分子と点群(2): TOSHIの宇宙

2009年2月26日 (木)

分子と点群(2)

　対称性変換群の表現論の続きです。

　(Ｄ,Ｕ)を群Ｇのユニタリな行列表現とすると,シューアの補題(Schur's lemmma)によれば,∀Ｒ^∈Ｇに対するＤ(Ｒ)と可換な線型変換Ｔがスカラーであること,つまり∀Ｒ^∈Ｇに対する表現行列Ｄ(Ｒ)と可換な行列Ｔが単位行列の定数倍に限られるということが,Ｄが既約表現であるための必要十分条件であるというところまで書きました。

ユニタリな行列表現(Ｄ,Ｕ)は完全可約であって,表現空間Ｕ,および∀Ｒ^∈Ｇに対する表現行列Ｄ(Ｒ)は既約表現の直和に分解されます。これをＵ＝Σ_αＵ^(α),Ｄ(Ｒ)＝Σ_αＤ^(α)(Ｒ)と書きます。ここではΣ_αは直和を意味する記号とします。

　これから,次の定理が導かれます。

[定理１]:群Ｇのユニタリな既約表現(Ｄ^(α),Ｕ^(α))の表現行列Ｄ^(α)(Ｒ)は次の直交関係:Σ_R∈GＤ^(α)_ij(Ｒ)^*Ｄ^(β)_kl(Ｒ)＝(ｇ/ｄ_α)δ_αβδ_ikδ_jlを満たす。

　ここで群Ｇは有限群であると仮定しており,ｇはその位数|Ｇ |です。また,ｄ_αは既約表現(Ｄ^(α),Ｕ^(α))の次元です。つまりＤ^(α)(Ｒ)はｄ_α次の正方行列です。

(証明)Ｂをｄ_α行ｄ_β列の任意の行列とし,同じｄ_α行ｄ_β列の行列ＴをＴ≡Σ_R∈GＤ^(α)(Ｒ^-1)ＢＤ^(β)(Ｒ)によって定義します。

　このとき,Ｒ₁^∈ＧについてＤ^(α)(Ｒ₁)Ｔ＝Σ_R∈GＤ^(α)(Ｒ₁Ｒ^-1)ＢＤ^(β)(Ｒ)＝Σ_R∈GＤ^(α)(Ｒ^-1)ＢＤ^(β)(ＲＲ₁)＝ＴＤ^(β)(Ｒ₁)となります。

　つまり,Ｄ^(α)(Ｒ₁)Ｔ＝ＴＤ^(β)(Ｒ₁)です。

　この等式はＲ₁^∈Ｇを特定して得られたわけではなく,したがって任意のＲ₁^∈Ｇに対して成立するので,シューアの補題により,α≠βの場合,すなわちＤ^(α)とＤ^(β)が同値でない(異値の)既約表現の場合には,Ｔ≡0 です。

　そして,Ｔ＝Σ_R∈GＤ^(α)(Ｒ^-1)ＢＤ^(β)(Ｒ)＝0 において,Ｂは任意なので成分表示Ｔ_jl＝Σ_m,nΣ_R∈GＤ^(α)_jm(Ｒ^-1)Ｂ_mnＤ^(β)_nl(Ｒ)＝0 において,特にＢ_mn＝δ_miδ_nkとしてこれを代入すればΣ_R∈GＤ^(α)_ji(Ｒ^-1)Ｄ^(β)_kl(Ｒ)＝0 を得ます。

　行列Ｄ^(α)(Ｒ)はユニタリなので,Ｄ^(α)_ji(Ｒ^-1)＝Ｄ^(α)_ji(Ｒ)^＋＝Ｄ^(α)_ij(Ｒ)^*ですが,これはΣ_R∈GＤ^(α)_ij(Ｒ)^*Ｄ^(β)_kl(Ｒ)＝0 を意味します。　

　一方,α＝βの場合には,同じくシューアの補題によりＴ＝Σ_R∈GＤ^(α)(Ｒ^-1)ＢＤ^(α)(Ｒ)＝λIです。

　成分表示Ｔ_jl＝Σ_m,nΣ_R∈GＤ^(α)_jm(Ｒ^-1)Ｂ_mnＤ^(α)_nl(Ｒ)＝λδ_jlにおいて,特にＢ_mn＝δ_miδ_nkを代入すれば,Σ_R∈GＤ^(α)_ij(Ｒ)^*Ｄ^(α)_kl(Ｒ)＝λδ_jlを得ます。

　ここで,ｊ＝ｌとして両辺をｊ＝1,2,..,ｄ_αについて加え合わせるとΣ_j=1^dαΣ_R∈GＤ^(α)_ji(Ｒ^-1)Ｄ^(α)_kj(Ｒ)＝Σ_R∈GＤ^(α)_ki(ＲＲ^-1)＝λｄ_αとなります。

　よって,λｄ_α＝ｇδ_ik,:λ＝(ｇ/ｄ_α)δ_ikなので,Σ_R∈GＤ^(α)_ij(Ｒ)^*Ｄ^(α)_kl(Ｒ)＝(ｇ/ｄ_α)δ_ikδ_jlです。(証明終わり)

※(註)実際には,Ｄ(Ｒ)＝Σ_αＤ^(α)(Ｒ)なる直和分割において,各々のＤ^(α)(Ｒ)が,全て互いに異値であるというわけではなく,α≠βの場合でもＤ^(α)(Ｒ)とＤ^(β)(Ｒ)が同値な場合もあります。

そして,Ｄ(Ｒ)＝Σ_αＤ^(α)(Ｒ)なる既約表現への直和分解においてＤ^(α)と同値な表現の個数がｍ_αなら,このｍ_αをＤ^(α)の重複度と呼ぶことにします。

これにより表現の直和分割を改めてＤ(Ｒ)＝Σ_αｍ_αＤ^(α)(Ｒ)と書けば,上の定理１の結論である直交性Σ_R∈GＤ^(α)_ij(Ｒ)^*Ｄ^(β)_kl(Ｒ)＝(ｇ/ｄ_α)δ_αβδ_ikδ_jlは,Σ_R∈GＤ^(α)_ij(Ｒ)^*Ｄ^(β)_kl(Ｒ)＝{ｇ/(ｍ_αｄ_α)}δ_αβδ_ikδ_jlに変更されます。

　さて,上の定理は群Ｇが回転群のうち角運動量ｌが定まった部分群のような有限群の場合の定理ですが,そうではなくＧが回転群の全体であるような連続群で,それ故無限群の場合には次のように変わります。

[定理２]:(Ｄ,Ｕ),(Ｄ',Ｕ')を連続群Ｇのそれぞれｍ次,ｎ次のユニタリ行列による既約表現とする。このとき,ＤとＤ'が同値なら∫_ＧＤ_ij(Ｒ)^*Ｄ'_kl(Ｒ)ｄＲ＝(1/ｍ)δ_ikδ_jl,一方ＤとＤ'が異値なら∫_ＧＤ_ij(Ｒ)^*Ｄ'_kl(Ｒ)ｄＲ＝0 が成立する。

(略証):Ｂをｍ行ｎ列の任意の行列とし,同じｍ行ｎ列の行列ＴをＴ≡∫_ＧＤ(Ｒ^-1)ＢＤ'(Ｒ)ｄＲによって定義します。

　以下,Ｇ上の連続関数ｆに対する積分の左不変性∫_Ｇｆ(Ｒ₁^-1Ｒ)ｄＲ＝∫_Ｇｆ(Ｒ)ｄＲを用いると,任意のＲ₁^∈Ｇに対して,Ｄ(Ｒ₁)Ｔ＝ＴＤ'(Ｒ₁)なる等式が成立するという結果が得られるので,シューアの補題,および∫_ＧｄＲ＝１から,[定理1]の証明とほぼ同じ手順で[定理２]の結論が得られます。(証明終わり)

　ただし,上記の定理の命題の意味を明確にするためには,Ｇ上の任意の連続関数ｆに対し,"任意のＲ₁^∈Ｇに対して∫_Ｇｆ(Ｒ₁^-1Ｒ)ｄＲ＝∫_Ｇｆ(Ｒ)ｄＲが成立する"という積分の左不変性を持ち,∫_ＧｄＲ＝1なる規格化条件を満たす左不変測度と呼ばれるＧ上の測度ｄＲを定義する必要があります。

　そして,こうした測度が定義できるためには位相群Ｇの位相空間としての空間体積が有限であることが必要です。

位相空間の空間体積とは何か?というような抽象的な話に入るのはなるべく避けて,連続群Ｇの例として３次元の合同変換群を挙げます。

この空間の座標パラメーターとして極座標(ｒ,θ,φ);ｒ²≡ｘ²＋ｙ²＋²ｚ²,ｘ＝ｒsinθcosφ,ｙ＝ｒsinθcosφ,ｚ＝ｒcosθを採用することができます。

３次元空間全体の体積は無限大なので平行移動群を含めた全体の合同変換群の体積は∞ なのですが,回転群だけならｒを除いた(θ,φ)だけで事足りるので,これだけなら,体積は∫sinθｄθｄφ＝4π程度です。(0≦θ＜2π,0≦φ＜π)

一方,例えばＧが３次元ポアンカレ群の部分群である３次元ローレンツ群Ｏ(2.1)であれば,極座標(ｒ,θ,φ)はｒ²≡ｃ²ｔ²－ｘ²－ｙ²,ｘ＝ｒsinhθcosφ,ｙ＝ｒsinhθcosφ,ｃｔ＝ｒcoshθです。

形は似ていますが,平行移動群のパラメータｒを除いたローレンツ群の体積は∫sinhθｄθｄφ＝∞ になります。

これは,パラメータ空間として,0≦φ＜πは同じですが,θについては回転群では 0≦θ＜2πなのに対し,ローレンツ群では双曲線関数の定義域なので－∞≦θ＜∞であるからです。

パラメータ空間の体積が有限な連続群をコンパクト群,そうでない群を非コンパクト群といいます。

物理学ではミンコフスキー(Minkowski)空間を解析接続してユークリッド空間とした方が計算しやすいので,時間変数を"複素数に拡張＝解析接続"して複素平面上の虚軸をπ/2だけウィック(Wick)回転する方法があります。

また,統計物理学では,絶対温度Ｔの逆数β≡1/(ｋ_BＴ)を量子力学での虚時間:iｔと同一視する手法が用いられます。

しかし,実際には回転群がコンパクト群であるのに対して,ローレンツ群は非コンパクト群であることに対応してミンコフスキー空間はコンパクト空間でないので,これらの手法の妥当性はみかけほど自明なことではなく,数学的な正しさにとってかなり微妙な手続きです。

さて,Ｇがコンパクト群の場合は全体積が有限なので,全体積で割ることによりｄＲを∫_ＧｄＲ＝1を満たすような体積要素とし,任意の連続関数ｆに対してＳ(ｆ)≡∫_Ｇｆ(Ｒ)ｄＲで定義した積分Ｓ(ｆ)が次の４つの基本的性質を満たすようなものが各ｆごとに唯１つ存在します。

積分Ｓ(ｆ)を群Ｇの上の不変積分といい,ｄＲを左不変ハール測度といいます。

そして,Ｓ(ｆ)が満たすべき基本的性質とは,

(ⅰ)Ｓは線型:∀ａ,ｂ∈Ｃと任意の連続関数ｆ,ｇに対してＳ(ａｆ＋ｂｇ)＝ａＳ(ｆ)＋ｂＳ(ｇ)である。

(ⅱ)∀Ｒ^∈Ｇに対しｆ(Ｒ)≧0 ならＳ(ｆ)≧0 である。

特に,∀Ｒ^∈Ｇに対しｆ(Ｒ)≧0 であるが恒等的にｆ(Ｒ)≡0 でないなら,Ｓ(ｆ)＞0 である。

(ⅲ)Ｓは左不変,つまりＲ₁^∈Ｇに対してＬ_R1ｆ(Ｒ)≡ｆ(Ｒ₁^-1Ｒ)とすれば,Ｓ(Ｌ_R1ｆ)＝Ｓ(ｆ)である。

(ⅳ)Ｓ(1)＝1 である。

の４つです。

今,Ｒ_R1ｆ(Ｒ)≡ｆ(ＲＲ₁)と定義しＳ~(ｆ)をＳ~(ｆ)≡Ｓ(Ｒ_R1ｆ)によって定義すれば,Ｓの左不変性からＳ~(Ｌ_R1ｆ)≡Ｓ(Ｒ_R1Ｌ_R1ｆ)＝Ｓ(Ｒ_R1ｆ)＝Ｓ~(ｆ)が成立するので,Ｓ~も左不変です。

証明はしていませんが,左不変な不変積分は一意的であることがわかっているので,Ｓ~＝Ｓです。

結局,∫_Ｇｆ(ＲＲ₁)ｄＲ＝∫_Ｇｆ(Ｒ)ｄＲが成立します。よって,左不変積分は右不変でもあります。

この不変測度による不変積分を用いて一般のコンパクト群Ｇ上の関数φ,ψについての"内積＝ユニタリ内積"を＜φ|ψ＞＝∫φ(Ｒ)^*ψ(Ｒ)ｄＲで定義します。

次に,重要な概念である群の表現の指標を定義します。

[定義１]:群Ｇの表現(Ｄ,Ｕ)に対して,χ_D(Ｒ)≡Ｔr{Ｄ(Ｒ)}(∀Ｒ^∈Ｇ)で定義されるＧ上の関数χ_Dをこの表現の指標という。

　すなわち,χ_D(Ｒ)＝Ｔr{Ｄ(Ｒ)}＝Σ_k=1^mＤ(Ｒ)_kkである。(ここでＴrはトレース(対角和)を意味する。ｍは表現Ｄの次数である)

　明らかに,χ_D(Ｉ)＝ｍ(表現の次元)です。

　そして,トレースの性質:Ｔr(Ａ＋Ｂ)＝Ｔr(Ａ)＋Ｔr(Ｂ),Ｔr(ＡＢ)＝Ｔr(ＢＡ)(Ｔr(ＡＢＡ^-1)＝Ｔr(Ｂ))によって,∀Ｒ₁^,Ｒ₂^∈Ｇについてχ_D(Ｒ₂Ｒ₁Ｒ₂^-1)＝χ_D(Ｒ₁),また,２つの表現(Ｄ,Ｕ),(Ｄ',Ｕ')に対し,これらが同値なら,detＴ≠0 なるＴが存在して∀Ｒ^∈ＧについてＤ'(Ｒ)＝ＴＤ(Ｒ)Ｔ^-1と書けるのでχ_D＝χ_D'です。

　また,２つの表現(Ｄ⁽¹⁾,Ｕ⁽¹⁾),(Ｄ⁽²⁾,Ｕ⁽²⁾)に対しＤ＝Ｄ⁽¹⁾＋Ｄ⁽²⁾(直和)ならχ_D＝χ_D1＋χ_D2が成立します。

[定理３]:(Ｄ,Ｕ),(Ｄ',Ｕ')をコンパクト群Ｇの２つの既約表現とするとき,ＤとＤ'が同値なら＜χ_D|χ_D'＞＝1,異値なら＜χ_D|χ_D'＞＝0 である。

(証明)コンパクト群Ｇの表現(Ｄ,Ｕ)では,積分が左右不変なので,ｕ₁,ｕ₂∈Ｕの内積＜ｕ₁|ｕ₂＞を＜ｕ₁|ｕ₂＞＝ｕ₁^＋ｕ₂から,＜ｕ₁|ｕ₂＞≡∫_Ｇ{Ｄ(Ｒ)ｕ₁}^＋{Ｄ(Ｒ)ｕ₂}ｄＲに定義し直すと,∀Ｒ₁^∈Ｇについて＜Ｄ(Ｒ₁)ｕ₁|Ｄ(Ｒ₁)ｕ₂＞＝＜ｕ₁|ｕ₂＞が成立するため,Ｄ(Ｒ₁)^＋＝Ｄ(Ｒ₁)^-1が成立するユニタリ表現と考えることができます。

そして,先の定理２の命題:"(Ｄ,Ｕ),(Ｄ',Ｕ')をＧのそれぞれｍ次,ｎ次のユニタリ行列による既約表現とするとき,ＤとＤ'が同値なら∫_ＧＤ_ij(Ｒ)^*Ｄ'_kl(Ｒ)ｄＲ＝(1/ｍ)δ_ikδ_jl,一方ＤとＤ'が異値なら∫_ＧＤ_ij(Ｒ)^*Ｄ’_kl(Ｒ)ｄＲ＝0 が成立する。"から定理の結論が成立することは明らかです。(証明終わり)

先に,定理１の証明のすぐ後で,

"群Ｇが位数;ｇ＝|Ｇ |の有限群の場合に,"Ｄ(Ｒ)＝Σ_αＤ^(α)(Ｒ)なる既約表現への直和分解においてＤ^(α)と同値な表現の個数がｍ_αなら,これをＤ^(α)の重複度と呼ぶことにします。

これにより表現の直和分割をＤ(Ｒ)＝Σ_αｍ_αＤ^(α)(Ｒ)と書けば,上の定理１の結論である直交性:Σ_R∈GＤ^(α)_ij(Ｒ)^*Ｄ^(β)_kl(Ｒ)＝(ｇ/ｄ_α)δ_αβδ_ikδ_jlはΣ_R∈GＤ^(α)_ij(Ｒ)^*Ｄ^(β)_kl(Ｒ)＝{ｇ/(ｍ_αｄ_α)}δ_αβδ_ikδ_jlに変更されます。"

と書きました。

群Ｇがｇ＝|Ｇ |＝∞ の連続群で,それもコンパクト群の場合にはＤ(Ｒ)＝Σ_αＤ^(α)(Ｒ)なる既約表現への直和分解においてＤ^(α)の次元をｄ_α,重複度をｍ_αとするとき,上の定理１の結論は定理２のそれに変更され,直交性:Σ_R∈GＤ^(α)_ij(Ｒ)^*Ｄ^(β)_kl(Ｒ)＝{ｇ/(ｍ_αｄ_α)}δ_αβδ_ikδ_jlは,"Ｄ^(α)とＤ^(β)が同値なら∫_ＧＤ^(α)_ij(Ｒ)^*Ｄ^(β)_kl(Ｒ)ｄＲ＝(1/ｄ_α)δ_ikδ_jl,異値なら∫_ＧＤ^(α)_ij(Ｒ)^*Ｄ^(β)_kl(Ｒ)ｄＲ＝0 である"となります。

このとき,指標χ_D(Ｒ)＝Ｔr{Ｄ(Ｒ)}はχ_D(Ｒ)＝Σ_αｍ_αＴr{Ｄ^(α)(Ｒ)}よりχ_D＝Σ_αｍ_αχ_D(α)ですが,定理３によって＜χ_D(α)|χ_D＞＝ｍ_αを得ます。

さらには＜χ_D|χ_D＞＝Σ_αｍ_α²となります。このことから次の重要な定理が得られます。

[定理４]:(1)(Ｄ,Ｕ)をコンパクト群Ｇの表現とするとき,これが既約表現であるための必要十分条件は＜χ_D|χ_D＞＝1なることである。(2)(Ｄ,Ｕ),(Ｄ',Ｕ')をコンパクト群Ｇの２つの表現とするときＤとＤ'が同値:Ｄ～Ｄ'であるためにはχ_D＝χ_D'なることが必要十分である。

(証明)(1)は自明ですから(2)のみを証明します。

　まず,χ_D＝χ_D'なら,任意の既約表現Ｄ^(α)に対して＜χ_D(α)|χ_D’＞＝＜χ_D(α)|χ_D＞ですから,χ_D＝Σ_αｍ_αχ_D(α);＜χ_D(α)|χ_D＞＝ｍ_αを意味する表現Ｄ＝Σ_αｍ_αＤ^(α)とＤ'が同値であることは自明です。必要性は既に示されています。(証明終わり)

　さて,例として対象とする群Ｇが２次元の特殊ユニタリ群:ＳＵ(2)である場合を考えてみます。

　すなわち,Ｇ＝ＳＵ(2)≡{ｇ∈ＧＬ(2)|ｇ^＋＝ｇ^-1,detｇ＝1}とします。ただし,ＧＬ(2)は正則な２次の正方行列から成る群です。ここでは行列要素が複素数のＧＬ(2,Ｃ)を仮定しています。

対角成分がａ,ａ^-1(ａ∈Ｃ,ａ≠0)の２次の対角行列をｈ_aと書き,Ｈ≡{ｈ_a∈ＧＬ(2)|ａ∈Ｃ,|ａ|＝1}とします。

Ｈは明らかにＧ＝ＳＵ(2)の部分群です。しかもこれは可換群(アーベル群)であり,１-パラメータ群(ａ＝exp(iα))ですから,Ｕ(1)(絶対値が１の複素数の乗法群)と同型です。

Ｇ＝ＳＵ(2)の任意の元ｇの固有値をａ,ａ^-1(ａ∈Ｃ,|ａ|＝1)とするとｇはあるｋ∈ＳＵ(2)によってｈ_a＝ｋｇｋ^-1,ｈ_a∈Ｈと対角化できます。あるいは,ｇ＝ｋｈ_aｋ^-1,ｈ_a∈Ｈとすることができます。

一般にＵ(1)の幾つかの直積と同型な群をトーラス群といいます。

Ｈがトーラス群かつＧの部分群,すなわちトーラス部分群であってこれを真に含むＧのトーラス部分群が存在しないなら,ＨをＧの極大トーラス部分群といいます。

今のＧがＳＵ(2)の場合には上で定義した２次の対角行列から成る部分群ＨはＳＵ(2)の極大トーラス部分群となっています。

[定理５]:Ｇ＝ＳＵ(2)とする。(1)Ｇの任意の元ｇは極大トーラス群Ｈの元と共役である。(2)ｇ,ｈ∈Ｇに対してｆ(ｈｇｈ^-1)＝ｆ(ｇ)を満たす関数(類関数という):ｆは極大トーラス部分群Ｈの上の値で決まる。すなわち類関数ｆ₁,ｆ₂が∀ｈ∈Ｈに対してｆ₁(ｈ)＝ｆ₂(ｈ)を満たすならばＧの上でｆ₁＝ｆ₂である。