどちらか一方に属する組み合わせにわたる∑_permの部分和を取り出すことを考えます。

{ｚ₁,ｚ₂,..,ｚ_s}からｐ個を取る組み合わせは_sＣ_p＝ｓ!/{ｐ!(ｓ－ｐ)!}ｓであり,そのｐ個から１個だけ取り出す仕方はｐ通りです。

そして,それら以外の(ｓ－ｐ)個から１個だけ取り出す仕方は(ｓ－ｐ)通りですから,{(－iｇ_a)^s/ｓ!}＜0|Ｔ(φ_aⁱⁿ(ｘ_a)φ_a^＋in(ｙ_a):φ_aⁱⁿ(ｚ₁)φ_a^＋in(ｚ₁)..φ_aⁱⁿ(ｚ_n)φ_a^＋in(ｚ_n):)|0＞^c＝∑_p=1^s[{(－iｇ_a)^s/ｓ!}ｓ!/{(ｐ－1)!(ｓ－ｐ＋1)!}]＜0|Ｔ(φ_aⁱⁿ(ｘ_a)φ_a^＋in(ｚ₁):φ_aⁱⁿ(ｚ₂)φ_a^＋in(ｚ₂):..:φ_aⁱⁿ(ｚ_p)φ_a^＋in(ｚ_p):|0＞^c＜0|Ｔ(φ_aⁱⁿ(ｚ₁)φ_a^＋in(ｚ_p+1)|0＞＜0|Ｔ(φ_aⁱⁿ(ｚ_p+1)φ_a^＋in(ｙ_a):φ_aⁱⁿ(ｚ_p+2)φ_a^＋in(ｚ_p+2):..:φ_aⁱⁿ(ｚ_s)φ_a^＋in(ｚ_s):|0＞^cです。

つまり,∑_p=1^s[{(－iｇ_a)^p-1/(ｐ－1)!}＜0|Ｔ(φ_aⁱⁿ(ｘ_a)φ_a^＋in(ｚ₁):φ_aⁱⁿ(ｚ₂)φ_a^＋in(ｚ₂):..:φ_aⁱⁿ(ｚ_p)φ_a^＋in(ｚ_p):|0＞^c]×[{(－iｇ_a)^s-p＋1/(ｓ－ｐ＋1)!}＜0|Ｔ(φ_aⁱⁿ(ｚ₁)φ_a^＋in(ｚ_p+1)|0＞＜0|Ｔ(φ_aⁱⁿ(ｚ_p+1)φ_a^＋in(ｙ_a):φ_aⁱⁿ(ｚ_p+2)φ_a^＋in(ｚ_p+2):..:φ_aⁱⁿ(ｚ_s)φ_a^＋in(ｚ_s):|0＞^c]ですね。

そして,∑_perm{＜0|Ｔ(φ_cⁱⁿ(ｚ_p1)φ_cⁱⁿ(ｚ_p2))|0＞＜0|Ｔ(φ_cⁱⁿ(ｚ_p3)φ_cⁱⁿ(ｚ_p4))|0＞..＜0|Ｔ(φ_cⁱⁿ(ｚ_pn-1)φ_cⁱⁿ(ｚ_n))|0＞}における各項の伝播関数因子は,そのうちの少なくとも１つは一方の頂点にａの外線を共有し,また一方はｂの外線を共有します。

そこで,ｚ_pj-1,ｚ_pj∈{ｚ₁,ｚ₂,..,ｚ_s}を満たす{ｚ₁,ｚ₂,..,ｚ_s}のみについての∑_permの部分和は,＜0|Ｔ(φ_cⁱⁿ(ｘ_a)φ_cⁱⁿ(ｚ₁))|0＞＜0|Ｔ(φ_cⁱⁿ(ｚ₂)..φ_cⁱⁿ(ｚ_p))|0＞×＜0|Ｔ(φ_cⁱⁿ(ｚ_p+1)φ_cⁱⁿ(ｙ_a)|0＞＜0|Ｔ(φ_cⁱⁿ(ｚ_p+2)..φ_cⁱⁿ(ｚ_s))|0＞に一致するはずです。

したがって,ｎ番目の項に対して0≦ｓ≦ｎなるあらゆるｓの寄与を総和し,さらにｎについてｎ番目の項を全て 0から ∞まで加えて,ｚ₁,ｚ₂,..,ｚ_nのにわたる積分を取ると,部分和は＜0|Ｔ(φ_a(ｘ_a)φ_a^＋(ｙ_a))|0＞＜0|Ｔ(φ_b(ｘ_b)φ_b^＋(ｙ_b))|0＞＝⊿_Fa'(ｘ_a－ｙ_a)⊿_Fb'(ｘ_b－ｙ_b)に一致することがわかります。

次に因子∑_perm{＜0|Ｔ(φ_cⁱⁿ(ｚ_p1)φ_cⁱⁿ(ｚ_p2))|0＞＜0|Ｔ(φ_cⁱⁿ(ｚ_p3)φ_cⁱⁿ(ｚ_p4))|0＞..＜0|Ｔ(φ_cⁱⁿ(ｚ_pn-1)φ_cⁱⁿ(ｚ_n))|0＞}のｚ_pj-1,ｚ_pj(ｊ＝1,2,..,ｎ)の対のうち片方は{ｚ₁,ｚ₂,..,ｚ_s}に,もう片方は{ｚ_s+1,ｚ₂,..,ｚ_n}にそれぞれ別々に属する場合を考えます。

以下,伝播関数の部分と同様な考察をして,この⊿_Fa'(ｘ_a－ｙ_a)⊿_Fb'(ｘ_b－ｙ_b)の伝播関数に連結したＧの残りの部分も分離不可能な既約成分をＩとすれば,Ｇ(ｘ_a,ｘ_b;ｙ_a,ｙ_b)－⊿_Fa'(ｘ_a－ｙ_a)⊿_Fb'(ｘ_b－ｙ_b)＝∫ｄ⁴ｚ₁ｄ⁴ｚ₂ｄ⁴ｗ₁ｄ⁴ｗ₂⊿_Fa'(ｘ_a－ｚ₁)⊿_Fb'(ｘ_b－ｚ₂)Ｉ(ｚ₁,ｚ₂,;ｗ₁,ｗ₂)⊿_Fa'(ｗ₁－ｙ_a)⊿_Fb'(ｗ₂－ｙ_ｂ)＋(1/2)∫ｄ⁴ｚ₁ｄ⁴ｚ₂ｄ⁴ｗ₁ｄ⁴ｗ₂ｄ⁴ｕ₁ｄ⁴ｕ₂ｄ⁴ｖ₁ｄ⁴ｖ₂⊿_Fa'(ｘ_a－ｚ₁)⊿_Fb'(ｘ_b－ｚ₂)Ｉ(ｚ₁,ｚ₂,;ｗ₁,ｗ₂)⊿_Fa'(ｗ₁－ｕ₁)⊿_Fb'(ｗ₂－ｕ₂)Ｉ(ｕ₁,ｕ₂,;ｖ₁,ｖ₂)⊿_Fa'(ｖ₁－ｙ_a)⊿_Fb'(ｖ₂－ｙ_ｂ)＋..となることがわかります。

右辺はさらに,∫ｄ⁴ｚ₁ｄ⁴ｚ₂ｄ⁴ｗ₁ｄ⁴ｗ₂⊿_Fa'(ｘ_a－ｚ₁)⊿_Fb'(ｘ_b－ｚ₂)Ｉ(ｚ₁,ｚ₂,;ｗ₁,ｗ₂)[⊿_Fa'(ｗ₁－ｙ_a)⊿_Fb'(ｗ₂－ｙ_ｂ)＋⊿_Fb’＋ｄ⁴ｕ₁ｄ⁴ｕ₂ｄ⁴ｖ₁ｄ⁴ｖ₂⊿_Fa'(ｗ₁－ｕ₁)⊿_Fb'(ｗ₂－ｕ₂)Ｉ(ｕ₁,ｕ₂,;ｖ₁,ｖ₂)⊿_Fa'(ｖ₁－ｙ_a)⊿_Fb'(ｖ₂－ｙ_ｂ)＋..]となります。

そして,もしもこの右辺の級数が収束するなら,Ｇ(ｘ_a,ｘ_b;ｙ_a,ｙ_b)－⊿_Fa'(ｘ_a－ｙ_a)⊿_Fb'(ｘ_b－ｙ_b)＝∫ｄ⁴ｚ₁ｄ⁴ｚ₂ｄ⁴ｗ₁ｄ⁴ｗ₂⊿_Fa'(ｘ_a－ｚ₁)⊿_Fb'(ｘ_b－ｚ₂)Ｉ(ｚ₁,ｚ₂,;ｗ₁,ｗ₂)Ｇ(ｗ₁,ｗ₂,;ｙ_a,ｙ_ｂ)と書けることを示すことで証明完了というわけですが,数式で具体的に示すのはかなり煩雑なので後は省略します。この摂動近似での展開グラフの図形がはしごに似ているので,こうした展開を"はしご近似"と呼ぶのですね。※

さて,理論は平行移動について不変なので,平行移動の生成子Ｐ^^μが存在して,φ_α(ｘ)＝ exp(iＰ^ｘ)φ_α(0)exp(－iＰ^ｘ),φ_α^＋(ｘ)＝exp(iＰ^ｘ)φ_α^＋(0)exp(－iＰ^ｘ)(α＝ａ,ｂ),φ_c(ｘ)＝ exp(iＰ^ｘ)φ_c(0)exp(－iＰ^ｘ)です。

しかも,Ｐ^^μ|0＞＝0ですから,Ｇ(ｘ_a,ｘ_b;ｙ_a,ｙ_b)＝＜0|Ｔ(φ_a(ｘ_a)φ_b(ｘ_b)φ_a^＋(ｙ_a)φ_b^＋(ｙ_b))|0＞＝＜0|Ｔ(exp(iＰ^ｘ_a)φ_a(0)exp{－iＰ^(ｘ_a－ｘ_b)}φ_b(0)exp{－iＰ^(ｘ_b－ｙ_a)}φ_a^＋(0){iＰ^(－ｙ_a＋ｙ_b)}φ_b^＋(0) exp(－iＰ^ｙ_b))|0＞と書けます。

Ｔ積のあらゆる順序を考慮するとＧ(ｘ_a,ｘ_b;ｙ_a,ｙ_b)はｘ_a－ｘ_b,－ｙ_a＋ｙ_b,ｘ_a－ｙ_a, ｘ_b－ｙ_b,ｘ_a－ｙ_b,ｘ_b－ｙ_aなる全ての座標の差の関数であることがわかります。これらのうちで独立なものを１次結合によって作ります。

ｘ_a－ｘ_b,－ｙ_a＋ｙ_b,η_a(ｘ_a－ｙ_a)＋η_b(ｘ_b－ｙ_b)(η_a,η_bはη_a＋η_b＝1を満たす任意に固定した実定数)なる３変数を取ってみます。

このとき,ｘ_a－ｙ_a＝{η_a(ｘ_a－ｙ_a)＋η_b(ｘ_b－ｙ_b)}＋η_b(ｘ_a－ｘ_b)＋η_b(－ｙ_a＋ｙ_b), ｘ_b－ｙ_b＝{η_a(ｘ_a－ｙ_a)＋η_b(ｘ_b－ｙ_b)}－η_a(ｘ_a－ｘ_b)－η_a(－ｙ_a＋ｙ_b),ｘ_a－ｙ_b＝{η_a(ｘ_a－ｙ_a)＋η_b(ｘ_b－ｙ_b)}＋η_b(ｘ_a－ｘ_b)－η_a(－ｙ_a＋ｙ_b),ｘ_b－ｙ_a＝{η_a(ｘ_a－ｙ_a)＋η_b(ｘ_b－ｙ_b)}－η_a(ｘ_a－ｘ_b)＋η_b(－ｙ_a＋ｙ_b)となって全ての引数はこれら３変数で表現できることがわかります。

そして,これら３変数が独立であることは明らかです。

Ｇ(ｘ_a,ｘ_b;ｙ_a,ｙ_b)同様,Ｉ(ｘ_a,ｘ_b;ｙ_a,ｙ_b)も平行移動不変ですから,やはりｘ_a－ｘ_b,－ｙ_a＋ｙ_b,η_a(ｘ_a－ｙ_a)＋η_b(ｘ_b－ｙ_b)の関数と考えられます。

ここで⊿_Fa'(ｘ_a－ｙ_a)＝(2π)^-4∫ｄ⁴Ｑexp{－iＱ(ｘ_a－ｙ_a)}⊿_Fa'(Ｑ),⊿_Fb'(ｘ_b－ｙ_b)＝(2π)^-4∫ｄ⁴Ｒexp{－iＲ(ｘ_b－ｙ_b)}⊿_Fb'(Ｒ),Ｇ(ｘ_a,ｘ_b;ｙ_a,ｙ_b)＝(2π)^-12∫ｄ⁴ｐｄ⁴ｑｄ⁴Ｐexp{－i(ｐｘ＋ｑｙ＋ＰＸ)}Ｇ(ｐ,ｑ;Ｐ),Ｉ(ｘ_a,ｘ_b;ｙ_a,ｙ_b)＝(2π)^-12∫ｄ⁴ｐｄ⁴ｑｄ⁴Ｐexp{－i(ｐｘ＋ｑｙ＋ＰＸ)}Ｉ(ｐ,ｑ;Ｐ)(ただしｘ≡ｘ_a－ｘ_b,ｙ≡－ｙ_a＋ｙ_b,Ｘ≡η_a(ｘ_a－ｙ_a)＋η_b(ｘ_b－ｙ_b))で,⊿_Fa',⊿_Fb',Ｇ,Iのフーリエ変換⊿_Fa',⊿_Fb',Ｇ,Iを定義します。

これらを積分方程式:Ｇ(ｘ_a,ｘ_b;ｙ_a,ｙ_b)＝⊿_Fa'(ｘ_a－ｙ_a)⊿_Fb'(ｘ_b－ｙ_b)＋∫ｄ⁴ｚ_a∫ｄ⁴ｚ_b∫ｄ⁴ｚ_a'∫ｄ⁴ｚ_b'⊿_Fa'(ｘ_a－ｚ_a)⊿_Fb'(ｘ_b－ｚ_b)Ｉ(ｚ_a,ｚ_b;ｚ_a',ｚ_b')Ｇ(ｚ_a',ｚ_b';ｙ_a,ｙ_b)に代入します。

そうして変形すれば,詳細はあるのですが,結局Ｇ(ｐ,ｑ:Ｐ)＝δ⁴(ｐ－ｑ)⊿_Fa'(η_aＰ＋ｐ)⊿_Fb'(η_bＰ－ｐ)＋⊿_Fa'(η_aＰ＋ｐ)⊿_Fb'(η_bＰ－ｐ)(2π)^-4∫ｄ⁴ｐ'Ｉ(ｐ,ｐ';Ｐ)Ｇ(ｐ',ｑ;Ｐ)を得ます。

そこで,元の積分方程式は,結局[⊿_Fa'(η_aＰ＋ｐ)⊿_Fb'(η_bＰ－ｐ)]^-1Ｇ(ｐ,ｑ:Ｐ)＝δ⁴(ｐ－ｑ)＋(2π)^-4∫ｄ⁴ｐ'Ｉ(ｐ,ｐ';Ｐ)Ｇ(ｐ',ｑ;Ｐ)なる表記と同等になります。

ここで,簡単のためにＫ(ｐ,ｑ;Ｐ)≡[⊿_Fa'(η_aＰ＋ｐ)⊿_Fb'(η_bＰ－ｐ)]^-1δ⁴(ｐ－ｑ)と書き,演算子としての記法であるＡＢ(ｐ,ｑ)＝∫ｄ⁴ｐ'Ａ(ｐ,ｐ')Ｂ(ｐ',ｑ)を用います。

こうすれば,積分方程式の左辺は[⊿_Fa'(η_aＰ＋ｐ)⊿_Fb'(η_bＰ－ｐ)]^-1Ｇ(ｐ,ｑ;Ｐ)＝ＫＧ(ｐ,ｑ;Ｐ),右辺はδ⁴(ｐ－ｑ)＋(2π)^-4∫ｄ⁴ｐ'Ｉ(ｐ,ｐ';Ｐ)Ｇ(ｐ',ｑ;Ｐ)＝∫ｄ⁴ｐ'[δ⁴(ｐ－ｐ')δ⁴(ｐ－ｑ)＋Ｉ(ｐ,ｐ';Ｐ)Ｇ(ｐ',ｑ;Ｐ)]＝(1＋IＧ)(ｐ,ｑ;Ｐ)(ただし,1(ｐ,ｑ)≡δ(ｐ－ｑ))となります。