束縛状態とベーテ・サルピーター方程式(7）

　ベーテ・サルピーター方程式(Ｂ-Ｓeq.)のウィック回転(Wick rotation)の話の続きです。　

前回は,ミンコフスキー空間(Minkowski space)の４元ベクトルｐ^μ＝(ｐ⁰,ｐ)をユークリッド空間の４元ベクトルｐ~^μ＝(ｐ,ｐ⁴)で表現すれば,束縛状態の"はしご近似(ladder approximation)"でのＢ-Ｓ.eq.が

{ｍ_a²＋ｐ²－(η_aＰ⁰＋ｐ⁰)²}{ｍ_b²＋ｐ²－(η_bＰ⁰－ｐ⁰)²}φ_Br(ｐ,Ｐ)＝{λ_B(ｓ)/(iπ²)}∫ｄ⁴ｐ'[φ_Br(ｐ',Ｐ)/{μ²－(ｐ－ｐ')²－iε}]から,{ｍ_a²＋ｐ²＋(ｐ⁴－iη_aＰ⁰)²}{ｍ_b²＋ｐ²＋(ｐ⁴＋iη_bＰ⁰)²}φ~_Br(ｐ~,Ｐ)＝{λ_B(ｓ)/π²}∫ｄ⁴ｐ~'[φ~_Br(ｐ~',Ｐ)/{μ²＋(ｐ~－ｐ~')²－iε}]なる形にユークリッド化されます。

と書いたところで終わりました。 

そこで,たった今ユークリッド化された束縛状態のＢ-Ｓ.eq.を通常のＢ-Ｓ.eq.の演算子積表現であるＫφ_Br＝Ｉφ_Brの代わりに,同じく演算子積表現でＫ~φ~_Br＝λ_BＩ~φ~_Brと書くことにします。

ここで,Ｋ~(ｐ~,Ｐ)＝－Ｋ(iｐ⁴,ｐ,Ｐ)です。

※(訳注):元の束縛状態のＢ-Ｓ.eq.Ｋφ_Br＝Ｉφ_Brの"はしご近似"での陽な式:{ｍ_a²＋ｐ²－(η_aＰ⁰＋ｐ⁰)²}{ｍ_b²＋ｐ²－(η_bＰ⁰－ｐ⁰)²}φ_Br(ｐ,Ｐ)＝{λ_B(ｓ)/(iπ²)}∫ｄ⁴ｐ'[φ_Br(ｐ',Ｐ)/{μ²－(ｐ－ｐ')²－iε}]では,左辺には－Ｋが対応しているので,右辺の{λ_B(ｓ)/(iπ²)}∫ｄ⁴ｐ'{μ²－(ｐ－ｐ')²－iε}^-1は積分核:－Ｉに対応しています。 

そこで,ユークリッド化されたＢ-Ｓ.eq.Ｋ~φ~_Br＝λ_BＩ~φ~_BrではＫ~(ｐ~,Ｐ)＝－Ｋ(iｐ⁴,ｐ,Ｐ)に連動して,λ_BＩ~(ｐ~,ｐ~';Ｐ)＝－Ｉ(iｐ⁴,ｐ,iｐ'⁴,ｐ',Ｐ)となるはず。

ユークリッド化された"はしご近似"のＢ-Ｓ.eq.の陽な表式:{ｍ_a²＋ｐ²＋(ｐ⁴－iη_aＰ⁰)²}{ｍ_b²＋ｐ²＋(ｐ⁴＋iη_bＰ⁰)²}φ~_Br(ｐ~,Ｐ)＝{λ_B(ｓ)/π²}∫ｄ⁴ｐ~'[φ~_Br(ｐ~',Ｐ)/{μ²＋(ｐ~－ｐ~')²－iε}]を見ると,左辺がＫ~なら確かにそうなっています。

すなわち,Ｋ~φ~_Br＝λ_BＩ~φ~_Brの右辺の積分核:λ_BＩ~には,{λ_B(ｓ)/π²}∫ｄ⁴ｐ~'{μ²＋(ｐ~－ｐ~')²－iε}^-1が対応していて,λ_BＩ~(ｐ~,ｐ~';Ｐ)＝－Ｉ(iｐ⁴,ｐ,iｐ'⁴,ｐ',Ｐ)となってます。

そこで,ユークリッド化されたＢ-Ｓ.eq.をＫ~φ~_Br＝λ_BＩ~φ~_Brと表現するのであれば,ここでの右辺の積分核Ｉ~の定義は,元のＢ-Ｓ.eq.－Ｋφ_Br＝－Ｉφ_Brの右辺の－Ｉから２つの頂点の結合定数の積λ_B(ｓ)≡ｇ_aｇ_b/(4π)²を除いた純粋な"はしご"だけの効果－Ｉ/λ_Bに対応しているようです。(訳注終わり)※

　さて,粒子ａ,ｂの質量が同じ:ｍ_a＝ｍ_ｂ≡ｍの場合に,η_a＝η_ｂ＝1/2とすれば,ｓ＝(Ｐ⁰)²なのでＫ~φ~_Br＝λ_BＩ~φ~_BrのＫ~はＫ~(ｐ~,Ｐ)＝{ｍ_a²＋ｐ²＋(ｐ⁴－iη_aＰ⁰)²}{ｍ_b²＋ｐ²＋(ｐ⁴＋iη_bＰ⁰)²}＝{ｍ²＋ｐ²－(Ｐ⁰)²/4－iｐ⁴Ｐ⁰}{ｍ²＋ｐ²－(Ｐ⁰)²/4＋iｐ⁴Ｐ⁰}＝(ｍ²＋ｐ²－ｓ/4)²＋(ｐ⁴)²ｓとなります。

　これを見るとＫ~は明らかに正定値なので,ｐ~,Ｐの値如何によらず常にＫ~^-1/2は存在します。そこで,φ^_Br≡Ｋ~^1/2φ~_Brとおけば,Ｂ-Ｓ.eq.Ｋ~φ~_Br＝λ_BＩ~φ~_Brは,Ｋ~^1/2φ^_Br＝λ_BＩ~Ｋ~^-1/2φ^_Brより,Ｋ~^-1/2Ｉ~Ｋ~^-1/2φ^_Br＝λ_B^-1φ^_Brに帰着します。

　スカラー-スカラーモデルでは,演算子Ｋ~^-1/2Ｉ~Ｋ~^-1/2はHilbert-Schmidt型の積分作用素,すなわち,"有界＝連続"な作用素なので,これには標準的な数学の定理が適用できます。

例えば,これのあらゆる固有値λ_B^-1(したがってλ_B)は離散的,かつ正値で,どんな有限点にも集積しません。そこで縮退の次元は有限です。(それ故,小群(little group)の無限次元表現は排除されます。)

また,固有関数φ^_Brは２乗可積分関数のヒルベルト空間の１つの完全直交系を形成します。

　次に散乱問題のウィック回転を考察します。この場合には,ｓ^1/2＞ｍ_a＋ｍ_bでω_min＜ω_maxなので切断の間のギャップはなく,必然的に置換された極や切断に出くわします。

散乱問題のファインマン振幅(Feynman amplitude)をＦ(ｐ,Ｐ)と書けば,"はしご近似"では,これはＢ-Ｓ.eq.{ｍ_a²－(η_aＰ＋ｐ)²}{ｍ_b²－(η_bＰ－ｐ)²}Ｆ(ｐ,Ｐ)＝{λ_B(ｓ)/(π²i)}(1/{μ²－(ｐ－ｑ)²－iε}＋∫ｄ⁴ｐ’[Ｆ(ｐ',Ｐ)/{μ²－(ｐ－ｐ')²－iε}])を満足します。

※(訳注):前に述べたファインマン振幅の定義によれば,ｐ表示のファインマン振幅Ｆ(ｐ,Ｐ)に対応するｘ表示のFeyman振幅φ(ｘ,Ｐ)≡(2π)^-4∫ｄ⁴ｐexp(－iｐｘ)Ｆ(ｐ,Ｐ)は,φ(ｘ,Ｐ)≡＜0|Ｔ[φ_a(η_bｘ)φ_b(－η_aｘ)]|Ｐ＞で与えられます。

　そして,ｐ表示のＢ-Ｓ.eq.は演算子で表現すればＫＧ＝1＋ＩＧ,または(Ｋ－Ｉ)Ｇ＝1です。これは陽に表わすと,[⊿_Fa'(η_aＰ＋ｐ)⊿_Fb'(η_bＰ－ｐ)]^-1Ｇ(ｐ,ｑ,Ｐ)＝δ⁴(ｐ－ｑ)＋(2π)^-4∫ｄ⁴ｐ'Ｉ(ｐ,ｐ';Ｐ)Ｇ(ｐ',ｑ;Ｐ)と書けます。

　一方,ＫＧ＝1＋ＩＧのＧ＝Ｇ(ｐ,ｑ,Ｐ)は４点グリーン関数Ｇ(ｘ_a,ｘ_b;ｙ_a,ｙ_b)≡＜0|Ｔ(φ_a(ｘ_a)φ_b(ｘ_b)φ_a^＋(ｙ_a)φ_b^＋(ｙ_b))|0＞のｐ表示です。

　このＧ(ｘ_a,ｘ_b;ｙ_a,ｙ_b)の陽な定義の右辺の真ん中に,中間状態の完全系:1＝Σ_ψ|ψ＞＜ψ|＋∫|λ＞＜λ|ｄλ)を挟むことができます。

前には中間状態の完全系{|λ＞}のうちで２体の束縛状態|Ｂ,ｒ＞(ｒ＝1,2,..,ｎ)の寄与のみを考えて,両辺を比較して等置し,"束縛状態のファインマン振幅＝Ｂ-Ｓ振幅φ_Br(ｐ,Ｐ)"に対する方程式Ｋφ_Br＝Ｉφ_Brを得ました。

散乱状態のファインマン振幅Ｆ(ｐ,Ｐ)に対する方程式を得るためには,束縛状態|Ｂ,ｒ＞の代わりに,全ての散乱状態|Ｐ＞の寄与を考えればいいことがわかります。

Ｂ-Ｓ.eq.ＫＧ＝1＋ＩＧより,Ｇ＝Ｋ^-1＋Ｋ^-1ＩＧですが,４点グリーン関数Ｇのうちで散乱振幅に寄与するのは,前方散乱の項Ｋ^-1を除いたＧ－Ｋ^-1＝Ｋ^-1ＩＧのみです。

この等式に左からＫを掛けると,Ｋ(Ｇ－Ｋ^-1)＝ＩＧ＝Ｉ{Ｋ^-1＋(Ｇ－Ｋ^-1)}が得られます。

そこで,グリーン関数Ｇに寄与する中間状態としての２体散乱状態|Ｐ＞が前方散乱の項:Ｋ^-1を除く(Ｇ－Ｋ^-1)の中にのみ存在すると考えたときには,束縛状態のＢ-Ｓ振幅φ_Br＝φ_Br(ｐ,Ｐ)の方程式Ｋφ_Br＝Ｉφ_Brに代わる散乱のファインマン振幅Ｆ＝Ｆ(ｐ,Ｐ)の方程式は,Ｋ(Ｇ－Ｋ^-1)＝Ｉ{Ｋ^-1＋(Ｇ－Ｋ^-1)}の両辺の(Ｇ－Ｋ^-1)へのＦの寄与を比較して,ＫＦ＝ＩＫ^-1Ｆ^＋-1＋ＩＦとなるはずです。

つまり,ｘ表示でのＧ＝＜0|Ｔ(φ_a(ｘ_a)φ_b(ｘ_b)φ_a^＋(ｙ_a)φ_b^＋(ｙ_b))|0＞の真ん中に記号的にΣ_λ|λ＞＜λ|＝１を挿入し,φ_λ＝＜0|Ｔ⁺[φ_a(η_bｘ)φ_b(－η_aｘ)]|λ＞とφ_λ^＋＝＜λ|Ｔ^＋[φ_a(η_bｘ)φ_b(－η_aｘ)]|0＞を用いると,特にＫ^-1の部分を除いてＧ－Ｋ^-1＝Σ_λφ_λφ_λ^＋と表現できます。

すると,Ｂ-Ｓ.eq.Ｋ(Ｇ－Ｋ^-1)＝Ｉ{Ｋ^-1＋(Ｇ－Ｋ^-1)}は束縛状態:Σ_Br|Ｂ,ｒ＞＜Ｂ,ｒ|≦Σ_λ|λ＞＜λ|＝１の両辺への寄与については,Σ_BrＫφ_Brφ_Br^＋＝(ＩＫ^-1)_Br＋Σ_BrＩφ_Brφ_Br^＋,散乱状態:Σ_P|Ｐ＞＜Ｐ|≦Σ_λ|λ＞＜λ|＝１の寄与については,Σ_PＫφ_Pφ_P^＋＝(ＩＫ^-1)_P＋Σ_PＩφ_Pφ_P^＋となるはずです。

ただし,(ＩＫ^-1)_BrはＩＫ^-1へのΣ_Br|Ｂ,ｒ＞＜Ｂ,ｒ|の寄与,(ＩＫ^-1)_PはＩＫ^-1へのΣ_P|Ｐ＞＜Ｐ|の寄与を示しています。

ところが束縛状態Σ_Br|Ｂ,ｒ＞＜Ｂ,ｒ|の前方散乱ＩＫ^-1への寄与はゼロですから,Σ_BrＫφ_Brφ_Br^＋＝Σ_BrＩφ_Brφ_Br^＋,あるいはΣ_Br{(Ｋφ_Br－Iφ_Br)φ_Br^＋}＝0 となります。それ故,束縛状態についてはＫφ_Br＝Iφ_Brなる方程式に帰着します。

一方,散乱状態:Σ_P|Ｐ＞＜Ｐ|の前方散乱ＩＫ^-1への寄与はゼロではありません。そこで,ＩＫ^-1をＩＫ^-1＝Σ_λＩＫ^-1|λ＞＜λ|として(ＩＫ^-1)_P＝Σ_PＩＫ^-1|Ｐ＞＜Ｐ|＝Σ_PＩＫ^-1|Ｐ＞＜Ｐ|φ_Ｐ^＋-1φ_Ｐ^＋と書けば,Ｂ-Ｓ.eq.の散乱状態部分は,Σ_P[(Ｋφ_Ｐ－ＩＫ^-1φ_Ｐ^＋-1－Ｉφ_Ｐ)φ_Ｐ^＋]＝0 となりますから,これはＫφ_Ｐ－ＩＫ^-1φ_Ｐ^＋-1－Ｉφ_Ｐ＝0 に帰着します。

そこで,散乱のファインマン振幅:φ_ＰをＦと表わせば,ＫＦ＝ＩＫ^-1Ｆ^＋-1＋ＩＦなるＦに対する方程式が得られます。

そして,Ｋ,Ｆの陽な形は,Ｋ(ｐ,ｑ,Ｐ)＝[⊿_Fa'(η_aＰ＋ｐ)⊿_Fb'(η_bＰ－ｐ)]^-1δ⁴(ｐ－ｑ),Ｆ(ｐ,Ｐ)＝(2π)^-4∫ｄ⁴ｘexp(iｐｘ)＜0|Ｔ[φ_a(η_bｘ)φ_b(－η_aｘ)]|Ｐ＞ですから,

ＩＫ^-1Ｆ^＋-1＝Ｉ(ＦＫ)^-1の陽な形は,積分核Ｉを質量がμの１つの中間子のみを交換する"はしご"で近似すると,{ｍ_a²－(η_aＰ＋ｐ)²}{ｍ_b²－(η_bＰ⁰－ｐ)²}Ｆ(ｐ,Ｐ)＝{λ_B(ｓ)/(π²i)}(1/{μ²－(ｐ－ｑ)²－iε}＋∫ｄ⁴ｐ'[Ｆ(ｐ',Ｐ)/{μ²－(ｐ－ｐ')²－iε}])となります。

これは前に「(束縛状態とベーテ・サルピーター方程式(2）」の§2.Ｂ-Ｓeq.の導出(Derivation of the Bethe-Salpeter equation)で記述した「ファインマン振幅Ｆ(ｐ,Ｐ)はｖ₀＝ｍ_a²,ｗ₀＝ｍ_b²における－(Ｇ－Ｋ^-1)の留数に等しく,散乱振幅はＧ－Ｋ^-1のｖ＝ｖ₀＝ｍ_a²,ｗ＝ｗ₀＝ｍ_b²における留数に等しいことがわかります。」と書いたことの内容を示しています。(訳注終わり)※

　物理的考察(摂動展開)によれば,散乱状態のＢ-Ｓ.eq.{ｍ_a²－(η_aＰ＋ｐ)²}{ｍ_b²－(η_bＰ－ｐ)²}Ｆ(ｐ,Ｐ)＝{λ_B(ｓ)/(π²i)}(1/{μ²－(ｐ－ｑ)²－iε}＋∫ｄ⁴ｐ'[Ｆ(ｐ',Ｐ)/{μ²－(ｐ－ｐ')²－iε}])の右辺のＦ(ｐ',Ｐ)は次のような特異点を持ちます。

　すなわち,右側特異点列:ｐ⁰'＝[(ｍ_a＋ｎμ)²＋ｐ'²]^1/2－η_aｓ^1/2－iε (ｎ＝0,1,2,..),と左側特異点列:ｐ⁰'＝η_bｓ^1/2－[(ｍ_b＋ｎ'μ)²＋ｐ'²]^1/2＋iε (ｎ'＝0,1,2,..)です。

　ここで,ｎ＝0,ｎ'＝0に対応するものは極で,それ以外の全ての特異点は分岐点です。

　また,中間子を交換する伝播関数における極もあります。しかし,こちらの方はウィック回転でｐ⁰が回転されると無害になります。

※(訳注):これらの極の存在の物理的考察については,2007年8/28の記事「Ｓ行列とレッジェ理論(4)」,および2007年9/15の記事「Ｓ行列とレッジェ理論(10)」を参照してください。※

　ｐ⁰'で積分した後には右側の特異点が左の特異点と一致するときに限ってなお特異点として残ります。

　すなわち, ウィック回転後にも,なお残るのは[(ｍ_a＋ｎμ)²＋ｐ'²]^1/2－η_aｓ^1/2＝η_bｓ^1/2－[(ｍ_a＋ｎ'μ)²＋ｐ’²]^1/2を満たす場合のｓ^1/2＝[(ｍ_a＋ｎμ)²＋ｐ'²]^1/2＋[(ｍ_b＋ｎ'μ)²＋ｐ'²]^1/2(ｎ,ｎ'＝0,1,2,..)です。

特に,ｍ_a＋ｍ_b≦ｓ^1/2≦ｍ_a＋ｍ_b＋μの弾性散乱領域には,特異点としてｓ^1/2＝(ｍ_a＋ｐ'²)^1/2＋(ｍ_b²＋ｐ'²)^1/2のみが存在します。 

　そこで束縛状態ではなく,散乱問題の場合にユークリッド化して数値計算を行う際には,こうしたウイック回転で除去できない特異点に注意する必要があります。

　§5.ウイック回転(Wick rotation) の最後に,犯しがちな誤用を避けるためにウィック回転の妥当性についてのいくつかの注意点を列挙しておきます。

1) (ｑ_μが任意のときの)散乱のグリーン関数に対してウィック回転が可能かどうかについては証明不可能です。

2) ウィック回転は物理的領域においてのみ立証されています。

すなわち,0≦ｓ≦(ｍ_a＋＋ｍ_b)²の束縛状態とｓ≧(ｍ_a＋ｍ_b)²の散乱問題にのみ適用可能です。

特にｑ_μがもはやミンコフスキー空間の実ベクトルとならない,(ｍ_a－ｍ_b)²＜ｓ＜(ｍ_a＋＋ｍ_b)²のようなｓに対する{ｍ_a²－(η_aＰ＋ｐ)²}{ｍ_b²－(η_bＰ－ｐ)²}Ｆ(ｐ,Ｐ)＝{λ_B(ｓ)/(π²i)}(1/{μ²－(ｐ－ｑ)²－iε}＋∫ｄ⁴ｐ'[Ｆ(ｐ',Ｐ)/{μ²－(ｐ－ｐ')²－iε}])には,ウィック回転を適用できません。

3) ウィック回転は単一のｐ⁰'積分に対してのみ立証されています。　

それ故,正確には"はしご近似"にのみ適用可能です。

いわゆる,多重積分の経路の同時回転の妥当性については未だ正当化されていない変換の採用なしにはコーシー(Cauchy)の定理から証明することができません。

ウィック回転を高次の積分核に適用したいなら,幾つかの複素変数についての解析性を調べる必要があります。

4) もしも摂動論的積分表現(PTIR)を仮定するなら,非物理的領域におけるウィック回転の適用可能性をある範囲まで示すことができます。

　これは一般的に正しいと信じられていて,いくつかのケースにおいては証明可能です。

一般に,Ｂ-Ｓ振幅は∫_-1¹ｄｚ∫₀^∞ｄγ[φ(ｚ,γ,ｐ,Ｐ)/{γ＋(1＋ｚ)(ｍ_a²－ｖ)/2＋(1－ｚ)(ｍ_b²－ｗ)/2－iε}²]と表現されます。ここでφは多項式的にｐ_μに依存します。ただし,ｖ＝(η_aＰ＋ｐ)²,ｗ＝(η_ｂＰ－ｐ)²です。

この積分の被積分関数の分母が(－iεを除いて)ｐ⁰＝0 で正定値,すなわち|Ｐ⁰|＜min(ｍ_a/|η_a|,ｍ_b/|η_b|)を満たすなら,ウィック回転の結果,如何なる特異点に出会うこともなくｐ⁰についての必要な解析性を得ることができます。

ここでは,もはやｓ≧0 という物理的制約もないことがわかります。

一方,散乱のグリーン関数は,この式:∫_-1¹ｄｚ∫₀^∞ｄγ[φ(ｚ,γ,ｐ,Ｐ)/{γ＋(1＋ｚ)(ｍ_a²－ｖ)/2＋(1－ｚ)(ｍ_b²－ｗ)/2－iε}²]で分母の{γ＋(1＋ｚ)(ｍ_a²－ｖ)/2＋(1－ｚ)(ｍ_b²－ｗ)/2－iε}を{γ＋ｘ₁(ｍ_a²－ｖ)＋ｘ₂(ｍ_b²－ｗ)＋ｘ₃(ｍ_a²－ｖ₀)＋ｘ₄(ｍ_b²－ｗ₀)＋ｘ₅(μ²－ｔ)－iε}で置き換えたもので与えられます。

ただし,γ≧0,ｘ_i≧0(ｉ＝1,2,..,5),Σ_iｘ_i＝1,ｖ＝(η_aＰ＋ｐ)²,ｗ＝(η_ｂＰ－ｐ)²,ｖ₀＝(η_aＰ＋ｑ)²,ｗ₀＝(η_ｂＰ－ｑ)²です。

そして,|Ｐ⁰|＜min(ｍ_a/|η_a|,ｍ_b/|η_b|),およびｖ₀＜ｍ_a²,ｗ₀＜ｍ_b²,かつ実のｑ_μについてｑ_μ²＜μ²なら,Ｇ－Ｋ^-1の必要なｐ⁰解析性が得られることがわかっています。 

§6.ウィック・カトコスキー模型(Wick–Cutkosky model) 　 

本節ではａ,ｂ２粒子束縛状態の"はしご近似"でのＢ-Ｓ.eq.{ｍ_a²＋ｐ²－(η_aＰ⁰＋ｐ⁰)²}{ｍ_b²＋ｐ²－(η_bＰ⁰－ｐ⁰)²}φ_Br(ｐ,Ｐ)＝{λ_B(ｓ)/(iπ²)}∫ｄ⁴ｐ'[φ_Br(ｐ',Ｐ)/{μ²－(ｐ－ｐ')²－iε}]において,交換するスカラー中間子の質量μがゼロの模型を考えます。

これは,Ｐ^μ≠0のときでも非自明な相対論的Ｂ-Ｓ.eq.が正確に解ける唯一の例です。これをウィック・カトコスキー模型(Wick–Cutkosky模型)といいます。

ウィック・カトコスキー模型は1952年に林と宗像(Hayashi and Munakata)によって初めて考察されました。しかし彼らの模型では修正された積分核を用いていました。"はしご近似"でのこの模型が正確に解けることを初めて示唆したのは1954年のWickでした。

Wickは彼のウィック回転を用いて離散的エネルギー準位の存在を示しました。そして,固有値問題が１つの常微分方程式に帰着するような積分表現を提案しました。

彼は,さらに非相対論では対応するもののない異常解が存在することを発見しました。

そしてCutkoskyは1954年にWickの解析の後を受けてｓ＞0 のときのａ,ｂ２粒子の質量が等しい場合の完全な陽な解のセットを与え, 質量が等しくない場合の陰伏解を与えました。

これをなすため,彼は積分表現に加えて,ウィック回転されたＢ-Ｓ.eq.に立体射影の手法を導入し,ｓ≠0 のウィック・カトコスキー模型のＯ(4)対称性を見出しました。1

1955年にScarfは,Heuns'関数による積分表現の重み関数θ_ks(ｚ,ｓ)を解析して,束縛エネルギーがゼロに向かうとき,異常解に対する固有値λはゼロでなく1/4に近づくというWickとCutkoskyの結論に反する結果を得ました。

しかし,あいにく彼の異議は妥当ではありませんでした。

1957年,Greenは二極座標の導入によってＢ-Ｓ.eq.を完全に分割できることを示しました。

1965,1966年に中西(Nakanishi)はＰ^μが光的な場合の解について,以下に示すようないくつかの特有の性質を見出しました。中西はまた1967年にｓ≠0だけでなくＰ^μが光的な場合のａ,ｂの質量が等しくないケースの解の完全なセットの(ウィック回転を用いることない)積分表現で与えました。

1968,1969年に瀬戸(Seto)はａ,ｂの質量が等しくないケースに立体射影法を精密化し統一した方法であらゆる解をエレガントに求めました。KyriakopoulosはWick–Cutkosky模型との動力学的グループを調べました。

種々の著者によって幾つかの修正モデルが探求されました。菅野と宗像(Sugano and Munakata)はspinor-scalar模型に立体射影法を適用しました。また,1963年にHasteiらはCoulombポテンシャルよりも特異なポテンシャルに対応するモデルを探求しました。

1960年には大久保(Okubo)とFeldmanが,粒子が１つの中間子に消滅するモデルを考えました。

途中ですが今日はここで終わります。 

参考文献:Noboru Nakanishi "A General survey of the Theory of the Bethe-Salpeter Equation" Progress of Theoretical Physics, supplement,No.43(1969)　

http://folomy.jp/heart/「folomy 物理フォーラム」サブマネージャーです。

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