女難？

　今週は水曜日の夜から朝にかけて女難？で翌日までしんどかった。体重何キロなのかなァ？顔は美人だけどえらく重くて。。。心臓が悪くて死にそうだってのがわからんのか？？

　真理とか言ってたけど,ちょうど話題にのぼっていた昔の薬師丸の旦那の彼女もそういう名前ですね。41歳とか言ってたけど10歳くらい若く見えた。。。

分子と点群(2)

　対称性変換群の表現論の続きです。

　(Ｄ,Ｕ)を群Ｇのユニタリな行列表現とすると,シューアの補題(Schur's lemmma)によれば,∀Ｒ^∈Ｇに対するＤ(Ｒ)と可換な線型変換Ｔがスカラーであること,つまり∀Ｒ^∈Ｇに対する表現行列Ｄ(Ｒ)と可換な行列Ｔが単位行列の定数倍に限られるということが,Ｄが既約表現であるための必要十分条件であるというところまで書きました。

ユニタリな行列表現(Ｄ,Ｕ)は完全可約であって,表現空間Ｕ,および∀Ｒ^∈Ｇに対する表現行列Ｄ(Ｒ)は既約表現の直和に分解されます。これをＵ＝Σ_αＵ^(α),Ｄ(Ｒ)＝Σ_αＤ^(α)(Ｒ)と書きます。ここではΣ_αは直和を意味する記号とします。

　これから,次の定理が導かれます。

[定理１]:群Ｇのユニタリな既約表現(Ｄ^(α),Ｕ^(α))の表現行列Ｄ^(α)(Ｒ)は次の直交関係:Σ_R∈GＤ^(α)_ij(Ｒ)^*Ｄ^(β)_kl(Ｒ)＝(ｇ/ｄ_α)δ_αβδ_ikδ_jlを満たす。

　ここで群Ｇは有限群であると仮定しており,ｇはその位数|Ｇ |です。また,ｄ_αは既約表現(Ｄ^(α),Ｕ^(α))の次元です。つまりＤ^(α)(Ｒ)はｄ_α次の正方行列です。

(証明)Ｂをｄ_α行ｄ_β列の任意の行列とし,同じｄ_α行ｄ_β列の行列ＴをＴ≡Σ_R∈GＤ^(α)(Ｒ^-1)ＢＤ^(β)(Ｒ)によって定義します。

　このとき,Ｒ₁^∈ＧについてＤ^(α)(Ｒ₁)Ｔ＝Σ_R∈GＤ^(α)(Ｒ₁Ｒ^-1)ＢＤ^(β)(Ｒ)＝Σ_R∈GＤ^(α)(Ｒ^-1)ＢＤ^(β)(ＲＲ₁)＝ＴＤ^(β)(Ｒ₁)となります。

　つまり,Ｄ^(α)(Ｒ₁)Ｔ＝ＴＤ^(β)(Ｒ₁)です。

　この等式はＲ₁^∈Ｇを特定して得られたわけではなく,したがって任意のＲ₁^∈Ｇに対して成立するので,シューアの補題により,α≠βの場合,すなわちＤ^(α)とＤ^(β)が同値でない(異値の)既約表現の場合には,Ｔ≡0 です。

　そして,Ｔ＝Σ_R∈GＤ^(α)(Ｒ^-1)ＢＤ^(β)(Ｒ)＝0 において,Ｂは任意なので成分表示Ｔ_jl＝Σ_m,nΣ_R∈GＤ^(α)_jm(Ｒ^-1)Ｂ_mnＤ^(β)_nl(Ｒ)＝0 において,特にＢ_mn＝δ_miδ_nkとしてこれを代入すればΣ_R∈GＤ^(α)_ji(Ｒ^-1)Ｄ^(β)_kl(Ｒ)＝0 を得ます。

　行列Ｄ^(α)(Ｒ)はユニタリなので,Ｄ^(α)_ji(Ｒ^-1)＝Ｄ^(α)_ji(Ｒ)^＋＝Ｄ^(α)_ij(Ｒ)^*ですが,これはΣ_R∈GＤ^(α)_ij(Ｒ)^*Ｄ^(β)_kl(Ｒ)＝0 を意味します。　

　一方,α＝βの場合には,同じくシューアの補題によりＴ＝Σ_R∈GＤ^(α)(Ｒ^-1)ＢＤ^(α)(Ｒ)＝λIです。

　成分表示Ｔ_jl＝Σ_m,nΣ_R∈GＤ^(α)_jm(Ｒ^-1)Ｂ_mnＤ^(α)_nl(Ｒ)＝λδ_jlにおいて,特にＢ_mn＝δ_miδ_nkを代入すれば,Σ_R∈GＤ^(α)_ij(Ｒ)^*Ｄ^(α)_kl(Ｒ)＝λδ_jlを得ます。

　ここで,ｊ＝ｌとして両辺をｊ＝1,2,..,ｄ_αについて加え合わせるとΣ_j=1^dαΣ_R∈GＤ^(α)_ji(Ｒ^-1)Ｄ^(α)_kj(Ｒ)＝Σ_R∈GＤ^(α)_ki(ＲＲ^-1)＝λｄ_αとなります。

　よって,λｄ_α＝ｇδ_ik,:λ＝(ｇ/ｄ_α)δ_ikなので,Σ_R∈GＤ^(α)_ij(Ｒ)^*Ｄ^(α)_kl(Ｒ)＝(ｇ/ｄ_α)δ_ikδ_jlです。(証明終わり)

※(註)実際には,Ｄ(Ｒ)＝Σ_αＤ^(α)(Ｒ)なる直和分割において,各々のＤ^(α)(Ｒ)が,全て互いに異値であるというわけではなく,α≠βの場合でもＤ^(α)(Ｒ)とＤ^(β)(Ｒ)が同値な場合もあります。

そして,Ｄ(Ｒ)＝Σ_αＤ^(α)(Ｒ)なる既約表現への直和分解においてＤ^(α)と同値な表現の個数がｍ_αなら,このｍ_αをＤ^(α)の重複度と呼ぶことにします。

これにより表現の直和分割を改めてＤ(Ｒ)＝Σ_αｍ_αＤ^(α)(Ｒ)と書けば,上の定理１の結論である直交性Σ_R∈GＤ^(α)_ij(Ｒ)^*Ｄ^(β)_kl(Ｒ)＝(ｇ/ｄ_α)δ_αβδ_ikδ_jlは,Σ_R∈GＤ^(α)_ij(Ｒ)^*Ｄ^(β)_kl(Ｒ)＝{ｇ/(ｍ_αｄ_α)}δ_αβδ_ikδ_jlに変更されます。

　さて,上の定理は群Ｇが回転群のうち角運動量ｌが定まった部分群のような有限群の場合の定理ですが,そうではなくＧが回転群の全体であるような連続群で,それ故無限群の場合には次のように変わります。

[定理２]:(Ｄ,Ｕ),(Ｄ',Ｕ')を連続群Ｇのそれぞれｍ次,ｎ次のユニタリ行列による既約表現とする。このとき,ＤとＤ'が同値なら∫_Ｇ Ｄ_ij(Ｒ)^*Ｄ'_kl(Ｒ)ｄＲ＝(1/ｍ)δ_ikδ_jl,一方ＤとＤ'が異値なら∫_Ｇ Ｄ_ij(Ｒ)^*Ｄ'_kl(Ｒ)ｄＲ＝0 が成立する。

(略証):Ｂをｍ行ｎ列の任意の行列とし,同じｍ行ｎ列の行列ＴをＴ≡∫_Ｇ Ｄ(Ｒ^-1)ＢＤ'(Ｒ)ｄＲによって定義します。

　以下,Ｇ上の連続関数ｆに対する積分の左不変性∫_Ｇｆ(Ｒ₁^-1Ｒ)ｄＲ＝∫_Ｇｆ(Ｒ)ｄＲを用いると,任意のＲ₁^∈Ｇに対して,Ｄ(Ｒ₁)Ｔ＝ＴＤ'(Ｒ₁)なる等式が成立するという結果が得られるので,シューアの補題,および∫_ＧｄＲ＝１から,[定理1]の証明とほぼ同じ手順で[定理２]の結論が得られます。(証明終わり)

　ただし,上記の定理の命題の意味を明確にするためには,Ｇ上の任意の連続関数ｆに対し,"任意のＲ₁^∈Ｇに対して∫_Ｇｆ(Ｒ₁^-1Ｒ)ｄＲ＝∫_Ｇｆ(Ｒ)ｄＲが成立する"という積分の左不変性を持ち,∫_ＧｄＲ＝1なる規格化条件を満たす左不変測度と呼ばれるＧ上の測度ｄＲを定義する必要があります。

　そして,こうした測度が定義できるためには位相群Ｇの位相空間としての空間体積が有限であることが必要です。

位相空間の空間体積とは何か?というような抽象的な話に入るのはなるべく避けて,連続群Ｇの例として３次元の合同変換群を挙げます。

この空間の座標パラメーターとして極座標(ｒ,θ,φ);ｒ²≡ｘ²＋ｙ²＋²ｚ²,ｘ＝ｒsinθcosφ,ｙ＝ｒsinθcosφ,ｚ＝ｒcosθを採用することができます。

３次元空間全体の体積は無限大なので平行移動群を含めた全体の合同変換群の体積は∞ なのですが,回転群だけならｒを除いた(θ,φ)だけで事足りるので,これだけなら,体積は∫sinθｄθｄφ＝4π程度です。(0≦θ＜2π,0≦φ＜π)

一方,例えばＧが３次元ポアンカレ群の部分群である３次元ローレンツ群Ｏ(2.1)であれば,極座標(ｒ,θ,φ)はｒ²≡ｃ²ｔ²－ｘ²－ｙ²,ｘ＝ｒsinhθcosφ,ｙ＝ｒsinhθcosφ,ｃｔ＝ｒcoshθです。

形は似ていますが,平行移動群のパラメータｒを除いたローレンツ群の体積は∫sinhθｄθｄφ＝∞ になります。

これは,パラメータ空間として,0≦φ＜πは同じですが,θについては回転群では 0≦θ＜2πなのに対し,ローレンツ群では双曲線関数の定義域なので－∞≦θ＜∞であるからです。

パラメータ空間の体積が有限な連続群をコンパクト群,そうでない群を非コンパクト群といいます。

物理学ではミンコフスキー(Minkowski)空間を解析接続してユークリッド空間とした方が計算しやすいので,時間変数を"複素数に拡張＝解析接続"して複素平面上の虚軸をπ/2だけウィック(Wick)回転する方法があります。

また,統計物理学では,絶対温度Ｔの逆数β≡1/(ｋ_BＴ)を量子力学での虚時間:iｔと同一視する手法が用いられます。

しかし,実際には回転群がコンパクト群であるのに対して,ローレンツ群は非コンパクト群であることに対応してミンコフスキー空間はコンパクト空間でないので,これらの手法の妥当性はみかけほど自明なことではなく,数学的な正しさにとってかなり微妙な手続きです。

さて,Ｇがコンパクト群の場合は全体積が有限なので,全体積で割ることによりｄＲを∫_ＧｄＲ＝1を満たすような体積要素とし,任意の連続関数ｆに対してＳ(ｆ)≡∫_Ｇｆ(Ｒ)ｄＲで定義した積分Ｓ(ｆ)が次の４つの基本的性質を満たすようなものが各ｆごとに唯１つ存在します。

積分Ｓ(ｆ)を群Ｇの上の不変積分といい,ｄＲを左不変ハール測度といいます。

そして,Ｓ(ｆ)が満たすべき基本的性質とは,

(ⅰ)Ｓは線型:∀ａ,ｂ∈Ｃと任意の連続関数ｆ,ｇに対してＳ(ａｆ＋ｂｇ)＝ａＳ(ｆ)＋ｂＳ(ｇ)である。

(ⅱ)∀Ｒ^∈Ｇに対しｆ(Ｒ)≧0 ならＳ(ｆ)≧0 である。

特に,∀Ｒ^∈Ｇに対しｆ(Ｒ)≧0 であるが恒等的にｆ(Ｒ)≡0 でないなら,Ｓ(ｆ)＞0 である。

(ⅲ)Ｓは左不変,つまりＲ₁^∈Ｇに対してＬ_R1ｆ(Ｒ)≡ｆ(Ｒ₁^-1Ｒ)とすれば,Ｓ(Ｌ_R1ｆ)＝Ｓ(ｆ)である。

(ⅳ)Ｓ(1)＝1 である。

の４つです。

今,Ｒ_R1ｆ(Ｒ)≡ｆ(ＲＲ₁)と定義しＳ~(ｆ)をＳ~(ｆ)≡Ｓ(Ｒ_R1ｆ)によって定義すれば,Ｓの左不変性からＳ~(Ｌ_R1ｆ)≡Ｓ(Ｒ_R1Ｌ_R1ｆ)＝Ｓ(Ｒ_R1ｆ)＝Ｓ~(ｆ)が成立するので,Ｓ~も左不変です。

証明はしていませんが,左不変な不変積分は一意的であることがわかっているので,Ｓ~＝Ｓです。

結局,∫_Ｇｆ(ＲＲ₁)ｄＲ＝∫_Ｇｆ(Ｒ)ｄＲが成立します。よって,左不変積分は右不変でもあります。

この不変測度による不変積分を用いて一般のコンパクト群Ｇ上の関数φ,ψについての"内積＝ユニタリ内積"を＜φ|ψ＞＝∫φ(Ｒ)^*ψ(Ｒ)ｄＲで定義します。

次に,重要な概念である群の表現の指標を定義します。

[定義１]:群Ｇの表現(Ｄ,Ｕ)に対して,χ_D(Ｒ)≡Ｔr{Ｄ(Ｒ)}(∀Ｒ^∈Ｇ)で定義されるＧ上の関数χ_Dをこの表現の指標という。

　すなわち,χ_D(Ｒ)＝Ｔr{Ｄ(Ｒ)}＝Σ_k=1^mＤ(Ｒ)_kkである。(ここでＴrはトレース(対角和)を意味する。ｍは表現Ｄの次数である)

　明らかに,χ_D(Ｉ)＝ｍ(表現の次元)です。

　そして,トレースの性質:Ｔr(Ａ＋Ｂ)＝Ｔr(Ａ)＋Ｔr(Ｂ),Ｔr(ＡＢ)＝Ｔr(ＢＡ)(Ｔr(ＡＢＡ^-1)＝Ｔr(Ｂ))によって,∀Ｒ₁^,Ｒ₂^∈Ｇについてχ_D(Ｒ₂Ｒ₁Ｒ₂^-1)＝χ_D(Ｒ₁),また,２つの表現(Ｄ,Ｕ),(Ｄ',Ｕ')に対し,これらが同値なら,detＴ≠0 なるＴが存在して∀Ｒ^∈ＧについてＤ'(Ｒ)＝ＴＤ(Ｒ)Ｔ^-1と書けるのでχ_D＝χ_D'です。

　また,２つの表現(Ｄ⁽¹⁾,Ｕ⁽¹⁾),(Ｄ⁽²⁾,Ｕ⁽²⁾)に対しＤ＝Ｄ⁽¹⁾＋Ｄ⁽²⁾(直和)ならχ_D＝χ_D1＋χ_D2が成立します。

[定理３]:(Ｄ,Ｕ),(Ｄ',Ｕ')をコンパクト群Ｇの２つの既約表現とするとき,ＤとＤ'が同値なら＜χ_D|χ_D'＞＝1,異値なら＜χ_D|χ_D'＞＝0 である。

(証明)コンパクト群Ｇの表現(Ｄ,Ｕ)では,積分が左右不変なので,ｕ₁,ｕ₂∈Ｕの内積＜ｕ₁|ｕ₂＞を＜ｕ₁|ｕ₂＞＝ｕ₁^＋ｕ₂から,＜ｕ₁|ｕ₂＞≡∫_Ｇ{Ｄ(Ｒ)ｕ₁}^＋{Ｄ(Ｒ)ｕ₂}ｄＲに定義し直すと,∀Ｒ₁^∈Ｇについて＜Ｄ(Ｒ₁)ｕ₁|Ｄ(Ｒ₁)ｕ₂＞＝＜ｕ₁|ｕ₂＞が成立するため,Ｄ(Ｒ₁)^＋＝Ｄ(Ｒ₁)^-1が成立するユニタリ表現と考えることができます。

そして,先の定理２の命題:"(Ｄ,Ｕ),(Ｄ',Ｕ')をＧのそれぞれｍ次,ｎ次のユニタリ行列による既約表現とするとき,ＤとＤ'が同値なら∫_Ｇ Ｄ_ij(Ｒ)^*Ｄ'_kl(Ｒ)ｄＲ＝(1/ｍ)δ_ikδ_jl,一方ＤとＤ'が異値なら∫_Ｇ Ｄ_ij(Ｒ)^*Ｄ’_kl(Ｒ)ｄＲ＝0 が成立する。"から定理の結論が成立することは明らかです。(証明終わり)

先に,定理１の証明のすぐ後で,

"群Ｇが位数;ｇ＝|Ｇ |の有限群の場合に,"Ｄ(Ｒ)＝Σ_αＤ^(α)(Ｒ)なる既約表現への直和分解においてＤ^(α)と同値な表現の個数がｍ_αなら,これをＤ^(α)の重複度と呼ぶことにします。

これにより表現の直和分割をＤ(Ｒ)＝Σ_αｍ_αＤ^(α)(Ｒ)と書けば,上の定理１の結論である直交性:Σ_R∈GＤ^(α)_ij(Ｒ)^*Ｄ^(β)_kl(Ｒ)＝(ｇ/ｄ_α)δ_αβδ_ikδ_jlはΣ_R∈GＤ^(α)_ij(Ｒ)^*Ｄ^(β)_kl(Ｒ)＝{ｇ/(ｍ_αｄ_α)}δ_αβδ_ikδ_jl に変更されます。"

と書きました。

群Ｇがｇ＝|Ｇ |＝∞ の連続群で,それもコンパクト群の場合にはＤ(Ｒ)＝Σ_αＤ^(α)(Ｒ)なる既約表現への直和分解においてＤ^(α)の次元をｄ_α,重複度をｍ_αとするとき,上の定理１の結論は定理２のそれに変更され,直交性:Σ_R∈GＤ^(α)_ij(Ｒ)^*Ｄ^(β)_kl(Ｒ)＝{ｇ/(ｍ_αｄ_α)}δ_αβδ_ikδ_jlは,"Ｄ^(α)とＤ^(β)が同値なら∫_ＧＤ^(α)_ij(Ｒ)^*Ｄ^(β)_kl(Ｒ)ｄＲ＝(1/ｄ_α)δ_ikδ_jl,異値なら∫_ＧＤ^(α)_ij(Ｒ)^*Ｄ^(β)_kl(Ｒ)ｄＲ＝0 である"となります。

このとき,指標χ_D(Ｒ)＝Ｔr{Ｄ(Ｒ)}はχ_D(Ｒ)＝Σ_αｍ_αＴr{Ｄ^(α)(Ｒ)}よりχ_D＝Σ_αｍ_αχ_D(α)ですが,定理３によって＜χ_D(α)|χ_D＞＝ｍ_αを得ます。

さらには＜χ_D|χ_D＞＝Σ_αｍ_α²となります。このことから次の重要な定理が得られます。

[定理４]:(1)(Ｄ,Ｕ)をコンパクト群Ｇの表現とするとき,これが既約表現であるための必要十分条件は＜χ_D|χ_D＞＝1なることである。(2)(Ｄ,Ｕ),(Ｄ',Ｕ')をコンパクト群Ｇの２つの表現とするときＤとＤ'が同値:Ｄ～Ｄ'であるためにはχ_D＝χ_D'なることが必要十分である。

(証明)(1)は自明ですから(2)のみを証明します。

　まず,χ_D＝χ_D'なら,任意の既約表現Ｄ^(α)に対して＜χ_D(α)|χ_D’＞＝＜χ_D(α)|χ_D＞ですから,χ_D＝Σ_αｍ_αχ_D(α);＜χ_D(α)|χ_D＞＝ｍ_αを意味する表現Ｄ＝Σ_αｍ_αＤ^(α)とＤ'が同値であることは自明です。必要性は既に示されています。(証明終わり)

　さて,例として対象とする群Ｇが２次元の特殊ユニタリ群:ＳＵ(2)である場合を考えてみます。

　すなわち,Ｇ＝ＳＵ(2)≡{ｇ∈ＧＬ(2)|ｇ^＋＝ｇ^-1,detｇ＝1}とします。ただし,ＧＬ(2)は正則な２次の正方行列から成る群です。ここでは行列要素が複素数のＧＬ(2,Ｃ)を仮定しています。

対角成分がａ,ａ^-1(ａ∈Ｃ,ａ≠0)の２次の対角行列をｈ_aと書き,Ｈ≡{ｈ_a∈ＧＬ(2)|ａ∈Ｃ,|ａ|＝1}とします。

Ｈは明らかにＧ＝ＳＵ(2)の部分群です。しかもこれは可換群(アーベル群)であり,１-パラメータ群(ａ＝exp(iα))ですから,Ｕ(1)(絶対値が１の複素数の乗法群)と同型です。

Ｇ＝ＳＵ(2)の任意の元ｇの固有値をａ,ａ^-1(ａ∈Ｃ,|ａ|＝1)とするとｇはあるｋ∈ＳＵ(2)によってｈ_a＝ｋｇｋ^-1,ｈ_a∈Ｈと対角化できます。あるいは,ｇ＝ｋｈ_aｋ^-1,ｈ_a∈Ｈとすることができます。

一般にＵ(1)の幾つかの直積と同型な群をトーラス群といいます。

Ｈがトーラス群かつＧの部分群,すなわちトーラス部分群であってこれを真に含むＧのトーラス部分群が存在しないなら,ＨをＧの極大トーラス部分群といいます。

今のＧがＳＵ(2)の場合には上で定義した２次の対角行列から成る部分群ＨはＳＵ(2)の極大トーラス部分群となっています。

[定理５]:Ｇ＝ＳＵ(2)とする。(1)Ｇの任意の元ｇは極大トーラス群Ｈの元と共役である。(2)ｇ,ｈ∈Ｇに対してｆ(ｈｇｈ^-1)＝ｆ(ｇ)を満たす関数(類関数という):ｆは極大トーラス部分群Ｈの上の値で決まる。すなわち類関数ｆ₁,ｆ₂が∀ｈ∈Ｈに対してｆ₁(ｈ)＝ｆ₂(ｈ)を満たすならばＧの上でｆ₁＝ｆ₂である。

　これの証明は自明なので省略します。

　Ｇ＝ＳＵ(2)の表現(Ｄ,Ｕ)が与えられたとき,指標χ_Dは明らかに１つの類関数ですから,極大トーラス部分群Ｈの上の値だけで決まります。

　今日はここまでにします。

参考文献:山内恭彦,杉浦光夫著「連続群論入門」(培風館)，犬井鉄郎,田辺行人,小野寺嘉孝 著「応用群論」(裳華房),島 和久 著「連続群とその表現」(岩波書店)

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犯罪は社会の縮図？

　ごく最近の江東区の殺人事件の裁判の判決など現今の犯罪について,恐らくは社会の世論よりも私が加害者,犯罪者に同情的,または加害者に甘い理由は,私自身がそうした犯罪を犯す可能性が多々あると思うこともありますが,残虐だと思える殺人も含めた,あらゆる犯罪はいわば現代の社会の縮図であると思う傾向が他人よりも強いからだと思います。

　"存在が意識を規定する"とはいっても,個人の愚行,または善行が必ずしも100パーセント社会環境に左右された結果であるとは考えていませんが,犯罪については,被害者に同情するのはもちろんですが,加害者についてももしも彼がそういう境遇でなければそういう行為に及ばなかっただろうと思うからです。

　例によって飲み屋で"一人でも殺したら,死で償うこと,死刑が当たり前だ"という主張に,"じゃあ死刑執行人や死刑を命令した法務大臣も全員死刑だね"とか,"正当防衛だろうが身内を殺された仇討ちだろうが皆死刑だよね"とかチャチャを入れて,相手の主張が例外だらけになる,というたわけた会話でお茶を濁しました。

　若い頃に考えていた思想は”あらゆる犯罪は革命的である(平岡正明著＝現代評論社)”とか”造反有理"とかというものでした。

　つまり,"「個人の利益」よりも「公共の利益」が優先するという論理で"三里塚"とか"砂川”とかに代表されるように公権力が強制的に土地を簒奪するというような,「ゆがんだ社会」においては,ゴミを捨てるとか立小便をするとかあるいは暴走族のように騒音を立てるとかの,たとえ小さなことであっても,現行の社会秩序を守ろうとする保守的な動きに反対してそれを乱す行為は全て社会を変革することにとって意味がある,どう変えるかも大事だがとりあえず壊さなければはじまらないというような単純な発想でした。

　当時,それほど深い思慮も無いスネカジリのくせに"三里塚"に関わったのは,他の多くの同志と同じく,そもそも不毛な関東のシラス台地を開墾してまで獲得した農民の命とも言うべ土地,農地を暴力で無理やり奪ってでも国際空港をつくるという「公共の利益」の公共とは一体誰の利益なんだろうか?と疑問を持ったからでした。

（40年くらい前は,大阪万博前で海外旅行もまだまだマイナーの時代でした。まあ,だからこそというか,当時日本は経済成長を目指していたので空港を作るということが前提であるなら,「成田空港」は必要でしたし,そのためには東京近郊のどこかが「犠牲」になる必要がありましたが。。。。。。

　いずれにしても,おそらく自分らの階層では使わない空港を作るため,「一体,誰のため」に三里塚芝山は「貧乏クジ」を引き,その上抵抗すると世間から白い目で見られなきゃならないのか？と思ったものでした。。。

　(なんで,基本的な生活権(大多数にとっては「対岸の火事」のごく一部ですが。。)を侵害してまで小市民(プチ・ブルジョア)の「文明開化」を"ことさら急ぐ"必要があるのか？とね。。。

　結果論ですが,1960年代から現行までのように急激な経済成長を目指すのではなく,もっとゆっくりとした成長であった方が,カタストロフ(破局)はもっと先送りになって,ずっと遅れたでしょうネ。。。。）

　実際,過去の戦争でも,多くの人が「お国のため」という名目で命まで捧げましたが,公共の利益のため,国益のためという言葉に,過去の「お国のため」という「お国」と共通な響きを感じたというのもありましたね。

　理想的社会というのはないとしても,社会が理想的に近いなら保守的であること秩序を守ることこそ善行であり,造反は悪行でしょうが,もしも逆の社会であったなら,政治犯だけでなくてあらゆる犯罪はむしろ善行ではないか？とね。

　極端な例なら江戸時代の初期にキリシタン一揆である島原の乱を起こした当時の「大罪人」天草四郎時貞とかの例や,絶対専制政治下での最初のフランス革命の発端が,現在では刑務所と呼ばれるバスチーユ監獄の解放から始まったことなどを挙げることもできます。

　普通は,精神的な奇形でなければ現在の比較的民主的な社会での犯罪にも理由があります。

　私自身は,むしろ今のところ犯罪を犯さなくても人並み以上の暮らしを送ることができている身の上を幸せと思います。

　何が幸せか？というのは人それぞれ違うのもわかりますが,少なくとも幸せであれば,ワザワザ犯罪を起こしたりしないだろうと想像するからです。

　かつて,連続殺人で死刑になった永山則夫 著の「無知の涙」を読んだ頃に感じたものですが,薄幸な生まれで親には愛されず年端もいかない頃から沖仲士として働き,東京に出てきて金も希望もなく人を殺し刑務所の中でほんの少しだけ人間らしい生活をした後に,最後には死刑になるという彼の人生は最初から最期まで悲惨なものだったと同情しました。

　本人も,薄幸だとか貧乏だとかいう境遇が人を殺したという罪の免罪符にはならない,と書いてはいますが,私はタラレバはないとはいっても,むしろそうした境遇になったことも無いわが身の方を"恥ずかしながら幸せに生きている"と感じました。

　ダイエットだグルメだと騒ぎながら,貧乏だというくらいで自分は政治や時代の被害者であるなどと考えるけれど,今の時代であれば物質的な意味ではアフガンや北朝鮮ではなく,家がなくて凍死することはあっても,めったに飢え死にはしないだろうこの飽食日本に生まれただけで,私は幸せだと思います。

　一方,理由もなく殺人を犯すほどの精神的奇形の人も中にはいるでしょう。

　肉体的に障害があったり,肉体的に奇形で生まれた人がいた場合,「可哀想」という同情的感情は起こっても,「殺してしまえ」とかいう感情は家族とか当事者とか別の事情があるような少数の人だけにしか起きないと思います。

　しかし,精神的奇形が原因では？と思われるような犯罪が起きた場合には,恐らくは理由も考えずに犯人を「殺してしまえ」とかの大合唱になることが多いと私は感じているので,逆に「可哀想」という同情的感情が湧くというのは,私自身が奇形なのか単なる天邪鬼であるからかも知れません。

　実は殺人を犯すほどの精神的奇形の人を「殺してしまえ」という意見には,私も少なからず賛成なのですが,それは同情的理由によるもので恐らく普通とは理由が違うぞと慢心しています。

　社会に不適応であることは,本人にとっても不幸なことですし,受け入れてもらえないなら社会にお別れするという選択肢もアリかなと思いますね。

　自分が不幸な場合に他人の不幸を自分の幸せと感じたり,他人の成功にヤッカミを感じたり,弱い者イジメをするのは,それこそ動物としての全く本能的な自然な感情と思います。(”衣食足りて礼節を知る"ですよね)

　それに自分の是とするものや自分がこう在りたいと思って実行することは自分の問題であり,そもそも自分と他人とは別ものです。しかも私は清廉潔白な聖人君子じゃないし,他者にもそうせよ要求しようとは全く思いません。

　しかし,「北風と太陽」ではないけれど,殺伐として他人を呪うよりも,もっと他人にも優しくしませんか？と同意を求めるだけです。

　衣食の足りない私が言ってるのですから,説得力あるでしょ？

　(別の一面では,"人間は優しくなってはいけない。常にハングリー精神をもってドリームをつかめ"というのもありますが,それは社会的側面とは違う実存的な側面ですね。(ニ元論的発想＝別名は日和見主義とか二枚舌といいます。)

　両者が矛盾しないためにはチェ・ゲバラのようになる必要があるかな？

　まあ人間は矛盾した存在です。←エラそうだねー。)

　ついつい幸せの閾値が高くなって,現況に満足できなくなったのが不幸の始まりではないかなどと思う今日この頃です。

　今まで幸せだった罪を恥じて,テポドンの餌食になってもいいかな？などと思ったりします。← キレイごとばかり並べてやがるけど。。それはウソだろ？

　防衛庁だかなんだかのキャリア官僚が,さんざん汚い蓄財をしてバレても平然としていられるのは,恐らく自分たちには元々そうする既得の権利があるのが当たり前だとかで,いわゆる世間の"下等動物たち"にそれを断罪されても屁でもない。というような感じなのかな？

と想像してしまうのですが,私はそれさえも造反有理＝"あらゆる犯罪は革命的である"の例外にはしません。

　クリスチャンではないけれど,"汝の隣人を愛せよ"までは言えても"汝の敵を愛せよ"とまでは言えないのが人間ですよね。。イエスのこの言葉は親鸞の"善人なおもて往生を。。。"というのとも通じるのかな？

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分子と点群(1)

連続群とその表現というのは,素粒子物理学をはじめ,物理学では多くの分野において重要な論題です。

今回は通常の素朴な非相対論的量子力学をベースにして巨視的物性を左右する微視的単位である分子構造を規定する対称性群としての点群の表現に関連したものを考えます。

１粒子の定常状態の波動関数ψは空間位置ｒの３次元空間におけるスカラー関数ψ(ｒ)で与えられます。

そして,座標系の空間回転の操作Ｒ:ｒ→Ｒｒの下で,この波動関数ψはψ(ｒ)→Ｒ^ψ(ｒ)と変換されるとします。

つまり,座標系の回転Ｒ:ｒ→Ｒｒに対応する関数空間での回転を示すある演算子Ｒ^が存在して,その作用をψ→Ｒ＾ψとするわけです。

このとき,ψが３次元空間におけるスカラーであるということは,空間回転の下で同じ空間位置での波動関数の値は不変であること,つまりＲ^ψ(Ｒｒ)＝ψ(ｒ)なることを意味します。これは,Ｒ^ψ(ｒ)＝ψ(Ｒ^-1ｒ)と同等ですね。

しかし,量子論ではＲ^ψ(Ｒｒ)＝ψ(ｒ)でなくても,一般にγを実数としてＲ^ψ(Ｒｒ)＝exp(iγ)ψ(ｒ)でありさえすれば十分です。

状態を示す状態関数としてのψは,実は位相を無視した射線(ray)という同値類の代表元でしかないというのが波動関数ψの本質的意味です。

(厳密な意味では,必ずしもＲ^ψ(Ｒｒ)＝exp(iγ)ψ(ｒ)ではなくて,Ｒ^ψ(Ｒｒ)＝exp(iγ)ψ^*(ｒ)のような反ユニタリ(anti-unitary)な変換でもかまいませんが。。。)

　しかし,波動関数がスカラーであるという意味を位相因子を無視してＲ^ψ(Ｒｒ)＝ψ(ｒ)であると定義しても,一般性を失なうことはないので以下ではそのように解釈することにします。

　以下では,波動関数ψ(ｒ)が確率振幅を表わす複素数量であるという意味で＜ψ|ψ＞≡∫ｄ³ｒψ^*(ｒ)ψ(ｒ)＝１と規格化されている場合に,ψ(ｒ)→Ｒ^ψ(ｒ)がこの規格化条件を破らない物理的に意味がある変換Ｒ^のみを考察の対象とします。

　つまり,＜ψ|ψ＞＝∫ｄ³ｒψ^*(ｒ)ψ(ｒ)＝１においてψ(ｒ)の代わりにＲ^ψ(ｒ)＝ψ(Ｒ^-1ｒ)を代入しても,依然としてこの式が成立すると仮定します。すなわち,＜Ｒ^ψ|Ｒ^ψ＞＝∫ｄ³ｒψ^*(Ｒ^-1ｒ)ψ(Ｒ^-1ｒ)＝１とします。

　この条件式は,＜Ｒ^^＋Ｒ^ψ|ψ＞＝det(Ｒ^＋Ｒ)∫ｄ³ｒψ^*(ｒ)ψ(ｒ)＝１を意味します。

　Ｒ:ｒ→ＲｒのＲが空間回転を表わす場合,Ｒは実行列なのでＲ^＋＝^tＲであり,また直交行列^tＲＲ＝Ｒ^tＲ＝1ですから,Ｒ^＋Ｒ＝1を満たします。よって,det(Ｒ^＋Ｒ)＝1なので,＜Ｒ^^＋Ｒ^ψ|ψ＞＝)∫ｄ³ｒψ^*(ｒ)ψ(ｒ)＝＜ψ|ψ＞です。

　これは,Ｒ^^＋Ｒ^＝1,or Ｒ^^＋＝Ｒ^^-1,つまりＲ^がユニタリ(unitary)であることを意味します。 

ψ→Ｒ^ψなる操作によって変換されたＲ^ψが依然として同じ系の波動関数であるという意味は,任意の観測可能な物理量Ｔ^(エルミート演算子:Ｔ^＝Ｔ^^＋)の期待値＜Ｔ＞＝＜ψ|Ｔ^|ψ＞が,この操作の下で保存されることを意味します。

特にＴ^＝1のときには,ψ→Ｒ^ψなる変換で確率＜ψ|ψ＞が保存されるべきであるという要求となります。これはＲ^^＋Ｒ^＝1,つまりＲ^がユニタリであれば確かに満たされます。

Ｔ^が１ではなくて一般の任意の演算子の場合には,波動関数ψ→Ｒ^ψの変換に伴なって,Ｔ^→Ｒ^Ｔ^Ｒ^^＋＝Ｒ^Ｔ^Ｒ^^-1なるユニタリ変換がなされるなら期待値＜Ｔ＞＝＜ψ|Ｔ^|ψ＞は不変に保たれます。

そこで,以下ではψ→Ｒ^ψと同時に物理量を表わす全ての演算子Ｔ^がＴ^→Ｒ^Ｔ^Ｒ^^-1なる変換を受けるとします。

このことからｒ→Ｒｒなる変換は,ｒを量子力学の位置演算子と見たときにはＲ^ｒＲ^^-1＝Ｒｒを意味します。

そしてＲ,Ｒ^が座標系の回転を表わす場合は空間のベクトル量は全て同じ回転変換を受けるため,運動量を示すｐ^＝－iｈ_c∇なる演算子もＲ^ｐＲ^^-1＝Ｒｐを満たすはずです。

ただし,ｈ_c≡ｈ/(2π);ｈはプランク定数です。

さて,定常状態のシュレーディンガー(Schrödinger)の波動方程式:Ｈ^ψ(ｒ)＝[－{ｈ_c²/(2ｍ)}∇²＋Ｖ(ｒ)]ψ(ｒ)＝Ｅψ(ｒ)におけるハミルトニアンＨ^≡ｐ^²/(2ｍ)＋Ｖ(ｒ)＝－{ｈ_c²/(2ｍ)}∇²＋Ｖ(ｒ)も量子力学の１つの演算子ですから,ψ→Ｒ^ψなる変換に伴なってＨ^→Ｒ^Ｈ^Ｒ^^＋＝Ｒ^Ｈ^Ｒ^^-1なる変換を受けます。

特に,Ｒ^ｐＲ^^-1＝Ｒｐであり,これのエルミート共役を取ると,Ｒ^ｐ^＋Ｒ^^-1＝ｐ^＋Ｒ^-1ですが,ｐ^＋＝ｐなので,これはＲ^ｐＲ^^-1＝ｐＲ^-1を意味します。

この最後の等式の両辺にＲ^ｐＲ^^-1＝Ｒｐを右から掛けると,Ｒ^ｐ²Ｒ^^-1＝ｐ²が得られます。あるいはＲ^∇²Ｒ^^-1＝∇²です。

また,Ｒ^Ｖ(ｒ)Ｒ^^-1＝Ｖ(Ｒ^ｒＲ^^-1)＝Ｖ(Ｒｒ)ですが,もしもポテンシャルＶ(ｒ)がクーロンポテンシャルのようにｒ＝|ｒ|のみに依存するような球対称な中心力場Ｖ(ｒ)＝Ｖ(ｒ)であれば,Ｒｒ＝ｒですからＲ^Ｖ(ｒ)Ｒ^^-1＝Ｖ(ｒ)となります。

そこで,球対称な中心力場の場合には,結局Ｒ^Ｈ^Ｒ^^-1＝Ｈ^,またはＲ^Ｈ^＝Ｈ^Ｒ^が成立します。

　今までは系の対称性変換という概念の導入のため,Ｒ:ｒ→Ｒｒ,ψ(ｒ)→Ｒ^ψ(ｒ)なる操作Ｒ,Ｒ^を座標系の空間回転に特殊化して考えましたが,以下では演算操作Ｒ,Ｒ^は必ずしも座標系の空間回転である必要はなくて,Ｒ^ψ(Ｒｒ)＝ψ(ｒ),またはＲ^ψ(ｒ)＝ψ(Ｒ^-1ｒ)を満たす任意の変換であるとします。

しかし,特にＲ^が座標系の空間回転操作を表わす場合,こうした回転操作全体の集合をＧとすると,これは回転群という変換群をなすことが知られています。

逆に,Ｇを必ずしも回転群とは限らない一般の変換群とした場合,系のハミルトニアンＨ^が∀Ｒ^∈Ｇに対してＲ^Ｈ^Ｒ^^-1＝Ｈ^,またはＲ^Ｈ^＝Ｈ^Ｒ^を満たすとき,系は変換群Ｇの下で不変である,または系は変換群Ｇで規定される対称性を持つといいます。

ψがシュレーディンガー方程式Ｈ^ψ＝Ｅψの１つの解ならψはエネルギー固有値Ｅに属するＨ^の固有関数ですが,Ｒ^∈Ｇに対しＲ^Ｈ^＝Ｈ^Ｒなら,Ｈ^Ｒ^ψ＝ＥＲ^ψも成り立つので,Ｒ^ψもまたψと同じエネルギー固有値Ｅに属するＨ^の固有関数です。

そこで,Ｅに属する全ての独立な固有関数をφ_nとし,これらは正規直交化されているとします。

すなわち,Ｈ^φ_n＝Ｅφ_n,＜φ_m|φ_n＞＝δ_{m n}(ｍ,ｎ＝1,2,..,ｄ)とします。φ_nはｄ重に縮退していると仮定しています。(ｄ＝1なら縮退していませんが,１重に縮退していると広義に解釈します。)

Ｒ^Ｈ^Ｒ^^-1＝Ｈ^のとき,∀Ｒ^∈Ｇに対してＲ^φ_nは全てＨ^のＥに属する固有関数なので,φ₁,φ₂,..,φ_dの１次結合で表現されます。

つまり,Ｒ^φ_n＝Σ_m=1^dφ_mＤ_mn(Ｒ)ですね。そして展開係数Ｄ_mn(Ｒ)はφ_nの正規直交性＜φ_m|φ_n＞＝δ_mnにより,Ｄ_mn(Ｒ)＝＜φ_m|Ｒ^|φ_n＞と表わされることがわかります。

さて,Ｇが位相群であるとします。

つまり,Ｇは群でありかつ位相空間であって,対応(ｇ,ｈ)→ｇｈ(ｇ,ｈ∈Ｇ)で与えられる群演算,およびｇ→ｇ^-1なる写像が共に連続であるとします。

Ｕを体Ｋ(ＲまたはＣ)の上のある線型空間(ベクトル空間)とするとき,∀ｇ∈ＧにＵの上の線型変換Ｄ^(ｇ)を対応させる準同型写像Ｄ^:ｇ→Ｄ^(ｇ)を群ＧのＵ上の表現といいます。

Ｕはこの表現Ｄ^の表現空間と呼ばれます。表現Ｄ^において,その表現空間Ｕを明示したいときには,表現Ｄ^を(Ｄ^,Ｕ)と書きます。

表現空間Ｕの次元を群Ｇの表現の次元ということもあります。Ｕの次元が有限値ｎのときには,この表現をｎ次元表現といいます。

ここで,写像Ｄ^:ｇ→Ｄ^(ｇ)が準同型写像であるとは,∀ｇ,ｈ∈Ｇに対してＤ^(ｇｈ)＝Ｄ^(ｇ)Ｄ^(ｈ)が成立することを意味します。

特にｅをＧ の単位元,Ｉ_UをＵ上の恒等変換とすると,Ｄ^(ｅ)＝Ｉ_Uが常に成立します。

群の元Ｒ^とＤ(Ｒ)の対応関係は,一般には１対１とは限らず,通常はｎ対1のような対応(準同型対応)ですが,特に１対１となる場合(同型対応)には,その表現を忠実な表現といいます。

群Ｇの表現(Ｄ^,Ｕ)において,その表現空間Ｕの次元が有限である有限次元表現のとき,Ｕの任意の元にその適当な基底による１次結合の係数のベクトルｃを対応させると,Ｕ上の任意の線型変換Ｔ^はそれと完全に１対１に対応する行列Ｔと同一視できることがわかっています。

以下では,線型空間Ｕそのものではなく,それの基底による成分を並べた数ベクトルをＵの元と同一視した数ベクトル空間もまた同じ記号Ｕで記述します。

この数ベクトル空間としてのＵを表現空間とし,元の表現Ｄ^(ｇ)を行列Ｄ(ｇ)と同一視した(Ｄ^,Ｕ)に同型な表現(Ｄ,Ｕ)を行列表現といい,個々の表現を表わす行列Ｄ(ｇ)を表現行列といいます。

今の場合,Ｈ^φ_n＝Ｅφ_n (ｎ＝1,2,..,ｄ)を満たすφ_nを基底とするｄ次元ベクトル空間をＵとすれば,∀Ｒ^∈Ｇに対してＲ^φ_n＝Σ_m=1^dφ_mＤ_mn(Ｒ)です。

そこで,Ｈ^ψ＝Ｅψを満たす任意のψ∈Ｕがψ＝Σ_n=1^dｃ_nφ_nと表わされるときには,Ｒ^ψ＝Σ_n=1^dｃ_nＲ^φ_n＝Σ_m=1^dφ_m{Σ_n=1^dＤ_mn(Ｒ)ｃ_n}となります。

それ故,状態ψ＝Σ_n=1^dｃ_nφ_n∈Ｕの各々を基底:φ₁,φ₂,．．,φ_dによる展開係数のベクトル:{ｃ_m}＝(ｃ₁,ｃ₂,..,ｃ_d)と同一視すれば,Ｒ^ψ＝Σ_m=1^dφ_m{Σ_n=1^dＤ_mn(Ｒ)ｃ_n}により,Ｒ^ψ∈Ｕはベクトル:{Σ_n=1^dＤ_mn(Ｒ)ｃ_n}＝(Σ_n=1^dＤ_1n(Ｒ)ｃ_n,Σ_n=1^dＤ_2n(Ｒ)ｃ_n,..,Σ_n=1^dＤ_dn(Ｒ)ｃ_n)と同一視されます。

そこで,(ｍ,ｎ)成分がＤ_mn(Ｒ)の行列をＤ(Ｒ)とし,ψ＝Σ_n=1^dｃ_nφ_nの展開係数{ｃ_m}＝(ｃ₁,ｃ₂,..,ｃ_d)をｃ≡^t(ｃ₁,ｃ₂,..,ｃ_d)なるｄ次元の列ベクトルと考えれば,ψ→Ｒ^ψとｃ→Ｄ(Ｒ)ｃが等価であることがわかります。

ここで,(φ₁,φ₂,..,φ_d)を行ベクトルと考えてφ≡(φ₁,φ₂,..,φ_d)とすれば,ψ＝Σ_n=1^dｃ_nφ_nをψ＝φｃと表現できます。

Ｒ^ψ＝Σ_m=1^dφ_m{Σ_n=1^dＤ_mn(Ｒ)ｃ_n}もまた,Ｒ^ψ＝φＤ(Ｒ)ｃと書けます。

ところで,群Ｇが量子力学系のユニタリ変換から成る変換群を表わす場合,例えばＲ₁^,Ｒ₂^∈Ｇが座標系の回転を表わすような場合には,群の積の演算は波動関数ψにＲ₁^,Ｒ₂^をこの順に続けて作用させること,つまりψ→Ｒ₁^ψ→Ｒ₂^(Ｒ₁^)ψを意味します。

そこで,この場合の群演算は(Ｒ₁^,Ｒ₂^)→Ｒ₂^Ｒ₁^となり,上の位相群Ｇの表現の定義の中で仮定した演算:(ｇ,ｈ)→ｇｈ(ｇ,ｈ∈Ｇ)とは演算の順序が逆になっています。

しかし,こうした演算の順序の違いは定義を少し読み変えれば済む問題です。積の順序の違いなどは本質的なことではありません。

実際,Ｒ₁^φ_n＝Σ_m=1^dφ_mＤ_mn(Ｒ₁),Ｒ₂^φ_n＝Σ_m=1^dφ_mＤ_mn(Ｒ₂)より,Ｒ₂^Ｒ₁^φ_n＝Ｒ₂^[Σ_m=1^dφ_mＤ_mn(Ｒ₁)]＝Σ_l=1^dφ_k[Σ_m=1^dＤ_km(Ｒ₂)Ｄ_mn(Ｒ₁)]ですから,これは行列としてはＤ(Ｒ₂Ｒ₁)＝Ｄ(Ｒ₂)Ｄ(Ｒ₁)なることを意味します。

そこで,これまで通りＤ:Ｒ→Ｄ(Ｒ)が群Ｇの１つの行列表現を与えるとしても問題ないことがわかります。

次にＧの２つの表現(Ｄ^,Ｕ),(Ｄ'^,Ｖ)があるとします。

もしも,１対１の線型写像Ｔ^:Ｖ→Ｕが存在して∀Ｒ^∈Ｇに対しＴ^Ｄ'^(Ｒ)＝Ｄ^(Ｒ)Ｔ^が成立するときには,Ｄ^とＤ'^は同値な表現である,といいます。一方,同値でない表現は異値であるといいます。

上の２つの表現が(Ｄ,Ｕ),(Ｄ',Ｖ)で表わされる行列表現の場合なら,ある正則な行列Ｔ(detＴ≠0)が存在して,∀Ｒ^∈Ｇに対しＴＤ'(Ｒ)＝Ｄ(Ｒ)Ｔ,またはＤ'(Ｒ)＝Ｔ^-1Ｄ(Ｒ)Ｔが成立するときＤとＤ'は同値な表現となります。

そして,(Ｄ,Ｕ)と(Ｄ',Ｖ)が同値な表現の場合,明らかに空間ＵとＶの次元は同じです。

φ₁,φ₂,..,φ_dを基底とするベクトル空間をＵとするとき,表現空間Ｕにおける変換群Ｇの表現がＲ^φ_n＝Σ_m=1^dφ_mＤ_mn(Ｒ)で与えられる場合,φ'_n≡Σ_m=1^dφ_mＴ_mnとするとＲ^φ'_n＝Σ_m,k=1^dφ_kＤ_km(Ｒ)Ｔ_mn＝Σ_m,k,j=1^dφ'_jＴ^-1_jkＤ_km(Ｒ)Ｔ_mn,すなわち,Ｒ^φ'_n＝Σ_m=1^dφ'_m{Ｔ^-1Ｄ(Ｒ)Ｔ}_mnと書けます。

Ｄ'(Ｒ)≡Ｔ^-1Ｄ(Ｒ)Ｔと定義して,上のＲ^φ'_n＝Σ_m=1^dφ'_m{Ｔ^-1Ｄ(Ｒ)Ｔ}_mnをＲ^φ'_n＝Σ_m=1^dφ'_mＤ'(Ｒ)_mnに置き換えれば,表現を同値な表現に読み変えるのは,単に同じ表現空間Ｕにおける基底の変換φ₁,φ₂,..,φ_d → φ'₁,φ'₂,..,φ'_dに過ぎないことがわかります。

これをベクトル表示で考えます。

表現(Ｄ,Ｕ)はψ＝φｃのときＲ^ψがＲ^ψ＝φＤ(Ｒ)ｃになることを意味しますが,φ'＝φＴとすればφ＝φ'Ｔ^-1ですから,これを代入するとψ＝φｃ＝φ'Ｔ^-1ｃ,かつＲ^ψ＝φＤ(Ｒ)ｃ＝φ'Ｔ^-1Ｄ(Ｒ)ｃ＝φ'Ｔ^-1Ｄ(Ｒ)Ｔ(Ｔ^-1ｃ)となります。

したがって,ｃ'≡ Ｔ^-1ｃとおけば,これはψ＝φｃ＝φ'ｃ'のときにＲ^ψがＲ^ψ＝φ'Ｔ^-1Ｄ(Ｒ)Ｔｃ'＝φ'Ｄ'(Ｒ)ｃ'と表現されることと同等です。

この新しい表現:(Ｄ',Ｕ)を,ψ＝φｃのときＲ^ψ＝φＤ(Ｒ)ｃになるという表現(Ｄ,Ｕ)と比較すると,変換(Ｄ,Ｕ)→(Ｄ',Ｕ)は単にφ→φ'なる基底の変換を意味することがわかります。

結局,同値な表現と定義される２つの表現は,表現空間の上の写像として同型であるという意味ですね。

さて,Ｇの２つの表現(Ｄ₁,Ｖ)と(Ｄ₂,Ｗ)があるとき,ＶとＷの直和空間:Ｕ＝Ｖ＋Ｗの上の表現:Ｄ≡Ｄ₁＋Ｄ₂を,ｕ≡ｖ＋ｗ;∀ｖ∈Ｖ,∀ｗ∈Ｖと∀Ｒ^∈Ｇに対し,Ｄ(Ｒ)ｕ＝{Ｄ₁(Ｒ)＋Ｄ₂(Ｒ)}(ｖ＋ｗ)≡Ｄ₁(Ｒ)ｖ＋Ｄ₂(Ｒ)ｗなる線型写像で定義して,この(Ｄ,Ｕ)を表現(Ｄ₁,Ｖ)と(Ｄ₂,Ｗ)の直和表現と呼ぶことにします。

そして,(Ｄ₁,Ｖ)と(Ｄ₂,Ｗ)が行列表現のとき,∀Ｒ^∈Ｇに対し２つの行列Ｄ₁(Ｒ)とＤ₂(Ｒ)を対角線に並べて,それ以外の部分行列を全てゼロと置いた行列を作ります。

これを,Ｄ₁(Ｒ)とＤ₂(Ｒ)の直和行列と呼ぶことにすれば,これは直和表現Ｄ≡Ｄ₁＋Ｄ₂の行列Ｄ(Ｒ)になることがわかります。

そこで,この直和行列をＤ₁(Ｒ)＋Ｄ₂(Ｒ)と書きます。

(Ｄ,Ｕ)を群Ｇの１つの表現とするとき,Ｕの部分空間Ｖが存在して∀Ｒ^∈ＧについてＤ(Ｒ)Ｖ⊂Ｖが成立するとき,ＶをＵのＤ-不変な部分空間,または単にＵの不変部分空間と言います。

群Ｇの表現(Ｄ,Ｕ)がＵ自身と{0}以外にＵのＤ-不変な部分空間を持たないとき,この表現(Ｄ,Ｕ)を既約表現といいます。既約でない表現を可約表現といいます。

また,群Ｇの表現(Ｄ,Ｕ)が可約のとき,特に完全可約であるとは,表現空間Ｕが不変部分空間Ｕ₁,Ｕ₂,..,Ｕ_m (Ｄ(Ｒ)Ｕ_i⊂Ｕ_i for ∀Ｒ^∈Ｇ (ｉ＝1,2,..,ｍ))の直和Ｕ＝Ｕ₁＋Ｕ₂＋..＋Ｕ_mに分解できて,Ｄ_i(Ｒ)Ｕ_i≡Ｄ(Ｒ)Ｕ_i(∀Ｒ^∈Ｇ)によって引き起こされるＤ(Ｒ)のＵ_iへの縮小写像Ｄ_i(Ｒ)による表現(Ｄ_i,Ｕ_i)(ｉ＝1,2,..,ｍ)が全て群Ｇの既約表現になることをいいます。

特に,行列表現(Ｄ,Ｕ)の表現行列が全てユニタリ行列のとき,つまりＤ(Ｒ)^＋＝Ｄ(Ｒ)^-1のときには,この表現をユニタリ表現といいます。

波動関数ψ＝Σ_n=1^dｃ_nφ_n＝φｃの作るベクトル空間Ｕの上の対称性変換を考察するとき,この変換の変換群をＧとすると,量子力学においては元々Ｇの任意の元Ｒ^そのものがユニタリ:Ｒ^Ｒ^^＋＝Ｒ^^＋Ｒ^＝1であることが要求されます。

したがって,表現の準同型の性質からＤ(Ｒ)Ｄ(Ｒ^＋)＝Ｄ(Ｒ^＋)Ｄ(Ｒ)＝1よりＤ(Ｒ^＋)＝Ｄ(Ｒ)^-1ですが,陽な行列成分がＤ_mn(Ｒ^＋)＝＜φ_m|Ｒ^^＋|φ_n＞＝＜φ_n|Ｒ^|φ_m＞^*＝Ｄ_nm(Ｒ)^*を満たすので,Ｄ(Ｒ^＋)＝Ｄ(Ｒ)^＋,故にＤ(Ｒ)^＋＝Ｄ(Ｒ)^-1です。

そこで対象とする物理的な変換群の表現は,全てユニタリ表現です。

(Ｄ,Ｕ)が群Ｇのユニタリ表現の場合,これが既約も含めて常に完全可約な表現であることを示すことができます。

以下では,これを証明しますが,そのためにｕ₁,ｕ₂∈Ｕを列ベクトルとして,Ｕの任意の２つの元のユニタリ内積を＜ｕ₁|ｕ₂＞≡ｕ₁^＋ｕ₂で定義しておきます。

(Ｕが先述のＥの固有状態波動関数全体から成る空間の場合,ψ₁＝φｕ₁,ψ₂＝φｕ₂∈Ｕなら,波動関数の内積は＜ψ₁|ψ₂＞＝Σ_m,n=1^dｕ_1m^*ｕ_2n＜φ_m|φ_n＞＝ｕ₁^＋ｕ₂で与えられます。

したがって,線型空間Ｕを波動関数ψ＝φｕの係数ベクトルｕ全体から成る数ベクトル空間と同一視すると,波動関数ψ₁,ψ₂の内積が＜ψ₁|ψ₂＞であることとｕ₁,ｕ₂の内積が＜ｕ₁|ｕ₂＞≡ｕ₁^＋ｕ₂であることは全く同じ意味を持ちます。)

(証明)(Ｄ,Ｕ)をユニタリ表現とします。これが既約ならもちろん完全可約です。しかし,既約でない(＝可約)ならＵでも{0}でもない自明でないＤ-不変な部分空間Ｖ⊂Ｕが存在します。

　このとき,Ｖの直交補空間をＶ^⊥≡{ｗ∈Ｕ|＜ｗ|Ｖ＞＝0}で定義すると,このＶ^⊥もＤ-不変です。

　何故なら,∀ｖ∈Ｖ,∀ｗ∈Ｖ^⊥と∀Ｒ^∈Ｇに対してＤ(Ｒ^-1)ｖ∈Ｖですから,表現のユニタリ性Ｄ(Ｒ)^＋＝Ｄ(Ｒ)^-1＝Ｄ(Ｒ^-1)によって,＜Ｄ(Ｒ)ｗ|ｖ＞＝＜ｖ|Ｄ(Ｒ)ｗ＞^*＝＜ｗ|Ｄ(Ｒ)^＋ｖ＞＝＜ｗ|Ｄ(Ｒ^-1)ｖ＞＝0 から,Ｄ(Ｒ)ｗ∈Ｖ^⊥なることもわかるからです。

ＵがＶとＶ^⊥の直和:Ｕ＝Ｖ＋Ｖ^⊥であることは直交補空間の定義によって明白ですから,結局ＵはＤ-不変な部分空間の直和に書けることがわかりました。そこで,Ｖ,Ｖ^⊥が共に既約なら完全可約性の証明はここで終わりです。

しかし,Ｖ,Ｖ^⊥の一方,または両方が既約でないなら,これらをさらにＤ-不変な部分空間の直和に分解する操作を繰り返せば(Ｄ,Ｕ)は有限次元なので,結局既約な不変部分空間の直和に分解されるはずです。(証明終わり)

さらに,(Ｄ,Ｕ)が群Ｇの表現の場合に,その既約性を判定する基本定理であるシューアの補題(Schur's lemma)を述べて証明しておきます。

※(シューアの補題):(Ｄ,Ｖ),(Ｄ',Ｗ)を群Ｇの２つの既約表現とするとき,線型写像Ｔ:Ｖ→Ｗが∀Ｒ∈Ｇに対しＤ'(Ｒ)Ｔ＝ＴＤ(Ｒ)を満たすならＴは同型写像か,またはＴ＝0である。

(証明)Ｌ≡KerＴ＝{ｖ∈Ｖ|Ｔｖ＝0}とすると,ｖ∈ＬならＴＤ(Ｒ)ｖ＝Ｄ'(Ｒ)Ｔｖ＝0 なので,Ｄ(Ｒ)ｖ∈ＬですからＬはＤ-不変です。

　ところが(Ｄ,Ｖ)は既約表現なので,これはＬ＝ＶかＬ＝{0}のいずれかであることを意味します。

　Ｌ＝Ｖなら,これはＴ＝0 を意味します。

　したがってＴ≠0 なら,Ｌ＝{0}ですが,これはＴが１対１写像であることを意味します。

　なぜなら,ｖ₁,ｖ₂∈Ｖに対してＴｖ₁＝Ｔｖ₂ならＴ(ｖ₁－ｖ₂)＝0 なのでｖ₁－ｖ₂∈Ｌ＝{0},よりｖ₁＝ｖ₂となるからです。

　一方,Ｄ'(Ｒ)Ｔｖ＝ＴＤ(Ｒ)ｖですから,ＴＶはＤ'-不変ですが,(Ｄ',Ｗ)が既約表現なので,ＴＶ＝ＷかＴＶ＝{0}のいずれかです。

　しかし,Ｔ≠0 ならＴＶ＝{0}では有り得ないのでＴＶ＝Ｗです。すなわち,上への写像です。

　以上からＴはＶからＷへの同型写像か,またはＴ＝0 のいずれかであることが示されました。(証明終わり)

　行列表現では,1つの線型写像Ｔは1つの行列を意味しますが有限次元空間ではＴが同型写像であることとＫerＴ＝{0},またはdetＴ≠0 なることは全て同値です。

　そして,detＴ≠0 なる線型写像Ｔ:Ｖ→Ｗが存在して∀Ｒ∈ＧについてＤ'(Ｒ)Ｔ＝ＴＤ(Ｒ)となることは,表現(Ｄ,Ｖ)と(Ｄ',Ｗ)が同値な表現であることを意味しますから,上記シューアの補題は次のようにも表現できます。

　"(Ｄ,Ｖ),(Ｄ',Ｗ)を群Ｇの２つの既約表現とするとき,ＶからＷへの線型写像Ｔがあって∀Ｒ∈ＧについてＤ'(Ｒ)Ｔ＝ＴＤ(Ｒ)を満たす場合,(1)ＤとＤ'が同値なら,このようなＴは同型写像か,またはＴ＝0である。(2)ＤとＤ'が異値ならこのようなＴはゼロしか有り得ない。"

ですね。

　さらに,(Ｄ,Ｕ)が群Ｇの複素既約表現の場合,シューアの補題は次のようになります。

※(シューアの補題２):(Ｄ,Ｕ)が群Ｇの複素既約表現のとき,∀Ｒ∈Ｇに対するＤ(Ｒ)と可換な線型変換Ｔはスカラー変換のみである。

　すなわち,∀Ｒ∈Ｇに対してＤ(Ｒ)Ｔ＝ＴＤ(Ｒ)なら,ある複素数λ∈Ｃが存在して,Ｔ＝λＩである。(Iは単位行列,または恒等写像)

(証明)λ∈ＣをＴの１つの固有値とします。すなわち,固有値方程式det(Ｔ－λＩ)＝0 の１つの根であるとします。Ｓ≡Ｔ－λＩと置けばＤ(Ｒ)Ｔ＝ＴＤ(Ｒ)はＤ(Ｒ)Ｓ＝ＳＤ(Ｒ)を意味します。

　そこで先のシューアの補題から行列Ｓはゼロであるか,またはdetＳ≠0なる正則な行列であるかのいずれかですが,固有値方程式det(Ｔ－λＩ)＝0 はdetＳ＝0 そのものですからＳ＝Ｔ－λＩはゼロです。つまりＴ＝λＩです。(証明終わり)

　この定理から,"可換群(アーベル群)の複素既約表現は全て１次元表現である。"という系が得られます。

　なぜなら,(Ｄ,Ｕ)が可換群Ｇの複素既約表現のときは,∀Ｒ₁,Ｒ₂∈Ｇに対してＤ(Ｒ₁)Ｄ(Ｒ₂)＝Ｄ(Ｒ₂)Ｄ(Ｒ₁)ですから,シューアの補題によりＤ(Ｒ)＝λ(Ｒ)Ｉ;λ(Ｒ)∈Ｃと書けます。

　それ故,既約な表現空間Ｕは１次元でなければならないからです。

(Ｄ(Ｒ)＝λ(Ｒ)ＩのＩが２次元以上の単位行列なら,それは可約なことは明らかです。つまり,λ(Ｒ)Ｉは１次元の対角行列(単なる数)の直和行列です。)

　さて,シューアの補題２によりＤ(Ｒ)と可換な線型変換Ｔはスカラー変換のみであることは(Ｄ,Ｕ)が群Ｇの既約表現であるための必要条件であることがわかりましたが,特に(Ｄ,Ｕ)がユニタリ表現のような完全可約な表現の場合には,これは十分条件でもあります。

　すなわち,(Ｄ,Ｕ)が完全可約の場合には,Ｕはその既約なＤ-不変部分空間によって,Ｕ＝Ｕ₁＋Ｕ₂＋..＋Ｕ_mなる形に表わすことができます。

　つまり,Ｕの任意の元ｕはｕ＝ｕ₁＋ｕ₂＋..＋ｕ_m,(ｕ_i∈Ｕ_i,(ｉ＝1,2,..,ｍ))と直和表現できます。

　そこで,この場合にはｕ∈ＵがＴｕ＝λ₁ｕ₁＋λ₂ｕ₂＋..＋λ_mｕ_mに写される線型変換Ｔを作ることが可能ですが,これは明らかに∀Ｒ∈Ｇに対するＤ(Ｒ)と可換です。

　しかし,完全可約ならλ₁,λ₂,...λ_mは任意に選ぶことができるので,ｍ≧2,λ₁≠λ₂と選択すればＴはスカラー変換ではありません。

　以上から,結局∀Ｒ∈Ｇに対するＤ(Ｒ)と可換な線型変換Ｔがスカラー変換に限られるなら,(Ｄ,Ｕ)は既約表現でなければならないことが示されました。

　つまり,(Ｄ,Ｕ)が完全可約表現,例えばユニタリ表現のときには,Ｄ(Ｒ)(∀Ｒ∈Ｇ)と可換な線型変換Ｔがスカラー変換に限られることが表現が既約表現であるための必要十分条件であることがわかります。

　今日はここまでにします。

参考文献:山内恭彦,杉浦光夫 著「連続群論入門」(培風館),犬井鉄郎,田辺行人,小野寺嘉孝 著「応用群論」(裳華房),島 和久 著「連続群とその表現」(岩波書店)

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中川さん。。辞任

　いやあ，今回の中川財務相の事件は,他人事とは思えず,つい自分の昔を思い出してしまいました。

　　　　　　　　　　　　　　　　　

　確か30歳を少し過ぎたくらいの技術屋の頃でしたが,たまに業者側の代表として環境庁(当時)や通産省の公害関係者との会合,東京電力との打ち合わせ,虎ノ門での船舶関連の会合などが朝からあったときには,

　朝が苦手なので前夜から会社の仮眠室に泊まっていて(会社のロッカーには夏物,冬物のスーツとネクタイが１式ずつ置いてありました),ときには二日酔い状態で居眠りしながら出席していた,のを思い出しました。

　特に,東京電力での会合では,ある時には会議室を飛び出して廊下にゲロを吐きました。

　また,「プロペラ設計プログラム」を作るための船舶振興ビルでの会合ではプログラムを作る方の当事者は,私しかおらず,毎回議事録はあるものの私が聞かなければプログラムができないのにも関わらず,完全に居眠りに入っていました。

　議長の確か運輸省船舶技術研究所のＳ氏に,「。。さん,。。さん」と呼ばれて目が覚め「聞いてますか？」と大きな声で言われて,立場上「はい,聞いてます。」と答えたこともありましたっけ。。。。。

　酒にだらしないのに関しては,たとえ偉い大臣でも他人を非難できませんね。

　私は,よくクビにならなかったもんです。。まあ,営利企業の会合,打ち合わせと役人のそれ,それもＧ７とは規模も内容も大違いでしょうが。。。

　(うーむ。。。さすが日本にも大物？がいることを世界に知らしめた功績は大きいだろう。。人間生きてること自体恥ずかしいもんです。。)

PS:最近某TV朝日の私がクソコメンテータと思っている人が,結構まともなコメントをしていると感じています。。

　まあ,逆に私がまともだと思うということは世間的にはむしろ正反対の意味かもしれませんが。。。

　江東区の殺人事件の東京地裁の判断には,私も感心したのでそれに対するコメントには賛成です。

　自分の身でいえば,死んだ後に死体を豪華なお墓に埋葬されようと,鳥や獣に食い散らされようと,または灰にした後で海にバラ撒かれようと,そんな死んだ後のことなんかどうでもいいことです。

　敬虔な宗教を信じる方々はどうか知りませんが,私なら自分を含め身内だろうが死体損壊の残虐性などは,どうでもいいと感じます。

　もちろん殺すまでにどのような精神的肉体的な恐怖,苦痛を与えたがどうかは大いに問題です。これこそが私にとっての犯人の残虐性の評価,量刑の評価の基準になります。

　死ぬ前に切り刻まれたりトイレに流されたらイヤですが,死後で苦痛のないときなら,そんなことされたとしても,私ならどうでもいいことです。

　遺族の心情は,それなりにわかりますが。。。

　検察側の死体損壊の残虐性の誇示に対して,そこを冷静に判断したということで今回は裁判官を評価します。

　恐らく死体損壊を除いたら,１人の人を殺したという殺人事件であるという客観的事実しか残らないと思います。

　もちろん殺人そのものは大それたことであり,殺意の有無なども大きな論点だろうとは思いますが。。

　ある意味で情状という非論理的な浪花節に流されすぎる日本的裁判には疑問を持っています。

　一過的な殺人事件の裁判なら断罪さるべきはその事件を起こした時点での状況や殺意だけで判断すべきだと思うからです。被害者が死ぬ前が大きな問題だと思うからです。

　逮捕されて裁判を受ける過程で被告が謝罪した,しないとか反省している,いないとかいうことの評価は不要とは言わないまでも,数パーセントのことで,そうしたことは量刑の判断にはほとんど必要はなく,刑が確定して服役などの過程において必要なことではないでしょうか。

　そういう日本的裁判が多いからこそ,実は冤罪であるかもしれなくて有罪か無罪かを争っている不明瞭な裁判であるのに,偶々有罪と確定したら,無罪を主張すること事体が反省していないという情状の判断で,必要以上に重い量刑を課されたりすることがあるのですね。。

　(無罪を主張したから許さない,または有罪だが罪が重過ぎるから軽くしてくれと主張したから許さない,というのでは裁判制度そのものを裁判が否定するということになると思います。)

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相対論の幾何学(第Ⅲ部-4:coffee-break)

相対論の幾何学シリーズの第Ⅲ部リーマン幾何学の続きです。ちょっとここで一休みしてコーヒー・ブレイクです。

リーマン幾何学というよりも,本来の主題である全体としての物理学としての見通しとして相対論のイメージを取り戻したいと思います。

相対論の幾何学シリーズの第Ⅰ部で曲面上の曲線の曲率から直観幾何学的な考察で得られたガウス曲率や平均曲率という比較的素朴な曲面の曲率概念と,第Ⅲ部で得られた計量のある可微分多様体の上のアファイン接続に基づく曲率テンソルの定義を比較してみます。

そのため,第Ⅰ部の復習を兼ねて2008年７月から11月までの「相対論の幾何学(第Ⅰ部)」のシリーズ記事のうちの空間曲面の幾何学関連の記事から適宜抜粋参照して要約します。

まず,３次元空間内の曲面を,平面内の領域Ｄを定義域とする実数パラメータｕ,ｖのベクトル値関数ｒ(ｕ,ｖ)＝(ｘ(ｕ,ｖ),ｙ(ｕ,ｖ),ｚ(ｕ,ｖ)),(ｕ,ｖ)∈Ｄとして定義します。

ただし,ｘ,ｙ,ｚはｕ,ｖで３回連続偏微分可能(Ｃ³-級)であり,２行３列のヤコービ行列:^t(∂ｒ/∂ｕ,∂ｒ/∂ｖ)の階数は２とします。

ｒ(ｕ,ｖ)で,ｖ＝ｂを固定してｕだけを変化させる１パラメータのベクトル値関数ｒ(ｕ,ｂ)は,ｕ＝ａで点ｒ(ａ,ｂ)を通る曲面上の１つの曲線を表わします。そして,この曲線上の点ｒ(ａ,ｂ)における接ベクトルはｒ_u(ａ,ｂ)≡(∂ｒ/∂ｕ)_(a,b)で与えられます。

同様にｕ＝ａを固定した場合の曲線ｒ(ａ,ｖ)上の点ｒ(ａ,ｂ)における接ベクトルはｒ_v(ａ,ｂ)≡(∂ｒ/∂ｖ)_(a,b)で与えられます。

仮定により,行列:^t(∂ｒ/∂ｕ,∂ｒ/∂ｖ)_(a,b)の階数は２なので,ｒ_u(ａ,ｂ) ≡(∂ｒ/∂ｕ)_(a,b)とｒ_v(ａ,ｂ)≡(∂ｒ/∂ｖ)_(a,b)は１次独立なベクトルです。

　曲面ｒ(ｕ,ｖ)の各点でｒ_uとｒ_vの線形結合ξｒ_u＋ηｒ_vの形で表わされるベクトルを総称して,その点における曲面の接ベクトルといい,接ベクトル全体で張られる平面を接平面といいます。

そして,ｒ_uとｒ_vの外積:ｒ_u×ｒ_vによって,ｅ≡(ｒ_u×ｒ_v)/|ｒ_u×ｒ_v|を定義すると,これは曲面ｒ(ｕ,ｖ)の法単位ベクトルになります。

法ベクトルの直交性を内積で表現する式:(ｒ_u,ｅ)＝0, (ｒ_v,ｅ)＝0 をさらにｕ,ｖで偏微分すると,(ｒ_uu,ｅ)＋(ｒ_u,ｅ_u)＝0, (ｒ_uv,ｅ)＋(ｒ_u,ｅ_v)＝0 ,(ｒ_vu,ｅ)＋(ｒ_v,ｅ_u)＝0 ,(ｒ_vv,ｅ)＋(ｒ_v,ｅ_v)＝0 が得られます。

そして,３つのｕ,ｖの関数Ｌ,Ｍ,ＮをＬ≡(ｒ_uu,ｅ)＝－(ｒ_u,ｅ_u),Ｍ≡(ｒ_uv,ｅ)＝(ｒ_vu,ｅ)＝－(ｒ_u,ｅ_v)＝(ｒ_v,ｅ_u),Ｎ≡(ｒ_vv,ｅ)＝－(ｒ_v,ｅ_v)で定義します。

こうして曲面上の各点で定義した各々の３つのベクトルの組:ｒ_u,ｒ_v,ｅは明らかに１次独立ですから,３次元空間の任意のベクトルは全てこれらを基底とする線形結合で表わすことができます。

例えば,パラメータｕ,ｖによる２階偏導関数ベクトル:ｒ_uu,ｒ_uv,ｒ_vu,ｒ_vvは,ｒ_uu＝Γ^ｕ_uuｒ_uｄ＋Γ^v_uuｒ_v＋Ｌｅ,ｒ_uv＝Γ^u_uvｒ_u＋

Γ^v_uvｒ_v＋Ｍｅ,ｒ_vu＝Γ^u_vuｒ_u＋Γ^v_vuｒ_v＋Ｍｅ,ｒ_vv＝Γ^u_vvｒ_u＋Γ^v_vvｒ_v＋Ｎｅと表わすことができます。

これをガウスの公式といいます。係数のうちのΓをクリストッフェルの記号(Christoffel's symbol)といいます。

この各点で,基底ｒ_u,ｒ_v,ｅの代わりに,例えばｅ₁≡ｒ_u/|ｒ_u|,ｅ₂≡{ｒ_v－(ｒ_v,ｅ₁)ｅ₁}/|ｒ_v－(ｒ_v,ｅ₁)ｅ₁|,ｅ₃≡ｅ₁×ｅ₂で定義されるｅ₁,ｅ₂,ｅ₃を基底にとれば,ｅ₁,ｅ₂が接平面の基底をなし互いに直交する３つの単位ベクトルの系,つまり(ｅ_i,ｅ_j)≡^tｅ_iｅ_j＝δ_ijを満たす正規直交系ｅ₁,ｅ₂,ｅ₃が得られます。

こうした正規直交系の基底ｅ₁,ｅ₂,ｅ₃を正規直交標構と呼びます。

接平面の異なる２組の基底{ｒ_u,ｒ_v},{ｅ₁,ｅ₂}は,ある線型結合ｒ_u＝ａ₁¹ｅ₁＋ａ₁²ｅ₂,ｒ_v＝ａ₂¹ｅ₁＋ａ₂²ｅ₂によって関連付けられます。これは(ｉ,ｊ)成分がａ_jⁱの２×２行列Ａ(detＡ≠0)を用いた,(ｒ_u,ｒ_v)＝(ｅ₁,ｅ₂)Ａなる表現とも解釈できます。

ただし,最後の表現式(ｒ_u,ｒ_v)＝(ｅ₁,ｅ₂)Ａにおいては,(ｒ_u,ｒ_v),(ｅ₁,ｅ₂)という記号は,これが他のほとんどの場所で表現する内積記号(ｅ_i,ｅ_j)≡^tｅ_iｅ_jetc.ではなく,単に空間ベクトルを並べて書いただけの行列の意味です。右辺の(ｅ₁,ｅ₂)Ａも単に行列としての積です。

ここで,ｕｖ平面上の曲線(ｕ,ｖ)＝(ｕ(ｓ),ｖ(ｓ))に対応する曲面ｒ(ｕ,ｖ)上の曲線ｒ(ｓ)＝ｒ(ｕ(ｓ),ｖ(ｓ))を考えると,ｄｓに対するこの曲線上の点の微小変位ｄｒは,ｄｕ＝(ｄｕ/ｄｓ)ｄｓ,ｄｖ＝(ｄｖ/ｄｓ)ｄｓを用いた表現ではｄｒ＝ｒ_uｄｕ＋ｒ_vｄｖとなります。

これはまた,ｒ_u＝ａ₁¹ｅ₁＋ａ₁²ｅ₂,ｒ_v＝ａ₂¹ｅ₁＋ａ₂²ｅ₂によって,ｄｒ＝(ａ₁¹ｅ₁＋ａ₁²ｅ₂)ｄｕ＋(ａ₂¹ｅ₁＋ａ₂²ｅ₂)ｄｖ＝(ａ₁¹ｄｕ＋ａ₂¹ｄｖ)ｅ₁＋(ａ₁²ｄｕ＋ａ₂²ｄｖ)ｅ₂と書けます。

そこで,θ¹≡ａ₁¹ｄｕ＋ａ₂¹ｄｖ,θ²≡ａ₁²ｄｕ＋ａ₂²ｄｖと定義すれば,ｄｒ＝θ¹ｅ₁＋θ²ｅ₂となってｄｒをｅ₁,ｅ₂の線型結合の形で表わせます。

そして,曲面ｒ(ｕ,ｖ)上で多様体の計量ｄｓ²に相当する量は,曲面ｒ(ｕ,ｖ)の第１基本形式Ｉ≡(ｄｒ,ｄｒ)＝^tｄｒｄｒで定義されます。ｄｒ＝θ¹ｅ₁＋θ²ｅ₂を代入すると I＝θ¹θ¹＋θ²θ²とも書けます。

また,ｄｒ＝ｒ_uｄｕ＋ｒ_vｄｖなる表現からは,Ｉ≡Ｅ(ｄｕｄｕ)＋2Ｆ(ｄｕｄｖ)＋Ｇ(ｄｖｄｖ)となります。ここに,Ｅ≡(ｒ_u,ｒ_u)＝^tｒ_uｒ_u,Ｆ≡(ｒ_u,ｒ_v)＝^tｒ_uｒ_v,Ｇ≡(ｒ_v,ｒ_v)＝^tｒ_vｒ_vです。

つぎに,曲面の曲率概念を定義します。

曲面ｒ(ｕ,ｖ)上の曲線ｒ(ｓ)＝ｒ(ｕ(ｓ),ｖ(ｓ))に対して,ｒ'(ｓ)＝ｄｒ/ｄｓはｒ(ｓ)の接ベクトルなので,点ｒ(ｓ)において曲面ｒ(ｕ,ｖ)に接しています。

しかし,ベクトルｒ"(ｓ)＝ｄ²ｒ/ｄｓ²は一般に曲面ｒ(ｕ,ｖ)の"接平面上のベクトル＝接ベクトル"ではありません。ｒ"(ｓ)の絶対値κ(ｓ)≡|ｒ"(ｓ)|は曲線の曲率と定義されます。

ｒ"(ｓ)を点ｒ(ｓ)での曲面の接ベクトル成分:ｋ_gと法ベクトル成分:ｋ_nの和に分解します。すなわち,ｒ"(ｓ)＝ｋ_g＋ｋ_nと書きます。

そして,ｋ_gを曲線ｒ(ｓ)の測地的曲率ベクトル,ｋ_nを法曲率ベクトルと呼びます。

これらの曲率の成分ベクトルのうちで,曲面ｒ(ｕ,ｖ)の接平面に垂直な曲率成分であるｋ_nについて考察します。

ｋ_nは法ベクトルなので,単位法ベクトル:ｅ＝(ｒ_u×ｒ_v)/|ｒ_u×ｒ_v|によって,ｋ_n＝κ_nｅと表現されます。値κ_nを法曲率と呼びます。

これはなおκ_n＝(ｋ_n,ｅ)＝(ｒ"－ｋ_g,ｅ)＝(ｒ",ｅ)＝－(ｒ',ｅ')＝－(ｄｒ/ｄｓ,ｄｅ/ｄｓ)＝－(ｒ_u(ｄｕ/ｄｓ)＋ｒ_v(ｄｖ/ｄｓ),ｅ_u(ｄｕ/ｄｓ)＋ｅ_v(ｄｖ/ｄｓ))≡Ｌ(ｄｕ/ｄｓ)(ｄｕ/ｄｓ)＋2Ｍ(ｄｕ/ｄｓ)(ｄｖ/ｄｓ)＋Ｎ(ｄｖ/ｄｓ)(ｄｖ/ｄｓ)と変形できます。

曲面ｒ(ｕ,ｖ)上の１点ｒ₀＝ｒ(ｕ₀,ｖ₀)における任意の単位接ベクトルをｗとすれば,ｗ＝ξｒ_u(ｕ₀,ｖ₀)＋ηｒ_v(ｕ₀,ｖ₀),かつ|ｗ|＝１と書けます。

記号Πを,Π(ｗ)≡Ｌξ²＋2Ｍξη＋Ｎη²によって定義すると,上に定義した法曲率:κ_n(ｓ)はκ_n(ｓ)＝Π(ｒ'(ｓ))と表現されます。

|ｗ|²＝Ｅξ²＋2Ｆξη＋Ｇη²＝１であって,ｗが点ｒ₀を中心とする接平面上の単位円の周上にあるという条件の下で,接ベクトルの法線成分Π(ｗ)＝Ｌξ²＋2Ｍξη＋Ｎη²が如何なるときに最大値,最小値を取るか？という問題を考えます。

この問題は,結局λ(ｗ)≡(Ｌξ²＋2Ｍξη＋Ｎη²)/(Ｅξ²＋2Ｆξη＋Ｇη²)なる量λが無条件((ξ,η)≠(0,0))で,最大値,最小値を取る問題と同等なことがわかります。

そして,λ(ｗ)≡(Ｌξ²＋2Ｍξη＋Ｎη²)/(Ｅξ²＋2Ｆξη＋Ｇη²)なる式は,Ｌξ²＋2Ｍξη＋Ｎη²－λ(ｗ)(Ｅξ²＋2Ｆξη＋Ｇη²)＝0,つまりΠ(ｗ)－λ(ｗ)|ｗ|²＝0 なる等式と同値です。

一方,λ(ｗ)が無条件で最大値,最小値を取るための必要条件は∂λ/∂ξ＝0,∂λ/∂η＝0 で与えられます。

そこで,Π(ｗ)－λ(ｗ)|ｗ|²＝0 の両辺をξ,ηで微分し,それぞれ∂λ/∂ξ,∂λ/∂ηをゼロとおけば,(Ｌ－λＥ)ξ＋(Ｍ－λＦ)η＝0,(Ｍ－λＦ)ξ＋(Ｎ－λＧ)η＝0 なる式を得ます。これは,Ｌξ＋Ｍη＝λ(Ｅξ＋Ｆη),Ｍξ＋Ｎη＝λ(Ｆξ＋Ｇη)とも書けます。

これをξ,ηを未知数とする連立１次方程式と考えると,方程式が(ξ,η)≠(0,0)の自明でない解を持つためには,係数の作る行列の行列式がゼロになることが必要十分です。すなわち,(ＥＧ－Ｆ²)λ²－(ＥＮ＋ＧＬ－2ＦＭ)λ＋ＬＮ－Ｍ²＝0 が成立する必要があります。

このλの２次方程式の２つの根をλ＝κ₁,κ₂とすると,根と係数の関係からκ₁κ₂＝(ＬＮ－Ｍ²)/(ＥＧ－Ｆ²),(κ₁＋κ₂)/2＝(ＥＮ＋ＧＬ－2ＦＭ)/{2(ＥＧ－Ｆ²)}となります。

そして,Ｋ≡κ₁κ₂,Ｈ≡(κ₁＋κ₂)/2 と定義してＫをガウスの曲率,Ｈを平均曲率と呼びます。

さて,正規直交標構ｅ_iの微分ｄｅ_iも３次元空間のベクトルなので,これらはｄｅ_i＝Σ_j=1³ω_i^jｅ_j,または(ｉ,ｊ)成分がω_jⁱの３×３行列Ωによってｄ(ｅ₁,ｅ₂,ｅ₃)＝(ｄｅ₁,ｄｅ₂,ｄｅ₃)＝(ｅ₁,ｅ₂,ｅ₃)Ωと表わせます。

ただし,ｄｅ_i＝(∂ｅ_i/∂ｕ)ｄｕ＋(∂ｅ_i/∂ｖ)ｄｖ＝Σ_j=1³ω_i^jｅ_jで,ｄｅ_ｉはｕ,ｖの１次の無限小ですからｄｅ_i＝Σ_j=1³ω_i^jｅ_jの係数ω_i^jは全てｄｕ,ｄｖの線型結合で与えられるはずです。

そして,(ｅ_i,ｅ_j)＝δ_ijより,(ｄｅ_i,ｅ_j)＋(ｅ_i,ｄｅ_j)＝0 です。これとｄｅ_i＝Σ_j=1ω_i^jｅ_jによってω_i^j＋ω_jⁱ＝0 (ｉ,ｊ＝1,2,3)が得られます。つまり,Ωは交代行列であり対角成分は全てゼロです。

ところで,θ¹＝ａ₁¹ｄｕ＋ａ₂¹ｄｖ,θ²＝ａ₁²ｄｕ＋ａ₂²ｄｖ,すなわち,^t(θ¹,θ²)＝Ａ^t(ｄｕ,ｄｖ)ですが,detＡ≠0 よりＡの逆行列Ａ^-1が存在しますから,この式の両辺に右からＡ^-1を掛ければ,^t(ｄｕ,ｄｖ)＝Ａ^-1t(θ¹,θ²)を得ます。

そして,上で述べたようにω_i^jは全てｄｕ,ｄｖの線型結合で与えられるはずですから,ω_i^jはθ¹,θ²の線型結合で書けます。

例えばｄｅ₃＝ｄｅの係数ω₁³とω₂³であれば,ω₁³＝ｂ₁₁θ¹＋ｂ₁₂θ²,ω₂³＝ｂ₂₁θ¹＋ｂ₂₂θ²,または(ｉ,ｊ)成分がｂ_ijの２×２行列Ｂで ^t(ω₁³,ω₂³)＝Ｂ^t(θ¹,θ²)と書けます。

ｄｅ₃＝ｄｅ＝ｅ_uｄｕ＋ｅ_vｄｖの両辺とｒ_uの内積を取れば(ｄｅ₃,ｒ_u)＝(ｅ_u,ｒ_u)ｄｕ＋(ｅ_v,ｒ_u)ｄｖ＝(ω₃¹ｅ₁＋ω₃²ｅ₂,ａ₁¹ｅ₁＋ａ₁²ｅ₂)＝ω₁³ａ₁¹＋ω₂³ａ₁²が成立します。

同様に,(ｄｅ₃,ｒ_ｖ) ＝(ｅ_u,ｒ_v)ｄｕ＋(ｅ_v,ｒ_v)ｄｖ＝ω₁³ａ₂¹＋ω₂³ａ₂²も成り立ちます。

そこで,行列Ｓ≡^t(ｅ_u,ｅ_v)(ｒ_u,ｒ_v)を作ると,これらの関係式はＳ^t(ｄｕ,ｄｖ)＝^tＡ^t(ω₁³,ω₂³)と書けます。

これに,^t(ω₁³,ω₂³)＝Ｂ^t(θ¹,θ²)を代入すると,Ｓ^t(ｄｕ,ｄｖ)＝^tＡ^t(ω₁³,ω₂³)＝^tＡＢ^t(θ¹,θ²)＝^tＡ^tＢＡ^t(ｄｕ,ｄｖ)ですから,変数ｄｕ,ｄｖの独立性によって,Ｓ＝^tＡＢＡであることがわかります。

それ故,Ｓ＝^tＡＢＡ,つまり^tＳ＝^tＡ^tＢＡですからＳの対称性:^tＳ＝ＳとdetＡ≠0 から,Ｂの対称性^tＢ＝Ｂが得られます。

対称行列の性質から実行列Ｂの２つの固有値は共に実数であることがわかります。

これらのＢの固有値が先に定義した曲線ｒ(ｕ,ｖ)の主曲率κ₁,κ₂に一致します。これは次のようにしてわかります。

まず,Ｓ＝^tＡＢＡによりＢ＝^t(Ａ^-1)ＳＡ^-1＝ＡＡ^-1t(Ａ^-1)ＳＡ^-1＝Ａ(^tＡＡ)^-1ＳＡ^-1なので,Iを単位行列とする固有値方程式det(Ｂ－λＩ)＝0 において,Ｂ－λＩ＝Ａ{(^tＡＡ)^-1Ｓ－λＩ}Ａ^-1と書けます。そこで,方程式:det(Ｂ－λＩ)＝0 はdet{(^tＡＡ)^-1Ｓ－λＩ}＝0 等価な方程式です。

ところが,行列で表わした等式:(ｒ_u,ｒ_v)＝(ｅ₁,ｅ₂)Ａから^t(ｒ_u,ｒ_v)(ｒ_u,ｒ_v)＝^tＡ^t(ｅ₁,ｅ₂)(ｅ₁,ｅ₂)Ａであり,しかも正規直交性:^tｅ_iｅ_j＝δ_ijにより^t(ｅ₁,ｅ₂)(ｅ₁,ｅ₂)＝Iですから,^tＡＡ＝^t(ｒ_u,ｒ_v)(ｒ_u,ｒ_v)が成立します。

また,Ｅ＝^tｒ_uｒ_u,Ｆ＝^tｒ_uｒ_v,Ｇ＝^tｒ_vｒ_vですから^tＡＡ＝^t(ｒ_u,ｒ_v)(ｒ_u,ｒ_v)は１行目が(Ｅ,Ｆ)＝(^tｒ_uｒ_u,^tｒ_uｒ_v),２行目が(Ｆ,Ｇ)＝(^tｒ_uｒ_v,^tｒ_vｒ_v)の対称行列です。

それ故,^tＡＡの逆行列(^tＡＡ)^-1は１行目が(ＥＧ－Ｆ²)^-1(Ｇ,－Ｆ),２行目が(ＥＧ－Ｆ²)^-1(－Ｆ,Ｅ)の行列になります。

したがって,行列(ＥＧ－Ｆ²){(^tＡＡ)^-1Ｓ－λＩ}は１行目が((ＧＬ－ＦＭ)－(ＥＧ－Ｆ²)λ,ＧＭ－ＦＮ),２行目が(－ＦＬ＋ＥＭ,(－ＦＭ＋ＥＮ)－(ＥＧ－Ｆ²)λ)の行列です。

以上から,行列Ｂの固有値λを求める方程式:det(Ｂ－λＩ)＝0 に同等な方程式:det[(^tＡＡ)^-1Ｓ－λＩ]＝0 が,(ＥＧ－Ｆ²)²λ²－(ＥＧ－Ｆ²)(ＥＮ＋ＧＬ－2ＦＭ)λ＋(ＧＬ－ＦＭ)(－ＦＭ＋ＥＮ)－(ＧＭ－ＦＮ)(－ＦＬ＋ＥＭ)＝0 なる形であることがわかります。

左辺の最後の２項から成る定数項は(ＥＧ－Ｆ²)(ＬＮ－Ｍ²)と因数分解されますから,結局,ＥＧ－Ｆ²≠0 の場合には,(ＥＧ－Ｆ²)λ²－(ＥＮ＋ＧＬ－2ＦＭ)λ＋ＬＮ－Ｍ²＝0 なる方程式と同値になります。

これは正に,先に記述した主曲率κ₁,κ₂を２つの解とするλの２次方程式に一致しています。

以上で,行列Ｂの２つの実数固有値が主曲率κ₁,κ₂になることが示されました。

そこで,ガウスの曲率はＫ＝κ₁κ₂＝(ＬＮ－Ｍ²)/(ＥＧ－Ｆ²)＝detＢ＝ｂ₁₁ｂ₂₂－ｂ₁₂ｂ₂₁,平均曲率はＨ＝(κ₁＋κ₂)/2＝(ＥＮ＋ＧＬ－2ＦＭ)/{2(ＥＧ－Ｆ²)}＝(1/2)traceＢ＝(1/2)(ｂ₁₁＋ｂ₂₂)となることがわかります。

さらに,ｄｒ＝θ¹ｅ₁＋θ²ｅ₂＝(ｅ₁,ｅ₂)^t(θ¹,θ²),ｄｅ₃＝(ｅ₁,ｅ₂)^t(ω₃¹,ω₃²)＝－(ｅ₁,ｅ₂)^t(ω₁²,ω₂³)＝－(ｅ₁,ｅ₂)Ｂ^t(θ¹,θ²)より,κがＢの固有値でＢｗ＝κｗを満たすならｄｅ₃＝－κ(ｅ₁,ｅ₂)ｗ,つまりｄｅ₃＝－κｄｒとなります。

そこで,正規直交標構を用いた表現では行列Ｂの２つの固有値が主曲率κになるということの意味も明白ですね。

さて,これらのことを２変数の場合の外微分形式,または単に微分形式による表現によって記述すると大体次のように要約されます。

曲面ｒ(ｕ,ｖ)上でｄｒ＝(ｄｘ,ｄｙ,ｄｚ)を微分１形式としてｄｒ＝θ¹ｅ₁＋θ²ｅ₂と書けば,ポアンカレ(Poincare)の補題によって,これの外微分はゼロです。

つまり,ｄ(ｄｒ)＝(ｄ(ｄｘ),ｄ(ｄｙ),ｄ(ｄｚ) )＝0 ですから,0＝ｄθ¹ｅ₁－θ¹∧ｄｅ₁＋ｄθ²ｅ₂－θ²∧ｄｅ₂＝ｄθ¹ｅ₁－θ¹∧(Σ_j=1³ω₁^jｅ_j)＋ｄθ²ｅ₂－θ²∧(Σ_j=1³ω₂^jｅ_j),すなわち(ｄθ¹－Σ_i=1²θⁱ∧ω_i¹)ｅ₁＋(ｄθ²－Σ_i=1²θⁱ∧ω_i²)ｅ₂－(Σ_i=1²θⁱ∧ω_i³)ｅ₃＝0 となります。

ここでｅ₁,ｅ₂,ｅ₃は１次独立なので,ｄθ^j＝Σ_i=1²θⁱ∧ω_i^j(ｊ＝1.2),Σ_i=1²θⁱ∧ω_i³＝0 なる表式が得られます。

このうち,ｄθ^j＝Σ_i=1²θⁱ∧ω_i^j(ｊ＝1.2)は第１構造式と呼ばれます。そしてω₁^jの作る行列Ωは交代行列なので,これはｄθ¹＝θ²∧ω₂¹,ｄθ²＝θ¹∧ω₁²を意味します。

一方,ω₁³＝ｂ₁₁θ¹＋ｂ₁₂θ²,ω₂³＝ｂ₂₁θ¹＋ｂ₂₂θ²,すなわちω_i³＝Σ_i=1²ｂ_ijθ^jなる展開式を仮定してΣ_i=1²θⁱ∧ω_i³＝0 に代入すればΣ_i,j=1²ｂ_ijθⁱ∧θ^j＝0 を得ます。

これは,(ｂ₁₂－ｂ₂₁)θ¹∧θ²＝0 ,つまりｂ₁₂＝ｂ₂₁を意味しますから,行列Ｂ＝{ｂ_ij}が対称行列なることが再確認されました。

次にｄ(ｄｅ_i)＝0 なる等式にｄｅ_i＝Σ_j=1³ω_i^jｅ_jを代入します。

ｅ_iは 0次微分形式,ω_i^jは１次微分形式なので,これからΣ_j=1³(ｄω_i^jｅ_j－ω_i^j∧ｄｅ_j)＝Σ_k=1³(ｄω_i^k－Σ_j=1³ω_i^j∧ω_j^k)ｅ_k＝0 が得られます。それ故,ｄω_i^k＝Σ_j=1³ω_i^j∧ω_j^kなる式成立します。

特に,ｋ＝1,2,つまり接平面成分を考え,ｉ=1,2の場合にはω_i³＝Σ_j=1²ｂ_ijθ^j (ｉ＝1,2)を考慮することでｄω_i^k＝Σ_j=1³ω_i^j∧ω_j^k＝Σ_j=1²ω_i^j∧ω_j^k＋ω_i³∧ω₃^k＝Σ_j=1²ω_i^j∧ω_j^k＋ω_k³∧ω_i³＝Σ_j=1²ω_i^j∧ω_j^k＋Σ_h,j=1²ｂ_khｂ_ijθ^j∧θ^jを得ます。

すなわち,ｄω_i^k＝Σ_j=1²ω_i^j∧ω_j^k＋(1/2){Σ_h,j=1²(ｂ_khｂ_ij－ｂ_kjｂ_ih)θ^j∧θ^j} (ｉ,ｋ＝1,2)なる表現式が得られます。

ところが前述したように,ω_i^k(ｉ,ｋ＝1,2)で作られる行列Ωは交代行列なので唯一の独立成分として例えばω₂¹だけ考えれば十分です。

この,ω₂¹については,ｄω₂¹＝Σ_j=1²ω₂^j∧ω_j¹＋(1/2){Σ_h,j=1²(ｂ_1hｂ_2j－ｂ_1jｂ_2h)θ^j∧θ^j}＝(ｂ₁₁ｂ₂₂－ｂ₁₂ｂ₂₁)θ¹∧θ²＝(detＢ)θ¹∧θ²となります。

既に,ガウスの曲率Ｋ≡κ₁κ₂が,Ｋ＝detＢ＝ｂ₁₁ｂ₂₂－ｂ₁₂ｂ₂₁で与えられることがわかっているので,ｄω₂¹＝Ｋθ¹∧θ²と書けることがわかります。これは第２構造式と呼ばれるものです。

いずれにしろ,ガウスの曲率がＫ＝κ₁κ₂＝(ＬＮ－Ｍ²)/(ＥＧ－Ｆ²)＝detＢ＝ｂ₁₁ｂ₂₂－ｂ₁₂ｂ₂₁で与えられることは,定式化によらず同じですが,Ｋが一般の多様体上の曲率テンソルＲと如何なる関係にあるのだろうか?という本記事の主題である疑問について論じるためには,もっと別の切り口の考察にも頼る必要があります

そのために,直接一般相対論での曲がった４次元時空の上の粒子の運動を,２次元の曲面上に束縛された粒子の運動と同一視して比較することを考え,平面座標を示すパラメータ(ｕ,ｖ)を(ｕ¹,ｕ²)と表記して曲面ｒ(ｕ,ｖ)をｒ(ｕ¹,ｕ²)と書き直すことから議論を始めます。

まず,接平面の基底をなす接ベクトルｒ_u≡(∂ｒ/∂ｕ),ｒ_v≡(∂ｒ/∂ｖ)をｒ_,i≡(∂ｒ/∂ｕⁱ)(ｉ＝1,2)と書きます。

一般の接平面上のベクトルを示す線型結合:ξｒ_u＋ηｒ_vも,パラメータξ,ηをξⁱ(ｉ＝1,2)と添字表現にすることで,ξⁱｒ_,i≡ξ¹ｒ_,1＋ξ²ｒ_,2,またはξⁱ(∂ｒ/∂ｕⁱ)≡ξ¹(∂ｒ/∂ｕ¹)＋ξ²(∂ｒ/∂ｕ²)と書き直します。

Ｅ≡(ｒ_u,ｒ_u)＝ｒ_u²,Ｆ≡(ｒ_u,ｒ_v)＝(ｒ_v,ｒ_u),Ｇ≡(ｒ_v,ｒ_v)＝ｒ_v²なるいわゆる計量の表記も,通常の表記ｇ_ij≡(ｒ_,i,ｒ_,j)＝(∂ｒ/∂ｕⁱ,∂ｒ/∂ｕ^j)(ｉ,ｊ＝1,2)に変更します。

すると,接ベクトルξⁱｒ_,i＝ξⁱ(∂ｒ/∂ｕⁱ)の長さの平方(Ｅξ²＋2Ｆξη＋Ｇη²)は,ｇ_ijξⁱξ^jと書けます。

相対論の記法に慣れているなら,空間計量の表現としてｄｓ²＝ｇ_ijｄξⁱｄξ^jと表わす方が馴染み深いですね。

さらに,ガウスの公式ｒ_uu＝Γ^ｕ_uuｒ_u＋Γ^v_uuｒ_v＋Ｌｅ,ｒ_uv＝Γ^u_uvｒ_u＋Γ^v_uvｒ_v＋Ｍｅ,ｒ_vu＝Γ^u_vuｒ_u＋Γ^v_vuｒ_v＋Ｍｅ,ｒ_vv＝Γ^u_vvｒ_u＋Γ^v_vvｒ_v＋Ｎｅは,ｒ_,ij＝∂²ｒ/∂ｕⁱ∂ｕ^j＝Γ^k_ij(∂ｒ/∂ｕ^k)＋ｈ_Ijｅなる表現に変わります。

ここで,Γ^ｕ_uu＝(ｒ_uu,ｒ_u)/(ｒ_u,ｒ_u),Γ^v_uv＝(ｒ_uv,ｒ_v)/(ｒ_v,ｒ_v),..etc.を,Γ^k_ij＝(∂²ｒ/∂ｕⁱ∂ｕ^j,∂ｒ/∂ｕ^l)/(∂ｒ/∂ｕ^k,∂ｒ/∂ｕ^l )＝ｇ_kl^-1(∂ｇ_li/∂ｕ^j)＝(ｇ_kl^-1/2)(∂ｇ_li/∂ｕ^j＋∂ｇ_lj/∂ｕⁱ)なる表現に変えています。

一般相対論でのレビ・チビタ接続(Levi-Civita接続)の係数としてのクリストッフェル記号は,Γ^σ_μν＝{σ,μν}＝(ｇ^σρ/2)(ｇ_ρν,μ＋ｇ_ρμ,ν－ｇ_μν,ρ);(ｇ^μν)≡(ｇ_μν)^-1で与えられます。

これは,一般座標{ｘ^μ}と局所ローレンツ系の座標{Ｘ^μ}による表現ではΓ^σ_μν＝(∂ｘ^σ/∂Ｘ^ρ)(∂²Ｘ^σ/∂ｘ^μ∂ｘ^ν)です。

そこで,座標系の次元としてｒが３次元,{ｕⁱ}が２次元で,第３の次元による拘束力によって"曲面＝２次元多様体"の上に束縛されていて３次元目を無視するという見方をします。

これは,相対論そのものとは少し異なりますが,空間曲面の位置ベクトルｒを一般座標{ｘ^μ},パラメータ{ｕⁱ}を局所ローレンツ系{Ｘ^μ}と同一視すると,{Γ^k_ij}(ｉ,ｊ,ｋ＝1,2)が４次元時空でのクリストッフェル接続の係数{Γ^σ_μν}と全く同じ意味を持つとしてよいとわかります。　

さて,こうした認識の下で,行列:Ｐ≡(ｒ_u,ｒ_v)を定義しこれをｕ,ｖで１,２回微分する演算を考えてみます。

まず,∂_uＰ＝(ｒ_uu,ｒ_uv)＝(Γ^ｕ_uuｒ_u＋Γ^v_uuｒ_v＋Ｌｅ,Γ^u_uvｒ_u＋Γ^v_uvｒ_v＋Ｍｅ),∂_vＰ＝(ｒ_vu,ｒ_vv)＝(Γ^ｕ_vuｒ_u＋Γ^v_vuｒ_v＋Ｍｅ,Γ^u_vvｒ_u＋Γ^v_vvｒ_v＋Ｎｅ)です。

これに,左から^tＰ＝^t(ｒ_u,ｒ_v)を掛けると,法ベクトルｅとの直交性から,^tＰ(∂_uＰ)は１行目が(ＥΓ^ｕ_uu＋ＦΓ^v_uu, ＥΓ^u_uv＋ＦΓ^v_uv),２行目が(ＦΓ^ｕ_uu＋ＧΓ^v_uu,ＦΓ^u_uv＋ＧΓ^v_uv)の行列,また,^tＰ(∂_vＰ)は１行目が(ＥΓ^ｕ_vu＋ＦΓ^v_vu,ＥΓ^u_vv＋Γ^v_vvＦ),２行目が(ＦΓ^ｕ_vu＋ＧΓ^v_vu,ＦΓ^u_vv＋ＧΓ^v_vv)の行列になります。

これも添字表記で,Ｐ≡(∂ｒ/∂ｕ¹,∂ｒ/∂ｕ²)とすると,ｇ_ij≡(∂ｒ/∂ｕⁱ)(∂ｒ/∂ｕ^j),∂²ｒ/∂ｕⁱ∂ｕ^j＝Γ^k_ij(∂ｒ/∂ｕ^k)＋ｈ_ijｅなので,∂_iＰ＝(∂²ｒ/∂ｕⁱ∂ｕ¹,∂²ｒ/∂ｕⁱ∂ｕ²)＝(Γ^k_i1(∂ｒ/∂ｕ^k)＋ｈ_i1ｅ,Γ^k_i2(∂ｒ/∂ｕ^k)＋ｈ_i2ｅ)という表式になります。

そして,これに左から^tＰ＝^t(∂ｒ/∂ｕ¹,∂ｒ/∂ｕ²)を掛けると,^tＰ(∂_iＰ)は１行目が(ｇ_1kΓ^k_i1,ｇ_1kΓ^k_i2),２行目が(ｇ_2kΓ^k_i1,ｇ_2kΓ^k_i2)の行列になります。

そこで,(ｋ,ｌ)成分がΓ^k_ilの行列をΓ_iと書くことにすれば,∂_iＰ＝ＰΓ_i＋(ｈ_i1ｅ,ｈ_i2ｅ)となります。そこで,^tＰ(∂_iＰ)＝ｇΓ_iです。

したがって,∂_i(ｇΓ_j)－∂_j(ｇΓ_i)＝∂_i{^tＰ(∂_jＰ)}－∂_j{^tＰ(∂_iＰ)}＝^t(∂_iＰ)(∂_jＰ)－^t(∂_jＰ)(∂_iＰ)を得ます。

ここで,∂_iＰ＝ＰΓ_i＋(ｈ_i1ｅ,ｈ_i2ｅ),ｇ＝^tＰＰであり,ｇは対称行列:^tｇ＝ｇですから,^t(∂_iＰ)(∂_jＰ)－^t(∂_jＰ)(∂_iＰ)＝(^tΓ_iｇΓ_j－^tΓ_jｇΓ_i)＋(ｈ_i1ｈ_j2－ｈ_i2ｈ_j1)Ｊ₂となります。

Ｊ₂は１行目が(0,1),２行目が(-1,0)の２×２交代行列です。

したがって,結局∂_i(ｇΓ_j)－∂_j(ｇΓ_i)＝(^tΓ_iｇΓ_j－^tΓ_jｇΓ_i)＋(ｈ_i1ｈ_j2－ｈ_i2ｈ_j1)Ｊ₂なる表現の等式が得られます。

一方,同じくｇ＝^tＰＰ,^tｇ＝ｇより,これを微分すると∂_iｇ＝^t(∂_iＰ)Ｐ＋^tＰ(∂_iＰ)＝^tΓ_iｇ＋ｇΓ_iですから,これによってさらに∂_i(ｇΓ_j)－∂_j(ｇΓ_i)＝(^tΓ_iｇ＋ｇΓ_i)Γ_j＋ｇ∂_iΓ_j－(^tΓ_jｇ＋ｇΓ_j)Γ_i－ｇ∂_jΓ_i＝ｇ(∂_iΓ_j－∂_jΓ_i＋Γ_iΓ_j－Γ_jΓ_i)＋(^tΓ_iｇΓ_j－^tΓ_jｇΓ_i)なる等式を得ます。

そこで,４つの２次行列Ｒ_ij(ｉ,ｊ＝1,2)を,Ｒ_ij≡∂_iΓ_j－∂_jΓ_i＋Γ_iΓ_j－Γ_jΓ_iと定義すれば,上の式は∂_i(ｇΓ_j)－∂_j(ｇΓ_i)＝ｇＲ_ij＋(^tΓ_iｇΓ_j－^tΓ_jｇΓ_i)と簡単になります。

この等式の右辺を,すぐ前に求めた等式∂_i(ｇΓ_j)－∂_j(ｇΓ_i)＝(^tΓ_iｇΓ_j－^tΓ_jｇΓ_i)＋(ｈ_i1ｈ_j2－ｈ_i2ｈ_j1)Ｊ₂の右辺に等置すれば,ｇＲ_ij＝(ｈ_i1ｈ_j2－ｈ_i2ｈ_j1)Ｊ₂なる式が得られます。

すなわち,ｇＲ₁₁＝ｇＲ₂₂＝0,ｇＲ₁₂＝－ｇＲ₂₁＝(ｈ₁₁ｈ₂₂－ｈ₁₂ｈ₂₁)Ｊ₂＝(detｈ)Ｊ₂なる具体的表式が得られます。

一方,ガウスの曲率ＫはＫ＝κ₁κ₂＝detＢ＝ｂ₁₁ｂ₂₂－ｂ₁₂ｂ₂₁＝(ＬＮ－Ｍ²)/(ＥＧ－Ｆ²)と表現されますから,Ｅ＝ｇ₁₁,Ｆ＝ｇ₁₂＝ｇ₂₁,Ｇ＝ｇ₂₂によってＥＧ－Ｆ²＝detｇです。

Ｌ＝ｈ_11,Ｍ＝ｈ₁₂＝ｈ₂₁,Ｎ＝ｈ₂₂によって,ＬＮ－Ｍ²＝detｈなる置換を行えば.これら相対論的表記ではＫ＝detｈ/detｇに帰着することがわかります。

こうして,結局,ｇＲ₁₂＝－ｇＲ₂₁＝(detｇ)ＫＪ₂,Ｒ₁₁＝Ｒ₂₂＝0 なる最終的な関係式を得ることができました。

そして行列ｇＲ_ijの(ｍ,ｋ)成分は(ｇＲ_ij)_ml＝ｇ_mkＲ^k_ijlです。

これの右辺のテンソル成分を示すＲ^k_ijlは,Ｒ_ij≡∂_iΓ_j－∂_jΓ_i＋Γ_iΓ_j－Γ_jΓ_iによって,３次元空間への埋め込みと考えられる曲面を２次元多様体と同一視したときのリーマン・クリストッフェルの曲率テンソル成分に一致します。

以上から,多様体のリーマンの曲率テンソル{Ｒ^σ_λμν}は,確かに２次元曲面の素朴な曲がり具合を示すガウスの曲率Ｋの自然で直線的な拡張であることが示されました。

これで今日のコーヒー・ブレイクは終わりにします。

参考文献:小林昭七 著「曲線と曲面の微分幾何」(裳華房),中原幹夫 著「理論物理学のための幾何学とトポロジー」(ピアソン・エデュケーション),杉田勝美,岡本良夫,関根松夫 共著「理論物理のための微分幾何学」(森北出版),大森英樹 著「力学的な微分幾何」(数学セミナー増刊[8](1980))(日本評論社)

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相対論の幾何学(第Ⅲ部-3)(リーマン幾何学(3))

相対論の幾何学シリーズ第Ⅲ部リーマン幾何学の続きです。

まず,前回の記事の最後の部分で与えたアファイン接続(affine connection;アフィン接続)の定義を再掲するところから始めます。

※(再掲開始)

[定義Ⅲ.3]アファイン接続∇とは,(Ｘ^,Ｙ^)に∇_XＹ^を対応させる１つの写像∇:Ｘ(Ｍ)×Ｘ(Ｍ)→Ｘ(Ｍ)であって次の条件を満たすものをいう。ここでＸ(Ｍ)は多様体Ｍ上のベクトル場の全体を指す。

　満たすべき条件とは,∀Ｘ^,Ｙ^,Ｚ^∈Ｘ(Ｍ),およびＭ上の任意関数ｆに対して,∇_X(Ｙ^＋Ｚ^)＝∇_XＹ^＋∇_XＺ^,∇_(X+Y)Ｚ^＝∇_XＺ^＋∇_YＺ^,∇_fXＹ^＝ｆ∇_XＹ^,∇_X(ｆＹ^)＝Ｘ^[ｆ]Ｙ^＋ｆ∇_XＹ^が成立することである。

　Ｍ上で座標ｘ＝φ(ｐ)を持つチャート(Ｕ,φ)を選びｍ³個の接続係数と呼ばれる変数Γ≡{Γ^λ_νμ}を∇_νｅ_μ≡∇_eνｅ_μ＝ｅ_λΓ^λ_νμで定義します。ただし,{ｅ_μ}＝{∂/∂ｘ^μ}はＴ_p(Ｍ)の座標基底です。

　こうしてアファイン接続∇の基底ベクトル{ｅ_μ}への作用∇_νｅ_μ≡∇_eνｅ_μが定義されれば,∇の任意のベクトルへの作用が計算可能です。

　例えばＶ^＝Ｖ^μｅ_μ,Ｗ^＝Ｗ^μｅ_μ∈Ｔ_p(Ｍ)に対して,∇_ＶＷ^＝Ｖ^μ∇_eμ(Ｗ^νｅ_ν)＝Ｖ^μ{ｅ_μ[Ｗ^ν]＋Ｗ^ν∇_eμｅ_ν}＝Ｖ^μ(∂Ｗ^λ/∂ｘ^μ＋Ｗ^νΓ^λ_μν)ｅ_λとなります。

　右辺における因子は先に直感的に得られた共変微分に形が一致していますね。

　そこで,∇_μＷ^λ≡∂Ｗ^λ/∂ｘ^μ＋Ｗ^νΓ^λ_μνとおけば,アファイン接続∇は２つのベクトルＶ^＝Ｖ^μｅ_μ,Ｗ^＝Ｗ^μｅ_μ∈Ｔ_p(Ｍ)を新しいベクトル∇_ＶＷ^＝Ｖ^μ(∂Ｗ^ν/∂ｘ^μ＋Ｗ^νΓ^λ_μν)ｅ_λに移し,これのλ番目の成分がＶ^μ∇_μＷ^λで与えられることになります。

　∇_ＶＷ^はＬ_VＷ^＝[Ｖ^,Ｗ^]とは異なってＶ^の微分を含みませんから,この意味で共変微分は関数の方向微分のテンソルへの一般化になっています。(再掲終わり)※

さて,上のアファイン接続∇の定義は,ベクトル場に対するもので,これは直感的ではないベクトル場への方向微分の拡張という形での共変微分を与えるものです。

しかし,まだスカラー,つまり多様体Ｍ上の任意関数ｆを含めた一般のテンソルに対する接続∇,または共変微分の明確な定義を与えるという課題が残されています。

まず,Ｍ上の任意関数ｆに対しては,∇_Ｘｆ≡Ｘ^[ｆ]として方向微分∇_Ｘ＝Ｘ^をｆの共変微分と定義します。

こうすると,先の定義にある∀Ｘ^,Ｙ^∈Ｘ(Ｍ)に対する規則:∇_X(ｆＹ^)＝Ｘ^[ｆ]Ｙ^＋ｆ∇_XＹ^は∇_X(ｆＹ^)＝(∇_Ｘｆ)Ｙ^＋ｆ∇_XＹ^となって通常の微分が満たすのと同じライプニッツ則に一致します。

そこで,任意のテンソル場Ｔ₁,Ｔ₂の積に対しても,ライプニッツ則が成立することを要求します。すなわち,∇_X(Ｔ₁⊗Ｔ₂)＝(∇_ＸＴ₁)⊗Ｔ₂＋Ｔ₁⊗(∇_ＸＴ₂)の成立を要求します。

テンソル場の共変微分(接続)がこの条件を満たすという取り決めによって共変微分は一意的に決まります。

特に,この等式は両辺のテンソルの成分表示において,幾つかの上下の添字を縮約しても成立するはずです。

そこで,１-形式ω∈Ω¹(Ｍ);ω≡ω_μｄｘ^μとベクトル場Ｙ^∈Ｘ(Ｍ);Ｙ^≡Ｙ^μ∂_μの内積:＜ω,Ｙ^＞＝スカラーについても,∇_X(＜ω,Ｙ^＞)＝＜∇_Ｘω,Ｙ^＞＋＜ω,∇_ＸＹ^＞となります。

定義によって∇_X(＜ω,Ｙ^＞)＝Ｘ^[＜ω,Ｙ^＞]＝Ｘ^μ∂_μ＜ω,Ｙ^＞＝Ｘ^μ∂_μ(ω_λＹ^λ)です。

また,∇_ＸＹ^＝Ｘ^μ(∂_μＹ^λ＋Γ^λ_μνＹ^ν)ｅ_λ＝Ｘ^μ(∂_μＹ^λ＋Γ^λ_μνＹ^ν)∂_λよって,＜ω,∇_ＸＹ^＞＝ω_λＸ^μ(∂_μＹ^λ＋Γ^λ_μνＹ^ν)ですから,＜∇_Ｘω,Ｙ^＞＝∇_X(＜ω,Ｙ^＞)－＜ω,∇_ＸＹ^＞＝Ｘ^μ(Ｙ^λ∂_μω_λ－Γ^λ_μνＹ^νω_λ)＝Ｙ^νＸ^μ(∂_μω_ν－Γ^λ_μνω_λ)が得られます。

したがって,∇_Ｘω≡Ｘ^μ(∂_μω_ν－Γ^λ_μνω_λ)ｅ^*ν＝{Ｘ^μ(∂_μω_ν－Γ^λ_μνω_λ)}ｄｘ^νとなります。これが１-形式ωの共変微分です。

特に,Ｘ^＝ｅ_α＝δ^μ_α∂_μとおけば,∇_μω＝(∂_μω_ν－γ^λ_μνω_λ)ｄｘ^ν,すなわち(∇_μω)_ν＝∂_μω_ν－Γ^λ_μνω_λを得ます。

さらに,ω＝ｄｘ^α＝δ_μ^αｄｘ^μとおけば∇_μｄｘ^ν＝－Γ^ν_μλｄｘ^λが得られます。

これらは容易に一般化されて,∇_μｔ^λ1..λp_ν1..νq＝∂_μｔ^λ1..λp_ν1..νq＋Γ^λ1_μσｔ^σλ2..λp_ν1..νq＋..＋Γ^λp_μσｔ^λ1..λp-1σ_ν1..νq－Γ^σ_μν1ｔ^λ2..λp_σν2..νq－..－Γ^σ_μνqｔ^λ1..λp-1σ_ν1..νq-1σとなります。

そして,この表現がｔ^λ1..λp_ν1..νqなる成分を持つ(ｐ,ｑ)型テンソルの共変微分をユニークに定めることがわかります。

次に,アファイン接続の接続係数Γ^λ_μνが,多様体上の座標,つまりチャートの選択によって,どのように変換されるかを考えます。

接続係数Γ^λ_μνを与えるチャート(Ｕ,φ);ｘ＝φ(ｐ)に対してＵ∩Ｖ≠φを満たす別のチャート(Ｖ,ψ);ｙ＝ψ(ｐ)があるとき,それぞれの座標に対するベクトル場の座標基底を,{ｅ_μ}≡{∂/∂ｘ^μ},{ｆ_α}≡{∂/∂ｙ^α}と書くことにします。

そして,ｙ座標に対応する接続係数をΓ~^γ_αβとします。

ｘ座標に対応する接続係数Γ^λ_μνが∇_μｅ_ν＝∇_eμｅ_ν≡ｅ_λΓ^λ_μνで定義される量ですから,接続係数Γ~^γ_αβは∇_fαｆ_β≡ｆ_γΓ~^γ_αβで定義されます。

そして,共変微分の演算子∇そのものが共変ベクトルなので,∇_fα＝(∂ｘ^μ/∂ｙ^α)∇_eμです。

そこで,これにｆ_α＝∂/∂ｙ^α＝(∂ｘ^μ/∂ｙ^α)(∂/∂ｘ^μ)＝(∂ｘ^μ/∂ｙ^α)ｅ_μを代入すると,∇_fαｆ_β＝∇_fα{(∂ｘ^μ/∂ｙ^β)ｅ_μ}＝(∂²ｘ^μ/∂ｙ^α∂ｙ^β)ｅ_μ＋(∂ｘ^μ/∂ｙ^β)(∂ｘ^λ/∂ｙ^α)∇_eλｅ_μ＝[(∂²ｘ^ρ/∂ｙ^α∂ｙ^β)＋(∂ｘ^λ/∂ｙ^α)(∂ｘ^μ/∂ｙ^β)Γ^ρ_λμ]ｅ_ρとなります。

一方,ｆ_γΓ~^γ_αβ＝(∂ｘ^ρ/∂ｙ^γ)Γ~^γ_αβｅ_ρですから,結局(∂ｘ^ρ/∂ｙ^γ)Γ~^γ_αβ＝(∂²ｘ^ρ/∂ｙ^α∂ｙ^β)＋(∂ｘ^λ/∂ｙ^α)(∂ｘ^μ/∂ｙ^β)Γ^ρ_λμなる式を得ます。

故に,接続係数はΓ~^γ_αβ＝(∂ｘ^λ/∂ｙ^α)(∂ｘ^μ/∂ｙ^β)(∂ｙ^γ/∂ｘ^ρ)Γ^ρ_λμ＋(∂²ｘ^μ/∂ｙ^α∂ｙ^β)(∂ｙ^γ/∂ｘ^μ)と変換される必要があります。

これまでは,接続Γを任意の量としてきましたが多様体に計量(metric)が与えられると,可能な接続の形として適当な制限を与えることができます。

そこで,計量ｇ_μνが共変的に一定,すなわち,２つのベクトルＸ^,Ｙ^∈Ｘ(Ｍ)が任意の曲線に沿って平行移動されたとき,それらの内積が平行移動の下で一定であることを要求します。

微分多様体Ｍ上の各点ｐ∈Ｍで定義された(0,2)型テンソルｇ_p:Ｔ_p(Ｍ)→Ｒ;∀Ｘ^,Ｙ^∈Ｔ_p(Ｍ)⊂Ｘ(Ｍ)に対してｇ_p(Ｘ^,Ｙ^)＝ｇ_μνＸ^μＹ^νを与えるｇ_p,またはｇ_μνを計量と呼んで,＜Ｘ^,Ｙ^＞≡ｇ_p(Ｘ^,Ｙ^)＝ｇ_μνＸ^μＹ^νをＸ^,Ｙ^の内積と解釈します。

そして,平行移動の下で＜Ｘ^,Ｙ^＞が一定なことをｇ_μνが共変的に一定と呼び,逆に平行移動の条件として要求するわけです。

ｇ_μνが共変的に一定であるという要求から,Ｘ^,Ｙ^∈Ｔ_p(Ｍ)が任意の曲線に沿って平行移動されるとき,Ｖ^を点ｐ∈Ｍでのその曲線の接ベクトルとすると,0＝∇_Ｖ{ｇ_p(Ｘ^,Ｙ^)}＝Ｖ^μ[(∇_μｇ_p)(Ｘ^,Ｙ^)＋ｇ_p(∇_μＸ^,Ｙ^)＋ｇ_p(Ｘ^,∇_μＹ^)]となります。

そして平行移動の定義によって,∇_ＶＸ^＝Ｖ^μ∇_μＸ^＝0,かつ ∇_ＶＹ^＝Ｖ^μ∇_μＹ^＝0 なので,Ｖ^μ(∇_μｇ_p)(Ｘ^,Ｙ^)＝Ｖ^σＸ^μＹ^ν(∇_σｇ)_μν＝0 が成立します。

Ｘ^,Ｙ^が任意ベクトルなので,(∇_σｇ)_μν＝0 ,つまり∂_λｇ_μν－Γ^σ_λνｇ_σν－Γ^σ_λμｇ_μσ＝0 です。

これを満たすアファイン接続∇は,計量と両立するといいます。あるいは,これを満たすアファイン接続∇を単に計量接続と呼びます。

∂_λｇ_μν－Γ^σ_λνｇ_μσ－Γ^σ_λμｇ_σν＝0 の(λ,μ,ν)の巡回置換は,∂_μｇ_νλ－Γ^σ_μλｇ_νσ－Γ^σ_μνｇ_σλ＝0,∂_νｇ_λμ－Γ^σ_νμｇ_λσ－Γ^σ_νλｇ_σμ＝0 です。

これらから,－∂_μｇ_νλ＋∂_μｇ_νλ＋∂_νｇ_λμ＋Ｔ^σ_λμｇ_σν＋Ｔ^σ_λνｇ_σμ－2Γ^σ_(μν)ｇ_σλ＝0 を得ます。ここにＴ^σ_λμ≡2Γ^σ_{λμ}≡Γ^σ_λμ－Γ^σ_μλ,Γ^σ_(μν)≡(Γ^σ_μν＋Γ^σ_νμ)/2です。

Ｔ^σ_λμを成分とするテンソルを捩率テンソルと呼びます。Ｔ^σ_λμは下添字について反対称,つまりＴ^σ_λμ＝－Ｔ^σ_μλです。

最後の等式:－∂_μｇ_νλ＋∂_μｇ_νλ＋∂_νｇ_λμ＋Ｔ^σ_λμｇ_σν＋Ｔ^σ_λνｇ_σμ－2Γ^σ_(μν)ｇ_σλ＝0 をΓ^σ_(μν)について解けば,Γ^σ_(μν)＝{σ,μν}＋(Ｔ_ν^σ_μｇ_σ＋Ｔ_μ^σ_ν)/2 を得ます。

ここに,{σ,μν}は{σ,μν}≡(1/2)ｇ^σλ(∂_μｇ_νλ＋∂_νｇ_λμ－∂_μｇ_νλ)で定義される量で,これをクリストッフェルの記号(Christoffel's symbol)と呼びれます。

そこで,結局Γ^σ_μν＝Γ^σ_(μν)＋Γ^σ_{μν}＝{σ,μν}＋(Ｔ_ν^σ_μｇ_σ＋Ｔ_μ^σ_ν＋Ｔ^σ_μν)/2が得られます。

最右辺の第２項:Ｋ^σ_μν≡(Ｔ_ν^σ_μｇ_σ＋Ｔ_μ^σ_ν＋Ｔ^σ_μν)/2 を歪率と呼びます。

特に多様体Ｍの上で捩率テンソル{Ｔ^σ_λμ}がゼロ:Γ^σ_λμ＝Γ^σ_μλが成立する場合には,Ｋ^σ_μν≡0 でΓ^σ_μν＝{σ,μν}となります。このときの計量接続∇をレビ・チビタ接続(Levi-Civita接続)といいます。

接続Γ＝{Γ^σ_μν}はテンソルではないので,多様体の曲がり具合を測る物指しとしての本質的な幾何学的意味を持ち得ません。

そこで本質的意味を持つものとして,捩率テンソルＴ:Ｘ(Ｍ)⊗Ｘ(Ｍ)→Ｘ(Ｍ)とリーマン曲率テンソル(Riemannian curvature)Ｒ:Ｘ(Ｍ)⊗Ｘ(Ｍ)⊗Ｘ(Ｍ)→Ｘ(Ｍ)というものを定義します。

ＴはＴ(Ｘ^,Ｙ^)≡∇_ＸＹ^－∇_ＹＸ^－[Ｘ^,Ｙ^],ＲはＲ(Ｘ^,Ｙ^,Ｚ^)≡∇_Ｘ∇_ＹＺ^－∇_Ｙ∇_ＸＺ^－∇_[Ｘ,Ｙ]Ｚ^で定義されます。

ＲはＺ^に対する作用と見て,Ｒ(Ｘ^,Ｙ^,Ｚ^)の代わりにＲ(Ｘ^,Ｙ^)Ｚ^と書くことがあります。

これらは,明らかにＸ^,Ｙ^)について反対称でＴ(Ｘ^,Ｙ^)＝－Ｔ(Ｙ^,Ｘ^),Ｒ(Ｘ^,Ｙ^)Ｚ^＝－Ｒ(Ｙ^,Ｘ^)Ｚ^を満たします。

Ｘ^＝Ｘ^μｅ_μ,Ｙ^＝Ｙ^μｅ_μと成分で書けばＴ(Ｘ^,Ｙ^)＝Ｘ^μＹ^νＴ(ｅ_μ,ｅ_ν)∈Ｘ(Ｍ)ですから,Ｔは(1,2)型テンソルでＴ(Ｘ^,Ｙ^)＝Ｔ^σ_μνＸ^μＹ^νｅ_σ,またはＴ^σ_μν＝(ｄｘ^σ,Ｔ(ｅ_μ,ｅ_ν))によって成分Ｔ^σ_μνが与えられます。

[ｅ_μ,ｅ_ν]＝[∂_μ,∂_ν]＝0 なので,Ｔ^σ_μν＝(ｄｘ^σ,Ｔ(ｅ_μ,ｅ_ν))＝(ｄｘ^σ,∇_μｅ_ν－∇_νｅ_μ)＝(ｄｘ^σ,Γ^λ_μνｅ_λ－Γ^λ_νμｅ_λ)＝Γ^σ_λμ－Γ^σ_μλです。

そこで,これは確かに先に成分で定義した捩率テンソルＴ^σ_λμ≡2Γ^σ_{λμ}≡Γ^σ_λμ－Γ^σ_μλの表現と一致します。

一方,Ｒ(ｆＸ^,ｇＹ^,ｈＺ^)＝ｆ∇_Ｘ{ｇ∇_Ｙ(ｈＺ^)}－ｇ∇_Ｙ{ｆ∇_Ｘ(ｈＺ^)}－ｆＸ^[ｇ]∇_Ｙ(ｈＺ^)＋ｇＹ^[ｆ]∇_Ｘ(ｈＺ^)－ｆｇ∇_[Ｘ,Ｙ](ｈＺ^)＝ｆｇ[∇_Ｘ∇_Ｙ(ｈＺ^)－∇_Ｙ∇_Ｘ(ｈＺ^)－∇_[Ｘ,Ｙ](ｈＺ^)]＝ｆｇｈＲ(Ｘ^,Ｙ^,Ｚ^)なので,Ｒは多重線形です。

それ故,Ｒ(Ｘ^,Ｙ^,Ｚ^)＝Ｘ^λＹ^μＺ^νＲ(ｅ_λ,ｅ_μ,ｅ_ν)と書けることから,Ｒもテンソルであることがわかります。

Ｒは(1,3)型テンソルで,(ｄｘ^σ,Ｒ(ｅ_λ,ｅ_μ,ｅ_ν))＝(ｄｘ^σ,∇_λ∇_μｅ_ν－∇_μ∇_λｅ_ν)＝(ｄｘ^σ,∇_λ(Γ^ρ_μνｅ_ρ)－∇_μ(Γ^ρ_λνｅ_ρ))＝(ｄｘ^σ,(∂_λΓ^ρ_μνｅ_ρ＋Γ^ρ_μνΓ^η_λρｅ_η)－(∂_μΓ^ρ_λνｅ_ρ＋Γ^ρ_λνΓ^η_μρｅ_η))です。

曲率Ｒの成分の添字を,何故この順序に取るのが慣例なのかはわかりませんが,Ｒ^σ_νλμ＝(ｄｘ^σ,Ｒ(ｅ_λ,ｅ_μ,ｅ_ν))とおいて,Ｒ^σ_νλμ＝∂_λΓ^σ_μν－∂_μΓ^σ_λν＋Γ^ρ_μνΓ^σ_λρ－Γ^ρ_λνΓ^σ_μρ,またはＲ^σ_λμν＝(ｄｘ^σ,Ｒ(ｅ_μ,ｅ_ν)ｅ_λ)＝∂_μΓ^σ_νλ－∂_νΓ^σ_μλ＋Γ^ρ_νλΓ^σ_μρ－Γ^ρ_μλΓ^σ_νρを得ます。

テンソルの反対称性Ｔ(Ｘ^,Ｙ^)＝－Ｔ(Ｙ^,Ｘ^),Ｒ(Ｘ^,Ｙ^)Ｚ^＝－Ｒ(Ｙ^,Ｘ^)Ｚ^から,成分の添字についての反対称性Ｔ^σ_λμ≡＝－Ｔ^σ_μλ,Ｒ^σ_λμν＝－Ｒ^σ_λνμも明らかです。

ここで,Ｒ,Ｔをそれぞれ曲率テンソル,捩率テンソルと呼ぶことの物理的意味を考えてみます。

ｐ∈Ｍを始点とする無限小の平行四辺形ｐｑｒｓを取ります。そしてε^μ,δ^μ}を無限小として,ｐ,ｑ,ｒ,ｓの座標をそれぞれ{ｘ^μ},{ｘ^μ＋ε^μ},{ｘ^μ＋ε^μ＋δ^μ},{ｘ^μ＋δ^μ}とします。

ｐ∈ＭにおけるあるベクトルＶ^∈Ｔ_p(Ｍ)を経路Ｃ≡ｐｑｒに沿って平行移動します。

まず,Ｖ_C^μ(ｑ)＝Ｖ^μ－Ｖ^λΓ^μ_νλ(ｐ)ε^νです。

さらにＶ_C^μ(ｒ)＝Ｖ_C^μ(ｑ)－Ｖ_C^λ(ｑ)Γ^μ_νλ(ｑ)δ^ν＝Ｖ^μ－Ｖ^λΓ^μ_νλ(ｐ)ε^ν－{Ｖ^λ－Ｖ^ρΓ^λ_σρ(ｐ)ε^σ}Γ^μ_νλ(ｑ)δ^ν＝Ｖ^μ－Ｖ^λΓ^μ_νλ(ｐ)ε^ν－Ｖ^λΓ^μ_νλ(ｐ)δ^ν－Ｖ^ρ{∂_λΓ^μ_νρ(ｐ)－Γ^σ_λρ(ｐ)Γ^μ_νσ(ｐ)}ε^λδ^νとなります。

一方,同じベクトルＶ^∈Ｔ_p(Ｍ)を経路Ｃ'≡ｐｓｒに沿って平行移動すると,Ｖ_C'^μ(ｒ)＝Ｖ^μ－Ｖ^λΓ^μ_νλ(ｐ)ε^ν－Ｖ^λΓ^μ_νλ(ｐ)δ^ν－Ｖ^ρ{∂_νΓ^μ_λρ(ｐ)－Γ^σ_νρ(ｐ)Γ^μ_λσ(ｐ)}ε^λδ^νです。

したがって,Ｖ_C'^μ(ｒ)－Ｖ_C^μ(ｒ)＝Ｖ^ρ{∂_λΓ^μ_νρ(ｐ)－∂_νΓ^μ_λρ(ｐ)＋Γ^σ_νρ(ｐ)Γ^μ_λσ(ｐ)－Γ^σ_λρ(ｐ)Γ^μ_νσ(ｐ)}ε^λδ^ν＝Ｖ^ρＲ^μ_ρλνε^λδ^νで書けます。

要約すれば,Ｖ_C'^σ－Ｖ_C^σ＝Ｖ^ρＲ^σ_ρλνε^λδ^νです。そしてε^λδ^νは微小平行四辺形の面積を表わす無限小テンソルです。

ところで,電磁場Ａ^μに対してＦ_μνを電場Ｅ,磁場Ｂを与える場の強さとして,Ａ^μの線積分にストークスの定理を適用すれば∫_C-C'Ａ^μｄｒ＝∫(∇×Ａ^μ)ｄＳ＝∫Ｆ_μνｄＳ^μνと書けます。ここでｄＳ^λνは経路Ｃ-Ｃ'が囲む無限小面積です。

そこで,この等式においてｄＳ^λνは先の無限小平行四辺形ｐｑｒｓの面積ε^λδ^νとｄＳ^λν～ε^λδ^νなる対応があると考えられます。

また,場の強さＦ_μνは,電磁場と同じYang-Mills理論のゲージ場,あるいは非可換ゲージ理論のゲージ場Ａ^μに対するときには曲率テンソルと同定されます。

そこで,Ｖ_C'^σ－Ｖ_C^σ～ －∫_C-C'Ａ^μｄｒ,Ｖ^ρＲ^σ_ρλν～ －Ｆ_λνという対応が成立すると考えられます。

この対応では,Ｖ^ρＲ^σ_ρλνが丁度非可換ゲージでの"場の強さ＝曲率テンソル"に相当します。

実際に詳しい成分としての添字対応は次のようになります。

すなわち,局所対称な変換群Ｇがあるとき,その生成子を{Ｔ^a}(ａ,ｂ,ｃ＝1,2,..Ｎ)とすれば,Ｇに対応する非可換ゲージ場の４元ポテンシャルはＡ_μ≡∑_a=1^NＡ^a_μＴ^aで,共変微分はＤ_μ≡∂_μ＋iｇＡ_μで定義されます。

このとき,"場の強さ＝曲率テンソル"は一般にＦ_μν≡∂_μＡ_ν－∂_νＡ_μ－(i/ｇ)[Ｄ_μ,Ｄ_ν]＝∂_μＡ_ν－∂_νＡ_μ＋iｇ[Ａ_μ,Ａ_ν]で与えられます。

さらに,Ｆ_μν≡∑_a=1^NＦ^a_μνＴ^aであり,Ｆ^a_μν≡∂_μＡ^a_ν－∂_νＡ^a_μ－ｇｆ_abcＡ^b_μＡ^c_νです。

そこで,Ｖ_C'^σ－Ｖ_C^σ～ －∫_C-C'Ａ^aμｄｒ,Ｖ^ρＲ^σ_ρλν～ －Ｆ^a_λνと書けば,添字σと添字ａが対応していると考えられます。

添字を省略した大まかな対応としては,∂Ｖ～Ａ,ＶＲ～Ｆ～∂Ａですが,弱い重力場の近似では,∂Γがニュートンの万有引力に相当します。

これが,電場や磁場とＦ～∂Γのように対応するとすれば,Ｆ～∂Ａより電磁場のようなゲージ場Ａに対応するのは,クリストッフェル記号で与えられるような接続係数Γの場です。すなわち,Γ～Ａですね。

そこで重力場をゲージ場として定式化できるとすれば,ゲージ場Ａに相当するのは計量ｇではなくて,接続係数Γの方ですね。

そして,∂Ｖ～ＡですからΓ～Ａは∂Ｖ～Γを意味しますが,これはＶが重力場の計量ｇを表わす場合:Ｖ＝ｇ,Γ～ ∂Ｖ＝∂ｇに相当しています。そこで対応:ＶＲ～ Ｆ～ ∂Ａも,正しくはｇＲ～ Ｆ～ ∂Ａ,またはｇＲ～ ∂Γなる対応ですね。

2006年５/11の記事「波動関数の位相と電磁場」2007年８/24,８/25の記事「磁気単極子(モノポール)」,「磁気単極子(モノポール)(補遺))」も参照してください。

今日はここで終わります。

参考文献：中原幹夫 著「理論物理学のための幾何学とトポロジー」(ピアソン・エデュケーション)

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今日は帝京大病院でした。

　昨日はお茶の水の東京医科歯科大で義歯をつくってもらい,今日は午前中に２ヶ月ごとに通院している板橋の帝京大病院に年末以来久しぶりに行ってきました。よく医者ばかり行くもんだ。イヤ惰性です。←ダッセー

　実は治療費と薬代は必ずしも現金で払う必要がないこともあって無くても次回までのツケにすることが多いのですが,現金の方が昨日の歯科の診療と電車賃で財布に363円しか無かったので,いつもの都営線経由で行くコースでは帰りの電車賃がいくらか足りないので,片道160円のＪＲコースで行きました。巣鴨から山手線で池袋,乗り換えて埼京線で十条そこから歩いて10分くらいで病院です。

　以前,一度だけ帰りにそのコースを取ったことがあったけれど,行きは初めてでした。前夜,ネットで地図を探して印刷して持っていたにもかかわらず,生まれつき方向音痴のため,十条駅に降りたところで,まずどちらの方向に向かうかがわからず,駅前の薬屋で聞こうとしたら一人だけいた店番のネーちゃんが携帯で談笑中だったので遠慮して,商店街の入口のコージーコーナーにいた女の子に聞いてずいぶん丁寧に教えてもらいました。

　その子はえらくきれいで驚くほど可愛かったので,スケベ変態ジジィの私は病院帰りに向こうが覚えていればお礼を言おうかとストーカーチックにお店を覗いてみましたが,案の定覚えてないようすでした。

　時節柄チョコレートでも持っていたらあげようかと思ったくらいですが,実はそばにたくさんチョコレートが陳列されていて相手が売っていましたからお呼びデナカッタですね。。

　例によって診察の主治医の先生にインシュリン注射を勧められて,それは嫌いなので死んでもヤラナイと断りました。それをやらないと命が10年は持たないよと言われましたが,10年もイラナイと答えると,結局血糖降下剤を朝１錠増やされて,また２ヶ月後来いということで予約しました。

　元々,心不全なので自然に任せていればとっくに死んでいたはずで,人工的な手術で命を永らえたのに,助けてやっても感謝もせず,命を粗末にするだけのクソジジィなどほっとけばいいのに,こんどの主治医はエラクやさしいのです。治療費だって,こんなクソジジィを生かしとくから余計にかかるんだよね。

　まず,これまでの医者と違ってヤヤケンカ腰であること,相手が偏屈ジジィなら適当に受け流せばいいのに結構本気で説教を垂れ,結果大抵私が気分を害して別れるというパターンになるので,後から分析すると,これまでの気分良く,またねという感じでおだやかに帰してくれるデモシカ？医者よりもヤサシイと結論されました。←また,理屈かよ。。。

　かつて毎回診察終了時にカルテの最後に「入院を勧めたけれど本人が固辞した。」などという文を書いてサインを要求されていた時代もありました。決してその医者がヤサシクないというわけではなく,実際交通事故とかは別として,いつどこで自分の担当している病気が原因で死ぬかも知れない患者に対する自己保身手段です。そうでないと私のためにその医師にほぼイワレのない多大な迷惑がかかることは事実ですから仕方ないことですね。

　これは,たとえが悪いけど,ツイ私がイキがったためにそれがきっかけで私を殺すチンピラがいたとしたら,そのチンピラに刑罰を受けなきゃならなくなるという多大な迷惑をかけるというのと似ています。？？

　いずれにしろ,今度の主治医も別にそういう手段をとってもいいと思うのに知っていて全然取らないし,糖尿病が専門ではなく心臓病の方が専門なのになぜか糖尿病の話ばかりします。まあ,動脈が細くなった原因は糖尿病であり,たとえ心臓手術しようがどうしようが,ある程度直っても糖尿病をほったらかしにしていたら,また同じように手術が必要になると言ってましたが,恐らくそうなる前に寿命の方が尽きると思います。

　ところで今日も何か臨床検査技師の新米くさい若い男が左腕の血管からの採血を失敗して,結局右腕に変更して何とかなったけど,「思い切って血管に針させよ」とか,「手術で首の動脈の点滴やった痛さに比べたら静脈なんて何度失敗してもいいよ」とか大きなお世話で逆にプレッシャーかかるような励ましの言葉をかけて最後はアッチャムイテホイでよそ見しながらやってもらったけど,ここは男も女も３回に１回くらいは患者の方が面倒みなきゃならんから大変だよね。俺の血管がダメなだけか。。。

　去年かなあ,体調悪くて奥のカーテンつきベッドに寝て採血してもらったときだったか,女の看護師だったけど普通５分くらいで終わるはずの採血が30分以上もかかったっけネ。。。はげましはげまし。。ハゲが増すって。。。　

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顔が数年分若返りました!!

　この歳で美容整形でもありませんが,実は下あごの歯茎がどんどん痩せて行って義歯が合わなくなり,それを削っていって小さくなったせいなのか噛み合わせが悪く痛いので昨年５月東京医科歯科大の義歯外来に何とかならないか?と相談に行ってやっと９月に予約取れて通い始めました。

　そして,約半年後の今日の16時頃にやっと新しい上下の義歯が入りました。

　歯の良し悪しとは直接関係ありませんし,元々大した顔ではなく頭もハゲててジジィ顔には違いありませんが,鏡を見ると自分で見てもちょっと,歳相応に見えるくらいに若返ったような気がして悪くありません。

　まだ,微調整で何度か通院する必要があるそうですが,３年くらい前に近くで作った初めての義歯は抜いてすぐの仮義歯には保険が利かないとか言われて,結局本義歯になりましたが,私にしては結構大枚はたいたのに,今回は病院が国立のせいなのか,仮に保険が利かないとしても前の歯の２割程度,実際は保険で３割になって前の義歯の１割未満でした。

　これで美容整形の代わりにもなると考えたらエラく安いものですネ。

　あとは,これまで痛いので仕方なくついた奥歯だけで噛むクセや受け口になるクセを直して,むしろ自然な噛み合わせは上の歯が出っ歯気味だというのでそうするよう訓練しろということでした。

　食べると痛いので条件反射で食が細くなっていたのも,直るカモ。。。

　またどうでもいいけど,飲み屋でカラオケ唄うときも歯のせいで,人知れずそれなりに苦労していた唄い方,声の出し方が少しはましになるかも知れません。

　いろいろな病気の原因としても歯がダメになったのが何割か効いてるような気がします。

　チョット古いけれど,ゲイノー人ではないけど歯がイノチかな？

　まあ,また３年くらいしたら合わなくなるかも知れないがとりあえず今がよけりゃイイや。。。ただ相変わらず金欠病ではありますが。。。

PS:実際に物を食べるとやはりまだ拒否反応があります。ゼイタク言えないけど義歯が偽歯なのは仕方ありません。。。

　(歯を失ってから流動食以外の食べ物を痛みも違和感もなく食べるのは１つの夢ですね。

　目の前に私のために用意された食べ物があって,しかも食べたい欲求があるのに食べられないことがよくあるのは辛いもんです。。

　空腹でも痛くないことを選ぶか,痛くても食べることを選ぶかの毎日です。。)

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水蒸気の比熱

　約１年前に2008年１/6の記事で「氷,水,水蒸気の比熱」という記事を書き,それを動機として化学結合関連のシリーズ記事に入り,結局,目的としていた水素結合に到達する前に興味がよそに移ってそのままになりました。

　しかし,最近私がサブマネージャーをしているfolomyの「物理フォーラム」で水分子の基準振動のモードについて質問があったのを機に,

「そうか。。重心運動と回転運動の自由度だけでなく振動の自由度に量子統計の効果を組み合わせれば,少なくとも水蒸気の比熱についてだけは,説明可能ではなかろうか。。」と思ったので,まずは過去記事の主要部分を再掲して,次にこれを説明したいと思います。

　以下,まず2008年１/6の記事「氷,水,水蒸気の比熱」の再掲です。 

※(再掲記事１)

　気体としてのＨ₂Ｏ,すなわち水蒸気なら理論的には常温での３原子分子の自由度は６です。

古典統計物理学におけるエネルギー等分配の法則,すなわち,"絶対温度Ｔにおいて１自由度当りの内部エネルギーはｋ_BＴ/2 である。"という法則によれば,水蒸気の定積モル比熱はＣ_v,mol＝(1/2)Ｒ×６＝３Ｒとなるはずです。

ｋ_B≡Ｒ/Ｎ₀はボルツマン定数～ 1.38×10^-23ＪＫ^-1)で,Ｒは気体定数～ 8.31Ｊmol^-1Ｋ^-1),Ｎ₀はアボガドロ数r～ 6.022×10²³mol^-1)です。

そして,マイヤーの法則(Mayer's relation)によると,定圧モル比熱はＣ_p,mol＝Ｃ_v,mol＋Ｒ＝４Ｒと書けるので,比熱比はγ≡Ｃ_ｐ/Ｃ_v＝４Ｒ/(３Ｒ)～1.33となるはずです。

１モルのＨ₂Ｏの質量は18ｇです。

そこで,質量１ｇ当りの熱容量に換算するとＣ_v～8.31×3Ｊ/(molＫ)＝1.385Ｊ/(gＫ)＝0.33cal/(gＫ),Ｃ_ｐ～ 8.31×4Ｊ/(molＫ)＝1.846Ｊ/(gＫ)＝0.44cal/(gＫ)となるはずです。

しかし,理科年表によると,摂氏100度の水蒸気について,定圧比熱がＣ_ｐ＝2.051Ｊ/(gＫ)＝0.50cal/(gＫ)で,比熱比がγ≡Ｃ_ｐ/Ｃ_v＝1.33となっていました。

これらの実測値は,比熱比γについては理論と一致していますが,定圧モル比熱については実測はＣ_p,mol～4.5Ｒ＝(9/2)Ｒとなっています。

これは,今私が計算した理論値のＣ_p,mol＝４Ｒよりも大きく,実測のＣ_p,molからマイヤーの規則で計算すると,定積モル比熱はＣ_v,mol～3.5Ｒ＝(7/2)Ｒとなりますから,これからはγ≡Ｃ_ｐ/Ｃ_v～1.28となって実測のγ＝1.33と矛盾します。

まあ,水蒸気は理想気体でないのは明らかですから,何らかの理由があるのでしょう。

一方,液体の水の比熱は定義によると１ｇの水を摂氏14.5度から15.5度まで１度上昇させるに要する熱量が１calです。

常温での水の比熱はＣ_水＝1cal/(gＫ)＝4.19Ｊ/(gＫ)です。

また,氷の比熱は実験によると,Ｃ_氷＝0.50cal/(gＫ)＝2.085Ｊ/(gＫ)となっています。つまり,Ｃ_水,mol～９Ｒ,Ｃ_氷,mol～4.5Ｒ＝(9/2)Ｒですね。

もしも氷が固体金属と同じような格子結晶であるなら,デュロン・プティの法則(Dulong-Petit's law)によってＣ_氷,mol＝３ＲなのでＣ_氷＝0.33cal/(gＫ)になるはずですが,実際にはそうなっていません。

(固体金属の場合は電子の自由度は常温では無視できて,格子位置の陽イオンの格子振動,つまり自由度が２の調和振動子の３方向の自由度６の寄与のみにより,常温でのモル比熱がほぼＣ_金属＝３Ｒで与えられるということが理論的にも実験的にも認められています。(デュロン・プティの法則))

このことから,古典的には水の自由度は18,氷の自由度は９と考えられ,液体の水の場合はＨ₂Ｏ分子を構成する３つの原子の個々がそれぞれ自由度６,固体の氷の場合はそれぞれ自由度３を担わなければならないという勘定になります。

一般に,１つの粒子が単なる質点なら自由度は高々３です。一方,質点ではなく大きさがあって重心運動の他に回転の自由度がある剛体とか,３次元の調和振動子のように内部振動をするような構造を持つなら丁度６の自由度を持ちます。

Ｈ₂Ｏを構成する３原子の各々が互いに全く束縛されることがない自由粒子であり,しかも構造を持たない質点である場合なら,個々の自由原子の持つ自由度が３なので合計でＨ₂Ｏ分子の自由度は９になります。

また,Ｈ₂Ｏを構成するそれぞれの原子が自由粒子でかつ内部構造(大きさ)を持ち,例えば回転自由度３を追加された剛体であれば,Ｈ₂Ｏ分子の自由度は18になります。

さらに振動の自由度を加えれば独立な１方向当たり２ずつ自由度が増えます。つまり,原子をさらに核と電子に分けるなど内部の詳細構造を追及していけば,まだまだ比熱に寄与しそうな自由度を増やすことが可能であるという勘定にはなります。

そこで液体の水についても,これをＨ₂Ｏを構成する３つの原子の各々がそれぞれ調和振動子であるとか,またはＨ₂Ｏの重心運動と全体としての回転運動はあっても振動はできない剛体のようなものと見なせるような奇妙な構造の模型を仮定すれば説明できるかな？という程度の認識に到ります。

結局は,水素結合などの特別な化学結合が関係していると思われるので,こうした問題意識を動機として,次回からは化学結合関連についての知見について復習し,その内容の詳細については事実上初めての真面目な勉強をしてみます。

本日は単に化学結合についての記事を書く動機のみを書きました。

水分子の結合や,その相転移などの説明については,水素結合などを理解した後,できたらまたの機会に詳述したい,と考えています。

参考文献：「理科年表1997年版」(丸善出版) (※再掲記事終わり)

ところが,かつて2006年７/16の記事「二酸化炭素の比熱比(物性)」においてＣＯ₂分子というのは３原子が一直線に並んでいるため回転の自由度が３ではなく２であるという結論を得ています。

したがって,Ｈ₂Ｏの場合も水素結合にしろ共有結合にしろ,気体の状態であっても分子として安定な平衡状態ではＨ-Ｏ-Ｈは一直線ではありませんがＨとＯ,ＨとＨのなす角度は決まっているので,上記記事で水蒸気の気体分子としての回転の自由度を３と考えたのは誤りで,ＣＯ₂と同じくＨ₂Ｏの場合も回転の自由度は２であろうと考えました。

以下,続きを論じるために,上記2006年７/16の記事「二酸化炭素の比熱比(物性)」を再掲します。

※(再掲記事２)　

　 今日は,理想気体の断熱過程での気体法則であるポアソン(Poisson)の公式PV^γ＝一定,または ＴＶ^γ－1＝一定で使用される比熱比 γ＝ C_p/C_vの値について,考察します。

　統計力学によれば,比熱比は対象とする気体１分子を構成する原子の個数,つまり気体分子が単原子分子,２原子分子,３原子分子etcのいずれであるかによって決まります。

　ここで, C_v は定積比熱,C_pは定圧比熱です。

　(理想)気体に対する定積比熱,と定圧比熱の間にはマイヤー(Mayer)の法則というルールがあり,ｎモルの気体に対してはC_p＝C_v＋ｎＲ （１モルなら C_p＝C_v＋Ｒ )が成り立ちます。

　ただし,Ｒは気体定数と呼ばれる定数で,Ｒ≒8.31J/(mol・K)です。

　そして,気体の定積比熱 C_vは絶対温度をＴ,内部エネルギーをＵとすると C_v＝ｄＵ/ｄＴで与えられます。

　理想気体ではＵは温度だけの関数なので,Ｔ＝0 での零点エネルギーを無視すると,気体の内部エネルギーはＵ ＝C_vＴ と書けます。

　古典統計力学によると,物体の常温での内部エネルギーＵは,１粒子の運動する自由度１つごとに ｋ_BＴ/2 だけの値を割り当てられます。ここで ｋ_B はボルツマン定数と呼ばれる気体分子1個当たりの気体定数です。

　ｋ_Bは気体１分子当たりの気体定数ですから,Ｒ＝Ｎ₀ｋ_B,またはＮ₀＝Ｒ/ｋ_Bとすると気体1モルというのはＮ₀個の分子の集合体を意味することがわかります。Ｎ₀はアボガドロ数と呼ばれる物理定数で6.02×10²³ なる値です。

　ｎモルの気体を構成する分子数はｎＮ₀個ですから,それの１自由度あたりの内部エネルギーはｎＮ₀ｋ_BＴ/2＝ｎＲＴ/2 です。

　以上の事実はエネルギー等分配の法則といわれますす。

　単原子分子気体では分子１個の自由度は並進運動の自由度３だけなのでｎモルの気体の内部エネルギーはＵ＝3ｎＲＴ/2 です。そこでC_v＝3ｎＲ/2, C_p＝C_v＋ｎＲ ＝5ｎＲ/2です。

　また,２原子分子気体は回転の自由度２ が加わるので,分子１個の自由度は並進運動(重心運動)の自由度３と合わせて５となります。そこでｎモルの気体の内部エネルギーはＵ＝5ｎＲＴ/2となります。C_v＝5ｎＲ/2, C_p＝7ｎＲ/2です。

　３原子分子以上では重心の周りの回転の自由度が最大の３になるため,これを並進運動(重心運動)の自由度３と合わせると分子１個の自由度は６となりますから,ｎモルの内部エネルギーはＵ＝3ｎＲＴ で,Ｃ_v＝3ｎＲ, Ｃ_p＝4ｎＲとなります。

　そこで,比熱比γ＝Ｃ_p/Ｃ_vは単原子分子気体なら1.67で２原子分子気体なら 1.4,そして３原子分子以上なら特別な対称性がない限り1.33になるはずです。

　そこで本当にそうなっているのかどうかを理科年表で確かめてみると,He  1.66, Ar  1.67, H₂  1.40, N₂ 1.40, H₂O 1.31, NH₃ 1.33 とありました。

　これを見ると,必ずしも近似的に理想気体と見なせる希薄気体ではないような実在気体でも,かなり良く適合値を示しているようです。

　ここで,ニフティ「物理フォーラム」でのある方からの質問を呈示してみます。

　"３原子分子であっても,二酸化炭素 ＣO₂が典型例であるように,一直線に並ぶ３原子分子の場合にはどうなるのだろうか？もし厳密に一直線ならば回転の自由度は２なので２原子分子と同じγ,つまり 1.4になるはずですが,理科年表によると二酸化炭素 CO₂のγは1.30でしたから,これは普通の３原子分子に近い値です。"

　上記が質問の内容です。

　そこで,これに対する答えを見出すために,これまで考えてきた並進や回転の自由度だけではなく,振動の自由度も考慮するとどうなるかを考えてみます。

　重心の並進運動や回転の運動とは異なり,振動の自由度なら１方向の調和振動に対しては,位置エネルギーと運動エネルギーの２つの自由度があるので,１方向についての平均エネルギーは １分子当たりｋ_BＴになります。

　たとえば静止した固体は3方向に熱振動しているので,常温では１モルにつき,比熱は気体定数をＲとして固体の種類によらず３Ｒとなります。（デュロン・プティ(Dulog-Petit）の法則)

　つまり,１次元調和振動子のエネルギーは Ｅ＝ｐ²/(2m)＋(1/2）ｋｘ²であり,"マクスウェル・ボルツマン分布＝古典確率分布"によれば,振動子の座標が(ｘ,ｐ)である確率密度はギブス因子ｅｘｐ{－Ｅ／(ｋ_ＢＴ)}に比例します。

　そこで,エネルギー Ｅを表わす式の中の１つの変数の２乗を与える変数自由度について,それぞれ平均をとると ｋ_BＴ/2 となりますが, Ｅ＝ｐ²/(2m)＋(1/2）ｋｘ²の右辺にはｐ²と ｘ² の２つの２乗項があるので振動のエネルギーを考えた場合には,平均エネルギーへの寄与は １分子当たり一つの方向（１次元）について ｋ_BＴとなります。

　これに対して,重心の自由な並進運動とか,回転運動では位置エネルギーの項はなくて運動エネルギーの項しかない,つまり ｐ²の項しかないので,平均エネルギーへの寄与は１分子当たり１次元について ｋ_BＴ/2 となるのですね。

　とにかく,古典統計力学ではａx² exp {- ax²/(ｋ_ＢＴ)} なる式をｘ で積分したものを,exp{-ax²/(ｋ_ＢＴ)}をｘ で積分したもので割ると,必ずｋ_BＴ/2 になるということを直接計算で確かめることができます。

　これは自由度が１つでもあればそうで,係数ａの大きさには無関係です。

　ところで常温での固体では,格子を構成する原子のイオンの熱振動がメインになる(電子振動は無視される）のに対して,気体では、原子の重心運動と回転運動のみがメインとなり,熱振動の自由度や電子の運動の自由度が何故無視されるのかという問題があります。

　これは量子論ではエネルギーが量子化され,統計分布がプランク(Planck)定数ｈに関係した量子確率分布で与えられるためです。

　こうしたことの理由を簡単に言うなら,物質内部のエネルギーを Ｅ としその構成粒子の主要な振動数をνとすると,Ｅは量子論では大体においてｈνの倍数で与えられ,量子統計分布では,先のギブス因子ｅｘｐ{(－Ｅ/(ｋ_BＴ)}がｅｘｐ{－ｎｈν/(ｋ_BＴ)}という形で現われるからです。

　常温のＴでは固体の電子の振動や気体での原子振動の振動数や電子の自由度に関わる周期運動の振動数νに対しては,一般にｈν＞＞ｋ_BＴが成立するので,ｅｘｐ{－ｎｈν/(ｋ_BＴ)} ～ 0 となるためこれらは内部エネルギーにはほとんど寄与しないのです。

　ところが,問題の二酸化炭素:ＣO₂について「甘泉法師さん」から得た情報によると,"二酸化炭素分子の振動データは,次の振動モードのそれぞれについて,全対称伸縮は実測＝1333/cm，計算＝1373/cm（12CO₂）,逆対称伸縮は実測＝2349/cm，計算＝2420/cm（12CO₂）,変角振動は 実測＝667/cm，計算=669/cm（12CO₂)となっているそうです。

　一番エネルギーの小さい変角振動について温度に換算すると赤外線温度 1.4387752・667 ＝ 953Ｋで常温(300Ｋ)の約3倍"なので振動を無視できないそうです。

　  実際,変角の振動モードに対して,例えば摂氏(Celsius)16度:T＝289Kで ｘ ＝ E/(ｋ_BＴ)＝3.32を用いて量子論でのモル比熱を求める式(固体のアインシュタインモデルと同じ式）であるＣ_vib＝Ｒ x² exp ( x² )/[exp ( x² )－1]²  に代入すると,Ｃ_vib＝0.43Ｒとなります。

　変角振動は横波なので縦振動を除いて自由度が２ であるため結局Ｃ_vib＝0.43Ｒ ×2＝0.86Ｒであり,比熱比はγ＝１＋ Ｒ/ (5/2Ｒ＋Ｃ_vib）＝1.30となって,めでたく理科年表の値と一致します。

　ただし,こうして正しい値が得られたのは,振動を除く自由度としては原子が１直線状であることを考慮して２原子分子と同様,定積モル比熱がＣ_v＝5/2Ｒの場合に対応する自由度を想定して計算した結果ですから,やはりCO₂では回転の自由度は２である,と考えるのが正解のようです。(※再掲終わり)

私は,元々ニフテイ「物理フォーラム」でサブマネージャーをしていたのですが@niftyには,もはやこうしたフォーラム制度がなく過去ログも含めて今は「ｆｏｌｏｍｙ」に移っています。

上記記事では,普通は常温の気体の場合には振動の自由度は無視されるのですが,二酸化炭素の変角振動のモードは比熱への有意な効果を与えるため気体のＣＯ₂の定積モル比熱Ｃ_vの(重心＋回転)による自由度５の寄与Ｃ_v0＝５Ｒ/2に加えて,自由度が２の振動の寄与がＣ_vib＝0.43Ｒ×2＝0.86Ｒと算定されるという結論を得ています。

水蒸気Ｈ₂Ｏ,の場合にも,自由度が２の振動の寄与がＣ_vib＝0.25Ｒ×2＝0.5Ｒ程度であるとすれば,Ｃ_v＝３Ｒ, Ｃ_ｐ＝４Ｒとなって,比熱比γ≡Ｃ_ｐ/Ｃ_v＝４Ｒ/(３Ｒ)～ 1.33なる実験値に矛盾しません。

問題は摂氏100度の水蒸気についての実測の定圧比熱がＣ_ｐ＝2.051Ｊ/(gＫ)＝0.50cal/(gＫ)となっていることで水１モルの質量が18ｇであることを考慮するとＣ_p～ 4.5Ｒ＝(9/2)ＲでＣ_p＝４Ｒよりも大きく,これからマイヤーの規則で計算すると,定積モル比熱はＣ_v～ 3.5Ｒ＝(7/2)Ｒとなってγ＝Ｃ_ｐ/Ｃ_v～ 1.28となり実測のγ＝1.33と合わないということでした。

しかし,確実に比熱にＲ/2の寄与をする回転の自由度ではなく,振動の自由度の寄与ということであれば振動数次第で寄与を微調整することが可能です。

上記では水蒸気については振動の１自由度当たり0.25Ｒであるとしましたが,例えばこれを0.35Ｒくらいであると同定すればＣ_p～ 4.2Ｒ,Ｃ_v～ 3.2Ｒ,γ＝Ｃ_ｐ/Ｃ_v～ 4.2/3.2程度になるし,水１モルの質量も現実には確実に18ｇというわけではなく17.5ｇ程度なら,実測値と考えている理科年表のＣ_ｐ＝2.051Ｊ/(gＫ)＝0.50cal/(gＫ)とさほど矛盾しないようです。　

http://folomy.jp/heart/「folomy 物理フォーラム」サブマネージャーです。

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束縛状態とベーテ・サルピーター方程式(4）

　ベーテ・サルピーター方程式(Ｂ-Ｓ.eq.)の続きです。

　§4.小群の体調和関数(Solid harmonics of little grouｐs)

　まず,ｓ＝Ｐ²＝(Ｐ⁰)²－Ｐ²なので,ｓ＞0 ならＰ＝0 となる静止系が常に存在します。一方,このＰ＝0 の座標系を選択した場合には,ｓ＝0 はＰ^μ≡0 を意味します。

　最初にこの方程式が提案されてから10年以上もの間,Ｂ-Ｓ.eq.は常にこの静止系で考察されていました。

　しかし,Ｐ^μが光的な場合:ｓ＝Ｐ²＝Ｐ_μＰ^μ＝(Ｐ⁰)²－Ｐ²＝0 の場合をも統一的な考察の中に含めるためには,一般のローレンツ(Lorentz)系を想定した系統的なやり方で扱う方がより望ましいと思われます。

　こうした目的のために,Nakanishi(中西;1965)は小群(little group)の体調和関数の概念を導入しました。

ｎ重に縮退した束縛状態のＢ-Ｓ振幅はφ_Br(ｘ_a,ｘ_b;Ｐ_B)＝＜0|Ｔ[φ_a(ｘ_a)φ_b(ｘ_b)]|Ｂ,ｒ＞;(ｒ＝1,2,...,ｎ)で与えられますが,これはポアンカレ群,すなわち,非斉次ローレンツ群の有限次元表現の表現空間を形成します。

ポアンカレ群の表現の具体的構造については,ウィグナー(Wigner)の古典的論文で完全に調べ尽くされています。そのうち,平行移動群はアーベル群なので,１次元表現:exp(－iＰ_Bｘ)を持ちます。

ポアンカレ群のある種の特別な表現においては,如何なるローレンツ変換もこの表現を変えません。

ローレンツ変換の部分集合としてＬ(Ｐ)≡{Λ∈Ｌ|ΛＰ＝Ｐ}なるローレンツ群の部分群を定義します。Ｌは空間反転,時間反転も含む斉次ローレンツ群であり,Ｌ(Ｐ)はいわゆるＰに属する小群と呼ばれるものです。

　以前に述べたように,Ｂ-Ｓ振幅のφ_Br(ｘ_a,ｘ_b;Ｐ_B)≡(2π)^-3/2exp(－iＰ_BＸ)φ_Br(ｘ,Ｐ_B),φ_Br^(ｘ_a,ｘ_b;Ｐ_B)≡(2π)^-3/2exp(iＰ_BＸ)φ_Br^(ｘ,Ｐ_B)なる表現によれば,φ_Br(ｘ,Ｐ_B),それ故,φ_Br(ｐ,Ｐ_B)はΛＰ_B＝Ｐ_Bを満足するＬ(Ｐ_B)の元Λに対してのみ相互変換されます。

　つまり,{φ_Br(ｐ,Ｐ_B)}_r=1ⁿがＬ(Ｐ_B)の表現空間の基底であることを意味します。

※(訳注):Λ∈Ｌ(Ｐ_B)に対して,φ_Br(ｐ,Ｐ_B)はφ_Br(ｐ,Ｐ_B)→ φ_Br(Λｐ,Ｐ_B)＝Σ_r=1ⁿｃ_rφ_Br(ｐ,Ｐ_B)に線型変換されて,{φ_Br(ｐ,Ｐ_B)}_r=1ⁿはＬ(Ｐ_B)に対して不変な部分空間(表現空間)を形成する基底になっています。※

Ｌ(Ｐ)≡{Λ∈Ｌ|ΛＰ＝Ｐ}の構造は次のＰ依存性を持ちます。

[1]Ｐ^μが時間的(time-like)ならＬ(Ｐ)～Ｏ(3)です。(※(訳注):Ｐ^μ≡(ｍ,0)(ｍ≠0)と取ればＬ(Ｐ)は通常の３次元空間の回転群です。※)

[2]Ｐ^μが空間的(space-like)ならＬ(Ｐ)～Ｏ(2,1)です。

[3]Ｐ^μ≡0 ならＬ(Ｐ)～Ｏ(3,1)です。

[4]Ｐ^μが光的(light-like)ならＬ(Ｐ)～Ｅ(2)です。

(※(訳注):光のようにｍ＝0 なら,Ｐ^μ≡(ｍ,0)(ｍ≠0)と取ることはできず,例えばＰ^μ≡(1,0,0,1)と取れますが,これからＬ(Ｐ)は自由度が２の空間回転の群であるＥ(2)になることがわかります。※)

ただし,Ｏ(ｍ,1)は(ｘ¹,ｘ²,...,ｘ^m+1)の２次形式Σ_j=1^m{(ｘ^j)²－(ｘ^m+1)²}を不変に保つ実線型変換の全体を示し,Ｅ(2)は２次元の全ての平行移動と(鏡映を含む)回転から成る２次元ユークリッド群です。

通常の球関数の定義を一般化することにより,次のようにして小群Ｌ(Ｐ)の体調和関数:Ｘ_l(ｐ)を定義します。

体調和関数Ｘ_l(ｐ)は(∂/∂ｐ)²Ｘ_l(ｐ)＝0,およびＰ^μ(∂/∂ｐ^μ)Ｘ_l(ｐ)＝0 を同時に満足するｐ⁰,ｐ¹,ｐ²,ｐ³のｌ次の同次多項式とします。固定されたｌに対してＸ_l(ｐ)の全体はＬ(Ｐ)の有限次元既約表現の空間を張ることが容易にわかります。

Ｐ^μは反変ベクトルで,∂/∂ｐ^μは共変ベクトルです。

もちろん,Ｐ^μ∂/∂ｐ^μ≡Ｐ⁰∂/∂ｐ⁰＋Ｐ¹∂/∂ｐ¹＋Ｐ²∂/∂ｐ²＋Ｐ³∂/∂ｐ³ですが,Ｘ_l(ｐ)がｐ^μのｌ次の同次式であり,対称性からｐ^μ(∂/∂ｐ^μ)Ｘ_l(ｐ)＝ｌＸ_l(ｐ)なる不変な等式を満たします。

まず,特殊なローレンツ系で,Ｘ_l(ｐ)の標準形を求めます。

[1]ｓ＞0 の場合:Ｐ^μ≡(√ｓ,0)とします。このとき,Ｐ^μ(∂/∂ｐ^μ)Ｘ_l(ｐ)＝0 は√ｓ(∂/∂ｐ⁰)Ｘ_l(ｐ)＝0 となるので,Ｘ_l(ｐ)はｐ⁰に依存しないことがわかります。

　そこで,(∂/∂ｐ)²Ｘ_l(ｐ)＝0 はラプラス方程式:∇_p²Ｘ_l(ｐ)＝0 になります。故にＸ_l(ｐ)の定義は通常の球関数Ｙ_lm(ｐ)に一致します。このＹ_lm(ｐ)は符号を除いて|ｐ|^lＹ_lm(θ,φ)と同定される関数です。

　ここに,|ｐ|,θ,φはｐの極座標です。Ｙ_lm(θ,φ)は通常の球面調和関数(球関数)ですね。

　Ｙ_lm(ｐ)をゲーゲンバウアー(Gegenbauer)多項式:Ｃ_k^α(ｚ)によって表現するのは便利です。

　すなわち,Ｙ_lm(ｐ)＝[(2ｌ＋1)(ｌ－|ｍ|)!/{(4π)(ｌ＋|ｍ|)!}]^1/2(2|ｍ|－1)!!(ｐ¹±iｐ²)^|m||ｐ|^l-mＣ_l-|m|^|m|+1/2(ｐ³/|ｐ|) (ｍ＝－ｌ,－ｌ＋1,...,ｌ)です。

　ただし,±はｍ/|ｍ|を意味し(2ｋ－1)!!はΠ_j=1^k(2ｊ－1)によって定義されます。規格化因子はゲーゲンバウアー多項式の直交性:∫_-1¹ｄｚ(1－ｚ²)^α-1/2Ｃ_k^α(ｚ)Ｃ_k'^α(ｚ)＝πΓ(2α＋ｋ)δ_kk'/{2^2α-1ｋ!(α＋ｋ)Γ(α)²}から計算されます。

[2]ｓ＜0の場合:Ｐ^μ≡(0,0,0,√－ｓ)とします。このとき,Ｐ^μ(∂/∂ｐ^μ)Ｘ_l(ｐ)＝0 は√－ｓ(∂/∂ｐ³)Ｘ_l(ｐ)＝0 ですからＸ_l(ｐ)はｐ³に依存しないことがわかります。

　そこで,ここでのＸ_l(ｐ)は[1]でのｐ⁰をｐ³に置き換えたもので与えられます。

それ故,この場合の標準体調和関数はＹ^_lm(ｐ¹,ｐ²,ｐ⁰)≡Ｙ_lm(ｐ¹,ｐ²,－iｐ⁰)で定義されます。

[3]Ｐ^μ≡0の場合:この場合,条件Ｐ^μ(∂/∂ｐ^μ)Ｘ_l(ｐ)＝0 は恒等的に成立するので意味がありません。

　そこで,ダランベール(d'Alembert)方程式(∂/∂ｐ)²Ｘ_l(ｐ)＝□_pＸ_l(ｐ)＝0 の解を意味する,いわゆるローレンツの体調和関数を指定するにはＬ,ｌ,ｍの３つの量子数が必要となります。

　何故なら,この場合は明らかに小群Ｌ(Ｐ)が全体のローレンツ群Ｌに等しいからです。

　そうして,標準的なローレンツの体調和関数というものをＺ_Llm(ｐ⁰,ｐ)(ｌ＝0,1,2,...,Ｌ;ｍ＝－ｌ,－ｌ＋1,...,ｌ)なる表記で表わすことにすれば,これはＺ_Llm(ｐ⁰,ｐ)≡Ｈ_Llm(－iｐ⁰,ｐ);Ｈ_Llm(ｐ⁴,ｐ)≡|ｐ^|^LＨ_Llm(α,θ,φ)なる表式によって定義されます。

　ただし,|ｐ^|²＝(ｐ⁴)²＋ｐ²,cosα＝ｐ⁴/|ｐ^|(ｐ⁴が実なら 0≦α＜π)です。そして,Ｈ_Llm(α,θ,φ)は４次元の球関数です。

具体的には,Ｈ_Llm(α,θ,φ)≡Ａ_Llsin^lαＣ_L-l^l+1(cosα)Ｙ_lm(θ,φ)と表わされます。ここでの規格化定数:Ａ_Llは∫ｄΩ₄|Ｈ_Llm(α,θ,φ)|²＝1なる要請によって決まります。

ただし,ｄΩ₄は４次元立体角要素です。

すなわち,上の要請と既に上で記述したゲーゲンバウアー多項式の直交性:∫_-1¹ｄｚ(1－ｚ²)^α-1/2Ｃ_k^α(ｚ)Ｃ_k'^α(ｚ)＝πΓ(2α＋ｋ)δ_kk'/{2^2α-1ｋ!(α＋ｋ)Γ(α)²}から,|Ａ_Ll|²＝2^2l+1(Ｌ＋1)(Ｌ－ｌ)!(ｌ!)²/{π(Ｌ＋ｌ＋1)!}なる表式を得ます。

もちろん,完全系をなすローレンツ体調和関数としては,他の選択もあります。例えば次の選択は後のケース[4]と関連して便利な表現です。

すなわち,Ｚ^_LMm(ｐ)≡Ａ^_LMM^(ｐ¹±iｐ²)^|m|(ｐ³－ｐ⁰)^M(ｐ³＋ｐ⁰)^{M^}Ｆ(－Ｍ,－Ｍ^,－Ｌ;ｐ²/{(ｐ⁰)－(ｐ³)²})(|ｍ|＋Ｍ＋Ｍ^＝Ｌ,Ｍ≧0,Ｍ^≧0)と定義すれば,右辺の超幾何関数のベキ級数展開はmin(Ｍ,Ｍ^)＋1個の項しか持たないことがわかります。

これの規格化定数Ａ^_LMM^は∫ｄΩ₄|Ｈ_Llm(α,θ,φ)|²＝1に似た要請から決まります。|Ａ^_LMM^|²＝Ｌ!(Ｌ＋1)!/{2π²Ｍ!Ｍ^!(Ｌ－Ｍ)!(Ｌ－Ｍ^)!}です。

[4]ｓ＝0 ,かつＰ^μ≠0 の場合:Ｐ^μ≡(Ｐ⁰,0,0,Ｐ⁰)(Ｐ⁰≠0)と選びます。このとき,Ｐ^μ(∂/∂ｐ^μ)Ｘ_l(ｐ)＝0 は(∂/∂ｐ⁰＋∂/∂ｐ³)Ｘ_l(ｐ)＝0 を意味します。そこで,(∂/∂ｐ)²Ｘ_l(ｐ)＝0 は{(∂/∂ｐ¹)²＋(∂/∂ｐ²)}Ｘ_l(ｐ)＝0 となります。

　そこで,今の場合はχ_lm(ｐ)(|ｍ|≦ｌ)で記述される標準の体調和関数はχ_lm(ｐ)＝ａ_lm(ｐ¹±iｐ²)^|ｍ|(ｐ³－ｐ⁰)^l-|ｍ|なる形で与えられます。

　これは,先の[3]での体調和関数の表現:Ｚ^_LMm(ｐ)≡Ａ^_LMM^(ｐ¹±iｐ²)^|m|(ｐ³－ｐ⁰)^M(ｐ³＋ｐ⁰)^{M^}Ｆ(－Ｍ,－Ｍ^,－Ｌ;ｐ²/{(ｐ⁰)－(ｐ³)²})(|ｍ|＋Ｍ＋Ｍ^＝Ｌ,Ｍ≧0,Ｍ^≧0)において,Ｍ^＝0,ａ_lm≡Ａ^_L,l-|m|,0と置いた式に一致します。

　χ_lm(ｐ)＝ａ_lm(ｐ¹±iｐ²)^|ｍ|(ｐ³－ｐ⁰)^l-|ｍ|において(ｐ³－ｐ⁰)の因子が不変量によってｐ³－ｐ⁰＝(－ｖ＋ｗ)/(2Ｐ⁰)と表現できることは注目に値します。

※(訳注):何故なら,ｖ≡(η_aＰ＋ｐ)²,ｗ≡(η_bＰ－ｐ)²,かつｓ＝Ｐ²＝0;Ｐ^μ≡(Ｐ⁰,0,0,Ｐ⁰)ですから,－ｖ＋ｗ＝－2ｐＰ＋(η_b²－η_a²)Ｐ²＝－2ｐＰ＝2Ｐ⁰(ｐ³－ｐ⁰)となるからです。※

　以上,ある特殊準拠系での小群の体調和関数を論じました。しかし,種々のケースの相互関係を考えたいときには,特殊座標系で論じるのは得策ではありません。そこで,以下では体調和関数が任意のローレンツ系ではどうなるか?を調べてみます。

　まず,ｓ＞0 の場合のＰ^(0)μ≡(√ｓ,0)に対し,これと同じｓを持つＰ^μ,つまりＰ²＝ｓ＞0 となる任意の４元ベクトルＰ^μを考えます。このとき,あるローレンツ変換Λ∈Ｌが存在してＰ＝ΛＰ⁽⁰⁾と書けます。このΛとｐに対してｑ≡Λ^-1ｐと定義します。

このとき,Ｌ(Ｐ)の体調和関数はＹ_lm(ｐ,Ｐ)＝Ｙ_lm(ｑ)で与えられることがわかります。

すなわち,Ｙ_lm(ｐ,Ｐ)＝Ｙ_lm(ｑ)＝Ｙ_lm(ｑ,Ｐ⁽⁰⁾)ですがＹ_lm(ｑ,Ｐ⁽⁰⁾)はＬ(Ｐ⁽⁰⁾)の体調和関数ですからｑ⁰,ｑ¹,ｑ²,ｑ³のｌ次の同次多項式です。

そしてｑ≡Λ^-1ｐ,つまりｑ^μ＝(Λ^-1)^μ_νｐ^νなのでこれはｐ⁰,ｐ¹,ｐ²,ｐ³のｌ次の同次多項式であることと同値です。

そして,Ｐ＝ΛＰ⁽⁰⁾,ｐ＝Λｑにより,(∂/∂ｐ)²Ｙ_lm(ｐ,Ｐ)＝(∂/∂ｑ)²Ｙ_lm(ｑ,Ｐ