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2009年3月 9日 (月)

束縛状態とベーテ・サルピーター方程式(6)

 ベーテ・サルピーター方程式(B-S.eq.)の続きです。

前回は急用があったせいもあって,かなり中途半端なところで終わったので,もう1度ファインマン振幅(Feynman amplitude)を定義するところから再開します。

ファインマン振幅φ(x,P)≡<0|T[φabb(-ηa)]|P>と,その共役φ^(x,P)≡<0|T~[φabb(-ηa)]|P>*=<P|T[φabb(-ηa)]|0>を考えます。

 

ここで,|P>は任意の総4元運動量固有状態を記述します。また,T~は反時間順序積です。

これを,2009年1/29の記事「束縛状態とベーテ・サルピーター方程式(3)」 において束縛状態|B,r>に対するB-S.振幅(B-S. amplitude)とその共役を定義したものと比較します。

そこでは,B-S.振幅とその共役をφBr(xa,xb;PB)≡<0|T[φa(xab(xb)]|B,r>とφBr^(xa,xb;PB)≡<B,r|T[φa(xab(xb)]|0>=<0|T~[φa(xab(xb)]|B,r>*によって定義しました。

 

その後,理論の平行移動不変性により,φBr(xa,xb;PB)≡(2π)-3/2exp(-iPBBr(x,PB),φBr^(xa,xb;PB)≡(2π)-3/2exp(iPBBr^(x,PB)(ただし,X≡ηaa+ηbb,x=xa-xb)と表現してφBr(x,PB),φBr^(x,PB)を与えました。

これを見ると,もしも上のファインマン振幅:φ(x,P),φ^(x,P)の定義で|P>を|B,r>で置き換えてP=PBとすれば,これらはそれぞれ定数因子を除いて束縛状態のB-S.振幅:φBr(x,PB),φBr^(x,PB)に一致することがわかります。

そして,f(x,P)≡<0|φabb(-ηa)|P>,g(x,P)≡<0|φb(-ηaab)|P>とおけば,ファインマン振幅はφ(x,P)=θ(x0)f(x,P)+θ(-x0)g(x,P),φ^(x,P) =θ(x0)g*(x,P)+θ(-x0)f*(x,P)と表現できます。

ここで,フーリエ変換による運動量表示でのファインマン振幅の定義:φ(x,P)≡(2π)-4∫d4exp(-ipx)φ(p,P),φ^(x,P)≡(2π)-4∫d4exp(ipx)φ^(p,P),および公式:θ(x0)=-(2πi)-1∫d4exp(-ikx)δ3()(k0iε)-1 etc.を用いて運動量空間における表式に変換します。

すると,φ(p,P)={-1/(2πi)}∫dq0{(q0,,P)/(p0-q0iε)}+{1/(2πi)}∫dq0{(q0,,P)/(p0-q0iε)},φ^(p,P)={-1/(2πi)}∫dq0{*(q0,,P)/(p0-q0iε)}+{1/(2πi)}∫dq0{*(q0,,P)/(p0-q0iε)}となります。

これはφ(p,P)とφ^(p,P)が共役であるという意味の詳細を示しています。すなわち,これらのφφ^の表式においてdq0による被積分関数の分子は互いに複素共役の関係にありますが,特異性を与える分母は両者で一致しています。

したがって,φ^の吸収部分はφのそれの複素共役に等しいことがわかります。φ^の分散部分はφ^の吸収部分に関連付けられますが,正確に同じようにφの分散部分はφの吸収部分と関連付けられています。

次にやるべきことは,(p,P)と(p,P)の主要な性質を見出すことです。そのためにf(x,P)=<0|φabb(-ηa)|P>,g(x,P)=<0|φb(-ηaab)|P>の右辺に状態|N>の完全系を挿入します。

すなわち,f(x,P)についてはf(x,P)=ΣN0|φab)|N><N|φb(-ηa)|P>=∫d3N(2pN0)-1p=-ηaP+pN0|φa(0)|N><N|φb(0)|P>exp(-ipx)]となります。ここにpNは状態|N>の4元運動量を記述しています。

ところで,粒子aは,単独では如何なる状態へも自発的に崩壊することは不可能です。しかし,逆に状態Nの静止エネルギーが1粒子a,つまり状態φa(0)|0>のそれより小さくない場合には,その遷移振幅<0|φa(0)|N>は必ずしもゼロとは限りません。

それ故,pN2≧ma2,かつpN00 でないなら<0|φa(0)|N>=0,つまり,(ηaP+p)2≧ma2,かつηa0+p00 でないなら(p,P)=0 です。

 

同様に(p,P)についても,(ηbP-p)2≧mb2,かつηb0-p00 でないなら(p,P)=0 です。

つまりmin[ma2a)2]1/2-ηa0max≡ηb0[mb2b)2]1/2とおいたとき,0≧ωminでないなら(q0,,P)=0 ,q0≦ωmaxでないなら(q0,,P)=0 となります。

 

そこで,もしもωmin0 かωmax0 のどちらかが起きると,ウィック回転された後でも置き換えられた極が残ります。

この望ましくない状況を避けるためには,|P0|< min(ma/|ηa|,mb/|ηb|)であれば十分です。

(訳注):つまり,f(x,P)=(2π)-4∫d4exp(-ipx)(p,P)とθ(τ)={-1/(2πi)}∫-∞dkexp(-ikτ)(k+iε)-1から,(2π)-4∫d4[exp(ipx)θ(x0)f(x,P)]={-1/(2πi)}∫-∞dq0{(q0,,P)/(p0-q0iε)}なる表式が得られます。

一方,f(x,P)=(2π)-4∫d4exp(-ipx)(p,P)=∫d3N(2pN0)-1p=-ηaP+pN0|φa(0)|N><N|φb(0)|P>exp(-ipx)]と書けます。

  

それ故,(2π)-4∫d4[exp(ipx)θ(x0)f(x,P)]={-1/(2πi)}∫dq0[∫d3N(2pN0)-1p=-ηaP+pN (<0|φa(0)|N><N|φb(0)|P>|p0=q0)}/(p0-q0iε)]が成立することがわかります。

そこで,結局(q0,,P)=∫d3N(2pN0)-1p=-ηaP+pN (<0|φa(0)|N><N|φb(0)|P>|p0=q0)},かつθ(x0)f(x,P)=(2π)-4∫d4exp(-ipx)[{-1/(2πi)}∫-∞dq0{(q0,,P)/(p0-q0iε)}]が得られます。

そして,q0≧ωminでないなら(q0,,P)=0 ですから,∫-∞dq0{(q0,,P)/(p0-q0iε)}の積分区間は(-∞,∞)から[ωmin,∞)に変更できます。つまり,この積分はωmindq0{(q0,,P)/(p0-q0iε)}と書けます。

 

したがって,f(x,P)=(2π)-4∫d4exp(-ipx)(p,P)の右辺の4p積分のうちdp0積分の極は複素平面上の実軸よりもわずかに下のp0=q0iεであることがわかります。

同様にして,(q0,,P)=∫d3N(2pN0)-1p=-ηaP+pN (<0|φb(0)|N><N|φa(0)|P>|p0=q0)},かつθ(-x0)g(x,P)=(2π)-4∫d4exp(ipx)[{-1/(2πi)}∫-∞dq0{(q0,,P)/(p0-q0iε)}]です。

そしてq0≦ωmaxでないなら(q0,,P)=0 ですから∫-∞dq0{(q0,,P)/(p0-q0iε)}の積分区間は(-∞,∞)から(-∞,ωmax]に変更できます。つまり,この積分は-∞ωmaxdq0{(q0,,P)/(p0-q0iε)}と書けます。

 

そこで,g(x,P)=(2π)-4∫d4exp(-ipx)(p,P)の4p積分のうちdp0積分の極は複素平面上の実軸よりもわずかに上のp0=q0iεであることがわかります。

さて,∫-∞dp0の積分路を次のような複素平面上の閉路Cに変更することを考えます。

 

まず,(-∞,∞)の実軸上を真っ直ぐ右に進み,右端の点∞から半径がR=∞ の原点が中心の円に連結して,反時計回りに虚軸上の上端点i∞まで四分円を作り,その上端点i∞から虚軸上の下端点-i∞まで虚軸に沿って真っ直ぐ下方に進みます。

 

最後に下端点-i∞から,やはり半径がR=∞ の円に連結させて,時計回りに四分円を描き,実軸の左端の点-∞に戻る閉路をCとします。

積分路を(-∞,∞)からCに変えてp0による積分-∞dp0を∫Cdp0変更したとき,Cで囲まれた領域内でp0=q0iεが極になるのはq0iεが(-∞,0)の側の四分円の内部にあるときです。

 

それ故,もしもωmin0なら,[ωmin,∞)∩(-∞,0)=(ωmin,0)となるので,左下四分円内に極p0=q0iε,q0min,0)が存在します。

一方,積分∫Cdp0の積分路Cで囲まれた領域内でp0=q0iεが極になるのはq0iεが(0,)の側の四分円内にあるときです。

 

そこで,もしもωmax0なら,(-∞,ωmax]∩(0,)=(0,ωmax)となるので,右上四分円内に極p0=q0iε,q0(0,ωmax)が存在します。

したがって,ωmin0 かωmax0 のどちらか一方でも成立するならウィック回転を意味する積分路のCへの変更後でも極が残るのです。

ところで,ヘヴィサイド関数のθ(τ)={-1/(2πi)}∫-∞dkexp(-ikτ)(k+iε)-1なる表現を考えてみます。

 

右辺のk積分は,τ>0 のときには積分路を実軸(-∞,∞)に複素k平面の下半平面を負の向きにまわる半径R=∞の半円を加えた閉路に取れば,その内部に極k=-iεがあるためその留数から右辺の値としてexp(-ετ)が得られます。

 

そして,これはε→+0 のとき1になります。

一方,τ<0 のときには,積分路を実軸(-∞,∞)に上半平面を正の向きにまわる半径R=∞ の半円を加えた閉路に取れば,内部にはkの極がないので右辺の値はゼロになります。

 そして,τ>0 の場合には複素k平面の下半平面の半円の上ではR=∞ によりk=-i∞になるので,exp(-ikτ)なる因子によって積分は指数的にゼロになります。

 

 一方,τ<0 の場合には複素k平面の上半平面でR=∞ によりk=+i∞となってexp(-ikτ)が指数的にゼロになるので,いずれの場合も実軸に付け加えた半径R=∞ の半円の積分への寄与はゼロです。

 これをもって,ヘヴィサイド関数をθ(τ)={-1/(2πi)}∫-∞dkexp(-ikτ)(k+iε)-1と表現することが正当化されるわけです。

φ(x,P)≡(2π)-4∫d4exp(-ipx)φ(p,P)の第1項θ(x0)f(x,P)=(2π)-4∫d4exp(-ipx)[{-1/(2πi)}∫-∞dq0{(q0,,P)/(p0-q0iε)}]の右辺の∫d4exp(-ipx)/(p0-q0iε)のうちで,∫-∞dp0exp(-ip00)/(p0-q0iε)はヘヴィサイド因子θ(x0)exp(-iq00)を表わしています。

 

そして,ヘヴィサイド関数の積分表現では,∫-∞dp0の積分路(-∞,∞)に,半径R=∞ の下半円を加えても積分には寄与しないことがわかっているので,積分路(-∞,∞)を積分路Cに変えた積分∫Cdp0のCにおける左下の半径R=∞ の四分円の寄与もゼロです。(右上四分円の寄与はゼロではありません。)

また,φ(x,P)の第2項θ(-x0)g(x,P)=(2π)-4∫d4exp(-ipx)[{-1/(2πi)}∫-∞dq0{(q0,,P)/(p0-q0iε)}]の右辺の∫d4exp(-ipx)のうち,∫-∞dp0exp(-ip00)/(p0-q0iε)の部分からは∫Cdp0において,積分路Cのうち右上の半径R=∞ の四分円の寄与がゼロであることがわかります。(左下四分円の寄与はゼロではありません。)

結局,φ(x,P)=θ(x0)f(x,P)+θ(-x0)g(x,P)における右辺のフーリエ表示での∫-∞dp0Wick回転を意味する積分∫Cdp0に変えた経路Cのうちでθ(x0)f(x,P)の左下の四分円路上の寄与とθ(-x0)g(x,P)の右四分円路上の寄与はゼロになります。(訳注終わり)※

さて,もしも束縛状態の問題を考える場合,つまりφ(p,P)をB-S.振幅φBr(p,P)と同一視する場合なら,束縛状態の安定条件s1/2<ma+mb (a+bの結合系の質量がa,bの質量の和より小さい)はωmin≧ωmaxを意味します。

そこで,この場合には"ファインマン振幅=B-S.振幅"の運動量空間における表式φ(p,P)={-1/(2πi)}∫ωmindq0{(q0,,P)/(p0-q0iε)}+{1/(2πi)}-∞ωmaxdq0{(q0,,P)/(p0-q0iε)},およびφ^(p,P)={-1/(2πi)}∫ωmindq0{*(q0,,P)/(p0-q0iε)}+{1/(2πi)}-∞ωmaxdq0{*(q0,,P)/(p0-q0iε)}には2つの切断の間にギャップが存在します。

 

(訳注):つまり,束縛状態では必然的にωmin≧ωmaxとなるので複素p0平面内の実軸上の2つの切断(-∞,ωmax]と[ωmin,∞)の間には,ギャップ(ωmax,ωmin)が存在するわけです。※

束縛状態の安定条件s1/2<ma+mbを満たす任意のsに対しては,=0 の慣性中心系でパラメータをηa≡ma/(ma+mb),ηb≡mb/(ma+mb)に選べば,ωmin0,かつωmax0 となりますから,ファインマン振幅に極が残らないようにできます。

 

この場合は,条件s1/2<ma+mbと条件|P0|<min(ma/|ηa|,mb/|ηb|)が,同値な条件になっています。

しかし,散乱問題の場合には,s1/2>ma+mb,つまりωmax>ωminなので,切断の間のギャップはなく,それ故,既に考察したように必然的に1つ以上の特異点に遭遇します。

さて,以下,具体的にウイック回転を論じましょう。

まず,"はしご近似(ladder近似)"で束縛状態を考察します。

 

簡単のために,関係する全ての粒子はスカラーであり,Pμは時間的(time-like;P2=Pμμ0)であると仮定します。

 

このとき,静止系0 では{ma22-(ηa0+p0)2}{mb22-(ηb0-p0)2}φBr(p,P)={λB(s)/(iπ2)}∫d4'[φBr(p',P)/{μ2(p-p')2iε}]が成立します。

 

ここでμは交換する中間子の質量です。またηa≡ma/(ma+mb),ηb≡mb/(ma+mb)としています。

 

(訳注):これは前と同じく1/29の記事「束縛状態とベーテ・サルピーター方程式(3) 」で明示した,

 

束縛状態のB-S.eqである,φBrφBrの運動量表示,つまり[Fa'(ηaP+p)Fb'(ηbP-p)]-1φBr(p,P)=(2π)-4∫d4'(p,p';P)φBr(p',P)において,伝播関数Fa',Fb'を自由場の伝播関数Fa,Fbで置き換え積分核(p,p';P)に"はしご近似"を適用したものです。

 

すなわち,左辺のF'(k)を自由場のF(k,m)=-i(k2-m2+iε)-1にして,それぞれk=ηaP+p,m=ma,およびk=ηbP-p,m=mbを代入した後に静止系の条件として=0 とします。

 

一方,右辺の(2π)-4∫d4'(p,p';P)は,質量がμの中間子でa,bとの結合定数がga,g(そしてλB(s)≡ga/(4π)2)であるものを1個だけ交換するはしごグラフの寄与:B(s)/(iπ2)}∫d4'[(p-p')2-μ2iε]-1で近似します。こうすれば先に書いた式が得られるわけです。

φBr(p,P)の解析性は,φ(p,P)={-1/(2πi)}∫dq0{(q0,,P)/(p0-q0iε)}+{1/(2πi)}∫dq0{(q0,,P)/(p0-q0iε)}で,q0≧ωminでないなら(q0,,P)=0 ,q0≦ωmaxでないなら(q0,,P)=0 こと,および束縛状態ではωmin0,かつωmax0 であることによって与えられます。

そこで,束縛状態では先に訳注の中で与えた∫Cdp0の閉路Cの内部にp0の極を全く持たないので∫Cdp'0 [φBr(p'0,',P)/{μ2(')2(p0-p'0)2iε}]=0 が成立します。

,の漸近的挙動から右辺の∫Cdp'0積分への2つの四分円経路からの寄与はゼロとなるので,∫-∞dp'0[φBr(p'0,',P)/{μ2(')2(p0-p'0)2iε}]=∫-i∞i∞dp'0[φBr(p'0,',P)/{μ2(')2(p0-p'0)2iε}]+(極の寄与)となるはずですが,束縛状態ではCの内部にp0の極は全くないので,(極の寄与)はゼロです。

そこで,p'0ip'4,またはp'4≡-ip'0と置けば-i∞i∞dp'0i∫-∞dp'4であり,さらにp0ip4,またはp4≡-ip0と置けば-(p0-p'0)2(p4-p'4)2となります。

 

故に,∫-∞dp'0[φBr(p'0,',P)/{μ2(')2(p0-p'0)2iε}]=i∫-∞dp'4[φBr(ip'4,',P)/{μ2(')2(p4-p'4)2iε}]を得ます。

ミンコフスキー空間(Minkowski space)の4元ベクトルpμ(p0,)をユークリッド空間の4元ベクトルp~μ(,p4)で表現すれば,

 

"はしご近似":{ma22-(ηa0+p0)2}{mb22-(ηb0-p0)2}φBr(p,P)={λB(s)/(iπ2)}∫d4p'[φBr(p',P)/{μ2(p-p')2iε}]は,{ma22+(4a0)2}{mb22+(4b0)2}φ~Br(p~,P)={λB(s)/π2}∫d4~'[φ~Br(p~',P)/{μ2(p~-p~')2iε}]とユークリッド化されます。

途中ですが,今日はここで終わります。

参考文献:Noboru Nakanishi "A General survey of the Theory of the Bethe-Salpeter Equation" Progress of Theoretical Physics, supplement,No.43(1969)

 

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コメント

TOSHIさん、コメントありがとうございました。このところ場の量子論の復習だと思って、ベーテ・サルピーター方程式の項目をぼちぼち読ませていただいております。これは、ダイソン・シュウィンガー方程式の2次の部分だと思っていいんでしょうか。なぜか最近の教科書にはベーテ・サルピーターの名があまり出てきませんね。ともかく、自分は散乱理論が苦手なのでたいへん勉強になります。ところで中西先生はいまもお元気ですか。昔わたしが中学生だったころ、ブルーバックスの『相対論的量子論』という本を読ませていただきまして、なかなか感動を覚えたものです。観測される確率は0なのに、相互作用の世界で大活躍している「お化け」には非常に興味がわきました。いま思えば、これはB場形式の理論を扱ったけっこう高度な内容の本だったのですね。少年だったあのころの自分に夢を与えてくれた中西さんには、とても感謝しております。お会いするような機会があればぜひその旨お伝えください。できましたら、ダイソン・シュウィンガー方程式の方もそのうち解説いただけると嬉しいのですが・・・。

投稿: MM | 2009年3月11日 (水) 18時26分

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