超弦理論(15)(2-4): TOSHIの宇宙

2009年3月24日 (火)

超弦理論(15)(2-4)

数論やカー時空,光の散乱の問題,それに野球観戦,その他目移りだらけで,まとまりがつかず,結局,ブログのツナギといってもこれしか能がないので一つ覚えですが,またまた超弦理論の続きです。

　さて,背景Ｄ次元時空のポアンカレ(Poincare)不変性を考えます。

　ポアンカレ変換:δＸ^μ＝ａ^μ_νＸ^ν＋ｂ^μは,２次元理論の見地からは大局的対称性なので,それらは保存するネーターカレント(Noether current)と関連しています。

　場の理論では,ネーターの方法として知られている標準的な手続きがあります。

　これは,φ(σ)を任意の場としεを無限小の定数パラメータとした大局的対称性変換φ(σ)→φ(σ)＋εδφ(σ)に対する作用Ｓの不変性に伴なう保存カレントＪ_αを求めるものです。

　大局的変換ではなく,φ(σ)→φ(σ)＋ε(σ)δφ(σ)なる局所的変換も考えられますが,このときにはε＝ε(σ)は無限小パラメータですが定数ではありません。

　大局的対称性を持つ作用Ｓでも,こうした一般的な局所的変換の下で不変であるとは限りません。しかし,逆にＳが局所的変換で不変な場合には,その特別な場合としてεが定数の大局的変換に対してもＳは不変です。

　Ｓが大局的変換に対して不変な場合,ネーターの保存カレントＪ_αが存在して,局所的変換φ(σ)→φ(σ)＋ε(σ)δφ(σ)に対する作用Ｓの変分を,δＳ＝∫ｄ²σ(Ｊ_α∂^αε)と表わすことができます。

　この一般的表現を見ても,εが定数ならδＳ＝0 は明白です。

※(訳注18):Ｓ＝－(Ｔ/2)∫ｄ²σ∂_αＸ^μ∂^αＸ_μより,Ｘ^μ(σ)→Ｘ^μ(σ)＋ε(σ)δＸ^μに対して,δＳ＝－(Ｔ/2)∫ｄ²σ[ε{∂_α(δＸ^μ)∂^αＸ_μ}＋ε{∂_αＸ^μ∂^α(δＸ_μ)}]－∫ｄ²σ{(ＴδＸ^μ∂_αＸ_μ)∂^αε}となります。

　仮定によってε(σ)が定数εのときの大局的変換に対してδＳ＝0 なので,右辺第１項はゼロです。したがって,一般のε(σ)ではδＳ＝－∫ｄ²σ{(ＴδＸ^μ∂_αＸ_μ)∂^αε}となります。

　すなわち,εが任意定数のとき,右辺第１項＝－(Ｔ/2)∫ｄ²σ[ε{∂_α(δＸ^μ)∂^αＸ_μ}＋ε{∂_αＸ^μ∂^α(δＸ_μ)}]＝0 という式から－(Ｔ/2){∂_α(δＸ^μ)∂^αＸ_μ}＋{∂_αＸ^μ∂^α(δＸ_μ)}＝－∂^α(ＴδＸ^μ∂_αＸ_μ)＝0 なる式を得ます。

　そこで,Ｊ_α≡－ＴδＸ^μ∂_αＸ_μとおけば,これは∂^αＪ_α＝0 を意味するわけです。

　これにより,Ｊ_αは保存カレントとなり,しかもδＳ＝－∫ｄ²σ{(ＴδＸ^μ∂_αＸ_μ)∂^αε}＝∫ｄ²σ(Ｊ_α∂^αε)と表現されます。

　(訳注18終わり)※ 　

　このようにして,定義されたカレントは運動方程式が満たされる場合には常に保存されます。

　実際,運動方程式が満たされるとき,作用積分の境界でゼロの任意の変分,特にφ(σ)→φ(σ)＋εδφ(σ)の形の変分の下で任意の無限小定数εに対してδＳ＝0 となって,作用Ｓは停留値を取ります。これは∂^αＪ_α＝0 が満たされる場合にのみ可能です。

　この方法を適用して,ａ^μ_ν,ｂ^μが無限小定数のポアンカレ変換:δＸ^μ＝ａ^μ_νＸ^ν＋ｂ^μに関わる保存カレントを導くことができます。

　すなわち,Ｐ_α^μ＝Ｔ∂_αＸ^μ,およびＪ_α^μν＝Ｔ(Ｘ^μ∂_αＸ^ν－Ｘ^ν∂_αＸ^μ)です。

※(訳注19):δＸ^μ＝ａ^μ_νＸ^ν＋ｂ^μなる変換で,特にａ^μ_ν＝0 としたδＸ^μ＝ｂ^μの平行移動に関連して,Ｊ_α＝－ＴδＸ^μ∂_αＸ_μにδＸ^μ＝ｂ^μを代入すると,Ｊ_α＝－Ｔｂ^μ∂_αＸ_μとなります。

この場合は,上の大局的変換Ｘ^μ→Ｘ^μ＋εδＸ^μにおけるεδＸ^μが無限小パラメータｂ^μそのものに対応していて,Ｊ_α＝－Ｔｂ_μ∂_αＸ^μ,かつ∂^αＪ_α＝0 で与えられるカレントＪ_αの表現ではｂ_μのそれぞれが各添字μについて独立な任意の定数εの役割を果たします。

そこで,Ｐ_α^μ≡Ｔ∂_αＸ^μなる量Ｐ_α^μを定義すると∂^αＰ_α^μ＝0 が満たされます。そしてＰ_α^μが平行移動δＸ^μ＝ｂ^μに関連したネーターカレントになります。

　同様に,δＸ^μ＝ａ^μ_νＸ^ν＋ｂ^μなる変換で,特にｂ^μ＝0 としたδＸ^μ＝ａ^μ_νＸ^νのローレンツ変換に関連して,Ｊ_α＝－ＴδＸ^μ∂_αＸ_μにδＸ^μ＝ａ^μ_νＸ^νを代入すると,Ｊ_α＝－Ｔａ^μ_νＸ^ν∂_αＸ_μとなります。

　そして,無限小ローレンツ変換ではａ_μν＝－ａ_νμなので,これはＪ_α＝(Ｔ/2)ａ_μν(Ｘ^μ∂_αＸ^ν－Ｘ^ν∂_αＸ^μ)と変形されます。

元々ネーターカレントには係数だけの曖昧さがあります。

上のＰ_α^μ≡Ｔ∂_αＸ^μを運動量密度カレントと見なし,Ｊ_α^μνを角運動量密度カレントと見れば,δＸ^μ＝ａ^μ_νＸ^νに関連したネーターカレントは一般の角運動量ｌ^μνの定義ｌ^μν≡ｘ^μｐ^ν－ｘ^νｐ^μと比較して,Ｊ_α^μν≡Ｔ(Ｘ^μ∂_αＸ^ν－Ｘ^ν∂_αＸ^μ)と定義するのが妥当と思われます。

このときには,Ｊ_α＝ａ_μνＪ^μν_α/2であり,∂^αＪ_α＝0 と∂^αＪ_α^μν＝0 が同値になります。

(訳注19終わり)※

　Ｐ^α≡{Ｐ^αμ}は２次元世界面のＤ次元時空における平行移動不変性に関わるカレントです。

　また,Ｊ^α≡{Ｊ^αμν}は２次元世界面のＤ次元時空におけるローレンツ不変性に関わるカレントです。

　これらのカレントの保存は,∂_αＰ^α＝0,∂_αＪ^α＝0 で記述されます。そこで,Ｐ^α,Ｊ^αは２次元世界面上のＤ次元運動量密度,角運動量密度を記述していると考えられます。

　したがって,例えば,世界面の任意の線素片ｄｓ＝(ｄσ,ｄτ)を横切って流れる総運動量ｄＰ＝{ｄＰ^μ}は,ｄＰ＝Ｐ_τｄσ＋Ｐ_σｄτで与えられます。

これが消えるという要求は,任意のτで弦の端点σ＝0,πにおける変分δＸ^μは任意なので,∫ｄＰ|_σ=π＝0,かつ∫ｄＰ|_σ=0＝0 なることを意味します。

つまり,これは実際に端点からの弦の運動量の出入りがないことを意味し,開弦の端点での境界条件σ＝0,πでＸ^μ'≡∂Ｘ^μ/∂σ＝0 :弦Ｘ^μの法線成分が弦の境界で消えるということと同値です。

同様な命題は,角運動量密度カレントＪ^α≡{Ｊ^αμν}にも当てはまります。

そして,１つの弦の保存するＤ次元総運動量,総角運動量の成分は密度カレントＰ_α^μ＝Ｔ∂_αＸ^μ,Ｊ_α^μν＝Ｔ(Ｘ^μ∂_αＸ^ν－Ｘ^ν∂_αＸ^μ)のうちで,Ｐ₀^μ＝Ｐ_τ^μ,Ｊ₀^μν＝Ｊ_τ^μνをτ＝0 においてσで積分すれば得られます。

例えば閉弦では,Ｘ^μ(σ)＝Ｘ_R^μ(σ^－)＋Ｘ_L^μ(σ^＋);σ^－＝τ－σ, σ^＋＝τ＋σ;Ｘ_R^μ＝(1/2)ｘ^μ＋(1/2)ｌ²ｐ^μ(τ－σ)＋(i/2)ｌΣ_n≠0[(α_n^μ/ｎ)exp{－2iｎ(τ－σ)}],Ｘ_L^μ＝(1/2)ｘ^μ＋(1/2)ｌ²ｐ^μ(τ＋σ)＋(i/2)ｌΣ_n≠0[(α~_n^μ/ｎ)exp{－2iｎ(τ＋σ)}](α₀^μ＝α~₀^μ≡ｌｐ^μ/2)です。

そこで,∂Ｘ^μ/∂τ＝∂Ｘ_R^μ/∂τ＋∂Ｘ_L^μ/∂τなので,τ＝0 では∂Ｘ_R^μ/∂τ＝(1/2)ｌ²ｐ^μ＋ｌΣ_n≠0[α_n^μexp(2iｎσ)],∂Ｘ_L^μ/∂τ＝(1/2)ｌ²ｐ^μ＋ｌΣ_n≠0[α~_n^μexp(－2iｎσ)]です。

したがって,πＴｌ²＝1より,Ｐ^μ＝Ｔ∫₀^πｄσ{(∂Ｘ^μ/∂τ)|_τ=0}＝πＴｌ²ｐ^μ＝πＴｌ²ｐ^μ＝πＴ(ｌα₀^μ＋ｌα~₀^μ)＝ｐ^μなる等式が得られます。

そこで,弦の総運動量Ｐ^μは,0-モードα₀^μ,α~₀^μの運動量ｐ^μと同じものであることがわかります。

開弦でも,α₀^μ＝ｌｐ^μでＰ^μ＝ｐ^μ＝πＴｌα₀^μなので同じです。

一方,総角運動量は,Ｊ^μν＝Ｔ∫₀^πｄσ[{Ｘ^μ(∂Ｘ^ν/∂τ)－Ｘ^ν(∂Ｘ^μ/∂τ)}|_τ=0]で与えられます。

このＸ^μ,(∂Ｘ^ν/∂τ)etc.にモード展開を代入すれば,開弦ではＪ^μν＝ｌ^μν＋Ｅ^μν,閉弦ではＪ^μν＝ｌ^μν＋Ｅ^μν＋Ｅ~^μνと分解されます。ここに,ｌ^μν≡ｘ^μｐ^ν－ｘ^νｐ^μは 0-モードの角運動量です。

そして閉弦では,0-モード以外の角運動量はＥ^μν＝－iΣ_n＝1^∞[(α_-n^μα_n^ν－α_-n^να_n^μ)/ｎ],およびＥ~^μν＝－iΣ_n＝1^∞[(α~_-n^μα~_n^ν－α~_-n^να~_n^μ)/ｎ]で表わされます。

※(訳注20):最後に記述した総角運動量Ｊ^μνの閉弦でのモード展開式を証明します。

　τ＝0 では,Ｘ^μ＝ｘ^μ＋(iｌ/2)Σ_n≠0[{α_n^μexp(2iｎσ)＋α~_n^μexp(－2iｎσ)}/ｎ],∂Ｘ^μ/∂τ＝ｌ²ｐ^μ＋ｌΣ_n≠0{α_n^μexp(2iｎσ)＋α~_n^μexp(－2iｎσ)}です。

　そこで,Ｘ^μ(∂Ｘ^ν/∂τ)－Ｘ^ν(∂Ｘ^μ/∂τ)＝ｌ²(ｘ^μｐ^ν－ｘ^νｐ^μ)＋ｌΣ_n≠0{(ｘ^μα_n^ν－ｘ^να_n^μ)exp(2iｎσ)＋(ｘ^μα~_n^ν－ｘ^να~_n^μ)exp(－2iｎσ)}＋(iｌ³/2)Σ_n≠0[{(α_n^μｐ^ν－α_n^νｐ^μ)exp(2iｎσ)＋(α~_n^μｐ^ν－α~_n^νｐ^μ)exp(－2iｎσ)}/ｎ]＋(iｌ²/2)Σ_m≠0Σ_n≠0[{α_m^μexp(2iｍσ)＋α~_m^μexp(－2iｍσ)}{α_n^νexp(2iｎσ)＋α~_n^νexp(－2iｎσ)}/ｍ－{α_m^νexp(2iｍσ)＋α~_m^νexp(－2iｍσ)}{α_n^μexp(2iｎσ)＋α~_n^μexp(－2iｎσ)}/ｎ]です。

これの両辺に,Ｔ∫₀^πｄσを掛けてπＴｌ²＝1を用いると,Ｊ^μν＝ｘ^μｐ^ν－ｘ^νｐ^μ－iΣ_n＝1^∞[(α_-n^μα_n^ν－α_-n^να_n^μ)/ｎ]－iΣ_n＝1^∞[(α~_-n^μα~_n^ν－α~_-n^να~_n^μ)/ｎ]が得られます。

ついでに総角運動量Ｊ^μνの開弦でのモード展開もやっておきます。

τ＝0 では,Ｘ^μ＝ｘ^μ＋iｌΣ_n≠0{α_n^μcos(ｎσ)/ｎ},∂Ｘ^μ/∂τ＝ｌ²ｐ^μ＋ｌΣ_n≠0α_n^μcos(ｎσ)です。

そこで,Ｘ^μ(∂Ｘ^ν/∂τ)－Ｘ^ν(∂Ｘ^μ/∂τ)＝ｌ²(ｘ^μｐ^ν－ｘ^νｐ^μ)＋ｌΣ_n≠0{(ｘ^μα_n^ν－ｘ^να_n^μ)cos(ｎσ)}＋iｌ³Σ_n≠0{(ｐ^μα_n^ν－ｐ^να_n^μ)cos(ｎσ)/ｎ}＋iｌ²Σ_m≠0Σ_n≠0[(α_m^μα_n^ν－α_m^να_n^μ)cos(ｍσ)cos(ｎσ)/ｍ]です。

これの両辺にＴ∫₀^πｄσを掛けると,Ｊ^μν＝ｘ^μｐ^ν－ｘ^νｐ^μ－iΣ_n＝1^∞[(α_-n^μα_n^ν－α_-n^να_n^μ)/ｎ]を得ます。

(訳注20終わり)※

　今は保存量である弦の総運動量,総角運動量を,τ＝0 における保存カレントをσにわたって積分することで得ましたが,弦の世界面を１回切る任意の空間的(space-like)な曲線にわたって積分しても同じです。

これらの式の使用例として,定数Ｔが弦の張力という意味を持つことを証明します。

１つの自由閉弦としてｔ＝0 でｘｙ面で半径Ｒの円を取り,パラメータσをτ＝ｔ＝0 での弦の弧の長さ,言い換えると偏角に比例するとします。ｘ＝Ｒcos(2σ),ｙ＝Ｒsin(2σ)(0≦σ≦π)とします。

これは,τ＝ｔ＝0 の近傍でｔ＝2Ｒτとすれば運動方程式□Ｘ^μ＝(∂²/∂τ²－∂²/∂σ²)Ｘ^μ＝0 と拘束方程式Ｔ₁₀＝Ｔ₀₁＝－Ｘ^dＸ'＝0,Ｔ₀₀＝Ｔ₁₁＝－[(Ｘ^d)²＋Ｘ'²]/2＝0 の全てを満足します。ただし前と同様,Ｘ^d≡Ｘ^dot≡∂Ｘ/∂τ,Ｘ'≡∂Ｘ/∂σ etc.です。

※(訳注21):Ｘ⁰＝ｔ＝0 では,閉弦をＸ¹＝Ｒcos(2σ),Ｘ²＝ｙ＝Ｒsin(2σ),Ｘ^μ＝0 (μ＝3,4,..,Ｄ－1)とすると,この初期条件を満たす□Ｘ^μ＝(∂²/∂τ²－∂²/∂σ²)Ｘ^μ＝0 の解Ｘ^μは,Ｘ⁰＝ｔ＝ｋτ(ｋ＞0),Ｘ¹＝(Ｒ/2)[cos{2(τ－σ)}＋cos{2(τ＋σ)},Ｘ²＝(Ｒ/2)[－sin{2(τ－σ)}＋sin{2(τ＋σ)},Ｘ^μ＝0 (μ＝3,4,..,Ｄ－1)です。

そこで,Ｘ^0d＝ｋ,Ｘ^1d＝－Ｒ[sin{2(τ－σ)}＋sin{2(τ＋σ)}],Ｘ^2d＝－Ｒ[cos{2(τ－σ)}－cos{2(τ＋σ)},Ｘ⁰'＝0,Ｘ¹'＝Ｒ[sin{2(τ－σ)}－sin{2(τ＋σ)}],Ｘ²'＝Ｒ[cos{2(τ－σ)}＋cos{2(τ＋σ)}です。

そこで,拘束方程式:Ｘ^dＸ'＝0 はＸ⁰によらずＸ^1dＸ¹'＋Ｘ^2dＸ²'＝0 に帰着します。

今の場合,左辺を計算するとＸ^1dＸ¹'＋Ｘ^2dＸ²'＝－Ｒ²[sin²{2(τ－σ)}－sin²{2(τ＋σ)}＋cos²{2(τ－σ)}－cos²{2(τ＋σ)]となるのでこの拘束条件は恒等的に満たされています。

一方,もう１つの拘束:(Ｘ^d)²＋Ｘ'²＝0 は,(Ｘ^0d)²－(Ｘ^1d)²－(Ｘ^2d)²－(Ｘ¹')²－(Ｘ²')²＝0 と書けますが左辺はｋ²－4Ｒ²に等しいことがわかるので,ｋ＞0,Ｒ＞0より,ｋ＝2Ｒを得ます。

すなわち,Ｘ⁰＝ｔ＝2Ｒτであれば,運動方程式も拘束条件も全て満足されます。(訳注21終わり)※

さて,Ｐ^μ＝Ｔ∫₀^πｄσ{(∂Ｘ^μ/∂τ)|_τ=0}＝ｐ^μでしたから,(∂Ｘ⁰/∂τ)|_τ=0＝Ｘ^0d＝ｋ＝2Ｒより,特にＰ⁰＝ｐ⁰＝Ｔ∫₀^πｄσ{(∂Ｘ⁰/∂τ)|_τ=0}＝2πＲＴです。

Ｐ⁰＝ｐ⁰は,弦の総エネルギーを表わすものですから,Ｔ＝Ｐ⁰/(2πＲ)ということはＴは弦の単位長さ当たりのエネルギーです。

(エネルギー/長さ)＝力ですから,Ｔは弦の張力と同定されます。

　もう１つの例として,古典レベルでα'＝1/(2πＴ)が開弦のレッジェ勾配(Regge slope)に等しいことを証明します。

　レッジェ勾配はエネルギーの平方の単位当たりの角運動量ですが,これはｘ＝Ａcosτcosσ,ｙ＝Ａcosτsinσ(0≦σ≦π)に従ってｘｙ平面内で自転する開弦によって最大化されます。

　すなわち,この例ではＸ⁰＝ｔ＝Ａτ＝(Ａ/2){(τ＋σ)＋(τ－σ)},Ｘ¹＝ｘ＝Ａcosτcosσ＝(Ａ/2){cos(τ＋σ)＋cos(τ－σ)},Ｘ²＝ｙ＝Ａcosτsinσ＝(Ａ/2){sin(τ＋σ)＋sin(τ－σ)}なので,これらは確かに□Ｘ^μ＝(∂²/∂τ²－∂²/∂σ²)Ｘ^μ＝0 の解です。

　さらに,この解は拘束方程式Ｔ₁₀＝Ｔ₀₁＝－Ｘ^dＸ'＝0,Ｔ₀₀＝Ｔ₁₁＝－[(Ｘ^d)²＋Ｘ'²]/2＝0 も満たしていることがわかります。

そして,開弦のエネルギーは,Ｐ⁰＝ｐ⁰＝Ｔ∫₀^πｄσ{(∂Ｘ⁰/∂τ)|_τ=0}＝πＡＴ,開弦の角運動量はＪ^μν＝Ｔ∫₀^πｄσ[{Ｘ^μ(∂Ｘ^ν/∂τ)－Ｘ^ν(∂Ｘ^μ/∂τ)}|_τ=0]より,Ｊ¹²＝Ｔ∫₀^πｄσ[{Ｘ¹(∂Ｘ²/∂τ)－Ｘ²(∂Ｘ¹/∂τ)}|_τ=0]＝πＡ²Ｔ/2となります。