水蒸気の比熱
約1年前に2008年1/6の記事で「氷,水,水蒸気の比熱」という記事を書き,それを動機として化学結合関連のシリーズ記事に入り,結局,目的としていた水素結合に到達する前に興味がよそに移ってそのままになりました。
しかし,最近私がサブマネージャーをしているfolomyの「物理フォーラム」で水分子の基準振動のモードについて質問があったのを機に,
「そうか。。重心運動と回転運動の自由度だけでなく振動の自由度に量子統計の効果を組み合わせれば,少なくとも水蒸気の比熱についてだけは,説明可能ではなかろうか。。」と思ったので,まずは過去記事の主要部分を再掲して,次にこれを説明したいと思います。
以下,まず2008年1/6の記事「氷,水,水蒸気の比熱」の再掲です。
※(再掲記事1)
気体としてのH2O,すなわち水蒸気なら理論的には常温での3原子分子の自由度は6です。
古典統計物理学におけるエネルギー等分配の法則,すなわち,"絶対温度Tにおいて1自由度当りの内部エネルギーはkBT/2 である。"という法則によれば,水蒸気の定積モル比熱はCv,mol=(1/2)R×6=3Rとなるはずです。
kB≡R/N0はボルツマン定数~ 1.38×10-23JK-1)で,Rは気体定数~ 8.31Jmol-1K-1),N0はアボガドロ数r~ 6.022×1023mol-1)です。
そして,マイヤーの法則(Mayer's relation)によると,定圧モル比熱はCp,mol=Cv,mol+R=4Rと書けるので,比熱比はγ≡Cp/Cv=4R/(3R)~1.33となるはずです。
1モルのH2Oの質量は18gです。
そこで,質量1g当りの熱容量に換算するとCv~8.31×3J/(molK)=1.385J/(gK)=0.33cal/(gK),Cp~ 8.31×4J/(molK)=1.846J/(gK)=0.44cal/(gK)となるはずです。
しかし,理科年表によると,摂氏100度の水蒸気について,定圧比熱がCp=2.051J/(gK)=0.50cal/(gK)で,比熱比がγ≡Cp/Cv=1.33となっていました。
これらの実測値は,比熱比γについては理論と一致していますが,定圧モル比熱については実測はCp,mol~4.5R=(9/2)Rとなっています。
これは,今私が計算した理論値のCp,mol=4Rよりも大きく,実測のCp,molからマイヤーの規則で計算すると,定積モル比熱はCv,mol~3.5R=(7/2)Rとなりますから,これからはγ≡Cp/Cv~1.28となって実測のγ=1.33と矛盾します。
まあ,水蒸気は理想気体でないのは明らかですから,何らかの理由があるのでしょう。
一方,液体の水の比熱は定義によると1gの水を摂氏14.5度から15.5度まで1度上昇させるに要する熱量が1calです。
常温での水の比熱はC水=1cal/(gK)=4.19J/(gK)です。
また,氷の比熱は実験によると,C氷=0.50cal/(gK)=2.085J/(gK)となっています。つまり,C水,mol~9R,C氷,mol~4.5R=(9/2)Rですね。
もしも氷が固体金属と同じような格子結晶であるなら,デュロン・プティの法則(Dulong-Petit's law)によってC氷,mol=3RなのでC氷=0.33cal/(gK)になるはずですが,実際にはそうなっていません。
(固体金属の場合は電子の自由度は常温では無視できて,格子位置の陽イオンの格子振動,つまり自由度が2の調和振動子の3方向の自由度6の寄与のみにより,常温でのモル比熱がほぼC金属=3Rで与えられるということが理論的にも実験的にも認められています。(デュロン・プティの法則))
このことから,古典的には水の自由度は18,氷の自由度は9と考えられ,液体の水の場合はH2O分子を構成する3つの原子の個々がそれぞれ自由度6,固体の氷の場合はそれぞれ自由度3を担わなければならないという勘定になります。
一般に,1つの粒子が単なる質点なら自由度は高々3です。一方,質点ではなく大きさがあって重心運動の他に回転の自由度がある剛体とか,3次元の調和振動子のように内部振動をするような構造を持つなら丁度6の自由度を持ちます。
H2Oを構成する3原子の各々が互いに全く束縛されることがない自由粒子であり,しかも構造を持たない質点である場合なら,個々の自由原子の持つ自由度が3なので合計でH2O分子の自由度は9になります。
また,H2Oを構成するそれぞれの原子が自由粒子でかつ内部構造(大きさ)を持ち,例えば回転自由度3を追加された剛体であれば,H2O分子の自由度は18になります。
さらに振動の自由度を加えれば独立な1方向当たり2ずつ自由度が増えます。つまり,原子をさらに核と電子に分けるなど内部の詳細構造を追及していけば,まだまだ比熱に寄与しそうな自由度を増やすことが可能であるという勘定にはなります。
そこで液体の水についても,これをH2Oを構成する3つの原子の各々がそれぞれ調和振動子であるとか,またはH2Oの重心運動と全体としての回転運動はあっても振動はできない剛体のようなものと見なせるような奇妙な構造の模型を仮定すれば説明できるかな?という程度の認識に到ります。
結局は,水素結合などの特別な化学結合が関係していると思われるので,こうした問題意識を動機として,次回からは化学結合関連についての知見について復習し,その内容の詳細については事実上初めての真面目な勉強をしてみます。
本日は単に化学結合についての記事を書く動機のみを書きました。
水分子の結合や,その相転移などの説明については,水素結合などを理解した後,できたらまたの機会に詳述したい,と考えています。
参考文献:「理科年表1997年版」(丸善出版) (※再掲記事終わり)
ところが,かつて2006年7/16の記事「二酸化炭素の比熱比(物性)」においてCO2分子というのは3原子が一直線に並んでいるため回転の自由度が3ではなく2であるという結論を得ています。
したがって,H2Oの場合も水素結合にしろ共有結合にしろ,気体の状態であっても分子として安定な平衡状態ではH-O-Hは一直線ではありませんがHとO,HとHのなす角度は決まっているので,上記記事で水蒸気の気体分子としての回転の自由度を3と考えたのは誤りで,CO2と同じくH2Oの場合も回転の自由度は2であろうと考えました。
以下,続きを論じるために,上記2006年7/16の記事「二酸化炭素の比熱比(物性)」を再掲します。
※(再掲記事2)
今日は,理想気体の断熱過程での気体法則であるポアソン(Poisson)の公式PVγ=一定,または TVγ-1=一定で使用される比熱比 γ= Cp/Cvの値について,考察します。
統計力学によれば,比熱比は対象とする気体1分子を構成する原子の個数,つまり気体分子が単原子分子,2原子分子,3原子分子etcのいずれであるかによって決まります。
ここで, Cv は定積比熱,Cpは定圧比熱です。
(理想)気体に対する定積比熱,と定圧比熱の間にはマイヤー(Mayer)の法則というルールがあり,nモルの気体に対してはCp=Cv+nR (1モルなら Cp=Cv+R )が成り立ちます。
ただし,Rは気体定数と呼ばれる定数で,R≒8.31J/(mol・K)です。
そして,気体の定積比熱 Cvは絶対温度をT,内部エネルギーをUとすると Cv=dU/dTで与えられます。
理想気体ではUは温度だけの関数なので,T=0 での零点エネルギーを無視すると,気体の内部エネルギーはU =CvT と書けます。
古典統計力学によると,物体の常温での内部エネルギーUは,1粒子の運動する自由度1つごとに kBT/2 だけの値を割り当てられます。ここで kB はボルツマン定数と呼ばれる気体分子1個当たりの気体定数です。
kBは気体1分子当たりの気体定数ですから,R=N0kB,またはN0=R/kBとすると気体1モルというのはN0個の分子の集合体を意味することがわかります。N0はアボガドロ数と呼ばれる物理定数で6.02×1023 なる値です。
nモルの気体を構成する分子数はnN0個ですから,それの1自由度あたりの内部エネルギーはnN0kBT/2=nRT/2 です。
以上の事実はエネルギー等分配の法則といわれますす。
単原子分子気体では分子1個の自由度は並進運動の自由度3だけなのでnモルの気体の内部エネルギーはU=3nRT/2 です。そこでCv=3nR/2, Cp=Cv+nR =5nR/2です。
また,2原子分子気体は回転の自由度2 が加わるので,分子1個の自由度は並進運動(重心運動)の自由度3と合わせて5となります。そこでnモルの気体の内部エネルギーはU=5nRT/2となります。Cv=5nR/2, Cp=7nR/2です。
3原子分子以上では重心の周りの回転の自由度が最大の3になるため,これを並進運動(重心運動)の自由度3と合わせると分子1個の自由度は6となりますから,nモルの内部エネルギーはU=3nRT で,Cv=3nR, Cp=4nRとなります。
そこで,比熱比γ=Cp/Cvは単原子分子気体なら1.67で2原子分子気体なら 1.4,そして3原子分子以上なら特別な対称性がない限り1.33になるはずです。
そこで本当にそうなっているのかどうかを理科年表で確かめてみると,He 1.66, Ar 1.67, H2 1.40, N2 1.40, H2O 1.31, NH3 1.33 とありました。
これを見ると,必ずしも近似的に理想気体と見なせる希薄気体ではないような実在気体でも,かなり良く適合値を示しているようです。
ここで,ニフティ「物理フォーラム」でのある方からの質問を呈示してみます。
"3原子分子であっても,二酸化炭素 CO2が典型例であるように,一直線に並ぶ3原子分子の場合にはどうなるのだろうか?もし厳密に一直線ならば回転の自由度は2なので2原子分子と同じγ,つまり 1.4になるはずですが,理科年表によると二酸化炭素 CO2のγは1.30でしたから,これは普通の3原子分子に近い値です。"
上記が質問の内容です。
そこで,これに対する答えを見出すために,これまで考えてきた並進や回転の自由度だけではなく,振動の自由度も考慮するとどうなるかを考えてみます。
重心の並進運動や回転の運動とは異なり,振動の自由度なら1方向の調和振動に対しては,位置エネルギーと運動エネルギーの2つの自由度があるので,1方向についての平均エネルギーは 1分子当たりkBTになります。
たとえば静止した固体は3方向に熱振動しているので,常温では1モルにつき,比熱は気体定数をRとして固体の種類によらず3Rとなります。(デュロン・プティ(Dulog-Petit)の法則)
つまり,1次元調和振動子のエネルギーは E=p2/(2m)+(1/2)kx2であり,"マクスウェル・ボルツマン分布=古典確率分布"によれば,振動子の座標が(x,p)である確率密度はギブス因子exp{-E/(kBT)}に比例します。
そこで,エネルギー Eを表わす式の中の1つの変数の2乗を与える変数自由度について,それぞれ平均をとると kBT/2 となりますが, E=p2/(2m)+(1/2)kx2の右辺にはp2と x2 の2つの2乗項があるので振動のエネルギーを考えた場合には,平均エネルギーへの寄与は 1分子当たり一つの方向(1次元)について kBTとなります。
これに対して,重心の自由な並進運動とか,回転運動では位置エネルギーの項はなくて運動エネルギーの項しかない,つまり p2の項しかないので,平均エネルギーへの寄与は1分子当たり1次元について kBT/2 となるのですね。
とにかく,古典統計力学ではax2 exp {- ax2/(kBT)} なる式をx で積分したものを,exp{-ax2/(kBT)}をx で積分したもので割ると,必ずkBT/2 になるということを直接計算で確かめることができます。
これは自由度が1つでもあればそうで,係数aの大きさには無関係です。
ところで常温での固体では,格子を構成する原子のイオンの熱振動がメインになる(電子振動は無視される)のに対して,気体では、原子の重心運動と回転運動のみがメインとなり,熱振動の自由度や電子の運動の自由度が何故無視されるのかという問題があります。
これは量子論ではエネルギーが量子化され,統計分布がプランク(Planck)定数hに関係した量子確率分布で与えられるためです。
こうしたことの理由を簡単に言うなら,物質内部のエネルギーを E としその構成粒子の主要な振動数をνとすると,Eは量子論では大体においてhνの倍数で与えられ,量子統計分布では,先のギブス因子exp{(-E/(kBT)}がexp{-nhν/(kBT)}という形で現われるからです。
常温のTでは固体の電子の振動や気体での原子振動の振動数や電子の自由度に関わる周期運動の振動数νに対しては,一般にhν>>kBTが成立するので,exp{-nhν/(kBT)} ~ 0 となるためこれらは内部エネルギーにはほとんど寄与しないのです。
ところが,問題の二酸化炭素:CO2について「甘泉法師さん」から得た情報によると,"二酸化炭素分子の振動データは,次の振動モードのそれぞれについて,全対称伸縮は実測=1333/cm,計算=1373/cm(12CO2),逆対称伸縮は実測=2349/cm,計算=2420/cm(12CO2),変角振動は 実測=667/cm,計算=669/cm(12CO2)となっているそうです。
一番エネルギーの小さい変角振動について温度に換算すると赤外線温度 1.4387752・667 = 953Kで常温(300K)の約3倍"なので振動を無視できないそうです。
実際,変角の振動モードに対して,例えば摂氏(Celsius)16度:T=289Kで x = E/(kBT)=3.32を用いて量子論でのモル比熱を求める式(固体のアインシュタインモデルと同じ式)であるCvib=R x2 exp ( x2 )/[exp ( x2 )-1]2 に代入すると,Cvib=0.43Rとなります。
変角振動は横波なので縦振動を除いて自由度が2 であるため結局Cvib=0.43R ×2=0.86Rであり,比熱比はγ=1+ R/ (5/2R+Cvib)=1.30となって,めでたく理科年表の値と一致します。
ただし,こうして正しい値が得られたのは,振動を除く自由度としては原子が1直線状であることを考慮して2原子分子と同様,定積モル比熱がCv=5/2Rの場合に対応する自由度を想定して計算した結果ですから,やはりCO2では回転の自由度は2である,と考えるのが正解のようです。(※再掲終わり)
私は,元々ニフテイ「物理フォーラム」でサブマネージャーをしていたのですが@niftyには,もはやこうしたフォーラム制度がなく過去ログも含めて今は「folomy」に移っています。
上記記事では,普通は常温の気体の場合には振動の自由度は無視されるのですが,二酸化炭素の変角振動のモードは比熱への有意な効果を与えるため気体のCO2の定積モル比熱Cvの(重心+回転)による自由度5の寄与Cv0=5R/2に加えて,自由度が2の振動の寄与がCvib=0.43R×2=0.86Rと算定されるという結論を得ています。
水蒸気H2O,の場合にも,自由度が2の振動の寄与がCvib=0.25R×2=0.5R程度であるとすれば,Cv=3R, Cp=4Rとなって,比熱比γ≡Cp/Cv=4R/(3R)~ 1.33なる実験値に矛盾しません。
問題は摂氏100度の水蒸気についての実測の定圧比熱がCp=2.051J/(gK)=0.50cal/(gK)となっていることで水1モルの質量が18gであることを考慮するとCp~ 4.5R=(9/2)RでCp=4Rよりも大きく,これからマイヤーの規則で計算すると,定積モル比熱はCv~ 3.5R=(7/2)Rとなってγ=Cp/Cv~ 1.28となり実測のγ=1.33と合わないということでした。
しかし,確実に比熱にR/2の寄与をする回転の自由度ではなく,振動の自由度の寄与ということであれば振動数次第で寄与を微調整することが可能です。
上記では水蒸気については振動の1自由度当たり0.25Rであるとしましたが,例えばこれを0.35Rくらいであると同定すればCp~ 4.2R,Cv~ 3.2R,γ=Cp/Cv~ 4.2/3.2程度になるし,水1モルの質量も現実には確実に18gというわけではなく17.5g程度なら,実測値と考えている理科年表のCp=2.051J/(gK)=0.50cal/(gK)とさほど矛盾しないようです。
http://folomy.jp/heart/「folomy 物理フォーラム」サブマネージャーです。
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コメント
H2O は H-H 方向の自由度が 2 で、そのまわりに O が出っぱった方向の自由度が 1 だから、回転の自由度は 3 です。
投稿: hirota | 2009年2月17日 (火) 18時10分
玲は私の本名です。
名前の最後の字が玲です。毎年必ず一回は中国には帰りますが、私は東北の方だから、冬は寒いから帰るとしたら、いつも夏か、秋に帰ります。
でも、れなて付けたのは昔からもしも、日本名を付けるならこれにしたかったです。
投稿: れい | 2009年2月12日 (木) 11時28分
TOSHIです。
中国でも正月は里帰りするんだろうけどさすがに日本からじゃお金もかかるし帰らなかったのでしょうね。
ところで玲娜というのが本名だとしたらもちろん中国語読みだと全然発音違うんだろうけど日本語読みでは「れな」だろうから「れい」というのは玲だけなので,ニックネームを変えたのかな?それとも単なる書き間違い?
元気が何よりです。
英語の方が日本語より文の並び方が中国語に近いから簡単かもね。
TOSHI
投稿: TOSHI | 2009年2月10日 (火) 18時23分
今年は意外に旧正月が早いですが、1/25日だったんです。

私は相変わらず元気です、毎日仕事で忙しいですが、とても充実です。
今は毎週英会話の授業も通ってます。
投稿: れい | 2009年2月10日 (火) 10時31分
れなちゃん 久しぶりですね。。TOSHIです。
今年の旧正月はもう終わったのかな?大体毎年僕の誕生日(2月1日)前後ですね。
>相変わらず元気じゃない見たいですね
ブログ見ただけでよくわかりますね。まあ寒いとき暑いときは確かに元気じゃないですから洞察の通りです。
元気ですか? 幸せになってね。。
TOSHI
投稿: TOSHI | 2009年2月 9日 (月) 19時22分
お久しぶりですね、久々にトシ様のブログを見ましたが、相変わらず元気じゃない見たいですね。お大事にしてください。
投稿: れな | 2009年2月 9日 (月) 15時18分