束縛状態とベーテ・サルピーター方程式(4）

　ベーテ・サルピーター方程式(Ｂ-Ｓ.eq.)の続きです。

　§4.小群の体調和関数(Solid harmonics of little grouｐs)

　まず,ｓ＝Ｐ²＝(Ｐ⁰)²－Ｐ²なので,ｓ＞0 ならＰ＝0 となる静止系が常に存在します。一方,このＰ＝0 の座標系を選択した場合には,ｓ＝0 はＰ^μ≡0 を意味します。

　最初にこの方程式が提案されてから10年以上もの間,Ｂ-Ｓ.eq.は常にこの静止系で考察されていました。

　しかし,Ｐ^μが光的な場合:ｓ＝Ｐ²＝Ｐ_μＰ^μ＝(Ｐ⁰)²－Ｐ²＝0 の場合をも統一的な考察の中に含めるためには,一般のローレンツ(Lorentz)系を想定した系統的なやり方で扱う方がより望ましいと思われます。

　こうした目的のために,Nakanishi(中西;1965)は小群(little group)の体調和関数の概念を導入しました。

ｎ重に縮退した束縛状態のＢ-Ｓ振幅はφ_Br(ｘ_a,ｘ_b;Ｐ_B)＝＜0|Ｔ[φ_a(ｘ_a)φ_b(ｘ_b)]|Ｂ,ｒ＞;(ｒ＝1,2,...,ｎ)で与えられますが,これはポアンカレ群,すなわち,非斉次ローレンツ群の有限次元表現の表現空間を形成します。

ポアンカレ群の表現の具体的構造については,ウィグナー(Wigner)の古典的論文で完全に調べ尽くされています。そのうち,平行移動群はアーベル群なので,１次元表現:exp(－iＰ_Bｘ)を持ちます。

ポアンカレ群のある種の特別な表現においては,如何なるローレンツ変換もこの表現を変えません。

ローレンツ変換の部分集合としてＬ(Ｐ)≡{Λ∈Ｌ|ΛＰ＝Ｐ}なるローレンツ群の部分群を定義します。Ｌは空間反転,時間反転も含む斉次ローレンツ群であり,Ｌ(Ｐ)はいわゆるＰに属する小群と呼ばれるものです。

　以前に述べたように,Ｂ-Ｓ振幅のφ_Br(ｘ_a,ｘ_b;Ｐ_B)≡(2π)^-3/2exp(－iＰ_BＸ)φ_Br(ｘ,Ｐ_B),φ_Br^(ｘ_a,ｘ_b;Ｐ_B)≡(2π)^-3/2exp(iＰ_BＸ)φ_Br^(ｘ,Ｐ_B)なる表現によれば,φ_Br(ｘ,Ｐ_B),それ故,φ_Br(ｐ,Ｐ_B)はΛＰ_B＝Ｐ_Bを満足するＬ(Ｐ_B)の元Λに対してのみ相互変換されます。

　つまり,{φ_Br(ｐ,Ｐ_B)}_r=1ⁿがＬ(Ｐ_B)の表現空間の基底であることを意味します。

※(訳注):Λ∈Ｌ(Ｐ_B)に対して,φ_Br(ｐ,Ｐ_B)はφ_Br(ｐ,Ｐ_B)→ φ_Br(Λｐ,Ｐ_B)＝Σ_r=1ⁿｃ_rφ_Br(ｐ,Ｐ_B)に線型変換されて,{φ_Br(ｐ,Ｐ_B)}_r=1ⁿはＬ(Ｐ_B)に対して不変な部分空間(表現空間)を形成する基底になっています。※

Ｌ(Ｐ)≡{Λ∈Ｌ|ΛＰ＝Ｐ}の構造は次のＰ依存性を持ちます。

[1]Ｐ^μが時間的(time-like)ならＬ(Ｐ)～Ｏ(3)です。(※(訳注):Ｐ^μ≡(ｍ,0)(ｍ≠0)と取ればＬ(Ｐ)は通常の３次元空間の回転群です。※)

[2]Ｐ^μが空間的(space-like)ならＬ(Ｐ)～Ｏ(2,1)です。

[3]Ｐ^μ≡0 ならＬ(Ｐ)～Ｏ(3,1)です。

[4]Ｐ^μが光的(light-like)ならＬ(Ｐ)～Ｅ(2)です。

(※(訳注):光のようにｍ＝0 なら,Ｐ^μ≡(ｍ,0)(ｍ≠0)と取ることはできず,例えばＰ^μ≡(1,0,0,1)と取れますが,これからＬ(Ｐ)は自由度が２の空間回転の群であるＥ(2)になることがわかります。※)

ただし,Ｏ(ｍ,1)は(ｘ¹,ｘ²,...,ｘ^m+1)の２次形式Σ_j=1^m{(ｘ^j)²－(ｘ^m+1)²}を不変に保つ実線型変換の全体を示し,Ｅ(2)は２次元の全ての平行移動と(鏡映を含む)回転から成る２次元ユークリッド群です。

通常の球関数の定義を一般化することにより,次のようにして小群Ｌ(Ｐ)の体調和関数:Ｘ_l(ｐ)を定義します。

体調和関数Ｘ_l(ｐ)は(∂/∂ｐ)²Ｘ_l(ｐ)＝0,およびＰ^μ(∂/∂ｐ^μ)Ｘ_l(ｐ)＝0 を同時に満足するｐ⁰,ｐ¹,ｐ²,ｐ³のｌ次の同次多項式とします。固定されたｌに対してＸ_l(ｐ)の全体はＬ(Ｐ)の有限次元既約表現の空間を張ることが容易にわかります。

Ｐ^μは反変ベクトルで,∂/∂ｐ^μは共変ベクトルです。

もちろん,Ｐ^μ∂/∂ｐ^μ≡Ｐ⁰∂/∂ｐ⁰＋Ｐ¹∂/∂ｐ¹＋Ｐ²∂/∂ｐ²＋Ｐ³∂/∂ｐ³ですが,Ｘ_l(ｐ)がｐ^μのｌ次の同次式であり,対称性からｐ^μ(∂/∂ｐ^μ)Ｘ_l(ｐ)＝ｌＸ_l(ｐ)なる不変な等式を満たします。

まず,特殊なローレンツ系で,Ｘ_l(ｐ)の標準形を求めます。

[1]ｓ＞0 の場合:Ｐ^μ≡(√ｓ,0)とします。このとき,Ｐ^μ(∂/∂ｐ^μ)Ｘ_l(ｐ)＝0 は√ｓ(∂/∂ｐ⁰)Ｘ_l(ｐ)＝0 となるので,Ｘ_l(ｐ)はｐ⁰に依存しないことがわかります。

　そこで,(∂/∂ｐ)²Ｘ_l(ｐ)＝0 はラプラス方程式:∇_p²Ｘ_l(ｐ)＝0 になります。故にＸ_l(ｐ)の定義は通常の球関数Ｙ_lm(ｐ)に一致します。このＹ_lm(ｐ)は符号を除いて|ｐ|^lＹ_lm(θ,φ)と同定される関数です。

　ここに,|ｐ|,θ,φはｐの極座標です。Ｙ_lm(θ,φ)は通常の球面調和関数(球関数)ですね。

　Ｙ_lm(ｐ)をゲーゲンバウアー(Gegenbauer)多項式:Ｃ_k^α(ｚ)によって表現するのは便利です。

　すなわち,Ｙ_lm(ｐ)＝[(2ｌ＋1)(ｌ－|ｍ|)!/{(4π)(ｌ＋|ｍ|)!}]^1/2(2|ｍ|－1)!!(ｐ¹±iｐ²)^|m||ｐ|^l-mＣ_l-|m|^|m|+1/2(ｐ³/|ｐ|) (ｍ＝－ｌ,－ｌ＋1,...,ｌ)です。

　ただし,±はｍ/|ｍ|を意味し(2ｋ－1)!!はΠ_j=1^k(2ｊ－1)によって定義されます。規格化因子はゲーゲンバウアー多項式の直交性:∫_-1¹ｄｚ(1－ｚ²)^α-1/2Ｃ_k^α(ｚ)Ｃ_k'^α(ｚ)＝πΓ(2α＋ｋ)δ_kk'/{2^2α-1ｋ!(α＋ｋ)Γ(α)²}から計算されます。

[2]ｓ＜0の場合:Ｐ^μ≡(0,0,0,√－ｓ)とします。このとき,Ｐ^μ(∂/∂ｐ^μ)Ｘ_l(ｐ)＝0 は√－ｓ(∂/∂ｐ³)Ｘ_l(ｐ)＝0 ですからＸ_l(ｐ)はｐ³に依存しないことがわかります。

　そこで,ここでのＸ_l(ｐ)は[1]でのｐ⁰をｐ³に置き換えたもので与えられます。

それ故,この場合の標準体調和関数はＹ^_lm(ｐ¹,ｐ²,ｐ⁰)≡Ｙ_lm(ｐ¹,ｐ²,－iｐ⁰)で定義されます。

[3]Ｐ^μ≡0の場合:この場合,条件Ｐ^μ(∂/∂ｐ^μ)Ｘ_l(ｐ)＝0 は恒等的に成立するので意味がありません。

　そこで,ダランベール(d'Alembert)方程式(∂/∂ｐ)²Ｘ_l(ｐ)＝□_pＸ_l(ｐ)＝0 の解を意味する,いわゆるローレンツの体調和関数を指定するにはＬ,ｌ,ｍの３つの量子数が必要となります。

　何故なら,この場合は明らかに小群Ｌ(Ｐ)が全体のローレンツ群Ｌに等しいからです。

　そうして,標準的なローレンツの体調和関数というものをＺ_Llm(ｐ⁰,ｐ)(ｌ＝0,1,2,...,Ｌ;ｍ＝－ｌ,－ｌ＋1,...,ｌ)なる表記で表わすことにすれば,これはＺ_Llm(ｐ⁰,ｐ)≡Ｈ_Llm(－iｐ⁰,ｐ);Ｈ_Llm(ｐ⁴,ｐ)≡|ｐ^|^LＨ_Llm(α,θ,φ)なる表式によって定義されます。

　ただし,|ｐ^|²＝(ｐ⁴)²＋ｐ²,cosα＝ｐ⁴/|ｐ^|(ｐ⁴が実なら 0≦α＜π)です。そして,Ｈ_Llm(α,θ,φ)は４次元の球関数です。

具体的には,Ｈ_Llm(α,θ,φ)≡Ａ_Llsin^lαＣ_L-l^l+1(cosα)Ｙ_lm(θ,φ)と表わされます。ここでの規格化定数:Ａ_Llは∫ｄΩ₄|Ｈ_Llm(α,θ,φ)|²＝1なる要請によって決まります。

ただし,ｄΩ₄は４次元立体角要素です。

すなわち,上の要請と既に上で記述したゲーゲンバウアー多項式の直交性:∫_-1¹ｄｚ(1－ｚ²)^α-1/2Ｃ_k^α(ｚ)Ｃ_k'^α(ｚ)＝πΓ(2α＋ｋ)δ_kk'/{2^2α-1ｋ!(α＋ｋ)Γ(α)²}から,|Ａ_Ll|²＝2^2l+1(Ｌ＋1)(Ｌ－ｌ)!(ｌ!)²/{π(Ｌ＋ｌ＋1)!}なる表式を得ます。

もちろん,完全系をなすローレンツ体調和関数としては,他の選択もあります。例えば次の選択は後のケース[4]と関連して便利な表現です。

すなわち,Ｚ^_LMm(ｐ)≡Ａ^_LMM^(ｐ¹±iｐ²)^|m|(ｐ³－ｐ⁰)^M(ｐ³＋ｐ⁰)^{M^}Ｆ(－Ｍ,－Ｍ^,－Ｌ;ｐ²/{(ｐ⁰)－(ｐ³)²})(|ｍ|＋Ｍ＋Ｍ^＝Ｌ,Ｍ≧0,Ｍ^≧0)と定義すれば,右辺の超幾何関数のベキ級数展開はmin(Ｍ,Ｍ^)＋1個の項しか持たないことがわかります。

これの規格化定数Ａ^_LMM^は∫ｄΩ₄|Ｈ_Llm(α,θ,φ)|²＝1に似た要請から決まります。|Ａ^_LMM^|²＝Ｌ!(Ｌ＋1)!/{2π²Ｍ!Ｍ^!(Ｌ－Ｍ)!(Ｌ－Ｍ^)!}です。

[4]ｓ＝0 ,かつＰ^μ≠0 の場合:Ｐ^μ≡(Ｐ⁰,0,0,Ｐ⁰)(Ｐ⁰≠0)と選びます。このとき,Ｐ^μ(∂/∂ｐ^μ)Ｘ_l(ｐ)＝0 は(∂/∂ｐ⁰＋∂/∂ｐ³)Ｘ_l(ｐ)＝0 を意味します。そこで,(∂/∂ｐ)²Ｘ_l(ｐ)＝0 は{(∂/∂ｐ¹)²＋(∂/∂ｐ²)}Ｘ_l(ｐ)＝0 となります。

　そこで,今の場合はχ_lm(ｐ)(|ｍ|≦ｌ)で記述される標準の体調和関数はχ_lm(ｐ)＝ａ_lm(ｐ¹±iｐ²)^|ｍ|(ｐ³－ｐ⁰)^l-|ｍ|なる形で与えられます。

　これは,先の[3]での体調和関数の表現:Ｚ^_LMm(ｐ)≡Ａ^_LMM^(ｐ¹±iｐ²)^|m|(ｐ³－ｐ⁰)^M(ｐ³＋ｐ⁰)^{M^}Ｆ(－Ｍ,－Ｍ^,－Ｌ;ｐ²/{(ｐ⁰)－(ｐ³)²})(|ｍ|＋Ｍ＋Ｍ^＝Ｌ,Ｍ≧0,Ｍ^≧0)において,Ｍ^＝0,ａ_lm≡Ａ^_L,l-|m|,0と置いた式に一致します。

　χ_lm(ｐ)＝ａ_lm(ｐ¹±iｐ²)^|ｍ|(ｐ³－ｐ⁰)^l-|ｍ|において(ｐ³－ｐ⁰)の因子が不変量によってｐ³－ｐ⁰＝(－ｖ＋ｗ)/(2Ｐ⁰)と表現できることは注目に値します。

※(訳注):何故なら,ｖ≡(η_aＰ＋ｐ)²,ｗ≡(η_bＰ－ｐ)²,かつｓ＝Ｐ²＝0;Ｐ^μ≡(Ｐ⁰,0,0,Ｐ⁰)ですから,－ｖ＋ｗ＝－2ｐＰ＋(η_b²－η_a²)Ｐ²＝－2ｐＰ＝2Ｐ⁰(ｐ³－ｐ⁰)となるからです。※

　以上,ある特殊準拠系での小群の体調和関数を論じました。しかし,種々のケースの相互関係を考えたいときには,特殊座標系で論じるのは得策ではありません。そこで,以下では体調和関数が任意のローレンツ系ではどうなるか?を調べてみます。

　まず,ｓ＞0 の場合のＰ^(0)μ≡(√ｓ,0)に対し,これと同じｓを持つＰ^μ,つまりＰ²＝ｓ＞0 となる任意の４元ベクトルＰ^μを考えます。このとき,あるローレンツ変換Λ∈Ｌが存在してＰ＝ΛＰ⁽⁰⁾と書けます。このΛとｐに対してｑ≡Λ^-1ｐと定義します。

このとき,Ｌ(Ｐ)の体調和関数はＹ_lm(ｐ,Ｐ)＝Ｙ_lm(ｑ)で与えられることがわかります。

すなわち,Ｙ_lm(ｐ,Ｐ)＝Ｙ_lm(ｑ)＝Ｙ_lm(ｑ,Ｐ⁽⁰⁾)ですがＹ_lm(ｑ,Ｐ⁽⁰⁾)はＬ(Ｐ⁽⁰⁾)の体調和関数ですからｑ⁰,ｑ¹,ｑ²,ｑ³のｌ次の同次多項式です。

そしてｑ≡Λ^-1ｐ,つまりｑ^μ＝(Λ^-1)^μ_νｐ^νなのでこれはｐ⁰,ｐ¹,ｐ²,ｐ³のｌ次の同次多項式であることと同値です。

そして,Ｐ＝ΛＰ⁽⁰⁾,ｐ＝Λｑにより,(∂/∂ｐ)²Ｙ_lm(ｐ,Ｐ)＝(∂/∂ｑ)²Ｙ_lm(ｑ,Ｐ⁽⁰⁾)＝0,Ｐ(∂/∂ｐ)Ｙ_lm(ｐ,Ｐ)＝Ｐ⁽⁰⁾(∂/∂ｑ)Ｙ_lm(ｑ,Ｐ⁽⁰⁾)＝0 が成立することも自明です。

したがって,Ｙ_lm(ｐ,Ｐ)＝Ｙ_lm(ｑ)をＬ(Ｐ)の体調和関数と同定できます。

短かいし途中ですが,今日はここで終わります。

参考文献:Noboru Nakanishi "A General survey of the Theory of the Bethe-Salpeter Equation",Progress of Theoretical Physics, Supplement,No.43(1969)

http://folomy.jp/heart/「folomy 物理フォーラム」サブマネージャーです。

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