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2009年3月26日 (木)

超弦理論(16)(2-5)

超弦理論(superstring theory)の続きです。

D次元時空の話から,その上の弦の描く2次元の世界面の概念の話に戻ります。

まず,2次元理論のハミルトニアンHを考えると,これはH=∫0πdσ(-dτ)=-(T/2)∫0π{(d)2'2}dσで与えられます。

(訳注22):平坦な計量hαβ=ηαβを持つ2次元世界面の軌跡を描く弦のラグランジアン密度をとすると,弦の作用SはS=∫2σ=-(T/2)∫d2σαα=-(T/2)∫{(d)2'2}d2σですから,=-(T/2){(d)2'2}で与えられます。

そして,今のミンコフスキー計量では正準共役運動量はτ=-∂/∂d=Tdで与えられます。したがって,ハミルトニアン密度d(∂/∂d)-=-dτ=-(T/2){(d)2'2}となります。

ある時刻τの断面での弦の総エネルギーを意味するハミルトニアンはH=∫0πdσ=-(T/2)∫0π{(d)2'2}dσとなります。

 

(訳注22終わり)※

 

このハミルトニアンHの表現に弦のモード展開を代入します。

 

開弦では,Xμ(σ,τ)=xμ+l2μτ+ilΣn≠0[(αnμ/n)exp(-inτ)cos(nσ)](α0μ≡lpμ)なので,H=(-1/2)Σ-∞α-nαnです。

 

ただし,αnはD次元ミンコフスキー空間のベクトルを意味します。すなわち,αn≡(αnμ)=(αn0n1n2,..,αnD-1)であって,αmαnはベクトルの内積αmαn≡αm,μαnμを意味します。

  

一方,閉弦では,Xμ(σ)=XRμ)+XLμ);σ=τ-σ,σ=τ+σ;XRμ=(1/2)xμ+(1/2)l2μ(τ-σ)+(i/2)lΣn≠0[(αnμ/n)exp{-2in(τ-σ)}],XLμ=(1/2)xμ+(1/2)l2μ(τ+σ)+(i/2)lΣn≠0[(α~nμ/n)exp{-2in(τ+σ)}]より,H=-Σ-∞-nαn+α~-nα~n)となります。

ただし,α0μ=α~0μ≡lpμ/2 です。

(訳注23):(証明) 開弦ではXμd=l2μ+lΣn≠0nμexp(-inτ)cos(nσ)],Xμ'=-ilΣn≠0nμexp(-inτ)sin(nσ)]なので,H=-(T/2)∫0πdσ{(d)2'2}=(-πl2T/2)[α0μα+Σn≠0α-nμα]=(-1/2)Σ-∞α-nαnです。

一方,閉弦では,Xμd=l2μ+lΣn≠0nμexp{-2in(τ-σ)}+α~nμexp{-2in(τ+σ)}],Xμ'=-ilΣn≠0nμexp{-2in(τ-σ)}-α~nμexp{-2in(τ+σ)}]なので,H=-(T/2)∫0πdσ{(d)2'2}=(-πl2T)[α0μα+α~0μα~+Σn≠0-nμα+α~-nμα~)]=-Σ-∞-nαn+α~-nα~n)を得ます。

 

(訳注23終わり) ※

 これらのハミルトニアンはポアソン括弧(Poisson括弧)によって弦のτによる発展を生成します。

 

 すなわち,d/dτ=[,H]P.B.,dτ/dτ=[τ,H]P.B.です。

 

 そしてτは無次元なのでHも無次元です。(弦のポアソン括弧は多体系から連続体に拡張された式:[u,v]P.B.≡∫dσ{(δu/δ)(δv/δ)-(δu/δ)(δv/δ)}で定義されています。)

次に拘束方程式αβ=0 のモード展開を考えます。これは光円錐座標ではT--=T++=0 です。既に記述したように,閉弦ではT--=-∂RR=-(Rd)2,T++=-∂LL=-(Ld)2なので,この拘束の内容は,(Rd)2=(Ld)2=0 です。

そこで,T--=-∂RR=-(Rd)2,T++=-∂LL=-(Ld)2に,既に得ている展開式∂Rμ=XRμd=lΣ-∞nμexp{-2in(τ-σ)}],∂Lμ=XLμd=lΣ-∞[α~nμexp{-2in(τ+σ)}]を代入した後,τ=0 として,そのフーリエ成分を取ることを考えます。

すなわち,Lm≡(T/2)∫0πdσ[exp(2imσ)T--]=(-T/2)∫0πdσ[exp(2imσ)(Rd)2],L~m≡(T/2)∫0πdσ[exp(2imσ)T++]=(-T/2)∫0πdσ[exp(2imσ)(Ld)2]dσとします。

 

これらのモード展開は,結局Lm=(-1/2)Σn=-∞αm-nαn,L~m=(-1/2)Σn=-∞α~m-nα~nとなります。

よって,閉弦では,拘束方程式T--=T++=0 は,Lm=(-1/2)Σn=-∞αm-nαn=0,かつL~m=(-1/2)Σn=-∞α~m-nα~n=0 が成立することと同等です。

他方,開弦の場合には,定義域である閉区間:0≦σ≦πの上でexp(inσ)は直交関数ではないので,若干修正が必要です。

 

開弦の場合の拘束方程式は,Xμ(σ)=XRμ)+XLμ);σ≡τ-σ,σ≡τ+σで導入されたXRμ,XLμを,XRμ(σ+π)≡XLμ(σ),XLμ(σ+π)≡XLμ(σ)により,閉区間 0≦σ≦πを超えた区間に形式的に拡張すればうまく記述できます。

 

こうすれば,開弦の場合,τ=0 でR,Lが共に周期2πのσの周期関数になるからです。

こうして,開弦の拘束方程式は,-π≦σ≦πでT++=0 が成立することに帰着します。結局,Lm≡(T/2)∫0πdσ[exp(imσ)T+++exp(-imσ)T--]とすればLm=0 が成立することと同等になります。

(訳注24):(証明)∫πdσ[exp(imσ)T++]=-∫0dσ[exp(imσ){Ld(σ)}2]-∫0πdσ[exp(imσ){Ld(σ)}2]=-∫0πdσ[exp(-imσ){Ld(-σ)}2]-∫0πdσ[exp(imσ){Ld(σ)}2]=-∫0πdσ[exp(-imσ){Rd(σ)}2+exp(imσ){Ld(σ)}2]です。

 

 一方,∫πdσ[exp(-imσ)T--]=-∫0πdσ[exp(imσ){Ld(σ)}2+exp(-imσ){Rd(σ)}2]なので,これは∫πdσ[exp(imσ)T++]と一致します。

そこで,Lm=T∫πdσ[exp(imσ)T++]とおけばLm=T∫πdσ[exp(-imσ)T--]でもあり,Lm=(T/2)∫0πdσ[exp(imσ)T+++exp(-imσ)T--]でもありますから,拘束条件:T--=T++=0 は条件:m=0 と同等であることがわかります。

 

(訳注24終わり)※

m(T/2)∫0πdσ[exp(imσ)T+++exp(-imσ)T--]に開弦のモード展開を代入すると,Lm=(-T/4)∫πdσ[exp(imσ){(d)2'2}]=(-1/2)Σn=-∞αm-nαnとなるので,開弦の拘束方程式はLm=(-1/2)Σn=-∞αm-nαn=0 に帰することがわかります。

特に,ハミルトニアンHはエネルギー運動量テンソル++,T--のフーリエ・モードL0,L~0で表わすことができます。

 

すなわち,開弦では,H=L0=(-1/2)Σ-∞α-nαn,閉弦ではH=2(L0+L~0)=-Σ-∞-nαn+α~-nα~n)です。

そして,閉弦の場合,拘束方程式によればL0-L~0の結合も消える必要がありますが,この場合はα02-α~02=0 なる相殺により,L0-L~0は弦の運動量pμの項を含みません。

 

この結合はσ→σ+(定数)なる剛体回転の作用を引き起こすものですが,後で重要な役割を果たします。

さて,与えられた振動状態において,1つの弦は平方質量M2=p2=pμμを持つはずですが,拘束方程式L0=0 は平方質量M2を弦の内部振動のモードによって定める非常に重要な方程式に翻訳されます。(既に示したように,弦の運動量はPτμ=pμです。)

すなわち,開弦では,0=L0=(-1/2)Σ-∞α-nαn=-l22/2-Σn=1α-nαn=-α'M2-Σn=1α-nαnですから,M2=(-1/α')Σn=1α-nαnなる表式を得ます。

 

ここで,l2=1/(πT)=2α'なる関係式を用いました。

一方,閉弦では,右移動では 0=L0=(-1/2)Σ-∞α-nαn=-l22/8-Σn=1α-nαn=-α'M2/4-Σn=1α-nαnです。

 

左移動では 0=L~0=(-1/2)Σ-∞α-nαn=-l22/8-Σn=1α~-nα~n=-α'M2/4-Σn=1α~-nα~nです。

 

これらを辺々加えると, 0=-α'M2/2-Σn=1-nαn+α~-nα~n)となります。結局M2=(-2/α')Σn=1-nαn+α~-nα~n)なる表式を得ます。

これらの等式:2=(-1/α')Σn=1α-nαn(開弦),M2=(-2/α')Σn=1-nαn+α~-nα~n)(閉弦)は,弦の質量殻条件として知られています。

 

後述する量子論においては,これらの式は正規順序の効果のため僅かに修正されたものになります。

閉弦において,L0=L~0であるという事実は,H=-Σ-∞-nαn+α~-nα~n)やM2=(-2/α')Σn=1-nαn+α~-nα~n)なる展開においてL0,L~0の2つの項の寄与が等しいことを示しています。

エネルギー運動量テンソル:T--,T++のフーリエ・モードであるLm,L~mはヴィラソロ演算子(Virasolo operator)と呼ばれます。

 

かなり面倒な手順ではありますが,ヴィラソロ演算子Lm,L~mのポアソン括弧を個々の振動子αn,α~nのポアソン括弧から直線的に計算することができます。

まず,開弦でも閉弦でも同じ展開式で表わされるLmの表式:Lm=(-1/2)Σn=-∞αm-nαn=0 から,[Lm,Ln]P.B.=(1/4)Σk,lm-kαkn-lαl]P.B.を得ます。

これに,恒等式[AB,CD]P.B.=A[B,C]P.B.D+AC[B,D]P.B+[A,C]P.BDB+C[A,D]P.BB,および,これも開弦,閉弦に無関係な既に得られている振動子のポアソン括弧[αmμnν]P.B.=imδm+nημν,または[αmn]P.B.=imδm+nを適用します。

 

すると,[Lm,Ln]P.B.=(i/4)Σk,l{kαm-kαlδk+n-l+αm-kαn-lδk+l+(m-k)αlαkδm-k+n-l+(m-k)αn-lαkδm-k+l}=(i/2)[Σkkαm-kαk+n+Σk(m-k)αm-k+nαk]が得られます。

 

さらに,最右辺の第1項のΣkkαm-kαk+nにおいてk→k'=k+n,またはk=k'-nと添字変換をすると,Σkkαm-kαk+n=Σk'(k'-n)αm-k'+nαk'となります。

  

最後にk'を改めてkと書き直すとΣkkαm-kαk+n=Σk(k-n)αm-k+nαkとなることがわかります。

(※後に,[αmn]P.B.=imδm+n→[αmn]=-mδm+nによってポアソン括弧を交換子に変えて量子化する際には,m+n=0 の場合に上のようなk→k'=k+nの単純なシフトは許されないこと。

 

 特に,背景時空が26次元,つまり[αmμnν]のD個の添字μ,ν=0,1,2,..,D-1を与える自然数Dが,26のとき以外には物理的解釈ができないゴーストを生じることを見ます。※)

結局,ヴィラソロ演算子Lmについて[Lm,Ln]P.B.=-i(m-n)Lm+nなるポアソン括弧の表現を得ます。演算子のこの構造をヴィラソロ代数といいます。

これは,後に量子アノマリーによる修正とも関わるきわめて重要な公式です。

 

閉弦のヴィラソロ演算子:L~mも,もちろん同じ代数に従います。すなわち,[L~m,L~n]P.B.=-i(m-n)L~m+nです。

そして,ヴィラソロ代数[Lm,Ln]P.B.=-i(m-n)Lm+nは次のようなとても簡単な解釈を有します。

θを,0≦θ≦2πの通常の角変数とします。これを円S1のパラメータ化と見ます。円の無限小の一般座標変換θ→θ+a(θ)は微分演算子Da≡a(θ)(d/dθ)によって生成されます。

この円の変換の完全な基底はDn≡exp(inθ)(d/dθ)(nは整数)であり,ポアソン括弧を演算子の交換関係と見ると,これらがLnと同じ代数に従うことが容易にわかります。

 

ヴィラソロ代数は円の無限小一般座標変換の代数と同じです。

ここで,exp(inθ)をξ±で,(d/dθ)を(∂/∂σ±)で置き換えると,Dn≡exp(inθ)(d/dθ)は弦のゲージ変換を保持する残りの対称性である共形変換群の先に見た生成子V±≡ξ±(∂/∂σ±)に一致することから,ヴィラソロ代数の存在理由が理解できます。

σ±はア・プリオリ(先験的)な角変数ではありませんが,開弦,閉弦が整数nのみの関数:exp(inσ±),exp(2inσ±)を含むので理論の運動方程式を考慮するとσ±を角変数と解釈することもできます。

今日はここまでにします。

 

このシリーズの次回の記事では,弦の量子化に入る予定です。 

参考文献:M.B.Green,J.H.Schwarz,& E.Witten著「superstring theory」(Cambridge University Press)

 

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116. 弦理論」カテゴリの記事

コメント

すいません<(_ _)>
せっかくコメント頂いたのに遅れてしまって
パソコンで文字がアルファベットにしかならなくて。
全然天才じゃないですよ自分(笑)
これからニュートン力学の勉強でもします。
それに今まであまり人に言ったことが
なかったのですっきりしました。
心の中のモヤモヤがとれてよかったです。
これからもブログ拝見させていただきます
ありがとうございました。
凡人さんもありがとうございました。

投稿: ある中学生 | 2009年7月 8日 (水) 23時43分

ある中学生さん
基本的にはTOSHIさんの意見に合意しますが、それじゃつまらないというのであれば、湯川秀樹博士、朝永振一郎博士、南部陽一郎博士、益川敏秀博士、小林誠博士等の「天才」の方々の大衆向けに書いた本を勉強されると、理論的な事はさることながら、学究者の姿勢はどうあるべきかという事についても同時に学べると思います。
(私はこれらの本の読み込みが足りなくて、うらぶれてしまいましたが・・・)

投稿: 凡人 | 2009年6月27日 (土) 09時41分

どうも,ある中学生さん。。いらっしゃい。ブログ主のTOSHIです。

 宇宙物理学者ですか。。いいですねえ。。

 大天才で飛び級で進学するのなら別ですが,普通はまだまだ先は長いですし,中学生の今から特定の分野の勉強をすることもアセることも必要ないと思います。

 世界には天才少年も数人いるみたいですが,別にニュートンやアインシュタインとか南部先生が幼少の頃から大天才であったという話は聞いたことがありません。

 むしろ,劣等性であったとかいうのは聞いたことありますが。。。

 私は学校の先生ではないので,よくはわかりませんが,今は興味があることを知識として解説書などで読むのはいいと思うし,そいう気持ちはわかりますが,

 特に他人よりも先に,何かを身に付ける必要はなく,普通に中学の授業を全科目について勉強するだけで十分だと思います。

 とりあえず高校進学のことを考えてください。

 相対性理論よりもまずニュートンでしょう。

 しいて言うなら理論物理をやるのが目標であれば,中学時代は物理ではなく,数学だけをやっていればいいでしょうか。。。

 理論を専門書などで本格的に勉強するとき,それに初めて接するときには,むしろ余計な先入観がなく,知識がなくて何も知らない白紙の状態の方がいいかもしれません。

 大天才でしたら失礼しました。

            TOSHI

 

投稿: TOSHI | 2009年6月26日 (金) 08時28分

すいません、かってにコメント書かせていただいて、自分は、宇宙物理学者をめざしているんですけれども、まだ自分の知識があまりなく、今のままでなれるのか心配なんですけれど今知っていることは相対性理論や暗黒物質や宇宙から星までの詳しい成り立ち、それと素粒子のこともクォークの性質や力の伝わる経緯真空エネルギーのことなどはかなりわかっているとおもうんですけれどおそらくいまの知識では全然だめだとおもうんですけどどんなことを勉強したらよいでしょうか?お暇があったら返答いただけるとうれしいです。

投稿: ある中学生 | 2009年6月24日 (水) 20時19分

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