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2009年2月13日 (金)

相対論の幾何学(第Ⅲ部-3)(リーマン幾何学(3))

相対論の幾何学シリーズ第Ⅲ部リーマン幾何学の続きです。

まず,前回の記事の最後の部分で与えたアファイン接続(affine connection;アフィン接続)の定義を再掲するところから始めます。

※(再掲開始)

[定義Ⅲ.3]アファイン接続∇とは,(^,^)に∇X^を対応させる1つの写像∇:(M)×(M)→(M)であって次の条件を満たすものをいう。ここで(M)は多様体M上のベクトル場の全体を指す。

 

 満たすべき条件とは,∀^,^,^∈(M),およびM上の任意関数fに対して,∇X(^+^)=∇X^+∇X^,∇(X+Y)^=∇X^+∇Y^,∇fX^=f∇X^,∇X(f^)=^[f]^+f∇X^が成立することである。

 M上で座標x=φ(p)を持つチャート(U,φ)を選びm3個の接続係数と呼ばれる変数Γ≡{Γλνμ}を∇νμ≡∇μλΓλνμで定義します。ただし,{μ}={∂/∂xμ}はTp(M)の座標基底です。

 こうしてアファイン接続∇の基底ベクトル{μ}への作用∇νμ≡∇μが定義されれば,∇の任意のベクトルへの作用が計算可能です。

 

 例えば^=Vμμ,^=Wμμ∈Tp(M)に対して,∇^=Vμ(Wνν)=Vμ{μ[Wν]+Wνν}=Vμ(∂Wλ/∂xμ+WνΓλμν)λとなります。

 

 右辺における因子は先に直感的に得られた共変微分に形が一致していますね。

 そこで,∇μλ≡∂Wλ/∂xμ+WνΓλμνとおけば,アファイン接続∇は2つのベクトル^=Vμμ,^=Wμμ∈Tp(M)を新しいベクトル∇^=Vμ(∂Wν/∂xμ+WνΓλμν)λに移し,これのλ番目の成分がVμμλで与えられることになります。

 

 ∇^はV^=[^,^]とは異なって^の微分を含みませんから,この意味で共変微分は関数の方向微分のテンソルへの一般化になっています。(再掲終わり)※

さて,上のアファイン接続∇の定義は,ベクトル場に対するもので,これは直感的ではないベクトル場への方向微分の拡張という形での共変微分を与えるものです。

 

しかし,まだスカラー,つまり多様体M上の任意関数fを含めた一般のテンソルに対する接続∇,または共変微分の明確な定義を与えるという課題が残されています。

まず,M上の任意関数fに対しては,∇f≡^[f]として方向微分∇^をfの共変微分と定義します。

こうすると,先の定義にある∀^,^∈(M)に対する規則:∇X(f^)=^[f]^+f∇X^は∇X(f^)=(∇f)^+f∇X^となって通常の微分が満たすのと同じライプニッツ則に一致します。

そこで,任意のテンソル場T1,T2の積に対しても,ライプニッツ則が成立することを要求します。すなわち,∇X(T12)=(∇1)2+T1(∇2)の成立を要求します。

 

テンソル場の共変微分(接続)がこの条件を満たすという取り決めによって共変微分は一意的に決まります。

特に,この等式は両辺のテンソルの成分表示において,幾つかの上下の添字を縮約しても成立するはずです。

 

そこで,1-形式ω∈Ω1(M);ω≡ωμdxμとベクトル場^∈(M);^≡Yμμの内積:<ω,^>=スカラーについても,∇X(<ω,^>)=<∇ω,^>+<ω,∇^>となります。

定義によって∇X(<ω,^>)=^[<ω,^>]=Xμμ<ω,^>=Xμμλλ)です。

 

また,∇^=Xμ(∂μλ+Γλμνν)λ=Xμ(∂μλ+Γλμνν)∂λよって,<ω,∇^>=ωλμ(∂μλ+Γλμνν)ですから,<∇ω,^>=∇X(<ω,^>)-<ω,∇^>=Xμ(Yλμωλ-Γλμννωλ)=Yνμ(∂μων-Γλμνωλ)が得られます。

したがって,∇ω≡Xμ(∂μων-Γλμνωλ)={Xμ(∂μων-Γλμνωλ)}dxνとなります。これが1-形式ωの共変微分です。

 

特に,^=α=δμαμとおけば,∇μω=(∂μων-γλμνωλ)dxν,すなわち(∇μω)ν=∂μων-Γλμνωλを得ます。

 

さらに,ω=dxα=δμαdxμとおけば∇μdxν=-Γνμλdxλが得られます。

これらは容易に一般化されて,∇μλ1..λpν1..νq=∂μλ1..λpν1..νq+Γλ1μσσλ2..λpν1..νq+..+Γλpμσλ1..λp-1σν1..νq-Γσμν1λ2..λpσν2..νq-..-Γσμνqλ1..λp-1σν1..νq-1σとなります。

 

そして,この表現がtλ1..λpν1..νqなる成分を持つ(p,q)型テンソルの共変微分をユニークに定めることがわかります。

次に,アファイン接続の接続係数Γλμνが,多様体上の座標,つまりチャートの選択によって,どのように変換されるかを考えます。

接続係数Γλμνを与えるチャート(U,φ);x=φ(p)に対してU∩V≠φを満たす別のチャート(V,ψ);y=ψ(p)があるとき,それぞれの座標に対するベクトル場の座標基底を,{μ}≡{∂/∂xμ},{α}≡{∂/∂yα}と書くことにします。

 

そして,y座標に対応する接続係数をΓ~γαβとします。

 

x座標に対応する接続係数Γλμνが∇μν=∇νλΓλμνで定義される量ですから,接続係数Γ~γαβは∇βγΓ~γαβで定義されます。

そして,共変微分の演算子∇そのものが共変ベクトルなので,∇(∂xμ/∂yα)∇です。

 

そこで,これにα=∂/∂yα=(∂xμ/∂yα)(∂/∂xμ)=(∂xμ/∂yα)μを代入すると,∇β=∇{(∂xμ/∂yβ)μ}=(∂2μ/∂yα∂yβ)μ+(∂xμ/∂yβ)(∂xλ/∂yα)∇μ=[(∂2ρ/∂yα∂yβ)+(∂xλ/∂yα)(∂xμ/∂yβρλμ]ρとなります。

一方,γΓ~γαβ=(∂xρ/∂yγ)Γ~γαβρですから,結局(∂xρ/∂yγ)Γ~γαβ=(∂2ρ/∂yα∂yβ)+(∂xλ/∂yα)(∂xμ/∂yβρλμなる式を得ます。

 

故に,接続係数はΓ~γαβ=(∂xλ/∂yα)(∂xμ/∂yβ)(∂yγ/∂xρρλμ+(∂2μ/∂yα∂yβ)(∂yγ/∂xμ)と変換される必要があります。

これまでは,接続Γを任意の量としてきましたが多様体に計量(metric)が与えられると,可能な接続の形として適当な制限を与えることができます。

 

そこで,計量gμνが共変的に一定,すなわち,2つのベクトル^,^∈(M)が任意の曲線に沿って平行移動されたとき,それらの内積が平行移動の下で一定であることを要求します。

微分多様体M上の各点p∈Mで定義された(0,2)型テンソルgp:Tp(M)→;∀^,^∈Tp(M)⊂(M)に対してgp(^,^)=gμνμνを与えるgp,またはgμνを計量と呼んで,<^,^>≡gp(^,^)=gμνμν^,^の内積と解釈します。

 

そして,平行移動の下で<^,^>が一定なことをgμνが共変的に一定と呼び,逆に平行移動の条件として要求するわけです。

 

μνが共変的に一定であるという要求から,^,^∈Tp(M)が任意の曲線に沿って平行移動されるとき,^を点p∈Mでのその曲線の接ベクトルとすると,0=∇{gp(^,^)}=Vμ[(∇μp)(^,^)+gp(∇μ^,^)+gp(^,∇μ^)]となります。

 

そして平行移動の定義によって,∇^=Vμμ^=0,かつ ∇^=Vμμ^=0 なので,Vμ(∇μp)(^,^)=Vσμν(∇σg)μν=0 が成立します。

^,^が任意ベクトルなので,(∇σg)μν=0 ,つまり∂λμν-Γσλνσν-Γσλμμσ=0 です。

 

これを満たすアファイン接続∇は,計量と両立するといいます。あるいは,これを満たすアファイン接続∇を単に計量接続と呼びます。

λμν-Γσλνμσ-Γσλμσν0 の(λ,μ,ν)の巡回置換は,∂μνλ-Γσμλνσ-Γσμνσλ=0,∂νλμ-Γσνμλσ-Γσνλσμ=0 です。

 

これらから,-∂μνλ+∂μνλ+∂νλμ+Tσλμσν+Tσλνσμ-2Γσ(μν)σλ=0 を得ます。ここにTσλμ≡2Γσ{λμ}≡Γσλμ-Γσμλσ(μν)≡(Γσμν+Γσνμ)/2です。

σλμを成分とするテンソルを捩率テンソルと呼びます。σλμは下添字について反対称,つまりσλμ=-Tσμλです。

最後の等式:-∂μνλ+∂μνλ+∂νλμ+Tσλμσν+Tσλνσμ-2Γσ(μν)σλ=0 をΓσ(μν)について解けば,Γσ(μν){σ,μν}+(Tνσμσ+Tμσν)/2 を得ます。

 

ここに,{σ,μν}は{σ,μν}≡(1/2)gσλ(∂μνλ+∂νλμ-∂μνλ)で定義される量で,これをクリストッフェルの記号(Christoffel's symbol)と呼びれます。

そこで,結局Γσμν=Γσ(μν)+Γσ{μν}={σ,μν}+(Tνσμσ+Tμσν+Tσμν)/2が得られます。

  

最右辺の第2項:Kσμν≡(Tνσμσ+Tμσν+Tσμν)/2 を歪率と呼びます。

特に多様体Mの上で捩率テンソル{Tσλμ}がゼロ:Γσλμ=Γσμλが成立する場合には,Kσμν≡0 でΓσμν={σ,μν}となります。このときの計量接続∇をレビ・チビタ接続(Levi-Civita接続)といいます。

接続Γ={Γσμν}はテンソルではないので,多様体の曲がり具合を測る物指しとしての本質的な幾何学的意味を持ち得ません。

  

そこで本質的意味を持つものとして,捩率テンソルT:(M)(M)→(M)とリーマン曲率テンソル(Riemannian curvature)R:(M)(M)(M)→(M)というものを定義します。

TはT(^,^)≡∇^-∇^-[^,^],RはR(^,^,^)≡∇^-∇^-∇[X,Y]^で定義されます。

 

Rは^に対する作用と見て,R(^,^,^)の代わりにR(^,^)^と書くことがあります。

  

これらは,明らかに^,^)について反対称でT(^,^)=-T(^,^),R(^,^)^=-R(^,^)^を満たします。

^=Xμμ,^=Yμμと成分で書けばT(^,^)=XμνT(μ,ν)∈(M)ですから,Tは(1,2)型テンソルでT(^,^)=Tσμνμνσ,またはTσμν=(dxσ,T(μ,ν))によって成分Tσμνが与えられます。

[μ,ν]=[∂μ,∂ν]=0 なので,Tσμν=(dxσ,T(μ,ν))=(dxσ,∇μν-∇νμ)=(dxσλμνλ-Γλνμλ)=Γσλμ-Γσμλです。

 

そこで,これは確かに先に成分で定義した捩率テンソルTσλμ≡2Γσ{λμ}≡Γσλμ-Γσμλの表現と一致します。

一方,R(f^,g^,h^)=f∇{g∇(h^)}-g∇{f∇(h^)}-f^[g]∇(h^)+g^[f]∇(h^)-fg∇[X,Y](h^)=fg[∇(h^)-∇(h^)-∇[X,Y](h^)]=fghR(^,^,^)なので,Rは多重線形です。

 

それ故,R(^,^,^)=XλμνR(λ,μ,ν)と書けることから,Rもテンソルであることがわかります。

Rは(1,3)型テンソルで,(dxσ,R(λ,μ,ν))=(dxσ,∇λμν-∇μλν)=(dxσ,∇λρμνρ)-∇μρλνρ))=(dxσ,(∂λΓρμνρ+ΓρμνΓηλρη)-(∂μΓρλνρ+ΓρλνΓημρη))です。

曲率Rの成分の添字を,何故この順序に取るのが慣例なのかはわかりませんが,Rσνλμ=(dxσ,R(λ,μ,ν))とおいて,Rσνλμ=∂λΓσμν-∂μΓσλν+ΓρμνΓσλρ-ΓρλνΓσμρ,またはRσλμν=(dxσ,R(μ,ν)λ)=∂μΓσνλ-∂νΓσμλ+ΓρνλΓσμρ-ΓρμλΓσνρを得ます。

テンソルの反対称性T(^,^)=-T(^,^),R(^,^)^=-R(^,^)^から,成分の添字についての反対称性Tσλμ≡=-Tσμλ,Rσλμν=-Rσλνμも明らかです。

ここで,R,Tをそれぞれ曲率テンソル,捩率テンソルと呼ぶことの物理的意味を考えてみます。

  

p∈Mを始点とする無限小の平行四辺形pqrsを取ります。そしてεμμ}を無限小として,p,q,r,sの座標をそれぞれ{xμ},{xμ+εμ},{xμ+εμ+δμ},{xμ+δμ}とします。

p∈Mにおけるあるベクトル^∈Tp(M)を経路C≡pqrに沿って平行移動します。

 

まず,VCμ(q)=Vμ-VλΓμνλ(p)ενです。

 

さらにVCμ(r)=VCμ(q)-VCλ(q)Γμνλ(q)δν=Vμ-VλΓμνλ(p)εν-{Vλ-VρΓλσρ(p)εσμνλ(q)δν=Vμ-VλΓμνλ(p)εν-VλΓμνλ(p)δν-Vρ{∂λΓμνρ(p)-Γσλρ(p)Γμνσ(p)}ελδνとなります。

一方,同じベクトル^∈Tp(M)を経路C'≡psrに沿って平行移動すると,VC'μ(r)=Vμ-VλΓμνλ(p)εν-VλΓμνλ(p)δν-Vρ{∂νΓμλρ(p)-Γσνρ(p)Γμλσ(p)}ελδνです。

 

したがって,VC'μ(r)-VCμ(r)=Vρ{∂λΓμνρ(p)-∂νΓμλρ(p)+Γσνρ(p)Γμλσ(p)-Γσλρ(p)Γμνσ(p)}ελδν=Vρμρλνελδνで書けます。

 

要約すれば,VC'σ-VCσ=Vρσρλνελδνです。そしてελδνは微小平行四辺形の面積を表わす無限小テンソルです。

ところで,電磁場μに対してFμνを電場,磁場を与える場の強さとして,Aμの線積分にストークスの定理を適用すればC-C'μ=∫(∇×Aμ)d=∫FμνdSμνと書けます。ここでdSλνは経路C-C'が囲む無限小面積です。

 

そこで,この等式においてdSλνは先の無限小平行四辺形pqrsの面積ελδνとdSλν~ελδνなる対応があると考えられます。

 

また,場の強さFμνは,電磁場と同じYang-Mills理論のゲージ場,あるいは非可換ゲージ理論のゲージ場Aμに対するときには曲率テンソルと同定されます。

 

そこで,VC'σ-VCσ~ -∫C-C'μ,Vρσρλν~ -Fλνという対応が成立すると考えられます。

 

この対応では,Vρσρλνが丁度非可換ゲージでの"場の強さ=曲率テンソル"に相当します。

 

実際に詳しい成分としての添字対応は次のようになります。

 

すなわち,局所対称な変換群Gがあるとき,その生成子を{Ta}(a,b,c=1,2,..N)とすれば,Gに対応する非可換ゲージ場の4元ポテンシャルはAμ≡∑a=1Naμaで,共変微分はDμ≡∂μ+igAμで定義されます。

 

このとき,"場の強さ=曲率テンソル"は一般にFμν≡∂μν-∂νμ-(i/g)[Dμ,Dν]=∂μν-∂νμ+ig[Aμ,Aν]で与えられます。

 

さらに,Fμν≡∑a=1Naμνaであり,Faμν≡∂μaν-∂νaμ-gfabcbμcνです。

 

そこで,VC'σ-VCσ~ -∫C-C'aμ,Vρσρλν~ -Faλνと書けば,添字σと添字aが対応していると考えられます。

 

添字を省略した大まかな対応としては,∂V~A,VR~F~∂Aですが,弱い重力場の近似では,∂Γがニュートンの万有引力に相当します。

 

これが,電場や磁場とF~∂Γのように対応するとすれば,F~∂Aより電磁場のようなゲージ場Aに対応するのは,クリストッフェル記号で与えられるような接続係数Γの場です。すなわち,Γ~Aですね。

 

そこで重力場をゲージ場として定式化できるとすれば,ゲージ場Aに相当するのは計量gではなくて,接続係数Γの方ですね。

 

そして,∂V~AですからΓ~Aは∂V~Γを意味しますが,これはVが重力場の計量gを表わす場合:V=g,Γ~ ∂V=∂gに相当しています。そこで対応:VR~ F~ ∂Aも,正しくはgR~ F~ ∂A,またはgR~ ∂Γなる対応ですね。

 

2006年5/11の記事「波動関数の位相と電磁場」2007年8/24,8/25の記事「磁気単極子(モノポール)」,「磁気単極子(モノポール)(補遺))」も参照してください。

今日はここで終わります。

参考文献:中原幹夫 著「理論物理学のための幾何学とトポロジー」(ピアソン・エデュケーション)

 

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