束縛状態とベーテ・サルピーター方程式(2）: TOSHIの宇宙

2009年1月26日 (月)

束縛状態とベーテ・サルピーター方程式(2）

　ベーテ・サルピーター方程式(Ｂ-Ｓ.eq.)の続きです。

さて,前記事では運動量表示の４点グリーン関数:Ｇ(ｐ,ｑ,Ｐ)が"ベーテ・サルピーター方程式＝Ｂ-Ｓ.eq."と呼ばれる一般的な積分方程式に従うことを見ました。

この運動方程式の具体形は[⊿_Fa'(η_aＰ＋ｐ)⊿_Fb'(η_bＰ－ｐ)]^-1Ｇ(ｐ,ｑ,Ｐ)＝δ⁴(ｐ－ｑ)＋(2π)^-4∫ｄ⁴ｐ'Ｉ(ｐ,ｐ';Ｐ)Ｇ(ｐ',ｑ;Ｐ)です。

特にＫ(ｐ,ｑ;Ｐ)≡[⊿_Fa'(η_aＰ＋ｐ)⊿_Fb'(η_bＰ－ｐ)]^-1δ⁴(ｐ－ｑ)とおけば,これはＫＧ(ｐ,ｑ;Ｐ)＝(1＋IＧ)(ｐ,ｑ;Ｐ)) (1(ｐ,ｑ)≡δ(ｐ－ｑ)),略してＫＧ＝1＋IＧと表現されます。

そして,ｘ≡ｘ_a－ｘ_b,ｙ≡－ｙ_a＋ｙ_b,Ｘ≡η_a(ｘ_a－ｙ_a)＋η_b(ｘ_b－ｙ_b))とおくと,位置表示のグリーン関数はＧ(ｘ_a,ｘ_b;ｙ_a,ｙ_b)≡＜0|Ｔ(φ(ｘ_a)φ(ｘ_b)φ^＋(ｙ_a)φ^＋(ｙ_b))|0＞＝(2π)^-12∫ｄ⁴ｐｄ⁴ｑｄ⁴Ｐexp{－i(ｐｘ＋ｑｙ＋ＰＸ)}Ｇ(ｐ,ｑ;Ｐ)と表わされます。

位相因子:exp{－i(ｐｘ＋ｑｙ＋ＰＸ)}は,exp[i{－(η_aＰ＋ｐ)ｘ_a－(η_bＰ－ｐ)ｘ_b＋(η_aＰ＋ｑ)ｙ_a＋(η_bＰ－ｑ)ｙ_a}]とも書けます。

そこで,２体散乱ａ＋ｂ→ａ＋ｂに対するグリーン関数の運動量表示Ｇ(ｐ,ｑ;Ｐ)では,η_aＰ＋ｑ,η_bＰ－ｑが入射粒子ａ,ｂの４元運動量であり,－(η_aＰ＋ｐ),－(η_bＰ－ｐ)が散乱粒子ａ,ｂの標的に向かう向きの４元運動量であると考えられます。

そこで,ａ＋ｂ→ａ＋ｂの全ての４元運動量を標的に向かう向きを正に取って,順にｐ₁,ｐ₂,ｐ₃,ｐ₄とすると,ｐ₁＝η_aＰ＋ｑ,,ｐ₂＝η_bＰ－ｑ,ｐ₃＝－(η_aＰ＋ｐ),ｐ₄＝－(η_bＰ－ｐ)と書けます。

それ故,これらｐ₁,ｐ₂,ｐ₃,ｐ₄で定義される散乱のｓ,ｔ,ｕチャンネルのエネルギー変数ｓ≡(ｐ₁＋ｐ₂)²,ｔ≡(ｐ₁＋ｐ₃)²,ｕ≡(ｐ₁＋ｐ₄)²は,ｓ＝Ｐ²,ｔ＝(ｐ－ｑ)²,ｕ＝{(η_a－η_b)Ｐ＋ｐ＋ｑ}²です。

そして,４元運動量の保存則(ｐ₁＋ｐ₂＋ｐ₃＋ｐ₄)^μ＝0 (μ＝0,1,2,3)による拘束があるため,これらｓ,ｔ,ｕの３変数のうち独立なものは２つだけなので,以下では散乱に関わる物理量は,ｕを消去してｓ,ｔのみの関数であると考えます。

また,ｖ≡ｐ₁²＝(η_aＰ＋ｐ)²,ｗ≡ｐ₂²＝(η_bＰ－ｐ)²,ｖ₀≡ｐ₃²＝(η_aＰ＋ｑ)²,ｗ₀≡ｐ₄²＝(η_bＰ－ｑ)²と置きます。

ｍ_a,ｍ_bをそれぞれ粒子ａ,ｂの質量とすれば,ｖ＝ｖ₀＝ｍ_a²,ｗ＝ｗ₀＝ｍ_b²です。

このとき,ファインマン振幅(Feynman amplitude)Ｆ(ｐ,Ｐ)は,ｖ₀＝ｍ_a²,ｗ₀＝ｍ_b²における－(Ｇ－Ｋ^-1)の留数,散乱振幅は,Ｇ－Ｋ^-1のｖ＝ｖ₀＝ｍ_a²,ｗ＝ｗ₀＝ｍ_b²における留数に等しいことがわかります。

※訳注:上記の文の意味するところがやや不明なので.ちょっと考察しました。

一般にファインマン振幅というと不変散乱振幅のことを指すと思っていましたが,ここでのＦ(ｐ,Ｐ)という表記を見ると,どうも不変散乱振幅という意味とは違うようなので調べてみました。

色々と所持している文献を調べていると,洋書ですがNishijima(西島和彦)氏の著書「Fields and Particles」にやっとそれと思われる記述を見つけました。

珍しく,この本にはＢ-Ｓ.eqのことも載っていましたが,正にそれを紹介する項目の場所にFeynman amplitudeの記述がありました。どうもＦ(ｐ,Ｐ)はａ,ｂの２粒子波動関数を示すような概念のようです。

この西嶋氏の書いた本のChapter.7(第７章)は"Green's functions and bound states(Green関数と束縛状態)"なる表題ですから,私のこの記事と同じテーマであって,かなり詳しいです。

これはいいものを見つけたと思いました。ひょっとしたら,かなり参考になると思います。

特に,通常の量子力学と場の理論の中間的な散乱理論において有名なLippmann-Schwinger(リップマン・シュヴィンガー)方程式を上記のFeynman-amplitudeに適用して束縛状態を記述できる"南部陽一郎による方程式"が解析されており,Bethe-Salpeter方程式の解析に非常に似ていました。

ただし,真空状態|0＞に対しては,もちろんＳ|0＞＝|0＞,かつ＜0|Ｓ＝＜0|です。

|α_in＞は真空状態|0＞に幾つかのａ_in^＋を,|β_out＞は真空状態|0＞に幾つかのａ_out^＋を作用させたものです。

ａ_in^＋とａ_out^＋はユニタリ同値な自由粒子の生成演算子ですね。

これら粒子ごとの量子数を指定した運動量の固有状態を与える演算子ａ_in,ａ_in^＋,およびａ_out,ａ_out^＋は,ハイゼンベルク表示の粒子場φ(ｘ)において,ｔ→－∞,およびｔ→∞の極限でのそれの自由な漸近場φ_in(ｘ),およびφ_out(ｘ)の展開表現:φ_in(ｘ)＝∫ｄ³ｐ[ａ_in(ｐ)ｆ_p(ｘ)＋ａ_in^＋(ｐ)ｆ_p^*(ｘ)],およびφ_out(ｘ)＝∫ｄ³ｐ[ａ_out(ｐ)ｆ_p(ｘ^*)＋ａ_out^＋(ｐ)ｆ_p^*(ｘ)]での自由平面波ｆ_p(ｘ)＝Ｃ(ｐ)exp(－iｐｘ),ｆ_p^*(ｘ)＝Ｃ^*(ｐ)exp(iｐｘ)による展開係数を表わすものです。

ｆ_p(ｘ),ｆ_p^*(ｘ)は自由スカラー波ですから,その粒子の質量がｍの場合,クライン・ゴルドン方程式:(□＋ｍ²)ｆ_p(ｘ)＝(□＋ｍ²)ｆ_p^*(ｘ)＝0 を満足します。

これらのことから,Ｓ演算子:Ｓ≡Ｕ(∞,－∞)はハイゼンベルク表示の場のユニタリ変換:φ_out＝Ｓ^＋φ_inＳ,φ_out^＋＝Ｓ^＋φ_in^＋Ｓ,またはａ_out＝Ｓ^＋ａ_inＳ,ａ_out^＋＝Ｓ^＋ａ_in^＋Ｓを与える演算子として定義することもできることがわかります。

ところで,通常の量子力学のポテンシャル散乱の問題で,散乱境界条件を満たす状態の波動関数はψ(ｒ,θ)＝exp(iｋｚ)＋ｆ(ｋ²,cosθ)exp(iｋｒ)/ｒなる形で表わされますが,この表現の右辺第１項exp(iｋｚ)は入射粒子の状態を変えないで素通りしていく前方散乱に相当していて,一般に散乱問題を考える際には除外されます。

このとき,Ｔ_βαは,さらにＴ_βα＝(2π)⁴δ⁴(Ｐ_β－Ｐ_α)Ｍ_βαなる形に書けますが,このＭ_βαを不変散乱振幅と同定するのが通常の定式化です。

ここで,Ｓ＝1＋iＴなる分割表現で,Ｔにわざわざ純虚数の係数ｉを付けているのは,単にＳのユニタリ性がＳ^＋Ｓ＝1－i(Ｔ^＋－Ｔ)＝１を意味するので,Ｔ^＋＝Ｔ,つまりＴのエルミート性がＳのユニタリ性を保証する形になるようにするためです。

以前のレッジェ理論のシリーズ記事では２体散乱での不変散乱振幅をＡ(ｓ,ｔ)と書き,ｓチャンネルでは,これがＡ(ｓ,ｔ)＝ｓ^1/2ｆ(ｋ²,cosθ_s)と表現されることを見ました。

２体弾性散乱ａ＋ｂ→ａ＋ｂにおいて,クライン・ゴルドン演算子をＫ_xa≡□＋ｍ_a²,Ｋ_xb≡□＋ｍ_b²で定義し,Ｓ行列を摂動展開する理論的公式であるLSZの簡約公式(LSZ-reduction formula),またはHaag-GLZの公式をくりこみ定数因子を省略して陽に書くと次のようになります。

※ちなみに,LSZとはH.Lehmann(レーマン),K.Symanzik(ジマンチック),W.Zimmmermann(ツィンマーマン)のことで,Haag-GLZのHaagはR.Haag,GはV.Glaserです。※

ここで,前記事でも見たように,４点グリーン関数ＧはＧ(ｘ_a,ｘ_b;ｙ_a,ｙ_b)＝(2π)^-12∫ｄ⁴ｐｄ⁴ｑｄ⁴Ｐexp{－i(ｐｘ＋ｑｙ＋ＰＸ)}Ｇ(ｐ,ｑ;Ｐ),ただし,exp{－i(ｐｘ＋ｑｙ＋ＰＸ)}＝exp[i{－(η_aＰ＋ｐ)ｘ_a－(η_bＰ－ｐ)ｘ_b＋(η_aＰ＋ｑ)ｙ_a＋(η_bＰ－ｑ)ｙ_a}]＝exp{i(ｐ₃ｘ_a＋ｐ₄ｘ_b＋ｐ₁ｙ_a＋ｐ₂ｙ_b)}とフーリエ積分で表現されます。

このとき,運動量表示でのＧ(ｐ,ｑ;Ｐ)に対するＢ-Ｓ.eq.の具体形はＧ(ｐ,ｑ,Ｐ)＝δ⁴(ｐ－ｑ)⊿_Fa'(η_aＰ＋ｐ)⊿_Fb'(η_bＰ－ｐ)＋⊿_Fa'(η_aＰ＋ｐ)⊿_Fb'(η_bＰ－ｐ)(2π)^-4∫ｄ⁴ｐ'Ｉ(ｐ,ｐ';Ｐ)Ｇ(ｐ',ｑ;Ｐ),または[⊿_Fa'(η_aＰ＋ｐ)⊿_Fb'(η_bＰ－ｐ)]^-1Ｇ(ｐ,ｑ,Ｐ)＝δ⁴(ｐ－ｑ)＋(2π)^-4∫ｄ⁴ｐ'Ｉ(ｐ,ｐ';Ｐ)Ｇ(ｐ',ｑ;Ｐ)であることも既に見ました。

一方,クライン・ゴルドン演算子:Ｋ_x≡□＋ｍ²の運動量表示はＫ_a＝－ｐ_a²＋ｍ_a²,Ｋ_b＝－ｐ_b²＋ｍ_b²なので,i＜β_in|Ｔ|α_in＞＝i⁴∫ｄ⁴ｘ_bｄ⁴ｘ_aｄ⁴ｙ_aｄ⁴ｙ_bｆ_-p4^*(ｙ_a)ｆ_-p3^*(ｘ_a)ｆ_p1(ｘ_b)ｆ_p2(ｙ_b)Ｋ_xaＫ_xbＫ_yaＫ_ybＧ(ｘ_a,ｘ_b;ｙ_a,ｙ_b)＝(－i)⁴(2π)⁴δ⁴(ｐ₁＋ｐ₂＋ｐ₃＋ｐ₄)(ｐ₁²－ｍ_a²)(ｐ₂²－ｍ_b²)(ｐ₃²－ｍ_a²)(ｐ₄²－ｍ²)Ｇ(ｐ,ｑ,Ｐ)となります。

つまり,i＜β_in|Ｔ|α_in＞＝(－i)⁴(2π)⁴δ⁴(ｐ₁＋ｐ₂＋ｐ₃＋ｐ₄)Ｋ_aＫ_bＫ_aＫ_bＧと書けます。

一方,Ｂ-Ｓ.eq.をＫ(ｐ,ｑ;Ｐ)≡[⊿_Fa'(η_aＰ＋ｐ)⊿_Fb'(η_bＰ－ｐ)]^-1δ⁴(ｐ－ｑ)を用いて表現すると,Ｇ＝Ｋ^-1＋Ｋ^-1IＧ,またはＫＧ＝1＋IＧです。

このＧ＝Ｋ^-1＋Ｋ^-1IＧの第１項Ｋ^-1,またはδ⁴(ｐ－ｑ)⊿_Fa'(η_aＰ＋ｐ)⊿_Fb'(η_bＰ－ｐ)の部分は,自己エネルギーの衣を着た自由粒子の部分です。

これらにクライン・ゴルドン演算子Ｋ_a＝－ｐ_a²＋ｍ_a²,Ｋ_b＝－ｐ_b²＋ｍ_b²を掛けると,これは当然１,またはδ-関数になります。

そこで,これらＫ_a,Ｋ_bを２つずつ掛けた積,すなわちＫ_aＫ_bＫ_aＫ_bを第１項Ｋ^-1に掛けると,これの寄与はゼロですから,Ｋ_aＫ_bＫ_aＫ_bＧ＝Ｋ_aＫ_bＫ_aＫ_b[Ｋ^-1＋(Ｇ－Ｋ^-1)]＝Ｋ_aＫ_bＫ_aＫ_b(Ｇ－Ｋ^-1)となります。

結局,i＜β_in|Ｔ|α_in＞＝(－i)⁴(2π)⁴δ⁴(ｐ₁＋ｐ₂＋ｐ₃＋ｐ₄)Ｋ_aＫ_bＫ_aＫ_b(Ｇ－Ｋ^-1)ですね。

そして,Ｋ_a＝－ｐ_a²＋ｍ_a²,Ｋ_b＝－ｐ_b²＋ｍ_b²は現実にゼロ(質量殻上:ｐ_a²＝ｍ_a²,ｐ_b²＝ｍ_b²)なのですから,Ｋ_aＫ_bＫ_aＫ_bを(Ｇ－Ｋ^-1)に作用させると(Ｇ－Ｋ^-1)のうちでｐ_a²＝ｍ_a²に極を持つ因子(ｐ_a²－ｍ_a²)^-1とｐ_b²＝ｍ_b²に極を持つ因子(ｐ_ｂ²－ｍ_ｂ²)^-1の積:(ｐ_a²－ｍ_a²)^-1(ｐ_ｂ²－ｍ_ｂ²)^-1に比例した項が２重にあるもの以外の寄与はゼロとなります。

例えば,ｐ_a²＝ｍ_a²に極を持つ項はＫ_a＝(ｐ_a²－ｍ_a²)を掛けたとき,そこだけが留数として振幅へのゼロでない寄与を与えるわけです。

これでやっと,"このとき,Feynman振幅Ｆ(ｐ,Ｐ)は,ｖ₀＝ｍ_a²,ｗ₀＝ｍ_b²における－(Ｇ－Ｋ^-1)の留数,散乱振幅は,Ｇ－Ｋ^-1のｖ＝ｖ₀＝ｍ_a²,ｗ＝ｗ₀＝ｍ_b²における留数に等しいことがわかります。"という本文の後半の意味がわかりました。

一方,ファインマン振幅Ｆ(ｐ,Ｐ)というのはＧ(ｐ,ｑ,Ｐ)とは異なって入射粒子の運動量遷移ｑを含まないので,位置表示でのＦ(ｘ_a,ｘ_b)がＦ(ｘ_a,ｘ_b)≡∫ｄｙ_aｄｙ_bＧ(ｘ_a,ｘ_b;ｙ_a,ｙ_b)で与えられるようなものではないかと推測されます。※

ここのところ週末の２,３日を含め,たった１行か２行の解釈を考えることに疲れたので,今日はここまでにします。

参考文献:1.Noboru Nakanishi "A General survey of the Theory of the Bethe-Salpeter Equation”Progress of Theoretical Physics, supplement,No.43(1969),2.K.Nishijima "Fields and Particles(Field theory and Dispersion Relations)" W.A.Benjamin Inc.(1969),3.J.D.Bjorken&S.D.Drell"Relativistic Quantum Field"McGraw-Hill Book Company 4.S.S.Schweber"An Introduction to Relativistic Quantum Field Theory"Dover　

http://folomy.jp/heart/「folomy 物理フォーラム」サブマネージャーです。

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