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2009年1月29日 (木)

束縛状態とベーテ・サルピーター方程式(3)

ベーテ・サルピーター方程式(B-S.eq.)の続きです。

 詳細にはこだわらず,とりあえず先に進みましょう。そのうちファインマン振幅の正体も明らかになるでしょう。

 実際の考察では,主として"はしご近似(ladder approximation)"と関わりますが,この近似ではファインマン伝播関数(propagator)F'を自由場の伝播関数F(k,m)≡-i(m2-k2iε)-1で置き換えます。

 

 そして,についても,この近似では単一粒子cの交換のみを含む積分核ですから,総運動量Pには無関係です。

 

 は,もちろん定数λ≡gab/(4π)2に比例します。ここで,j(j=a,b)は粒子jと交換粒子cの間の結合定数を記述する定数です。(ga=gbの場合ならこれらをgと書きます。)

 "はしご近似"よりも一般の場合には,方程式:()における演算子()は,もはやλについて線型ではありません。

 

 ところが,大抵の文献ではλを人為的に導入されたパラメータと見なすことでλについての線型性を維持しようとしています。

しかし,今の場合ははPやsのみならず,パラメータλの非線型関数の演算子であると見なすことにします。,(λ),(λ)で記述されます。

 さて,束縛状態に対する斉次の(同次の)B-S.eq.を論じます。

|B,1>,|B,2>,..,|B,n>をB,P2B2=sBを満たす4元運動量μBμを有するn重に縮退した束縛状態とします。

 

|B,r>に対するB-S振幅(B-S amplitude),およびその共役をそれぞれ,φBr(xa,xb;PB)≡<0|T[φa(xab(xb)]|B,r>,およびφBr^(xa,xb;PB)≡<B,r|T[φa(xab(xb)]|0>=<0|T~[φa(xab(xb)]|B,r>*で定義します。

 

ここでT~は反時間順序積を意味します。

 理論の平行移動不変性の故に,B-S振幅はφBr(xa,xb;PB)≡(2π)-3/2exp(-iPBBr(x,PB),φBr^(xa,xb;PB)≡(2π)-3/2exp(iPBBr^(x,PB)と表現できます。

 

 ここでX≡ηaa+ηbb,x=xa-xbと定義しています。

 

 そしてBr(xa,xb;PB)から引数を2つに減じた関数φBr(x,PB)もB-S振幅と呼ぶことにします。

 一方,4点グリーン関数G(xa,xb;ya,yb)≡<0|T(φa(xab(xba(yab(yb))|0>の右辺の真ん中に,中間状態の完全系:1=Σψ|ψ><ψ|+∫|λ><λ|dλを挿入することができます。

こうした,G(xa,xb;ya,yb)の展開表現での中間状態への束縛状態:|B,r>(r=1,2,..,n)の寄与は,Σr=1n∫d4PφBr(xa,xb;P)φBr^(ya,yb;PB)θ(P0)δ(P2-sB)θ(X0-Y0)=(2π)-3Σr=1n∫d3φBr(x,PBBr^(y,PB)/(2ωB)exp{-iωB(X0-Y0)+i()}θ(X0-Y0)と表わすことができます。

 

ここで,ωB≡PB0(2+sB)1/2としています。

θ(z)はヘヴィサイド関数(階段関数)ですが,θ(z)=-(2πi)-1-∞dkexp(-ikz)(k+iε)-1なる恒等式でz=X0-Y0とし,k=P0-ωBと置換してdkをd0と書いたものをθ(X0-Y0)に代入する,上の最後で得た束縛状態の寄与を表わす式はi(2π)-4Σr=1n∫d4PφBr(x,PBBr^(y,PB)exp{-iP(X-Y)}/{2ωB(P0-ωBiε)}と変形されます。

これは極を除くP0≠ωBを満たすP0の寄与による正則関数の曖昧さを除外すれば,項:iΣr=1n[φBr(p,P)φBr^(q,P)/{2ωB(P0-ωBiε)}]のフーリエ変換を表わしていると読めます。

(訳注)何故なら,グリーン関数はG(xa,xb;ya,yb)=(2π)-12∫d4pd4qd4exp[-i{px+qy+P(X-Y)}](p,q;P)なので,G(xa,xb;ya,yb)の部分項と(p,q;P)の対応する部分項も同じ関係を満たし,一方φBr(x,P)=(2π)-4∫d4φBr(p,P)exp(-ipx),かつφBr(y,P)=(2π)-4∫d4φBr(q,P)exp(-iqy)ですが,P≠PBなる部分の寄与は正則であるはずだからです。※

 そして,s-sBiε=(P0)2-ωB2+iε=(P0+ωB)(P0-ωBiε)なので,dP0積分を複素積分と見るとき,被積分関数には暗に因子θ(P0)が含まれているので,Σr=1nφBr(p,PB)φBr^(q,PB)exp{-iP(X-Y)}/(s-sBiε)の極s=sBの寄与は,項Σr=1nφBr(p,P)φBr^(q,P)exp{-iP(X-Y)}/{2ωB(P0-ωBiε)}の極P0=ωBの寄与に一致します。

そこで,運動量表示のグリーン関数(p,q;P)は付加的な中間状態による効果として,束縛状態|B,r>(r=1,2,..,n)の極に由来する項Σr=1nφBr(p,PB)φBr^(q,PB)/(s-sBiε)を含みます。

※(訳注)つまり,G(xa,xb;ya,yb)=(2π)-12∫d4pd4qd4exp[-i{px+qy+P(X-Y)}](p,q;P)において,(p,q;P)の中にΣr=1nφBr(p,PB)φBr^(q,PB)/(s-sBiε)なる項が含まれているなら,それらの項の寄与は(2π)-12Σr=1n∫d4[φBr(p,PB)φBr^(q,PB)exp[-i{px+qy+P(X-Y)}]/(s-sBiε)]となります。

 

 このうち,Σr=1n∫dP0φBr(p,PB)φBr^(q,PB)exp{-iP0(X0-Y0)}/{(P0+ωB)(P0-ωBiε)}因子のP0=ωBにおける留数はr=1nφBr^(q,P)φBr^(q,P)exp[-iωB(X0-Y0)}/{2ωB(P0-ωBiε)}のP0=ωBにおける留数と全く同じです。※

そこで,方程式[Fa'(ηaP+p)Fb'(ηbP-p)]-1(p,q,P)=δ4(p-q)+(2π)-4∫d4'(p,p';P)(p',q;P),またはKG1IGの両辺のの部分にの極の項Σr=1n[φBr(p,PB)φBr^(q,PB)]/(s-sBiε)を代入した後に,s=sBにおける留数を比較すれば,[Fa'(ηaB+p)Fb'(ηbB-p)]-1φBr(p,PB)=(2π)-4∫d4'(p,p';PB)φBr(p',PB),またはBφBrBφBrに帰着します。ここで下添字Bはs=sBなることを意味しています。

通常は最後に得られた方程式:[Fa'(ηaB+p)Fb'(ηbB-p)]-1φBr(p,PB)=(2π)-4∫d4'(p,p';P)φBr(p',PB),あるいはBφBrBφBrのことをベーテ・サルピーター方程式(B-S.eq.)と呼ぶようです。

さて以前に,KG1IGのみならず,GK1GIも成立することを見ましたが,後者は今の束縛状態については,φBr^BφBr^Bを意味します。

 

これは,~,~をK,Iの時間反転演算子とすると,時間反転不変性によって~=,~=なので,このφBr^BφBr^BBφBrBφBrの時間反転:φBr^B~=φBr^B~と同値です。

今までの論議で見たように,はあるパラメータλの関数であると見なすのが便利です。束縛状態のエネルギーもまたλの関数であり,それをs=sB(λ)と記述できると考えると,もしもdB /dλ≠0 なら逆関数λ=λB(s)が定義できます。

 

するとBφBrBφBrB)φBrB)φBrとも書けます。この方程式は複素λ-平面を考えて(λ)のλ=λBにおける留数を考えても導出できますね。

§3.規格化(Normalization)

さて,B-S.eq.[Fa'(ηaB+p)Fb'(ηbB-p)]-1φBr(p,PB)=(2π)-4∫d4p'(p,p';PB)φBr(p',PB),またはBφBrBφBrは斉次方程式なので,これの任意の解φBrに対しその定数倍もまたこれの解になる,という任意性を持ちます。

故に,これらを一意に定めるには適切に規格化する必要があります。

このための規格化条件を初めて与えたのはNishijima(西嶋和彦;1953,1954,1955)でした。

 

彼は<A|T(φφ..φ)|B>のような表式が満たす幾つかの積分方程式を求め,束縛状態の総電荷の期待値を計算することによって,ある規格化条件を提示しました。

Mandelstam(1955)もまた,直接的に対応するB-S振幅と関わる束縛状態|B>の行列要素を計算する一般法則を見出し,総電荷の期待値を計算する方法で"はしご近似"での規格化条件の標準公式を見出しました。

その他,Alerk(1957)によって束縛状態|B>の状態の規格化<B|B>=1から直接規格化条件を得る方法も提案されましたが,後にAlerk自身とその共同研究者によってこの方法は,結局上記のMandelstamらの方法と同値であることが示されました。

さらにCutkofskyら(1964)によって,束縛状態の極の項を含むグリーン関数の表現に基づいてコンパクトな形の規格化条件も導出されましたが,これらも結局は総電荷の保存に基づく公式と等価であることが示されました。

 

さらにNakanishi(中西襄;1965)は多重極の方法によって規格化条件のより便利な公式(以下で述べる予定)を与えました。

他にも色々とありましたが,電荷の保存則に基づく方法は電気的に中性な束縛状態には原理的に適用できないという難点がありました。

 

そこでNambu(南部陽一郎;1964)は総電荷の保存に基づく方法で電磁カレントが果たす役割をエネルギー運動量テンソルに負わせることによって電気的に中性なケースの困難を回避して規格化条件を見出す方法を提案しました。

Predazzi(1965)は規格化条件を導く方法は,結局のところ全てが等価であることを示しました。また,Nishijima(西嶋)とSingh(1967)は,より複雑な方法で電荷とエネルギー運動量の保存に基づく導出について論じました。

ここでは,幾つかの規格化条件の導出を与えましょう。

まず,I,したがってはλの関数であると仮定します。

 

=()-1をλに関して微分すると,∂/∂λ=-()-1(∂/∂λ-∂/∂λ)()-1=-(∂/∂λ-∂/∂λ)です。

上で見たようには束縛状態の極の項として,iΣr=1nφBrφBr^/(s-sB)を含みますから,両辺のの部分をこの項で置き換えると,i(/λr=1n{φBrφBr^/(s-sB)}=(Σr'=1nφBr'φBr'^)(∂/∂λ-∂/∂λ)(Σr=1nφBrφBr^)/(s-sB)2となります。

この両辺のsの二重極s=sBの寄与を比較します。

 

分母の(s-sB)2を消去して最後にs=Bとおくわけですが,結局i(dsB/dλ)(Σr=1nφBrφBr^)=(Σr'=1nφBr'φBr'^)(∂/∂λ-∂/∂λ)B(Σr=1nφBrφBr^)が得られます。

 

何故ならp,q,sなどはλには関係ない独立変数であり,sBはλの関数と考えられるからです。

φBrの1次独立性から,これは-iφBr'^(∂/∂λ-∂/∂λ)BφBr(dsB/dλ)δrr'を意味します。特にはしご近似では,∂/∂λ=0,λ∂/∂λ=Iですが,さらにBφBrBφBrを用いると,iφBr'^BφBrλ(dsB/dλ)δrr'を得ます。

こうして得られた表式-iφBr'^(∂/∂λ-∂/∂λ)BφBr(dsB/dλ)δrr',および,"はしご近似"でのφBr'^BφBr=-λ(dsB/dλ)δrr'が,φBrの1つの規格化条件を与えると思われます。

 

これらの式は規格化積分が共変的に計算できるので現実的に考えても非常に便利な式です。

しかし,共変性を犠牲にすれば,-iφBr'^(∂/∂λ-∂/∂λ)BφBr(dsB/dλ)δrr'の規格化条件の式からパラメータλ依存性を除去した形の規格化条件の式を得ることができます。

すなわち,/∂λ=-(∂/∂λ-∂/∂λ)と同様に=()-1のsによる微分から,∂/∂s=-(∂/∂s-∂/∂s)を得ます。

 

前と同じく両辺の因子をiΣr=1nφBrφBr^/(s-sB)で置き換えると,先に得られた規格化条件式でλをsに変えただけの式,iφBr'^(∂/∂s-∂/∂s)BφBr=δrr'を得ます。

 

特に"はしご近似"ではは交換する粒子の運動量にのみ依存して総運動量には独立ですから,∂/∂s=0 を満たします。

 

よって上の最後の式はiφBr'^(∂/∂s)BφBr=δrr'なる形に帰着します。この結果はMandelstamの元の公式と同じです。

 

しかし,sによる微分がローレンツ系の選択に依存するため,この式の導出で用いた計算は一見して共変的ではありません。

しかし,BφBrBφBrをλで微分すると(∂/∂λ-∂/∂λ)BφBr(dsB/dλ)(∂/∂s-∂/∂s)BφBr()B(φBr/∂λ)0  となり,この式の両辺の左からφBr'^を掛けるとφBr^BφBr^BによってφBr'^()B(φBr/∂λ)0 故,φBr'^(∂/∂λ-∂/∂λ)BφBr=-(dsB/dλ)φBr'^(∂/∂s-∂/∂s)BφBrが得られます。

そこで,iφBr'^(∂/∂s-∂/∂s)BφBr=δrr'なる規格化条件は共変的な条件:iφBr'^(∂/∂λ-∂/∂λ)BφBr(dsB/dλ)δrr'と同値なことが明らかになりました。。

規格化条件のもう1つの簡単な導出は次のようなものです。

s=sBの周りのロ-ラン展開として≡iΣr=1nφBrφBr^/(s-sB)+0(s-sB)1+..なるものを想定すると,方程式KG1IGによって0が満たす方程式:i(∂/∂s-∂/∂s)B(Σr=1nφBrφBr^)+()01が得られます。

 

これから,直ちに1つの規格化条件:iφBr'^(∂/∂s-∂/∂s)B(Σr=1nφBrφBr^)φBr'^が得られます。

最後に電荷の保存に基づく規格化条件の導出に言及します。

一般化されたWard-identityは(P)Γμ(P,P)(P)=2iPμ{∂(P)/∂s}と書けます。

 

ここでΓμ(P,P)はベクトルの頂点関数です。

(訳注)通常のフェルミ粒子(Fermion)に対する素朴なWard-Takahashi identityは,-i(p'μ-pμ)Γμ(p',p)=F'-1(p')-F'-1(p)です。

 これから-i(p'μ-pμ)F'(p')Γμ(p',p)F'(p)=F'(p)-F'(p')を得ます。

 

 p'μ=pμ+ΔpμとしてΔpμ→ 0 の極限を取れば,F'(p)Γμ(p,p)F'(p)=-i(∂F'/∂pμ)が得られます。これが素朴なWard-identityです。

2個のスカラー粒子a,bの重心運動を運動量Pを持つ1粒子と考えて運動量pを持つ"伝播関数=2点グリーン関数"F'(p)4点グr-ン関数(P)で置き換えると,上の素朴なWard identityは(P)Γμ(P,P)(P)=-i∂(P)/∂Pμと書けます。

 

さらに,s=P2なので右辺は∂(P)/∂Pμ=2Pμ{∂(P)/∂s}と書けますから,結局(P)Γμ(P,P)(P)=-2iPμ{∂(P)/∂s}が得られます。※

 

さて(P)Γμ(P,P)(P)=-2iPμ(∂/∂s)において,因子を,やはりiΣr=1nφBrφBr^/(s-sB)で置き換え,2重極s=sBにおける両辺の値を比較すると,φBr'^Γμ(PB,PB)φBr2δrr'なる等式が得られます。

 

そして,"はしご近似"ではΓμ(P,P)2iPμ(∂/∂s)ですから,Ward-identityはiφBr'^(∂/∂s)BφBr=δrr'と書けます。

 

これも,これまでの方法で既に求めた"はしご近似"での規格化条件と一致しています。

(訳注)(P)Γμ(P,P)(P)=-2iPμ(∂/∂s)において,"はしご近似"では,∂/∂s=-(∂/∂s-∂/∂s)=-(∂/∂s)ですから,GΓμ(P,P)=-2iPμ(∂/∂s)となります。

 

 そこで,一般に-1が存在するので両側から-1を掛けるとΓμ(P,P)2iPμ(∂/∂s)が得られるわけです。※

今日はここで終わります。

参考文献:Noboru Nakanishi A General survey of the Theory of the Bethe-Salpeter Equation” Progress of Theoretical Physics, supplement,No.43(1969)

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