運動物質内の相対論(15)(物質中の電磁エネルギー運動量;後編): TOSHIの宇宙

2009年1月15日 (木)

運動物質内の相対論(15)(物質中の電磁エネルギー運動量;後編)

　続きです。このシリーズはとうとう今日で終わりです。

まず,あらゆる表現形式が同等(対等)であることの実際的証明が与えられるまでの歴史から紹介します。

1960年代の終わりまでに,テンソルの対称性,つまり運動量,角運動量の保存への物質場のテンソルの役割に大いに着目し,電磁場テンソルと物質場テンソルの新しい対を求めて発展させることを念頭においた研究が次々とありました。

やがて,PenfieldとHausは1967年に,幾つかの異なる電磁理論の定式化は等価であると考え,これをテストするための彼らのいわゆる"仮想的力の原理(Principles of Virtual Power)"なる定式化を道具として,この考えをさらに進めました。

さらに1972年のde GrootとSuttorpもまた,物質場のテンソルの重要な役割に着目し,エネルギー運動量の保存則は元々閉じた熱力学系でのみ適用可能な法則であることを認識したモデルを展開しました。

しかし,電磁場と物質場の和で与えられる総エネルギー運動量テンソルの正しい形についてはPenfieldとHausには賛同しませんでした。

しかし,この食い違いは直接的に,Abraham,Minkowski論争に対応するテンソルの差異によって生じたものではなく,電磁波が存在する際の物質の挙動に関して全体としてなされた仮定の違いによるものでした。

de GrootとSuttorpは彼らの表現式が媒質の微視的性質の考察から演繹されたものであるとして,自らの表現式の優位性を主張しました。

しかしながら,この２種の総エネルギー運動量テンソルの表現形式については,実験による比較検証はなされていません。

さて,少しの間,総エネルギー運動量テンソルの正しい形がどうなるかについては忘れて,これの具体的な形そのものとは無関係に物質の挙動について我々の提案するモデル化が,これまで提案されてきた種々の異なる形式を識別するために役立つということを証明します。

まず,適当に採択された閉じた系の総エネルギー運動量テンソルをＴ^μνと記すると,この系では線運動量も角運動量も保存するので,

∂Ｔ^μν/∂ｘ^ν＝0,かつＴ^μν＝Ｔ^νμが成立します。

これらをより馴染み深い形式で書くなら,エネルギー保存の連続方程式:

∂ｇ⁰/∂ｔ＋∂Ｔ^0j/∂ｘ^j＝0 ,および,線運動量保存の連続方程式:

∂ｇⁱ/∂ｔ－∂ｔ^ij/∂ｘ^j＝0 の形になります。

ここに,ｇ^μは４元総運動量密度でｇ^μ≡Ｔ^μ0/ｃで定義され,また

ｔ^ij≡－Ｔ^ijはMaxwellの応力テンソルです。

特に,ｈ≡ｃｇ⁰＝Ｔ⁰⁰はエネルギー密度で,

Ｓ^j≡ｃＴ^0jはエネルギー流束です。

つまり,Ｓはポインティングベクトル(Poynting vector)Ｅ×Ｈで,

ｇ^μのうち,成分がｇⁱ＝Ｔⁱ⁰/ｃ(ｉ＝1,2,3)の３次元ベクトル:

ｇは総運動量密度です。

(ｇ⁰,ｇ)は,４元ベクトルであろうことを意識しています。

総エネルギー運動量テンソルを表わす行列:(Ｔ^μν)は,

μ＝0 に対応する１行目の成分が(ｇ⁰,Ｔ^0j)(ｊ＝1,2,3)で,

その下のｉ＝2,3,4行目は,(ｃｇⁱ,－ｔ^ij))(ｊ＝1,2,3)

となります。

故に,成分がｇ'^j≡Ｔ^0j/ｃ(ｊ＝1,2,3)の３次元ベクトルｇ'を定義すると,行列:(Ｔ^μν)の１行目成分は,(ｇ⁰,ｃｇ'^j)とも書けますが,閉じた系のエネルギー運動量テンソルは対称であるべき(角運動量保存):Ｔ^μν＝Ｔ^νμという要求から,ｇ'＝ｇとなります。

結局,(Ｔ^μν)は,１行目が(ｇ⁰,ｃｇ^j),その下の行が,(ｃｇⁱ,－ｔ^ij)の行列となります。

そして,総テンソルＴ^μνを電磁場テンソルと物質場テンソルの和として,

Ｔ^μν＝Ｔ_EM^μν＋Ｔ_mat^μνと表わせば,条件:∂Ｔ^μν/∂ｘ^ν＝0,

かつ,Ｔ^μν＝Ｔ^νμは,∂(Ｔ_EM^μν＋Ｔ_mat^μν)/∂ｘ^ν＝0,

かつＴ_EM^μν＋Ｔ_mat^μν＝Ｔ_EM^νμ＋Ｔ_mat^νμと書けます。

これはｇ⁰＝ｇ_EM⁰＋ｇ_mat⁰,ｇ＝ｇ_EM＋ｇ_mat,ｔ＝ｔ_EM＋ｔ_mat

と表記すると,

エネルギー保存の連続方程式の分割:

∂(ｇ_EM⁰＋ｇ_mat⁰)/∂ｔ＋∂(Ｔ_EM^0j＋Ｔ_mat^0j)/∂ｘ^j＝0 ,および

線運動量保存の連続方程式の分割:

∂(ｇ_EMⁱ＋ｇ_matⁱ)/∂ｔ－∂(ｔ_EM^ij＋ｔ_mat^ij)/∂ｘ^j＝0

になります。

再び,ｇ'^j≡Ｔ^0j/ｃとおけば,行列(Ｔ^μν)＝(Ｔ_EM^μν＋Ｔ_mat^μν)

なる分割は,

(ｃｇ⁰,ｃｇ'^j)＝(ｇ_EM⁰＋ｇ_mat⁰,ｃｇ'^j),および　

(ｃｇⁱ,－ｔ^ij)＝(ｃ(ｇ_EMⁱ＋ｇ_matⁱ),－(ｔ_EM^ij＋ｔ_mat^ij))

を意味します。

しかし,ｇ＝ｇ_EM＋ｇ_mat同様,ｇ'＝ｇ_EM'＋ｇ_mat'なる分割も可能です。

しかも,ｇ'＝ｇなのでｇ＝ｇ_EM'＋ｇ_mat'と書くこともできます。

そして,Abrahamのテンソルのように電磁場テンソル:Ｔ_EM^μνが対称テンソルなら,物質場テンソルＴ_mat^μνも対称なので,

ｇ_EM'＝ｇ_EM,かつｇ_mat'＝ｇ_matが従います。

しかし,Minkowskiテンソルの場合にはｇ_EM＝Ｄ×Ｂで一方,

ｇ_EM'＝ｃ^-2Ｅ×Ｈですから,真空中でない限りは,

ｇ_EM'≠ｇ_EMとなります。

Minkowskiテンソルが用いられる際には,

ｇ＝ｇ_EM＋ｇ_mat,ｔ＝ｔ_EM＋ｔ_matの右辺のうちの物質場成分:

ｇ_mat,ｔ_matは安全に無視できるとして切り捨てられることが

多いのですが,

Minkowskiテンソルの下では,一般にｇ_EM'≠ｇ_EMなので,

電磁場単独では角運動量は保存されません。

物質場の成分の存在を正しく認識しなかったことが,

Minkowskiテンソルが,ときには批判的に受け取られた

理由の１つでした。

歴史的には,MinkowskiのテンソルもAbrahamのテンソルも,

電磁場テンソルと物質場テンソルのマッチした対という形で

提案されたわけではありません。

Abrahamのテンソルへの対応する物質場の片割れは,

1954年に初めてJonesとRichardsによって提案されました。

一方,Minkowskiのテンソルは,1968年のJamesと1975年のWalkerら

の実験結果を説明するという目的で1970年代になされた理論的再評価

(de Groot and Suttorp(1972):Israel(1977);Mikura(1976))を通して,

対応する物質場の片割れを初めて獲得しました。

こうして,その後も時と共にMinkowskiとAbrahamのテンソルを区別する

という主旨の実験が数多く行われ,その度に２,３年後には反証される

ということが繰り返されてきたのですが,今やその理由を説明する

ことができます。

簡単のため,総エネルギー運動量テンソル:Ｔ^μν＝Ｔ_EM^μν＋Ｔ_mat^μν

についての式:∂Ｔ^μν/∂ｘ^ν＝0,かつＴ^μν＝Ｔ^νμを取り上げて

考察してみます。

どんな実験もエネルギー運動量テンソル全体については敏感ですが,

角運動量や線運動量については,あまり敏感ではありません。

そこで,任意に与えられた実験においてＴ_X^μνを実験結果には意味のある

効果を与えない物質場のエネルギー運動量テンソルの部分項として,

Ｔ_mat'^μν≡Ｔ_mat^μν－Ｔ_X^μνによって新しい物質場テンソル:

Ｔ_mat'^μνを定義します。

実験における挙動の予測において,このＴ_mat'^μνをＴ_mat^μνの代わりに

使用するとき,ある実験では前のＴ_mat^μνを用いた場合と同じく,なお

"正しい"結果が得られることもあり,また別の実験ではそうではない

ということが有り得ます。

これを描写するため,Minkowskiの電磁テンソルを考察してみます。

一般に,このテンソルは孤立して物質場は無いＴ_mat'^μν≡0 として,

単独で用いられることが多いのですが,Minkowskiの電磁テンソル:

Ｔ_EM^μνは非対称なので,

Ｔ_mat'^μν≡Ｔ_mat^μν－Ｔ_X^μν,および

Ｔ_EM^μν＋Ｔ_mat^μν＝Ｔ_EM^νμ＋Ｔ_mat^νμよりＴ_X^μνなる項も,

また非対称であると結論されます。

そのため,Minkowskiの電磁エネルギー運動量テンソルは直線型の実験では大いにうまくいきましたが,単独では回転的実験を正しく説明できませんでした。

これは,対応する物質場テンソルを無視したためであると推測されます。

こうしてMinkowskiの電磁テンソルではＴ_mat'^μν≡ Ｔ_mat^μν－Ｔ_X^μν

なる変換が直線型の実験では前と同じ結果になり,回転的実験では

そうではないということで,

ある実験では,前のＴ_mat^μνを用いた場合と同じ結果が得られることも

あり,また別の実験ではそうではないということが有り得るという事実

の典型例になっています。

個々に与えられた電磁場と物質場のテンソルの対は,何らかの失敗が生じるまでは広い範囲の実験にわたってうまくいきますが,そのうち生じる失敗はそれまでの実験では導入されていなかった新しい相互作用の結果として起こり得ることになります。

それ故,Ｔ_X^μνはこれまでの実験には影響しない新しい項として記述されるわけです。

多くの場合,実験は電磁エネルギー運動量テンソルの１つが非正当であるという言明を引き起こしますが,必ず適切な項が見つかって,それに対応する物質場のテンソルに加えると,新しく正しく修正された物質場のテンソルにより該当する電磁場テンソルの非正当性は覆されます。

その結果,物質場に必要な項を付加すれば,正当でないとされたどんな電磁場テンソルも救済されます。

AbrahamのテンソルもMinkowskiのテンソルも,一般に電磁圧の効果が組み込まれたケースでは用いることはできません。

結局,AbrahamとMinkowskiの電磁エネルギー運動量テンソルの等価性の実際的で明解な立証は1973年にGordonによって遂行されました。

彼の証明は,AshkinとDziedzicの実験に反応してなされたものです。

彼は,電磁場テンソルに沿って進む物質場テンソルに関連した成分は,その媒質の音速で伝播すること,そしてDziedzicの実験における光学的パルスは流体内の圧力が平衡値に達するのに充分なほど長く,

それ故,圧力のような純粋に物質的な効果をも考慮に入れる必要があることを立証しました。

それから,彼は任意の輻射パルスが空気と流体の境界を横切る際にAbrahamとMinkowskiの電磁エネルギー運動量テンソルの両方が同じ挙動を予測することを示しました。

全ての実在物体はある程度まで変形可能であり,Gordonの証明の中で考慮されている効果に類似した手順での張力や圧力の伝達を許します。

そこで,Gordonの証明は履歴現象のような散逸効果が無視できるほど十分変形が小さいような任意の等方的な誘電媒体に容易に一般化され,また,より大きい変形や非等方的なケースにも外挿できる可能性を有しています。

また,非一様な誘電物質についても,それらを無限小の一様な塊へと分解することによって,結局一様媒質と同様に扱うことができます。

Gordonの仕事は,やがてPeierls(1976,1977)によって弾性的な固体中の有限幅の光子ビームにも適用できるように拡張されて,いくつかの興味深い結果に結びつきました。

もっとも,後にRobinson(1975)は,Gordonの結果は比誘電率が１に近いような物質に対してのみ有効であるという限界性を指摘しました。

また,誘電媒質の変形可能性がGordonのアプローチにとって根本的なことですから剛体的な誘電体を扱う際には不適切になる障害もあるようです。

さて,1972年のde Groot and Suttorpの仕事は,その内部で電磁エネルギー運動量テンソルの異なる選択の等価性の証明となるべき理論的枠組みを与えました。

特に,AbrahamとMinkowskiのような特別な電磁エネルギー運動量テンソルを普通に用いるときについて,これを具体的に陽に示すという主旨の論題については少しの間,論争を滞らせました。

しかし,すぐにMikra(1976),Kranys~(1979,1982)がAbrahamのテンソルとMinkowskiのテンソルの等価性の短い証明を与えました。

彼らはPenfieldとHausの仕事もde Grootと Suttorpの仕事も知らないで独自に研究したようでした。

そのうち,Mikra(1976)の論文は,読みやすく数式的に詳しいものです。

それからも,色々あったようですが,結局「総エネルギー運動量とは,そもそも何物か？」という新しくてはっきりとした疑問も生まれました。

「あらゆる環境で我々の必要性に仕する総エネルギー運動量の単一の表現が存在し,それを書き下すことが可能だろうか？」という疑問です。

しかし,生憎そうした万能の表現を見出すことに関する答はノーです。

でも幸いなことに,多くの環境では媒質中の物性の完全なる理解が要求されるわけではありません。

　1976年に,Mikuraは非粘性,圧縮性,非分散性,分極性を持ち,磁化可能な等方性流体の総エネルギー運動量テンソルの１つの理想化された形式を導出しました。

　彼の論文には電磁圧も音波も含まれています。

　論文の後の方では,大抵の環境では簡単のためこれらの項は省略されていますが,全体の表現では全てが明記されています。

　以下,Mikraの導出したエネルギー運動量テンソルを,ここで用いている単位系に修正して紹介します。

　まず,総エネルギー運動量テンソルの成分Ｔ^μνを様々な部分系の成分の和として,Ｔ^μν＝Ｔ_(m)^μν＋Ｔ_(f)^μν＋Ｔ_(P)^μν＋Ｔ_(M)^μν＋Ｔ_(d)^μν

と書きます。

　ここに,

　Ｔ_(m)^μν＝(ρ₀ｃ²＋ρ₀ε_i)ｕ^μｕ^ν＋φ(ｕ^μｕ^ν＋δ^μν),

　Ｔ_(f)^μν＝ε₀ｃ²{Ｆ^μλＦ^ν_λ－(1/4)Ｆ²_λσδ^μν},

　Ｔ_(P)^μν＝α^-1{Ｐ^μλＰ^ν_λ－(1/4)Ｐ²_λσδ^μν},

　Ｔ_(M)^μν＝－Ｆ^μλＭ^*ν_λ－(1/4)β^-1Ｍ²_λσδ^μν,

　Ｔ_(d)^μν＝β^-1Ｍ^μλＭ^ν_λ＋Ｆ^*μλＭ^ν_λ

です。

　ただし,Ｘ²_λσなる表現は,実は添字λ,σには無関係なスカラー

　Ｘ²_λσ≡Ｘ^λσＸ_λσを表わし,Ｘ^*μνはＸ^*μν≡(1/2)ε^μνλσＸ_λσ

で定義されるＸ^μνに双対な,または対偶のテンソルです。

　なお,ε^μνλσはLevi-Civitaの記号です。

　上記テンソルの内訳としては,Ｔ_(m)^μνが機械的な流体の流れ,

　電気圧,磁気圧による項から成るもの,Ｔ_(ｆ)^μνが自由空間での

　電磁場と同等な項からなるもの,Ｔ_(P)^μνが媒体物質の分極に関連

　した項から成るもの,

　そして,Ｔ_(M)^μνとＴ_(d)^μνが磁化に関連した項から成るものです。

　Ｔ_(d)^μνは,続いて行なうAbrahamとMinkowskiの電磁エネルギー運動量テンソルの導出を容易にするために,Ｔ_(M)^μνから分離させられた項です。

　ただし,ρ₀は局所静止系での物質密度,ｕ^μは局所媒質要素の４元速度

　です。

　また,ε_iは非電磁的性質を持つ比内部エネルギーで,それはρ₀と

　比弾性エントロピーｓ_iの関数です。

　αとβは,α≡ε－ε₀,β≡μ₀^-1－μ^-1によって電気定数ε,ε₀,

　磁気定数μ,μ₀に関係付けられる量です。

　δ^μνは,もちろんKroneckerのデルタ記号です。

　さらに,φ≡φ_h－(1/4)Ｋ_aＰ²_λσ＋(1/4)Ｋ_bＭ²_λσです。

　ただし,Ｋ_a≡ρ₀{∂(1/α)/∂ρ₀}|_s,Ｋ_b≡ρ₀{∂(1/β)/∂ρ₀}|_sです。

　そして,φ_hは流体の総静水圧を表わすもので,これは

　φ_h＝ρ₀²(∂ε_i/∂ρ₀)で与えられます。

電磁場関連の項について,Ｆ^μνは普通の電磁場のテンソルです。

そして,分極テンソルＰ^μνと磁化テンソルＭ^μνは,それぞれ与えられた

座標系での３次元の分極ベクトルＰ,および磁化ベクトルＭに,次のよう

に関連付けられたものです。

すなわち,Ｐ^μν≡(1/ｃ)(ｖ^μＰ^ν－ｖ^νＰ^μ),

Ｍ^μν≡(1/ｃ)(ｖ^μＭ^ν－ｖ^νＭ^μ)です。

ただしｖ⁰＝ｃ,Ｐ⁰＝Ｍ⁰＝0 としています。

分極ベクトルＰと磁化ベクトルＭは,電磁場の強さを示すＥ,Ｂ,Ｄ,

Ｈ (Ｄ＝εＥ,Ｂ＝μＨ)と,相対論的関係式:

Ｄ＝ε₀Ｅ＋Ｐ＋(ｖ/ｃ)×Ｍ,Ｈ＝Ｂ/μ₀－Ｍ＋(ｖ/ｃ)×Ｐ

によって関係付けられる量です。

このテンソル表現によれば,総運動量ｇと応力テンソルｔは

ｇⁱ≡Ｔⁱ⁰/ｃ,ｔ^ij≡－Ｔ^ijにより,

ｇ＝{ρ₀(ｃ²＋ρ₀ε_i)＋φ}γ²ｖ/ｃ＋ε₀Ｅ×Ｂ＋ｃ^-2α^-1Ｐ×(ｖ×Ｐ)＋ｃ^-2β^-1Ｍ×(ｖ×Ｍ)－ｃ^-2Ｂ×(ｖ×Ｍ)＋ｃ^-2Ｅ×Ｍ,

および,

ｔ＝－ρ₀(ｃ²＋ε_i)ｃ^-2γ²ｖ∧ｖ＋φ(ｃ^-2γ²ｖ∧ｖ＋Ｉ)

＋ε₀Ｅ∧Ｅ＋μ₀^-1Ｂ∧Ｂ－(1/2)(ε₀Ｅ²＋μ₀^-1Ｂ²)Ｉ

＋α^-1[Ｐ∧Ｐ＋ｃ^-2(ｖ×Ｐ)∧(ｖ×Ｐ)

－(1/2){ｃ^-2(ｖ×Ｐ)²－Ｐ²}Ｉ]＋β^-1[Ｍ∧Ｍ

＋ｃ^-2(ｖ×Ｍ)∧(ｖ×Ｍ)－(1/2){ｃ^-2(ｖ×Ｍ)²－Ｍ²}Ｉ]

－Ｂ∧Ｍ－Ｍ∧Ｂ＋ｃ^-2Ｅ∧(ｖ×Ｍ)

＋ｃ^-2(ｖ×Ｍ)∧Ｅ＋{ｃ^-2Ｅ(ｖ×Ｍ)－ＢＭ}Ｉ

となります。

ここで,ｘ∧ｙなる記号は,(ｘ∧ｙ)^ij＝ｘⁱｙ^jなるテンソル積を

意味します。またＩ^ij＝δ^ijです。

あらゆる場の成分にわたるtrace(対角和)はゼロなので,

場は質量ゼロの光子の場と比較できる意味を持ちます。

Mikuraに従って,上記の総エネルギー運動量テンソルＴ^μνを,

Abrahamの表現とMinkowskiの表現のそれぞれについて,

電磁場テンソル:Ｔ_EM^μνと物質場テンソル:Ｔ_mat^μνの対に

分解します。

分解というのは,Ｔ^μν＝Ｔ_EM^μν＋Ｔ_mat^μνです。

　まず,Abrahamでは単にＴ_mat,Abr^μν＝Ｔ_(m)^μν,

　Ｔ_EM,Abr^μν＝Ｔ_(f)^μν＋Ｔ_(P)^μν＋Ｔ_(M)^μν＋Ｔ_(d)^μν

です。

　Minkowskiによる表現を求めるために,

　Ｃ^μν≡α^-1Ｐ^μλＰ^ν_λ－Ｆ^μλＰ^ν_λなるテンソルを定義すると,

　Ｔ_mat,Mink^μν＝Ｔ_(m)^μν＋Ｔ_(d)^μν＋Ｃ^μν,

　Ｔ_EM,Mink^μν＝Ｔ_(f)^μν＋Ｔ_(P)^μν＋Ｔ_(M)^μν－Ｃ^μν

となります。

これらは非相対論的極限では次のように書くことができて,

電磁場のテンソルとして馴染み深い表現になります。

すなわち,Abraham電磁場テンソルの行列:(Ｔ_EM,Abr^μν)は,

１行目が((1/2)(ＥＤ＋ＨＢ),ｃ^-1Ｅ×Ｈ),その下の2,3,4行目は

(ｃ^-1Ｅ×Ｈ,－Ｅ∧Ｄ－Ｈ∧Ｂ＋(1/2)(ＥＤ＋ＨＢ)Ｉ)です。

Minkowski電磁場テンソルの行列(Ｔ_EM,Abr^μν)は,１行目は

Abrahamと同じく((1/2)(ＥＤ＋ＨＢ),ｃ^-1Ｅ×Ｈ)ですが,

その下の行は(ｃＤ×Ｂ,－Ｅ∧Ｄ－Ｈ∧Ｂ＋(1/2)(ＥＤ＋ＨＢ)Ｉ)

となります。

ちなみに,物質場テンソルも同じように表現すると,Abrahamの表現での

物質場テンソルの行列(Ｔ_mat,Abr^μν)は,１行目が

(ρ₀(ｃ²＋ε_i),ρ₀ｃｖ),2,3,4行目は(ρ₀ｃｖ,ρ₀ｖ∧ｖ＋φＩ)

です。

一方Minkowskiの表現では,行列(Ｔ_EM,Abr^μν)は１行目は,

Abrahamと同じく(ρ₀(ｃ²＋ε_i),ρ₀ｃｖ),その下の行は

(ρ₀ｃｖ－ｃＤ×Ｂ＋ｃ^-1Ｅ×Ｈ,ρ₀ｖ∧ｖ＋φＩ)

です。

このように陽な表現にすると,Minkowskiの物質場テンソルから

Abrahamの力が生起するのは明らかです。

今や,群速度の変化に付随した屈折率ｎ_gの一様な誘電体物質の塊に総運動量ｐと体積Ｖを持つ光の波束が入射する,という典型的な例について考察することが可能になりました。

これまで媒質を構成する物質を真空ではないことを総称する意味で常に

誘電体と呼んできました。

しかし,ここでは構成物質は磁性体ですが,誘電体ではない:

ε_r≡ε/ε₀＝1,μ_r≡μ/μ₀≠1であると仮定します。

こう仮定しても一般性が失われることはありません。

この物質中では光の波束の群速度はｃ/ｎ_gです。

一方,これに伴って波束の全体積もＶからＶ/ｎ_gに減少し,総運動量はｐのまま保存されますから入射前の波束の自由空間での総運動量密度をｇ_fと書けば誘電体物質中での総運動量密度はｇ＝ｎ_gｇ_fとなります。

ところが,自由真空での電場をＥ,磁束密度をＢ＝μ₀Ｈとすると,自由真空での運動量密度はｇ_f＝ｃ^-2Ｅ×Ｈ＝ｃ^-2μ₀^-1Ｅ×Ｂです。

そして,今は媒体物質は磁性体ですが誘電体ではないと仮定しているので,電場Ｅはこの物質内でも自由真空内と同じであるはずです。

また,真空中であるか物質中であるかを問わず,常にdivＢ＝0 が成立するので,Ｂは真空と物質の境界で連続ですから,磁束密度Ｂについても物質中のそれは自由真空と同じです。

ただ,磁束密度Ｂと磁場Ｈとの関係が物質中の量による表現では

Ｂ＝μ₀ＨからＢ＝μＨに変わるだけです。

つまり,電場Ｅ,磁束密度Ｂは自由空間でも物質内でも同じなので,

真空中の量であるか,物質中の量であるかは関係ないのですが,

磁場Ｈのみは改めて物質中の磁場であると考えると,

自由真空での運動量密度は,

ｇ_f＝ｃ^-2μ₀^-1Ｅ×Ｂ＝ｃ^-2(μ/μ₀)Ｅ×Ｈと書き直されます。

それ故,Abrahamの表現での物質中の電磁運動量密度は,

ｇ_EM,Abr＝ｃ^-2Ｅ×Ｈ＝ｇ_f/μ_r＝(μ₀/μ)ｇ_fと書けるわけです。

このことから,総運動量密度がｇ＝ｎ_gｇ_fであるためには電磁運動量密度

ｇ_EM,Abrに伴なう物質場の運動量密度がｇ_mat,Abr＝(ｎ_g－μ₀/μ)ｇ_fとなることが必要です。

これを先のAbrahamの物質場テンソルを示す行列(Ｔ_mat,Abr^μν)での2,3,4行目の表現(ｃｇ_mat,Abr,－ｔ_mat,Abr)＝(ρ₀ｃｖ,ρ₀ｖ∧ｖ＋φＩ)と比較すると,ｇ_mat,Abr＝ρ₀ｖ＝(ｎ_g－μ₀/μ)ｇ_fなる式が成立する必要があるとわかります。

以上から,結局,電磁流体媒質の速度ｖがｇ_mat,Abr＝ρ₀ｖ

＝ｃ^-2(μｎ_g/μ₀－1)(Ｅ×Ｈ)なる式を満たすべきであるという

関係を得ることができました。

この表式によれば,物質が非分散性の場合,つまりこの磁性体媒質の透磁率μが光の色または光波の振動数には依らずｎ_g＝ｎ＝(μ/μ₀)^1/2を満たす場合なら,上の等式から得られる物質速度ｖがMinkowskiの表現でのテンソル対から得られるそれと一致することがわかります。

つまり,この磁性体媒質ではε＝ε₀よりｃ^-1＝(ε₀μ₀)^1/2＝(εμ₀)^1/2な

ので,Minkowskiの運動量密度の表現ｇ_mat,MinkにAbrahamの表現から得られ

た上の等式ρ₀ｖ＝ｃ^-2(μｎ_g/μ₀－1)(Ｅ×Ｈ)を代入して非分散性:

ｎ_g＝ｎ＝(μ/μ₀)^1/2を用いれば,

ｇ_mat,Mink＝ρ₀ｃｖ－ｃＤ×Ｂ＋ｃ^-1Ｅ×Ｈ

＝ｃ^-1(μｎ_g/μ₀－1)(Ｅ×Ｈ)－ｃＤ×Ｂ＋ｃ^-1Ｅ×Ｈ＝0

となります。

すなわち,Minkowskiの表現では総運動量密度:ｇ＝ｎ_gｇ_f＝ｎｇ_fの全てを電磁運動量密度が担い,物質場の密度ｇ_mat,Minkはゼロであることに相当する結果です。

これはまた,総運動量密度ｇ＝ｇ_EM＋ｇ_mat＝ρ₀ｃｖ＋ｃ^-1Ｅ×Ｈ

＝ｃＤ×Ｂが,確かにｎ_gｇ_fに等しく,矛盾が生じないことをも

意味しています。

この結果は,JonesとRichards(1954),およびJones(1978)で得られた表現とは異なっているのですが,

これは物質中での総運動量密度をｎ_gｇ_fでなく,位相速度の変化に関わる

屈折率をｎ_φとしてｎ_φｎ_gｇ_fになるとしているのが誤りであることが

わかります。

ただし,彼らのように解釈すると,ｇ_f,mat,ames＝ｃ^-2(ｎ_φｎ_g－1)(Ｅ×Ｈ)

となり,非分散性媒質を仮定すると,Ｄ×Ｂ－ｃ^-2Ｅ×Ｈ

＝ｃ^-2(ε_rμ_r－1)Ｓ,

つまり,対応する力の密度としては丁度Abrahamの力になりますが,

これは偶然でしょうか？

(※訳注:光の波束が自由真空から屈折率ｎ_gの媒質中に入ると,代表的な光波の位相速度は真空中のｃからｃ/ｎ_gになりますが,それは波としての１波長がλからλ/ｎ_gに減少するためと考えられます。

そのため波束の進行方向の特徴的な長さも真空中の(1/ｎ_g)倍となり,

波束の全体積は真空中のＶからＶ/ｎ_gに減少すると思われます。

これは,総運動量密度ｇだけではなく,総エネルギー密度ｈについても当てはまる話と思われます。

しかし,運動量の場合には光波が自由空間にあるときの静止物質の運動量をゼロと考えて総運動量は光波のみがになうと考えて良いのに対し,

総エネルギー密度の場合は静止物質の質量や内部エネルギーはゼロではないため,光波が自由空間にあるときの総エネルギーを

ｈ_f＝ｈ_f,EM＋ｈ_f,matと書けば,誘電体物質中での総エネルギー密度

の評価がｈ＝ｎ_gｈ_fとなるとは考えられません。

前に述べたように,電磁波のエネルギー密度;

ｈ_EM＝Ｔ_EM⁰⁰＝(1/2)(ＥＤ＋ＨＢ)は,真空中でも誘電体物質中

でも同じで,Mikraの式でもそうなっています。

物質と合わせた総エネルギー密度:ｈ＝Ｔ⁰⁰＝Ｔ_EM⁰⁰＋Ｔ_mat⁰⁰

＝(1/2)(ＥＤ＋ＨＢ)＋ρ₀(ｃ²＋ε_i)の変化が電磁波の波束

の全体積が真空中のＶからＶ/ｎ_gに変わることとどう関連して

いるのでしょうか？(← Pending)

最後に,以上を補完する意味で,「実際に実験で観測される量である媒体物質における運動量の遷移,または力やトルクという量が,電磁場テンソルにとってはどうした意味を有するのか？」という観点での一般論を記述して終わりにします。

　閉じた系を一般の２つの部分Ａ,Ｂに分けることを考えます。

　ただし,Ａ,Ｂは物理空間としては全く同一の領域を占めるけれども,定性的には異なる分割であるとします。

　つまり,Ｂを誘電体媒質のような物質成分,Ａを電磁場成分とすれば,これまで述べてきた話と同じです。

これまでと同じように,Ｔ^μνを閉じた系全体の総エネルギー運動量テンソルであるとして,∂Ｔ^μν/∂ｘ^ν＝0,かつＴ^μν＝Ｔ^νμが満足されているとします。

そして,これをＴ^μν＝Ｔ_A^μν＋Ｔ_B^μνによってＡ,Ｂ個々のエネルギー運動量テンソルＴ_A^μν,Ｔ_B^μνに分割します。

同様に,線運動量密度,角運動量密度,応力テンソルもＡ,Ｂの２つの部分に分けます。

このとき,Ｂにおける力の密度とトルクの密度はＡの量を用いて,

ｆ_Bⁱ＝∂ｇ_Aⁱ/∂ｔ－∂ｔ_A^ij/∂ｘ^j,

τ_B^jk＝－∂Ｍ_A^0jk/∂ｔ＋∂Ｍ_A^ijk/∂ｘⁱ

と表わされます。

これらは運動量とトルクの系Ｂが得る遷移率を系Ａの損失率に等置するという釣り合い方程式です。

ただし,Ｍ^ijkを角運動量密度テンソル,τ^jkをトルク密度テンソルの成分を示す記号としています。

部分系についての等式を領域の全体積わたって積分すると,２つの部分系の結合した結果,例えば電磁場からの運動量の吸収が得られます。

すなわち,Ｆ,Τを体積Ｖ全体の力およびトルクとし,誘電体物質をＢとすれば,Ｂ全体が受ける力はＦ_B＝∫ｄＶｆ_B,受けるトルクは,

Τ_B^jk＝∫ｄＶτ_B^jkとなります。

Ｂが受ける力については,ｆ_Bⁱ＝∂ｇ_Aⁱ/∂ｔ－∂ｔ_A^ij/∂ｘ^j,および

Gaussの定理によって,Ｆ_Bⁱ＝∫ｄＶｆ_Bⁱ＝ｄＧ_Aⁱ/ｄｔ－∫ｄＳ_jｔ_A^ij

が得られます。

時間平均で考えることができる場合には,右辺第１項の寄与はゼロで

Ｆ_Bⁱ＝－∫ｄＳ_jｔ_A^ij,です。

すなわち,誘電体媒質Ｂが受ける力は電磁場のMaxwell応力によるものだけです。

同様に,誘電体媒質Ｂが受けるトルクは電磁場の角運動量によるものだけで,Τ_B^jk＝－ｄ[∫ｄＶＭ_A^0jk]/ｄｔ＋∫ｄＳ_kＭ_A^ijkです。

時間平均で考えることができる場合にはΤ_B^jk＝∫ｄＳ_kＭ_A^ijkとなります。

特に,力だけに着目すると一般には媒質Ｂが受ける力は

Ｆ_B＝∫ｄＶｆ_B,ｆ_Bⁱ＝－∂ｇ_Bⁱ/∂ｔ＋∂ｔ_B^ij/∂ｘ^j

＝∂ｇ_Aⁱ/∂ｔ－∂ｔ_A^ij/∂ｘ^jで定義され,

Ｆ_Bⁱ＝ｄＧ_Aⁱ/ｄｔ－∫ｄＳ_jｔ_A^ijと書けます。

今の問題であるＡ＝ＥＭ(electromagnetic),Ｂ＝mat(material)の場合,

ｇ＝ｇ_EM＋ｇ_mat,ｔ＝ｔ_EM＋ｔ_matなる分割の仕方は全く任意です。

AbrahamとMinkowskiの分割では,応力の分割ｔ＝ｔ_EM＋ｔ_matの形は同じなので,Ｆ_Bⁱ＝ｄＧ_Aⁱ/ｄｔ－∫ｄＳ_jｔ_A^ijのうち－∫ｄＳ_jｔ_A^ijはどちらの表現でも全く同じなのですが,実は左辺のＦ_Bⁱと右辺のｄＧ_Aⁱ/ｄｔの双方がAbrahamとMinkowskiの分割では異なるのですね。

つまり,まず共通の総運動量ｇについてAbrahamの分割

ｇ＝ｇ_EM,Abr＋ｇ_mat,AbrとMinkowskiの分割ｇ＝ｇ_EM,Mink＋ｇ_mat,Minkで,

右辺における(ｇ_EM,ｇ_mat)のペアの内容が異なります。

そのため,Ｆ_B＝∫ｄＶｆ_B,ｆ_Bⁱ＝－∂ｇ_Bⁱ/∂ｔ＋∂ｔ_B^ij/∂ｘ^j

＝∂ｇ_Aⁱ/∂ｔ－∂ｔ_A^ij/∂ｘ^jにおいて,応力テンソルの項:

∂ｔ_A^ij/∂ｘ^j＝－∂ｔ_B^ij/∂ｘ^jは両者で同じなのですが,

Abrahamの分割で観測される力がＦ_B,Abr＝ｄＧ_A,Abrⁱ/ｄｔ－∫ｄＳ_jｔ_A^ij

であるのに対して,Minkowskiの分割で観測される力は

Ｆ_{B, Mink}＝ｄＧ_A,,Minkⁱ/ｄｔ－∫ｄＳ_jｔ_A^ijとなります。

したがって,当然Ｆ_B,Abr＝Ｆ_{B, Mink}－ｄ(Ｇ_A,,Minkⁱ－Ｇ_A,Abrⁱ)/ｄｔ

ですから,実験でＢが受ける力として観測されるのは,双方で別の意味の力であるため,Abrahamの力だけの差異が観測されるのは明らかですね。

結局は,Ａ＝ＥＭ,Ｂ＝matとしたAbrahamとMinkowskiの分割の仕方のいずれが正当であるかを主張してきたというのが論争の根源です。

そもそも,双方が,微妙な実験観測において「観測結果のどれが電磁場の効果であり物質場の効果ではない,ということを何を基準にして区別しているのか？」という,好みの問題に帰着するに過ぎず,双方とも間違っているわけではないというのが結論とされています。

論争するなら,各々が勝手に都合の良い定義で区別,分割して論じても不毛な水掛論争なので,予め論点が何なのかを明確に定義して共通の土俵でやれということでしょうかね。

実際にはこうしたレビューが出た前後でも,なお論争は続いているらしく,これに関する新しい論文もさらに出されているようです。

まあ,物理学の仮説の実験による検証,立証は数学の定理の証明ではないので,立証されたからといって,必ずしもその仮説が真であり誰にとっても完全に決着した,というわけにはいかず,

どんなに素晴らしく見える物理理論で原理と呼ばれているようなものでも永久に仮説であり続けるわけです。

何か１つでも反証が見つかれば,その項に関しては間違いであるということになることが常に有り得ます。

そのため,通常の物理屋であれば,声高に「これが絶対に正しい。」などと主張することはできませんが,世の中に99％以上は正しい理論はいっぱいありますね。

同じように「これが絶対に間違っている。」などとも主張できませんが,

せいぜい「99％以上は間違っているが正しい可能性もゼロではない云々」と主張できる程度でしょうね。

　というわけで,私自身はこの論文にて,決着が付いたという方向で大体のことは納得しましたので,この項目に関する「運動物質内の相対論」シリーズの記事はこれにて終わりにします。

　論文にはまだ色々と書かれていますが,後は実際に当論文を入手してご自分で読まれて解釈されるなり別文献を参照されるなり,あるいは自力で沈思黙考,計算をして頂くなりに任せます。

　私の記事ではこのくらいにしたいと思います。

参考文献: Robert N.C.Pfeifer,Timo A.Nieminen,Norman R.Heckerberg((The University of Queensland Brisbane Queensland 4072 Australia):"Momentum of an electromagnetic wave in dielectric media" Reviews of Modern Physics Vol.79(4),pp1197-1216(2007)

　Attention!! [広告宣伝]です。