相対論の幾何学(第Ⅲ部-4:coffee-break)

相対論の幾何学シリーズの第Ⅲ部リーマン幾何学の続きです。ちょっとここで一休みしてコーヒー・ブレイクです。

リーマン幾何学というよりも,本来の主題である全体としての物理学としての見通しとして相対論のイメージを取り戻したいと思います。

相対論の幾何学シリーズの第Ⅰ部で曲面上の曲線の曲率から直観幾何学的な考察で得られたガウス曲率や平均曲率という比較的素朴な曲面の曲率概念と,第Ⅲ部で得られた計量のある可微分多様体の上のアファイン接続に基づく曲率テンソルの定義を比較してみます。

そのため,第Ⅰ部の復習を兼ねて2008年７月から11月までの「相対論の幾何学(第Ⅰ部)」のシリーズ記事のうちの空間曲面の幾何学関連の記事から適宜抜粋参照して要約します。

まず,３次元空間内の曲面を,平面内の領域Ｄを定義域とする実数パラメータｕ,ｖのベクトル値関数ｒ(ｕ,ｖ)＝(ｘ(ｕ,ｖ),ｙ(ｕ,ｖ),ｚ(ｕ,ｖ)),(ｕ,ｖ)∈Ｄとして定義します。

ただし,ｘ,ｙ,ｚはｕ,ｖで３回連続偏微分可能(Ｃ³-級)であり,２行３列のヤコービ行列:^t(∂ｒ/∂ｕ,∂ｒ/∂ｖ)の階数は２とします。

ｒ(ｕ,ｖ)で,ｖ＝ｂを固定してｕだけを変化させる１パラメータのベクトル値関数ｒ(ｕ,ｂ)は,ｕ＝ａで点ｒ(ａ,ｂ)を通る曲面上の１つの曲線を表わします。そして,この曲線上の点ｒ(ａ,ｂ)における接ベクトルはｒ_u(ａ,ｂ)≡(∂ｒ/∂ｕ)_(a,b)で与えられます。

同様にｕ＝ａを固定した場合の曲線ｒ(ａ,ｖ)上の点ｒ(ａ,ｂ)における接ベクトルはｒ_v(ａ,ｂ)≡(∂ｒ/∂ｖ)_(a,b)で与えられます。

仮定により,行列:^t(∂ｒ/∂ｕ,∂ｒ/∂ｖ)_(a,b)の階数は２なので,ｒ_u(ａ,ｂ) ≡(∂ｒ/∂ｕ)_(a,b)とｒ_v(ａ,ｂ)≡(∂ｒ/∂ｖ)_(a,b)は１次独立なベクトルです。

　曲面ｒ(ｕ,ｖ)の各点でｒ_uとｒ_vの線形結合ξｒ_u＋ηｒ_vの形で表わされるベクトルを総称して,その点における曲面の接ベクトルといい,接ベクトル全体で張られる平面を接平面といいます。

そして,ｒ_uとｒ_vの外積:ｒ_u×ｒ_vによって,ｅ≡(ｒ_u×ｒ_v)/|ｒ_u×ｒ_v|を定義すると,これは曲面ｒ(ｕ,ｖ)の法単位ベクトルになります。

法ベクトルの直交性を内積で表現する式:(ｒ_u,ｅ)＝0, (ｒ_v,ｅ)＝0 をさらにｕ,ｖで偏微分すると,(ｒ_uu,ｅ)＋(ｒ_u,ｅ_u)＝0, (ｒ_uv,ｅ)＋(ｒ_u,ｅ_v)＝0 ,(ｒ_vu,ｅ)＋(ｒ_v,ｅ_u)＝0 ,(ｒ_vv,ｅ)＋(ｒ_v,ｅ_v)＝0 が得られます。

そして,３つのｕ,ｖの関数Ｌ,Ｍ,ＮをＬ≡(ｒ_uu,ｅ)＝－(ｒ_u,ｅ_u),Ｍ≡(ｒ_uv,ｅ)＝(ｒ_vu,ｅ)＝－(ｒ_u,ｅ_v)＝(ｒ_v,ｅ_u),Ｎ≡(ｒ_vv,ｅ)＝－(ｒ_v,ｅ_v)で定義します。

こうして曲面上の各点で定義した各々の３つのベクトルの組:ｒ_u,ｒ_v,ｅは明らかに１次独立ですから,３次元空間の任意のベクトルは全てこれらを基底とする線形結合で表わすことができます。

例えば,パラメータｕ,ｖによる２階偏導関数ベクトル:ｒ_uu,ｒ_uv,ｒ_vu,ｒ_vvは,ｒ_uu＝Γ^ｕ_uuｒ_uｄ＋Γ^v_uuｒ_v＋Ｌｅ,ｒ_uv＝Γ^u_uvｒ_u＋

Γ^v_uvｒ_v＋Ｍｅ,ｒ_vu＝Γ^u_vuｒ_u＋Γ^v_vuｒ_v＋Ｍｅ,ｒ_vv＝Γ^u_vvｒ_u＋Γ^v_vvｒ_v＋Ｎｅと表わすことができます。

これをガウスの公式といいます。係数のうちのΓをクリストッフェルの記号(Christoffel's symbol)といいます。

この各点で,基底ｒ_u,ｒ_v,ｅの代わりに,例えばｅ₁≡ｒ_u/|ｒ_u|,ｅ₂≡{ｒ_v－(ｒ_v,ｅ₁)ｅ₁}/|ｒ_v－(ｒ_v,ｅ₁)ｅ₁|,ｅ₃≡ｅ₁×ｅ₂で定義されるｅ₁,ｅ₂,ｅ₃を基底にとれば,ｅ₁,ｅ₂が接平面の基底をなし互いに直交する３つの単位ベクトルの系,つまり(ｅ_i,ｅ_j)≡^tｅ_iｅ_j＝δ_ijを満たす正規直交系ｅ₁,ｅ₂,ｅ₃が得られます。

こうした正規直交系の基底ｅ₁,ｅ₂,ｅ₃を正規直交標構と呼びます。

接平面の異なる２組の基底{ｒ_u,ｒ_v},{ｅ₁,ｅ₂}は,ある線型結合ｒ_u＝ａ₁¹ｅ₁＋ａ₁²ｅ₂,ｒ_v＝ａ₂¹ｅ₁＋ａ₂²ｅ₂によって関連付けられます。これは(ｉ,ｊ)成分がａ_jⁱの２×２行列Ａ(detＡ≠0)を用いた,(ｒ_u,ｒ_v)＝(ｅ₁,ｅ₂)Ａなる表現とも解釈できます。

ただし,最後の表現式(ｒ_u,ｒ_v)＝(ｅ₁,ｅ₂)Ａにおいては,(ｒ_u,ｒ_v),(ｅ₁,ｅ₂)という記号は,これが他のほとんどの場所で表現する内積記号(ｅ_i,ｅ_j)≡^tｅ_iｅ_jetc.ではなく,単に空間ベクトルを並べて書いただけの行列の意味です。右辺の(ｅ₁,ｅ₂)Ａも単に行列としての積です。

ここで,ｕｖ平面上の曲線(ｕ,ｖ)＝(ｕ(ｓ),ｖ(ｓ))に対応する曲面ｒ(ｕ,ｖ)上の曲線ｒ(ｓ)＝ｒ(ｕ(ｓ),ｖ(ｓ))を考えると,ｄｓに対するこの曲線上の点の微小変位ｄｒは,ｄｕ＝(ｄｕ/ｄｓ)ｄｓ,ｄｖ＝(ｄｖ/ｄｓ)ｄｓを用いた表現ではｄｒ＝ｒ_uｄｕ＋ｒ_vｄｖとなります。

これはまた,ｒ_u＝ａ₁¹ｅ₁＋ａ₁²ｅ₂,ｒ_v＝ａ₂¹ｅ₁＋ａ₂²ｅ₂によって,ｄｒ＝(ａ₁¹ｅ₁＋ａ₁²ｅ₂)ｄｕ＋(ａ₂¹ｅ₁＋ａ₂²ｅ₂)ｄｖ＝(ａ₁¹ｄｕ＋ａ₂¹ｄｖ)ｅ₁＋(ａ₁²ｄｕ＋ａ₂²ｄｖ)ｅ₂と書けます。

そこで,θ¹≡ａ₁¹ｄｕ＋ａ₂¹ｄｖ,θ²≡ａ₁²ｄｕ＋ａ₂²ｄｖと定義すれば,ｄｒ＝θ¹ｅ₁＋θ²ｅ₂となってｄｒをｅ₁,ｅ₂の線型結合の形で表わせます。

そして,曲面ｒ(ｕ,ｖ)上で多様体の計量ｄｓ²に相当する量は,曲面ｒ(ｕ,ｖ)の第１基本形式Ｉ≡(ｄｒ,ｄｒ)＝^tｄｒｄｒで定義されます。ｄｒ＝θ¹ｅ₁＋θ²ｅ₂を代入すると I＝θ¹θ¹＋θ²θ²とも書けます。

また,ｄｒ＝ｒ_uｄｕ＋ｒ_vｄｖなる表現からは,Ｉ≡Ｅ(ｄｕｄｕ)＋2Ｆ(ｄｕｄｖ)＋Ｇ(ｄｖｄｖ)となります。ここに,Ｅ≡(ｒ_u,ｒ_u)＝^tｒ_uｒ_u,Ｆ≡(ｒ_u,ｒ_v)＝^tｒ_uｒ_v,Ｇ≡(ｒ_v,ｒ_v)＝^tｒ_vｒ_vです。

つぎに,曲面の曲率概念を定義します。

曲面ｒ(ｕ,ｖ)上の曲線ｒ(ｓ)＝ｒ(ｕ(ｓ),ｖ(ｓ))に対して,ｒ'(ｓ)＝ｄｒ/ｄｓはｒ(ｓ)の接ベクトルなので,点ｒ(ｓ)において曲面ｒ(ｕ,ｖ)に接しています。

しかし,ベクトルｒ"(ｓ)＝ｄ²ｒ/ｄｓ²は一般に曲面ｒ(ｕ,ｖ)の"接平面上のベクトル＝接ベクトル"ではありません。ｒ"(ｓ)の絶対値κ(ｓ)≡|ｒ"(ｓ)|は曲線の曲率と定義されます。

ｒ"(ｓ)を点ｒ(ｓ)での曲面の接ベクトル成分:ｋ_gと法ベクトル成分:ｋ_nの和に分解します。すなわち,ｒ"(ｓ)＝ｋ_g＋ｋ_nと書きます。

そして,ｋ_gを曲線ｒ(ｓ)の測地的曲率ベクトル,ｋ_nを法曲率ベクトルと呼びます。

これらの曲率の成分ベクトルのうちで,曲面ｒ(ｕ,ｖ)の接平面に垂直な曲率成分であるｋ_nについて考察します。

ｋ_nは法ベクトルなので,単位法ベクトル:ｅ＝(ｒ_u×ｒ_v)/|ｒ_u×ｒ_v|によって,ｋ_n＝κ_nｅと表現されます。値κ_nを法曲率と呼びます。

これはなおκ_n＝(ｋ_n,ｅ)＝(ｒ"－ｋ_g,ｅ)＝(ｒ",ｅ)＝－(ｒ',ｅ')＝－(ｄｒ/ｄｓ,ｄｅ/ｄｓ)＝－(ｒ_u(ｄｕ/ｄｓ)＋ｒ_v(ｄｖ/ｄｓ),ｅ_u(ｄｕ/ｄｓ)＋ｅ_v(ｄｖ/ｄｓ))≡Ｌ(ｄｕ/ｄｓ)(ｄｕ/ｄｓ)＋2Ｍ(ｄｕ/ｄｓ)(ｄｖ/ｄｓ)＋Ｎ(ｄｖ/ｄｓ)(ｄｖ/ｄｓ)と変形できます。

曲面ｒ(ｕ,ｖ)上の１点ｒ₀＝ｒ(ｕ₀,ｖ₀)における任意の単位接ベクトルをｗとすれば,ｗ＝ξｒ_u(ｕ₀,ｖ₀)＋ηｒ_v(ｕ₀,ｖ₀),かつ|ｗ|＝１と書けます。

記号Πを,Π(ｗ)≡Ｌξ²＋2Ｍξη＋Ｎη²によって定義すると,上に定義した法曲率:κ_n(ｓ)はκ_n(ｓ)＝Π(ｒ'(ｓ))と表現されます。

|ｗ|²＝Ｅξ²＋2Ｆξη＋Ｇη²＝１であって,ｗが点ｒ₀を中心とする接平面上の単位円の周上にあるという条件の下で,接ベクトルの法線成分Π(ｗ)＝Ｌξ²＋2Ｍξη＋Ｎη²が如何なるときに最大値,最小値を取るか？という問題を考えます。

この問題は,結局λ(ｗ)≡(Ｌξ²＋2Ｍξη＋Ｎη²)/(Ｅξ²＋2Ｆξη＋Ｇη²)なる量λが無条件((ξ,η)≠(0,0))で,最大値,最小値を取る問題と同等なことがわかります。

そして,λ(ｗ)≡(Ｌξ²＋2Ｍξη＋Ｎη²)/(Ｅξ²＋2Ｆξη＋Ｇη²)なる式は,Ｌξ²＋2Ｍξη＋Ｎη²－λ(ｗ)(Ｅξ²＋2Ｆξη＋Ｇη²)＝0,つまりΠ(ｗ)－λ(ｗ)|ｗ|²＝0 なる等式と同値です。

一方,λ(ｗ)が無条件で最大値,最小値を取るための必要条件は∂λ/∂ξ＝0,∂λ/∂η＝0 で与えられます。

そこで,Π(ｗ)－λ(ｗ)|ｗ|²＝0 の両辺をξ,ηで微分し,それぞれ∂λ/∂ξ,∂λ/∂ηをゼロとおけば,(Ｌ－λＥ)ξ＋(Ｍ－λＦ)η＝0,(Ｍ－λＦ)ξ＋(Ｎ－λＧ)η＝0 なる式を得ます。これは,Ｌξ＋Ｍη＝λ(Ｅξ＋Ｆη),Ｍξ＋Ｎη＝λ(Ｆξ＋Ｇη)とも書けます。

これをξ,ηを未知数とする連立１次方程式と考えると,方程式が(ξ,η)≠(0,0)の自明でない解を持つためには,係数の作る行列の行列式がゼロになることが必要十分です。すなわち,(ＥＧ－Ｆ²)λ²－(ＥＮ＋ＧＬ－2ＦＭ)λ＋ＬＮ－Ｍ²＝0 が成立する必要があります。

このλの２次方程式の２つの根をλ＝κ₁,κ₂とすると,根と係数の関係からκ₁κ₂＝(ＬＮ－Ｍ²)/(ＥＧ－Ｆ²),(κ₁＋κ₂)/2＝(ＥＮ＋ＧＬ－2ＦＭ)/{2(ＥＧ－Ｆ²)}となります。

そして,Ｋ≡κ₁κ₂,Ｈ≡(κ₁＋κ₂)/2 と定義してＫをガウスの曲率,Ｈを平均曲率と呼びます。

さて,正規直交標構ｅ_iの微分ｄｅ_iも３次元空間のベクトルなので,これらはｄｅ_i＝Σ_j=1³ω_i^jｅ_j,または(ｉ,ｊ)成分がω_jⁱの３×３行列Ωによってｄ(ｅ₁,ｅ₂,ｅ₃)＝(ｄｅ₁,ｄｅ₂,ｄｅ₃)＝(ｅ₁,ｅ₂,ｅ₃)Ωと表わせます。

ただし,ｄｅ_i＝(∂ｅ_i/∂ｕ)ｄｕ＋(∂ｅ_i/∂ｖ)ｄｖ＝Σ_j=1³ω_i^jｅ_jで,ｄｅ_ｉはｕ,ｖの１次の無限小ですからｄｅ_i＝Σ_j=1³ω_i^jｅ_jの係数ω_i^jは全てｄｕ,ｄｖの線型結合で与えられるはずです。

そして,(ｅ_i,ｅ_j)＝δ_ijより,(ｄｅ_i,ｅ_j)＋(ｅ_i,ｄｅ_j)＝0 です。これとｄｅ_i＝Σ_j=1ω_i^jｅ_jによってω_i^j＋ω_jⁱ＝0 (ｉ,ｊ＝1,2,3)が得られます。つまり,Ωは交代行列であり対角成分は全てゼロです。

ところで,θ¹＝ａ₁¹ｄｕ＋ａ₂¹ｄｖ,θ²＝ａ₁²ｄｕ＋ａ₂²ｄｖ,すなわち,^t(θ¹,θ²)＝Ａ^t(ｄｕ,ｄｖ)ですが,detＡ≠0 よりＡの逆行列Ａ^-1が存在しますから,この式の両辺に右からＡ^-1を掛ければ,^t(ｄｕ,ｄｖ)＝Ａ^-1t(θ¹,θ²)を得ます。

そして,上で述べたようにω_i^jは全てｄｕ,ｄｖの線型結合で与えられるはずですから,ω_i^jはθ¹,θ²の線型結合で書けます。

例えばｄｅ₃＝ｄｅの係数ω₁³とω₂³であれば,ω₁³＝ｂ₁₁θ¹＋ｂ₁₂θ²,ω₂³＝ｂ₂₁θ¹＋ｂ₂₂θ²,または(ｉ,ｊ)成分がｂ_ijの２×２行列Ｂで ^t(ω₁³,ω₂³)＝Ｂ^t(θ¹,θ²)と書けます。

ｄｅ₃＝ｄｅ＝ｅ_uｄｕ＋ｅ_vｄｖの両辺とｒ_uの内積を取れば(ｄｅ₃,ｒ_u)＝(ｅ_u,ｒ_u)ｄｕ＋(ｅ_v,ｒ_u)ｄｖ＝(ω₃¹ｅ₁＋ω₃²ｅ₂,ａ₁¹ｅ₁＋ａ₁²ｅ₂)＝ω₁³ａ₁¹＋ω₂³ａ₁²が成立します。

同様に,(ｄｅ₃,ｒ_ｖ) ＝(ｅ_u,ｒ_v)ｄｕ＋(ｅ_v,ｒ_v)ｄｖ＝ω₁³ａ₂¹＋ω₂³ａ₂²も成り立ちます。

そこで,行列Ｓ≡^t(ｅ_u,ｅ_v)(ｒ_u,ｒ_v)を作ると,これらの関係式はＳ^t(ｄｕ,ｄｖ)＝^tＡ^t(ω₁³,ω₂³)と書けます。

これに,^t(ω₁³,ω₂³)＝Ｂ^t(θ¹,θ²)を代入すると,Ｓ^t(ｄｕ,ｄｖ)＝^tＡ^t(ω₁³,ω₂³)＝^tＡＢ^t(θ¹,θ²)＝^tＡ^tＢＡ^t(ｄｕ,ｄｖ)ですから,変数ｄｕ,ｄｖの独立性によって,Ｓ＝^tＡＢＡであることがわかります。

それ故,Ｓ＝^tＡＢＡ,つまり^tＳ＝^tＡ^tＢＡですからＳの対称性:^tＳ＝ＳとdetＡ≠0 から,Ｂの対称性^tＢ＝Ｂが得られます。

対称行列の性質から実行列Ｂの２つの固有値は共に実数であることがわかります。

これらのＢの固有値が先に定義した曲線ｒ(ｕ,ｖ)の主曲率κ₁,κ₂に一致します。これは次のようにしてわかります。

まず,Ｓ＝^tＡＢＡによりＢ＝^t(Ａ^-1)ＳＡ^-1＝ＡＡ^-1t(Ａ^-1)ＳＡ^-1＝Ａ(^tＡＡ)^-1ＳＡ^-1なので,Iを単位行列とする固有値方程式det(Ｂ－λＩ)＝0 において,Ｂ－λＩ＝Ａ{(^tＡＡ)^-1Ｓ－λＩ}Ａ^-1と書けます。そこで,方程式:det(Ｂ－λＩ)＝0 はdet{(^tＡＡ)^-1Ｓ－λＩ}＝0 等価な方程式です。

ところが,行列で表わした等式:(ｒ_u,ｒ_v)＝(ｅ₁,ｅ₂)Ａから^t(ｒ_u,ｒ_v)(ｒ_u,ｒ_v)＝^tＡ^t(ｅ₁,ｅ₂)(ｅ₁,ｅ₂)Ａであり,しかも正規直交性:^tｅ_iｅ_j＝δ_ijにより^t(ｅ₁,ｅ₂)(ｅ₁,ｅ₂)＝Iですから,^tＡＡ＝^t(ｒ_u,ｒ_v)(ｒ_u,ｒ_v)が成立します。

また,Ｅ＝^tｒ_uｒ_u,Ｆ＝^tｒ_uｒ_v,Ｇ＝^tｒ_vｒ_vですから^tＡＡ＝^t(ｒ_u,ｒ_v)(ｒ_u,ｒ_v)は１行目が(Ｅ,Ｆ)＝(^tｒ_uｒ_u,^tｒ_uｒ_v),２行目が(Ｆ,Ｇ)＝(^tｒ_uｒ_v,^tｒ_vｒ_v)の対称行列です。

それ故,^tＡＡの逆行列(^tＡＡ)^-1は１行目が(ＥＧ－Ｆ²)^-1(Ｇ,－Ｆ),２行目が(ＥＧ－Ｆ²)^-1(－Ｆ,Ｅ)の行列になります。

したがって,行列(ＥＧ－Ｆ²){(^tＡＡ)^-1Ｓ－λＩ}は１行目が((ＧＬ－ＦＭ)－(ＥＧ－Ｆ²)λ,ＧＭ－ＦＮ),２行目が(－ＦＬ＋ＥＭ,(－ＦＭ＋ＥＮ)－(ＥＧ－Ｆ²)λ)の行列です。

以上から,行列Ｂの固有値λを求める方程式:det(Ｂ－λＩ)＝0 に同等な方程式:det[(^tＡＡ)^-1Ｓ－λＩ]＝0 が,(ＥＧ－Ｆ²)²λ²－(ＥＧ－Ｆ²)(ＥＮ＋ＧＬ－2ＦＭ)λ＋(ＧＬ－ＦＭ)(－ＦＭ＋ＥＮ)－(ＧＭ－ＦＮ)(－ＦＬ＋ＥＭ)＝0 なる形であることがわかります。

左辺の最後の２項から成る定数項は(ＥＧ－Ｆ²)(ＬＮ－Ｍ²)と因数分解されますから,結局,ＥＧ－Ｆ²≠0 の場合には,(ＥＧ－Ｆ²)λ²－(ＥＮ＋ＧＬ－2ＦＭ)λ＋ＬＮ－Ｍ²＝0 なる方程式と同値になります。

これは正に,先に記述した主曲率κ₁,κ₂を２つの解とするλの２次方程式に一致しています。

以上で,行列Ｂの２つの実数固有値が主曲率κ₁,κ₂になることが示されました。

そこで,ガウスの曲率はＫ＝κ₁κ₂＝(ＬＮ－Ｍ²)/(ＥＧ－Ｆ²)＝detＢ＝ｂ₁₁ｂ₂₂－ｂ₁₂ｂ₂₁,平均曲率はＨ＝(κ₁＋κ₂)/2＝(ＥＮ＋ＧＬ－2ＦＭ)/{2(ＥＧ－Ｆ²)}＝(1/2)traceＢ＝(1/2)(ｂ₁₁＋ｂ₂₂)となることがわかります。

さらに,ｄｒ＝θ¹ｅ₁＋θ²ｅ₂＝(ｅ₁,ｅ₂)^t(θ¹,θ²),ｄｅ₃＝(ｅ₁,ｅ₂)^t(ω₃¹,ω₃²)＝－(ｅ₁,ｅ₂)^t(ω₁²,ω₂³)＝－(ｅ₁,ｅ₂)Ｂ^t(θ¹,θ²)より,κがＢの固有値でＢｗ＝κｗを満たすならｄｅ₃＝－κ(ｅ₁,ｅ₂)ｗ,つまりｄｅ₃＝－κｄｒとなります。

そこで,正規直交標構を用いた表現では行列Ｂの２つの固有値が主曲率κになるということの意味も明白ですね。

さて,これらのことを２変数の場合の外微分形式,または単に微分形式による表現によって記述すると大体次のように要約されます。

曲面ｒ(ｕ,ｖ)上でｄｒ＝(ｄｘ,ｄｙ,ｄｚ)を微分１形式としてｄｒ＝θ¹ｅ₁＋θ²ｅ₂と書けば,ポアンカレ(Poincare)の補題によって,これの外微分はゼロです。

つまり,ｄ(ｄｒ)＝(ｄ(ｄｘ),ｄ(ｄｙ),ｄ(ｄｚ) )＝0 ですから,0＝ｄθ¹ｅ₁－θ¹∧ｄｅ₁＋ｄθ²ｅ₂－θ²∧ｄｅ₂＝ｄθ¹ｅ₁－θ¹∧(Σ_j=1³ω₁^jｅ_j)＋ｄθ²ｅ₂－θ²∧(Σ_j=1³ω₂^jｅ_j),すなわち(ｄθ¹－Σ_i=1²θⁱ∧ω_i¹)ｅ₁＋(ｄθ²－Σ_i=1²θⁱ∧ω_i²)ｅ₂－(Σ_i=1²θⁱ∧ω_i³)ｅ₃＝0 となります。

ここでｅ₁,ｅ₂,ｅ₃は１次独立なので,ｄθ^j＝Σ_i=1²θⁱ∧ω_i^j(ｊ＝1.2),Σ_i=1²θⁱ∧ω_i³＝0 なる表式が得られます。

このうち,ｄθ^j＝Σ_i=1²θⁱ∧ω_i^j(ｊ＝1.2)は第１構造式と呼ばれます。そしてω₁^jの作る行列Ωは交代行列なので,これはｄθ¹＝θ²∧ω₂¹,ｄθ²＝θ¹∧ω₁²を意味します。

一方,ω₁³＝ｂ₁₁θ¹＋ｂ₁₂θ²,ω₂³＝ｂ₂₁θ¹＋ｂ₂₂θ²,すなわちω_i³＝Σ_i=1²ｂ_ijθ^jなる展開式を仮定してΣ_i=1²θⁱ∧ω_i³＝0 に代入すればΣ_i,j=1²ｂ_ijθⁱ∧θ^j＝0 を得ます。

これは,(ｂ₁₂－ｂ₂₁)θ¹∧θ²＝0 ,つまりｂ₁₂＝ｂ₂₁を意味しますから,行列Ｂ＝{ｂ_ij}が対称行列なることが再確認されました。

次にｄ(ｄｅ_i)＝0 なる等式にｄｅ_i＝Σ_j=1³ω_i^jｅ_jを代入します。

ｅ_iは 0次微分形式,ω_i^jは１次微分形式なので,これからΣ_j=1³(ｄω_i^jｅ_j－ω_i^j∧ｄｅ_j)＝Σ_k=1³(ｄω_i^k－Σ_j=1³ω_i^j∧ω_j^k)ｅ_k＝0 が得られます。それ故,ｄω_i^k＝Σ_j=1³ω_i^j∧ω_j^kなる式成立します。

特に,ｋ＝1,2,つまり接平面成分を考え,ｉ=1,2の場合にはω_i³＝Σ_j=1²ｂ_ijθ^j (ｉ＝1,2)を考慮することでｄω_i^k＝Σ_j=1³ω_i^j∧ω_j^k＝Σ_j=1²ω_i^j∧ω_j^k＋ω_i³∧ω₃^k＝Σ_j=1²ω_i^j∧ω_j^k＋ω_k³∧ω_i³＝Σ_j=1²ω_i^j∧ω_j^k＋Σ_h,j=1²ｂ_khｂ_ijθ^j∧θ^jを得ます。

すなわち,ｄω_i^k＝Σ_j=1²ω_i^j∧ω_j^k＋(1/2){Σ_h,j=1²(ｂ_khｂ_ij－ｂ_kjｂ_ih)θ^j∧θ^j} (ｉ,ｋ＝1,2)なる表現式が得られます。

ところが前述したように,ω_i^k(ｉ,ｋ＝1,2)で作られる行列Ωは交代行列なので唯一の独立成分として例えばω₂¹だけ考えれば十分です。

この,ω₂¹については,ｄω₂¹＝Σ_j=1²ω₂^j∧ω_j¹＋(1/2){Σ_h,j=1²(ｂ_1hｂ_2j－ｂ_1jｂ_2h)θ^j∧θ^j}＝(ｂ₁₁ｂ₂₂－ｂ₁₂ｂ₂₁)θ¹∧θ²＝(detＢ)θ¹∧θ²となります。

既に,ガウスの曲率Ｋ≡κ₁κ₂が,Ｋ＝detＢ＝ｂ₁₁ｂ₂₂－ｂ₁₂ｂ₂₁で与えられることがわかっているので,ｄω₂¹＝Ｋθ¹∧θ²と書けることがわかります。これは第２構造式と呼ばれるものです。

いずれにしろ,ガウスの曲率がＫ＝κ₁κ₂＝(ＬＮ－Ｍ²)/(ＥＧ－Ｆ²)＝detＢ＝ｂ₁₁ｂ₂₂－ｂ₁₂ｂ₂₁で与えられることは,定式化によらず同じですが,Ｋが一般の多様体上の曲率テンソルＲと如何なる関係にあるのだろうか?という本記事の主題である疑問について論じるためには,もっと別の切り口の考察にも頼る必要があります

そのために,直接一般相対論での曲がった４次元時空の上の粒子の運動を,２次元の曲面上に束縛された粒子の運動と同一視して比較することを考え,平面座標を示すパラメータ(ｕ,ｖ)を(ｕ¹,ｕ²)と表記して曲面ｒ(ｕ,ｖ)をｒ(ｕ¹,ｕ²)と書き直すことから議論を始めます。

まず,接平面の基底をなす接ベクトルｒ_u≡(∂ｒ/∂ｕ),ｒ_v≡(∂ｒ/∂ｖ)をｒ_,i≡(∂ｒ/∂ｕⁱ)(ｉ＝1,2)と書きます。

一般の接平面上のベクトルを示す線型結合:ξｒ_u＋ηｒ_vも,パラメータξ,ηをξⁱ(ｉ＝1,2)と添字表現にすることで,ξⁱｒ_,i≡ξ¹ｒ_,1＋ξ²ｒ_,2,またはξⁱ(∂ｒ/∂ｕⁱ)≡ξ¹(∂ｒ/∂ｕ¹)＋ξ²(∂ｒ/∂ｕ²)と書き直します。

Ｅ≡(ｒ_u,ｒ_u)＝ｒ_u²,Ｆ≡(ｒ_u,ｒ_v)＝(ｒ_v,ｒ_u),Ｇ≡(ｒ_v,ｒ_v)＝ｒ_v²なるいわゆる計量の表記も,通常の表記ｇ_ij≡(ｒ_,i,ｒ_,j)＝(∂ｒ/∂ｕⁱ,∂ｒ/∂ｕ^j)(ｉ,ｊ＝1,2)に変更します。

すると,接ベクトルξⁱｒ_,i＝ξⁱ(∂ｒ/∂ｕⁱ)の長さの平方(Ｅξ²＋2Ｆξη＋Ｇη²)は,ｇ_ijξⁱξ^jと書けます。

相対論の記法に慣れているなら,空間計量の表現としてｄｓ²＝ｇ_ijｄξⁱｄξ^jと表わす方が馴染み深いですね。

さらに,ガウスの公式ｒ_uu＝Γ^ｕ_uuｒ_u＋Γ^v_uuｒ_v＋Ｌｅ,ｒ_uv＝Γ^u_uvｒ_u＋Γ^v_uvｒ_v＋Ｍｅ,ｒ_vu＝Γ^u_vuｒ_u＋Γ^v_vuｒ_v＋Ｍｅ,ｒ_vv＝Γ^u_vvｒ_u＋Γ^v_vvｒ_v＋Ｎｅは,ｒ_,ij＝∂²ｒ/∂ｕⁱ∂ｕ^j＝Γ^k_ij(∂ｒ/∂ｕ^k)＋ｈ_Ijｅなる表現に変わります。

ここで,Γ^ｕ_uu＝(ｒ_uu,ｒ_u)/(ｒ_u,ｒ_u),Γ^v_uv＝(ｒ_uv,ｒ_v)/(ｒ_v,ｒ_v),..etc.を,Γ^k_ij＝(∂²ｒ/∂ｕⁱ∂ｕ^j,∂ｒ/∂ｕ^l)/(∂ｒ/∂ｕ^k,∂ｒ/∂ｕ^l )＝ｇ_kl^-1(∂ｇ_li/∂ｕ^j)＝(ｇ_kl^-1/2)(∂ｇ_li/∂ｕ^j＋∂ｇ_lj/∂ｕⁱ)なる表現に変えています。

一般相対論でのレビ・チビタ接続(Levi-Civita接続)の係数としてのクリストッフェル記号は,Γ^σ_μν＝{σ,μν}＝(ｇ^σρ/2)(ｇ_ρν,μ＋ｇ_ρμ,ν－ｇ_μν,ρ);(ｇ^μν)≡(ｇ_μν)^-1で与えられます。

これは,一般座標{ｘ^μ}と局所ローレンツ系の座標{Ｘ^μ}による表現ではΓ^σ_μν＝(∂ｘ^σ/∂Ｘ^ρ)(∂²Ｘ^σ/∂ｘ^μ∂ｘ^ν)です。

そこで,座標系の次元としてｒが３次元,{ｕⁱ}が２次元で,第３の次元による拘束力によって"曲面＝２次元多様体"の上に束縛されていて３次元目を無視するという見方をします。

これは,相対論そのものとは少し異なりますが,空間曲面の位置ベクトルｒを一般座標{ｘ^μ},パラメータ{ｕⁱ}を局所ローレンツ系{Ｘ^μ}と同一視すると,{Γ^k_ij}(ｉ,ｊ,ｋ＝1,2)が４次元時空でのクリストッフェル接続の係数{Γ^σ_μν}と全く同じ意味を持つとしてよいとわかります。　

さて,こうした認識の下で,行列:Ｐ≡(ｒ_u,ｒ_v)を定義しこれをｕ,ｖで１,２回微分する演算を考えてみます。

まず,∂_uＰ＝(ｒ_uu,ｒ_uv)＝(Γ^ｕ_uuｒ_u＋Γ^v_uuｒ_v＋Ｌｅ,Γ^u_uvｒ_u＋Γ^v_uvｒ_v＋Ｍｅ),∂_vＰ＝(ｒ_vu,ｒ_vv)＝(Γ^ｕ_vuｒ_u＋Γ^v_vuｒ_v＋Ｍｅ,Γ^u_vvｒ_u＋Γ^v_vvｒ_v＋Ｎｅ)です。

これに,左から^tＰ＝^t(ｒ_u,ｒ_v)を掛けると,法ベクトルｅとの直交性から,^tＰ(∂_uＰ)は１行目が(ＥΓ^ｕ_uu＋ＦΓ^v_uu, ＥΓ^u_uv＋ＦΓ^v_uv),２行目が(ＦΓ^ｕ_uu＋ＧΓ^v_uu,ＦΓ^u_uv＋ＧΓ^v_uv)の行列,また,^tＰ(∂_vＰ)は１行目が(ＥΓ^ｕ_vu＋ＦΓ^v_vu,ＥΓ^u_vv＋Γ^v_vvＦ),２行目が(ＦΓ^ｕ_vu＋ＧΓ^v_vu,ＦΓ^u_vv＋ＧΓ^v_vv)の行列になります。

これも添字表記で,Ｐ≡(∂ｒ/∂ｕ¹,∂ｒ/∂ｕ²)とすると,ｇ_ij≡(∂ｒ/∂ｕⁱ)(∂ｒ/∂ｕ^j),∂²ｒ/∂ｕⁱ∂ｕ^j＝Γ^k_ij(∂ｒ/∂ｕ^k)＋ｈ_ijｅなので,∂_iＰ＝(∂²ｒ/∂ｕⁱ∂ｕ¹,∂²ｒ/∂ｕⁱ∂ｕ²)＝(Γ^k_i1(∂ｒ/∂ｕ^k)＋ｈ_i1ｅ,Γ^k_i2(∂ｒ/∂ｕ^k)＋ｈ_i2ｅ)という表式になります。

そして,これに左から^tＰ＝^t(∂ｒ/∂ｕ¹,∂ｒ/∂ｕ²)を掛けると,^tＰ(∂_iＰ)は１行目が(ｇ_1kΓ^k_i1,ｇ_1kΓ^k_i2),２行目が(ｇ_2kΓ^k_i1,ｇ_2kΓ^k_i2)の行列になります。

そこで,(ｋ,ｌ)成分がΓ^k_ilの行列をΓ_iと書くことにすれば,∂_iＰ＝ＰΓ_i＋(ｈ_i1ｅ,ｈ_i2ｅ)となります。そこで,^tＰ(∂_iＰ)＝ｇΓ_iです。

したがって,∂_i(ｇΓ_j)－∂_j(ｇΓ_i)＝∂_i{^tＰ(∂_jＰ)}－∂_j{^tＰ(∂_iＰ)}＝^t(∂_iＰ)(∂_jＰ)－^t(∂_jＰ)(∂_iＰ)を得ます。

ここで,∂_iＰ＝ＰΓ_i＋(ｈ_i1ｅ,ｈ_i2ｅ),ｇ＝^tＰＰであり,ｇは対称行列:^tｇ＝ｇですから,^t(∂_iＰ)(∂_jＰ)－^t(∂_jＰ)(∂_iＰ)＝(^tΓ_iｇΓ_j－^tΓ_jｇΓ_i)＋(ｈ_i1ｈ_j2－ｈ_i2ｈ_j1)Ｊ₂となります。

Ｊ₂は１行目が(0,1),２行目が(-1,0)の２×２交代行列です。

したがって,結局∂_i(ｇΓ_j)－∂_j(ｇΓ_i)＝(^tΓ_iｇΓ_j－^tΓ_jｇΓ_i)＋(ｈ_i1ｈ_j2－ｈ_i2ｈ_j1)Ｊ₂なる表現の等式が得られます。

一方,同じくｇ＝^tＰＰ,^tｇ＝ｇより,これを微分すると∂_iｇ＝^t(∂_iＰ)Ｐ＋^tＰ(∂_iＰ)＝^tΓ_iｇ＋ｇΓ_iですから,これによってさらに∂_i(ｇΓ_j)－∂_j(ｇΓ_i)＝(^tΓ_iｇ＋ｇΓ_i)Γ_j＋ｇ∂_iΓ_j－(^tΓ_jｇ＋ｇΓ_j)Γ_i－ｇ∂_jΓ_i＝ｇ(∂_iΓ_j－∂_jΓ_i＋Γ_iΓ_j－Γ_jΓ_i)＋(^tΓ_iｇΓ_j－^tΓ_jｇΓ_i)なる等式を得ます。

そこで,４つの２次行列Ｒ_ij(ｉ,ｊ＝1,2)を,Ｒ_ij≡∂_iΓ_j－∂_jΓ_i＋Γ_iΓ_j－Γ_jΓ_iと定義すれば,上の式は∂_i(ｇΓ_j)－∂_j(ｇΓ_i)＝ｇＲ_ij＋(^tΓ_iｇΓ_j－^tΓ_jｇΓ_i)と簡単になります。

この等式の右辺を,すぐ前に求めた等式∂_i(ｇΓ_j)－∂_j(ｇΓ_i)＝(^tΓ_iｇΓ_j－^tΓ_jｇΓ_i)＋(ｈ_i1ｈ_j2－ｈ_i2ｈ_j1)Ｊ₂の右辺に等置すれば,ｇＲ_ij＝(ｈ_i1ｈ_j2－ｈ_i2ｈ_j1)Ｊ₂なる式が得られます。

すなわち,ｇＲ₁₁＝ｇＲ₂₂＝0,ｇＲ₁₂＝－ｇＲ₂₁＝(ｈ₁₁ｈ₂₂－ｈ₁₂ｈ₂₁)Ｊ₂＝(detｈ)Ｊ₂なる具体的表式が得られます。

一方,ガウスの曲率ＫはＫ＝κ₁κ₂＝detＢ＝ｂ₁₁ｂ₂₂－ｂ₁₂ｂ₂₁＝(ＬＮ－Ｍ²)/(ＥＧ－Ｆ²)と表現されますから,Ｅ＝ｇ₁₁,Ｆ＝ｇ₁₂＝ｇ₂₁,Ｇ＝ｇ₂₂によってＥＧ－Ｆ²＝detｇです。

Ｌ＝ｈ_11,Ｍ＝ｈ₁₂＝ｈ₂₁,Ｎ＝ｈ₂₂によって,ＬＮ－Ｍ²＝detｈなる置換を行えば.これら相対論的表記ではＫ＝detｈ/detｇに帰着することがわかります。

こうして,結局,ｇＲ₁₂＝－ｇＲ₂₁＝(detｇ)ＫＪ₂,Ｒ₁₁＝Ｒ₂₂＝0 なる最終的な関係式を得ることができました。

そして行列ｇＲ_ijの(ｍ,ｋ)成分は(ｇＲ_ij)_ml＝ｇ_mkＲ^k_ijlです。

これの右辺のテンソル成分を示すＲ^k_ijlは,Ｒ_ij≡∂_iΓ_j－∂_jΓ_i＋Γ_iΓ_j－Γ_jΓ_iによって,３次元空間への埋め込みと考えられる曲面を２次元多様体と同一視したときのリーマン・クリストッフェルの曲率テンソル成分に一致します。

以上から,多様体のリーマンの曲率テンソル{Ｒ^σ_λμν}は,確かに２次元曲面の素朴な曲がり具合を示すガウスの曲率Ｋの自然で直線的な拡張であることが示されました。

これで今日のコーヒー・ブレイクは終わりにします。

参考文献:小林昭七 著「曲線と曲面の微分幾何」(裳華房),中原幹夫 著「理論物理学のための幾何学とトポロジー」(ピアソン・エデュケーション),杉田勝美,岡本良夫,関根松夫 共著「理論物理のための微分幾何学」(森北出版),大森英樹 著「力学的な微分幾何」(数学セミナー増刊[8](1980))(日本評論社)

http://folomy.jp/heart/「folomy 物理フォーラム」サブマネージャーです。

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