運動物質内の相対論(12)(熱力学の法則)

運動物質内の相対論の続きです。

今日は相対論における熱力学の記述を考察します。電磁気学ではないので本筋をはずれるようですが記事の最後で"電磁輻射＝光子気体"との関連についても少し述べます。

熱力学の法則を特殊相対性理論に包含することは比較的容易です。

これについてはプランク(Planck)とアインシュタイン(Einstein)の仕事があります。

ここでは簡単のため,考察の対象として物体を構成する部分の如何なる面要素にも応力としては垂直な圧力のみが存在し得るような熱力学的流体のみから成る系に限定します。

まず,静止系では第一法則,第二法則など全ての通常の熱力学の形式が成立することを前提とします。

静止系では,熱力学第一法則によって状態変化を生起させる熱力学的過程での系のエネルギーＥ⁰の変化ｄＥ⁰はｄＥ⁰＝δＱ⁰＋δＡ⁰なる式で与えられます。

δＱ⁰はこの過程で系に流入する熱量,δＡ⁰は系がその周囲になした仕事にマイナス符号を付けたもの,つまり外部環境から系が受ける仕事を示しています。

系の体積Ｖ⁰の増加が無限小であるような過程は可逆過程ですが,この過程ではｐ⁰を圧力とし体積増加をｄＶ⁰とすると系が受ける仕事δＡ⁰はδＡ⁰＝－ｐ⁰ｄＶ⁰で表わされます。

熱力学の第二法則によって静止系ではエントロピーＳ⁰は状態量です。そして可逆変化によって定義されるエントロピー変化の定義はｄＳ⁰≡(δＱ⁰_可逆)/Ｔ⁰＝(ｄＥ⁰＋ｐ⁰ｄＶ⁰)/Ｔ⁰です。

(δＱ⁰_可逆)は今論じている状態変化をもたらす可逆過程で系に流入する熱量であり,Ｔ⁰は系の絶対温度です。

もしも状態変化が不可逆過程で生じたものなら,これに反して常にｄＳ⁰＞δＱ⁰/Ｔ⁰が成立します。

１つの慣性系Ｓを考えます。その慣性系はその座標系に対して対象としている熱力学系が一定速度ｕで走っているように見える系であるとします。

既に「運動物質内の相対論(4)(弾性連続体(2),完全流体)」で見たように,量μ⁰,ｐ⁰,ｕが完全流体のあらゆる位置で一定なら,系Ｓでの運動量密度とエネルギー密度を全体積Ｖ≡Ｖ⁰(1－ｕ²/ｃ²)^1/2にわたって積分することで,運動量Ｇ＝ｇＶとエネルギーＥ＝ｈＶが次のように表わせることを知っています。

　すなわち,運動量はＧ＝ｇＶ＝{(ｈ⁰＋ｐ⁰)Ｖｕ/ｃ²}/(1－ｕ²/ｃ²)＝{(ｈ⁰＋ｐ⁰)Ｖ⁰ｕ/ｃ²}/(1－ｕ²/ｃ²)^1/2＝{(Ｅ⁰＋ｐ⁰Ｖ⁰)ｕ/ｃ²}/(1－ｕ²/ｃ²)^1/2で,エネルギーはＥ＝ｈＶ＝(Ｅ⁰＋ｐ⁰Ｖ⁰ｕ²/ｃ²)/(1－ｕ²/ｃ²)^1/2です。

これを見ると,(Ｅ/ｃ,Ｇ)＝({Ｅ⁰＋ｐ⁰Ｖ⁰ｕ²/ｃ²)/ｃ}/(1－ｕ²/ｃ²)^1/2,{(Ｅ⁰＋ｐ⁰Ｖ⁰)ｕ/ｃ²}/(1－ｕ²/ｃ²)^1/2})はローレンツ共変な４元ベクトルにならないことがわかります。

しかし,Ｇ＝(Ｅ＋ｐＶ)ｕ/ｃ²,Ｅ＋ｐＶ＝(Ｅ⁰＋ｐ⁰Ｖ⁰)/(1－ｕ²/ｃ²)^1/2なので,Ｇ^μ≡(Ｅ/ｃ,Ｇ)ではなくＧ^μ≡((Ｅ＋ｐＶ)/ｃ,Ｇ)とおけば,これらは静止質量が(Ｅ⁰＋ｐ⁰Ｖ⁰)/ｃ²の質点のエネルギー運動量ベクトルと同じですから４元ベクトルです。

今考えている流体は静止系で平衡状態にあるので,そのエネルギー,および運動量は,それぞれＥ＝(Ｅ⁰＋ｐ⁰Ｖ⁰ｕ²/ｃ²)/(1－ｕ²/ｃ²)^1/2,およびＧ＝{(Ｅ⁰＋ｐ⁰Ｖ⁰)ｕ/ｃ²}/(1－ｕ²/ｃ²)^1/2＝(Ｅ＋ｐＶ)ｕ/ｃ²で与えられます。

また,特にＥ＋ｐＶ＝(Ｅ⁰＋ｐ⁰Ｖ⁰)/(1－ｕ²/ｃ²)^1/2です。ただしｐ＝ｐ⁰,Ｖ＝Ｖ⁰(1－ｕ²/ｃ²)ですね。

さて,再び任意の慣性系でこの熱力学系の状態を変える同じ可逆過程を考えます。熱力学の第一法則はエネルギーの保存法則ですから任意の座標系でｄＥ＝δＱ＋δＡと書けるはずです。

しかし,仕事δＡは静止系のときのように－ｐｄＶではありません。なぜなら運動系では速度ｕに伴なう系全体の運動量や運動エネルギー等があるため過程においてそれらに生じる変化をも考慮する必要があるからです。

系の平衡を保つため,つまり速度が物体のいたるところで一定であるためには普通の圧力の他に外力の存在を仮定しなければなりません。

Ｓ系において物体中でｕを一定に保つに必要な力ＦはＦ＝ｄＧ/ｄｔ＝{(ｕ/ｃ²)/(1－ｕ²/ｃ²)^1/2}(ｄ/ｄｔ)(Ｅ⁰＋ｐ⁰Ｖ⁰)です。

そして,右辺は今想定している熱力学過程の間でゼロではないので,物体系の速度ｕが一定に見えるためには,Ｓ系では物体に作用する外力Ｆの存在が必要なのです。

このＦは時間ｄｔに(Ｆｕ)ｄｔ＝ｕｄＧだけ仕事をします。したがって,この系が受ける仕事は全体でδＡ＝－ｐｄＶ＋ｕｄＧとなります。

そこで,Ｅ＝(Ｅ⁰＋ｐ⁰Ｖ⁰ｕ²/ｃ²)/(1－ｕ²/ｃ²)^1/2,Ｇ＝{(Ｅ⁰＋ｐ⁰Ｖ⁰)ｕ/ｃ²}/(1－ｕ²/ｃ²)^1/2によって熱力学の第一法則ｄＥ＝δＱ＋δＡはδＱ＝ｄＥ＋ｐｄＶ－ｕｄＧとなります。

したがって,δＱ＝{ｄＥ⁰＋(ｕ²/ｃ²)ｄ(ｐ⁰Ｖ⁰)－(ｕ²/ｃ²)ｄ(Ｅ⁰＋ｐ⁰Ｖ⁰)}/(1－ｕ²/ｃ²)^1/2＋ｐ⁰ｄＶ⁰(1－ｕ²/ｃ²)^1/2＝(ｄＥ⁰＋ｐ⁰ｄＶ⁰)(1－ｕ²/ｃ²)^1/2なる式を得ます。

静止系では,ｄＥ⁰＝δＱ⁰＋δＡ⁰＝δＱ⁰－ｐ⁰ｄＶ⁰よりδＱ⁰＝ｄＥ⁰＋ｐ⁰ｄＶ⁰ですから,これはδＱ＝δＱ⁰(1－ｕ²/ｃ²)^1/2であること意味します。

さて,任意の座標系でもエントロピーＳと絶対温度Ｔの関係をｄＳ≡(δＱ_可逆)/Ｔで定義します。

ところで,ある特定の座標系に静止している熱力学系を,その内部状態を変えないように,系全体の速度がｕになるまで断熱可逆的に加速すろとき状態量の変化はｄＳ≡(δＱ_可逆)/Ｔを満たします。

断熱ですからこの過程中にはδＱ_可逆＝0 ⇔ ｄＳ＝0 です。つまり,静止系からＳ系に慣性系を乗り換えても,エントロピーは一定のままである必要があります。

つまり,内部状態が一定のとき,この系のエントロピーはその全体としての速度ｕに無関係です。エントロピーはＳ＝Ｓ⁰でローレンツ不変量です。

まあ,早い話,純粋に力学的な回転やブ－ストは可逆過程で,かつ断熱過程なのでエントロピーは変化しないのですね。

というわけで,ｄＳ＝ｄＳ⁰です。ｄＳ≡(δＱ_可逆)/Ｔ,ｄＳ⁰≡(δＱ⁰_可逆)/Ｔ⁰,δＱ＝δＱ⁰(1－ｕ²/ｃ²)^1/2ですから,Ｔ＝Ｔ⁰(1－ｕ²/ｃ²)^1/2なる絶対温度の変換式が得られます。

これは,状態の不可逆的変化が静止系と同じく,あらゆる座標系でｄＳ＞δＱ/Ｔを満たすこととも矛盾しません。

一般的な系でエネルギーと運動量の保存則を微分形式で表現すると,既に閉じていな系の一般論で述べたように,これは∂Ｔ^μν/∂ｘ^ν＝ｆ^μで与えられることがわかっています。

ただし,Ｔ^μνは系のエネルギー運動量テンソルを表わし,ｆ^μは４元力密度を示しています。∂Ｔ^μν/∂ｘ^ν＝ｆ^μは,熱力学においては第一法則そのものを表わしています。

一方,第二法則を４次元形式で表現することも可能です。

エントロピーが加法性を持つことから,エントロピー密度ｓを定義することができます。

エントロピーの変換公式Ｓ＝Ｓ⁰と体積のそれＶ＝Ｖ⁰(1－ｕ²/ｃ²)^1/2から,ｓΔＶ＝ｓ⁰ΔＶ⁰により,容易に密度ｓの変換性を求めることができます。明らかにｓ＝ｓ⁰/(1－ｕ²/ｃ²)^1/2ですね。

さて,無限小時間ｄｔを考えて,この間に微小体積ΔＶに熱量δＱが流入したとします。

このとき,体積ΔＶ内のエントロピー変化ｄＳ＝ｄ(ｓΔＶ)は,クラウジウスの不等式:{ｄ(ｓΔＶ)/ｄｔ}ｄｔ≧δＱ/Ｔを満たすはずです。

ところが,既にｄ(ｓΔＶ)/ｄｔ＝(ｄｓ/ｄｔ)ΔＶ＋ｓ(ｄΔＶ/ｄｔ)＝(∂ｓ/∂ｔ＋ｕgradｓ)ΔＶ＋ｓdivｕΔＶ＝{∂ｓ/∂ｔ＋div(ｓｕ)}ΔＶと書けることを知っています。

そこで,電荷Ｑに対する４元電流密度Ｊ^μと同じように,エントロピーの４元流密度をＳ^μ≡(ｓ,ｓｕ/ｃ)で定義すると,上で得られたｄ(ｓΔＶ)/ｄｔ＝{∂ｓ/∂ｔ＋div(ｓｕ)}により,{ｄ(ｓΔＶ)/ｄｔ}ｄｔ≧δＱ/Ｔは,(∂Ｓ^μ/∂ｘ^μ)ｄ∑≧δＱ/Ｔと書けます。

ただし,ｄ∑≡ｃΔＶｄｔですが,これは４次元の不変体積要素を示しています。

δＱ＝δＱ⁰(1－ｕ²/ｃ²)^1/2,およびＴ＝Ｔ⁰(1－ｕ²/ｃ²)^1/2によってδＱ/Ｔはスカラーですから,結局,第二法則のローレンツ共変な４元形式は(∂Ｓ^μ/∂ｘ^μ)ｄ∑≧δＱ⁰/Ｔ⁰となります。

さて,次にＮ個の単原子分子から成る理想気体を考えます。

これは静止質量がｍ₀の分子の平均の運動エネルギーが静止エネルギーｍ₀ｃ²に比べて小さい場合には静止系でのエネルギーやエントロピー等に関し通例となっている状態方程式がわかっています。

すなわち,ｋ_BＴ⁰/ｍ₀ｃ²＜＜１のとき,理想気体の状態方程式はｐ⁰Ｖ⁰＝Ｎｋ_BＴ⁰です。ｋ_Bはボルツマン定数(Boltzmann constant)です。

静止系での気体の総エネルギーはＥ⁰＝Ｎｍ₀ｃ²＋(3/2)Ｎｋ_BＴ⁰です。Ｅ⁰はＴ⁰＝0 のときにエネルギーＥ⁰が分子の静止エネルギーとなるように規格化されています。

これとｐ⁰Ｖ⁰＝Ｎｋ_BＴ⁰,およびｄＳ⁰＝(ｄＥ⁰＋ｐ⁰ｄＶ⁰)/Ｔ⁰からｄＳ⁰＝(3/2)Ｎｋ_BｄＴ⁰/Ｔ⁰＋Ｎｋ_BｄＶ⁰/Ｖ⁰と書けます。

これを積分すると静止系でのエントロピーの表式は良く知られたＳ⁰＝(3/2)Ｎｋ_BlnＴ⁰＋Ｎｋ_BlnＶ⁰＋Ｃという形になります。なお,右辺のＣはＴ⁰,Ｖ⁰に依らない積分定数です。

この理想気体の系が一定の巨視的速度ｕを持つように見える座標系においても,ｐ＝ｐ⁰,Ｖ＝Ｖ⁰(1－ｕ²/ｃ²),Ｔ＝Ｔ⁰(1－ｕ²/ｃ²)ですからｐ⁰Ｖ⁰＝Ｎｋ_BＴ⁰はそのままｐＶ＝Ｎｋ_BＴを意味します。

よって,気体の状態方程式の形は慣性座標系によらず不変であるとわかります。

一方,既に見たようにＥ＝(Ｅ⁰＋ｐ⁰Ｖ⁰ｕ²/ｃ²)/(1－ｕ²/ｃ²)^1/2,Ｇ＝{(Ｅ⁰＋ｐ⁰Ｖ⁰)ｕ/ｃ²}/(1－ｕ²/ｃ²)^1/2＝(Ｅ＋ｐＶ)ｕ/ｃです。

それ故,Ｅ＝Ｎｍ₀ｃ²/(1－ｕ²/ｃ²)^1/2＋(3/2＋ｕ²/ｃ²)Ｎｋ_BＴ/(1－ｕ²/ｃ²),Ｇ＝Ｎｍ₀ｕ/(1－ｕ²/ｃ²)^1/2＋(5/2)Ｎｋ_BＴｕ/(ｃ²－ｕ²),Ｓ＝(3/2)Ｎｋ_BlnＴ＋Ｎｋ_BlnＶ－(5/2)Ｎｋ_Bln(1－ｕ²/ｃ²)^1/2＋Ｃ,なる変換のセットを得ます。

既に過去記事で述べたように,完全流体のエネルギー運動量テンソルはＴ^μν＝(μ⁰＋ｐ⁰/ｃ²)Ｕ^νＵ^ν－ｐ⁰η^μνで与えられることがわかっています。

ただしμ⁰＝Ｅ⁰/(ｃ²Ｖ⁰)＝ｎ⁰{ｍ⁰＋＋(3/2)ｋ_BＴ⁰/ｃ²}は静止系での密度で圧力はｐ⁰＝ｎ⁰ｋ_BＴ⁰を満たします。ｎ⁰≡Ｎ⁰/Ｖ⁰は静止系での分子数密度です。

したがって,静止系での圧力ｐ⁰,密度μ⁰,温度Ｔ⁰の間にはｐ⁰＝μ⁰ｋ_BＴ⁰/{ｍ⁰＋＋(3/2)ｋ_BＴ⁰/ｃ²}なる関係があることがわかります。

　最後に黒体輻射の話をします。

空洞内に閉じ込められて空洞の壁とある温度で平衡状態にある電磁輻射は完全流体として扱うことができます。

空洞の壁が静止している座標系では"電磁輻射＝光子気体"の巨視的な流れはいたるところゼロです。つまり統計熱力学の対象としては輻射される電磁波の統計平均としての速度は静止系では方向性がないのでゼロなのですね。 

そして,輻射のエネルギー密度ｈ⁰はステファン・ボルツマン(Stefan-Boltzmann)の法則によって,ｈ⁰＝ａ(Ｔ⁰)⁴で与えられます。

ただし,ａはステファン・ボルツマン係数でａ～7.6237×10^-15 erg/(cm³.ｄeg⁴)です。密度ｈ⁰は空洞の体積によらない量です。

また,面に垂直に及ぼされる輻射圧は,ｐ⁰＝ｈ⁰/3＝ａ(Ｔ⁰)⁴/3＝μ⁰ｃ²/3で与えられます。

また,輻射の全エネルギーＥ⁰はＥ⁰＝ｈ⁰Ｖ⁰＝ａＶ⁰(Ｔ⁰)⁴と表わされるので,ｄＳ⁰＝(ｄＥ⁰＋ｐ⁰ｄＶ⁰)/Ｔ⁰に代入すると,ｄＳ⁰＝4ａＶ⁰(Ｔ⁰)²ｄＴ⁰＋(4ａ/3)(Ｔ⁰)³ｄＶ⁰＝(4ａ/3)ｄ{Ｖ⁰(Ｔ⁰)³}を得ます。

そこで,これを積分してＶ⁰＝0,Ｔ⁰＝0ではＳ⁰＝0 となるように,積分定数を選べば,Ｓ⁰＝(4/3)ａＶ⁰(Ｔ⁰)³が得られます。

したがって,この空洞容器の固定された系が速度ｕで運動しているように見える座標系では,Ｅ＝(Ｅ⁰＋ｐ⁰Ｖ⁰ｕ²/ｃ²)/(1－ｕ²/ｃ²)^1/2＝ａＶ⁰(Ｔ⁰)⁴{1＋(1/3)(ｕ²/ｃ²)}/(1－ｕ²/ｃ²)^1/2＝ａＶＴ⁴{1＋(1/3)(ｕ²/ｃ²)}/(1－ｕ²/ｃ²)です。

また,Ｇ＝{(Ｅ⁰＋ｐ⁰Ｖ⁰)ｕ/ｃ²}/(1－ｕ²/ｃ²)^1/2＝{(4/3)ａＶ⁰(Ｔ⁰)⁴ｕ/ｃ²}/(1－ｕ²/ｃ²)^1/2となります。

エントロピーはスカラーなので,Ｓ＝Ｓ⁰＝(4/3)ａＶ⁰(Ｔ⁰)³＝(4/3)ａＶＴ³/(1－ｕ²/ｃ²)³ですね。

そこで,この輻射のエネルギーＥと運動量Ｇを,Ｅ⁰,ｕの関係として表わせばＥ＝Ｅ⁰{1＋(1/3)(ｕ²/ｃ²)}/(1－ｕ²/ｃ²)^1/2,Ｇ＝{(4/3)Ｅ⁰/ｃ²}/(1－ｕ²/ｃ²)^1/2となります。

これらは前に古典電子模型として論じた球対称な静電系の運動系での表式と完全に一致しています。これで,取り合えず,熱物理学の話と電磁気学の話が結びつきました。

今日はここで終わります。 

参考文献：メラー 著(永田恒夫,伊藤大介 訳)「相対性理論」(みすず書房)

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