超弦理論(16)(2-5)

超弦理論(superstring theory)の続きです。

Ｄ次元時空の話から,その上の弦の描く２次元の世界面の概念の話に戻ります。

まず,２次元理論のハミルトニアンＨを考えると,これはＨ＝∫₀^πｄσ(－Ｘ^dＰ_τ－Ｌ)＝－(Ｔ/2)∫₀^π{(Ｘ^d)²＋Ｘ'²}ｄσで与えられます。

※(訳注22):平坦な計量ｈ_αβ＝η_αβを持つ２次元世界面の軌跡を描く弦のラグランジアン密度をＬとすると,弦の作用ＳはＳ＝∫Ｌｄ²σ＝－(Ｔ/2)∫ｄ²σ∂_αＸ∂^αＸ＝－(Ｔ/2)∫{(Ｘ^d)²－Ｘ'²}ｄ²σですから,Ｌ＝－(Ｔ/2){(Ｘ^d)²－Ｘ'²}で与えられます。

そして,今のミンコフスキー計量では正準共役運動量はＰ_τ＝－∂Ｌ/∂Ｘ^d＝ＴＸ^dで与えられます。したがって,ハミルトニアン密度Ｈ はＨ＝Ｘ^d(∂Ｌ/∂Ｘ^d)－Ｌ＝－Ｘ^dＰ_τ－Ｌ＝－(Ｔ/2){(Ｘ^d)²＋Ｘ'²}となります。

ある時刻τの断面での弦の総エネルギーを意味するハミルトニアンはＨ＝∫₀^πＨｄσ＝－(Ｔ/2)∫₀^π{(Ｘ^d)²＋Ｘ'²}ｄσとなります。

(訳注22終わり)※

このハミルトニアンＨの表現に弦のモード展開を代入します。

開弦では,Ｘ^μ(σ,τ)＝ｘ^μ＋ｌ²ｐ^μτ＋iｌΣ_n≠0[(α_n^μ/ｎ)exp(－iｎτ)cos(ｎσ)](α₀^μ≡ｌｐ^μ)なので,Ｈ＝(－1/2)Σ_-∞^∞α_-nα_nです。

ただし,α_nはＤ次元ミンコフスキー空間のベクトルを意味します。すなわち,α_n≡(α_n^μ)＝(α_n⁰,α_n¹,α_n²,..,α_n^D-1)であって,α_mα_nはベクトルの内積α_mα_n≡α_m,μα_n^μを意味します。

一方,閉弦では,Ｘ^μ(σ)＝Ｘ_R^μ(σ^－)＋Ｘ_L^μ(σ^＋);σ^－＝τ－σ,σ^＋＝τ＋σ;Ｘ_R^μ＝(1/2)ｘ^μ＋(1/2)ｌ²ｐ^μ(τ－σ)＋(i/2)ｌΣ_n≠0[(α_n^μ/ｎ)exp{－2iｎ(τ－σ)}],Ｘ_L^μ＝(1/2)ｘ^μ＋(1/2)ｌ²ｐ^μ(τ＋σ)＋(i/2)ｌΣ_n≠0[(α~_n^μ/ｎ)exp{－2iｎ(τ＋σ)}]より,Ｈ＝－Σ_-∞^∞(α_-nα_n＋α~_-nα~_n)となります。

ただし,α₀^μ＝α~₀^μ≡ｌｐ^μ/2 です。

※(訳注23):(証明) 開弦ではＸ^μd＝ｌ²ｐ^μ＋ｌΣ_n≠0[α_n^μexp(－ｉｎτ)cos(ｎσ)],Ｘ^μ'＝－iｌΣ_n≠0[α_n^μexp(－ｉｎτ)sin(ｎσ)]なので,Ｈ＝－(Ｔ/2)∫₀^πｄσ{(Ｘ^d)²＋Ｘ'²}＝(－πｌ²Ｔ/2)[α₀^μα_0μ＋Σ_n≠0α_-n^μα_nμ]＝(－1/2)Σ_-∞^∞α_-nα_nです。

一方,閉弦では,Ｘ^μd＝ｌ²ｐ^μ＋ｌΣ_n≠0[α_n^μexp{－2iｎ(τ－σ)}＋α~_n^μexp{－2iｎ(τ＋σ)}],Ｘ^μ'＝－iｌΣ_n≠0[α_n^μexp{－2iｎ(τ－σ)}－α~_n^μexp{－2iｎ(τ＋σ)}]なので,Ｈ＝－(Ｔ/2)∫₀^πｄσ{(Ｘ^d)²＋Ｘ'²}＝(－πｌ²Ｔ)[α₀^μα_0μ＋α~₀^μα~_0μ＋Σ_n≠0(α_-n^μα_nμ＋α~_-n^μα~_nμ)]＝－Σ_-∞^∞(α_-nα_n＋α~_-nα~_n)を得ます。

(訳注23終わり) ※

　これらのハミルトニアンはポアソン括弧(Poisson括弧)によって弦のτによる発展を生成します。

　すなわち,ｄＸ/ｄτ＝[Ｘ,Ｈ]_P.B.,ｄＰ_τ/ｄτ＝[Ｐ_τ,Ｈ]_P.B.です｡

　そしてτは無次元なのでＨも無次元です。(弦のポアソン括弧は多体系から連続体に拡張された式:[ｕ,ｖ]_P.B.≡∫ｄσ{(δｕ/δＸ)(δｖ/δＰ)－(δｕ/δＸ)(δｖ/δＰ)}で定義されています。)

次に拘束方程式Ｔ_αβ＝0 のモード展開を考えます。これは光円錐座標ではＴ_－－＝Ｔ_＋＋＝0 です。既に記述したように,閉弦ではＴ_－－＝－∂_－Ｘ_R∂_－Ｘ_R＝－(Ｘ_R^d)²,Ｔ_＋＋＝－∂_＋Ｘ_L∂_＋Ｘ_L＝－(Ｘ_L^d)²なので,この拘束の内容は,(Ｘ_R^d)²＝(Ｘ_L^d)²＝0 です。

そこで,Ｔ_－－＝－∂_－Ｘ_R∂_－Ｘ_R＝－(Ｘ_R^d)²,Ｔ_＋＋＝－∂_＋Ｘ_L∂_＋Ｘ_L＝－(Ｘ_L^d)²に,既に得ている展開式∂_－Ｘ_R^μ＝Ｘ_R^μd＝ｌΣ_-∞^∞[α_n^μexp{－2iｎ(τ－σ)}],∂_＋Ｘ_L^μ＝Ｘ_L^μd＝ｌΣ_-∞^∞[α~_n^μexp{－2iｎ(τ＋σ)}]を代入した後,τ＝0 として,そのフーリエ成分を取ることを考えます。

すなわち,Ｌ_m≡(Ｔ/2)∫₀^πｄσ[exp(2iｍσ)Ｔ_－－]＝(－Ｔ/2)∫₀^πｄσ[exp(2iｍσ)(Ｘ_R^d)²],Ｌ~_m≡(Ｔ/2)∫₀^πｄσ[exp(2iｍσ)Ｔ_＋＋]＝(－Ｔ/2)∫₀^πｄσ[exp(2iｍσ)(Ｘ_L^d)²]ｄσとします。

これらのモード展開は,結局Ｌ_m＝(－1/2)Σ_n＝-∞^∞α_m-nα_n,Ｌ~_m＝(－1/2)Σ_n＝-∞^∞α~_m-nα~_nとなります。

よって,閉弦では,拘束方程式Ｔ_－－＝Ｔ_＋＋＝0 は,Ｌ_m＝(－1/2)Σ_n＝-∞^∞α_m-nα_n＝0,かつＬ~_m＝(－1/2)Σ_n＝-∞^∞α~_m-nα~_n＝0 が成立することと同等です。

他方,開弦の場合には,定義域である閉区間:0≦σ≦πの上でexp(iｎσ)は直交関数ではないので,若干修正が必要です。

開弦の場合の拘束方程式は,Ｘ^μ(σ)＝Ｘ_R^μ(σ^－)＋Ｘ_L^μ(σ^＋);σ^－≡τ－σ,σ^＋≡τ＋σで導入されたＸ_R^μ,Ｘ_L^μを,Ｘ_R^μ(σ＋π)≡Ｘ_L^μ(σ),Ｘ_L^μ(σ＋π)≡Ｘ_L^μ(σ)により,閉区間 0≦σ≦πを超えた区間に形式的に拡張すればうまく記述できます。

こうすれば,開弦の場合,τ＝0 でＸ_R,Ｘ_Lが共に周期2πのσの周期関数になるからです。

こうして,開弦の拘束方程式は,－π≦σ≦πでＴ_＋＋＝0 が成立することに帰着します。結局,Ｌ_m≡(Ｔ/2)∫₀^πｄσ[exp(iｍσ)Ｔ_＋＋＋exp(－iｍσ)Ｔ_－－]とすればＬ_m＝0 が成立することと同等になります。

※(訳注24):(証明)∫_-π^πｄσ[exp(iｍσ)Ｔ_＋＋]＝－∫_-π⁰ｄσ[exp(iｍσ){Ｘ_L^d(σ)}²]－∫₀^πｄσ[exp(iｍσ){Ｘ_L^d(σ)}²]＝－∫₀^πｄσ[exp(－iｍσ){Ｘ_L^d(－σ)}²]－∫₀^πｄσ[exp(iｍσ){Ｘ_L^d(σ)}²]＝－∫₀^πｄσ[exp(－iｍσ){Ｘ_R^d(σ)}²＋exp(iｍσ){Ｘ_L^d(σ)}²]です。

　一方,∫_-π^πｄσ[exp(－iｍσ)Ｔ_－－]＝－∫₀^πｄσ[exp(iｍσ){Ｘ_L^d(σ)}²＋exp(－iｍσ){Ｘ_R^d(σ)}²]なので,これは∫_-π^πｄσ[exp(iｍσ)Ｔ_＋＋]と一致します。

そこで,Ｌ_m＝Ｔ∫_-π^πｄσ[exp(iｍσ)Ｔ_＋＋]とおけばＬ_m＝Ｔ∫_-π^πｄσ[exp(－iｍσ)Ｔ_－－]でもあり,Ｌ_m＝(Ｔ/2)∫₀^πｄσ[exp(iｍσ)Ｔ_＋＋＋exp(－iｍσ)Ｔ_－－]でもありますから,拘束条件:Ｔ_－－＝Ｔ_＋＋＝0 は条件:Ｌ_m＝0 と同等であることがわかります。

(訳注24終わり)※

Ｌ_m≡(Ｔ/2)∫₀^πｄσ[exp(iｍσ)Ｔ_＋＋＋exp(－iｍσ)Ｔ_－－]に開弦のモード展開を代入すると,Ｌ_m＝(－Ｔ/4)∫_-π^πｄσ[exp(iｍσ){(Ｘ^d)²＋Ｘ'²}]＝(－1/2)Σ_n＝-∞^∞α_m-nα_nとなるので,開弦の拘束方程式はＬ_m＝(－1/2)Σ_n＝-∞^∞α_m-nα_n＝0 に帰することがわかります。

特に,ハミルトニアンＨはエネルギー運動量テンソルＴ_＋＋,Ｔ_－－のフーリエ・モードＬ₀,Ｌ~₀で表わすことができます。

すなわち,開弦では,Ｈ＝Ｌ₀＝(－1/2)Σ_-∞^∞α_-nα_n,閉弦ではＨ＝2(Ｌ₀＋Ｌ~₀)＝－Σ_-∞^∞(α_-nα_n＋α~_-nα~_n)です。

そして,閉弦の場合,拘束方程式によればＬ₀－Ｌ~₀の結合も消える必要がありますが,この場合はα₀²－α~₀²＝0 なる相殺により,Ｌ₀－Ｌ~₀は弦の運動量ｐ^μの項を含みません。

この結合はσ→σ＋(定数)なる剛体回転の作用を引き起こすものですが,後で重要な役割を果たします。

さて,与えられた振動状態において,１つの弦は平方質量Ｍ²＝ｐ²＝ｐ_μｐ^μを持つはずですが,拘束方程式Ｌ₀＝0 は平方質量Ｍ²を弦の内部振動のモードによって定める非常に重要な方程式に翻訳されます。(既に示したように,弦の運動量はＰ_τ^μ＝ｐ^μです。)

すなわち,開弦では,0＝Ｌ₀＝(－1/2)Σ_-∞^∞α_-nα_n＝－ｌ²ｐ²/2－Σ_n=1^∞α_-nα_n＝－α'Ｍ²－Σ_n=1^∞α_-nα_nですから,Ｍ²＝(－1/α')Σ_n=1^∞α_-nα_nなる表式を得ます。

ここで,ｌ²＝1/(πＴ)＝2α'なる関係式を用いました。

一方,閉弦では,右移動では 0＝Ｌ₀＝(－1/2)Σ_-∞^∞α_-nα_n＝－ｌ²ｐ²/8－Σ_n=1^∞α_-nα_n＝－α'Ｍ²/4－Σ_n=1^∞α_-nα_nです。

左移動では 0＝Ｌ~₀＝(－1/2)Σ_-∞^∞α_-nα_n＝－ｌ²ｐ²/8－Σ_n=1^∞α~_-nα~_n＝－α'Ｍ²/4－Σ_n=1^∞α~_-nα~_nです。

これらを辺々加えると, 0＝－α'Ｍ²/2－Σ_n=1^∞(α_-nα_n＋α~_-nα~_n)となります。結局Ｍ²＝(－2/α')Σ_n=1^∞(α_-nα_n＋α~_-nα~_n)なる表式を得ます。

これらの等式:Ｍ²＝(－1/α')Σ_n=1^∞α_-nα_n(開弦),Ｍ²＝(－2/α')Σ_n=1^∞(α_-nα_n＋α~_-nα~_n)(閉弦)は,弦の質量殻条件として知られています｡

後述する量子論においては,これらの式は正規順序の効果のため僅かに修正されたものになります。

閉弦において,Ｌ₀＝Ｌ~₀であるという事実は,Ｈ＝－Σ_-∞^∞(α_-nα_n＋α~_-nα~_n)やＭ²＝(－2/α')Σ_n=1^∞(α_-nα_n＋α~_-nα~_n)なる展開においてＬ₀,Ｌ~₀の２つの項の寄与が等しいことを示しています。

エネルギー運動量テンソル:Ｔ_－－,Ｔ_＋＋のフーリエ・モードであるＬ_m,Ｌ~_mはヴィラソロ演算子(Virasolo operator)と呼ばれます。

かなり面倒な手順ではありますが,ヴィラソロ演算子Ｌ_m,Ｌ~_mのポアソン括弧を個々の振動子α_n,α~_nのポアソン括弧から直線的に計算することができます。

まず,開弦でも閉弦でも同じ展開式で表わされるＬ_mの表式:Ｌ_m＝(－1/2)Σ_n＝-∞^∞α_m-nα_n＝0 から,[Ｌ_m,Ｌ_n]_P.B.＝(1/4)Σ_k,l[α_m-kα_k,α_n-lα_l]_P.B.を得ます。

これに,恒等式[ＡＢ,ＣＤ]_P.B.＝Ａ[Ｂ,Ｃ]_P.B.Ｄ＋ＡＣ[Ｂ,Ｄ]_P.B＋[Ａ,Ｃ]_P.BＤＢ＋Ｃ[Ａ,Ｄ]_P.BＢ,および,これも開弦,閉弦に無関係な既に得られている振動子のポアソン括弧[α_m^μ,α_n^ν]_P.B.＝iｍδ_m+nη^μν,または[α_m,α_n]_P.B.＝iｍδ_m+nを適用します。

すると,[Ｌ_m,Ｌ_n]_P.B.＝(i/4)Σ_k,l{ｋα_m-kα_lδ_k+n-l＋α_m-kα_n-lδ_k+l＋(ｍ－ｋ)α_lα_kδ_m-k+n-l＋(ｍ－ｋ)α_n-lα_kδ_m-k+l}＝(i/2)[Σ_kｋα_m-kα_k+n＋Σ_k(ｍ－ｋ)α_m-k+nα_k]が得られます。

さらに,最右辺の第１項のΣ_kｋα_m-kα_k+nにおいてｋ→ｋ'＝ｋ＋ｎ,またはｋ＝ｋ'－ｎと添字変換をすると,Σ_kｋα_m-kα_k+n＝Σ_k'(ｋ'－ｎ)α_m-k'+nα_k'となります。

最後にｋ'を改めてｋと書き直すとΣ_kｋα_m-kα_k+n＝Σ_k(ｋ－ｎ)α_m-k+nα_kとなることがわかります。

(※後に,[α_m,α_n]_P.B.＝iｍδ_m+n→[α_m,α_n]＝－ｍδ_m+nによってポアソン括弧を交換子に変えて量子化する際には,ｍ＋ｎ＝0 の場合に上のようなｋ→ｋ'＝ｋ＋ｎの単純なシフトは許されないこと。

　特に,背景時空が26次元,つまり[α_m^μ,α_n^ν]のＤ個の添字μ,ν＝0,1,2,..,Ｄ－1を与える自然数Ｄが,26のとき以外には物理的解釈ができないゴーストを生じることを見ます。※)

結局,ヴィラソロ演算子Ｌ_mについて[Ｌ_m,Ｌ_n]_P.B.＝－i(ｍ－ｎ)Ｌ_m+nなるポアソン括弧の表現を得ます。演算子のこの構造をヴィラソロ代数といいます。

これは,後に量子アノマリーによる修正とも関わるきわめて重要な公式です。

閉弦のヴィラソロ演算子:Ｌ~_mも,もちろん同じ代数に従います。すなわち,[Ｌ~_m,Ｌ~_n]_P.B.＝－i(ｍ－ｎ)Ｌ~_m+nです。

そして,ヴィラソロ代数[Ｌ_m,Ｌ_n]_P.B.＝－i(ｍ－ｎ)Ｌ_m+nは次のようなとても簡単な解釈を有します。

θを,0≦θ≦2πの通常の角変数とします。これを円Ｓ¹のパラメータ化と見ます。円の無限小の一般座標変換θ→θ＋ａ(θ)は微分演算子Ｄ_a≡ａ(θ)(ｄ/ｄθ)によって生成されます。

この円の変換の完全な基底はＤ_n≡exp(ｉｎθ)(ｄ/ｄθ)(ｎは整数)であり,ポアソン括弧を演算子の交換関係と見ると,これらがＬ_nと同じ代数に従うことが容易にわかります。

ヴィラソロ代数は円の無限小一般座標変換の代数と同じです。

ここで,exp(ｉｎθ)をξ^±で,(ｄ/ｄθ)を(∂/∂σ^±)で置き換えると,Ｄ_n≡exp(ｉｎθ)(ｄ/ｄθ)は弦のゲージ変換を保持する残りの対称性である共形変換群の先に見た生成子Ｖ^±≡ξ^±(∂/∂σ^±)に一致することから,ヴィラソロ代数の存在理由が理解できます。

σ^±はア・プリオリ(先験的)な角変数ではありませんが,開弦,閉弦が整数ｎのみの関数:exp(iｎσ^±),exp(2iｎσ^±)を含むので理論の運動方程式を考慮するとσ^±を角変数と解釈することもできます。

今日はここまでにします。

このシリーズの次回の記事では,弦の量子化に入る予定です。 

参考文献:M.B.Green,J.H.Schwarz,& E.Witten著「superstring theory」(Cambridge University Press)

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