相対論の幾何学(第Ⅲ部-3)(リーマン幾何学(3))

相対論の幾何学シリーズ第Ⅲ部リーマン幾何学の続きです。

まず,前回の記事の最後の部分で与えたアファイン接続(affine connection;アフィン接続)の定義を再掲するところから始めます。

※(再掲開始)

[定義Ⅲ.3]アファイン接続∇とは,(Ｘ^,Ｙ^)に∇_XＹ^を対応させる１つの写像∇:Ｘ(Ｍ)×Ｘ(Ｍ)→Ｘ(Ｍ)であって次の条件を満たすものをいう。ここでＸ(Ｍ)は多様体Ｍ上のベクトル場の全体を指す。

　満たすべき条件とは,∀Ｘ^,Ｙ^,Ｚ^∈Ｘ(Ｍ),およびＭ上の任意関数ｆに対して,∇_X(Ｙ^＋Ｚ^)＝∇_XＹ^＋∇_XＺ^,∇_(X+Y)Ｚ^＝∇_XＺ^＋∇_YＺ^,∇_fXＹ^＝ｆ∇_XＹ^,∇_X(ｆＹ^)＝Ｘ^[ｆ]Ｙ^＋ｆ∇_XＹ^が成立することである。

　Ｍ上で座標ｘ＝φ(ｐ)を持つチャート(Ｕ,φ)を選びｍ³個の接続係数と呼ばれる変数Γ≡{Γ^λ_νμ}を∇_νｅ_μ≡∇_eνｅ_μ＝ｅ_λΓ^λ_νμで定義します。ただし,{ｅ_μ}＝{∂/∂ｘ^μ}はＴ_p(Ｍ)の座標基底です。

　こうしてアファイン接続∇の基底ベクトル{ｅ_μ}への作用∇_νｅ_μ≡∇_eνｅ_μが定義されれば,∇の任意のベクトルへの作用が計算可能です。

　例えばＶ^＝Ｖ^μｅ_μ,Ｗ^＝Ｗ^μｅ_μ∈Ｔ_p(Ｍ)に対して,∇_ＶＷ^＝Ｖ^μ∇_eμ(Ｗ^νｅ_ν)＝Ｖ^μ{ｅ_μ[Ｗ^ν]＋Ｗ^ν∇_eμｅ_ν}＝Ｖ^μ(∂Ｗ^λ/∂ｘ^μ＋Ｗ^νΓ^λ_μν)ｅ_λとなります。

　右辺における因子は先に直感的に得られた共変微分に形が一致していますね。

　そこで,∇_μＷ^λ≡∂Ｗ^λ/∂ｘ^μ＋Ｗ^νΓ^λ_μνとおけば,アファイン接続∇は２つのベクトルＶ^＝Ｖ^μｅ_μ,Ｗ^＝Ｗ^μｅ_μ∈Ｔ_p(Ｍ)を新しいベクトル∇_ＶＷ^＝Ｖ^μ(∂Ｗ^ν/∂ｘ^μ＋Ｗ^νΓ^λ_μν)ｅ_λに移し,これのλ番目の成分がＶ^μ∇_μＷ^λで与えられることになります。

　∇_ＶＷ^はＬ_VＷ^＝[Ｖ^,Ｗ^]とは異なってＶ^の微分を含みませんから,この意味で共変微分は関数の方向微分のテンソルへの一般化になっています。(再掲終わり)※

さて,上のアファイン接続∇の定義は,ベクトル場に対するもので,これは直感的ではないベクトル場への方向微分の拡張という形での共変微分を与えるものです。

しかし,まだスカラー,つまり多様体Ｍ上の任意関数ｆを含めた一般のテンソルに対する接続∇,または共変微分の明確な定義を与えるという課題が残されています。

まず,Ｍ上の任意関数ｆに対しては,∇_Ｘｆ≡Ｘ^[ｆ]として方向微分∇_Ｘ＝Ｘ^をｆの共変微分と定義します。

こうすると,先の定義にある∀Ｘ^,Ｙ^∈Ｘ(Ｍ)に対する規則:∇_X(ｆＹ^)＝Ｘ^[ｆ]Ｙ^＋ｆ∇_XＹ^は∇_X(ｆＹ^)＝(∇_Ｘｆ)Ｙ^＋ｆ∇_XＹ^となって通常の微分が満たすのと同じライプニッツ則に一致します。

そこで,任意のテンソル場Ｔ₁,Ｔ₂の積に対しても,ライプニッツ則が成立することを要求します。すなわち,∇_X(Ｔ₁⊗Ｔ₂)＝(∇_ＸＴ₁)⊗Ｔ₂＋Ｔ₁⊗(∇_ＸＴ₂)の成立を要求します。

テンソル場の共変微分(接続)がこの条件を満たすという取り決めによって共変微分は一意的に決まります。

特に,この等式は両辺のテンソルの成分表示において,幾つかの上下の添字を縮約しても成立するはずです。

そこで,１-形式ω∈Ω¹(Ｍ);ω≡ω_μｄｘ^μとベクトル場Ｙ^∈Ｘ(Ｍ);Ｙ^≡Ｙ^μ∂_μの内積:＜ω,Ｙ^＞＝スカラーについても,∇_X(＜ω,Ｙ^＞)＝＜∇_Ｘω,Ｙ^＞＋＜ω,∇_ＸＹ^＞となります。

定義によって∇_X(＜ω,Ｙ^＞)＝Ｘ^[＜ω,Ｙ^＞]＝Ｘ^μ∂_μ＜ω,Ｙ^＞＝Ｘ^μ∂_μ(ω_λＹ^λ)です。

また,∇_ＸＹ^＝Ｘ^μ(∂_μＹ^λ＋Γ^λ_μνＹ^ν)ｅ_λ＝Ｘ^μ(∂_μＹ^λ＋Γ^λ_μνＹ^ν)∂_λよって,＜ω,∇_ＸＹ^＞＝ω_λＸ^μ(∂_μＹ^λ＋Γ^λ_μνＹ^ν)ですから,＜∇_Ｘω,Ｙ^＞＝∇_X(＜ω,Ｙ^＞)－＜ω,∇_ＸＹ^＞＝Ｘ^μ(Ｙ^λ∂_μω_λ－Γ^λ_μνＹ^νω_λ)＝Ｙ^νＸ^μ(∂_μω_ν－Γ^λ_μνω_λ)が得られます。

したがって,∇_Ｘω≡Ｘ^μ(∂_μω_ν－Γ^λ_μνω_λ)ｅ^*ν＝{Ｘ^μ(∂_μω_ν－Γ^λ_μνω_λ)}ｄｘ^νとなります。これが１-形式ωの共変微分です。

特に,Ｘ^＝ｅ_α＝δ^μ_α∂_μとおけば,∇_μω＝(∂_μω_ν－γ^λ_μνω_λ)ｄｘ^ν,すなわち(∇_μω)_ν＝∂_μω_ν－Γ^λ_μνω_λを得ます。

さらに,ω＝ｄｘ^α＝δ_μ^αｄｘ^μとおけば∇_μｄｘ^ν＝－Γ^ν_μλｄｘ^λが得られます。

これらは容易に一般化されて,∇_μｔ^λ1..λp_ν1..νq＝∂_μｔ^λ1..λp_ν1..νq＋Γ^λ1_μσｔ^σλ2..λp_ν1..νq＋..＋Γ^λp_μσｔ^λ1..λp-1σ_ν1..νq－Γ^σ_μν1ｔ^λ2..λp_σν2..νq－..－Γ^σ_μνqｔ^λ1..λp-1σ_ν1..νq-1σとなります。

そして,この表現がｔ^λ1..λp_ν1..νqなる成分を持つ(ｐ,ｑ)型テンソルの共変微分をユニークに定めることがわかります。

次に,アファイン接続の接続係数Γ^λ_μνが,多様体上の座標,つまりチャートの選択によって,どのように変換されるかを考えます。

接続係数Γ^λ_μνを与えるチャート(Ｕ,φ);ｘ＝φ(ｐ)に対してＵ∩Ｖ≠φを満たす別のチャート(Ｖ,ψ);ｙ＝ψ(ｐ)があるとき,それぞれの座標に対するベクトル場の座標基底を,{ｅ_μ}≡{∂/∂ｘ^μ},{ｆ_α}≡{∂/∂ｙ^α}と書くことにします。

そして,ｙ座標に対応する接続係数をΓ~^γ_αβとします。

ｘ座標に対応する接続係数Γ^λ_μνが∇_μｅ_ν＝∇_eμｅ_ν≡ｅ_λΓ^λ_μνで定義される量ですから,接続係数Γ~^γ_αβは∇_fαｆ_β≡ｆ_γΓ~^γ_αβで定義されます。

そして,共変微分の演算子∇そのものが共変ベクトルなので,∇_fα＝(∂ｘ^μ/∂ｙ^α)∇_eμです。

そこで,これにｆ_α＝∂/∂ｙ^α＝(∂ｘ^μ/∂ｙ^α)(∂/∂ｘ^μ)＝(∂ｘ^μ/∂ｙ^α)ｅ_μを代入すると,∇_fαｆ_β＝∇_fα{(∂ｘ^μ/∂ｙ^β)ｅ_μ}＝(∂²ｘ^μ/∂ｙ^α∂ｙ^β)ｅ_μ＋(∂ｘ^μ/∂ｙ^β)(∂ｘ^λ/∂ｙ^α)∇_eλｅ_μ＝[(∂²ｘ^ρ/∂ｙ^α∂ｙ^β)＋(∂ｘ^λ/∂ｙ^α)(∂ｘ^μ/∂ｙ^β)Γ^ρ_λμ]ｅ_ρとなります。

一方,ｆ_γΓ~^γ_αβ＝(∂ｘ^ρ/∂ｙ^γ)Γ~^γ_αβｅ_ρですから,結局(∂ｘ^ρ/∂ｙ^γ)Γ~^γ_αβ＝(∂²ｘ^ρ/∂ｙ^α∂ｙ^β)＋(∂ｘ^λ/∂ｙ^α)(∂ｘ^μ/∂ｙ^β)Γ^ρ_λμなる式を得ます。

故に,接続係数はΓ~^γ_αβ＝(∂ｘ^λ/∂ｙ^α)(∂ｘ^μ/∂ｙ^β)(∂ｙ^γ/∂ｘ^ρ)Γ^ρ_λμ＋(∂²ｘ^μ/∂ｙ^α∂ｙ^β)(∂ｙ^γ/∂ｘ^μ)と変換される必要があります。

これまでは,接続Γを任意の量としてきましたが多様体に計量(metric)が与えられると,可能な接続の形として適当な制限を与えることができます。

そこで,計量ｇ_μνが共変的に一定,すなわち,２つのベクトルＸ^,Ｙ^∈Ｘ(Ｍ)が任意の曲線に沿って平行移動されたとき,それらの内積が平行移動の下で一定であることを要求します。

微分多様体Ｍ上の各点ｐ∈Ｍで定義された(0,2)型テンソルｇ_p:Ｔ_p(Ｍ)→Ｒ;∀Ｘ^,Ｙ^∈Ｔ_p(Ｍ)⊂Ｘ(Ｍ)に対してｇ_p(Ｘ^,Ｙ^)＝ｇ_μνＸ^μＹ^νを与えるｇ_p,またはｇ_μνを計量と呼んで,＜Ｘ^,Ｙ^＞≡ｇ_p(Ｘ^,Ｙ^)＝ｇ_μνＸ^μＹ^νをＸ^,Ｙ^の内積と解釈します。

そして,平行移動の下で＜Ｘ^,Ｙ^＞が一定なことをｇ_μνが共変的に一定と呼び,逆に平行移動の条件として要求するわけです。

ｇ_μνが共変的に一定であるという要求から,Ｘ^,Ｙ^∈Ｔ_p(Ｍ)が任意の曲線に沿って平行移動されるとき,Ｖ^を点ｐ∈Ｍでのその曲線の接ベクトルとすると,0＝∇_Ｖ{ｇ_p(Ｘ^,Ｙ^)}＝Ｖ^μ[(∇_μｇ_p)(Ｘ^,Ｙ^)＋ｇ_p(∇_μＸ^,Ｙ^)＋ｇ_p(Ｘ^,∇_μＹ^)]となります。

そして平行移動の定義によって,∇_ＶＸ^＝Ｖ^μ∇_μＸ^＝0,かつ ∇_ＶＹ^＝Ｖ^μ∇_μＹ^＝0 なので,Ｖ^μ(∇_μｇ_p)(Ｘ^,Ｙ^)＝Ｖ^σＸ^μＹ^ν(∇_σｇ)_μν＝0 が成立します。

Ｘ^,Ｙ^が任意ベクトルなので,(∇_σｇ)_μν＝0 ,つまり∂_λｇ_μν－Γ^σ_λνｇ_σν－Γ^σ_λμｇ_μσ＝0 です。

これを満たすアファイン接続∇は,計量と両立するといいます。あるいは,これを満たすアファイン接続∇を単に計量接続と呼びます。

∂_λｇ_μν－Γ^σ_λνｇ_μσ－Γ^σ_λμｇ_σν＝0 の(λ,μ,ν)の巡回置換は,∂_μｇ_νλ－Γ^σ_μλｇ_νσ－Γ^σ_μνｇ_σλ＝0,∂_νｇ_λμ－Γ^σ_νμｇ_λσ－Γ^σ_νλｇ_σμ＝0 です。

これらから,－∂_μｇ_νλ＋∂_μｇ_νλ＋∂_νｇ_λμ＋Ｔ^σ_λμｇ_σν＋Ｔ^σ_λνｇ_σμ－2Γ^σ_(μν)ｇ_σλ＝0 を得ます。ここにＴ^σ_λμ≡2Γ^σ_{λμ}≡Γ^σ_λμ－Γ^σ_μλ,Γ^σ_(μν)≡(Γ^σ_μν＋Γ^σ_νμ)/2です。

Ｔ^σ_λμを成分とするテンソルを捩率テンソルと呼びます。Ｔ^σ_λμは下添字について反対称,つまりＴ^σ_λμ＝－Ｔ^σ_μλです。

最後の等式:－∂_μｇ_νλ＋∂_μｇ_νλ＋∂_νｇ_λμ＋Ｔ^σ_λμｇ_σν＋Ｔ^σ_λνｇ_σμ－2Γ^σ_(μν)ｇ_σλ＝0 をΓ^σ_(μν)について解けば,Γ^σ_(μν)＝{σ,μν}＋(Ｔ_ν^σ_μｇ_σ＋Ｔ_μ^σ_ν)/2 を得ます。

ここに,{σ,μν}は{σ,μν}≡(1/2)ｇ^σλ(∂_μｇ_νλ＋∂_νｇ_λμ－∂_μｇ_νλ)で定義される量で,これをクリストッフェルの記号(Christoffel's symbol)と呼びれます。

そこで,結局Γ^σ_μν＝Γ^σ_(μν)＋Γ^σ_{μν}＝{σ,μν}＋(Ｔ_ν^σ_μｇ_σ＋Ｔ_μ^σ_ν＋Ｔ^σ_μν)/2が得られます。

最右辺の第２項:Ｋ^σ_μν≡(Ｔ_ν^σ_μｇ_σ＋Ｔ_μ^σ_ν＋Ｔ^σ_μν)/2 を歪率と呼びます。

特に多様体Ｍの上で捩率テンソル{Ｔ^σ_λμ}がゼロ:Γ^σ_λμ＝Γ^σ_μλが成立する場合には,Ｋ^σ_μν≡0 でΓ^σ_μν＝{σ,μν}となります。このときの計量接続∇をレビ・チビタ接続(Levi-Civita接続)といいます。

接続Γ＝{Γ^σ_μν}はテンソルではないので,多様体の曲がり具合を測る物指しとしての本質的な幾何学的意味を持ち得ません。

そこで本質的意味を持つものとして,捩率テンソルＴ:Ｘ(Ｍ)⊗Ｘ(Ｍ)→Ｘ(Ｍ)とリーマン曲率テンソル(Riemannian curvature)Ｒ:Ｘ(Ｍ)⊗Ｘ(Ｍ)⊗Ｘ(Ｍ)→Ｘ(Ｍ)というものを定義します。

ＴはＴ(Ｘ^,Ｙ^)≡∇_ＸＹ^－∇_ＹＸ^－[Ｘ^,Ｙ^],ＲはＲ(Ｘ^,Ｙ^,Ｚ^)≡∇_Ｘ∇_ＹＺ^－∇_Ｙ∇_ＸＺ^－∇_[Ｘ,Ｙ]Ｚ^で定義されます。

ＲはＺ^に対する作用と見て,Ｒ(Ｘ^,Ｙ^,Ｚ^)の代わりにＲ(Ｘ^,Ｙ^)Ｚ^と書くことがあります。

これらは,明らかにＸ^,Ｙ^)について反対称でＴ(Ｘ^,Ｙ^)＝－Ｔ(Ｙ^,Ｘ^),Ｒ(Ｘ^,Ｙ^)Ｚ^＝－Ｒ(Ｙ^,Ｘ^)Ｚ^を満たします。

Ｘ^＝Ｘ^μｅ_μ,Ｙ^＝Ｙ^μｅ_μと成分で書けばＴ(Ｘ^,Ｙ^)＝Ｘ^μＹ^νＴ(ｅ_μ,ｅ_ν)∈Ｘ(Ｍ)ですから,Ｔは(1,2)型テンソルでＴ(Ｘ^,Ｙ^)＝Ｔ^σ_μνＸ^μＹ^νｅ_σ,またはＴ^σ_μν＝(ｄｘ^σ,Ｔ(ｅ_μ,ｅ_ν))によって成分Ｔ^σ_μνが与えられます。

[ｅ_μ,ｅ_ν]＝[∂_μ,∂_ν]＝0 なので,Ｔ^σ_μν＝(ｄｘ^σ,Ｔ(ｅ_μ,ｅ_ν))＝(ｄｘ^σ,∇_μｅ_ν－∇_νｅ_μ)＝(ｄｘ^σ,Γ^λ_μνｅ_λ－Γ^λ_νμｅ_λ)＝Γ^σ_λμ－Γ^σ_μλです。

そこで,これは確かに先に成分で定義した捩率テンソルＴ^σ_λμ≡2Γ^σ_{λμ}≡Γ^σ_λμ－Γ^σ_μλの表現と一致します。

一方,Ｒ(ｆＸ^,ｇＹ^,ｈＺ^)＝ｆ∇_Ｘ{ｇ∇_Ｙ(ｈＺ^)}－ｇ∇_Ｙ{ｆ∇_Ｘ(ｈＺ^)}－ｆＸ^[ｇ]∇_Ｙ(ｈＺ^)＋ｇＹ^[ｆ]∇_Ｘ(ｈＺ^)－ｆｇ∇_[Ｘ,Ｙ](ｈＺ^)＝ｆｇ[∇_Ｘ∇_Ｙ(ｈＺ^)－∇_Ｙ∇_Ｘ(ｈＺ^)－∇_[Ｘ,Ｙ](ｈＺ^)]＝ｆｇｈＲ(Ｘ^,Ｙ^,Ｚ^)なので,Ｒは多重線形です。

それ故,Ｒ(Ｘ^,Ｙ^,Ｚ^)＝Ｘ^λＹ^μＺ^νＲ(ｅ_λ,ｅ_μ,ｅ_ν)と書けることから,Ｒもテンソルであることがわかります。

Ｒは(1,3)型テンソルで,(ｄｘ^σ,Ｒ(ｅ_λ,ｅ_μ,ｅ_ν))＝(ｄｘ^σ,∇_λ∇_μｅ_ν－∇_μ∇_λｅ_ν)＝(ｄｘ^σ,∇_λ(Γ^ρ_μνｅ_ρ)－∇_μ(Γ^ρ_λνｅ_ρ))＝(ｄｘ^σ,(∂_λΓ^ρ_μνｅ_ρ＋Γ^ρ_μνΓ^η_λρｅ_η)－(∂_μΓ^ρ_λνｅ_ρ＋Γ^ρ_λνΓ^η_μρｅ_η))です。

曲率Ｒの成分の添字を,何故この順序に取るのが慣例なのかはわかりませんが,Ｒ^σ_νλμ＝(ｄｘ^σ,Ｒ(ｅ_λ,ｅ_μ,ｅ_ν))とおいて,Ｒ^σ_νλμ＝∂_λΓ^σ_μν－∂_μΓ^σ_λν＋Γ^ρ_μνΓ^σ_λρ－Γ^ρ_λνΓ^σ_μρ,またはＲ^σ_λμν＝(ｄｘ^σ,Ｒ(ｅ_μ,ｅ_ν)ｅ_λ)＝∂_μΓ^σ_νλ－∂_νΓ^σ_μλ＋Γ^ρ_νλΓ^σ_μρ－Γ^ρ_μλΓ^σ_νρを得ます。

テンソルの反対称性Ｔ(Ｘ^,Ｙ^)＝－Ｔ(Ｙ^,Ｘ^),Ｒ(Ｘ^,Ｙ^)Ｚ^＝－Ｒ(Ｙ^,Ｘ^)Ｚ^から,成分の添字についての反対称性Ｔ^σ_λμ≡＝－Ｔ^σ_μλ,Ｒ^σ_λμν＝－Ｒ^σ_λνμも明らかです。

ここで,Ｒ,Ｔをそれぞれ曲率テンソル,捩率テンソルと呼ぶことの物理的意味を考えてみます。

ｐ∈Ｍを始点とする無限小の平行四辺形ｐｑｒｓを取ります。そしてε^μ,δ^μ}を無限小として,ｐ,ｑ,ｒ,ｓの座標をそれぞれ{ｘ^μ},{ｘ^μ＋ε^μ},{ｘ^μ＋ε^μ＋δ^μ},{ｘ^μ＋δ^μ}とします。

ｐ∈ＭにおけるあるベクトルＶ^∈Ｔ_p(Ｍ)を経路Ｃ≡ｐｑｒに沿って平行移動します。

まず,Ｖ_C^μ(ｑ)＝Ｖ^μ－Ｖ^λΓ^μ_νλ(ｐ)ε^νです。

さらにＶ_C^μ(ｒ)＝Ｖ_C^μ(ｑ)－Ｖ_C^λ(ｑ)Γ^μ_νλ(ｑ)δ^ν＝Ｖ^μ－Ｖ^λΓ^μ_νλ(ｐ)ε^ν－{Ｖ^λ－Ｖ^ρΓ^λ_σρ(ｐ)ε^σ}Γ^μ_νλ(ｑ)δ^ν＝Ｖ^μ－Ｖ^λΓ^μ_νλ(ｐ)ε^ν－Ｖ^λΓ^μ_νλ(ｐ)δ^ν－Ｖ^ρ{∂_λΓ^μ_νρ(ｐ)－Γ^σ_λρ(ｐ)Γ^μ_νσ(ｐ)}ε^λδ^νとなります。

一方,同じベクトルＶ^∈Ｔ_p(Ｍ)を経路Ｃ'≡ｐｓｒに沿って平行移動すると,Ｖ_C'^μ(ｒ)＝Ｖ^μ－Ｖ^λΓ^μ_νλ(ｐ)ε^ν－Ｖ^λΓ^μ_νλ(ｐ)δ^ν－Ｖ^ρ{∂_νΓ^μ_λρ(ｐ)－Γ^σ_νρ(ｐ)Γ^μ_λσ(ｐ)}ε^λδ^νです。

したがって,Ｖ_C'^μ(ｒ)－Ｖ_C^μ(ｒ)＝Ｖ^ρ{∂_λΓ^μ_νρ(ｐ)－∂_νΓ^μ_λρ(ｐ)＋Γ^σ_νρ(ｐ)Γ^μ_λσ(ｐ)－Γ^σ_λρ(ｐ)Γ^μ_νσ(ｐ)}ε^λδ^ν＝Ｖ^ρＲ^μ_ρλνε^λδ^νで書けます。

要約すれば,Ｖ_C'^σ－Ｖ_C^σ＝Ｖ^ρＲ^σ_ρλνε^λδ^νです。そしてε^λδ^νは微小平行四辺形の面積を表わす無限小テンソルです。

ところで,電磁場Ａ^μに対してＦ_μνを電場Ｅ,磁場Ｂを与える場の強さとして,Ａ^μの線積分にストークスの定理を適用すれば∫_C-C'Ａ^μｄｒ＝∫(∇×Ａ^μ)ｄＳ＝∫Ｆ_μνｄＳ^μνと書けます。ここでｄＳ^λνは経路Ｃ-Ｃ'が囲む無限小面積です。

そこで,この等式においてｄＳ^λνは先の無限小平行四辺形ｐｑｒｓの面積ε^λδ^νとｄＳ^λν～ε^λδ^νなる対応があると考えられます。

また,場の強さＦ_μνは,電磁場と同じYang-Mills理論のゲージ場,あるいは非可換ゲージ理論のゲージ場Ａ^μに対するときには曲率テンソルと同定されます。

そこで,Ｖ_C'^σ－Ｖ_C^σ～ －∫_C-C'Ａ^μｄｒ,Ｖ^ρＲ^σ_ρλν～ －Ｆ_λνという対応が成立すると考えられます。

この対応では,Ｖ^ρＲ^σ_ρλνが丁度非可換ゲージでの"場の強さ＝曲率テンソル"に相当します。

実際に詳しい成分としての添字対応は次のようになります。

すなわち,局所対称な変換群Ｇがあるとき,その生成子を{Ｔ^a}(ａ,ｂ,ｃ＝1,2,..Ｎ)とすれば,Ｇに対応する非可換ゲージ場の４元ポテンシャルはＡ_μ≡∑_a=1^NＡ^a_μＴ^aで,共変微分はＤ_μ≡∂_μ＋iｇＡ_μで定義されます。

このとき,"場の強さ＝曲率テンソル"は一般にＦ_μν≡∂_μＡ_ν－∂_νＡ_μ－(i/ｇ)[Ｄ_μ,Ｄ_ν]＝∂_μＡ_ν－∂_νＡ_μ＋iｇ[Ａ_μ,Ａ_ν]で与えられます。

さらに,Ｆ_μν≡∑_a=1^NＦ^a_μνＴ^aであり,Ｆ^a_μν≡∂_μＡ^a_ν－∂_νＡ^a_μ－ｇｆ_abcＡ^b_μＡ^c_νです。

そこで,Ｖ_C'^σ－Ｖ_C^σ～ －∫_C-C'Ａ^aμｄｒ,Ｖ^ρＲ^σ_ρλν～ －Ｆ^a_λνと書けば,添字σと添字ａが対応していると考えられます。

添字を省略した大まかな対応としては,∂Ｖ～Ａ,ＶＲ～Ｆ～∂Ａですが,弱い重力場の近似では,∂Γがニュートンの万有引力に相当します。

これが,電場や磁場とＦ～∂Γのように対応するとすれば,Ｆ～∂Ａより電磁場のようなゲージ場Ａに対応するのは,クリストッフェル記号で与えられるような接続係数Γの場です。すなわち,Γ～Ａですね。

そこで重力場をゲージ場として定式化できるとすれば,ゲージ場Ａに相当するのは計量ｇではなくて,接続係数Γの方ですね。

そして,∂Ｖ～ＡですからΓ～Ａは∂Ｖ～Γを意味しますが,これはＶが重力場の計量ｇを表わす場合:Ｖ＝ｇ,Γ～ ∂Ｖ＝∂ｇに相当しています。そこで対応:ＶＲ～ Ｆ～ ∂Ａも,正しくはｇＲ～ Ｆ～ ∂Ａ,またはｇＲ～ ∂Γなる対応ですね。

2006年５/11の記事「波動関数の位相と電磁場」2007年８/24,８/25の記事「磁気単極子(モノポール)」,「磁気単極子(モノポール)(補遺))」も参照してください。

今日はここで終わります。

参考文献：中原幹夫 著「理論物理学のための幾何学とトポロジー」(ピアソン・エデュケーション)

http://folomy.jp/heart/「folomy 物理フォーラム」サブマネージャーです。

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