束縛状態とベーテ・サルピーター方程式(6）

　ベーテ・サルピーター方程式(Ｂ-Ｓ.eq.)の続きです。

前回は急用があったせいもあって,かなり中途半端なところで終わったので,もう１度ファインマン振幅(Feynman amplitude)を定義するところから再開します。

ファインマン振幅φ(ｘ,Ｐ)≡＜0|Ｔ[φ_a(η_bｘ)φ_b(－η_aｘ)]|Ｐ＞と,その共役φ^(ｘ,Ｐ)≡＜0|Ｔ~[φ_a(η_bｘ)φ_b(－η_aｘ)]|Ｐ＞^*＝＜Ｐ|Ｔ[φ_a^＋(η_bｘ)φ_b^＋(－η_aｘ)]|0＞を考えます。

ここで,|Ｐ＞は任意の総４元運動量固有状態を記述します。また,Ｔ~は反時間順序積です。

これを,2009年1/29の記事「束縛状態とベーテ・サルピーター方程式(3）」 において束縛状態|Ｂ,ｒ＞に対するＢ-Ｓ.振幅(B-S. amplitude)とその共役を定義したものと比較します。

そこでは,Ｂ-Ｓ.振幅とその共役をφ_Br(ｘ_a,ｘ_b;Ｐ_B)≡＜0|Ｔ[φ_a(ｘ_a)φ_b(ｘ_b)]|Ｂ,ｒ＞とφ_Br^(ｘ_a,ｘ_b;Ｐ_B)≡＜Ｂ,ｒ|Ｔ[φ_a^＋(ｘ_a)φ_b^＋(ｘ_b)]|0＞＝＜0|Ｔ~[φ_a(ｘ_a)φ_b(ｘ_b)]|Ｂ,ｒ＞^*によって定義しました。

その後,理論の平行移動不変性により,φ_Br(ｘ_a,ｘ_b;Ｐ_B)≡(2π)^-3/2exp(－iＰ_BＸ)φ_Br(ｘ,Ｐ_B),φ_Br^(ｘ_a,ｘ_b;Ｐ_B)≡(2π)^-3/2exp(iＰ_BＸ)φ_Br^(ｘ,Ｐ_B)(ただし,Ｘ≡η_aｘ_a＋η_bｘ_b,ｘ＝ｘ_a－ｘ_b)と表現してφ_Br(ｘ,Ｐ_B),φ_Br^(ｘ,Ｐ_B)を与えました。

これを見ると,もしも上のファインマン振幅:φ(ｘ,Ｐ),φ^(ｘ,Ｐ)の定義で|Ｐ＞を|Ｂ,ｒ＞で置き換えてＰ＝Ｐ_Bとすれば,これらはそれぞれ定数因子を除いて束縛状態のＢ-Ｓ.振幅:φ_Br(ｘ,Ｐ_B),φ_Br^(ｘ,Ｐ_B)に一致することがわかります。

そして,ｆ(ｘ,Ｐ)≡＜0|φ_a(η_bｘ)φ_b(－η_aｘ)|Ｐ＞,ｇ(ｘ,Ｐ)≡＜0|φ_b(－η_aｘ)φ_a(η_bｘ)|Ｐ＞とおけば,ファインマン振幅はφ(ｘ,Ｐ)＝θ(ｘ⁰)ｆ(ｘ,Ｐ)＋θ(－ｘ⁰)ｇ(ｘ,Ｐ),φ^(ｘ,Ｐ) ＝θ(ｘ⁰)ｇ^*(ｘ,Ｐ)＋θ(－ｘ⁰)ｆ^*(ｘ,Ｐ)と表現できます。

ここで,フーリエ変換による運動量表示でのファインマン振幅の定義:φ(ｘ,Ｐ)≡(2π)^-4∫ｄ⁴ｐexp(－iｐｘ)φ(ｐ,Ｐ),φ^(ｘ,Ｐ)≡(2π)^-4∫ｄ⁴ｐexp(iｐｘ)φ^(ｐ,Ｐ),および公式:θ(ｘ⁰)＝－(2πi)^-1∫ｄ⁴ｋexp(－iｋｘ)δ³(ｋ)(ｋ⁰＋iε)^-1 etc.を用いて運動量空間における表式に変換します。

すると,φ(ｐ,Ｐ)＝{－1/(2πi)}∫ｄｑ⁰{ｆ(ｑ⁰,ｐ,Ｐ)/(ｐ⁰－ｑ⁰＋iε)}＋{1/(2πi)}∫ｄｑ⁰{ｇ(ｑ⁰,ｐ,Ｐ)/(ｐ⁰－ｑ⁰－iε)},φ^(ｐ,Ｐ)＝{－1/(2πi)}∫ｄｑ⁰{ｆ^*(ｑ⁰,ｐ,Ｐ)/(ｐ⁰－ｑ⁰＋iε)}＋{1/(2πi)}∫ｄｑ⁰{ｇ^*(ｑ⁰,ｐ,Ｐ)/(ｐ⁰－ｑ⁰－iε)}となります。

これはφ(ｐ,Ｐ)とφ^(ｐ,Ｐ)が共役であるという意味の詳細を示しています。すなわち,これらのφとφ^の表式においてｄｑ⁰による被積分関数の分子は互いに複素共役の関係にありますが,特異性を与える分母は両者で一致しています。

したがって,φ^の吸収部分はφのそれの複素共役に等しいことがわかります。φ^の分散部分はφ^の吸収部分に関連付けられますが,正確に同じようにφの分散部分はφの吸収部分と関連付けられています。

次にやるべきことは,ｆ(ｐ,Ｐ)とｇ(ｐ,Ｐ)の主要な性質を見出すことです。そのためにｆ(ｘ,Ｐ)＝＜0|φ_a(η_bｘ)φ_b(－η_aｘ)|Ｐ＞,ｇ(ｘ,Ｐ)＝＜0|φ_b(－η_aｘ)φ_a(η_bｘ)|Ｐ＞の右辺に状態|Ｎ＞の完全系を挿入します。

すなわち,ｆ(ｘ,Ｐ)についてはｆ(ｘ,Ｐ)＝Σ_N＜0|φ_a(η_bｘ)|Ｎ＞＜Ｎ|φ_b(－η_aｘ)|Ｐ＞＝∫ｄ³ｐ_N(2ｐ_N⁰)^-1[Σ_p=-ηaP+pN＜0|φ_a(0)|Ｎ＞＜Ｎ|φ_b(0)|Ｐ＞exp(－iｐｘ)]となります。ここにｐ_Nは状態|Ｎ＞の４元運動量を記述しています。

ところで,粒子ａは,単独では如何なる状態へも自発的に崩壊することは不可能です。しかし,逆に状態Ｎの静止エネルギーが１粒子ａ,つまり状態φ_a^＋(0)|0＞のそれより小さくない場合には,その遷移振幅＜0|φ_a(0)|Ｎ＞は必ずしもゼロとは限りません。

それ故,ｐ_N²≧ｍ_a²,かつｐ_N⁰＞0 でないなら＜0|φ_a(0)|Ｎ＞＝0,つまり,(η_aＰ＋ｐ)²≧ｍ_a²,かつη_aＰ⁰＋ｐ⁰＞0 でないならｆ(ｐ,Ｐ)＝0 です｡

同様にｇ(ｐ,Ｐ)についても,(η_bＰ－ｐ)²≧ｍ_b²,かつη_bＰ⁰－ｐ⁰＞0 でないならｇ(ｐ,Ｐ)＝0 です｡

つまり,ω_min≡[ｍ_a²＋(η_aＰ＋ｐ)²]^1/2－η_aＰ⁰,ω_max≡η_bＰ⁰－[ｍ_b²＋(η_bＰ＋ｐ)²]^1/2とおいたとき,ｑ⁰≧ω_minでないならｆ(ｑ⁰,ｐ,Ｐ)＝0 ,ｑ⁰≦ω_maxでないならｇ(ｑ⁰,ｐ,Ｐ)＝0 となります。

そこで,もしもω_min≦0 かω_max≧0 のどちらかが起きると,ウィック回転された後でも置き換えられた極が残ります。

この望ましくない状況を避けるためには,|Ｐ⁰|＜ min(ｍ_a/|η_a|,ｍ_b/|η_b|)であれば十分です。

※(訳注):つまり,ｆ(ｘ,Ｐ)＝(2π)^-4∫ｄ⁴ｐexp(－iｐｘ)ｆ(ｐ,Ｐ)とθ(τ)＝{－1/(2πi)}∫_-∞^∞ｄｋexp(－iｋτ)(ｋ＋iε)^-1から,(2π)^-4∫ｄ⁴ｘ[exp(iｐｘ)θ(ｘ⁰)ｆ(ｘ,Ｐ)]＝{－1/(2πi)}∫_-∞^∞ｄｑ⁰{ｆ(ｑ⁰,ｐ,Ｐ)/(ｐ⁰－ｑ⁰＋iε)}なる表式が得られます。

一方,ｆ(ｘ,Ｐ)＝(2π)^-4∫ｄ⁴ｐexp(－iｐｘ)ｆ(ｐ,Ｐ)＝∫ｄ³ｐ_N(2ｐ_N⁰)^-1[Σ_p=-ηaP+pN＜0|φ_a(0)|Ｎ＞＜Ｎ|φ_b(0)|Ｐ＞exp(－iｐｘ)]と書けます。

それ故,(2π)^-4∫ｄ⁴ｘ[exp(iｐｘ)θ(ｘ⁰)ｆ(ｘ,Ｐ)]＝{－1/(2πi)}∫ｄｑ⁰[∫ｄ³ｐ_N(2ｐ_N⁰)^-1{Σ_p=-ηaP+pN (＜0|φ_a(0)|Ｎ＞＜Ｎ|φ_b(0)|Ｐ＞|_p0＝q0)}/(ｐ⁰－ｑ⁰＋iε)]が成立することがわかります。

そこで,結局ｆ(ｑ⁰,ｐ,Ｐ)＝∫ｄ³ｐ_N(2ｐ_N⁰)^-1{Σ_p=-ηaP+pN (＜0|φ_a(0)|Ｎ＞＜Ｎ|φ_b(0)|Ｐ＞|_p0＝q0)},かつθ(ｘ⁰)ｆ(ｘ,Ｐ)＝(2π)^-4∫ｄ⁴ｐexp(－iｐｘ)[{－1/(2πi)}∫_-∞^∞ｄｑ⁰{ｆ(ｑ⁰,ｐ,Ｐ)/(ｐ⁰－ｑ⁰＋iε)}]が得られます。

そして,ｑ⁰≧ω_minでないならｆ(ｑ⁰,ｐ,Ｐ)＝0 ですから,∫_-∞^∞ｄｑ⁰{ｆ(ｑ⁰,ｐ,Ｐ)/(ｐ⁰－ｑ⁰＋iε)}の積分区間は(－∞,∞)から[ω_min,∞)に変更できます。つまり,この積分は∫_ωmin^∞ｄｑ⁰{ｆ(ｑ⁰,ｐ,Ｐ)/(ｐ⁰－ｑ⁰＋iε)}と書けます。

したがって,ｆ(ｘ,Ｐ)＝(2π)^-4∫ｄ⁴ｐexp(－iｐｘ)ｆ(ｐ,Ｐ)の右辺のｄ⁴ｐ積分のうちｄｐ⁰積分の極は複素平面上の実軸よりもわずかに下のｐ⁰＝ｑ⁰－iεであることがわかります。

同様にして,ｇ(ｑ⁰,ｐ,Ｐ)＝∫ｄ³ｐ_N(2ｐ_N⁰)^-1{Σ_p=-ηaP+pN (＜0|φ_b(0)|Ｎ＞＜Ｎ|φ_a(0)|Ｐ＞|_p0＝q0)},かつθ(－ｘ⁰)ｇ(ｘ,Ｐ)＝(2π)^-4∫ｄ⁴ｐexp(iｐｘ)[{－1/(2πi)}∫_-∞^∞ｄｑ⁰{ｇ(ｑ⁰,ｐ,Ｐ)/(ｐ⁰－ｑ⁰－iε)}]です。

そしてｑ⁰≦ω_maxでないならｇ(ｑ⁰,ｐ,Ｐ)＝0 ですから∫_-∞^∞ｄｑ⁰{ｇ(ｑ⁰,ｐ,Ｐ)/(ｐ⁰－ｑ⁰－iε)}の積分区間は(－∞,∞)から(－∞,ω_max]に変更できます。つまり,この積分は∫_-∞^ωmaxｄｑ⁰{ｇ(ｑ⁰,ｐ,Ｐ)/(ｐ⁰－ｑ⁰－iε)}と書けます。

そこで,ｇ(ｘ,Ｐ)＝(2π)^-4∫ｄ⁴ｐexp(－iｐｘ)ｇ(ｐ,Ｐ)のｄ⁴ｐ積分のうちｄｐ⁰積分の極は複素平面上の実軸よりもわずかに上のｐ⁰＝ｑ⁰＋iεであることがわかります。

さて,∫_-∞^∞ｄｐ⁰の積分路を次のような複素平面上の閉路Ｃに変更することを考えます。

まず,(－∞,∞)の実軸上を真っ直ぐ右に進み,右端の点∞から半径がＲ＝∞ の原点が中心の円に連結して,反時計回りに虚軸上の上端点i∞まで四分円を作り,その上端点i∞から虚軸上の下端点－i∞まで虚軸に沿って真っ直ぐ下方に進みます。

最後に下端点－i∞から,やはり半径がＲ＝∞ の円に連結させて,時計回りに四分円を描き,実軸の左端の点－∞に戻る閉路をＣとします。

積分路を(－∞,∞)からＣに変えてｐ⁰による積分∫_-∞^∞ｄｐ⁰を∫_Cｄｐ⁰に変更したとき,Ｃで囲まれた領域内でｐ⁰＝ｑ⁰－iεが極になるのはｑ⁰－iεが(－∞,0)の側の四分円の内部にあるときです。

それ故,もしもω_min≦0なら,[ω_min,∞)∩(－∞,0)＝(ω_min,0)となるので,左下四分円内に極ｐ⁰＝ｑ⁰－iε,ｑ⁰∈(ω_min,0)が存在します。

一方,積分∫_Cｄｐ⁰の積分路Ｃで囲まれた領域内でｐ⁰＝ｑ⁰＋iεが極になるのはｑ⁰＋iεが(0,∞)の側の四分円内にあるときです。

そこで,もしもω_max≧0なら,(－∞,ω_max]∩(0,∞)＝(0,ω_max)となるので,右上四分円内に極ｐ⁰＝ｑ⁰＋iε,ｑ⁰∈(0,ω_max)が存在します。

したがって,ω_min≦0 かω_max≧0 のどちらか一方でも成立するならウィック回転を意味する積分路のＣへの変更後でも極が残るのです。

ところで,ヘヴィサイド関数のθ(τ)＝{－1/(2πi)}∫_-∞^∞ｄｋexp(－iｋτ)(ｋ＋iε)^-1なる表現を考えてみます。

右辺のｋ積分は,τ＞0 のときには積分路を実軸(－∞,∞)に複素ｋ平面の下半平面を負の向きにまわる半径Ｒ＝∞の半円を加えた閉路に取れば,その内部に極ｋ＝－iεがあるためその留数から右辺の値としてexp(－ετ)が得られます。

そして,これはε→＋0 のとき１になります。

一方,τ＜0 のときには,積分路を実軸(－∞,∞)に上半平面を正の向きにまわる半径Ｒ＝∞ の半円を加えた閉路に取れば,内部にはｋの極がないので右辺の値はゼロになります。

　そして,τ＞0 の場合には複素ｋ平面の下半平面の半円の上ではＲ＝∞ によりｋ＝－i∞になるので,exp(－iｋτ)なる因子によって積分は指数的にゼロになります。

　一方,τ＜0 の場合には複素ｋ平面の上半平面でＲ＝∞ によりｋ＝＋i∞となってexp(－iｋτ)が指数的にゼロになるので,いずれの場合も実軸に付け加えた半径Ｒ＝∞ の半円の積分への寄与はゼロです。

　これをもって,ヘヴィサイド関数をθ(τ)＝{－1/(2πi)}∫_-∞^∞ｄｋexp(－iｋτ)(ｋ＋iε)^-1と表現することが正当化されるわけです。

φ(ｘ,Ｐ)≡(2π)^-4∫ｄ⁴ｐexp(－iｐｘ)φ(ｐ,Ｐ)の第１項θ(ｘ⁰)ｆ(ｘ,Ｐ)＝(2π)^-4∫ｄ⁴ｐexp(－iｐｘ)[{－1/(2πi)}∫_-∞^∞ｄｑ⁰{ｆ(ｑ⁰,ｐ,Ｐ)/(ｐ⁰－ｑ⁰＋iε)}]の右辺の∫ｄ⁴ｐexp(－iｐｘ)/(ｐ⁰－ｑ⁰＋iε)のうちで,∫_-∞^∞ｄｐ⁰exp(－iｐ⁰ｘ⁰)/(ｐ⁰－ｑ⁰＋iε)はヘヴィサイド因子θ(ｘ⁰)exp(－iｑ⁰ｘ⁰)を表わしています。

そして,ヘヴィサイド関数の積分表現では,∫_-∞^∞ｄｐ⁰の積分路(－∞,∞)に,半径Ｒ＝∞ の下半円を加えても積分には寄与しないことがわかっているので,積分路(－∞,∞)を積分路Ｃに変えた積分∫_Cｄｐ⁰のＣにおける左下の半径Ｒ＝∞ の四分円の寄与もゼロです。(右上四分円の寄与はゼロではありません。)

また,φ(ｘ,Ｐ)の第２項θ(－ｘ⁰)ｇ(ｘ,Ｐ)＝(2π)^-4∫ｄ⁴ｐexp(－iｐｘ)[{－1/(2πi)}∫_-∞^∞ｄｑ⁰{ｇ(ｑ⁰,ｐ,Ｐ)/(ｐ⁰－ｑ⁰－iε)}]の右辺の∫ｄ⁴ｐexp(－iｐｘ)のうち,∫_-∞^∞ｄｐ⁰exp(－iｐ⁰ｘ⁰)/(ｐ⁰－ｑ⁰－iε)の部分からは∫_Cｄｐ⁰において,積分路Ｃのうち右上の半径Ｒ＝∞ の四分円の寄与がゼロであることがわかります。(左下四分円の寄与はゼロではありません。)

結局,φ(ｘ,Ｐ)＝θ(ｘ⁰)ｆ(ｘ,Ｐ)＋θ(－ｘ⁰)ｇ(ｘ,Ｐ)における右辺のフーリエ表示での∫_-∞^∞ｄｐ⁰をWick回転を意味する積分∫_Cｄｐ⁰に変えた経路Ｃのうちでθ(ｘ⁰)ｆ(ｘ,Ｐ)の左下の四分円路上の寄与とθ(－ｘ⁰)ｇ(ｘ,Ｐ)の右上の四分円路上の寄与はゼロになります。(訳注終わり)※

さて,もしも束縛状態の問題を考える場合,つまりφ(ｐ,Ｐ)をＢ-Ｓ.振幅φ_Br(ｐ,Ｐ)と同一視する場合なら,束縛状態の安定条件ｓ^1/2＜ｍ_a＋ｍ_b (ａ＋ｂの結合系の質量がａ,ｂの質量の和より小さい)はω_min≧ω_maxを意味します。

そこで,この場合には"ファインマン振幅＝Ｂ-Ｓ.振幅"の運動量空間における表式φ(ｐ,Ｐ)＝{－1/(2πi)}∫_ωmin^∞ｄｑ⁰{ｆ(ｑ⁰,ｐ,Ｐ)/(ｐ⁰－ｑ⁰＋iε)}＋{1/(2πi)}∫_-∞^ωmaxｄｑ⁰{ｇ(ｑ⁰,ｐ,Ｐ)/(ｐ⁰－ｑ⁰－iε)},およびφ^(ｐ,Ｐ)＝{－1/(2πi)}∫_ωmin^∞ｄｑ⁰{ｆ^*(ｑ⁰,ｐ,Ｐ)/(ｐ⁰－ｑ⁰＋iε)}＋{1/(2πi)}∫_-∞^ωmaxｄｑ⁰{ｇ^*(ｑ⁰,ｐ,Ｐ)/(ｐ⁰－ｑ⁰－iε)}には２つの切断の間にギャップが存在します。

※(訳注):つまり,束縛状態では必然的にω_min≧ω_maxとなるので複素ｐ⁰平面内の実軸上の２つの切断(－∞,ω_max]と[ω_min,∞)の間には,ギャップ(ω_max,ω_min)が存在するわけです。※

束縛状態の安定条件ｓ^1/2＜ｍ_a＋ｍ_bを満たす任意のｓに対しては,Ｐ＝0 の慣性中心系でパラメータをη_a≡ｍ_a/(ｍ_a＋ｍ_b),η_b≡ｍ_b/(ｍ_a＋ｍ_b)に選べば,ω_min＞0,かつω_max＜0 となりますから,ファインマン振幅に極が残らないようにできます。

この場合は,条件ｓ^1/2＜ｍ_a＋ｍ_bと条件|Ｐ⁰|＜min(ｍ_a/|η_a|,ｍ_b/|η_b|)が,同値な条件になっています。

しかし,散乱問題の場合には,ｓ^1/2＞ｍ_a＋ｍ_b,つまりω_max＞ω_minなので,切断の間のギャップはなく,それ故,既に考察したように必然的に１つ以上の特異点に遭遇します。

さて,以下,具体的にウイック回転を論じましょう。

まず,"はしご近似(ladder近似)"で束縛状態を考察します。

簡単のために,関係する全ての粒子はスカラーであり,Ｐ^μは時間的(time-like;Ｐ²＝Ｐ_μＰ^μ＞0)であると仮定します。

このとき,静止系Ｐ＝0 では{ｍ_a²＋ｐ²－(η_aＰ⁰＋ｐ⁰)²}{ｍ_b²＋ｐ²－(η_bＰ⁰－ｐ⁰)²}φ_Br(ｐ,Ｐ)＝{λ_B(ｓ)/(iπ²)}∫ｄ⁴ｐ'[φ_Br(ｐ',Ｐ)/{μ²－(ｐ－ｐ')²－iε}]が成立します。

ここでμは交換する中間子の質量です。またη_a≡ｍ_a/(ｍ_a＋ｍ_b),η_b≡ｍ_b/(ｍ_a＋ｍ_b)としています。

※(訳注):これは前と同じく1/29の記事「束縛状態とベーテ・サルピーター方程式(3） 」で明示した,

束縛状態のＢ-Ｓ.eqである,Ｋφ_Br＝Ｉφ_Brの運動量表示,つまり[⊿_Fa'(η_aＰ＋ｐ)⊿_Fb'(η_bＰ－ｐ)]^-1φ_Br(ｐ,Ｐ)＝(2π)^-4∫ｄ⁴ｐ'Ｉ(ｐ,ｐ';Ｐ)φ_Br(ｐ',Ｐ)において,伝播関数⊿_Fa',⊿_Fb'を自由場の伝播関数⊿_Fa,⊿_Fbで置き換え積分核Ｉ(ｐ,ｐ';Ｐ)に"はしご近似"を適用したものです。

すなわち,左辺の⊿_F'(ｋ)を自由場の⊿_F(ｋ,ｍ)＝－i(ｋ²－ｍ²＋iε)^-1にして,それぞれｋ＝η_aＰ＋ｐ,ｍ＝ｍ_a,およびｋ＝η_bＰ－ｐ,ｍ＝ｍ_bを代入した後に静止系の条件としてＰ＝0 とします。

一方,右辺の(2π)^-4∫ｄ⁴ｐ'Ｉ(ｐ,ｐ';Ｐ)は,質量がμの中間子でａ,ｂとの結合定数がｇ_a,ｇ_ｂ(そしてλ_B(ｓ)≡ｇ_aｇ_ｂ/(4π)²)であるものを１個だけ交換するはしごグラフの寄与:{λ_B(ｓ)/(iπ²)}∫ｄ⁴ｐ'[(ｐ－ｐ')²－μ²＋iε]^-1で近似します。こうすれば先に書いた式が得られるわけです。※

φ_Br(ｐ,Ｐ)の解析性は,φ(ｐ,Ｐ)＝{－1/(2πi)}∫ｄｑ⁰{ｆ(ｑ⁰,ｐ,Ｐ)/(ｐ⁰－ｑ⁰＋iε)}＋{1/(2πi)}∫ｄｑ⁰{ｇ(ｑ⁰,ｐ,Ｐ)/(ｐ⁰－ｑ⁰－iε)}で,ｑ⁰≧ω_minでないならｆ(ｑ⁰,ｐ,Ｐ)＝0 ,ｑ⁰≦ω_maxでないならｇ(ｑ⁰,ｐ,Ｐ)＝0 こと,および束縛状態ではω_min＞0,かつω_max＜0 であることによって与えられます。

そこで,束縛状態では先に訳注の中で与えた∫_Cｄｐ⁰の閉路Ｃの内部にｐ⁰の極を全く持たないので∫_Cｄｐ'⁰ [φ_Br(ｐ'⁰,ｐ',Ｐ)/{μ²＋(ｐ－ｐ')²－(ｐ⁰－ｐ'⁰)²－iε}]＝0 が成立します。

ｆ,ｇの漸近的挙動から右辺の∫_Cｄｐ'⁰積分への２つの四分円経路からの寄与はゼロとなるので,∫_-∞^∞ｄｐ'⁰[φ_Br(ｐ'⁰,ｐ',Ｐ)/{μ²＋(ｐ－ｐ')²－(ｐ⁰－ｐ'⁰)²－iε}]＝∫_-i∞^i∞ｄｐ'⁰[φ_Br(ｐ'⁰,ｐ',Ｐ)/{μ²＋(ｐ－ｐ')²－(ｐ⁰－ｐ'⁰)²－iε}]＋(極の寄与)となるはずですが,束縛状態ではＣの内部にｐ⁰の極は全くないので,(極の寄与)はゼロです。

そこで,ｐ'⁰≡iｐ'⁴,またはｐ'⁴≡－iｐ'⁰と置けば∫_-i∞^i∞ｄｐ'⁰＝i∫_-∞^∞ｄｐ'⁴であり,さらにｐ⁰≡iｐ⁴,またはｐ⁴≡－iｐ⁰と置けば－(ｐ⁰－ｐ'⁰)²＝(ｐ⁴－ｐ'⁴)²となります。

故に,∫_-∞^∞ｄｐ'⁰[φ_Br(ｐ'⁰,ｐ',Ｐ)/{μ²＋(ｐ－ｐ')²－(ｐ⁰－ｐ'⁰)²－iε}]＝i∫_-∞^∞ｄｐ'⁴[φ_Br(iｐ'⁴,ｐ',Ｐ)/{μ²＋(ｐ－ｐ')²＋(ｐ⁴－ｐ'⁴)²－iε}]を得ます。

ミンコフスキー空間(Minkowski space)の４元ベクトルｐ^μ＝(ｐ⁰,ｐ)をユークリッド空間の４元ベクトルｐ~^μ＝(ｐ,ｐ⁴)で表現すれば,

"はしご近似":{ｍ_a²＋ｐ²－(η_aＰ⁰＋ｐ⁰)²}{ｍ_b²＋ｐ²－(η_bＰ⁰－ｐ⁰)²}φ_Br(ｐ,Ｐ)＝{λ_B(ｓ)/(iπ²)}∫ｄ⁴ｐ'[φ_Br(ｐ',Ｐ)/{μ²－(ｐ－ｐ')²－iε}]は,{ｍ_a²＋ｐ²＋(ｐ⁴－iη_aＰ⁰)²}{ｍ_b²＋ｐ²＋(ｐ⁴＋iη_bＰ⁰)²}φ~_Br(ｐ~,Ｐ)＝{λ_B(ｓ)/π²}∫ｄ⁴ｐ~'[φ~_Br(ｐ~',Ｐ)/{μ²＋(ｐ~－ｐ~')²－iε}]とユークリッド化されます。

途中ですが,今日はここで終わります。

参考文献:Noboru Nakanishi "A General survey of the Theory of the Bethe-Salpeter Equation" Progress of Theoretical Physics, supplement,No.43(1969)

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