分子と点群(3)

　続きです。前回中途半端で終わったので,例題の２次元の特殊ユニタリ群ＳＵ(2)について補足しておきます。

　まず,前回の最後の部分をほぼそのまま書きます。

※(再掲開始)

　例としてＧが２次元の特殊ユニタリ群:ＳＵ(2)である場合を考えてみます。Ｇ＝ＳＵ(2)≡{ｇ∈ＧＬ(2)|ｇ^＋＝ｇ^-1,detｇ＝1}です。ただしＧＬ(2)は２次の正則な正方行列から成る群です。

対角成分がａ,ａ^-1(ａ∈Ｃ,ａ≠0)の２次の対角行列をｈ_aとし,Ｈ≡{ｈ_a∈ＧＬ(2)|ａ∈Ｃ,|ａ|＝1}とします。

Ｈは明らかにＧ＝ＳＵ(2)の部分群です。しかも,これは可換群(アーベル群)であり,１-パラメータ群(ａ＝exp(iα))なので,Ｕ(1)(絶対値が１の複素数の乗法群)と同型です。

Ｇ＝ＳＵ(2)の任意の元ｇの２つの固有値をａ,ａ^-1(ａ∈Ｃ,|ａ|＝1)とすると,ｇはあるｋ∈ＳＵ(2)によってｈ_a＝ｋ^-1ｇｋ,ｈ_a∈Ｈと対角化できます。またはｇ＝ｋｈ_aｋ^-1,ｈ_a∈Ｈとすることができます。

一般にＵ(1)の幾つかの直積と同型な群をトーラス群といいます。

Ｈがトーラス群,かつＧの部分群,すなわちトーラス部分群であって,これを真に含むＧのトーラス部分群が存在しないなら,ＨをＧの極大トーラス部分群と呼びます。

今のＧ＝ＳＵ(2)の場合には,上で定義した２次の対角行列から成る部分群ＨはＳＵ(2)の極大トーラス部分群となっています。

[定理５]:Ｇ＝ＳＵ(2)とする。

(1)Ｇの任意の元ｇは極大トーラス群Ｈの元と共役である。

(2)ｇ,ｈ∈Ｇ,に対してｆ(ｈｇｈ^-1)＝ｆ(ｇ)を満たす関数(類関数という)ｆは極大トーラス部分群Ｈの上の値だけで決まる。

　すなわち,ｆ₁,ｆ₂を２つの類関数とするとき,∀ｈ∈Ｈに対してｆ₁(ｈ)＝ｆ₂(ｈ)ならｆ₁＝ｆ₂である。

Ｇ＝ＳＵ(2)の表現(Ｄ,Ｕ)の指標χ_Dは明らかに類関数なので,これは極大トーラス部分群Ｈの上の値だけで決まります。

(再掲終了)※

　さて,ＳＵ(2)の(ｍ＋1)次元表現(Ｄ_m,Ｕ_m)の表現空間Ｕ_mを２つの文字ｚ₁,ｚ₂の複素係数のｍ次の同次多項式全体から成る空間とします。

　Ｕ_mの任意の元は(ｍ＋1)個の単項式ｚ₁^m,ｚ₁^m-1ｚ₂,..,ｚ₁ｚ₂^m-1,ｚ₂^mの１次結合として一意的に表現されるのでＵ_mは確かに(ｍ＋1)次元線型空間です。

　そして,表現(Ｄ_m,Ｕ_m)を∀φ∈Ｕ_mに対しＤ_m(ｇ)φ(ｚ)≡φ(ｇｚ)(∀ｇ∈ＳＵ(2)) で定義します。ここでｚ＝^t(ｚ₁,ｚ₂)としました。

このとき,∀ｇ,ｈ∈ＳＵ(2)に対してＤ_m(ｇｈ)φ(ｚ)＝φ(ｇｈｚ)＝Ｄ_m(ｇ)φ(ｈｚ)＝Ｄ_m(ｇ)Ｄ_m(ｈ)φ(ｚ)なので,この写像は定義域Ｇ＝ＳＵ(2)の上で確かに準同型になっていますが,Ｄ_m(ｇ)は本当にＵ_mの上の線型変換なのでしょうか？

　まず,φ(ｚ)がｚ₁,ｚ₂のｍ次の同次多項式,つまりφ(ｚ)＝ｃ₁ｚ₁^m＋ｃ₂ｚ₁^m-1ｚ₂＋..＋ｃ_m-1ｚ₁ｚ₂^m-1＋ｃ_mｚ₂^mであることは,φ(ｔｚ)＝ｔ^mφ(ｚ)であることを意味します。

　ｇｚ＝^t(ａｚ₁＋ｂｚ₂,ｃｚ₁＋ｄｚ₂)(ａｄ－ｂｃ＝1,ｄ＝ａ^*,ｃ＝－ｂ^*)なるｇに対しｇ(ｔｚ)＝ｔ(ｇｚ)なので,φ(ｇ(ｔｚ))＝φ(ｔ(ｇｚ))＝ｔ^mφ(ｇｚ)です。

　故に,Ｄ_m(ｇ)φ(ｚ)＝φ(ｇｚ)も成立します。つまりＤ_m(ｇ)φはｚ₁,ｚ₂のｍ次の同次多項式です。

そこで,演算Ｄ_m(ｇ)に対し表現空間Ｕ_mは不変で閉じていること:Ｄ_m(ｇ)は確かにＵ_mからＵ_mへの写像であることがわかります。

そして,∀φ,ψ∈Ｕ_mと∀α,β∈Ｃに対してＤ_m(ｇ)[(αφ＋βψ)(ｚ)]＝(αφ＋βψ)(ｇｚ)＝αＤ_m(ｇ)φ(ｚ)＋βＤ_m(ｇ)ψ(ｚ)なので線型性も自明です。

結局,Ｄ_m(ｇ)はＵ_mの上の線型変換であり,(Ｄ_m,Ｕ_m)が確かにＳＵ(2)の１つの表現であることがわかりました。

ここで,ｚ≡ｚ₁/ｚ₂と置けばＵ_mの任意の元であるｚ₁,ｚ₂のｍ次の同次多項式は,ｚのｍ次多項式φ^(ｚ)を用いてφ(ｚ)＝ｃ₁ｚ₁^m＋ｃ₂ｚ₁^m-1ｚ₂＋..＋ｃ_m-1ｚ₁ｚ₂^m-1＋ｃ_mｚ₂^m＝ｚ₂^m(ｃ₁ｚ^m＋ｃ₂ｚ^m-1＋..＋ｃ_m-1ｚ＋ｃ_m)≡ｚ₂^mφ^(ｚ)と表現されます。

ただし,ｚのｍ次多項式φ^(ｚ)をφ^(ｚ)≡φ(ｚ)/ｚ₂^m,またはφ(ｚ)≡ｚ₂^mφ^(ｚ)によって定義しました。

このｚの多項式:φ^はｚ₁,ｚ₂の同次多項式φ∈Ｕ_mと完全に１対１に対応します。

そして,ｇがｇｚ＝^t(ａｚ₁＋ｂｚ₂,ｃｚ₁＋ｄｚ₂)(ａｄ－ｂｃ＝1,ｄ＝ａ^*,ｃ＝－ｂ^*)を与えるＳＵ(2)の元である場合,

Ｄ_m(ｇ)φ(ｚ)＝φ(ｇｚ)なる変換式は,Ｄ_m(ｇ)[ｚ₂^mφ^(ｚ)]＝(ｃｚ₁＋ｄｚ₂)^mφ^((ａｚ₁＋ｂｚ₂)/(ｃｚ₁＋ｄｚ₂))＝ｚ₂^m(ｃｚ＋ｄ)^mφ^((ａｚ＋ｂ)/(ｃｚ＋ｄ))を意味します。

結局,Ｕ_mの任意の元であるｚ₁,ｚ₂のｍ次同次多項式φ(ｚ)はｚのｍ次多項式φ^(ｚ)と完全に１対１に対応することがわかりました。

つまり,ｚ₁,ｚ₂のｍ次同次多項式φ(ｚ)は(ｍ＋1)個の基底ｚ₁^m,ｚ₁^m-1ｚ₂,..,ｚ₁ｚ₂^m-1,ｚ₂^mの１次結合として一意的に表現されますが,これはφ(ｚ)と全く同じ係数の(ｍ＋1)個の基底ｚ^m,ｚ^m-1,..,ｚ,1の１次結合であるｚのｍ次多項式φ^(ｚ)に同型対応します。

そこで,Ｕ_mはｚのｍ次多項式全体の作る線型空間Ｖ_mと同型です。

したがって,表現(Ｄ_m,Ｕ_m)における表現空間Ｕ_mをＶ_mに変更した(ｍ＋1)次元表現を(Ｄ_m,Ｖ_m)と書けば,これはｇｚ＝^t(ａｚ₁＋ｂｚ₂,ｃｚ₁＋ｄｚ₂)を与えるｇ∈ＳＵ(2)に対してＤ_m(ｇ)φ^(ｚ)＝(ｃｚ＋ｄ)^mφ^((ａｚ＋ｂ)/(ｃｚ＋ｄ))を与える表現です。

結局,Ｕ_m→Ｖ_mは表現Ｄ_mの表現空間における単なる基底変換と見なせるので,(Ｄ_m,Ｖ_m)は(Ｄ_m,Ｕ_m)に同値です。

(なお,ｚ→ａｚ＋ｂ/(ｃｚ＋ｄ)を１次分数変換,またはメビウス変換と呼びます。この変換はＳＵ(2)と全く同型です。

普通,これもＳＵ(2)と同一視されますが,群の表現と解釈するなら忠実な表現です。)

ＳＵ(2)の(ｍ＋1)次元表現(Ｄ_m,Ｖ_m)は,ｈ_a∈Ｈに対してはＤ_m(ｈ_a)φ^(ｚ)＝ａ^-mφ^(ａｚ/ａ^-1)＝ａ^-mφ^(ａ²ｚ)ですから,Ｖ_mの全ての基底:ｆ_k(ｚ)≡ｚ^k(ｋ＝0,1,2,..,ｍ)に対してはＤ_m(ｈ_a)ｆ_k(ｚ)＝ａ^2k-mｆ_k(ｚ)となります。

したがって,基底ｆ_k＝ｆ_k(ｚ)＝ｚ^ｋの１次結合で表わした任意のφ＝Σ_k=0^mｃ_kｆ_k∈Ｖ_mに対して,Ｄ_m(ｈ_a)はＤ_m(ｈ_a)φ＝Σ_k=0^mａ^2k-mｃ_kｆ_kと書けます。

つまり,線型変換Ｄ_m(ｈ_a)は行列表現ではその成分がＤ_m(ｈ_a)_kj＝ａ^2k-mδ_kjの対角行列です。

そこで,表現(Ｄ_m,Ｖ_m)の指標χ_Ｄmをχ_mと書けば,χ_m(ｈ_a)＝Ｔr{Ｄ_m(ｈ_a)}＝Σ_k=0^mａ^2k-m＝ａ^-m(1－ａ^2(m+1))/(1－ａ²)＝(ａ^-(m+1)－ａ^m+1)/(ａ^-1－ａ)＝sin{(ｍ＋1)α}/sinα,(ａ≡exp(iα),α∈Ｒ)となります。

ところで,ｇｚ＝^t(ａｚ₁＋ｂｚ₂,ｃｚ₁＋ｄｚ₂)(ａｄ－ｂｃ＝1,ｄ＝ａ^*,ｂ＝－ｃ^*)を与えるＳＵ(2)の元ｇの成分を４つの実数ｘ₁,ｘ₂,ｘ₃,ｘ₄を用いてａ＝ｘ₁＋iｘ₂,ｃ＝ｘ₃＋iｘ₄と表現すれば,ａｄ－ｂｃ＝1なる条件はｘ₁²＋ｘ₂²＋ｘ₃²＋ｘ₄²＝1となります。

そこで,３つの独立なパラメータθ₁,θ₂,θ₃∈Ｒによってｘ₁＝cosθ₁,ｘ₂＝cosθ₂sinθ₁,ｘ₃＝cosθ₃sinθ₂sinθ₁,ｘ₄＝sinθ₃sinθ₂sinθ₁と表わすことができます。

ただし,0≦θ₁≦π,0≦θ₂≦π,0≦θ₃≦2πです。

微小長さｄｓはｄｓ²＝ｄｘ₁²＋ｄｘ₂²＋ｄｘ₃²＋ｄｘ₄²＝ｄθ₁²＋sin²θ₁ｄθ₂²＋sin²θ₁sin²θ₂ｄθ₃²で与えられるので,対応する体積要素はsin²θ₁sinθ₂ｄθ₁ｄθ₂ｄθ₃になります。

そこで,∫_SU(2)ψ(ｇ)ｄｇ＝∫₀^2π∫₀^π∫₀^πψ(θ₁,θ₂,θ₃)sin²θ₁sinθ₂ｄθ₁ｄθ₂ｄθ₃がＳＵ(2)上の不変積分となります。

これにψ≡1を代入したＳＵ(2)の全体積が２π²となるので,規格化された不変測度は上記ｄｇを２π²で割り,改めてｄｇ＝{1/(2π²)}sin²θ₁sinθ₂ｄθ₁ｄθ₂ｄθ₃で与えられます。

ところで,ｇ＝ｈ_aの対角行列ではｃ＝ｘ₃＋iｘ₄＝0 ですから,これはθ₂＝0 を意味します。

そして,このときａ＝ｘ₁＋iｘ₂＝cosθ₁＋isinθ₁＝exp(iθ₁)ですから上で求めた指標χ_m(ｈ_a)＝Σ_k=0^mａ^2k-m＝sin{(ｍ＋1)α}/sinα(ａ≡exp(iα),α∈Ｒ)は,これにα＝θ₁を代入することで明確なθ₁の関数の形でχ_m(ｈ_a)＝sin{(ｍ＋1)θ₁}/sinθ₁となります。

そして,先にコンパクト群Ｇ上の関数φ,ψについての内積を＜φ|ψ＞≡∫_Ｇφ(ｇ)^*ψ(ｇ)ｄｇによって定義しました。

これによりＧ＝ＳＵ(2)においては＜χ_m+1|χ_n+1＞＝∫_SU(2)χ_m+1(ｇ)^*χ_n+1(ｇ)ｄｇ＝∫_SU(2)χ_m+1(ｈ_a)^*χ_n+1(ｈ_a)ｄｇ＝{1/(2π²)}∫₀^2π∫₀^π∫₀^πsin{(ｍ＋1)θ₁}sin{(ｎ＋1)θ₁}sinθ₂ｄθ₁ｄθ₂ｄθ₃＝(2/π)∫₀^πsin{(ｍ＋1)θ₁}sin{(ｎ＋1)θ₁}ｄθ₁＝δ_mnが得られます。

このことから,表現(Ｄ_m,Ｖ_m),または(Ｄ_m,Ｕ_m)(ｍ＝0,1,2,..)は全てＳＵ(2)の(ｍ＋1)次元の既約表現であることがわかりました。

最後に,ＳＵ(2)の既約表現が上記の(Ｄ_m,Ｖ_m),または(Ｄ_m,Ｕ_m)(ｍ＝0,1,2,..)で尽くされることを見ます。

まず,任意の表現(Ｄ,Ｕ)の指標χ_Dは極大トーラス部分群Ｈの上のｈ_a,つまりパラメータθ₁のみの関数として,χ_D(ｈ_a)＝χ_D(θ₁)で与えられ,これは＜χ_D|χ_D＞＝(2/π)∫₀^πχ_D(θ₁)^*χ _D(θ₁)sin²θ₁ｄθ₁を満たします。

しかも,ｈ_aとｈ_a^-1＝ｈ_1/aは互いに共役(相似)なのでχ_D(ｈ_a)＝χ_D(ｈ_1/a )ですが,ａ＝exp(iθ₁),ａ^-1＝1/ａ＝exp(－iθ₁)なのでχ_D(θ₁)＝χ_D(－θ₁)よりχ_D(θ₁)は偶関数です。

したがって,ξ(θ₁)≡sinθ₁χ_D(θ₁)とおくと,これはθ₁の奇関数で周期が2πの連続関数です。

そこで,こξ(θ₁)はξ(θ₁)＝Σ_n=1^∞ｃ_nsin(ｎθ₁),ｃ_n＝(2/π)∫₀^πξ(θ₁)sin(ｎθ₁)ｄθ₁とフーリエ正弦展開できます。

よって,＜χ_D|χ_m＞＝(2/π)∫₀^πξ(θ₁)sin{(ｍ＋1)θ₁}ｄθ₁＝ｃ_m+1となります。

そこで,もしも表現(Ｄ,Ｕ)があらゆる(Ｄ_m,Ｕ_m)と異値:＜χ_D|χ_m＞＝0 (ｍ＝0,1,2,..)なら,ｃ_m+1＝0 (ｍ＝0,1,2,..)によって恒等的にχ_D≡0 となります。

厳密には,フーリエ級数ξ(θ₁)＝Σ_n=1^∞ｃ_nsin(ｎθ₁)についてパーシバル(Parseval)の等式∫_-π^π|ξ(θ₁)|²ｄθ₁＝2∫₀^π|ξ(θ₁)|²ｄθ₁＝πΣ_n=1^∞|ｃ_n|²でΣ_n=1^∞|ｃ_n|²＝0 が成立します。

それ故,∫₀^π|ξ(θ₁)|²ｄθ₁＝0 から,ξ(θ₁)は,ほとんどいたるところでゼロであることがわかりますが,ξ(θ₁)はθ₁の連続関数なので恒等的にゼロです。

つまり,ξ(θ₁)＝sinθ₁χ_D(θ₁)＝0 により,χ_D(ｈ_a)＝χ_D(θ₁)＝0 なので∀ｇ∈ＳＵ(2)について,χ_D(ｇ)＝χ_D(ｈ_a)＝0 です。

これは,既約性の条件＜χ_D|χ_D＞＝１に矛盾します。

したがって,(Ｄ,Ｕ)が既約表現なら,これはあるｍに対する(Ｄ_m,Ｕ_m)と同値でなければなりません。

これらを,定理の形にまとめます。 

[定理６]:(1)ＳＵ(2)の任意の既約表現は,あるｍに対するＤ_mと同値である。

(2)既約表現Ｄ_mの指標χ_mは,ＳＵ(2)の極大トーラス部分群Ｈの上ではｈ_a∈Ｈ;ａ＝exp(iθ)に対してχ_m(ｈ_a)＝sin{(ｍ＋1)θ}/sinθで与えられる。

　一般にｇの固有値がａ＝exp(iθ),ａ^-1＝exp(－iθ)のときχ_m(ｇ)＝χ_m(ｈ_a)＝sin{(ｍ＋1)θ}/sinθとなる。

(3) ＳＵ(2)の任意の表現Ｄは完全可約であって,いくつかのＤ_mの直和と同値である。

　ＳＵ(2)は単に群Ｇの１つの例として出したつもりだったのですが,ここまで書いてしまったので,ＳＵ(2)の随伴表現が回転群ＳＯ(3)≡{Ｒ∈ＧＬ(3,Ｒ)|^tＲ＝Ｒ^-1,detＲ＝1}の忠実な表現になることを利用してＳＯ(3)の既約表現を調べます。

　まず,体Ｋ(Ｃ or Ｒ)の元を成分とするｎ次の正方行列の集合をＭ(ｎ,Ｋ)と書くと,これはＫの上の線型空間を作ります。

　今,Ｕ≡{ｕ∈Ｍ(ｎ,Ｃ)|ｕ＋ｕ^＋＝0,Ｔrｕ＝0}とすると,これは∀ｕ∈Ｕは∀ｔ∈Ｒに対してｔｕ∈Ｕの(ｎ²－1)次元の実線型空間です。

　一般のｎ次の特殊ユニタリ群Ｇ＝ＳＵ(ｎ,Ｃ)の元ｇに対して,そのｕ∈Ｕに対する線型変換Ａdｇを,(Ａdｇ)ｕ≡ｇｕｇ^-1で定義します。

　固定したｇ∈ＳＵ(ｎ,Ｃ)に対してＡdｇがＵの上の線型写像であることは明らかです。

　そして∀ｕ∈Ｕについて,ｕ＋ｕ^＋＝0 とＡdｇの線型性より(Ａdｇ)ｕ＋(Ａdｇ)ｕ^＋＝0 ですが,(Ａdｇ)ｕ^＋＝ｇｕ^＋ｇ^-1＝ｇｕ^＋ｇ^＋＝(ｇｕｇ^＋)^＋t＝{(Ａdｇ)ｕ}^＋です。

　また,Ｔr((Ａdｇ)ｕ)＝0 なので,ＡdによってＵは不変です。

一方,∀ｇ₁,ｇ₂∈ＳＵ(ｎ,Ｃ)に対して,{Ａd(ｇ₂ｇ₁)}ｕ＝ｇ₂ｇ₁ｕｇ₁^-1ｇ₂^-1＝ｇ₂{(Ａdｇ₁)ｕ}ｇ₂^-1＝(Ａdｇ₂)(Ａdｇ₁)ｕですから,写像ｇ→Ａdｇは連続かつ準同型な写像です。

以上から,ＡdはＳＵ(ｎ,Ｃ)の(ｎ²－1)次元実表現空間Ｕ上での表現であることがわかりました。これをＳＵ(ｎ)の随伴表現といいます。

ここで,ｕ₁,ｕ₂∈Ｕに対する内積を＜ｕ₁|ｕ₂＞≡Ｔr(ｕ₁^＋ｕ₂)＝Σ_i,j=1ⁿ[ｕ₁^*_ijｕ_2ij]で定義します。特に,＜ｕ|ｕ＞＝Ｔr(ｕ^＋ｕ)＝Σ_i,j=1ⁿ|ｕ_ij|²≧0 (ｕ∈Ｕ)です。

そして,＜(Ａdｇ)ｕ₁|(Ａdｇ)ｕ₂＞＝Ｔr(ｇｕ₁^＋ｇ^-1ｇｕ₂ｇ^-1)＝Ｔr(ｕ₁^＋ｕ₂)＝＜ｕ₁|ｕ₂＞なので,この内積の定義ではＡdはユニタリ表現です。

しかも,Ｕは実線型空間なのでユニタリ表現であることは,Ａdｇが直交行列であることを意味します。

そこで,特にｎ＝２,ｎ²－1＝３の場合,ＳＵ(2)＝ＳＵ(2,Ｃ)の場合にはＡd[ＳＵ(2)]は"３次元直交行列の群＝回転群":ＳＯ(3)と準同型になります。

なぜなら,写像ｇ→Ａdｇは連続であり,Ａd[ＳＵ(2)]は連結なのでdet(Ａdｇ)＝1となるからです。

ただし,Ａd(－1)＝Ａd(1)＝I(回転群の単位元)なので,Ker(Ａd)＝{±1}より,ＳＵ(2)～ Ｏ(3)/{±1}＝ＳＯ(3)です。

つまり,Ｒ∈ＳＯ(3)に対して,ｇ∈ＳＵ(2)が存在してＡdｇ＝Ｒならば,Ａd(－ｇ)＝Ｒであり,このｈ＝±ｇ以外にはＡdｈ＝Ｒを満たすｈ∈ＳＵ(2)は存在しません。

パウリのスピン行列として知られているσ＝(σ₁,σ₂,σ₃)を用いて,ｅ_k≡iσ_k/√2 (ｋ＝1,2,3)とすれば,ｅ_k∈Ｕであって＜ｅ_i|ｅ_j＞＝δ_ijですから,これはＵの１つの正規直交基底になります。

任意のＵの元ｕをｕ＝Σ_k=1³ｕ^kｅ_kと展開すれば,ｅ_k(ｋ＝1,2,3)は３次元空間のあるｘｙｚ座標系のｘ,ｙ,ｚ軸方向の単位ベクトルで,(ｕ¹,ｕ²,ｕ³)は空間ベクトルｕのこの座標系での成分と同定され,ます。

そして,特にｈ_θ≡ｈ_a∈Ｈ⊂ＳＵ(2);ａ＝exp(iθ)なら線型変換Ａdｈ_θによって基底ｅ_k(ｋ＝1,2,3)は(Ａdｈ_θ)ｅ¹＝ｅ¹cos(2θ)＋ｅ²sin(2θ),(Ａdｈ_θ)ｅ²＝－ｅ¹sin(2θ)＋ｅ²cos(2θ),(Ａdｈ_θ)ｅ³＝ｅ³cos(2θ)と変換されるので,この基底ではＡdｈ_θはｅ³軸のまわりの角:2θの回転を表わしています。

また,Ａdｋ_θ,Ａdｌ_θがそれぞれｅ²軸,ｅ¹軸のまわりの角:2θの回転を表わすようなｋ_θ,ｌ_θ∈ＳＵ(2)を取ることもできるので,結局全ての回転を随伴表現で与えることが可能です。

まあ,回転群ＳＯ(3)を生成するには実際には,ｈ_θ,ｋ_θ,ｌ_θのうちの２つがあれば十分なのですが。。。

さてＳＯ(3)の１つの表現(Ｔ,Ｕ)があるとき,ｇ∈ＳＵ(2)に対してＤ(ｇ)≡Ｔ(Ａdｇ)とすれば,(Ｄ,Ｕ)はｇの1つの表現です。そしてＳＯ(3)の表現(Ｔ,Ｕ)が既約であることとＳＵ(2)の表現(Ｄ,Ｕ)が既約であることは同値です。

Ｄ(ｇ)≡Ｔ(Ａdｇ)によってＳＯ(3)の任意の既約表現からＳＵ(2)の既約表現が得られますが,ＳＵ(2)の表現(Ｄ,Ｕ)からＤ(ｇ)≡Ｔ(Ａdｇ)によって必ずしもＳＯ(3)の表現(Ｔ,Ｕ)は決まりません。

すなわち,Ｒ∈ＳＯ(3)に対してＡdｇ＝Ｒとなるｇ∈ＳＵ(2)は２つ存在してそれは±ｇです。

そこで,Ｄ(ｇ)≡Ｔ(Ａdｇ)であるならば,Ｄ(ｇ)＝Ｔ(Ｒ),かつＤ(－ｇ)＝Ｔ(Ｒ)ですからＤ(ｇ)＝Ｄ(－ｇ),つまりＤ(－1)＝Ｄ(1)＝Ｉである必要があります。

逆にＤ(－1)＝ＩならＤ(ｇ)≡Ｔ(Ａdｇ),Ａdｇ＝Ｒから表現Ｔ(Ｒ)は一意的に決まります。

そこでＳＯ(3)の既約表現(Ｔ,Ｕ)を求めるにはＳＵ(2)の既約表現(Ｄ,Ｕ)を全て求め,それらのうちでＤ(－1)＝Ｉを満たすものを取ればいいことになります。

ところが,上に述べたようにＳＵ(2)の既約表現の全ては既に(ｍ＋1)次元表現(Ｄ_m,Ｕ_m)(ｍ＝0,1,2,..)で尽くされることがわかっています。そして,Ｄ_m(－1)＝(－1)^mＩです。

したがって,ｍが偶数:ｍ＝2ｌのときにはＳＵ(2)の既約表現(Ｄ_m,Ｕ_m)(ｍ＝0,1,2,..)からＴ_l(Ｒ)≡Ｄ_m(Ａd^-1Ｒ)によって回転群ＳＯ(3)の既約表現(＝１価表現)(Ｔ_l,Ｕ_2l)(ｌ＝0,1,2,..)が得られます。

(Ｔ_l,Ｕ_2l)は(2ｌ＋1)次元表現です。(これは量子論では角運動量ＪがＪ＝ｌのＪ_z＝－ｌ,..,－1,0,1,..,ｌに対応します。)

そして,Ａdｈ_θがｅ³軸のまわりの角:2θの回転Ｒ_2θを表わしていて(Ｄ_m,Ｕ_m)の指標がχ_m(ｇ)＝χ_m(ｈ_θ)＝sin{(ｍ＋1)θ}/sinθなので,ｅ³軸のまわりの角:θの回転Ｒ_θに対する(Ｔ_l,Ｕ_2l)の指標はχ_l(Ｒ_θ)＝sin{(2ｌ＋1)θ/2}/{sin(θ/2)}で与えられます。

さらに,ＳＯ(3)の任意の表現Ｔは完全可約であって,いくつかのＴ_lの直和と同値になります。

なお,ｍが奇数ｍ＝2ｋ＋1のときの,Ｔ_k+1/2(Ａdｇ)＝Ｄ_m(ｇ))(ｋ＝0,1,2,..)はＳＯ(3)の表現としては２価表現((2ｋ＋2)次元表現)を与えます。

(これは量子論で角運動量ＪがＪ＝ｋ＋1/2のときのＪ_z＝－ｋ－1/2,..,－1/2,,1/2,..,ｋ＋1/2に対応します。)

今日はここまでにします。 

参考文献:山内恭彦,杉浦光夫著「連続群論入門」(培風館)，犬井鉄郎,田辺行人,小野寺嘉孝 著「応用群論」(裳華房),島 和久 著「連続群とその表現」(岩波書店)

http://folomy.jp/heart/「folomy 物理フォーラム」サブマネージャーです。

人気blogランキングへ　← クリックして投票してください。(１クリック＝１投票です。１人１日１投票しかできません。クリックすると人気blogランキングに跳びます。）

← クリックして投票してください。(ブログ村科学ブログランキング投票です。１クリック＝１投票です。１人１日１投票しかできません。クリックするとブログ村の人気ランキング一覧のホ　－ムページームに跳びます。）

　Attension!!　広告宣伝です。

　http://www.rakuten.co.jp/trs-kenko-land/　 健康商品の店「TRS健康ランド」－ SCS(食品洗浄剤),黒ウコン,酒の帝王,鵜鶏王などの専売店  ←この店は私TOSHIが店長をしています。(楽天ショップです。TRSのTはTOSHIのTです。)

「TRS健康ランド」では2008年１月10日よりお徳用SCS500mlを新発売！！当店の専売です。

　そこのお酒のみの方，いろいろと飲食の機会の増えたあなた,悪酔いを防止すると言われているウコンがいいですよ！！　そして特に今回提供する沖縄原産の純粋な黒ウコンは当店が専売の新製品ですが古くから沖縄地方ではいわゆる男性の力に効果があると言われています。

　おやおや,そこの静電気バチバチの人、いいものありますよ。。。

　それから農薬を落とした後の皮がピカピカに光っているリンゴなど商品として販売する際の見栄えをよくするなどのために化学処理をした食品を安全に洗浄する新商品の洗浄液SCSはいかがですか。。。農薬ジクロルポスも食品専用の洗浄液SCSで落ちて安全になります。(厚労省試験済み)

http://www.mediator.co.jp/category/pages.php?id=115「中古パソコン！メディエーター巣鴨店」

Dell-個人のお客様ページ

(Dellの100円パソコン(Mini9)↓私も注文しました。)

ヤーマン　プラチナゲルマローラー　1日3分コロコロエステ！ローラー型プラチナ配合美顔器  

　

お売りください。ブックオフオンラインのインターネット買取 展開へ！ ▼コミック　尾田栄一郎 「ONE PIECE（52）」 ▼コミック 「ONE PIECE」をオトナ買い

三国志特集　▼コミック 横山光輝 「三国志全巻セット」 「三国志（文庫版）全巻セット」   「三国志（ワイド版）全巻セット」 　▼書籍 「三国志」/吉川英治   「三国志」/北方謙三   「三国志」/宮城谷昌光