束縛状態とベーテ・サルピーター方程式(3）

ベーテ・サルピーター方程式(Ｂ-Ｓ.eq.)の続きです。

　詳細にはこだわらず,とりあえず先に進みましょう。そのうちファインマン振幅の正体も明らかになるでしょう。

　実際の考察では,主として"はしご近似(ladder approximation)"と関わりますが,この近似ではファインマン伝播関数(propagator)⊿_F'を自由場の伝播関数⊿_F(ｋ,ｍ)≡－i(ｍ²－ｋ²－iε)^-1で置き換えます。

　そして,Ｉについても,この近似では単一粒子ｃの交換のみを含む積分核ですから,総運動量Ｐには無関係です。

　Ｉは,もちろん定数λ≡ｇ_aｇ_b/(4π)²に比例します。ここで,ｇ_j(ｊ＝ａ,ｂ)は粒子ｊと交換粒子ｃの間の結合定数を記述する定数です。(ｇ_a＝ｇ_bの場合ならこれらをｇと書きます。)

　"はしご近似"よりも一般の場合には,方程式:(Ｋ－Ｉ)Ｇ＝１における演算子(Ｋ－Ｉ)は,もはやλについて線型ではありません。

　ところが,大抵の文献ではλを人為的に導入されたパラメータと見なすことでλについての線型性を維持しようとしています。

しかし,今の場合はＫやＩはＰやｓのみならず,パラメータλの非線型関数の演算子であると見なすことにします。Ｋ,ＩはＫ(λ),Ｉ(λ)で記述されます。

　さて,束縛状態に対する斉次の(同次の)Ｂ-Ｓ.eq.を論じます。

|Ｂ,1＞,|Ｂ,2＞,..,|Ｂ,ｎ＞をＰ＝Ｐ_B,Ｐ²＝Ｐ_B²＝ｓ_Bを満たす４元運動量Ｐ^μ＝Ｐ_B^μを有するｎ重に縮退した束縛状態とします。

|Ｂ,ｒ＞に対するＢ-Ｓ振幅(B-S amplitude),およびその共役をそれぞれ,φ_Br(ｘ_a,ｘ_b;Ｐ_B)≡＜0|Ｔ[φ_a(ｘ_a)φ_b(ｘ_b)]|Ｂ,ｒ＞,およびφ_Br^(ｘ_a,ｘ_b;Ｐ_B)≡＜Ｂ,ｒ|Ｔ[φ_a^＋(ｘ_a)φ_b^＋(ｘ_b)]|0＞＝＜0|Ｔ~[φ_a(ｘ_a)φ_b(ｘ_b)]|Ｂ,ｒ＞^*で定義します。

ここでＴ~は反時間順序積を意味します。

　理論の平行移動不変性の故に,Ｂ-Ｓ振幅はφ_Br(ｘ_a,ｘ_b;Ｐ_B)≡(2π)^-3/2exp(－iＰ_BＸ)φ_Br(ｘ,Ｐ_B),φ_Br^(ｘ_a,ｘ_b;Ｐ_B)≡(2π)^-3/2exp(iＰ_BＸ)φ_Br^(ｘ,Ｐ_B)と表現できます。

　ここでＸ≡η_aｘ_a＋η_bｘ_b,ｘ＝ｘ_a－ｘ_bと定義しています。

　そして,φ_Br(ｘ_a,ｘ_b;Ｐ_B)から引数を２つに減じた関数φ_Br(ｘ,Ｐ_B)もＢ-Ｓ振幅と呼ぶことにします。

　一方,４点グリーン関数Ｇ(ｘ_a,ｘ_b;ｙ_a,ｙ_b)≡＜0|Ｔ(φ_a(ｘ_a)φ_b(ｘ_b)φ_a^＋(ｙ_a)φ_b^＋(ｙ_b))|0＞の右辺の真ん中に,中間状態の完全系:1＝Σ_ψ|ψ＞＜ψ|＋∫|λ＞＜λ|ｄλを挿入することができます。

こうした,Ｇ(ｘ_a,ｘ_b;ｙ_a,ｙ_b)の展開表現での中間状態への束縛状態:|Ｂ,ｒ＞(ｒ＝1,2,..,ｎ)の寄与は,Σ_r=1ⁿ∫ｄ⁴Ｐφ_Br(ｘ_a,ｘ_b;Ｐ)φ_Br^(ｙ_a,ｙ_b;Ｐ_B)θ(Ｐ⁰)δ(Ｐ²－ｓ_B)θ(Ｘ⁰－Ｙ⁰)＝(2π)^-3Σ_r=1ⁿ∫ｄ³Ｐφ_Br(ｘ,Ｐ_B)φ_Br^(ｙ,Ｐ_B)/(2ω_B)exp{－iω_B(Ｘ⁰－Ｙ⁰)＋iＰ(Ｘ－Ｙ)}θ(Ｘ⁰－Ｙ⁰)と表わすことができます。

ここで,ω_B≡Ｐ_B⁰＝(Ｐ²＋ｓ_B)^1/2としています。

θ(ｚ)はヘヴィサイド関数(階段関数)ですが,θ(ｚ)＝－(2πi)^-1∫_-∞^∞ｄｋexp(－iｋｚ)(ｋ＋iε)^-1なる恒等式でｚ＝Ｘ⁰－Ｙ⁰とし,ｋ＝Ｐ⁰－ω_Bと置換してｄｋをｄＰ⁰と書いたものをθ(Ｘ⁰－Ｙ⁰)に代入すると,上の最後で得た束縛状態の寄与を表わす式はi(2π)^-4Σ_r=1ⁿ∫ｄ⁴Ｐφ_Br(ｘ,Ｐ_B)φ_Br^(ｙ,Ｐ_B)exp{－iＰ(Ｘ－Ｙ)}/{2ω_B(Ｐ⁰－ω_B＋iε)}と変形されます。

これは極を除くＰ⁰≠ω_Bを満たすＰ⁰の寄与による正則関数の曖昧さを除外すれば,項:iΣ_r=1ⁿ[φ_Br(ｐ,Ｐ)φ_Br^(ｑ,Ｐ)/{2ω_B(Ｐ⁰－ω_B＋iε)}]のフーリエ変換を表わしていると読めます。

※(訳注)何故なら,グリーン関数はＧ(ｘ_a,ｘ_b;ｙ_a,ｙ_b)＝(2π)^-12∫ｄ⁴ｐｄ⁴ｑｄ⁴Ｐexp[－i{ｐｘ＋ｑｙ＋Ｐ(Ｘ－Ｙ)}]Ｇ(ｐ,ｑ;Ｐ)なので,Ｇ(ｘ_a,ｘ_b;ｙ_a,ｙ_b)の部分項とＧ(ｐ,ｑ;Ｐ)の対応する部分項も同じ関係を満たし,一方φ_Br(ｘ,Ｐ)＝(2π)^-4∫ｄ⁴ｐφ_Br(ｐ,Ｐ)exp(－iｐｘ),かつφ_Br(ｙ,Ｐ)＝(2π)^-4∫ｄ⁴ｑφ_Br(ｑ,Ｐ)exp(－iｑｙ)ですが,Ｐ≠Ｐ_Bなる部分の寄与は正則であるはずだからです。※

　そして,ｓ－ｓ_B＋iε＝(Ｐ⁰)²－ω_B²＋iε＝(Ｐ⁰＋ω_B)(Ｐ⁰－ω_B＋iε)なので,ｄＰ⁰積分を複素積分と見るとき,被積分関数には暗に因子θ(Ｐ⁰)が含まれているので,Σ_r=1ⁿφ_Br(ｐ,Ｐ_B)φ_Br^(ｑ,Ｐ_B)exp{－iＰ(Ｘ－Ｙ)}/(ｓ－ｓ_B＋iε)の極ｓ＝ｓ_Bの寄与は,項Σ_r=1ⁿφ_Br(ｐ,Ｐ)φ_Br^(ｑ,Ｐ)exp{－iＰ(Ｘ－Ｙ)}/{2ω_B(Ｐ⁰－ω_B＋iε)}の極Ｐ⁰＝ω_Bの寄与に一致します。

そこで,運動量表示のグリーン関数Ｇ(ｐ,ｑ;Ｐ)は付加的な中間状態による効果として,束縛状態|Ｂ,ｒ＞(ｒ＝1,2,..,ｎ)の極に由来する項Σ_r=1ⁿφ_Br(ｐ,Ｐ_B)φ_Br^(ｑ,Ｐ_B)/(ｓ－ｓ_B＋iε)を含みます。

※(訳注)つまり,Ｇ(ｘ_a,ｘ_b;ｙ_a,ｙ_b)＝(2π)^-12∫ｄ⁴ｐｄ⁴ｑｄ⁴Ｐexp[－i{ｐｘ＋ｑｙ＋Ｐ(Ｘ－Ｙ)}]Ｇ(ｐ,ｑ;Ｐ)において,Ｇ(ｐ,ｑ;Ｐ)の中にΣ_r=1ⁿφ_Br(ｐ,Ｐ_B)φ_Br^(ｑ,Ｐ_B)/(ｓ－ｓ_B＋iε)なる項が含まれているなら,それらの項の寄与は(2π)^-12Σ_r=1ⁿ∫ｄ⁴Ｐ[φ_Br(ｐ,Ｐ_B)φ_Br^(ｑ,Ｐ_B)exp[－i{ｐｘ＋ｑｙ＋Ｐ(Ｘ－Ｙ)}]/(ｓ－ｓ_B＋iε)]となります。

　このうち,Σ_r=1ⁿ∫ｄＰ⁰φ_Br(ｐ,Ｐ_B)φ_Br^(ｑ,Ｐ_B)exp{－iＰ⁰(Ｘ⁰－Ｙ⁰)}/{(Ｐ⁰＋ω_B)(Ｐ⁰－ω_B＋iε)}因子のＰ⁰＝ω_Bにおける留数は,Σ_r=1ⁿφ_Br^(ｑ,Ｐ)φ_Br^(ｑ,Ｐ)exp[－iω_B(Ｘ⁰－Ｙ⁰)}/{2ω_B(Ｐ⁰－ω_B＋iε)}のＰ⁰＝ω_Bにおける留数と全く同じです。※

そこで,方程式[⊿_Fa'(η_aＰ＋ｐ)⊿_Fb'(η_bＰ－ｐ)]^-1Ｇ(ｐ,ｑ,Ｐ)＝δ⁴(ｐ－ｑ)＋(2π)^-4∫ｄ⁴ｐ'Ｉ(ｐ,ｐ';Ｐ)Ｇ(ｐ',ｑ;Ｐ),またはＫＧ＝1＋ＩＧの両辺のＧの部分にＧの極の項Σ_r=1ⁿ[φ_Br(ｐ,Ｐ_B)φ_Br^(ｑ,Ｐ_B)]/(ｓ－ｓ_B＋iε)を代入した後に,ｓ＝ｓ_Bにおける留数を比較すれば,[⊿_Fa'(η_aＰ_B＋ｐ)⊿_Fb'(η_bＰ_B－ｐ)]^-1φ_Br(ｐ,Ｐ_B)＝(2π)^-4∫ｄ⁴ｐ'Ｉ(ｐ,ｐ';Ｐ_B)φ_Br(ｐ',Ｐ_B),またはＫ_Bφ_Br＝Ｉ_Bφ_Brに帰着します。ここで下添字Ｂはｓ＝ｓ_Bなることを意味しています。

通常は最後に得られた方程式:[⊿_Fa'(η_aＰ_B＋ｐ)⊿_Fb'(η_bＰ_B－ｐ)]^-1φ_Br(ｐ,Ｐ_B)＝(2π)^-4∫ｄ⁴ｐ'Ｉ(ｐ,ｐ';Ｐ)φ_Br(ｐ',Ｐ_B),あるいはＫ_Bφ_Br＝Ｉ_Bφ_Brのことをベーテ・サルピーター方程式(Ｂ-Ｓ.eq.)と呼ぶようです。

さて以前に,ＫＧ＝1＋ＩＧのみならず,ＧＫ＝1＋ＧＩも成立することを見ましたが,後者は今の束縛状態については,φ_Br^Ｋ_B＝φ_Br^Ｉ_Bを意味します。

これは,Ｋ~,Ｉ~をＫ,Ｉの時間反転演算子とすると,時間反転不変性によってＫ~＝Ｋ,Ｉ~＝Ｉなので,このφ_Br^Ｋ_B＝φ_Br^Ｉ_BはＫ_Bφ_Br＝Ｉ_Bφ_Brの時間反転:φ_Br^Ｋ_B~＝φ_Br^Ｉ_B~と同値です。

今までの論議で見たように,ＫとＩはあるパラメータλの関数であると見なすのが便利です。束縛状態のエネルギーもまたλの関数であり,それをｓ＝ｓ_B(λ)と記述できると考えると,もしもｄｓ_B /ｄλ≠0 なら逆関数λ＝λ_B(ｓ)が定義できます。

するとＫ_Bφ_Br＝Ｉ_Bφ_BrはＫ(λ_B)φ_Br＝Ｉ(λ_B)φ_Brとも書けます。この方程式は複素λ-平面を考えてＧ(λ)のλ＝λ_Bにおける留数を考えても導出できますね。

§3.規格化(Normalization)

さて,Ｂ-Ｓ.eq.[⊿_Fa'(η_aＰ_B＋ｐ)⊿_Fb'(η_bＰ_B－ｐ)]^-1φ_Br(ｐ,Ｐ_B)＝(2π)^-4∫ｄ⁴ｐ'Ｉ(ｐ,ｐ';Ｐ_B)φ_Br(ｐ',Ｐ_B),またはＫ_Bφ_Br＝Ｉ_Bφ_Brは斉次方程式なので,これの任意の解φ_Brに対しその定数倍もまたこれの解になる,という任意性を持ちます。

故に,これらを一意に定めるには適切に規格化する必要があります。

このための規格化条件を初めて与えたのはNishijima(西嶋和彦；1953,1954,1955)でした。

彼は＜Ａ|Ｔ(φφ..φ^＋)|Ｂ＞のような表式が満たす幾つかの積分方程式を求め,束縛状態の総電荷の期待値を計算することによって,ある規格化条件を提示しました。

Mandelstam(1955)もまた,直接的に対応するＢ-Ｓ振幅と関わる束縛状態|Ｂ＞の行列要素を計算する一般法則を見出し,総電荷の期待値を計算する方法で"はしご近似"での規格化条件の標準公式を見出しました。

その他,Alerk(1957)によって束縛状態|Ｂ＞の状態の規格化＜Ｂ|Ｂ＞＝１から直接規格化条件を得る方法も提案されましたが,後にAlerk自身とその共同研究者によってこの方法は,結局上記のMandelstamらの方法と同値であることが示されました。

さらにCutkofskyら(1964)によって,束縛状態の極の項を含むグリーン関数Ｇの表現に基づいてコンパクトな形の規格化条件も導出されましたが,これらも結局は総電荷の保存に基づく公式と等価であることが示されました。

さらにNakanishi(中西襄;1965)は多重極の方法によって規格化条件のより便利な公式(以下で述べる予定)を与えました。

他にも色々とありましたが,電荷の保存則に基づく方法は電気的に中性な束縛状態には原理的に適用できないという難点がありました。

そこでNambu(南部陽一郎;1964)は総電荷の保存に基づく方法で電磁カレントが果たす役割をエネルギー運動量テンソルに負わせることによって電気的に中性なケースの困難を回避して規格化条件を見出す方法を提案しました。

Predazzi(1965)は規格化条件を導く方法は,結局のところ全てが等価であることを示しました。また,Nishijima(西嶋)とSingh(1967)は,より複雑な方法で電荷とエネルギー運動量の保存に基づく導出について論じました。

ここでは,幾つかの規格化条件の導出を与えましょう。

まず,ＫとI,したがってＧはλの関数であると仮定します。

Ｇ＝(Ｋ－Ｉ)^-1をλに関して微分すると,∂Ｇ/∂λ＝－(Ｋ－Ｉ)^-1(∂Ｋ/∂λ－∂Ｉ/∂λ)(Ｋ－Ｉ)^-1＝－Ｇ(∂Ｋ/∂λ－∂Ｉ/∂λ)Ｇです。

上で見たようにＧは束縛状態の極の項として,iΣ_r=1ⁿφ_Brφ_Br^/(ｓ－ｓ_B)を含みますから,両辺のＧの部分をこの項で置き換えると,i(∂/∂λ)Σ_r=1ⁿ{φ_Brφ_Br^/(ｓ－ｓ_B)}＝(Σ_r'=1ⁿφ_Br'φ_Br'^)(∂Ｋ/∂λ－∂Ｉ/∂λ)(Σ_r=1ⁿφ_Brφ_Br^)/(ｓ－ｓ_B)²となります。

この両辺のｓの二重極ｓ＝ｓ_Bの寄与を比較します。

分母の(ｓ－ｓ_B)²を消去して最後にｓ＝ｓ_Bとおくわけですが,結局i(ｄｓ_B/ｄλ)(Σ_r=1ⁿφ_Brφ_Br^)＝(Σ_r'=1ⁿφ_Br'φ_Br'^)(∂Ｋ/∂λ－∂Ｉ/∂λ)_B(Σ_r=1ⁿφ_Brφ_Br^)が得られます。

何故ならｐ,ｑ,ｓなどはλには関係ない独立変数であり,ｓ_Bはλの関数と考えられるからです。

φ_Brの１次独立性から,これは－iφ_Br'^(∂Ｋ/∂λ－∂Ｉ/∂λ)_Bφ_Br＝(ｄｓ_B/ｄλ)δ_rr'を意味します。特にはしご近似では,∂Ｋ/∂λ＝0,λ∂Ｉ/∂λ＝Iですが,さらにＫ_Bφ_Br＝Ｉ_Bφ_Brを用いると,iφ_Br'^Ｋ_Bφ_Br＝λ(ｄｓ_B/ｄλ)δ_rr'を得ます。

こうして得られた表式－iφ_Br'^(∂Ｋ/∂λ－∂Ｉ/∂λ)_Bφ_Br＝(ｄｓ_B/ｄλ)δ_rr',および,"はしご近似"でのφ_Br'^Ｋ_Bφ_Br＝－λ(ｄｓ_B/ｄλ)δ_rr'が,φ_Brの１つの規格化条件を与えると思われます。

これらの式は規格化積分が共変的に計算できるので現実的に考えても非常に便利な式です。

しかし,共変性を犠牲にすれば,－iφ_Br'^(∂Ｋ/∂λ－∂Ｉ/∂λ)_Bφ_Br＝(ｄｓ_B/ｄλ)δ_rr'の規格化条件の式からパラメータλ依存性を除去した形の規格化条件の式を得ることができます。

すなわち,∂Ｇ/∂λ＝－Ｇ(∂Ｋ/∂λ－∂Ｉ/∂λ)Ｇと同様にＧ＝(Ｋ－Ｉ)^-1のｓによる微分から,∂Ｇ/∂ｓ＝－Ｇ(∂Ｋ/∂ｓ－∂Ｉ/∂ｓ)Ｇを得ます。

前と同じく両辺のＧ因子をiΣ_r=1ⁿφ_Brφ_Br^/(ｓ－ｓ_B)で置き換えると,先に得られた規格化条件式でλをｓに変えただけの式,iφ_Br'^(∂Ｋ/∂ｓ－∂Ｉ/∂ｓ)_Bφ_Br＝δ_rr'を得ます。

特に"はしご近似"ではＩは交換する粒子の運動量にのみ依存して総運動量には独立ですから,∂Ｉ/∂ｓ＝0 を満たします。

よって上の最後の式はiφ_Br'^(∂Ｋ/∂ｓ)_Bφ_Br＝δ_rr'なる形に帰着します。この結果はMandelstamの元の公式と同じです。

しかし,ｓによる微分がローレンツ系の選択に依存するため,この式の導出で用いた計算は一見して共変的ではありません。

しかし,Ｋ_Bφ_Br＝Ｉ_Bφ_Brをλで微分すると(∂Ｋ/∂λ－∂Ｉ/∂λ)_Bφ_Br＋(ｄｓ_B/ｄλ)(∂Ｋ/∂ｓ－∂Ｉ/∂ｓ)_Bφ_Br＋(Ｋ－Ｉ)_B(∂φ_Br/∂λ)＝0  となり,この式の両辺の左からφ_Br'^を掛けるとφ_Br^Ｋ_B＝φ_Br^Ｉ_Bによってφ_Br'^(Ｋ－Ｉ)_B(∂φ_Br/∂λ)＝0 故,φ_Br'^(∂Ｋ/∂λ－∂Ｉ/∂λ)_Bφ_Br＝－(ｄｓ_B/ｄλ)φ_Br'^(∂Ｋ/∂ｓ－∂Ｉ/∂ｓ)_Bφ_Brが得られます。

そこで,iφ_Br'^(∂Ｋ/∂ｓ－∂Ｉ/∂ｓ)_Bφ_Br＝δ_rr'なる規格化条件は共変的な条件:－iφ_Br'^(∂Ｋ/∂λ－∂Ｉ/∂λ)_Bφ_Br＝(ｄｓ_B/ｄλ)δ_rr'と同値なことが明らかになりました。。

規格化条件のもう１つの簡単な導出は次のようなものです。

Ｇのｓ＝ｓ_Bの周りのロ－ラン展開としてＧ≡iΣ_r=1ⁿφ_Brφ_Br^/(ｓ－ｓ_B)＋Ｇ₀＋(ｓ－ｓ_B)Ｇ₁＋..なるものを想定すると,方程式ＫＧ＝1＋ＩＧによってＧ₀が満たす方程式:i(∂Ｋ/∂ｓ－∂Ｉ/∂ｓ)_B(Σ_r=1ⁿφ_Brφ_Br^)＋(Ｋ－Ｉ)Ｇ₀＝1が得られます。

これから,直ちに１つの規格化条件:iφ_Br'^(∂Ｋ/∂ｓ－∂Ｉ/∂ｓ)_B(Σ_r=1ⁿφ_Brφ_Br^)＝φ_Br'^が得られます。

最後に電荷の保存に基づく規格化条件の導出に言及します。

一般化されたWard-identityはＧ(Ｐ)Γ_μ(Ｐ,Ｐ)Ｇ(Ｐ)＝2iＰ_μ{∂Ｇ(Ｐ)/∂ｓ}と書けます。

ここでΓ_μ(Ｐ,Ｐ)はベクトルの頂点関数です。

※(訳注)通常のフェルミ粒子(Fermion)に対する素朴なWard-Takahashi identityは,－i(ｐ'^μ－ｐ^μ)Γ_μ(ｐ',ｐ)＝Ｓ_F'^-1(ｐ')－Ｓ_F'^-1(ｐ)です。

　これから－i(ｐ'^μ－ｐ^μ)Ｓ_F'(ｐ')Γ_μ(ｐ',ｐ)Ｓ_F'(ｐ)＝Ｓ_F'(ｐ)－Ｓ_F'(ｐ')を得ます。

　ｐ'^μ＝ｐ^μ＋Δｐ^μとしてΔｐ^μ→ 0 の極限を取れば,Ｓ_F'(ｐ)Γ_μ(ｐ,ｐ)Ｓ_F'(ｐ)＝－i(∂Ｓ_F'/∂ｐ^μ)が得られます。これが素朴なWard-identityです。

２個のスカラー粒子ａ,ｂの重心運動を運動量Ｐを持つ１粒子と考えて運動量ｐを持つ"伝播関数＝２点グリーン関数"Ｓ_F'(ｐ)を４点グｒ－ン関数Ｇ(Ｐ)で置き換えると,上の素朴なWard identityはＧ(Ｐ)Γ_μ(Ｐ,Ｐ)Ｇ(Ｐ)＝－i∂Ｇ(Ｐ)/∂Ｐ^μと書けます。

さらに,ｓ＝Ｐ²なので右辺は∂Ｇ(Ｐ)/∂Ｐ^μ＝2Ｐ_μ{∂Ｇ(Ｐ)/∂ｓ}と書けますから,結局Ｇ(Ｐ)Γ_μ(Ｐ,Ｐ)Ｇ(Ｐ)＝－2iＰ_μ{∂Ｇ(Ｐ)/∂ｓ}が得られます。※

さてＧ(Ｐ)Γ_μ(Ｐ,Ｐ)Ｇ(Ｐ)＝－2iＰ_μ(∂Ｇ/∂ｓ)において,因子Ｇを,やはりiΣ_r=1ⁿφ_Brφ_Br^/(ｓ－ｓ_B)で置き換え,２重極ｓ＝ｓ_Bにおける両辺の値を比較すると,φ_Br'^Γ_μ(Ｐ_B,Ｐ_B)φ_Br＝2Ｐ_Bμδ_rr'なる等式が得られます。

そして,"はしご近似"ではΓ_μ(Ｐ,Ｐ)＝2iＰ_μ(∂Ｋ/∂ｓ)ですから,Ward-identityはiφ_Br'^(∂Ｋ/∂ｓ)_Bφ_Br＝δ_rr'と書けます。

これも,これまでの方法で既に求めた"はしご近似"での規格化条件と一致しています。

※(訳注)Ｇ(Ｐ)Γ_μ(Ｐ,Ｐ)Ｇ(Ｐ)＝－2iＰ_μ(∂Ｇ/∂ｓ)において,"はしご近似"では,∂Ｇ/∂ｓ＝－Ｇ(∂Ｋ/∂ｓ－∂Ｉ/∂ｓ)Ｇ＝－Ｇ(∂Ｋ/∂ｓ)Ｇですから,ＧΓ_μ(Ｐ,Ｐ)Ｇ＝－2iＰ_μＧ(∂Ｋ/∂ｓ)Ｇとなります。

　そこで,一般にＧ^-1が存在するので両側からＧ^-1を掛けるとΓ_μ(Ｐ,Ｐ)＝2iＰ_μ(∂Ｋ/∂ｓ)が得られるわけです。※

今日はここで終わります。

参考文献:Noboru Nakanishi A General survey of the Theory of the Bethe-Salpeter Equation” Progress of Theoretical Physics, supplement,No.43(1969)

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