超伝導の理論(2)

前回はちょっと前書きを述べただけで,結局,年を越してしまいましたが,超伝導の理論の続きの今年第１回目です。

　微視的理論(特にBCS理論)が現われる前の,初期の現象論を幾つか述べます。最初に Gorter-Casimir理論です。

※    Gorter-Casimir Model

1934年,GorterとCasimirは先に論じた路線に沿って２流体モデルを進めました。まず,ｘが"正常"流体にある電子数の比率,(1－ｘ)が超流体に凝縮された電子数の比率とするとき,２流体全体では次の形の自由エネルギーを有すると仮定しました。

金属中で正常状態にある電子数の比率がｘのときの金属全体の電子による単位体積当たりのヘルムホルツの自由エネルギーＦ＝Ｕ－ＴＳ)をＦ(ｘ,Ｔ)と書くとき,これがＦ(ｘ,Ｔ)＝ｘ^1/2ｆ_N(Ｔ)＋(1－ｘ)ｆ_S(Ｔ)で与えられるとします。

ただし,ｆ_N(Ｔ)＝－γＴ²/2,ｆ_S(Ｔ)＝－β＝const.です。

正常金属では電子による自由エネルギーは丁度ｆ_N(Ｔ)＝－γＴ²/2ですから,モデル式は(1－ｘ)→ 0 のときの自由エネルギーＦ(1,Ｔ)が正常相の自由エネルギーｆ_N(Ｔ)に一致するようになっています。

また,－βは超流体に関わる凝縮エネルギーです。

このモデルにおいて,固定温度Ｔの下でＦ(ｘ,Ｔ)が最小となるｘを求めます。

すなわち,Ｆ(ｘ,Ｔ)＝－γＴ²ｘ^1/2/2－β(1－ｘ)をｘで微分してゼロと置いて,そのときのｘを求めます。ｄＦ/ｄｘ＝－γＴ²ｘ^-1/2/4＋β＝0 ですから,これを解けばｘ＝γ²Ｔ⁴/(16β²)となります。

このｘの値が絶対温度Ｔのときに電子の正常流体と超流体が互いに平衡を保っているときの全金属電子中の正常電子数の比率を与えるものと考えます。

そして,平衡状態:ｄＦ/ｄｘ＝0 ときのｘの値がｘ＝１となる場合の温度が正常状態から超流体の状態に移る境目の温度,つまり臨界温度Ｔ＝Ｔ_cを与えると考えられます。

それ故,1＝γ²Ｔ_c⁴/(16β²)と置くとＴ_c＝(4β/γ)^1/2を得ます。逆に,これを用いるとｘ＝γ²Ｔ⁴/(16β²)＝(Ｔ/Ｔ_c)⁴と表現できます。

一方,磁場Ｈがある場合の熱力学的関係から,温度Ｔでの正常状態と超伝導状態の自由エネルギー密度Ｆ_N(Ｔ)とＦ_S(Ｔ)の差と臨界磁場Ｈ_c(Ｔ)との間にＨ_c²(Ｔ)/(8π)＝Ｆ_N(Ｔ)－Ｆ_S(Ｔ)なる熱力学的等式が成立することがわかります。

ここで,当時の固体物性関係の慣例から電磁単位として,c.g.s.Gauss単位系を採用しています。

モデル式:Ｆ(ｘ,Ｔ)＝ｘ^1/2ｆ_N(Ｔ)＋(1－ｘ)ｆ_S(Ｔ)において,Ｆ_N(Ｔ)＝Ｆ(1,Ｔ)＝ｆ_N(Ｔ)＝－γＴ²/2,Ｆ_S(Ｔ)＝Ｆ(0,Ｔ)＝ｆ_S(Ｔ)＝－βですから,Ｆ_N(Ｔ)－Ｆ_S(Ｔ)＝β－γＴ²/2＝Ｈ_c²(Ｔ)/(8π),Ｆ_N(0)－Ｆ_S(0)＝β＝Ｈ₀²/(8π)(Ｈ₀≡Ｈ_c(0))と書けます。

結局,Ｈ_c²(Ｔ)/Ｈ₀²＝1－γＴ²/(2β)＝１－2(Ｔ/Ｔ_c)² ～ {1－(Ｔ/Ｔ_c)²}²より,Ｈ_c(Ｔ) ～ Ｈ₀{1－(Ｔ/Ｔ_c)²}なる臨界場Ｈ_c(Ｔ)の温度依存性の表現が得られます。

そこで,Ｈ_c(Ｔ)は(Ｔ/Ｔ_c)の放物線関数になると予測されます。この式は,粗いものではありますが実際の実験とのよい一致を見ています。

そして,ヘルムホルツの自由エネルギーＦの定義:Ｆ＝Ｕ－ＴＳから,ｄＦ＝ｄＵ―ＴｄＳ－ＳｄＴ＝ＰｄＶ－ＳｄＴが成立しますから,エントロピーＳは体積Ｖが一定:ｄＶ＝0 のときの,ＦのＴによる微分係数Ｓ＝－∂Ｆ/∂Ｔで与えられます。

それ故,Ｆ_N(Ｔ)－Ｆ_S(Ｔ)＝Ｈ_c²(Ｔ)/(8π)なる関係式から,エントロピーについてもＳ_S(Ｔ)－Ｓ_N(Ｔ)＝Ｈ_cｄＨ_c/ｄＴ/(4π)なる跳びが存在することがわかります。

さらに,電子比熱Ｃ_e＝ＴｄＳ/ｄＴを考えると,超伝導体と正常導体の比熱の差＝電子比熱の差;ΔＣ_e≡Ｃ_eS－Ｃ_eNは,ΔＣ_e＝ＴｄＳ_S/ｄＴ－ＴｄＳ_N/ｄＴ＝Ｔ{(ｄＨ_c/ｄＴ)²＋Ｈ_cｄ²Ｈ_c/ｄＴ²}/(4π)で与えられることがわかります。

このモデルでは,Ｈ_c(Ｔ)＝Ｈ₀{1－(Ｔ/Ｔ_c)²}(ただし,Ｔ_c＝(4β/γ)^1/2,Ｈ₀＝(8πβ)^1/2)なので,ｄＨ_c/ｄＴ＝－2(Ｈ₀/Ｔ_c)(Ｔ/Ｔ_c)＝－2(2πγ)^1/2(Ｔ/Ｔ_c)となります。

それ故,ΔＣ_e＝Ｃ_eS－Ｃ_eN＝2γＴ_c(Ｔ/Ｔ_c)³＋(4βγ)^1/2Ｈ₀(Ｔ/Ｔ_c){1－(Ｔ/Ｔ_c)²}が得られます。そこで,温度Ｔを臨界温度Ｔ_cにすると,Ｔ＝Ｔ_cにおける差はΔＣ_e＝Ｃ_eS－Ｃ_eN＝2γＴ_cとなります。

ところが,正常導体では電子比熱はＴに比例することがわかっていてＣ_eN＝γＴです。そこで,特にＴ＝Ｔ_cではＣ_eN＝γＴ_cですから,超伝導状態での電子比熱はＣ_eS＝Ｃ_eN＋2γＴ_c＝3γＴ_cとなります。結局Ｔ_cの近傍の温度Ｔ＜Ｔ_cなる超伝導相では電子比熱としてＣ_eS ～ 3γＴ_c(Ｔ/Ｔ_c)³なる形のＴ³に比例するという近似式を得ます。

特にＴ＝Ｔ_cにおいて,電子比熱がＣ_N＝γＴ_c → Ｃ_S＝3γＴ_cとなって比熱に不連続な跳びΔＣ_eが生じることになります。そして,この跳びの相対的因子ΔＣ_e/Ｃ_Nは３です。これは,再び実験と一致します。

ただ,この一致はそれほど驚くべきことではありません。というのも,この理論は実験と一致するように幾分技巧的と見える方法に基づいて成立しているからです。

特に,このモデルの式:Ｆ(ｘ,Ｔ)＝ｘ^1/2ｆ_N(Ｔ)＋(1－ｘ)ｆ_S(Ｔ)の最初の形は元々Ｆ(ｘ,Ｔ)＝ｘ^rｆ_N(Ｔ)＋(1－ｘ)ｆ_S(Ｔ)と仮定されていました。

そして,ｘが正常状態の値１に近いときには,右辺第１項の因子であるｘ^rの指数ｒは,1/2よりも１のほうがふさわしいと予想されます。

さらに,より多くの粒子凝縮に対しては凝縮エネルギーβは定数ではなく,増加すると予期されます。

それにも関わらず,Gorter-Casimir理論は次に述べる予定のLondon理論と組み合わせたとき,かなり実験と良く一致する,自明とは思えないような予測を与えます。

しかし,後述するように,結局,このモデルの表現Ｆ(ｘ,Ｔ)＝ｘ^1/2ｆ_N(Ｔ)＋(1－ｘ)ｆ_S(Ｔ)と微視的理論で与えられる表現の間には,ほとんど関係がないことがわかります。

※(訳注)：磁場の中に超伝導体があって,磁束が超伝導体外部に押し出されている状態は磁場の側から見ると無理を強いられている状態であり,温度Ｔを一定に保ったっまま外部磁場を増加させていくと,やがて磁束の浸入が始まります。

今,導体の一部が正常状態で,残りの部分が超伝導状態であるとして両者の境界面に着目します。この境界上の１点を座標原点として境界面の法線方向にｘ軸を取り,ｘの負の側が超伝導体の領域,正の側が正常導体の領域とします。

正常導体の領域には磁場があるとして,その磁束密度をＢとします。ベクトルＢの向きは,ｘ軸に垂直なｙ軸の正の向きと同じとします。

ｙ軸はｘ軸を法線とする境界面の上にあります。ｘ軸,ｙ軸に垂直なｚ軸も考えると境界面はｘ＝0 のｙｚ平面ですからＢの向きは境界面に平行な向きですね。

超伝導体の境界面に沿って磁束の浸入層がありますが,その微小な厚さをλとすると浸入層の存在域は－λ≦ｘ≦0で表わされます。

そして導体内部におけるc.g.s.Gauss単位での磁束密度Ｂと電流密度ｊに対するマクスウェル(Maxwell)方程式で磁場に対応するものは,rotＢ＝(4π/ｃ)ｊ,divＢ＝0 です。

Ｂはｙ成分のみを持つと仮定しているので,ｘｙ面に垂直な導体のｙｚ境界面上にｚ成分ｊ_z＝ｃ(∂Ｂ/∂ｘ)/(4π)のみを持つ電流密度の電流が流れています。

この電流に対して磁場Ｂは単位面積当たりｊ×Ｂ/ｃなるローレンツの力(Lorentz force),つまり－ｊ_zＢ/ｃというｘ方向の成分のみを持つ力を与えるので,これを－λ≦ｘ≦0 にわたって積分すると,浸入層の境界面の単位面積当たりに働く力として,－∫_-λ⁰ｊ_zＢｄｘ/ｃ＝－∫_-λ⁰ｄｘＢ(∂Ｂ/∂ｘ)/(4π)＝－Ｂ²/(8π)が得られます。

ただし,－Ｂ²/(8π)におけるＢはｘ＝0 の浸入層右端の境界ｙｚ面上での磁束密度を示しています。

なぜなら,ｙｚ境界面上でｙ方向,ｚ方向にそれぞれ単位長さの辺を持つ１つの正方形を取ると,その正方形の浸入層内で厚さｄｘの部分の正四角柱のｘｙ側面の面積はｄｘですが,電流密度はｚ成分ｊ_z＝ｃ(∂Ｂ/∂ｘ)/(4π)のみを持つのでこの面積ｄｘのｘｙ側面を流れるｚ向きの総電流はｊ_zｄｘです。

そこで,この部分に働くｘ向きのローレンツ力は－ｊ_zＢｄｘ/ｃとなりますから,厚さｄｘの部分の電流によってｙｚ境界面上の単位面積に働く力はｘの向きに－ｊ_zＢｄｘ/ｃとなることがわかります。

そこで,－λ≦ｘ≦0 の浸入層全体に働く単位面積当たりの力の合力は－∫_-λ⁰ｊ_zＢｄｘ/ｃ＝－Ｂ²/(8π)で与えられるのですね。

右辺のマイナス符号は,この力が正常領域から超伝導領域に向かって働くことを意味します。つまり,磁場の"圧力＝単位面積当たりの力"が存在して超伝導体を押しているわけです。

この磁場による圧力を支えるものは絶対零度では正常状態と超伝導状態のエネルギーＵの差,有限温度なら自由エネルギーＦの差です。

磁場が存在しないときの超伝導体の自由エネルギー密度を温度の関数と見て,Ｆ_S(Ｔ)と表現し,同じ導体が正常状態にあるときのそれをＦ_N(Ｔ)と表現します。

転移温度Ｔ_c以下では超伝導状態の方が安定なのでＦ_S(Ｔ)≦Ｆ_N(Ｔ)です。そこで,Ｆ_N(Ｔ)－Ｆ_S(Ｔ)＝Ｈ_c²(Ｔ)/(8π)として,これにより定義される磁場の単位を持つ量Ｈ_c(Ｔ)を熱力学的臨界磁場と名付けます。

この名称は,次の理由に拠ります。

今,超伝導領域と正常領域の境界面がその法線:ｘの方向にδｘだけ変位したと仮定すると,これは導体の一部が正常状態から超伝導状態に転化したことを意味しますから,これに伴なう自由エネルギーの変化は境界面の単位面積当たり(Ｆ_S－Ｆ_N)δｘです。

Ｆ_S≦Ｆ_Nですからこの変位で導体全体のエネルギーが下がるので,境界面のδｘの変位では面にかかる圧力が負の仕事をします。

これは,もしも外圧がなければ,境界面には超伝導領域を広げようとする圧力が常に働いていることを意味します。

そして導体内に超伝導領域と正常領域が共存し得るためには,この圧力が先に求めた磁場の圧力Ｂ²/(8π)に丁度等しくて釣り合っていなければなりません。

つまり,Ｆ_S(Ｔ)－Ｆ_N(Ｔ)＝－Ｂ²/(8π)ですから,これと先の定義式Ｆ_N(Ｔ)－Ｆ_S(Ｔ)＝Ｈ_c²(Ｔ)/(8π)を比較することから境界面上でＢ＝Ｈ_c(Ｔ)であると結論されます。

通常のGauss単位系での磁場Ｈと磁束密度Ｂの関係は,磁化(単位体積当たりの磁気モーメント)をＭとすると,Ｈ＝Ｂ－4πＭ(ＭＫＳＡ単位ではＨ＝Ｂ/μ₀－Ｍ),またはＢ＝Ｈ＋4πＭですから,境界面上では磁化Ｍはゼロです。

一方,超伝導体の内部では,仮に超伝導体を帯磁率が－(4π)^-1の磁性体であると考えれば,内部の磁場Ｈに対してＭ＝－(4π)^-1Ｈ,つまりＨ＝－4πＭとなるので確かにＢ＝0 となります。

実際,静磁気学では楕円体形の磁性体を主軸に平行で一様な外部磁場Ｈ_aの中に置くと磁性体は外場の方向に一様に磁化されて内部磁場がＨ＝Ｈ_a－4πνＭとなることが知られています。

νは主軸方向の反磁化係数と呼ばれ,楕円体の幾何学的形状で決まります。Ｈ＝－4πＭとＨ＝Ｈ_a－4πνＭを連立させるとＭ＝－Ｈ_a/{4π(1－ν)}を得ます。※

(つづく)

参考文献:J.R.Schrieffer著「Theory of Superconductivity 」(Revised printing;Persues  Books),中嶋貞雄 著「超伝導入門」(培風館)

http://folomy.jp/heart/「folomy 物理フォーラム」サブマネージャーです。 

人気blogランキングへ　← クリックして投票してください。(１クリック＝１投票です。１人１日１投票しかできません。クリックすると人気blogランキングに跳びます。）

← クリックして投票してください。(ブログ村科学ブログランキング投票です。１クリック＝１投票です。１人１日１投票しかできません。クリックするとブログ村の人気ランキング一覧のホ　－ムページームに跳びます。）

　Attension!!　広告宣伝です。

　http://www.rakuten.co.jp/trs-kenko-land/　 健康商品の店「TRS健康ランド」－ SCS(食品洗浄剤),黒ウコン,酒の帝王,鵜鶏王などの専売店  ←この店は私TOSHIが店長をしています。(楽天ショップです。TRSのTはTOSHIのTです。)

「TRS健康ランド」では2008年１月10日よりお徳用SCS500mlを新発売！！当店の専売です。

　そこのお酒のみの方，いろいろと飲食の機会の増えたあなた,悪酔いを防止すると言われているウコンがいいですよ！！　そして特に今回提供する沖縄原産の純粋な黒ウコンは当店が専売の新製品ですが古くから沖縄地方ではいわゆる男性の力に効果があると言われています。

　おやおや,そこの静電気バチバチの人、いいものありますよ。。。

　それから農薬を落とした後の皮がピカピカに光っているリンゴなど商品として販売する際の見栄えをよくするなどのために化学処理をした食品を安全に洗浄する新商品の洗浄液SCSはいかがですか。。。農薬ジクロルポスも食品専用の洗浄液SCSで落ちて安全になります。(厚労省試験済み)

http://www.mediator.co.jp/category/pages.php?id=115「中古パソコン！メディエーター巣鴨店」

Dell-個人のお客様ページ

(Dellの100円パソコン(Mini9)↓私も注文しました。)

ヤーマン　プラチナゲルマローラー　1日3分コロコロエステ！ローラー型プラチナ配合美顔器  

　

お売りください。ブックオフオンラインのインターネット買取 展開へ！ ▼コミック　尾田栄一郎 「ONE PIECE（52）」 ▼コミック 「ONE PIECE」をオトナ買い

三国志特集　▼コミック 横山光輝 「三国志全巻セット」 「三国志（文庫版）全巻セット」   「三国志（ワイド版）全巻セット」 　▼書籍 「三国志」/吉川英治   「三国志」/北方謙三   「三国志」/宮城谷昌光