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2009年2月 4日 (水)

超弦理論(12)(2-1)

今からは超弦理論(superstring theory)の本論に入ります。

 弦理論においても,他の理論と同じく相互作用のある理論を記述する前に自由理論を理解することが必要です。

 

 したがって系統的理解における最初の作業は古典レベルと量子レベルの両方で時空中の単一自由弦の伝播を完全に理解することであると考えられます。

 まず,"ボーズ粒子の弦=ボソン弦(Bosonic string)"の研究についての話題から始めます。

 

 これを論じる過程で,多くの異なる観点から,何年にもわたって発展してきた多くの異なる定式化に対応したボソン弦へのアプローチを実施したいと思います。

 これらは共変量子化,光錐量子化(light-cone量子化)への様々なアプローチを含んでいます。各々は,弦理論の全体としての理解に重要な要素を加え,それらの全てと馴染むためには非常に有益です。

1.     classical bosonic string(古典ボソン弦)

まず,背景時空を重力場,すなわち計量テンソルgμν(x)(μ,ν=0,1,2,..,D-1)で与えられる曲がったリーマン幾何構造のD次元時空とし,この中での質量mの点粒子の運動を記述することから始めます。

ただし,時空の計量gμν(x)は1個の正の固有値とD-1個の負の固有値を持ち,D次元時空のミンコフスキー(Minkowski)計量ημν 00=1,ηij=-δij=(i,j=1,2,..,D-1))の特性に対応しています。

 

つまり背景時空は1つの擬リーマン多様体,それもローレンツ多様体(Lorentz manifold)であると仮定します。

また,以下では,単位として特に必要がない限り,常にhc≡h/(2π)=1,c=1なる自然単位を採用します。

 さて,質量のある点粒子の運動を記述する作用原理はよく知られており,序章(ブログでは2008年10/24の「超弦理論(4)(点粒子の作用)」)でも述べましたが単に世界線の不変長さ(固有長さ)に比例します。

 

 すなわち,S=-m∫dsです。ただし,ds2=gμν(x)dxμdxνです。

 古典的軌道は世界線に沿って点を区別する任意のパラメータτの関数としてxμ(τ)で表わされると仮定します。

 

その軌道での不変速度の記号をddot≡d/dτによって定義し,(d)2≡gμν(dxμ/dτ)(dxν/dτ)と定義すると,上のS=-m∫dsはS=-m∫dτ[(d)2]1/2とも書けます。

これは粒子軌道が再パラメータ化τ→τ~(τ)の下で不変ですから,真に粒子の世界線を特徴付けており,座標選択の特殊性に独立です。

 しかし,式S=-m∫dτ[(d)2]1/2の右辺ではその被積分関数の中に平方根を取る操作を含むのは少し厄介な意味があります。

 

 また,この表現式は明らかに質量のない粒子には適用できません。そこで,この困難を簡単に除去するために補助座標e(τ)を導入します。

すなわち,作用をS≡-(1/2)∫[e-1(d)2+em2]dτとして,e(τ)を世界線の1次元幾何に対応する1つの座標="einbain(1脚)"と解釈すれば,この新しい作用表現が元の表現S=-m∫dτ[(d)2]1/2に等価であることがわかります。

実際,作用原理の1つとして,eの変分δeに対する作用Sの停留性を仮定すると,これから運動方程式:δS/δe=0,つまり,(d)2-e22=0 を得ます。

 

これをeについて解いた式:e=[(xd)2]1/2/mを作用S≡-(1/2)∫[e-1(d)2+em2]dτに代入し返して,eを消去すると,元々有るべき形の作用積分S=-m∫dτ[(d)2]1/2が復元されます。

要約します。

 

D次元の粒子の位置座標xμ(τ)(μ=0,1,2,...,D-1)に補助座標e(τ)を加えたD+1個の座標空間での作用をS≡-(1/2)∫[e-1(d)2+em2]dτとします。

 

これから,補助座標eに対する変分方程式δS/δe=0 によってeを消去したものは,元々有り得るべきD次元座標だけの作用表現:S=-m∫ds=-m∫dτ[(d)2]1/2に等価であることになります。

したがって,質量がmの1粒子の作用をS=-m∫dsの代わりにS=-(1/2)∫[e-1(xd)2+em2]dτとして,粒子の運動方程式がD+1個の座標:xμ(τ)(μ=0,1,2,...,D-1),e(τ)の変分に対するSの停留性:δS=0で与えられると考えてもよいことになります。

そして,この形では,先に述べたS=-m∫dsでのτ→τ~(τ)に対する再パラメータ化不変性は,追加された補助座標e(τ)も含めた再パラメータ化:τ→τ~(τ),e(τ),→e~(τ~)=(dτ/dτ~)e(τ)の下での不変性になります。

S=-(1/2)∫[e-1(d)2+em2]dτ=-(1/2)∫dτ[e-1(τ)gμν(dxμ/dτ)(dxν/dτ)+e(τ)m2]=-(1/2)∫dτ~(dτ/dτ~)[e-1(τ)gμν(dxμ/dτ~)(dxν/dτ~)(dτ~/dτ)2+e(τ)m2]=-(1/2)∫dτ~[{e(τ)(dτ/dτ~)}-1μν(dxμ/dτ~)(dxν/dτ~)+e(τ)(dτ/dτ~)m2]です。

 

そこで,τ→τ~(τ)に際して,e(τ)→e~(τ~)=(dτ/dτ~)e(τ)が同時に成立する場合には,S=S~なる不変性が成立します。

 

(Sには,なお積分定数∫dτ(dW/dτ)を加減するだけの自由度がありますから,e(τ)→e~(τ~)=(dτ/dτ~)e(τ)は十分条件ですが,必要条件かどうかはわかりません。)

τ→τ+δτ=τ-ξ(τ)なる任意のτの無限小の局所的再パラメータ化を考えると,これはにとっては(τ)→(τ-ξ)=(τ)+δ(τ)-ξdを意味します。

 

そこでδ=-ξdですが,この変換ではe=e(τ)にとってもと同様,e(τ)→e(τ-ξ)=e(τ)+δe=e(τ)-ξed,δe=-ξed=-ξ(de/dτ)となります。

 

しかし,このδとδeに対して,実際にS→S~=S+δSのδS=(δS/δ+(δS/δe)δeがゼロである条件が保持されるかどうかは自明なことではありません。

 

そこで,逆にτ→τ~=τ+δτ=τ-ξのとき,δS=0 となるべき条件であるe(τ)→ e~(τ~)=e(τ)+δe=(dτ/dτ~)e(τ)が満たされるという要求から,δeの有るべき形を求めてみます。

 

τ→τ~=τ-ξに対しdτ/dτ~=(1-dξ/dτ)-1=1+dξ/dτですから,e~(τ~)=e(τ)+δe=(dτ/dτ~)e(τ)=e(τ)+(dξ/dτ)e(τ)と書けます。そこで,eの変分はδe=(dξ/dτ)e(τ)であるべきということになります。

 

そこで,δeは,単にe(τ~)-e(τ)=e(τ+ξ)-e(τ)=-ξed=-ξ(de/dτ)ではなく,これにd(eξ)/dτを加えたもの:δe=e(τ-ξ)-e(τ)+d(eξ)/dτで与えられます。

 

これは,δe=e~(τ~)-e(τ)の表現です。関数形の変分(Lie変分?)という意味ではδLe=e~(τ)-e(τ)=d(eξ)/dτですね。

 

ちょっと私自身が混乱しましたが,この混乱の原因はτ~=τ-ξのときにはτ=τ~+ξであるというように,普通変換には常に観測者の視点があるからです。

  

この平行移動変換でも,物理系ではなく座標系が移動するという受動的な見方と座標系はそのままで物理系が移動するという能動的な見方の等価な2つの視点があるからです。

 

いずれにしても,任意のパラメータの変換:τ→τ~(τ)と同時にe(τ)→e~(τ~)=(dτ/dτ~)e(τ)なる任意性で定義されるeのゲージ変換の自由度を用いてSを調節すれば,いつでもS→S~=Sとすることが可能ですから,δS/δe=0 も含めた作用原理から得られる粒子の運動方程式はパラメータτの選択には独立であることになります。

上に述べたようにSから作用原理で得られる変分方程式はに対するもの:δS/δ=0 は通常の粒子軌道を定める運動方程式ですが,eに対する余分の方程式δS/δe=(xd)2-e22=0 は曲がった背景空間に一般化された質量殻条件を与えるものと解釈されます。

 

それは,m=0 のとき,この式が光速度不変を意味する光錐条件の式:(xd)2=gμν(dxμ/dτ)(dxν/dτ)=0 に一致することからのアナロジーです。

そして,作用をS=-(1/2)∫[e-1(xd)2+em2]dτ=∫dτと書くとき,ラグランジアン=-(1/2)∫[e-1(xd)2+em2]で与えられますから,正準共役運動量はpμ=-∂/∂(xd)μ=e-1(xd)μ=e-1μν(xd)νで与えられます。

 

そこで,質量がある粒子:m≠0 ならe=1/mなるゲージを取ればpμ=m(xd)μ=m(dxμ/dτ)となり,また光のように質量がない粒子なら,例えばe=1なるゲージを取り,pμ=xdμ=dxμ/dτを採用することもできます。

(訳注10):全てのベクトル,テンソル成分が反変的な上添字の成分のみで記述される非相対論的解析力学では,pk=∂/∂(xd)kですが,これを今採用しているミンコフスキー特性を持つ計量で表現するとpk=-∂/∂(xd)kとなってマイナス符号が付きます。

 

 解析力学を相対論に拡張する際には,上添字の成分で微分すると下添字成分で表されるの共変的な量となりますから,今の計量では共役運動量はpμ=gμνν=-∂/∂(xd)μで与えられると一般化されます。(訳注10:終わり)※

 量子論として,点粒子の量子力学的伝播を考える場合には,その本質は確率振幅の伝播が経路積分∫e[expiS(x,e)]で与えられるということに集約されます。

 

 そして,この積分を評価する際には,その他にS=-(1/2)∫[e-1(xd)2+em2]dτにおけるゲージ対称性などをも扱う必要があります。

 粒子間の相互作用を指定することはファインマングラフ(Feynman diagram)を形成するための世界線の分岐と結合の規則を与えることに相当します。

 

 その他にも,追跡すべき多くの事項がありますが,今までの段階の話だけで,粒子から弦へと理論を拡張するための基礎付けとしては十分でしょう。

 さて,点粒子の作用は弦,膜,...など,より高い次元を持つ物体に一般化できます。

 

 もしも,物体がn次元ならS=-m∫dsを直線的に一般化する方法は,明らかにn=0 の点粒子の世界線dsを物体が掃き去る(n+1)次元の不変時空体積にすることですね。

Sの作用の次元は自然単位では無次元ですから,係数は質量mの代わりにmn+1の次元を持つ必要があります。

 

そして,点粒子で作用をS=-(1/2)∫[e-1(xd)2+em2]dτと等価な表現に置き換えたように,n次元物体についても作用が平方根を含まない定式化を用いることができます。

 とりあえず,今はボソンの自由度のみを考えているので(n+1)次元多様体の内部幾何は,その計量hαβ(σ)だけで記述されます。

 S=-(1/2)∫[e-1(xd)2+em2]dτにおいて特にm=0 とした場合のSの一般化は,明らかにS=-(T/2)∫dn+1σ1/2αβμν()∂αμβνとなります。

 

 ただし,σはn次元物体が描く軌道を示す写像として(n+1)次元世界多様体の座標(σ)={Xμ(σ)}を与える(n+1)個のパラメータ(σ01,..,σn)を表わしています。

 

 ここで,σ0=τは固有時間に対応し,空間座標に対応するσi(i=1,2,..,n)はn次元物体のn次元体積を記述するとしています。

 

 hαβ=hαβ(σ)はhαβ=hαβ(σ)の逆行列成分であり,h=h(σ)は計量の行列式h≡|det(hαβ)|です。

 また,計量hαβはミンコフスキー特性を持ち,固有値は1つが正,残るn個は負です。また,関数(σ)={Xμ(σ)}は世界多様体(線,面,管,...)の物理的時空への写像を記述します。

 

 hαβ(σ)は(n+1)次元多様体の幾何(曲がり等)を記述し,gμν()はD次元時空の幾何を記述します。

 

 もちろん,D≧(n+1)なることが必要です。

 得られた作用の式:S=-(T/2)∫dn+1σ1/2αβμν()∂αμβνは,一見して1つの幾何学的特徴を持っていることがわかります。

 

 それはSが座標系σ≡(σ012,..,σn)の特殊な選択に依存しないなことです。

 

 これは一般相対性理論の通常の計算から明白なことです。すなわち,理論の一般座標変換不変性ですね。

 

 そして,右辺の積分においてh1/2n+1σは不変体積要素であり,hαβμναμβνはテンソル添字が正しく縮約されるため,この積分が一般座標変換で不変なることが自明だからですね。

 点粒子の場合には,物理的解釈にとって理にかなっているされた作用の1つの重要な特性は,hαβに対応する量eが削除できるようなゲージ選択が可能なことでした。

今の一般のn次元の物体の場合には,対称テンソルαβは(n+1)(n+2)/2 個の成分を持ち,(n+1)個の独立な再パラメータ不変性を意味する拘束式があります。

 

そして,それらが使い果たされた後にも,なおhαβの(n+1)(n+2)/2 成分のうちのn(n+1)/2 成分の自由度が残ります。特にn=1の弦の場合にはn(n+1)/2=1なので残る自由度は1だけです。

 したがって,一般にn>0 では世界表面の再パラメータ化によるだけではhαβを単純に削除することはできませんが,特にn=1の弦(string)という特殊な場合にのみ,なお考慮さるべき,1つのより局所的な対称性が存在します。

 これは,計量の局所ワイル・スケーリング(Weyl-scaling)と呼ばれる対称性です。すなわち,hαβ(σ)←Λ(σ)hαβ(σ)の下では当然h(σ)1/2αβ(σ)→Λ(σ)(n-1)/2h(σ)1/2αβ(σ)と変換されます。よって,この変換ではn=1の場合にのみSが不変になることがわかります。

 この余分な対称性のおかげで,n=1の弦なら全てのhαβ(σ)依存性をゲージ選択によって拭い去る可能性を持つことが示唆されます。

 少なくとも局所的にはワイル不変性によってhαβ(σ)の依存性を全てゲージによって除去できるという能力を持つということは弦の物理学にとって中心的な要素です。

 

 これは,弦の対立物,例えば薄膜などと弦を選別できる性質の1つです。そして,薄膜やさらに高次元の物体にはもう1つの比較的目立った問題点があります。

 すなわち,S=-(T/2)∫dn+1σ1/2αβμν()∂αμβνは,(n+1)次元の量子場の理論を定義しますが,これは次数勘定(によって,n=1に対しては,くりこみ可能ですが,n>1に対してはくりこみ不可能であるという事実です。

(訳注11):場の理論の次数勘定定理によれば相互作用iに対応する頂点でのボソン線の数をbi,フェルミ粒子線の数をfiとし,微分の指数をdiとすると,くりこみ指数がδi≡dim(i)-(n+1)={(n+1)-2}bi/2+{(n+1)-1}fi/2+di-(n+1)となります。

  

 そして,この相互作用iについてはδi≦0 となることがくりこみ可能性の必要十分条件です。

 今の場合では,フェルミ粒子は考えてないのでfi=0 です。

 

 また,相互作用ですから少なくとも頂点に連結する物体は2個以上なのでbi≧2であり,またその相互作用は少なくともXμ(σ)の1階微分を2個含むはずですから,最悪な場合としてdi=2と置くと,δi=(bi/2-1)(n-1)となります。

 

 それ故,n=1ならδi=0 ですが,n>1ならδi>0 となります。(訳注11:終わり)※

S=-(T/2)∫dn+1σ1/2αβμν()∂αμβνが量子論として意味をなすことは,量子論として一般相対性理論が意味をなすことと同じくらい困難な問題です。

 

そして,今述べた事情で,薄膜やさらに高次元の物体を量子重力に向かう有望な出発点とするのは非常に可能性が低い選択と考えられます。

というわけで,以後n=1の物体に対応する弦のみを対象とします。

 

こう考えたとき,パラメータTは"(長さ)-2=(質量)2((length) -12=(mass)2)"の次元を持つので,弦の張力と同定されます。これは開弦については普遍的なレッジェ軌跡の傾き(Regge slope):α'とT=(2πα')-1なる関係式で関連付けられます。

 

これは作用積分Sを量子化した後に,そのスペクトルを決定することによって確立される事実です。

今日はここまでにします。

 

参考文献:M.B.Green,J.H.Schwarz,& E.Witten著「superstring theory」(Cambridge University Press)

 

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