超弦理論(12)(2-1)

今からは超弦理論(superstring theory)の本論に入ります。

　弦理論においても,他の理論と同じく相互作用のある理論を記述する前に自由理論を理解することが必要です。

　したがって系統的理解における最初の作業は古典レベルと量子レベルの両方で時空中の単一自由弦の伝播を完全に理解することであると考えられます。

　まず,"ボーズ粒子の弦＝ボソン弦(Bosonic string)"の研究についての話題から始めます。

　これを論じる過程で,多くの異なる観点から,何年にもわたって発展してきた多くの異なる定式化に対応したボソン弦へのアプローチを実施したいと思います。

　これらは共変量子化,光錐量子化(light-cone量子化)への様々なアプローチを含んでいます。各々は,弦理論の全体としての理解に重要な要素を加え,それらの全てと馴染むためには非常に有益です。

1.     classical bosonic string(古典ボソン弦)

まず,背景時空を重力場,すなわち計量テンソルｇ_μν(ｘ)(μ,ν＝0,1,2,..,Ｄ－1)で与えられる曲がったリーマン幾何構造のＤ次元時空とし,この中での質量ｍの点粒子の運動を記述することから始めます。

ただし,時空の計量ｇ_μν(ｘ)は１個の正の固有値とＤ－1個の負の固有値を持ち,Ｄ次元時空のミンコフスキー(Minkowski)計量η_μν (η₀₀＝1,η_ij＝－δ_ij＝(i,ｊ＝1,2,..,Ｄ－1))の特性に対応しています。

つまり背景時空は１つの擬リーマン多様体,それもローレンツ多様体(Lorentz manifold)であると仮定します。

また,以下では,単位として特に必要がない限り,常にｈ_c≡ｈ/(2π)＝1,ｃ＝1なる自然単位を採用します。

　さて,質量のある点粒子の運動を記述する作用原理はよく知られており,序章(ブログでは2008年10/24の「超弦理論(4)(点粒子の作用)」)でも述べましたが単に世界線の不変長さ(固有長さ)に比例します。

　すなわち,Ｓ＝－ｍ∫ｄｓです。ただし,ｄｓ²＝ｇ_μν(ｘ)ｄｘ^μｄｘ^νです。

　古典的軌道は世界線に沿って点を区別する任意のパラメータτの関数としてｘ^μ(τ)で表わされると仮定します。

その軌道での不変速度の記号をｘ^d≡ｘ^dot≡ｄｘ/ｄτによって定義し,(ｘ^d)²≡ｇ_μν(ｄｘ^μ/ｄτ)(ｄｘ^ν/ｄτ)と定義すると,上のＳ＝－ｍ∫ｄｓはＳ＝－ｍ∫ｄτ[(ｘ^d)²]^1/2とも書けます。

これは粒子軌道が再パラメータ化τ→τ~(τ)の下で不変ですから,真に粒子の世界線を特徴付けており,座標選択の特殊性に独立です。

　しかし,式Ｓ＝－ｍ∫ｄτ[(ｘ^d)²]^1/2の右辺ではその被積分関数の中に平方根を取る操作を含むのは少し厄介な意味があります。

　また,この表現式は明らかに質量のない粒子には適用できません。そこで,この困難を簡単に除去するために補助座標ｅ(τ)を導入します。

すなわち,作用をＳ≡－(1/2)∫[ｅ^-1(ｘ^d)²＋ｅｍ²]ｄτとして,ｅ(τ)を世界線の１次元幾何に対応する1つの座標＝"einbain(１脚)"と解釈すれば,この新しい作用表現が元の表現Ｓ＝－ｍ∫ｄτ[(ｘ^d)²]^1/2に等価であることがわかります。

実際,作用原理の１つとして,ｅの変分δｅに対する作用Ｓの停留性を仮定すると,これから運動方程式:δＳ/δｅ＝0,つまり,(ｘ^d)²－ｅ²ｍ²＝0 を得ます。

これをｅについて解いた式:ｅ＝[(ｘ^d)²]^1/2/ｍを作用Ｓ≡－(1/2)∫[ｅ^-1(ｘ^d)²＋ｅｍ²]ｄτに代入し返して,ｅを消去すると,元々有るべき形の作用積分Ｓ＝－ｍ∫ｄτ[(ｘ^d)²]^1/2が復元されます。

要約します。

Ｄ次元の粒子の位置座標ｘ^μ(τ)(μ＝0,1,2,...,Ｄ－1)に補助座標ｅ(τ)を加えたＤ＋1個の座標空間での作用をＳ≡－(1/2)∫[ｅ^-1(ｘ^d)²＋ｅｍ²]ｄτとします。

これから,補助座標ｅに対する変分方程式δＳ/δｅ＝0 によってｅを消去したものは,元々有り得るべきＤ次元座標だけの作用表現:Ｓ＝－ｍ∫ｄｓ＝－ｍ∫ｄτ[(ｘ^d)²]^1/2に等価であることになります。

したがって,質量がｍの１粒子の作用をＳ＝－ｍ∫ｄｓの代わりにＳ＝－(1/2)∫[ｅ^-1(ｘ^d)²＋ｅｍ²]ｄτとして,粒子の運動方程式がＤ＋1個の座標:ｘ^μ(τ)(μ＝0,1,2,...,Ｄ－1),ｅ(τ)の変分に対するＳの停留性:δＳ＝0で与えられると考えてもよいことになります。

そして,この形では,先に述べたＳ＝－ｍ∫ｄｓでのτ→τ~(τ)に対する再パラメータ化不変性は,追加された補助座標ｅ(τ)も含めた再パラメータ化:τ→τ~(τ),ｅ(τ),→ｅ~(τ~)＝(ｄτ/ｄτ~)ｅ(τ)の下での不変性になります。

Ｓ＝－(1/2)∫[ｅ^-1(ｘ^d)²＋ｅｍ²]ｄτ＝－(1/2)∫ｄτ[ｅ^-1(τ)ｇ_μν(ｄｘ^μ/ｄτ)(ｄｘ^ν/ｄτ)＋ｅ(τ)ｍ²]＝－(1/2)∫ｄτ~(ｄτ/ｄτ~)[ｅ^-1(τ)ｇ_μν(ｄｘ^μ/ｄτ~)(ｄｘ^ν/ｄτ~)(ｄτ~/ｄτ)²＋ｅ(τ)ｍ²]＝－(1/2)∫ｄτ~[{ｅ(τ)(ｄτ/ｄτ~)}^-1ｇ_μν(ｄｘ^μ/ｄτ~)(ｄｘ^ν/ｄτ~)＋ｅ(τ)(ｄτ/ｄτ~)ｍ²]です。

そこで,τ→τ~(τ)に際して,ｅ(τ)→ｅ~(τ~)＝(ｄτ/ｄτ~)ｅ(τ)が同時に成立する場合には,Ｓ＝Ｓ~なる不変性が成立します。

(Ｓには,なお積分定数∫ｄτ(ｄＷ/ｄτ)を加減するだけの自由度がありますから,ｅ(τ)→ｅ~(τ~)＝(ｄτ/ｄτ~)ｅ(τ)は十分条件ですが,必要条件かどうかはわかりません。）

τ→τ＋δτ＝τ－ξ(τ)なる任意のτの無限小の局所的再パラメータ化を考えると,これはｘにとってはｘ(τ)→ｘ(τ－ξ)＝ｘ(τ)＋δｘ＝ｘ(τ)－ξｘ^dを意味します。

そこでδｘ＝－ξｘ^dですが,この変換ではｅ＝ｅ(τ)にとってもｘと同様,ｅ(τ)→ｅ(τ－ξ)＝ｅ(τ)＋δｅ＝ｅ(τ)－ξｅ^d,δｅ＝－ξｅ^d＝－ξ(ｄｅ/ｄτ)となります。

しかし,このδｘとδｅに対して,実際にＳ→Ｓ~＝Ｓ＋δＳのδＳ＝(δＳ/δｘ)δｘ＋(δＳ/δｅ)δｅがゼロである条件が保持されるかどうかは自明なことではありません。

そこで,逆にτ→τ~＝τ＋δτ＝τ－ξのとき,δＳ＝0 となるべき条件であるｅ(τ)→ ｅ~(τ~)＝ｅ(τ)＋δｅ＝(ｄτ/ｄτ~)ｅ(τ)が満たされるという要求から,δｅの有るべき形を求めてみます。

τ→τ~＝τ－ξに対しｄτ/ｄτ~＝(1－ｄξ/ｄτ)^-1＝1＋ｄξ/ｄτですから,ｅ~(τ~)＝ｅ(τ)＋δｅ＝(ｄτ/ｄτ~)ｅ(τ)＝ｅ(τ)＋(ｄξ/ｄτ)ｅ(τ)と書けます。そこで,ｅの変分はδｅ＝(ｄξ/ｄτ)ｅ(τ)であるべきということになります。

そこで,δｅは,単にｅ(τ~)－ｅ(τ)＝ｅ(τ＋ξ)－ｅ(τ)＝－ξｅ^d＝－ξ(ｄｅ/ｄτ)ではなく,これにｄ(ｅξ)/ｄτを加えたもの:δｅ＝ｅ(τ－ξ)－ｅ(τ)＋ｄ(ｅξ)/ｄτで与えられます。

これは,δｅ＝ｅ~(τ~)－ｅ(τ)の表現です。関数形の変分(Lie変分？)という意味ではδ_Lｅ＝ｅ~(τ)－ｅ(τ)＝ｄ(ｅξ)/ｄτですね。

ちょっと私自身が混乱しましたが,この混乱の原因はτ~＝τ－ξのときにはτ＝τ~＋ξであるというように,普通変換には常に観測者の視点があるからです。

この平行移動変換でも,物理系ではなく座標系が移動するという受動的な見方と座標系はそのままで物理系が移動するという能動的な見方の等価な２つの視点があるからです。

いずれにしても,任意のパラメータの変換:τ→τ~(τ)と同時にｅ(τ)→ｅ~(τ~)＝(ｄτ/ｄτ~)ｅ(τ)なる任意性で定義されるｅのゲージ変換の自由度を用いてＳを調節すれば,いつでもＳ→Ｓ~＝Ｓとすることが可能ですから,δＳ/δｅ＝0 も含めた作用原理から得られる粒子の運動方程式はパラメータτの選択には独立であることになります。

上に述べたようにＳから作用原理で得られる変分方程式はｘに対するもの:δＳ/δｘ＝0 は通常の粒子軌道を定める運動方程式ですが,ｅに対する余分の方程式δＳ/δｅ＝(ｘ^d)²－ｅ²ｍ²＝0 は曲がった背景空間に一般化された質量殻条件を与えるものと解釈されます。

それは,ｍ＝0 のとき,この式が光速度不変を意味する光錐条件の式:(ｘ^d)²＝ｇ_μν(ｄｘ^μ/ｄτ)(ｄｘ^ν/ｄτ)＝0 に一致することからのアナロジーです。

そして,作用をＳ＝－(1/2)∫[ｅ^-1(ｘ^d)²＋ｅｍ²]ｄτ＝∫Ｌｄτと書くとき,ラグランジアンＬはＬ＝－(1/2)∫[ｅ^-1(ｘ^d)²＋ｅｍ²]で与えられますから,正準共役運動量はｐ_μ＝－∂Ｌ/∂(ｘ^d)^μ＝ｅ^-1(ｘ^d)_μ＝ｅ^-1ｇ_μν(ｘ^d)^νで与えられます。

そこで,質量がある粒子:ｍ≠0 ならｅ＝1/ｍなるゲージを取ればｐ_μ＝ｍ(ｘ^d)_μ＝ｍ(ｄｘ_μ/ｄτ)となり,また光のように質量がない粒子なら,例えばｅ＝1なるゲージを取り,ｐ_μ＝ｘ^d_μ＝ｄｘ_μ/ｄτを採用することもできます。

※(訳注10):全てのベクトル,テンソル成分が反変的な上添字の成分のみで記述される非相対論的解析力学では,ｐ^k＝∂Ｌ/∂(ｘ^d)^kですが,これを今採用しているミンコフスキー特性を持つ計量で表現するとｐ_k＝－∂Ｌ/∂(ｘ^d)^kとなってマイナス符号が付きます。

　解析力学を相対論に拡張する際には,上添字の成分で微分すると下添字成分で表されるの共変的な量となりますから,今の計量では共役運動量はｐ_μ＝ｇ_μνｐ^ν＝－∂Ｌ/∂(ｘ^d)^μで与えられると一般化されます。(訳注10:終わり)※

　量子論として,点粒子の量子力学的伝播を考える場合には,その本質は確率振幅の伝播が経路積分∫ＤｘＤｅ[expiＳ(ｘ,ｅ)]で与えられるということに集約されます。

　そして,この積分を評価する際には,その他にＳ＝－(1/2)∫[ｅ^-1(ｘ^d)²＋ｅｍ²]ｄτにおけるゲージ対称性などをも扱う必要があります。

　粒子間の相互作用を指定することはファインマングラフ(Feynman diagram)を形成するための世界線の分岐と結合の規則を与えることに相当します。

　その他にも,追跡すべき多くの事項がありますが,今までの段階の話だけで,粒子から弦へと理論を拡張するための基礎付けとしては十分でしょう。

　さて,点粒子の作用は弦,膜,...など,より高い次元を持つ物体に一般化できます。

　もしも,物体がｎ次元ならＳ＝－ｍ∫ｄｓを直線的に一般化する方法は,明らかにｎ＝0 の点粒子の世界線ｄｓを物体が掃き去る(ｎ＋1)次元の不変時空体積にすることですね。

Ｓの作用の次元は自然単位では無次元ですから,係数は質量ｍの代わりにｍⁿ⁺¹の次元を持つ必要があります。

そして,点粒子で作用をＳ＝－(1/2)∫[ｅ^-1(ｘ^d)²＋ｅｍ²]ｄτと等価な表現に置き換えたように,ｎ次元物体についても作用が平方根を含まない定式化を用いることができます。

　とりあえず,今はボソンの自由度のみを考えているので(ｎ＋1)次元多様体の内部幾何は,その計量ｈ_αβ(σ)だけで記述されます。

　Ｓ＝－(1/2)∫[ｅ^-1(ｘ^d)²＋ｅｍ²]ｄτにおいて特にｍ＝0 とした場合のＳの一般化は,明らかにＳ＝－(Ｔ/2)∫ｄⁿ⁺¹σｈ^1/2ｈ^αβｇ_μν(Ｘ)∂_αＸ^μ∂_βＸ^νとなります。

　ただし,σはｎ次元物体が描く軌道を示す写像として(ｎ＋1)次元世界多様体の座標Ｘ(σ)＝{Ｘ^μ(σ)}を与える(ｎ＋1)個のパラメータ(σ⁰,σ¹,..,σⁿ)を表わしています。

　ここで,σ⁰＝τは固有時間に対応し,空間座標に対応するσⁱ(ｉ＝1,2,..,ｎ)はｎ次元物体のｎ次元体積を記述するとしています。

　ｈ^αβ＝ｈ^αβ(σ)はｈ_αβ＝ｈ_αβ(σ)の逆行列成分であり,ｈ＝ｈ(σ)は計量の行列式ｈ≡|det(ｈ_αβ)|です。

　また,計量ｈ_αβはミンコフスキー特性を持ち,固有値は１つが正,残るｎ個は負です。また,関数Ｘ(σ)＝{Ｘ^μ(σ)}は世界多様体(線,面,管,...)の物理的時空への写像を記述します。

　ｈ_αβ(σ)は(ｎ＋1)次元多様体の幾何(曲がり等)を記述し,ｇ_μν(ｘ)はＤ次元時空の幾何を記述します。

　もちろん,Ｄ≧(ｎ＋1)なることが必要です。

　得られた作用の式:Ｓ＝－(Ｔ/2)∫ｄⁿ⁺¹σｈ^1/2ｈ^αβｇ_μν(Ｘ)∂_αＸ^μ∂_βＸ^νは,一見して１つの幾何学的特徴を持っていることがわかります。

　それはＳが座標系σ≡(σ⁰,σ¹,σ²,..,σⁿ)の特殊な選択に依存しないなことです。

　これは一般相対性理論の通常の計算から明白なことです。すなわち,理論の一般座標変換不変性ですね。

　そして,右辺の積分においてｈ^1/2ｄⁿ⁺¹σは不変体積要素であり,ｈ^αβｇ_μν∂_αＸ^μ∂_βＸ^νはテンソル添字が正しく縮約されるため,この積分が一般座標変換で不変なることが自明だからですね。

　点粒子の場合には,物理的解釈にとって理にかなっているとされた作用の１つの重要な特性は,ｈ_αβに対応する量ｅが削除できるようなゲージ選択が可能なことでした。

今の一般のｎ次元の物体の場合には,対称テンソルｈ_αβは(ｎ＋1)(ｎ＋2)/2 個の成分を持ち,(ｎ＋1)個の独立な再パラメータ不変性を意味する拘束式があります。

そして,それらが使い果たされた後にも,なおｈ_αβの(ｎ＋1)(ｎ＋2)/2 成分のうちのｎ(ｎ＋1)/2 成分の自由度が残ります。特にｎ＝1の弦の場合にはｎ(ｎ＋1)/2＝1なので残る自由度は１だけです。

　したがって,一般にｎ＞0 では世界表面の再パラメータ化によるだけではｈ_αβを単純に削除することはできませんが,特にｎ＝１の弦(string)という特殊な場合にのみ,なお考慮さるべき,１つのより局所的な対称性が存在します。

　これは,計量の局所ワイル・スケーリング(Weyl-scaling)と呼ばれる対称性です。すなわち,ｈ_αβ(σ)←Λ(σ)ｈ_αβ(σ)の下では当然ｈ(σ)^1/2ｈ^αβ(σ)→Λ(σ)^(n-1)/2ｈ(σ)^1/2ｈ^αβ(σ)と変換されます。よって,この変換ではｎ＝１の場合にのみＳが不変になることがわかります。

　この余分な対称性のおかげで,ｎ＝1の弦なら全てのｈ_αβ(σ)依存性をゲージ選択によって拭い去る可能性を持つことが示唆されます。

　少なくとも局所的にはワイル不変性によってｈ_αβ(σ)の依存性を全てゲージによって除去できるという能力を持つということは弦の物理学にとって中心的な要素です。

　これは,弦の対立物,例えば薄膜などと弦を選別できる性質の１つです。そして,薄膜やさらに高次元の物体にはもう1つの比較的目立った問題点があります。

　すなわち,Ｓ＝－(Ｔ/2)∫ｄⁿ⁺¹σｈ^1/2ｈ^αβｇ_μν(Ｘ)∂_αＸ^μ∂_βＸ^νは,(ｎ＋1)次元の量子場の理論を定義しますが,これは次数勘定(によって,ｎ＝１に対しては,くりこみ可能ですが,ｎ＞１に対してはくりこみ不可能であるという事実です。

※(訳注11):場の理論の次数勘定定理によれば相互作用ｉに対応する頂点でのボソン線の数をｂ_i,フェルミ粒子線の数をｆ_iとし,微分の指数をｄ_iとすると,くりこみ指数がδ_i≡dim(Ｌ_i)－(ｎ＋1)＝{(ｎ＋1)－2}ｂ_i/2＋{(ｎ＋1)－1}ｆ_i/2＋ｄ_i－(ｎ＋1)となります。

　そして,この相互作用ｉについてはδ_i≦0 となることがくりこみ可能性の必要十分条件です。

　今の場合では,フェルミ粒子は考えてないのでｆ_i＝0 です。

　また,相互作用ですから少なくとも頂点に連結する物体は２個以上なのでｂ_i≧2であり,またその相互作用は少なくともＸ^μ(σ)の１階微分を２個含むはずですから,最悪な場合としてｄ_i＝２と置くと,δ_i＝(ｂ_i/2－1)(ｎ－1)となります。

　それ故,ｎ＝１ならδ_i＝0 ですが,ｎ＞１ならδ_i＞0 となります。(訳注11:終わり)※

Ｓ＝－(Ｔ/2)∫ｄⁿ⁺¹σｈ^1/2ｈ^αβｇ_μν(Ｘ)∂_αＸ^μ∂_βＸ^νが量子論として意味をなすことは,量子論として一般相対性理論が意味をなすことと同じくらい困難な問題です。

そして,今述べた事情で,薄膜やさらに高次元の物体を量子重力に向かう有望な出発点とするのは非常に可能性が低い選択と考えられます。

というわけで,以後ｎ＝１の物体に対応する弦のみを対象とします。

こう考えたとき,パラメータＴは"(長さ)^-2＝(質量)²((length) ^-12＝(mass)²)"の次元を持つので,弦の張力と同定されます。これは開弦については普遍的なレッジェ軌跡の傾き(Regge slope):α'とＴ＝(2πα')^-1なる関係式で関連付けられます。

これは作用積分Ｓを量子化した後に,そのスペクトルを決定することによって確立される事実です。

今日はここまでにします。

参考文献:M.B.Green,J.H.Schwarz,& E.Witten著「superstring theory」(Cambridge University Press)

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