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2009年3月24日 (火)

超弦理論(15)(2-4)

数論やカー時空,光の散乱の問題,それに野球観戦,その他目移りだらけで,まとまりがつかず,結局,ブログのツナギといってもこれしか能がないので一つ覚えですが,またまた超弦理論の続きです。

 さて,背景D次元時空のポアンカレ(Poincare)不変性を考えます。

 

 ポアンカレ変換:δXμ=aμνν+bμは,2次元理論の見地からは大局的対称性なので,それらは保存するネーターカレント(Noether current)と関連しています。

 場の理論では,ネーターの方法として知られている標準的な手続きがあります。

 

 これは,φ(σ)を任意の場としεを無限小の定数パラメータとした大局的対称性変換φ(σ)→φ(σ)+εδφ(σ)に対する作用Sの不変性に伴なう保存カレントJαを求めるものです。

 大局的変換ではなく,φ(σ)→φ(σ)+ε(σ)δφ(σ)なる局所的変換も考えられますが,このときにはε=ε(σ)は無限小パラメータですが定数ではありません。

 

 大局的対称性を持つ作用Sでも,こうした一般的な局所的変換の下で不変であるとは限りません。しかし,逆にSが局所的変換で不変な場合には,その特別な場合としてεが定数の大局的変換に対してもSは不変です。

 Sが大局的変換に対して不変な場合,ネーターの保存カレントJαが存在して,局所的変換φ(σ)→φ(σ)+ε(σ)δφ(σ)に対する作用Sの変分を,δS=∫d2σ(Jααε)と表わすことができます。

 

 この一般的表現を見ても,εが定数ならδS=0 は明白です。

(訳注18):S=-(T/2)∫d2σαμαμより,Xμ(σ)→Xμ(σ)+ε(σ)δXμに対して,δS=-(T/2)∫d2σ[ε{∂α(δXμ)∂αμ}+ε{∂αμα(δXμ)}]-∫d2σ{(TδXμαμ)∂αε}となります。

 

 仮定によってε(σ)が定数εのときの大局的変換に対してδS=0 なので,右辺第1項はゼロです。したがって,一般のε(σ)ではδS=-∫d2σ{(TδXμαμ)∂αε}となります。

 すなわち,εが任意定数のとき,右辺第1項=-(T/2)∫d2σ[ε{∂α(δXμ)∂αμ}+ε{∂αμα(δXμ)}]=0 という式から-(T/2){∂α(δXμ)∂αμ}+{∂αμα(δXμ)}=-∂α(TδXμαμ)=0 なる式を得ます。

 

 そこで,Jα≡-TδXμαμとおけば,これは∂αα=0 を意味するわけです。

 

 これにより,Jαは保存カレントとなり,しかもδS=-∫d2σ{(TδXμαμ)∂αε}=∫d2σ(Jααε)と表現されます。

 

 (訳注18終わり)※   

 このようにして,定義されたカレントは運動方程式が満たされる場合には常に保存されます。

 

 実際,運動方程式が満たされるとき,作用積分の境界でゼロの任意の変分,特にφ(σ)→φ(σ)+εδφ(σ)の形の変分の下で任意の無限小定数εに対してδS=0 となって,作用Sは停留値を取ります。これは∂αα=0 が満たされる場合にのみ可能です。

 この方法を適用して,aμν,bμが無限小定数のポアンカレ変換:δXμ=aμνν+bμに関わる保存カレントを導くことができます。

 

 すなわち,Pαμ=T∂αμ,およびJαμν=T(Xμαν-Xναμ)です。

(訳注19):δXμ=aμνν+bμなる変換で,特にaμν=0 としたδXμ=bμの平行移動に関連して,Jα=-TδXμαμにδXμ=bμを代入すると,Jα=-Tbμαμとなります。

この場合は,上の大局的変換Xμ→Xμ+εδXμにおけるεδXμが無限小パラメータbμそのものに対応していて,Jα=-Tbμαμ,かつ∂αα=0 で与えられるカレントJαの表現ではbμのそれぞれが各添字μについて独立な任意の定数εの役割を果たします。

 

そこで,Pαμ≡T∂αμなる量Pαμを定義すると∂ααμ=0 が満たされます。そしてαμが平行移動δXμ=bμに関連したネーターカレントになります。

 同様に,δXμ=aμνν+bμなる変換で,特にbμ=0 としたδXμ=aμννのローレンツ変換に関連して,Jα=-TδXμαμにδXμ=aμννを代入すると,Jα=-Taμνναμとなります。

 

 そして,無限小ローレンツ変換ではaμν=-aνμなので,これはJα=(T/2)aμν(Xμαν-Xναμ)と変形されます。

元々ネーターカレントには係数だけの曖昧さがあります。

 

上のPαμ≡T∂αμを運動量密度カレントと見なし,Jαμνを角運動量密度カレントと見れば,δXμ=aμννに関連したネーターカレントは一般の角運動量lμνの定義lμν≡xμν-xνμと比較して,Jαμν≡T(Xμαν-Xναμ)と定義するのが妥当と思われます。

このときには,Jα=aμνμνα/2であり,∂αα=0 と∂ααμν=0 が同値になります。

 

(訳注19終わり)※

 α{Pαμ}は2次元世界面のD次元時空における平行移動不変性に関わるカレントです。

  

 また,α≡{Jαμν}は2次元世界面のD次元時空におけるローレンツ不変性に関わるカレントです。

 

 これらのカレントの保存は,∂αα=0,∂αα=0 で記述されます。そこで,α,αは2次元世界面上のD次元運動量密度,角運動量密度を記述していると考えられます。

 したがって,例えば,世界面の任意の線素片d=(dσ,dτ)を横切って流れる総運動量dP={dPμ}は,dP=Pτdσ+σdτで与えられます。

そこで,開弦の場合なら,端点における境界条件の式-T∫dτ[(Xμ'δXμ)|σ=π-(Xμ'δXμ)|σ=0]=0 の左辺は,σ=0,πの端点ではdσ=0 なので,∫dτσδXμ|σ=π-∫dτσδXμ|σ=0 =∫dδXμ|σ=π-∫dδXμ|σ=0となります。

 

これが消えるという要求は,任意のτで弦の端点σ=0,πにおける変分δXμは任意なので,∫d|σ=π=0,かつ∫d|σ=0=0 なることを意味します。

つまり,これは実際に端点からの弦の運動量の出入りがないことを意味し,開弦の端点での境界条件σ=0,πでXμ'≡∂Xμ/∂σ=0 :弦Xμの法線成分が弦の境界で消えるということと同値です。

 

同様な命題は,角運動量密度カレントα≡{Jαμν}にも当てはまります。

そして,1つの弦の保存するD次元総運動量,総角運動量の成分は密度カレントPαμ=T∂αμ,Jαμν=T(Xμαν-Xναμ)のうちで,P0μ=Pτμ,J0μν=Jτμνをτ=0 においてσで積分すれば得られます。

例えば閉弦では,Xμ(σ)=XRμ)+XLμ);σ=τ-σ, σ=τ+σ;XRμ=(1/2)xμ+(1/2)l2μ(τ-σ)+(i/2)lΣn≠0[(αnμ/n)exp{-2in(τ-σ)}],XLμ=(1/2)xμ+(1/2)l2μ(τ+σ)+(i/2)lΣn≠0[(α~nμ/n)exp{-2in(τ+σ)}](α0μ=α~0μ≡lpμ/2)です。

 

そこで,∂Xμ/∂τ=∂XRμ/∂τ+∂XLμ/∂τなので,τ=0 では∂XRμ/∂τ=(1/2)l2μ+lΣn≠0nμexp(2inσ)],∂XLμ/∂τ=(1/2)l2μ+lΣn≠0[α~nμexp(-2inσ)]です。

したがって,πTl2=1より,Pμ=T∫0πdσ{(∂Xμ/∂τ)|τ=0}=πTl2μ=πTl2μ=πT(lα0μ+lα~0μ)=pμなる等式が得られます。

 

そこで,弦の総運動量Pμは,0-モードα0μ,α~0μの運動量pμと同じものであることがわかります。

 

開弦でも,α0μ=lpμでPμ=pμ=πTlα0μなので同じです。

一方,総角運動量は,Jμν=T∫0πdσ[{Xμ(∂Xν/∂τ)-Xν(∂Xμ/∂τ)}|τ=0]で与えられます。

  

このXμ,(∂Xν/∂τ)etc.にモード展開を代入すれば,開弦ではJμν=lμν+Eμν,閉弦ではJμν=lμν+Eμν+E~μνと分解されます。ここに,lμν≡xμν-xνμは 0-モードの角運動量です。

そして閉弦では,0-モード以外の角運動量はEμν=-n=1[(α-nμαnν-α-nναnμ)/n],およびE~μν=-iΣn=1[(α~-nμα~nν-α~-nνα~nμ)/n]で表わされます。

(訳注20):最後に記述した総角運動量Jμνの閉弦でのモード展開式を証明します。

 

 τ=0 では,Xμ=xμ+(il/2)Σn≠0[{αnμexp(2inσ)+α~nμexp(-2inσ)}/n],∂Xμ/∂τ=l2μ+lΣn≠0nμexp(2inσ)+α~nμexp(-2inσ)}です。

 そこで,Xμ(∂Xν/∂τ)-Xν(∂Xμ/∂τ)=l2(xμν-xνμ)+lΣn≠0{(xμαnν-xναnμ)exp(2inσ)+(xμα~nν-xνα~nμ)exp(-2inσ)}+(il3/2)Σn≠0[{(αnμν-αnνμ)exp(2inσ)+(α~nμν-α~nνμ)exp(-2inσ)}/n]+(il2/2)Σm≠0Σn≠0[{αmμexp(2imσ)+α~mμexp(-2imσ)}{αnνexp(2inσ)+α~nνexp(-2inσ)}/m-{αmνexp(2imσ)+α~mνexp(-2imσ)}{αnμexp(2inσ)+α~nμexp(-2inσ)}/n]です。

これの両辺に,T∫0πdσを掛けてπTl21を用いると,Jμν=xμν-xνμ-iΣn=1[(α-nμαnν-α-nναnμ)/n]-iΣn=1[(α~-nμα~nν-α~-nνα~nμ)/n]が得られます。

ついでに総角運動量Jμνの開弦でのモード展開もやっておきます。 

τ=0 では,Xμ=xμ+ilΣn≠0nμcos(nσ)/n},∂Xμ/∂τ=l2μ+lΣn≠0αnμcos(nσ)です。

そこで,Xμ(∂Xν/∂τ)-Xν(∂Xμ/∂τ)=l2(xμν-xνμ)+lΣn≠0{(xμαnν-xναnμ)cos(nσ)}+il3Σn≠0{(pμαnν-pναnμ)cos(nσ)/n}+il2Σm≠0Σn≠0[(αmμαnν-αmναnμ)cos(mσ)cos(nσ)/m]です。

 

これの両辺にT∫0πdσを掛けると,Jμν=xμν-xνμ-iΣn=1[(α-nμαnν-α-nναnμ)/n]を得ます。

 

(訳注20終わり)※

 今は保存量である弦の総運動量,総角運動量を,τ=0 における保存カレントをσにわたって積分することで得ましたが,弦の世界面を1回切る任意の空間的(space-like)な曲線にわたって積分しても同じです。

これらの式の使用例として,定数Tが弦の張力という意味を持つことを証明します。

 

1つの自由閉弦としてt=0 でxy面で半径Rの円を取り,パラメータσをτ=t=0 での弦の弧の長さ,言い換えると偏角に比例するとします。x=Rcos(2σ),y=Rsin(2σ)(0≦σ≦π)とします。

 

れは,τ=t=0 の近傍でt=2Rτとすれば運動方程式□Xμ=(∂2/∂τ2-∂2/∂σ2)Xμ=0 と拘束方程式T10=T01=-d'=0,T00=T11=-[(d)2'2]/2=0 の全てを満足します。ただし前と同様,ddot≡∂/∂τ,'≡∂/∂σ etc.です。

※(訳注21):X0=t=0 では,閉弦をX1=Rcos(2σ),X2=y=Rsin(2σ),Xμ=0 (μ=3,4,..,D-1)とすると,この初期条件を満たす□Xμ=(∂2/∂τ2-∂2/∂σ2)Xμ=0 の解Xμは,X0=t=kτ(k>0),X1=(R/2)[cos{2(τ-σ)}+cos{2(τ+σ)},X2=(R/2)[-sin{2(τ-σ)}+sin{2(τ+σ)},Xμ=0 (μ=3,4,..,D-1)です。

そこで,X0d=k,X1d=-R[sin{2(τ-σ)}+sin{2(τ+σ)}],X2d=-R[cos{2(τ-σ)}-cos{2(τ+σ)},X0'=0,X1'=R[sin{2(τ-σ)}-sin{2(τ+σ)}],X2'=R[cos{2(τ-σ)}+cos{2(τ+σ)}です。

 

そこで,拘束方程式:d'=0 はX0によらずX1d1'+X2d2'=0 に帰着します。

 

今の場合,左辺を計算するとX1d1'+ X2d2'=-R2[sin2{2(τ-σ)}-sin2{2(τ+σ)}+cos2{2(τ-σ)}-cos2{2(τ+σ)]となるのでこの拘束条件は恒等的に満たされています。

一方,もう1つの拘束:(d)2'2=0 は,(X0d)2-(X1d)2-(X2d)2-(X1')2-(X2')2=0 と書けますが左辺はk2-4R2に等しいことがわかるので,k>0,R>0より,k=2Rを得ます。

 

すなわち,X0=t=2Rτであれば,運動方程式も拘束条件も全て満足されます。(訳注21終わり)※

さて,Pμ=T∫0πdσ{(∂Xμ/∂τ)|τ=0}=pμでしたから,(∂X0/∂τ)|τ=0=X0d=k=2Rより,特にP0=p0=T∫0πdσ{(∂X0/∂τ)|τ=0}=2πRTです。

  

0=p0は,弦の総エネルギーを表わすものですから,T=P0/(2πR)ということはTは弦の単位長さ当たりのエネルギーです。

 

(エネルギー/長さ)=力ですから,Tは弦の張力と同定されます。

 もう1つの例として,古典レベルでα'=1/(2πT)が開弦のレッジェ勾配(Regge slope)に等しいことを証明します。

 レッジェ勾配はエネルギーの平方の単位当たりの角運動量ですが,これはx=Acosτcosσ,y=Acosτsinσ(0≦σ≦π)に従ってxy平面内で自転する開弦によって最大化されます。

 

 すなわち,この例ではX0=t=Aτ=(A/2){(τ+σ)+(τ-σ)},X1=x=Acosτcosσ=(A/2){cos(τ+σ)+cos(τ-σ)},X2=y=Acosτsinσ=(A/2){sin(τ+σ)+sin(τ-σ)}なので,これらは確かに□Xμ=(∂2/∂τ2-∂2/∂σ2)Xμ=0 の解です。

 

 さらに,この解は拘束方程式T10=T01=-d'=0,T00=T11=-[(d)2'2]/2=0 も満たしていることがわかります。

そして,開弦のエネルギーは,P0=p0=T∫0πdσ{(∂X0/∂τ)|τ=0}=πAT,開弦の角運動量はJμν=T∫0πdσ[{Xμ(∂Xν/∂τ)-Xν(∂Xμ/∂τ)}|τ=0]より,J12=T∫0πdσ[{X1(∂X2/∂τ)-X2(∂X1/∂τ)}|τ=0]=πA2T/2となります。

 

そこで,最大角運動量J12をエネルギーP0の平方で割ると,α'=1/(2πT)になることがわかります。

 

そこで,α'=1/(2πT)は粒子の角運動量を縦軸,粒子のエネルギーの平方,または粒子質量の平方を横軸にして素粒子,共鳴粒子をプロットしてつないだレッジェ軌跡の傾きと同定されるわけです。

 

さらに,この開弦の端点では常に|∂x/∂t|2+|∂y/∂t|2=1が成立することがわかります。

 

これは端点が,"光速=c=1"で運動していることを意味します。

 

弦の端点が光速で運動するのは,境界条件Xμ'=0 の拘束方程式に伴なう一般的な帰結です。

今日はここまでにします。 

参考文献:M.B.Green,J.H.Schwarz,& E.Witten著「superstring theory」(Cambridge University Press)

 

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