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2009年3月 4日 (水)

束縛状態とベーテ・サルピーター方程式(5)

前回から大分間が空きましたが,ベーテ・サルピーター方程式(B-S.eq.)の続きです。

ローレンツ群はWignerによって導入された小群(little group)と呼ばれるの部分群:()≡{Λ∈|ΛP=P}において,P=(Pμ)を設定することで4種類に分類されます。

 

ここで前のようにs≡P2=Pμμとします。

それら4種類の小群の族は,[1]s>0 の場合 ~ O(3):Pμ(√s,0) [2]s<0 の場合 ~ O(2,1):Pμ(0,0,0,√-s)[3]Pμ0 の場合 ~ O(3,1)[4]s=0 だがPμ≡0 ではない場合 ~ E(2):Pμ(P0,0,0,P0)(P00) です。

そして,B-S振幅(B.S amplitude):φBr(xa,xb;PB)=<0|T[φa(xab(xb)]|B,r>,(r=1,2,..,n)のフーリエ(Fourier)変換:{φBr(p,PB)}r=1nはローレンツ群の1つの有限次元表現となっている(PB)の表現空間の基底を形成します。

 

特に,それらは体調和関数で表現されます。

体調和関数は(∂/∂p)2l(p)=0,およびPμ(∂/∂pμ)Xl(p)=0 を同時に満足するp0,p1,p2,p3のl次の同次多項式l(p)で定義されます。

前記事では,小群の表現空間を構成する体調和関数が特殊座標系ではなく任意のローレンツ系ではどうなるかを調べる過程に入ったところで終わりました。

そこでは,まず,[1]P2=s>0 の場合:4元運動量がP(0)μ(√s,0)となる特殊座標系と同じsを持つ任意座標系を考えました。

 

このときには,あるローレンツ変換Λ∈が存在して,P=ΛP(0)と書けます。そして,このΛとpに対してq≡Λ-1pを定義します。

このとき,小群()≡{Λ∈|ΛP=P}の体調和関数は,lm(p,P)=lm()で与えられます。

 

lm(p,P)=lm()=lm(q,P(0))で,lm(q,P(0))は((0))の体調和関数ですから,q0,q1,q2,q3のl次の同次多項式です。

 

そして,qμ(Λ-1)μννなのでq0,q1,q2,q3のl次の同次多項式であることは,それがp0,p1,p2,p3のl次の同次多項式であることと同値です。

P=ΛP(0),p=Λqより(∂/∂p)2lm(p,P)=(∂/∂q)2lm(q,P(0))=0,P(∂/∂p)lm(p,P)=(0)(∂/∂q)lm(q,P(0))=0 が成立することも自明です。

 

故にlm(p,P)=lm()を()の体調和関数と同定できます。

次に,あるsの関数を掛けることで体調和関数lm(p,P)をs平面で解析接続します。これによって,[1],[2],[4]のケースを統一した方法で論じることができます。

例えば00=Λ33=α11=Λ221,Λ03=Λ30=βで,それ以外のΛμνは全てゼロ(ただし,α≡(a+a-1)/(2√s),β≡(a-a-1)/(2√s)(a≠0))なるΛを考えます。

 

すると,P(0)μ(√s,0),P=ΛP(0) μν(0)ν)より,Pμ=((a+a-1)/2,0,0,(a-a-1)/2)であり,q=Λ-1(μ(Λ-1)μνν)より,q1=p1,q2=p2,q3=αp3-βp0です。

lm(p,P)=lm()において,右辺のに上記の1=p1,q2=p2,q3=αp3-βp0を代入し,lm()=[(2l+1)(l-|m|)!/{(4π)(l+|m|)!}]1/2(2|m|-1)!!(q1±iq2)|m|||l-ml-|m||m|+1/2(q3/||) (m=-l,-l+1,..,l)なる陽な表現を用いるとim(p,P)の陽な形が得られます。 

sがゼロの極限での発散を避けるため,lm(p,P)にs(l-|m|)/2を掛けてs→ 0 の極限を取ると,lims→0[s(l-|m|)/2lm(p,P)]=(定数)×(p1±ip2)|m|(p3-p0)l-|m|となり,確かに既に述べた,[4]s=0での標準の体調和関数χlm(p)=alm(p1±ip2)|m|(p3-p0)l-|m|に一致します。 

 最後にB-Seq.への応用上で重要なlm(p,P)の自己再生性と直交性を証明します。

 まず,球関数Ylm(θ,φ)に対する等式:∫0πsinθ'dθ'∫0dφ'f(cosω)Ylm(θ',φ')=hYlm(θ,φ)に着目します。

 

 ここでf(z)は任意の連続関数,hはある定数です。また,cosωはcosω≡cosθcosθ'+sinθsinθ'cos(φ-φ')で与えられます。

式が成立することは,f(cosω)をルジャンドル多項式Pl(cosω)の級数に展開し,その加法定理:Pl(cosω)={4π/(2l+1)}Σm=-lllm(θ,φ)Ylm(θ',φ'),およびYlm(θ,φ)の積分の直交性を用いて証明することができます。

pp'=|||'|cosωですから,もしもf(,')が不変量:2,'2,pp'のみの任意の連続関数であり,これらスカラー量についての十分急減少な関数なら,上の球関数の等式∫0πsinθ'dθ'∫0dφ'f(cosω)Ylm(θ',φ')=hYlm(θ,φ)は,体調和関数に対する等式∫d3'f(,')lm(')=h()lm()になります。

(p,p',(0))を,p,p',(0)から形成される不変量を引数とする十分急減少な任意のファインマン分布関数とすれば,p(0)=√sp0,p'(0)=√sp'0なので,この式は∫d4'F(p,p',(0))lm(')=H(p,(0))lm()を意味します。

 

ここで,H(p,(0))はp2とp(0)とsだけに依存します。

∫d4'F(p,p',(0))lm(')=H(p,(0))lm()で,単に変数p,'をq,q'に変えると,∫d4'F(q,q',(0))lm(')=H(q,(0))lm()となります。

そして,q=Λ-1,およびlm()=lm(p,P)を代入すると,∫d4'F(Λ-1,Λ-1',(0))lm(p',)=H(Λ-1,(0))lm(p,P)となりますが,これはF,Hのローレンツ不変性によって∫d4p'F(p,p',)lm(p',)=H(p,)lm(p,P)に帰着します。

 

こうして,lm(p,P)の自己再生性が示されました。

 

これをs平面で解析接続すれば,これが[1],[2],[4]のケースのどのケースでも成立することがわかります。

同じテクニックを用いてim(p,P)の直交性も証明できます。

 

直交性は∫d4(p,)lm(p,)l'm'*(p,)=H(s)δll'δmm'です。ここでもF(p,)はpとPの十分に急減少する任意の不変分布関数です。 

また,[3]Pμ0 の場合のローレンツの体調和関数Llm(p)の自己再生性と直交性も4次元球面調和関数の性質から従うとわかります。

ヘリシティ定式化でスピンを持つ粒子を扱うためには,lm(θ,φ)の代わりに,一般化された球面調和関数を考える必要があります。

 

対応するim(p,P)の一般化も重要ですが,それは現時点ではまだなされていません。

§5.ウィック回転(Wick rotation)

-S.eq.の核は,ファインマン伝播関数の特異点を含んでいるので,標準的な数学の定理,公式を直接的にB-S.eq.に適用することはほとんどできません。

1954にWickはこうした困難を克服する手法を発見しました。

 

彼は複合粒子や束縛状態の安定条件の下で,相対エネルギー変数の外周積分路を複素平面上の虚軸に持ってくることで,新しい核をユークリッド計量の核にすることができることを示しました。

この手続きはウィック回転(Wick rotation)と呼ばれていますが,あいにく回転という名称のためにしばしば誤解を受けています。

1955に,KemmerとSalamはウィック回転を弾性領域の散乱のB-S.eq.に拡張しました。またTickpoulos(1964)は,質量殻上の逐次近似解を考えることから,それがユークリッド的に変換されることを示しました。

 

ウィック回転は,最近になって散乱のB-S.eq.を数値的に解くための手法として再認識されています。

SchwartzとZemach(1966)は位置空間で論じました。PagnamentaとTaylor(1966),およびSaenger(1967)はウィック回転の後で,どのような特異性が残るかを調べました。

我々は,ファインマン振幅:φ(x,P)≡<0|T[φabb(-ηa)]|P>と,その共役φ^(x,P)≡<0|T~[φabb(-ηa)]|P>*=<P|T[φabb(-ηa)]|0>を考えます。

 

ここで,|P>は任意の総4元運動量固有状態を記述します。またT~は反時間順序積です。

これを,2009年1/29の記事「束縛状態とベーテ・サルピーター方程式(3)」において束縛状態|B,r>に対するB-S.振幅とその共役を定義したものと比較します。

 

そこでは,B-S.振幅と共役をφBr(xa,xb;PB)≡<0|T[φa(xab(xb)]|B,r>とφBr^(xa,xb;PB)≡<B,r|T[φa(xab(xb)]|0>=<0|T~[φa(xab(xb)]|B,r>*で定義しました。

 

そして,理論の平行移動不変性によってφBr(xa,xb;PB)≡(2π)-3/2exp(-iPBBr(x,PB),φBr^(xa,xb;PB)≡(2π)-3/2exp(iPBBr^(x,PB) (X≡ηaa+ηbb,x=xa-xb)と表現して,φBr(x,PB),φBr^(x,PB)を与えました

 

れを見ると,もしも上のファインマン振幅φ(x,P),φ^(x,P)の定義で|P>を|B,r>で置き換えてP=PBとすれば,これらはそれぞれ定数因子を除いて束縛状態のB-S.振幅φBr(x,PB),φBr^(x,PB)に一致することがわかります。

(訳注):このファインマン振幅については,2009年1/26の記事「束縛状態とベーテ・サルピーター方程式(2)」において,

 

"ファインマン(p,P)というのは一体,何を意味するのか不明ですが,グリーン関数(p,q,P)とは異なり,入射粒子の運動量遷移qを含まないので,位置表示でのF(xa,xb)がF(xa,xb)=∫dyadyb(xa,xb;ya,yb)のようなものではないかと推測されます。"

 

という趣旨のことを書きましたが,ここまできてやっと明確な定義がわかりました。※

さて,f(x,P)≡<0|φabb(-ηa)|P>,g(x,P)≡<0|φb(-ηaab)|P>とおけば,ファインマンはφ(x,P)=θ(x0)f(x,P)+θ(-x0)g(x,P),φ^(x,P)=θ(x0)g*(x,P)+θ(-x0)f*(x,P)と表現できます。

フーリエ変換による運動量表示でのファインマン振幅の定義φ(x,P)≡(2π)-4∫d4exp(-ipx)φ(p,P),φ^(x,P)≡(2π)-4∫d4exp(ipx)φ^(p,P),および公式θ(x0)=-(2πi)-1∫d4kexp(-ikx)δ3()(k0iε)-1 etc.を用いてファインマン振幅の表式を運動量空間における式に変換します。

 

すると,φ(p,P)={-1/(2πi)}∫dq0{(q0,,P)/(p0-q0iε)}+{1/(2πi)}∫dq0{(q0,,P)/(p0-q0iε)},φ^(p,P)={-1/(2πi)}∫dq0{*(q0,,P)/(p0-q0iε)}+{1/(2πi)}∫dq0{*(q0,,P)/(p0-q0iε)}となります。

これは,φ(p,P)とφ^(p,P)が共役であるという意味の詳細を示しています。

 

これらのφφ^の表式において,dq0による被積分関数の分子は互いに複素共役の関係にありますが,特異性を与える分母は両者で一致しています。

 

すなわち,φ^の吸収部分はφのそれの複素共役に等しいことがわかります。φ^の分散部分はφ^の吸収部分に関連付けられますが,正確に同じ道筋でφの分散部分はφの吸収部分と関連付けられます。

次にやるべきことは,(p,P)と(p,P)の主要な性質を見出すことです。そのためにf(x,P)=<0|φabb(-ηa)|P>,g(x,P)=<0|φb(-ηaab)|P>の右辺に状態|N>の完全系を挿入します。

f(x,P)についてはf(x,P)=ΣN0|φab)|N><N|φb(-ηa)|P>=∫d3N(2pN0)-1p=-ηaP+pN0|φa(0)|N><N|φb(0)|P>exp(-ipx)]となります。ここにpNは状態|N>の4元運動量を記述します。

 

ところで,1粒子aは,単独では如何なる状態へも自発的に崩壊することは不可能です。

 

※(訳注)例えば,n→p+e+νのようなβ-崩壊であっても,実際には自発的崩壊ではなく"弱い相互作用"という相互作用の摂動を受けた結果の誘導崩壊と考えられるわけです。厳密な意味では,自由粒子が自然に崩壊したのではありません。

 

たとえ,中性子nのように弱い相互作用の意味で安定な粒子でなく不安定な粒子でも,そうだと思います。

 

もっと言うなら,安定な粒子nであっても実はクォークやグルオンなどの構造を持つ複合粒子であって,1粒子ではないのでnよりも小さい質量のpに崩壊するのだともいえます。

 

かし,逆に状態|N>の静止エネルギーが1粒子a,つまり状態φa(0)|0>のそれよりも小さくない場合には,その遷移振幅<0|φa(0)|N>は一般にゼロとは限りません。※

 

それ故,pN2≧ma2,かつpN00 でないなら,<0|φa(0)|N>=0です。つまり,(ηaP+p)2≧ma2,かつηa0+p00 でないなら(p,P)=0 です。

 

同様に(p,P)について(ηbP-p)2≧mb2,かつηb0-p00 でないなら(p,P)=0 です。

つまり,q0≧ωminでないなら,(q0,,P)=0 であり,q0≦ωmaxでないなら(q0,,P)=0 です。

 

ただし,ωmin[ma2a)2]1/2-ηa0max≡ηb0[mb2b)2]1/2と定義しています。 

途中ですが,今日はここで終わります。

参考文献:Noboru Nakanishi "A General survey of the Theory of the Bethe-Salpeter Equation" Progress of Theoretical Physics, supplement,No.43(1969)

 

PS:最近,何故かmisono(お姉ちゃんと似てないしキャラも違う)が可愛く思えて気になってきたので,若い女性ジャンルでは,木下優樹菜と青島あきなファンからmisonoファンに乗り換えようかな?

 

 まあ,何人いてもいいから追加でもいいけど。。。

 

 ロリコンジジィは,大橋のぞみチャンのファンにもなりました。。。

 

 別ジャンルでは椿姫彩菜さんなんかは昔から好きですが。。(2007年9/27の記事「久しぶりに目から汗が。。。 参照)

 

 (西洋人的な濃い美人顔は好みではないけれど,ベッキーだけには会ってみたい。。。あと男だけど,ネプチューンのホリケンにも。。。

 

 TVで見る姿が素であるとは思ってないけどそんなのはイイや。。)

  

 ところで,私自身の芸能人の好みはその経歴とか,信じている宗教とかホモであるとか,在日であるとか外人であるとか,etc.にはほとんど関係ありません。(例えば,桜田淳子さんやマッキーも好きです。)

 

 もちろん,神ではないので偏見などないと思いたい,主張したい自分の頭の中の深層には,無意識の偏見が多々あるのでしょうが。。

 

 その程度の人間である自分が,他人の偏見を批判するという資格もなく,まあブログ(公開日記)ですから書いていることは大体私はそうです,と言ってるだけで,他人に押し付ける気などはなく単なる自負,自慢のたぐいです。。←エラクなったもんだ。。。

 

 また,何かの犯罪でポリに逮捕され有罪になったりしたからといって,ファンだったのに急に掌返したりすることはありません。

  

(田代まさしさん。極楽トンボの山本さん。たとえ,性犯罪であろうと今も好きな方です。)

 

 これは,何故かポリや検察の方がもっと嫌いだということも理由の1つですが。(もちろん,個人でなく組織あるいは組織人のことですよ。)

 

 個人なら,元警察官で病気の後やめたという友人もいました。。。

 

 もしも,彼,彼女がどんな職業であるか?という属性によって,私にとって彼,彼女を好きか嫌いか?が左右されるとするなら,それこそ私自身が自己矛盾の塊でしょう。。

 

 (極端な話,人間には所詮無理なことなのですが「罪を憎んで人を憎まず」とか「公私混同するな」とかいうことですね。

 

 私が唯一嫌いなことは他人ではなく自分に関することで「言行不一致」と,同じようなことですが,たとえ方便でもほんの少しの例外を除いて「ウソをつくこと」ですね。

 

 男として汚いこと恥ずかしいことをした,恥を掻くようなことがあったとしてもウソで糊塗するな。。言い訳するな。。とかね。。

  

 もちろん,他人が私にウソつくのや言行不一致だとしても,それは彼,彼女の弱さであり嫌いではありませんが,恐らく陰口くらいは言うでしょうね。それは,自分ではむしろ恥ずかしいことに属しますが,神ではない人間の本能です。はは。。言い訳だ(笑))

 

 昔,殺人を犯して服役し現在は出所しているらしい当時人気歌手の"克美しげる"さんも私はファンであるというわけではなかったのですが,それが原因で特に急に嫌いになったという記憶はありません。。

 

 私や身内が危害を受けたわけでもなく,よくある三角関係の延長で有名人であるが故の過剰な自己防衛の殺人でしたね。

  

 羽賀健二さんとか,小室哲也さんとかも有罪になったとか無罪に変わったとかで,コロコロとファンでなくなったり,またファンに戻るとかということは個人的にはありません。

 

 基本的に,私的な面で直接または間接的に実害や危害を受けるようなら犯罪でなくても気持ちが変化するのは当然ですが,そうでなければ好き嫌いや人目惚れのたぐいは,相手の思想信条とかのような属性で私の心情が左右されるとも思えません。

 

 もちろん,人目惚れのような本能に近い愛情に属するようなものではなく,むしろ尊敬などの意味を含むような頭でっかちな考えに属する好悪感情の要因としては,相手の思想信条や経歴なども何割かはその好悪の原因要素に入りますが,私の場合はそれは主要因ではありません。

 

(↑と思いたい?。ポーズ,スタンドプレイ?)

 

 話は変わるけど,政治家の中川君が大物,豪傑行為をやったからといって,亀田君や朝青龍君などのときのように,いつまでも枝葉末節で大騒ぎすんなよ。。

 

 どうせ,より高視聴率が取れる別のトピックが出たらすぐにも消える話題だけど。。

 

 政治家もマスコミも今はもっと重要な問題あるだろ?

 

 どんなに金持ちで公的な人間だって食事や睡眠は必要だろうし,休息やストレス解消も必要だと思う。。

 

 トキには羽目をはずすこともあるさ。。

 

(G7なんて,どうせ大部分の会社の打ち合わせと同じく,単なるセレモニーであって大切な協議事項があっても同行した官僚とかの方がメインで日本の大臣なんかお飾りだろうと思う。

 

 そもそも記者会見や市内観光って公務に入るの?)

 

 こういうのって別段犯罪でもないし,将来はわからんけど,その他諸々の重大事と比べ,具体的に諸兄はどれほどの被害を蒙りましたか???

  

http://folomy.jp/heart/「folomy 物理フォーラム」サブマネージャーです。

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