超弦理論(14)(2-3): TOSHIの宇宙

2009年3月20日 (金)

超弦理論(14)(2-3)

まだ,数論や代数幾何関連の原稿がまとまらないので,超弦理論(superstring theory)の続きでつなぎます。

Ｇ_αβ≡∂_αＸ^μ∂_βＸ_μと定義しＧ≡|detＧ_αβ|とおけば,場の方程式δＳ/δｈ^αβ＝0 によってエネルギー運動量テンソルＴ_αβが消えるということは,Ｇ_αβ＝(1/2)ｈ_αβｈ^α'β'∂_α'Ｘ^μ∂_β'Ｘ_μ＝(1/2)ｈ_αβｈ^α'β'Ｇ_α'β',Ｇ＝(1/4)ｈ(ｈ^αβＧ_αβ)²なる式が成立することを意味します。

そこで,∫_Σｄ²σｈ^1/2ｈ^αβＧ_αβ＝∫_Σｄ²σＧ^1/2とも書けます。この係数を除いた作用の表現∫_Σｄ²σＧ^1/2は南部(Nambu)によって初めて提案された世界面Σの面積を厳密に表わす公式です。

　弦についての力学と量子化の次の解析のプロセスは,便利なゲージ選択をすることで処理されます。

　２つの再パラメータ化と１つのワイルスケーリング(Weil-scaling)という３つの局所対称性が,"ｈ_αβの３つの独立成分の任意性＝ゲージ選択の自由度"に寄与します。

そして,この自由度を用いるとｈ_αβを平坦なミンコフスキー計量η_αβに選択することが正当化されます。

この便利な計量の選択を採用すれば,弦の作用Ｓ＝－(Ｔ/2)∫ｄ²σｈ^1/2ｈ^αβ∂_αＸ^μ∂_βＸ_μはＳ＝－(Ｔ/2)∫ｄ²ση^αβ∂_αＸ^μ∂_βＸ_μ＝－(Ｔ/2)∫ｄ²σ∂_αＸ^μ∂^αＸ_μに単純化されます。

　この簡単化された作用の変分原理から導かれるオイラー・ラグランジュの方程式は,単純な２次元の自由波動方程式になります。すなわち,□Ｘ^μ＝(∂²/∂τ²－∂²/∂σ²)Ｘ^μ＝0 です。

これは開弦の場合には必要条件ですが,両端を固定しない一般変分Ｘ^μ→Ｘ^μ＋δＸ^μの下での作用Ｓ＝－(Ｔ/2)∫ｄ²ση^αβ∂_αＸ^μ∂_βＸ_μの不変性を保証するには十分ではありません。

一般に,変分Ｘ^μ→Ｘ^μ＋δＸ^μの下でのＳの変分は□Ｘ^μ＝(∂²/∂τ²－∂²/∂σ²)Ｘ^μ＝0 に比例する体積項だけでなく,－Ｔ∫ｄτ[(Ｘ_μ'δＸ^μ)|_σ=π－(Ｘ_μ'δＸ^μ)|_σ=0]で表わされる表面項を含みます。

この表面項が消えることを要求することから開弦の境界条件が得られます。ただしＸ_μ'≡∂Ｘ_μ/∂σなる記法を用いています。

一方,閉弦については,□Ｘ^μ＝(∂²/∂τ²－∂²/∂σ²)Ｘ^μ＝0 とＸ^μのσに関する周期性がＳの停留性δＳ＝0 を保証するのに必要かつ十分です。

２次元では,こうしたゼロ質量の運動方程式□Ｘ^μ＝(∂²/∂τ²－∂²/∂σ²)Ｘ^μ＝0 の一般解は２つの任意関数Ｘ_R^μ,Ｘ_L^μの和で表現できます。

すなわち,Ｘ^μ(σ)＝Ｘ_R^μ(σ^－)＋Ｘ_L^μ(σ^＋);σ^－≡τ－σ,σ^＋≡τ＋σです。Ｘ_R^μは弦の右に進むモードを表わし,Ｘ_L^μは弦の左に進むモードを表わします。σ^＋,σ^－は世界面の光円錐座標と呼ばれます。

σ^±に共役な微分∂_±を∂_±≡(∂_τ±∂_σ)/2で定義します。すると光円錐座標ではミンコフスキー世界面の計量テンソル成分は次のようになります。

すなわち,η_＋－＝η_－＋＝1/2,η_＋＋＝η_－－＝0 です。つまりη_αβｄσ^αｄσ^β＝ｄτ²－ｄσ²＝ｄσ^＋ｄσ^－＝(1/2)ｄσ^＋ｄσ^－＋(1/2)ｄσ^－ｄσ^＋ですね。

そこで,これらの逆はη^＋－＝η^－＋＝2です。それ故,世界面の添字は規則Ｕ^＋＝2Ｕ_－,Ｕ^－＝2Ｕ_＋によって,交差的に上げ下げされます。光円錐座標では∂_＋σ^－＝(∂_τσ^－＋∂_σσ^－)/2＝0 なので,∂_＋Ｘ_R^μ(σ^－)＝(∂_＋σ^－)(ｄＸ_R^μ/ｄσ^－)＝0 ,同様に∂_－σ^＋＝0 より∂_－Ｘ_L^μ(σ^＋)＝0 です。

また,∂_＋σ^＋＝(∂_τσ^＋＋∂_σσ^－＋)/2＝1ですから,∂_＋Ｘ_L^μ(σ^＋)＝ｄＸ_L^μ/ｄσ^＋です。同様に,∂_＋Ｘ_L^μ(σ^＋)＝ｄＸ_R^μ(σ^－)/ｄσ^－です。

それ故,確かに∂_±＝∂/∂σ^±であり,∂_＋Ｘ^μ＝∂_＋Ｘ_L^μ,∂_－Ｘ^μ＝∂_－Ｘ_R^μと書けます。

波動方程式:□Ｘ^μ＝(∂²/∂τ²－∂²/∂σ²)Ｘ^μ＝4∂_＋∂_－Ｘ^μ＝0は,さらに拘束方程式Ｔ_αβ＝0 で補足されます。

σ微分:Ｘ_μ'≡∂Ｘ_μ/∂σに対して,τ微分をＸ_μ^d≡∂Ｘ_μ/∂τで記述すると,拘束方程式Ｔ_αβ＝0 は次のように書けます。

すなわち,Ｔ₁₀＝Ｔ₀₁＝－Ｘ^dＸ'＝0 ,かつＴ₀₀＝Ｔ₁₁＝－[(Ｘ^d)²＋Ｘ'²]/2＝0 です。

世界面のエネルギー運動量テンソルＴ_αβをテンソル解析の標準規則に従ってσ^±座標系で書けば,まず,Ｔ_＋＋＝(1/4)(Ｔ₀₀＋Ｔ₀₁＋Ｔ₁₀＋Ｔ₁₁)＝(1/2)(Ｔ₀₀＋Ｔ₀₁)＝－∂_＋Ｘ∂_＋Ｘ,Ｔ_－－＝(1/4)(Ｔ₀₀－Ｔ₀₁－Ｔ₁₀＋Ｔ₁₁)＝(1/2)(Ｔ₀₀－Ｔ₀₁)＝－∂_－Ｘ∂_－Ｘです。

そして,Ｔ_＋－＝(1/4)(Ｔ₀₀－Ｔ₀₁＋Ｔ₁₀－Ｔ₁₁)＝(1/4)(Ｔ₀₀－Ｔ₁₁),Ｔ_－＋＝(1/4)(Ｔ₀₀＋Ｔ₀₁－Ｔ₁₀－Ｔ₁₁)＝(1/4)(Ｔ₀₀－Ｔ₁₁)です。

Ｔ_αβのトレース:ｈ^αβＴ_αβがゼロであることは,Ｔ_＋－＝Ｔ_－＋＝0 を意味します。

Ｔ_αβは対称テンソル故,Ｔ₀₁＝Ｔ₁₀は当然ですからＴ_＋－＝Ｔ_－＋＝0 はＴ₀₀＝Ｔ₁₁に同等ですが,既にＴ₀₀＝Ｔ₁₁＝－[(Ｘ^d)²＋Ｘ'²]/2＝0 ですから,この要求は自動的に満たされています。

トレースがゼロという既に満たされている恒等式Ｔ_＋－＝Ｔ_－＋＝0 を除けば,拘束条件Ｔ_αβ＝0 はＴ_－－＝Ｔ_＋＋＝0 に帰着します。

また,Ｔ_＋＋＝－∂_＋Ｘ∂_＋Ｘ,Ｔ_－－＝－∂_－Ｘ∂_－Ｘですが,∂_＋Ｘ＝∂_＋Ｘ_L＝Ｘ_L^d,∂_－Ｘ＝∂_－Ｘ_R＝Ｘ_R^dですから,Ｔ_＋＋＝－(Ｘ_L^d)²,Ｔ_－－＝－(Ｘ_R^d)²です。

それ故,拘束条件Ｔ_－－＝Ｔ_＋＋＝0 は(Ｘ_R^d)²＝(Ｘ_L^d)²＝0 なることを意味します。

また,２次元のエネルギー運動量保存則は∂^βＴ_αβ＝0 と書けますが,これは光円錐座標では∂^＋Ｔ_＋＋＋∂^－Ｔ_＋－＝0 かつ∂^＋Ｔ_－＋＋∂^－Ｔ_－－＝0 となります。

ここで,∂^＋＝2∂_－,∂^－＝2∂_＋なので,これらは∂_－Ｔ_＋＋＋∂_＋Ｔ_＋－＝0 かつ∂_－Ｔ_－＋＋∂_＋Ｔ_－－＝0 と同値です。

共形不変な場合には,トレースレスなので恒等的にＴ_＋－＝Ｔ_－＋＝0 ですから,結局∂_－Ｔ_＋＋＝0 かつ∂_＋Ｔ_－－＝0 となります。

∂_－Ｔ_＋＋＝0 というのはＴ_＋＋にとっては非常に強力な命題です。例えばｆ(σ^＋)がσ^＋の任意関数とすると,当然∂_－ｆ＝0 ですから∂_－Ｔ_＋＋＝0 から∂_－(ｆＴ_＋＋)＝0 となります。

具体的には,カレントｆＴ_＋＋によるチャージをＱ_f≡∫ｄσ(ｆ(σ^＋)Ｔ_＋＋(σ)}とすると,ｄＱ_f/ｄτ＝∫ｄσ{∂(ｆＴ_＋＋)/∂σ}＝0 ですから,Ｑ_fが保存量になるわけです。ｆ(σ^＋)は任意なので,Ｑ_fの全体は保存量の無限集合を構成します。

このように共形不変性が保存量の１つの無限集合に結びつくのは,２次元時空のみの特徴です。たった今見出されたようにＴ_－－＝－(Ｘ_R^d)²,およびＴ_＋＋＝－(Ｘ_L^d)²が保存量であることは,拘束条件(Ｘ_R^d)²＝(Ｘ_L^d)²＝0 が保存されることを意味します。

拘束条件として(Ｘ_R^d)²,(Ｘ_L^d)²をゼロと置くということが意味を持つのは,それらが時間が経過しても保存されるからです。

そうした(Ｘ_R^d)²,(Ｘ_L^d)²が保存されるということは,ある時刻にこれらが消えるなら,その後のあらゆる時刻にも消えることを意味します。

弦理論では,今問題にしている保存量はゲージ固定をした後でもまだ残っている対称性に対応しています。すなわち,共変ゲージの典型的な形としてｈ^αβ＝η^αβと置くだけでは,まだゲージ自由度を完全には使い尽くしていません。

これを見るため,次のような再パラメータ化＋ワイルスケーリングの∂^αξ^β＋∂^βξ^α＝Λη_αβを満たす任意の組合わせに対してゲージ選択:ｈ^αβ＝η^αβがなお保持されることに着目します。

※(訳注14)：先に述べたＳを不変に保つ再パラメータ化:σ^α→σ^α＋δσ^α(δσ^α＝ξ^α)と,それに伴なうδＸ^μ＝ξ^α∂_αＸ^μ,δｈ^αβ＝ξ^γ∂_γｈ^αβ－∂_γξ^αｈ^γβ－∂_γξ^βｈ^αγ,δｈ^1/2＝∂_α(ξ^αｈ^1/2),およびワイルスケーリングδｈ^αβ＝Λｈ^αβにおいて,ｈ^αβ＝η^αβ(ｈ＝1),∂^αξ^β＋∂^βξ^α＝Λη_αβとすると,

　再パラメータ化:δｈ^αβ＝－∂^βξ^α－∂^αξ^β＝－Λη_αβとワイルスケーリング:δｈ^αβ＝Λη^αβが相殺してトータルの変分がδｈ^αβ＝0 ,またはη^αβ→η^αβ＋δｈ^αβ＝η^αβとなります。※

このとき,∂_τξ⁰＝∂_σξ¹＝Λ/2,∂_τξ¹＝∂_σξ⁰より,∂_τ(ξ⁰＋ξ¹)＝∂_σ(ξ⁰＋ξ¹),∂_τ(ξ⁰－ξ¹)＝∂_σ(ξ¹－ξ⁰)です。

つまり,これはξ^±＝ξ⁰±ξ¹なる光円錐系の言葉では∂_－ξ^＋＝0 ,∂_＋ξ^－＝0 ,すなわちξ^＋はσ^＋＝τ＋σの任意関数,ξ^－はσ^－＝τ－σの任意関数であることを意味します。

世界面の再パラメータ化δσ^α＝ξ^αを演算子Ｖ^≡ξ^α(∂/∂σ^α)で生成される変換と考えるなら,共変ゲージ選択ｈ^αβ＝η^αβの後にもなお残る対称性変換を生成子Ｖ^＋≡ξ^＋(σ^＋)(∂/∂σ^＋),Ｖ^－≡ξ^－(σ^－)(∂/∂σ^－)で表現することができます。

この対称性は,後節で光円錐ゲージを導入する際にも用います。

かくして,ネーター保存量として∂_－(ｆＴ_＋＋)＝0 から保存チャージＱ_f≡∫ｄσ(ｆ(σ^＋)Ｔ_＋＋(σ)},ｄＱ_f/ｄτ＝0 を与えるものが,ξ^＋＝ｆＴ_＋＋としてＶ^＋≡ξ^＋(σ^＋)(∂/∂σ^＋)で生成される対称性であることがわかります。

演算子Ｖ^＋≡ξ^＋(σ^＋)(∂/∂σ^＋),Ｖ^－≡ξ^－(σ^－)(∂/∂σ^－)は２次元ミンコフスキー空間における共形変換群の生成子です。そして,唯一２次元においてのみ,共形群は生成子が無限個存在する無限次元表現を持ちます。

(※(訳注)：このことが,他の薄膜などの３次元以上の粒子モデルとは異なり,無限個の素粒子,複合粒子,共鳴粒子たちの連鎖を無限個の弦のモード(共鳴振動数)として記述できる弦モデルの優位性の源です。)

さて,こうして２次元のコンパクト多様体の２つの型の境界条件に対応するトポロジーとして閉弦と開弦があるわけですが,閉弦は自由端を持たないループなので位相的には円と等価です。

これに対し適切な境界条件は空間座標に対する周期性です。これは今の単位ではＸ^μ(σ,τ)＝Ｘ^μ(σ＋π,τ)です。

この周期性に堪える運動方程式の一般解Ｘ^μ(σ)＝Ｘ_R^μ(σ^－)＋Ｘ_L^μ(σ^＋);σ^－＝τ－σ,σ^＋＝τ＋σの右辺の項は次のように表わすことができます。

すなわち,Ｘ_R^μ＝(1/2)ｘ^μ＋(1/2)ｌ²ｐ^μ(τ－σ)＋(i/2)ｌΣ_n≠0[(α_n^μ/ｎ)exp{－2iｎ(τ－σ)}],Ｘ_L^μ＝(1/2)ｘ^μ＋(1/2)ｌ²ｐ^μ(τ＋σ)＋(i/2)ｌΣ_n≠0[(α~_n^μ/ｎ)exp{－2iｎ(τ＋σ)}]です。

ここで,α_n^μ,α~_n^μはフーリエ成分ですが,これは振動子座標と解釈されます。

ｌは基本的長さと名付けられる量で,これはｈ/(2π)＝ｃ＝1なる自然単位で,レッジェ軌跡(Regge trajectory)の傾きパラメータα'および弦の張力Ｔと,ｌ＝(2α')^1/2＝1/(πＴ)^1/2で関連付けられます。しかし,後節では一般にｌ＝１と設定されます。

ｘ^μ,およびｐ^μについては,それぞれ,弦の質量中心(重心)の位置の座標,および運動量と解釈されます。展開における(1/2),(i/2)などの規格化定数は後の計算の整合性のために選ばれています。

Ｘ^μ＝Ｘ_R^μ＋Ｘ_L^μにおいてはＸ_R^μとＸ_L^μでのσの１次の項が相殺されるため,閉弦の境界条件:Ｘ^μ(σ,τ)＝Ｘ^μ(σ＋π,τ)は確かに満たされています。

Ｘ^μ,Ｘ_R^μ,Ｘ_L^μは元々世界面座標であってσ^－,σ^＋の実数値関数ですから,ｘ^μ,およびｐ^μは実数でありα_-n^μはα_n^μのα~_-n^μはα~_n^μの共役です。すなわち,α_-n^μ＝(α_n^μ)^＋,α~_-n^μ＝(α~_n^μ)^＋です。

そして,振動子座標α_n^μ,α~_n^μのポアソン括弧(Poisson's bracket)を決めることも本質的な作業です。

この作業を実行するために,Ｓ＝－(Ｔ/2)∫ｄ²ση^αβ∂_αＸ^μ∂_βＸ_μからＸ^μとＸ^μdの同時刻(同じτ)でのポアソン括弧が[Ｘ^μ(σ,τ),Ｘ^ν(σ',τ)]_P.B.＝[Ｘ^μd(σ,τ),Ｘ^νd(σ',τ)]_P.B.＝0 ,[Ｘ^μd(σ,τ),Ｘ^ν(σ',τ)]_P.B.＝Ｔ^-1η^μνδ(σ－σ')で与えられることに着目します。

※(訳注15):Ｓ＝－(Ｔ/2)∫ｄ²ση^αβ∂_αＸ^μ∂_βＸ_μ＝－(Ｔ/2)∫ｄ²σ(Ｘ^μdＸ_μ^d－Ｘ^μ'Ｘ_μ')です。そこで,－δＳ/δＸ^μd＝Ｐ_μ＝ＴＸ_μ^dです。

　それ故,正準括弧式[Ｐ_μ,Ｘ^ν]_P.B.＝δ_μ^νは,[ＴＸ_μ^d,Ｘ^ν]_P.B.＝δ_μ^ν,または[Ｘ_μ^d,Ｘ^ν]_P.B.＝Ｔ^-1δ_μ^νを意味しますから,[Ｘ^μd,Ｘ^ν]_P.B.＝Ｔ^-1η^μνを得ます。(訳注15終わり)※

これらのポアソン括弧式に,Ｘ_R^μ＝(1/2)ｘ^μ＋(1/2)ｌ²ｐ^μ(τ－σ)＋(i/2)ｌΣ_n≠0[(α_n^μ/ｎ)exp{－2iｎ(τ－σ)}],Ｘ_L^μ＝(1/2)ｘ^μ＋(1/2)ｌ²ｐ^μ(τ＋σ)＋(i/2)ｌΣ_n≠0[(α~_n^μ/ｎ)exp{－2iｎ(τ＋σ)}]を代入することから,

[α_m^μ,α_n^ν]_P.B.＝[α~_m^μ,α~_n^ν]_P.B.＝iｍδ_m+nη^μν,[α_m^μ,α~_n^ν]_P.B.＝0 が得られます。

(※この後に量子化して,ポアソン括弧を交換子で置き換えると,[α_m^μ,α_n^ν]_P.B.＝[α~_m^μ,α~_n^ν]_P.B.＝iｍδ_m+nη^μνの右辺の係数ｉが実数－1 になります。※)

※(訳注16):(証明)Ｘ^μ＝ｘ^μ＋ｌ²ｐ^μτ＋(i/2)ｌΣ_n≠0[(1/ｎ)(α_n^μexp{－2iｎ(τ－σ)}＋α~_n^μexp{－2iｎ(τ＋σ)})],Ｘ^μd＝ｌ²ｐ^μ＋ｌΣ_n≠0[α_n^μexp{－2iｎ(τ－σ)}＋α~_n^μexp{－2iｎ(τ＋σ)}]です。

　そこで,ｍ≠0 なら,(1/π)∫₀^πexp(－2iｍσ)Ｘ^μ(τ,σ)ｄσ＝{iｌ/(2ｍ)}{α_m^μexp(－2iｍτ)－α~_-m^μexp(2iｍτ)},(1/π)∫₀^πexp(－2iｍσ)Ｘ^μd(τ,σ)ｄσ＝ｌ{α_m^μexp(－2iｍτ)＋α~_-m^μexp(2iｍτ)}です。

　したがって,α_n^μ＝{exp(2iｎτ)/(iπｌ)}∫₀^πｄσ[exp(－2iｎσ)(iＸ^μd/2＋ｎＸ^μ)],α~_n^μ＝{exp(2iｎτ)/(iπｌ)}∫₀^πｄσ[exp(2iｎσ)(iＸ^μd/2＋ｎＸ^μ)]です。

　それ故,[α_m^μ,α_n^ν]_P.B.＝[exp{2i(ｍ＋ｎ)τ}/(－π²ｌ²)]∫₀^πｄσ∫₀^πｄσ'[exp(－2iｍσ－2iｎσ')[iＸ^μd(σ,τ)/2＋ｍＸ^μ(σ,τ),iＸ^νd(σ',τ)/2＋ｎＸ^ν(σ',τ)]_P.B＝[exp{2i(ｍ＋ｎ)τ}/(－π²ｌ²Ｔ)]{iη^μν(ｎ－ｍ)/2}∫₀^πｄσ[exp{－2i(ｍ＋ｎ)σ}]＝iｍη^μνδ_m+n/(π²ｌ²Ｔ)です。

　結局,[α_m^μ,α_n^ν]_P.B.＝iｍδ_m+nη^μνが得られます。

　ここで,前に述べた等式ｌ＝1/(πＴ)^1/2によって,π²ｌ²Ｔ＝1となることを用いました。また,δ_m+nなる記号はｍ＋ｎ＝0なら１,ｍ＋ｎ≠0ならゼロを意味しています。

　ほぼ同様にして,[α~_m^μ,α~_n^ν]_P.B.＝iｍδ_m+nη^μνを示すことができます。

　また,[α_m^μ,α~_n^ν]_P.B.＝[exp{2i(ｍ＋ｎ)τ}/(－π²ｌ²)]∫₀^πｄσ∫₀^πｄσ'[exp(－2iｍσ＋2iｎσ')[iＸ^μd(σ,τ)/2＋ｍＸ^μ(σ,τ),iＸ^νd(σ',τ)/2＋ｎＸ^ν(σ',τ)]_P.B＝[exp{2i(ｍ＋ｎ)τ}/(－π²ｌ²Ｔ)]{iη^μν(ｎ－ｍ)/2}∫₀^πｄσ[exp{－2i(ｍ－ｎ)σ}]＝0 が得られます。(証明終わり)

　(訳注16終わり)※ 　

ｎ≠0 に対する弦の座標のフーリエモードは調和振動子座標です。これは他の自由場に関する経験から予想されたものです。すなわち,ヴァイオリンの弦に関する経験から得られるものと同一です。

特に,α₀^μ＝α~₀^μ≡ｌｐ^μ/2 なる規約を採用すれば,[α_m^μ,α_n^ν]_P.B.＝[α~_m^μ,α~_n^ν]_P.B.＝iｍδ_m+nη^μν,[α_m^μ,α~_n^ν]_P.B.＝0 はｍ＝0 ,またはｎ＝0 の場合にも成立します。

そして,またＸ_R^μ＝(1/2)ｘ^μ＋(1/2)ｌ²ｐ^μ(τ－σ)＋(i/2)ｌΣ_n≠0[(α_n^μ/ｎ)exp{－2iｎ(τ－σ)}],Ｘ_L^μ＝(1/2)ｘ^μ＋(1/2)ｌ²ｐ^μ(τ＋σ)＋(i/2)ｌΣ_n≠0[(α~_n^μ/ｎ)exp{－2iｎ(τ＋σ)}]を,[Ｘ^μd(σ,τ),Ｘ^ν(σ',τ)]_P.B.＝Ｔ^-1η^μνδ(σ－σ')と対照して見比べると,[ｐ^μ,ｘ^ν]_P.B.＝η^μνを得ます。

このことから弦の重心の位置と運動量と予想して同定したｘ^μとｐ^μは確かに正準共役変数であることがわかります。

※(訳注17):実際,Ｘ^μ＝ｘ^μ＋ｌ²ｐ^μτ＋(i/2)ｌΣ_n≠0[(1/ｎ)(α_n^μexp{－2iｎ(τ－σ)}＋α~_n^μexp{－2iｎ(τ＋σ)})],Ｘ^μd＝ｌ²ｐ^μ＋ｌΣ_n≠0[α_n^μexp{－2iｎ(τ－σ)}＋α~_n^μexp{－2iｎ(τ＋σ)}]より,(1/π)∫₀^πＸ^μ(σ,τ)ｄσ＝ｘ^μ＋ｌ²ｐ^μτ,(1/π)∫₀^πＸ^μd(σ,τ)ｄσ＝ｌ²ｐ^μです。

　それ故,ｘ^μ＝(1/π)∫₀^π(Ｘ^μ－τＸ^μd)ｄσ,ｐ^μ＝{1/(ｌ²π)}∫₀^πＸ^μdｄσです。

　そこで,[ｐ^μ,ｘ^ν]_P.B.＝η^μνが得られるわけです。

　(訳注17終わり)※

一方,開弦の場合には,既に述べたようにδＳの表面項:－Ｔ∫ｄτ[(Ｘ_μ'δＸ^μ)|_σ=π－(Ｘ_μ'δＸ^μ)|_σ=0]が消えることが要求され,これから境界条件が決まります。

すなわち,σ＝0 とσ＝πにおいて,Ｘ^μ'≡∂Ｘ^μ/∂σ＝0 です。

言い換えると,弦Ｘ^μの法線成分は弦の境界で消える必要があるということです。

これらは自由端の境界条件です。

弦の端からの運動量の流出入を防止するこうした境界条件を持つ波動方程式の一般解は,Ｘ^μ(σ,τ)＝ｘ^μ＋ｌ²ｐ^μτ＋iｌΣ_n≠0[(α_n^μ/ｎ)exp(－iｎτ)cos(ｎσ)]で与えられます。

開弦の境界条件は左移動成分と右移動成分を結合させてexp(－iｎτ)cos(ｎσ)で展開されるような定在波にするという意味があります。

特に,2∂_±Ｘ^μ＝Ｘ^μd±Ｘ^μ'＝ｌΣ_-∞^∞[α_n^μexp{－iｎ(τ±σ)}],(α₀^μ≡ｌｐ^μ)です。

閉弦でこれに対応する式は,∂_－Ｘ_R^μ＝Ｘ_R^μd＝ｌΣ_-∞^∞[α_n^μexp{－2iｎ(τ－σ)}],∂_＋Ｘ_L^μ＝Ｘ_L^μd＝ｌΣ_-∞^∞[α~_n^μexp{－2iｎ(τ＋σ)}](α₀^μ＝α~₀^μ≡ｌｐ^μ/2)です。

開弦との重要な違いは,閉弦では右移動モードと左移動モードが全く独立なことです。

そして指数部分は開弦ではexp{－iｎ(τ±σ)},閉弦ではexp{－2iｎ(τ±σ)}であって余分な２という係数因子があるのが異なる点です。これ以外に異なる点はありません。

※(訳注17):開弦Ｘ^μ(τ,σ)＝ｘ^μ＋ｌ²ｐ^μτ＋iｌΣ_n≠0[(α_n^μ/ｎ)exp(－iｎτ)cos(ｎσ)]についても,ポアソン括弧が[Ｘ^μ(σ,τ),Ｘ^ν(σ',τ)]_P.B.＝[Ｘ^μd(σ,τ),Ｘ^νd(σ',τ)]_P.B.＝0,[Ｘ^μd(σ,τ),Ｘ^ν(σ',τ)]_P.B.＝Ｔ^-1η^μνδ(σ－σ')から,[α_m^μ,α_n^ν]_P.B.を計算してみると,ｍ,ｎがゼロの場合も含めて,閉弦と同じ関係式:[α_m^μ,α_n^ν]_P.B.＝iｍδ_m+nη^μν,および[ｐ^μ,ｘ^ν]_P.B.＝η^μνが得られます。