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2009年3月20日 (金)

超弦理論(14)(2-3)

まだ,数論や代数幾何関連の原稿がまとまらないので,超弦理論(superstring theory)の続きでつなぎます。

αβ≡∂αμβμと定義しG≡|detGαβ|とおけば,場の方程式δS/δhαβ=0 によってエネルギー運動量テンソルTαβが消えるということは,Gαβ=(1/2)hαβα'β'α'μβ'μ=(1/2)hαβα'β'α'β',G=(1/4)h(hαβαβ)2なる式が成立することを意味します。

そこで,∫Σ2σ1/2αβαβ=∫Σ2σ1/2とも書けます。この係数を除いた作用の表現∫Σ2σ1/2は南部(Nambu)によって初めて提案された世界面Σの面積を厳密に表わす公式です。

 弦についての力学と量子化の次の解析のプロセスは,便利なゲージ選択をすることで処理されます。

 

 2つの再パラメータ化と1つのワイルスケーリング(Weil-scaling)という3つの局所対称性が,"hαβの3つの独立成分の任意性=ゲージ選択の自由度"に寄与します。

そして,この自由度を用いるとhαβを平坦なミンコフスキー計量ηαβに選択することが正当化されます。

 

この便利な計量の選択を採用すれば,弦の作用S=-(T/2)∫d2σ1/2αβαμβμはS=-(T/2)∫d2σηαβαμβμ=-(T/2)∫d2σαμαμに単純化されます。

 この簡単化された作用の変分原理から導かれるオイラー・ラグランジュの方程式は,単純な2次元の自由波動方程式になります。すなわち,□Xμ=(∂2/∂τ2-∂2/∂σ2)Xμ=0 です。

これは開弦の場合には必要条件ですが,両端を固定しない一般変分Xμ→Xμ+δXμの下での作用S=-(T/2)∫d2σηαβαμβμの不変性を保証するには十分ではありません。

一般に,変分Xμ→Xμ+δXμの下でのSの変分は□Xμ=(∂2/∂τ2-∂2/∂σ2)Xμ=0 に比例する体積項だけでなく,-T∫dτ[(Xμ'δXμ)|σ=π-(Xμ'δXμ)|σ=0]で表わされる表面項を含みます。

 

この表面項が消えることを要求することから開弦の境界条件が得られます。ただしXμ'≡∂Xμ/∂σなる記法を用いています。

一方,閉弦については,□Xμ=(∂2/∂τ2-∂2/∂σ2)Xμ=0 とXμのσに関する周期性がSの停留性δS=0 を保証するのに必要かつ十分です。

2次元では,こうしたゼロ質量の運動方程式□Xμ=(∂2/∂τ2-∂2/∂σ2)Xμ=0 の一般解は2つの任意関数XRμ,XLμの和で表現できます。

 

すなわち,Xμ(σ)=XRμ)+XLμ);σ≡τ-σ,σ≡τ+σです。XRμは弦の右に進むモードを表わし,XLμは弦の左に進むモードを表わします。σは世界面の光円錐座標と呼ばれます。

σ±に共役な微分∂±を∂±≡(∂τ±∂σ)/2で定義します。すると光円錐座標ではミンコフスキー世界面の計量テンソル成分は次のようになります。

 

すなわち,η+-=η-+=1/2,η++=η--=0 です。つまりηαβdσαdσβ=dτ2-dσ2=dσdσ=(1/2)dσdσ+(1/2)dσdσですね。

そこで,これらの逆はη+-=η-+=2です。それ故,世界面の添字は規則 U=2U,U=2Uによって,交差的に上げ下げされます。光円錐座標では∂σ=(∂τσ+∂σσ)/2=0 なので,∂Rμ)=(∂σ)(dXRμ/dσ)=0 ,同様に∂σ=0 より∂Lμ)=0 です。

また,∂σ=(∂τσ+∂σσ-+)/2=1ですから,∂Lμ)=dXLμ/dσです。同様に,∂Lμ)=dXRμ)/dσです。

 

それ故,確かに∂±=∂/∂σ±であり,∂μ=∂Lμ,∂μ=∂Rμと書けます。

波動方程式:□Xμ=(∂2/∂τ2-∂2/∂σ2)Xμ=4∂μ=0は,さらに拘束方程式Tαβ=0 で補足されます。

 

σ微分:Xμ'≡∂Xμ/∂σに対して,τ微分をXμd≡∂Xμ/∂τで記述すると,拘束方程式Tαβ=0 は次のように書けます。

 

すなわち,T10=T01=-d'=0 ,かつT00=T11=-[(d)2'2]/2=0 です。

世界面のエネルギー運動量テンソルTαβをテンソル解析の標準規則に従ってσ±座標系で書けば,まず,T++=(1/4)(T00+T01+T10+T11)=(1/2)(T00+T01)=-∂,T--=(1/4)(T00-T01-T10+T11)=(1/2)(T00-T01)=-∂です。

 

そして,T+-=(1/4)(T00-T01+T10-T11)=(1/4)(T00-T11),T-+=(1/4)(T00+T01-T10-T11)=(1/4)(T00-T11)です。

αβのトレース:hαβαβがゼロであることは,T+-=T-+=0 を意味します。

 

αβは対称テンソル故,T01=T10は当然ですからT+-=T-+=0 はT00=T11に同等ですが,既にT00=T11=-[(d)2'2]/2=0 ですから,この要求は自動的に満たされています。

トレースがゼロという既に満たされている恒等式+-=T-+=0 を除けば,拘束条件Tαβ=0 はT--=T++=0 に帰着します。

また,T++=-∂,T--=-∂ですが,∂=∂LLd,∂=∂RRdですから,T++=-(Ld)2,T--=-(Rd)2です。

 

それ故,拘束条件T--=T++=0 は(Rd)2=(Ld)2=0 なることを意味します。

また,2次元のエネルギー運動量保存則は∂βαβ=0 と書けますが,これは光円錐座標では∂+++∂+-=0 かつ∂-++∂--=0 となります。

 

ここで,∂=2∂,∂=2∂なので,これらは∂+++∂+-=0 かつ∂-++∂--=0 と同値です。

 

共形不変な場合には,トレースレスなので恒等的にT+-=T-+=0 ですから,結局∂++=0 かつ∂--=0 となります。

++0 というのはT++にとっては非常に強力な命題です。例えばf(σ)がσの任意関数とすると,当然∂f=0 ですから∂++=0 から∂(fT++)=0 となります。

  

具体的には,カレントfT++によるチャージをQf≡∫dσ(f(σ)T++(σ)}とすると,dQf/dτ=∫dσ{∂(fT++)/∂σ}=0 ですから,Qfが保存量になるわけです。f(σ)は任意なので,Qfの全体は保存量の無限集合を構成します。

このように共形不変性が保存量の1つの無限集合に結びつくのは,2次元時空のみの特徴です。たった今見出されたようにT--=-(Rd)2,およびT++=-(Ld)2が保存量であることは,拘束条件(Rd)2=(Ld)2=0 が保存されることを意味します。

拘束条件として(Rd)2,(Ld)2をゼロと置くということが意味を持つのは,それらが時間が経過しても保存されるからです。

 

そうした(Rd)2,(Ld)2が保存されるということは,ある時刻にこれらが消えるなら,その後のあらゆる時刻にも消えることを意味します。

弦理論では,今問題にしている保存量はゲージ固定をした後でもまだ残っている対称性に対応しています。すなわち,共変ゲージの典型的な形としてhαβ=ηαβと置くだけでは,まだゲージ自由度を完全には使い尽くしていません。

これを見るため,次のような再パラメータ化+ワイルスケーリングの∂αξβ+∂βξα=Ληαβを満たす任意の組合わせに対してゲージ選択:hαβ=ηαβがなお保持されることに着目します。

(訳注14):先に述べたSを不変に保つ再パラメータ化:σα→σα+δσα(δσα=ξα)と,それに伴なうδXμ=ξααμ,δhαβ=ξγγαβ-∂γξαγβ-∂γξβαγ,δh1/2=∂αα1/2),およびワイルスケーリングδhαβ=Λhαβにおいて,hαβ=ηαβ(h=1),∂αξβ+∂βξα=Ληαβとすると,

 

 再パラメータ化:δhαβ=-∂βξα-∂αξβ=-Ληαβとワイルスケーリング:δhαβ=Ληαβが相殺してトータルの変分がδhαβ=0 ,またはηαβ→ηαβ+δhαβ=ηαβとなります。※

このとき,∂τξ0=∂σξ1=Λ/2,∂τξ1=∂σξ0より,∂τ0+ξ1)=∂σ0+ξ1),∂τ0-ξ1)=∂σ1-ξ0)です。

 

つまり,これはξ±=ξ0±ξ1なる光円錐系の言葉では∂ξ=0 ,∂ξ=0 ,すなわちξはσ=τ+σの任意関数,ξはσ=τ-σの任意関数であることを意味します。

世界面の再パラメータ化δσα=ξαを演算子V^≡ξα(∂/∂σα)で生成される変換と考えるなら,共変ゲージ選択hαβ=ηαβの後にもなお残る対称性変換を生成子V≡ξ)(∂/∂σ),V≡ξ)(∂/∂σ)で表現することができます。

 

この対称性は,後節で光円錐ゲージを導入する際にも用います。

かくして,ネーター保存量として∂(fT++)=0 から保存チャージQf≡∫dσ(f(σ)T++(σ)},dQf/dτ=0 を与えるものが,ξ=fT++としてV≡ξ)(∂/∂σ)で生成される対称性であることがわかります。

演算子≡ξ)(∂/∂σ),V≡ξ)(∂/∂σ)は2次元ミンコフスキー空間における共形変換群の生成子です。そして,唯一2次元においてのみ,共形群は生成子が無限個存在する無限次元表現を持ちます。

(※(訳注):このことが,他の薄膜などの3次元以上の粒子モデルとは異なり,無限個の素粒子,複合粒子,共鳴粒子たちの連鎖を無限個の弦のモード(共鳴振動数)として記述できる弦モデルの優位性の源です。)

さて,こうして2次元のコンパクト多様体の2つの型の境界条件に対応するトポロジーとして閉弦と開弦があるわけですが,閉弦は自由端を持たないループなので位相的には円と等価です。

 

これに対し適切な境界条件は空間座標に対する周期性です。これは今の単位ではXμ(σ,τ)=Xμ(σ+π,τ)です。

この周期性に堪える運動方程式の一般解μ(σ)=XRμ)+XLμ);σ=τ-σ,σ=τ+σの右辺の項は次のように表わすことができます。

 

すなわち,XRμ=(1/2)xμ+(1/2)l2μ(τ-σ)+(i/2)lΣn≠0[(αnμ/n)exp{-2in(τ-σ)}],XLμ=(1/2)xμ+(1/2)l2μ(τ+σ)+(i/2)lΣn≠0[(α~nμ/n)exp{-2in(τ+σ)}]です。

 

ここで,αnμ,α~nμはフーリエ成分ですが,これは振動子座標と解釈されます。

lは基本的長さと名付けられる量で,これはh/(2π)=c=1なる自然単位で,レッジェ軌跡(Regge trajectory)の傾きパラメータα'および弦の張力Tと,l=(2α')1/2=1/(πT)1/2で関連付けられます。しかし,後節では一般にl=1と設定されます。

μ,およびpμについては,それぞれ,弦の質量中心(重心)の位置の座標,および運動量と解釈されます。展開における(1/2),(i/2)などの規格化定数は後の計算の整合性のために選ばれています。

μ=XRμ+XLμにおいてはXRμとXLμでのσの1次の項が相殺されるため,閉弦の境界条件:Xμ(σ,τ)=Xμ(σ+π,τ)は確かに満たされています。

 

μ,XRμ,XLμは元々世界面座標であってσの実数値関数ですから,xμ,およびpμは実数でありα-nμはαnμのα~-nμはα~nμの共役です。すなわち,α-nμ=(αnμ),α~-nμ=(α~nμ)です。

そして,振動子座標αnμ,α~nμのポアソン括弧(Poisson's bracket)を決めることも本質的な作業です。

この作業を実行するために,S=-(T/2)∫d2σηαβαμβμからXμとXμdの同時刻(同じτ)でのポアソン括弧が[Xμ(σ,τ),Xν(σ',τ)]P.B.=[Xμd(σ,τ),Xνd(σ',τ)]P.B.=0 ,[Xμd(σ,τ),Xν(σ',τ)]P.B.=T-1ημνδ(σ-σ')で与えられることに着目します。

(訳注15):S=-(T/2)∫d2σηαβαμβμ=-(T/2)∫d2σ(Xμdμd-Xμ'Xμ')です。そこで,-δS/δXμd=Pμ=TXμdです。

 

 それ故,正準括弧式[Pμ,Xν] P.B.=δμνは,[TXμd,Xν]P.B.=δμν,または[Xμd,Xν] P.B.=T-1δμνを意味しますから,[Xμd,Xν] P.B.=T-1ημνを得ます。(訳注15終わり)※

これらのポアソン括弧式に,XRμ(1/2)xμ+(1/2)l2μ(τ-σ)+(i/2)lΣn≠0[(αnμ/n)exp{-2in(τ-σ)}],XLμ=(1/2)xμ+(1/2)l2μ(τ+σ)+(i/2)lΣn≠0[(α~nμ/n)exp{-2in(τ+σ)}]を代入することから,

 

mμnν]P.B.=[α~mμ,α~nν]P.B.=imδm+nημν,[αmμ,α~nν]P.B.=0 が得られます。

 

(※この後に量子化して,ポアソン括弧を交換子で置き換えると,[αmμnν]P.B.=[α~mμ,α~nν]P.B.=imδm+nημνの右辺の係数iが実数-1 になります。※)

(訳注16):(証明)Xμ=xμ+l2μτ+(i/2)lΣn≠0[(1/n)(αnμexp{-2in(τ-σ)}+α~nμexp{-2in(τ+σ)})],Xμd=l2μ+lΣn≠0nμexp{-2in(τ-σ)}+α~nμexp{-2in(τ+σ)}]です。

 

 そこで,m≠0 なら,(1/π)∫0πexp(-2imσ)Xμ(τ,σ)dσ={il/(2m)}{αmμexp(-2imτ)-α~-mμexp(2imτ)},(1/π)∫0πexp(-2imσ)Xμd(τ,σ)dσ=l{αmμexp(-2imτ)+α~-mμexp(2imτ)}です。

 したがってnμ={exp(2inτ)/(iπl)}∫0πdσ[exp(-2inσ)(iXμd/2+nXμ)],α~nμ={exp(2inτ)/(iπl)}∫0πdσ[exp(2inσ)(iXμd/2+nXμ)]です。

 

 それ故,[αmμnν]P.B.=[exp{2i(m+n)τ}/(-π22)]∫0πdσ∫0πdσ'[exp(-2imσ-2inσ')[iXμd(σ,τ)/2+mXμ(σ,τ),iXνd(σ',τ)/2+nXν(σ',τ)]P.B=[exp{2i(m+n)τ}/(-π22T)]{iημν(n-m)/2}∫0πdσ[exp{-2i(m+n)σ}]=imημνδm+n/(π22T)です。

 

 結局,[αmμnν]P.B.=imδm+nημνが得られます。

 ここで,前に述べた等式l=1/(πT)1/2によって,π22T=1となることを用いました。また,δm+nなる記号はm+n=0なら1,m+n≠0ならゼロを意味しています。

 ほぼ同様にして,[α~mμ,α~nν]P.B.=imδm+nημνを示すことができます。

 

 また,[αmμ,α~nν]P.B.=[exp{2i(m+n)τ}/(-π22)]∫0πdσ∫0πdσ'[exp(-2imσ+2inσ')[iXμd(σ,τ)/2+mXμ(σ,τ),iXνd(σ',τ)/2+nXν(σ',τ)]P.B=[exp{2i(m+n)τ}/(-π22T)]{iημν(n-m)/2}∫0πdσ[exp{-2i(m-n)σ}]=0 が得られます。(証明終わり)

 

 (訳注16終わり)※   

n≠0 に対する弦の座標のフーリエモードは調和振動子座標です。これは他の自由場に関する経験から予想されたものです。すなわち,ヴァイオリンの弦に関する経験から得られるものと同一です。

特に0μ=α~0μ≡lpμ/2 なる規約を採用すれば,[αmμnν]P.B.=[α~mμ,α~nν]P.B.=imδm+nημν,[αmμ,α~nν]P.B.=0 はm=0 ,またはn=0 の場合にも成立します。

そして,またXRμ=(1/2)xμ+(1/2)l2μ(τ-σ)+(i/2)lΣn≠0[(αnμ/n)exp{-2in(τ-σ)}],XLμ=(1/2)xμ+(1/2)l2μ(τ+σ)+(i/2)lΣn≠0[(α~nμ/n)exp{-2in(τ+σ)}]を,[Xμd(σ,τ),Xν(σ',τ)]P.B.=T-1ημνδ(σ-σ')と対照して見比べると,[pμ,xν]P.B.=ημνを得ます。

このことから弦の重心の位置と運動量と予想して同定したxμとpμは確かに正準共役変数であることがわかります。

(訳注17):実際,Xμ=xμ+l2μτ+(i/2)lΣn≠0[(1/n)(αnμexp{-2in(τ-σ)}+α~nμexp{-2in(τ+σ)})],Xμd=l2μ+lΣn≠0nμexp{-2in(τ-σ)}+α~nμexp{-2in(τ+σ)}]より,(1/π)∫0πμ(σ,τ)dσ=xμ+l2μτ,(1/π)∫0πμd(σ,τ)dσ=l2μです。

 

 それ故,xμ=(1/π)∫0π(Xμ-τXμd)dσ,pμ={1/(l2π)}∫0πμddσです。

 

 そこで,[pμ,xν]P.B.=ημνが得られるわけです。

 

 (訳注17終わり)※

一方,開弦の場合には,既に述べたようにδSの表面項:-T∫dτ[(Xμ'δXμ)|σ=π-(Xμ'δXμ)|σ=0]が消えることが要求され,これから境界条件が決まります。

 

すなわち,σ=0 とσ=πにおいて,Xμ'≡∂Xμ/∂σ=0 です。

 

言い換えると,弦Xμの法線成分は弦の境界で消える必要があるということです。

これらは自由端の境界条件です。

 

弦の端からの運動量の流出入を防止するこうした境界条件を持つ波動方程式の一般解は,Xμ(σ,τ)=xμ+l2μτ+ilΣn≠0[(αnμ/n)exp(-inτ)cos(nσ)]で与えられます。

 

開弦の境界条件は左移動成分と右移動成分を結合させてexp(-inτ)cos(nσ)で展開されるような定在波にするという意味があります。

特に,2∂±μ=Xμd±Xμ'=lΣ-∞nμexp{-in(τ±σ)}],(α0μ≡lpμ)です。

閉弦でこれに対応する式は,∂Rμ=XRμd=lΣ-∞nμexp{-2in(τ-σ)}],∂Lμ=XLμd=lΣ-∞[α~nμexp{-2in(τ+σ)}](α0μ=α~0μ≡lpμ/2)です。

 

開弦との重要な違いは,閉弦では右移動モードと左移動モードが全く独立なことです。

 

そして指数部分は開弦ではexp{-in(τ±σ)},閉弦ではexp{-2in(τ±σ)}であって余分な2という係数因子があるのが異なる点です。これ以外に異なる点はありません。

(訳注17):開弦Xμ(τ,σ)=xμ+l2μτ+ilΣn≠0[(αnμ/n)exp(-inτ)cos(nσ)]についても,ポアソン括弧が[Xμ(σ,τ),Xν(σ',τ)]P.B.=[Xμd(σ,τ),Xνd(σ',τ)]P.B.=0,[Xμd(σ,τ),Xν(σ',τ)]P.B.=T-1ημνδ(σ-σ')から,[αmμnν]P.B.を計算してみると,m,nがゼロの場合も含めて,閉弦と同じ関係式:[αmμnν]P.B.=imδm+nημν,および[pμ,xν]P.B.=ημνが得られます。

今日はここまでにします。 

参考文献:M.B.Green,J.H.Schwarz,& E.Witten著「superstring theory」(Cambridge University Press)

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