続きです。このシリーズはとうとう今日で終わりです。
まず,あらゆる表現形式が同等(対等)であることの実際的証明が与えられるまでの歴史から紹介します。
1960年代の終わりまでに,テンソルの対称性,つまり運動量,角運動量の保存への物質場のテンソルの役割に大いに着目し,電磁場テンソルと物質場テンソルの新しい対を求めて発展させることを念頭においた研究が次々とありました。
やがて,PenfieldとHausは1967年に,幾つかの異なる電磁理論の定式化は等価であると考え,これをテストするための彼らのいわゆる"仮想的力の原理(Principles of Virtual Power)"なる定式化を道具として,この考えをさらに進めました。
さらに1972年のde GrootとSuttorpもまた,物質場のテンソルの重要な役割に着目し,エネルギー運動量の保存則は元々閉じた熱力学系でのみ適用可能な法則であることを認識したモデルを展開しました。
しかし,電磁場と物質場の和で与えられる総エネルギー運動量テンソルの正しい形についてはPenfieldとHausには賛同しませんでした。
しかし,この食い違いは直接的に,Abraham,Minkowski論争に対応するテンソルの差異によって生じたものではなく,電磁波が存在する際の物質の挙動に関して全体としてなされた仮定の違いによるものでした。
de GrootとSuttorpは彼らの表現式が媒質の微視的性質の考察から演繹されたものであるとして,自らの表現式の優位性を主張しました。
しかしながら,この２種の総エネルギー運動量テンソルの表現形式については,実験による比較検証はなされていません。
さて,少しの間,総エネルギー運動量テンソルの正しい形がどうなるかについては忘れて,これの具体的な形そのものとは無関係に物質の挙動について我々の提案するモデル化が,これまで提案されてきた種々の異なる形式を識別するために役立つということを証明します。
まず,適当に採択された閉じた系の総エネルギー運動量テンソルをＴμνと記すると,この系では線運動量も角運動量も保存するので,
∂Ｔμν/∂ｘν＝0,かつＴμν＝Ｔνμが成立します。
これらをより馴染み深い形式で書くなら,エネルギー保存の連続方程式:
∂ｇ0/∂ｔ＋∂Ｔ0j/∂ｘj＝0 ,および,線運動量保存の連続方程式:
∂ｇi/∂ｔ－∂ｔij/∂ｘj＝0 の形になります。
ここに,ｇμは４元総運動量密度でｇμ≡Ｔμ0/ｃで定義され,また
ｔij≡－ＴijはMaxwellの応力テンソルです。
特に,ｈ≡ｃｇ0＝Ｔ00はエネルギー密度で,
Ｓj≡ｃＴ0jはエネルギー流束です。
つまり,Ｓはポインティングベクトル(Poynting vector)Ｅ×Ｈで,
ｇμのうち,成分がｇi＝Ｔi0/ｃ(ｉ＝1,2,3)の３次元ベクトル:
ｇは総運動量密度です。
(ｇ0,ｇ)は,４元ベクトルであろうことを意識しています。
総エネルギー運動量テンソルを表わす行列:(Ｔμν)は,
μ＝0 に対応する１行目の成分が(ｇ0,Ｔ0j)(ｊ＝1,2,3)で,
その下のｉ＝2,3,4行目は,(ｃｇi,－ｔij))(ｊ＝1,2,3)
となります。
故に,成分がｇ'j≡Ｔ0j/ｃ(ｊ＝1,2,3)の３次元ベクトルｇ'を定義すると,行列:(Ｔμν)の１行目成分は,(ｇ0,ｃｇ'j)とも書けますが,閉じた系のエネルギー運動量テンソルは対称であるべき(角運動量保存):Ｔμν＝Ｔνμという要求から,ｇ'＝ｇとなります。
結局,(Ｔμν)は,１行目が(ｇ0,ｃｇj),その下の行が,(ｃｇi,－ｔij)の行列となります。
そして,総テンソルＴμνを電磁場テンソルと物質場テンソルの和として,
Ｔμν＝ＴEMμν＋Ｔmatμνと表わせば,条件:∂Ｔμν/∂ｘν＝0,
かつ,Ｔμν＝Ｔνμは,∂(ＴEMμν＋Ｔmatμν)/∂ｘν＝0,
かつＴEMμν＋Ｔmatμν＝ＴEMνμ＋Ｔmatνμと書けます。
これはｇ0＝ｇEM0＋ｇmat0,ｇ＝ｇEM＋ｇmat,ｔ＝ｔEM＋ｔmat
と表記すると,
エネルギー保存の連続方程式の分割:
∂(ｇEM0＋ｇmat0)/∂ｔ＋∂(ＴEM0j＋Ｔmat0j)/∂ｘj＝0 ,および
線運動量保存の連続方程式の分割:
∂(ｇEMi＋ｇmati)/∂ｔ－∂(ｔEMij＋ｔmatij)/∂ｘj＝0
になります。
再び,ｇ'j≡Ｔ0j/ｃとおけば,行列(Ｔμν)＝(ＴEMμν＋Ｔmatμν)
なる分割は,
(ｃｇ0,ｃｇ'j)＝(ｇEM0＋ｇmat0,ｃｇ'j),および
(ｃｇi,－ｔij)＝(ｃ(ｇEMi＋ｇmati),－(ｔEMij＋ｔmatij))
を意味します。
しかし,ｇ＝ｇEM＋ｇmat同様,ｇ'＝ｇEM'＋ｇmat'なる分割も可能です。
しかも,ｇ'＝ｇなのでｇ＝ｇEM'＋ｇmat'と書くこともできます。
そして,Abrahamのテンソルのように電磁場テンソル:ＴEMμνが対称テンソルなら,物質場テンソルＴmatμνも対称なので,
ｇEM'＝ｇEM,かつｇmat'＝ｇmatが従います。
しかし,Minkowskiテンソルの場合にはｇEM＝Ｄ×Ｂで一方,
ｇEM'＝ｃ-2Ｅ×Ｈですから,真空中でない限りは,
ｇEM'≠ｇEMとなります。
Minkowskiテンソルが用いられる際には,
ｇ＝ｇEM＋ｇmat,ｔ＝ｔEM＋ｔmatの右辺のうちの物質場成分:
ｇmat,ｔmatは安全に無視できるとして切り捨てられることが
多いのですが,
Minkowskiテンソルの下では,一般にｇEM'≠ｇEMなので,
電磁場単独では角運動量は保存されません。
物質場の成分の存在を正しく認識しなかったことが,
Minkowskiテンソルが,ときには批判的に受け取られた
理由の１つでした。
歴史的には,MinkowskiのテンソルもAbrahamのテンソルも,
電磁場テンソルと物質場テンソルのマッチした対という形で
提案されたわけではありません。
Abrahamのテンソルへの対応する物質場の片割れは,
1954年に初めてJonesとRichardsによって提案されました。
一方,Minkowskiのテンソルは,1968年のJamesと1975年のWalkerら
の実験結果を説明するという目的で1970年代になされた理論的再評価
(de Groot and Suttorp(1972):Israel(1977);Mikura(1976))を通して,
対応する物質場の片割れを初めて獲得しました。
こうして,その後も時と共にMinkowskiとAbrahamのテンソルを区別する
という主旨の実験が数多く行われ,その度に２,３年後には反証される
ということが繰り返されてきたのですが,今やその理由を説明する
ことができます。
簡単のため,総エネルギー運動量テンソル:Ｔμν＝ＴEMμν＋Ｔmatμν
についての式:∂Ｔμν/∂ｘν＝0,かつＴμν＝Ｔνμを取り上げて
考察してみます。
どんな実験もエネルギー運動量テンソル全体については敏感ですが,
角運動量や線運動量については,あまり敏感ではありません。
そこで,任意に与えられた実験においてＴXμνを実験結果には意味のある
効果を与えない物質場のエネルギー運動量テンソルの部分項として,
Ｔmat'μν≡Ｔmatμν－ＴXμνによって新しい物質場テンソル:
Ｔmat'μνを定義します。
実験における挙動の予測において,このＴmat'μνをＴmatμνの代わりに
使用するとき,ある実験では前のＴmatμνを用いた場合と同じく,なお
"正しい"結果が得られることもあり,また別の実験ではそうではない
ということが有り得ます。
これを描写するため,Minkowskiの電磁テンソルを考察してみます。
一般に,このテンソルは孤立して物質場は無いＴmat'μν≡0 として,
単独で用いられることが多いのですが,Minkowskiの電磁テンソル:
ＴEMμνは非対称なので,
Ｔmat'μν≡Ｔmatμν－ＴXμν,および
ＴEMμν＋Ｔmatμν＝ＴEMνμ＋ＴmatνμよりＴXμνなる項も,
また非対称であると結論されます。
そのため,Minkowskiの電磁エネルギー運動量テンソルは直線型の実験では大いにうまくいきましたが,単独では回転的実験を正しく説明できませんでした。
これは,対応する物質場テンソルを無視したためであると推測されます。
こうしてMinkowskiの電磁テンソルではＴmat'μν≡ Ｔmatμν－ＴXμν
なる変換が直線型の実験では前と同じ結果になり,回転的実験では
そうではないということで,
ある実験では,前のＴmatμνを用いた場合と同じ結果が得られることも
あり,また別の実験ではそうではないということが有り得るという事実
の典型例になっています。
個々に与えられた電磁場と物質場のテンソルの対は,何らかの失敗が生じるまでは広い範囲の実験にわたってうまくいきますが,そのうち生じる失敗はそれまでの実験では導入されていなかった新しい相互作用の結果として起こり得ることになります。
それ故,ＴXμνはこれまでの実験には影響しない新しい項として記述されるわけです。
多くの場合,実験は電磁エネルギー運動量テンソルの１つが非正当であるという言明を引き起こしますが,必ず適切な項が見つかって,それに対応する物質場のテンソルに加えると,新しく正しく修正された物質場のテンソルにより該当する電磁場テンソルの非正当性は覆されます。
その結果,物質場に必要な項を付加すれば,正当でないとされたどんな電磁場テンソルも救済されます。
AbrahamのテンソルもMinkowskiのテンソルも,一般に電磁圧の効果が組み込まれたケースでは用いることはできません。
結局,AbrahamとMinkowskiの電磁エネルギー運動量テンソルの等価性の実際的で明解な立証は1973年にGordonによって遂行されました。
彼の証明は,AshkinとDziedzicの実験に反応してなされたものです。
彼は,電磁場テンソルに沿って進む物質場テンソルに関連した成分は,その媒質の音速で伝播すること,そしてDziedzicの実験における光学的パルスは流体内の圧力が平衡値に達するのに充分なほど長く,
それ故,圧力のような純粋に物質的な効果をも考慮に入れる必要があることを立証しました。
それから,彼は任意の輻射パルスが空気と流体の境界を横切る際にAbrahamとMinkowskiの電磁エネルギー運動量テンソルの両方が同じ挙動を予測することを示しました。
全ての実在物体はある程度まで変形可能であり,Gordonの証明の中で考慮されている効果に類似した手順での張力や圧力の伝達を許します。
そこで,Gordonの証明は履歴現象のような散逸効果が無視できるほど十分変形が小さいような任意の等方的な誘電媒体に容易に一般化され,また,より大きい変形や非等方的なケースにも外挿できる可能性を有しています。
また,非一様な誘電物質についても,それらを無限小の一様な塊へと分解することによって,結局一様媒質と同様に扱うことができます。
Gordonの仕事は,やがてPeierls(1976,1977)によって弾性的な固体中の有限幅の光子ビームにも適用できるように拡張されて,いくつかの興味深い結果に結びつきました。
もっとも,後にRobinson(1975)は,Gordonの結果は比誘電率が１に近いような物質に対してのみ有効であるという限界性を指摘しました。
また,誘電媒質の変形可能性がGordonのアプローチにとって根本的なことですから剛体的な誘電体を扱う際には不適切になる障害もあるようです。
さて,1972年のde Groot and Suttorpの仕事は,その内部で電磁エネルギー運動量テンソルの異なる選択の等価性の証明となるべき理論的枠組みを与えました。
特に,AbrahamとMinkowskiのような特別な電磁エネルギー運動量テンソルを普通に用いるときについて,これを具体的に陽に示すという主旨の論題については少しの間,論争を滞らせました。
しかし,すぐにMikra(1976),Kranys~(1979,1982)がAbrahamのテンソルとMinkowskiのテンソルの等価性の短い証明を与えました。
彼らはPenfieldとHausの仕事もde Grootと Suttorpの仕事も知らないで独自に研究したようでした。
そのうち,Mikra(1976)の論文は,読みやすく数式的に詳しいものです。
それからも,色々あったようですが,結局「総エネルギー運動量とは,そもそも何物か？」という新しくてはっきりとした疑問も生まれました。
「あらゆる環境で我々の必要性に仕する総エネルギー運動量の単一の表現が存在し,それを書き下すことが可能だろうか？」という疑問です。
しかし,生憎そうした万能の表現を見出すことに関する答はノーです。
でも幸いなことに,多くの環境では媒質中の物性の完全なる理解が要求されるわけではありません。
1976年に,Mikuraは非粘性,圧縮性,非分散性,分極性を持ち,磁化可能な等方性流体の総エネルギー運動量テンソルの１つの理想化された形式を導出しました。
彼の論文には電磁圧も音波も含まれています。
論文の後の方では,大抵の環境では簡単のためこれらの項は省略されていますが,全体の表現では全てが明記されています。
以下,Mikraの導出したエネルギー運動量テンソルを,ここで用いている単位系に修正して紹介します。
まず,総エネルギー運動量テンソルの成分Ｔμνを様々な部分系の成分の和として,Ｔμν＝Ｔ(m)μν＋Ｔ(f)μν＋Ｔ(P)μν＋Ｔ(M)μν＋Ｔ(d)μν
と書きます。
ここに,
Ｔ(m)μν＝(ρ0ｃ2＋ρ0εi)ｕμｕν＋φ(ｕμｕν＋δμν),
Ｔ(f)μν＝ε0ｃ2{ＦμλＦνλ－(1/4)Ｆ2λσδμν},
Ｔ(P)μν＝α-1{ＰμλＰνλ－(1/4)Ｐ2λσδμν},
Ｔ(M)μν＝－ＦμλＭ*νλ－(1/4)β-1Ｍ2λσδμν,
Ｔ(d)μν＝β-1ＭμλＭνλ＋Ｆ*μλＭνλ
です。
ただし,Ｘ2λσなる表現は,実は添字λ,σには無関係なスカラー
Ｘ2λσ≡ＸλσＸλσを表わし,Ｘ*μνはＸ*μν≡(1/2)εμνλσＸλσ
で定義されるＸμνに双対な,または対偶のテンソルです。
なお,εμνλσはLevi-Civitaの記号です。
上記テンソルの内訳としては,Ｔ(m)μνが機械的な流体の流れ,
電気圧,磁気圧による項から成るもの,Ｔ(ｆ)μνが自由空間での
電磁場と同等な項からなるもの,Ｔ(P)μνが媒体物質の分極に関連
した項から成るもの,
そして,Ｔ(M)μνとＴ(d)μνが磁化に関連した項から成るものです。
Ｔ(d)μνは,続いて行なうAbrahamとMinkowskiの電磁エネルギー運動量テンソルの導出を容易にするために,Ｔ(M)μνから分離させられた項です。
ただし,ρ0は局所静止系での物質密度,ｕμは局所媒質要素の４元速度
です。
また,εiは非電磁的性質を持つ比内部エネルギーで,それはρ0と
比弾性エントロピーｓiの関数です。
αとβは,α≡ε－ε0,β≡μ0-1－μ-1によって電気定数ε,ε0,
磁気定数μ,μ0に関係付けられる量です。
δμνは,もちろんKroneckerのデルタ記号です。
さらに,φ≡φh－(1/4)ＫaＰ2λσ＋(1/4)ＫbＭ2λσです。
ただし,Ｋa≡ρ0{∂(1/α)/∂ρ0}|s,Ｋb≡ρ0{∂(1/β)/∂ρ0}|sです。
そして,φhは流体の総静水圧を表わすもので,これは
φh＝ρ02(∂εi/∂ρ0)で与えられます。
電磁場関連の項について,Ｆμνは普通の電磁場のテンソルです。
そして,分極テンソルＰμνと磁化テンソルＭμνは,それぞれ与えられた
座標系での３次元の分極ベクトルＰ,および磁化ベクトルＭに,次のよう
に関連付けられたものです。
すなわち,Ｐμν≡(1/ｃ)(ｖμＰν－ｖνＰμ),
Ｍμν≡(1/ｃ)(ｖμＭν－ｖνＭμ)です。
ただしｖ0＝ｃ,Ｐ0＝Ｍ0＝0 としています。
分極ベクトルＰと磁化ベクトルＭは,電磁場の強さを示すＥ,Ｂ,Ｄ,
Ｈ (Ｄ＝εＥ,Ｂ＝μＨ)と,相対論的関係式:
Ｄ＝ε0Ｅ＋Ｐ＋(ｖ/ｃ)×Ｍ,Ｈ＝Ｂ/μ0－Ｍ＋(ｖ/ｃ)×Ｐ
によって関係付けられる量です。
このテンソル表現によれば,総運動量ｇと応力テンソルｔは
ｇi≡Ｔi0/ｃ,ｔij≡－Ｔijにより,
ｇ＝{ρ0(ｃ2＋ρ0εi)＋φ}γ2ｖ/ｃ＋ε0Ｅ×Ｂ＋ｃ-2α-1Ｐ×(ｖ×Ｐ)＋ｃ-2β-1Ｍ×(ｖ×Ｍ)－ｃ-2Ｂ×(ｖ×Ｍ)＋ｃ-2Ｅ×Ｍ,
および,
ｔ＝－ρ0(ｃ2＋εi)ｃ-2γ2ｖ∧ｖ＋φ(ｃ-2γ2ｖ∧ｖ＋Ｉ)
＋ε0Ｅ∧Ｅ＋μ0-1Ｂ∧Ｂ－(1/2)(ε0Ｅ2＋μ0-1Ｂ2)Ｉ
＋α-1[Ｐ∧Ｐ＋ｃ-2(ｖ×Ｐ)∧(ｖ×Ｐ)
－(1/2){ｃ-2(ｖ×Ｐ)2－Ｐ2}Ｉ]＋β-1[Ｍ∧Ｍ
＋ｃ-2(ｖ×Ｍ)∧(ｖ×Ｍ)－(1/2){ｃ-2(ｖ×Ｍ)2－Ｍ2}Ｉ]
－Ｂ∧Ｍ－Ｍ∧Ｂ＋ｃ-2Ｅ∧(ｖ×Ｍ)
＋ｃ-2(ｖ×Ｍ)∧Ｅ＋{ｃ-2Ｅ(ｖ×Ｍ)－ＢＭ}Ｉ
となります。
ここで,ｘ∧ｙなる記号は,(ｘ∧ｙ)ij＝ｘiｙjなるテンソル積を
意味します。またＩij＝δijです。
あらゆる場の成分にわたるtrace(対角和)はゼロなので,
場は質量ゼロの光子の場と比較できる意味を持ちます。
Mikuraに従って,上記の総エネルギー運動量テンソルＴμνを,
Abrahamの表現とMinkowskiの表現のそれぞれについて,
電磁場テンソル:ＴEMμνと物質場テンソル:Ｔmatμνの対に
分解します。
分解というのは,Ｔμν＝ＴEMμν＋Ｔmatμνです。
まず,Abrahamでは単にＴmat,Abrμν＝Ｔ(m)μν,
ＴEM,Abrμν＝Ｔ(f)μν＋Ｔ(P)μν＋Ｔ(M)μν＋Ｔ(d)μν
です。
Minkowskiによる表現を求めるために,
Ｃμν≡α-1ＰμλＰνλ－ＦμλＰνλなるテンソルを定義すると,
Ｔmat,Minkμν＝Ｔ(m)μν＋Ｔ(d)μν＋Ｃμν,
ＴEM,Minkμν＝Ｔ(f)μν＋Ｔ(P)μν＋Ｔ(M)μν－Ｃμν
となります。
これらは非相対論的極限では次のように書くことができて,
電磁場のテンソルとして馴染み深い表現になります。
すなわち,Abraham電磁場テンソルの行列:(ＴEM,Abrμν)は,
１行目が((1/2)(ＥＤ＋ＨＢ),ｃ-1Ｅ×Ｈ),その下の2,3,4行目は
(ｃ-1Ｅ×Ｈ,－Ｅ∧Ｄ－Ｈ∧Ｂ＋(1/2)(ＥＤ＋ＨＢ)Ｉ)です。
Minkowski電磁場テンソルの行列(ＴEM,Abrμν)は,１行目は
Abrahamと同じく((1/2)(ＥＤ＋ＨＢ),ｃ-1Ｅ×Ｈ)ですが,
その下の行は(ｃＤ×Ｂ,－Ｅ∧Ｄ－Ｈ∧Ｂ＋(1/2)(ＥＤ＋ＨＢ)Ｉ)
となります。
ちなみに,物質場テンソルも同じように表現すると,Abrahamの表現での
物質場テンソルの行列(Ｔmat,Abrμν)は,１行目が
(ρ0(ｃ2＋εi),ρ0ｃｖ),2,3,4行目は(ρ0ｃｖ,ρ0ｖ∧ｖ＋φＩ)
です。
一方Minkowskiの表現では,行列(ＴEM,Abrμν)は１行目は,
Abrahamと同じく(ρ0(ｃ2＋εi),ρ0ｃｖ),その下の行は
(ρ0ｃｖ－ｃＤ×Ｂ＋ｃ-1Ｅ×Ｈ,ρ0ｖ∧ｖ＋φＩ)
です。
このように陽な表現にすると,Minkowskiの物質場テンソルから
Abrahamの力が生起するのは明らかです。
今や,群速度の変化に付随した屈折率ｎgの一様な誘電体物質の塊に総運動量ｐと体積Ｖを持つ光の波束が入射する,という典型的な例について考察することが可能になりました。
これまで媒質を構成する物質を真空ではないことを総称する意味で常に
誘電体と呼んできました。
しかし,ここでは構成物質は磁性体ですが,誘電体ではない:
εr≡ε/ε0＝1,μr≡μ/μ0≠1であると仮定します。
こう仮定しても一般性が失われることはありません。
この物質中では光の波束の群速度はｃ/ｎgです。
一方,これに伴って波束の全体積もＶからＶ/ｎgに減少し,総運動量はｐのまま保存されますから入射前の波束の自由空間での総運動量密度をｇfと書けば誘電体物質中での総運動量密度はｇ＝ｎgｇfとなります。
ところが,自由真空での電場をＥ,磁束密度をＢ＝μ0Ｈとすると,自由真空での運動量密度はｇf＝ｃ-2Ｅ×Ｈ＝ｃ-2μ0-1Ｅ×Ｂです。
そして,今は媒体物質は磁性体ですが誘電体ではないと仮定しているので,電場Ｅはこの物質内でも自由真空内と同じであるはずです。
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