超弦理論(13)(2-2): TOSHIの宇宙

2009年3月17日 (火)

超弦理論(13)(2-2)

２月の初め以来,色々と目移りがして超弦理論(superstring theory)シリーズは疎かになっていました。ほぼ１ヶ月ぶりですが続きです。

実は他の題材を書いていましたが,途中でつまづいて苦戦しているので,ツナギとして既にノートがあって書き写すだけのこのシリーズでお茶を濁しています。

さて,弦の作用の表式Ｓ＝－(Ｔ/2)∫ｄⁿ⁺¹σｈ^1/2ｈ^αβｇ_μν(Ｘ)∂_αＸ^μ∂_βＸ^ν;(ｎ＝１)は一般時空多様体上の弦の伝播に対して定式化されたものですが,今のところは背景空間が平坦なミンコフスキー空間(Minkowski space)である場合の話に集中することにします。

この状況での完全な理解が,弦理論の一般化にとって不可欠なプロセスなのです。

平坦なミンコフスキー空間では,上の式の一般の計量(metric)ｇ_μν(Ｘ)がミンコフスキー計量η_μνに変わるので,作用はＳ＝－(Ｔ/2)∫ｄ²σｈ^1/2ｈ^αβ∂_αＸ^μ∂_βＸ_μとなります。

そして,弦の座標パラメータσ≡(σ⁰,σ¹)＝(τ,σ)のうち,空間座標に対応するσは,数学的便宜上 0＜σ＜πなるレンジを持つとします。

こうした平坦な背景空間の場合でも,弦の作用に付加的な項を加えることができます。

Ｄ次元のポアンカレ不変性(Poincare's symmetry)や２次元理論の次数勘定くりこみ可能性と矛盾しない付加項の可能性は,次の２つの項のみです。Ｓ₁＝λ∫ｄ²σｈ^1/2,およびＳ₂＝{1/(2π)}∫ｄ²σｈ^1/2Ｒ⁽²⁾(ｈ)ですね。

最初のＳ₁は２次元の"宇宙定数"項ですが,これはＳとは異なってワイル不変性(ｈ_αβ→Λｈ_αβの下での不変性)を持たず,その結果,これから得られるものは古典場の方程式としても無矛盾でなくなります。

つまり,Ｓ＋Ｓ₁に対する運動方程式のトレース(対角和)から,λがゼロでないなら,恒等的にｈ_αβ＝0 が成立することが示されます。このように計量が常にゼロというのはちょっと受け入れ難いことです。

また,Ｓ₂の右辺の表現Ｒ⁽²⁾(ｈ)は計量ｈ_αβから形成される世界面の２次元スカラー曲率を表わす記号です。これは弦の相互作用に関連して重要な役割を果たすのですが,このＳ₂項は我々の目的にとって重要ではありません。

何故なら,２次元では相互作用結合ｈ^1/2Ｒ⁽²⁾(ｈ)は１つの全微分項であり,その結果,変分方程式としての古典的な場の方程式には,この項は全く寄与せず,これを付加しても今の自由場の量子化の作業にとって無意味だからです。

というわけで,Ｓ₁やＳ₂を付加しない元々の作用Ｓ＝－(Ｔ/2)∫ｄ²σｈ^1/2ｈ^αβ∂_αＸ^μ∂_βＸ_μのみで考えます。この作用は前に言及した背景空間の選択に無関係な局所対称性を持っています。

つまり,以下の再パラメータ化不変性を有します。

まず,δＸ^μ＝ξ^α∂_αＸ^μ,δｈ^αβ＝ξ^γ∂_γｈ^αβ－∂_γξ^αｈ^γβ－∂_γξ^βｈ^αγ,δｈ^1/2＝∂_α(ξ^αｈ^1/2),およびワイルスケーリング:δｈ^αβ＝Λｈ_αβに対して作用Ｓは不変です。

※(訳注12):(証明)Ｓ＝－(Ｔ/2)∫ｄ²σｈ^1/2ｈ^αβ∂_αＸ^μ∂_βＸ_μからのδＳ/δｈ^αβ＝0 による運動方程式は∂_αＸ^μ∂_βＸ_μ－(1/2)ｈ_αβｈ^α'β'∂_α'Ｘ^μ∂_β'Ｘ_μ＝0 となります。

　ξ^αを微小パラメータとして,σ^α→σ^α＋ξ^α:δσ^α＝ξ^αなる再パラメータ化に対し,Ｘ^μ→Ｘ^μ＋ξ^α∂_αＸ^μ,つまりδＸ^μ＝ξ^α∂_αＸ^μ,δＸ_μ＝ξ^α∂_αＸ_μです。

　これに対して運動方程式∂_αＸ^μ∂_βＸ_μ－(1/2)ｈ_αβｈ^α'β'∂_α'Ｘ^μ∂_β'Ｘ_μ＝0 が不変に保たれる条件は,δ[∂_αＸ^μ∂_βＸ_μ－(1/2)ｈ_αβｈ^α'β'∂_α'Ｘ^μ∂_β'Ｘ_μ]＝∂_α(ξ^γ∂_γＸ^μ)∂_βＸ_μ＋∂_αＸ^μ∂_β(ξ^γ∂_γＸ_μ)－(1/2)ｈ_αβｈ^α'β'{∂_α'(ξ^γ∂_γＸ^μ)∂_β'Ｘ_μ＋∂_α'Ｘ^μ∂_β'(ξ^γ∂_γＸ_μ)}－(1/2)[ｈ_αβ(δｈ^α'β')＋(δｈ_αβ)ｈ^α'β']∂_α'Ｘ^μ∂_β'Ｘ_μ＝0 です。

　ところで,∂_αＸ^μ∂_βＸ_μ－(1/2)ｈ_αβｈ^α'β'∂_α'Ｘ^μ∂_β'Ｘ_μ＝0 より,ξ^γ∂_γ(∂_αＸ^μ∂_βＸ_μ)－(1/2)ξ^γｈ_αβｈ^α'β'∂_γ(∂_α'Ｘ^μ∂_β'Ｘ_μ)＝(1/2)ξ^γ∂_γ(ｈ_αβｈ^α'β')∂_α'Ｘ^μ∂_β'Ｘ_μです。

　それ故,－(1/2)[ｈ_αβ(δｈ^α'β')＋(δｈ_αβ)ｈ^α'β']＝－(1/2)ξ^γ[ｈ_αβ∂_γｈ^α'β'＋(∂_γｈ_αβ)ｈ^α'β']＋(1/2)ｈ_αβｈ^γβ'∂_γξ^α'＋(1/2)ｈ_αβｈ^α'γ∂_γξ^β'－∂_αξ^α'δ_β^β'－∂_βξ^β'δ_α^α'を得ます。

最後の式の両辺にｈ^ταを掛けるとδ^τ_β(δｈ^α'β')＋ｈ^τα(δｈ_αβ)ｈ^α'β'＝δ^τ_βξ^γ∂_γｈ^α'β'＋ ξ^γｈ^τα(∂_γｈ_αβ)ｈ^α'β'－δ^τ_βｈ^γβ'∂_γξ^α'－δ^τ_βｈ^α'γ∂_γξ^β'＋2ｈ^τα∂_αξ^α'δ_β^β'＋2ｈ^τα∂_βξ^β'δ_α^α'となります。

両辺のδ^τ_βの係数を比較すると,δｈ^αβ＝ξ^γ∂_γｈ^αβ－∂_γξ^αｈ^γβ－∂_γξ^βｈ^αγであれば係数が一致するので,δｈ^αβはこのように表わされると仮定します。

こうすると,－(1/2)ｈ_αβ(δｈ^α'β')＝－(1/2)ξ^γｈ_αβ∂_γｈ^α'β'＋(1/2)ｈ_αβｈ^γβ'∂_γξ^α'＋(1/2)ｈ_αβｈ^α'γ∂_γξ^β'となります。

そこで,残りは－(1/2)(δｈ_αβ)ｈ^α'β'＝－(1/2)ξ^γ(∂_γｈ_αβ)ｈ^α'β'－∂_αξ^α'δ_β^β'－∂_βξ^β'δ_α^α'です。

すなわち,(δｈ_αβ)ｈ^α'β'＝ξ^γ(∂_γｈ_αβ)ｈ^α'β'＋2∂_αξ^α'δ_β^β'＋2∂_βξ^β'δ_α^α'です。

これの両辺にｈ_β'ρを掛けると,(δｈ_αβ)δ^α'_ρ＝ξ^γ(∂_γｈ_αβ)δ^α'_ρ＋2∂_αξ^α'ｈ_βρ＋2∂_βξ^β'ｈ_β'ρδ_α^α'です。

α'＝ρとしてρ＝0,1を加えて縮約すると,2δｈ_αβ＝2ξ^γ∂_γｈ_αβ＋2∂_αξ^ρｈ_βρ＋2∂_βξ^β'ｈ_β'αです。すなわち,δｈ_αβ＝ξ^γ∂_γｈ_αβ＋∂_αξ^γｈ_γβ＋∂_βξ^γｈ_αγを得ます。

結局,δｈ^αβ＝ξ^γ∂_γｈ^αβ－∂_γξ^αｈ^γβ－∂_γξ^βｈ^αγ,δｈ_αβ＝ξ^γ∂_γｈ_αβ＋∂_αξ^γｈ_γβ＋∂_βξ^γｈ_αγですが,0＝δ(δ_α^γ)＝δ(ｈ_αβｈ^βγ)＝(δｈ_αβ)ｈ^βγ＋ｈ_αβ(δｈ^βγ)が確かに満足されます。

最後に,行列式の公式からδｈ/ｈ＝ｈ^αβδｈ_βα＝ξ^γ∂_γｈ/ｈ＋∂_αξ^α＋∂_βξ^βより,δｈ＝ξ^γ∂_γｈ＋2ｈ∂_γξ^γ,それ故δｈ^1/2＝δｈ/(2ｈ^1/2)＝ξ^γ∂_γｈ/(2ｈ^1/2)＋ｈ^1/2∂_γξ^γ＝∂_γ(ξ^γｈ^1/2)が得られます。(証明終わり)

(訳注12終わり)※

これらに加えて,弦が伝播する背景空間の対称性を反映する大局的対称性があります｡これは平坦なミンコフスキー空間では,δＸ^μ＝ａ^μ_νＸ^ν＋ｂ^μ,δｈ^αβ＝0 で記述されるポアンカレ不変性です。ここで,係数ａ_μν＝η_μρａ^ρ_νは反対称です。

ξ^αやワイルスケーリングのΛはσの関数ですから局所対称性に関係しますが,ａ^μ_ν,ｂ^μは定数なので大局的対称性を示すものです。

さて,２次元の自由弦のエネルギー運動量テンソルＴ_αβはＳの２次元世界面の計量ｈ^αβに関する変分で与えられます。すなわち,Ｔ_αβ＝(2/Ｔ)ｈ^-1/2(δＳ/δｈ^αβ)です。

これから,Ｔ_αβ＝－∂_αＸ^μ∂_βＸ_μ＋(1/2)ｈ_αβｈ^α'β'∂_α'Ｘ^μ∂_β'Ｘ_μなる陽な表式が得られます。

これを見ると自由弦のエネルギー運動量テンソルＴ_αβのトレース(対角和):Ｔ_α^α＝ｈ^αβＴ_αβは自動的にゼロになることがわかります。これはワイル対称性からの帰結です。

そして,場の方程式であるδＳ/δｈ^αβ＝0 はＴ_αβ＝0 ,すなわち弦のエネルギー運動量テンソルが常にゼロであることを意味します。

※(訳注13)：まず,2008年6/22の記事「ネーターの定理と電磁エネルギー運動量テンソル」から一部を再掲します。

※(再掲):電磁場に限らず,４次元ミンコフスキー空間内のある領域Σに,例えば連続体の各点における変位などを表現した古典的な場φ(ｘ)＝{φ_i(ｘ)}があって,系のラグランジアン密度Ｌが場φ_i(ｘ)とその１階微分∂_μφ_i(ｘ)の関数としてＬ(φ_i(ｘ),∂_μφ_i (ｘ))で表わされるとします。

このとき,作用積分はＳ[φ]＝∫_Σｄ⁴ｘＬ(φ_i(ｘ),∂_μφ_i (ｘ))で与えられます。そして場の従う基本的な運動方程式はφ_i(ｘ)の変分に対する作用Ｓの停留条件:δＳ＝0 から決まります。

すなわち,系を支配する運動方程式はδＳ/δφ_i(ｘ)＝∂Ｌ/∂φ_i－∂_μ{∂Ｌ/∂(∂_μφ_i )}]＝0 で与えられます。

これはよく知られたオイラー・ラグランジュの方程式です。

そしてネーター(Noether)の定理は"ある連続変換の下で作用Ｓが不変な場合,それに対応してある保存量が存在する。"というものです。

(※中略,そして以下では内容を若干修正しています。)

そして,物質のエネルギー運動量テンソルは時空座標の平行移動不変性に対する「ネーター保存量」として与えられます。

これの陽な混合テンソル表現はＴ_μ^ν＝Σ_i{∂Ｌ/∂(∂_νφ_i)}∂_μφ_i－δ_μ^νＬです。反変テンソルの表現では,Ｔ^μν＝η^μρＴ_ρ^ν＝Σ_i{∂Ｌ/∂(∂_νφ_i)}∂^μφ_i(ｘ)－η^μνＬとなります。

そして,これから平行移動の４つの"生成子＝ネーター保存量"はＰ^μ/ｃ＝(Ｅ,Ｐ/ｃ)＝∫Ｔ^μ0(ｘ,t)ｄ³ｘで与えられることになります。ここにＰ^μは場の４元運動量です。(再掲終わり)※

これによれば,物質場の４次元のエネルギー運動量テンソルはＴ^μν＝η^μρＴ_ρ^ν＝Σ_i {∂Ｌ/∂(∂_νφ_i)}∂^μφ_i(ｘ)－η^μνＬ (μ,ν＝0,1,2,3)で与えられますが,今の物質場が自由弦の２次元世界面座標{Ｘ^μ(σ)}(μ＝0,1,2,3)である場合には,Ｔ_αβ＝{∂Ｌ/∂(∂^βＸ^μ)}∂_αＸ^μ－ｈ_αβＬ (α,β＝0,1)になるはずです。

ところが,２次元の不変体積要素はｈ^1/2ｄ²σなので,Ｓ＝∫ｄ²σｈ^1/2Ｌ＝－(Ｔ/2)∫ｄ²σｈ^1/2ｈ^αβ∂_αＸ^μ∂_βＸ_μから,ラグランジアン密度がＬ＝－(Ｔ/2)ｈ^αβ∂_αＸ^μ∂_βＸ_μと書けるはずなので,自由弦のエネルギー運動量テンソルは,Ｔ_αβ＝Ｔ[－∂_αＸ^μ∂_βＸ_μ＋(1/2)ｈ_αβｈ^α'β'∂_α'Ｘ^μ∂_β'Ｘ_μ]で与えられることがわかります。