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2009年3月 1日 (日)

分子と点群(3)

 続きです。前回中途半端で終わったので,例題の2次元の特殊ユニタリ群SU(2)について補足しておきます。

 まず,前回の最後の部分をほぼそのまま書きます。

(再掲開始)

 例としてが2次元の特殊ユニタリ群:SU(2)である場合を考えてみます。=SU(2)≡{g∈GL(2)|g=g-1,detg=1}です。ただしGL(2)は2次の正則な正方行列から成る群です。

対角成分がa,a-1(a∈,a≠0)の2次の対角行列をhaとし,{ha∈GL(2)|a∈,|a|=1}とします。

 

は明らかに=SU(2)の部分群です。しかも,これは可換群(アーベル群)であり,1-パラメータ群(a=exp(iα))なので,U(1)(絶対値が1の複素数の乗法群)と同型です。

=SU(2)の任意の元gの2つの固有値をa,a-1(a∈,|a|=1)とすると,gはあるk∈SU(2)によってha=k-1gk,haと対角化できます。またはg=kha-1,haとすることができます。

一般にU(1)の幾つかの直積と同型な群をトーラス群といいます。

がトーラス群,かつの部分群,すなわちトーラス部分群であって,これを真に含むGのトーラス部分群が存在しないなら,の極大トーラス部分群と呼びます。

 

今の=SU(2)の場合には,上で定義した2次の対角行列から成る部分群はSU(2)の極大トーラス部分群となっています。

[定理5]:=SU(2)とする。

 

(1)の任意の元gは極大トーラス群の元と共役である。

 

(2)g,h∈,に対してf(hgh-1)=f(g)を満たす関数(類関数という)fは極大トーラス部分群の上の値だけで決まる。

  

 すなわち,f1,f2を2つの類関数とするとき,∀h∈に対してf1(h)=f2(h)ならf1=f2である。

=SU(2)の表現(D,U)の指標χDは明らかに類関数なので,これは極大トーラス部分群の上の値だけで決まります。

 

(再掲終了)※

 さて,SU(2)の(m+1)次元表現(Dm,Um)の表現空間Umを2つの文字z1,z2の複素係数のm次の同次多項式全体から成る空間とします。

 

 Umの任意の元は(m+1)個の単項式z1m,z1m-12,..,z12m-1,z2mの1次結合として一意的に表現されるのでUmは確かに(m+1)次元線型空間です。

 そして,表現(Dm,Um)を∀φ∈Umに対しDm(g)φ()≡φ(g)(∀g∈SU(2)) で定義します。ここでt(z1,z2)としました。

このとき,∀g,h∈SU(2)に対してDm(gh)φ()=φ(gh)=Dm(g)φ(h)=Dm(g)Dm(h)φ()なので,この写像は定義域=SU(2)の上で確かに準同型になっていますが,Dm(g)は本当にUmの上の線型変換なのでしょうか?

 まず,φ()がz1,z2のm次の同次多項式,つまりφ()=c11m+c21m-12+..+cm-112m-1+cm2mであることは,φ(t)=tmφ()であることを意味します。

 

 gz=t(az1+bz2,cz1+dz2)(ad-bc=1,d=a*,c=-b*)なるgに対しg(t)=t(g)なので,φ(g(t))=φ(t(g))=tmφ(g)です。

 

 故に,Dm(g)φ()=φ(g)も成立します。つまりm(g)φはz1,z2のm次の同次多項式です。

 

そこで,演算Dm(g)に対し表現空間Umは不変で閉じていること:Dm(g)は確かにUmからUmへの写像であることがわかります。

そして,∀φ,ψ∈Umと∀α,β∈に対してDm(g)[(αφ+βψ)()]=(αφ+βψ)(g)=αDm(g)φ()+βDm(g)ψ()なので線型性も自明です。

 

結局,Dm(g)はUmの上の線型変換であり,(Dm,Um)が確かにSU(2)の1つの表現であることがわかりました。

ここで,z≡z1/z2と置けばUmの任意の元であるz1,z2のm次の同次多項式は,zのm次多項式φ^(z)を用いてφ()=c11m+c21m-12+..+cm-112m-1+cm2m=z2m(c1m+c2m-1+..+cm-1z+cm)≡z2mφ^(z)と表現されます。

 

ただし,zのm次多項式φ^(z)をφ^(z)≡φ()/z2m,またはφ()≡z2mφ^(z)によって定義しました。

  

このzの多項式:φ^はz1,z2の同次多項式φ∈Umと完全に1対1に対応します。

そして,gがgz=t(az1+bz2,cz1+dz2)(ad-bc=1,d=a*,c=-b*)を与えるSU(2)の元である場合,

 

m(g)φ()=φ(g)なる変換式は,Dm(g)[z2mφ^(z)]=(cz1+dz2)mφ^((az1+bz2)/(cz1+dz2))=z2m(cz+d)mφ^((az+b)/(cz+d))を意味します。

結局,Umの任意の元であるz1,z2のm次同次多項式φ()はzのm次多項式φ^(z)と完全に1対1に対応することがわかりました。

 

つまり,z1,z2のm次同次多項式φ()は(m+1)個の基底z1m,z1m-12,..,z12m-1,z2mの1次結合として一意的に表現されますが,これはφ()と全く同じ係数の(m+1)個の基底zm,zm-1,..,z,1の1次結合であるzのm次多項式φ^(z)に同型対応します。

 

そこで,Umはzのm次多項式全体の作る線型空間Vmと同型です。

したがって,表現(Dm,Um)における表現空間UmをVmに変更した(m+1)次元表現を(Dm,Vm)と書けば,これはgz=t(az1+bz2,cz1+dz2)を与えるg∈SU(2)に対してDm(g)φ^(z)=(cz+d)mφ^((az+b)/(cz+d))を与える表現です。

 

結局,Um→Vmは表現Dmの表現空間における単なる基底変換と見なせるので,(Dm,Vm)は(Dm,Um)に同値です。

(なお,z→az+b/(cz+d)を1次分数変換,またはメビウス変換と呼びます。この変換はSU(2)と全く同型です。

 

普通,これもSU(2)と同一視されますが,群の表現と解釈するなら忠実な表現です。)

SU(2)の(m+1)次元表現(Dm,Vm)は,haに対してはDm(ha)φ^(z)=a-mφ^(az/a-1)=a-mφ^(a2z)ですから,Vmの全ての基底:fk(z)≡zk(k=0,1,2,..,m)に対してはDm(ha)fk(z)=a2k-mk(z)となります。

 

したがって,基底fk=fk(z)=zの1次結合で表わした任意のφ=Σk=0mkk∈Vmに対して,Dm(ha)はDm(ha)φ=Σk=0m2k-mkkと書けます。

つまり,線型変換Dm(ha)は行列表現ではその成分がDm(ha)kj=a2k-mδkjの対角行列です。

 

そこで,表現(Dm,Vm)の指標χDmをχmと書けば,χm(ha)=Tr{Dm(ha)}=Σk=0m2k-m=a-m(1-a2(m+1))/(1-a2)=(a-(m+1)-am+1)/(a-1-a)=sin{(m+1)α}/sinα,(a≡exp(iα),α∈)となります。

ところで,gz=t(az1+bz2,cz1+dz2)(ad-bc=1,d=a*,b=-c*)を与えるSU(2)の元gの成分を4つの実数x1,x2,x3,x4を用いてa=x1+ix2,c=x3+ix4と表現すれば,ad-bc=1なる条件はx12+x22+x32+x42=1となります。

そこで,3つの独立なパラメータθ123によってx1=cosθ1,x2=cosθ2sinθ1,x3=cosθ3sinθ2sinθ1,x4=sinθ3sinθ2sinθ1と表わすことができます。

 

ただし,0≦θ1≦π,0≦θ2≦π,0≦θ3≦2πです。

微小長さdsはds2=dx12+dx22+dx32+dx42=dθ12+sin2θ1dθ22+sin2θ1sin2θ2dθ32で与えられるので,対応する体積要素はsin2θ1sinθ2dθ1dθ2dθ3になります。

そこで,∫SU(2)ψ(g)dg=∫00π0πψ(θ123)sin2θ1sinθ2dθ1dθ2dθ3がSU(2)上の不変積分となります。

 

これにψ≡1を代入したSU(2)の全体積が2π2となるので,規格化された不変測度は上記dgを2π2で割り,改めてdg={1/(2π2)}sin2θ1sinθ2dθ1dθ2dθ3で与えられます。

ところで,g=haの対角行列ではc=x3+ix4=0 ですから,これはθ2=0 を意味します。

 

そして,このときa=x1+ix2=cosθ1+isinθ1=exp(iθ1)ですから上で求めた指標χm(ha)=Σk=0m2k-m=sin{(m+1)α}/sinα(a≡exp(iα),α∈)は,これにα=θ1を代入することで明確なθ1の関数の形でχm(ha)=sin{(m+1)θ1}/sinθ1となります。

そして,先にコンパクト群上の関数φ,ψについての内積を<φ|ψ>≡∫φ(g)*ψ(g)dgによって定義しました。

 

これにより=SU(2)においては<χm+1n+1>=∫SU(2)χm+1(g)*χn+1(g)dg=∫SU(2)χm+1(ha)*χn+1(ha)dg={1/(2π2)}∫00π0πsin{(m+1)θ1}sin{(n+1)θ1}sinθ2dθ1dθ2dθ3=(2/π)∫0πsin{(m+1)θ1}sin{(n+1)θ1}dθ1=δmnが得られます。

このことから,表現(Dm,Vm),または(Dm,Um)(m=0,1,2,..)は全てSU(2)の(m+1)次元の既約表現であることがわかりました。

最後に,SU(2)の既約表現が上記の(Dm,Vm),または(Dm,Um)(m=0,1,2,..)で尽くされることを見ます。

まず,任意の表現(D,U)の指標χDは極大トーラス部分群の上のha,つまりパラメータθ1のみの関数として,χD(ha)=χD1)で与えられ,これは<χDD>=(2/π)∫0πχD1)*χ D1)sin2θ1dθ1を満たします。

 

しかも,haとha-1=h1/aは互いに共役(相似)なのでχD(ha)=χD(h1/a )ですが,a=exp(iθ1),a-1=1/a=exp(-iθ1)なのでχD1)=χD(-θ1)よりχD1)は偶関数です。

したがって,ξ(θ1)≡sinθ1χD1)とおくと,これはθ1の奇関数で周期が2πの連続関数です。

 

そこで,こξ(θ1)はξ(θ1)=Σn=1nsin(nθ1),cn=(2/π)∫0πξ(θ1)sin(nθ1)dθ1とフーリエ正弦展開できます。

よって,<χDm>=(2/π)∫0πξ(θ1)sin{(m+1)θ1}dθ1=cm+1となります。

 

そこで,もしも表現(D,U)があらゆる(Dm,Um)と異値:<χDm>=0 (m=0,1,2,..)なら,cm+1=0 (m=0,1,2,..)によって恒等的にχD≡0 となります。

 

厳密には,フーリエ級数ξ(θ1)=Σn=1nsin(nθ1)についてパーシバル(Parseval)の等式∫π|ξ(θ1)|2dθ1=2∫0π|ξ(θ1)|2dθ1=πΣn=1|cn|2でΣn=1|cn|2=0 が成立します。

 

それ故,∫0π|ξ(θ1)|2dθ1=0 から,ξ(θ1)は,ほとんどいたるところでゼロであることがわかりますが,ξ(θ1)はθ1の連続関数なので恒等的にゼロです。

 

つまり,ξ(θ1)=sinθ1χD1)=0 により,χD(ha)=χD1)=0 なので∀g∈SU(2)について,χD(g)=χD(ha)=0 です。

これは,既約性の条件<χDD>=1に矛盾します。

 

したがって,(D,U)が既約表現なら,これはあるmに対する(Dm,Um)と同値でなければなりません。

これらを,定理の形にまとめます。 

[定理6]:(1)SU(2)の任意の既約表現は,あるmに対するDmと同値である。

 

(2)既約表現Dmの指標χmは,SU(2)の極大トーラス部分群の上ではha;a=exp(iθ)に対してχm(ha)=sin{(m+1)θ}/sinθで与えられる。

 一般にgの固有値がa=exp(iθ),a-1=exp(-iθ)のときχm(g)=χm(ha)=sin{(m+1)θ}/sinθとなる。

 

(3) SU(2)の任意の表現Dは完全可約であって,いくつかのDmの直和と同値である。

 SU(2)は単に群の1つの例として出したつもりだったのですが,ここまで書いてしまったので,SU(2)の随伴表現が回転群SO(3)≡{R∈GL(3,)|tR=R-1,detR=1}の忠実な表現になることを利用してSO(3)の既約表現を調べます。

 まず,体( or )の元を成分とするn次の正方行列の集合をM(n,)と書くと,これはの上の線型空間を作ります。

 

 今,U≡{∈M(n,)|=0,Tr=0}とすると,これは∀∈Uは∀t∈に対してt∈Uの(n2-1)次元の実線型空間です。

 

 一般のn次の特殊ユニタリ群=SU(n,)の元gに対して,その∈Uに対する線型変換Adgを,(Adg)≡g-1で定義します。

 固定したg∈SU(n,)に対してAdgがUの上の線型写像であることは明らかです。

 

 そして∀∈Uについて,=0 とAdgの線型性より(Adg)+(Adg)=0 ですが,(Adg)=g-1=g=(g)t={(Adg)}です。

 

 また,Tr((Adg))=0 なので,AdによってUは不変です。

一方,∀g1,g2∈SU(n,)に対して,{Ad(g21)}=g211-12-1=g2{(Adg1)}g2-1=(Adg2)(Adg1)ですから,写像g→Adgは連続かつ準同型な写像です。

以上から,AdはSU(n,)の(n2-1)次元実表現空間U上での表現であることがわかりました。これをSU(n)の随伴表現といいます。

ここで,1,2∈Uに対する内積を<1|2>≡Tr(12)=Σi,j=1n[u1*ij2ij]で定義します。特に,<|>=Tr()=Σi,j=1n|uij|2≧0 (∈U)です。

 

そして,<(Adg)1|(Adg)2>=Tr(g1-12-1)=Tr(12)=<1|2>なので,この内積の定義ではAdはユニタリ表現です。

 

しかも,Uは実線型空間なのでユニタリ表現であることは,Adgが直交行列であることを意味します。

そこで,特にn=2,n2-1=3の場合,SU(2)=SU(2,)の場合にはAd[SU(2)]は"3次元直交行列の群=回転群":SO(3)と準同型になります。

 

なぜなら,写像g→Adgは連続であり,Ad[SU(2)]は連結なのでdet(Adg)=1となるからです。

 

ただし,Ad(-1)=Ad(1)=I(回転群の単位元)なので,Ker(Ad)={±1}より,SU(2)~ O(3)/{±1}=SO(3)です。

 

つまり,R∈SO(3)に対して,g∈SU(2)が存在してAdg=Rならば,Ad(-g)=Rであり,このh=±g以外にはAdh=Rを満たすh∈SU(2)は存在しません。

 

パウリのスピン行列として知られているσ=(σ123)を用いて,k≡iσk/√2 (k=1,2,3)とすれば,k∈Uであって<i|j>=δijですから,これはUの1つの正規直交基底になります。

 

任意のUの元=Σk=13kkと展開すれば,k(k=1,2,3)は3次元空間のあるxyz座標系のx,y,z軸方向の単位ベクトルで,(u1,u2,u3)は空間ベクトルのこの座標系での成分と同定され,ます。

  

そして,特にhθ≡ha⊂SU(2);a=exp(iθ)なら線型変換Adhθによって基底k(k=1,2,3)は(Adhθ)11cos(2θ)+2sin(2θ),(Adhθ)2=-1sin(2θ)+2cos(2θ),(Adhθ)33cos(2θ)と変換されるので,この基底ではAdhθ3軸のまわりの角:2θの回転を表わしています。

 

また,Adkθ,Adlθがそれぞれ2軸,1軸のまわりの角:2θの回転を表わすようなkθ,θ∈SU(2)を取ることもできるので,結局全ての回転を随伴表現で与えることが可能です。

 

まあ,回転群SO(3)を生成するには実際には,hθ,kθ,θのうちの2つがあれば十分なのですが。。。

 

さてSO(3)の1つの表現(T,U)があるとき,g∈SU(2)に対してD(g)≡T(Adg)とすれば,(D,U)はgの1つの表現です。そしてSO(3)の表現(T,U)が既約であることとSU(2)の表現(D,U)が既約であることは同値です。

 

D(g)≡T(Adg)によってSO(3)の任意の既約表現からSU(2)の既約表現が得られますが,SU(2)の表現(D,U)からD(g)≡T(Adg)によって必ずしもSO(3)の表現(T,U)は決まりません。

 

すなわち,R∈SO(3)に対してAdg=Rとなるg∈SU(2)は2つ存在してそれは±gです。

 

そこで,D(g)≡T(Adg)であるならば,D(g)=T(R),かつD(-g)=T(R)ですからD(g)=D(-g),つまりD(-1)=D(1)=Iである必要があります。

 

逆にD(-1)=IならD(g)≡T(Adg),Adg=Rから表現T(R)は一意的に決まります。

 

そこでSO(3)の既約表現(T,U)を求めるにはSU(2)の既約表現(D,U)を全て求め,それらのうちでD(-1)=Iを満たすものを取ればいいことになります。

 

ところが,上に述べたようにSU(2)の既約表現の全ては既に(m+1)次元表現(Dm,Um)(m=0,1,2,..)で尽くされることがわかっています。そして,Dm(-1)(-1)mIです。

 

したがって,mが偶数:m=2lのときにはSU(2)の既約表現(Dm,Um)(m=0,1,2,..)からTl(R)≡Dm(Ad-1R)によって回転群SO(3)の既約表現(=1価表現)(Tl,U2l)(l=0,1,2,..)が得られます。

 

(Tl,U2l)は(2l+1)次元表現です。(これは量子論では角運動量がJ=lのJz=-l,..,-1,0,1,..,lに対応します。)

 

そして,Adhθ3軸のまわりの角:2θの回転Rを表わしていて(Dm,Um)の指標がχm(g)=χm(hθ)=sin{(m+1)θ}/sinθなので,3軸のまわりの角:θの回転Rθに対する(Tl,U2l)の指標はχl(Rθ)=sin{(2l+1)θ/2}/{sin(θ/2)}で与えられます。

 

さらに,SO(3)の任意の表現Tは完全可約であって,いくつかのTlの直和と同値になります。

 

なお,mが奇数m=2k+1のときの,Tk+1/2(Adg)=Dm(g))(k=0,1,2,..)はSO(3)の表現としては2価表現((2k+2)次元表現)を与えます。

 

(これは量子論で角運動量がJ=k+1/2のときのJz=-k-1/2,..,-1/2,,1/2,..,k+1/2に対応します。)

 

今日はここまでにします。 

参考文献:山内恭彦,杉浦光夫著「連続群論入門」(培風館),犬井鉄郎,田辺行人,小野寺嘉孝 著「応用群論」(裳華房),島 和久 著「連続群とその表現」(岩波書店)

 

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コメント

 どもMMさん。。TOSHIです。

 おたがいがんばりましょう。

 ちょっと気になったのが信用してないという言葉ですね。信用するしないという言葉はむしろ形而上学,不可知論やともすると宗教に属するものだと思います。

 私はそういう意味では心霊とか占いとか,相対性理論は間違っているとかの話も含めて信用するとかしないとかの範疇では半信半疑ですね。。。もちろん相対論などは半信というよりも自分の中では99%以上は確立していますが。。。

 釈迦に説法であれば失礼しました。。
            TOSHI

投稿: TOSHI | 2009年3月10日 (火) 10時37分

了解です。素人なので自分ものんびりやっています。統一理論というのは難しいものですね。わたしは超ひも理論など多次元理論の類はまったく信用しておらず、独自の方法で研究を進めています。そもそも超対称性などというものはないと考えているのですが、どうでしょうか。なんとか真空の性質や質量の起源などを解明したいと思っています。

投稿: MM | 2009年3月 6日 (金) 22時37分

 はじめまして。MMさん。TOSHIです。

 コメントありがとうございます。

 お誘いはありがたいのですが,実は私は趣味でまだ勉強しているという段階なので若輩者というのがお若いという意味ならば,統一理論ですか?私のようなクソジジィではなくもっとイキのよい方と組まれたらどうでしょうか?

 何か共通のテーマとかがあれば2人以上の共同研究もメリットあるでしょうが。。

 一応今のところ1人でシコシコ気の向くままに遊びながら極楽トンボで余生を過ごしてるだけなので,ごめんなさい。

 それよりもお知り合いに拙ブログの口コミ宣伝でもしていただけたらありがたいと存じます。
              TOSHI

投稿: TOSHI | 2009年3月 2日 (月) 11時13分

はじめまして。
重力を含む統一理論を研究している者です。最近たまたまこのページを見つけました。自分はアマチュアの若輩者ですが、Toshiさんは物理に相当お詳しい方ですね。一緒に統一理論をやりませんか。

投稿: MM | 2009年3月 2日 (月) 02時38分

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