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2009年3月30日 (月)

束縛状態とベーテ・サルピーター方程式(7)

 ベーテ・サルピーター方程式(B-Seq.)のウィック回転(Wick rotation)の話の続きです。 

前回は,ミンコフスキー空間(Minkowski space)の4元ベクトルpμ(p0,)をユークリッド空間の4元ベクトルp~μ(,p4)で表現すれば,束縛状態の"はしご近似(ladder approximation)"でのB-S.eq.が

 

{ma22-(ηa0+p0)2}{mb22-(ηb0-p0)2}φBr(p,P)={λB(s)/(iπ2)}∫d4p'[φBr(p',P)/{μ2(p-p')2iε}]から,{ma22+(4a0)2}{mb22+(4b0)2}φ~Br(p~,P)={λB(s)/π2}∫d4~'[φ~Br(p~',P)/{μ2(p~-p~')2iε}]なる形にユークリッド化されます。

 

と書いたところで終わりました。 

そこで,たった今ユークリッド化された束縛状態のB-S.eq.を通常のB-S.eq.の演算子積表現であるKφBrIφBrの代わりに,同じく演算子積表現で~φ~Br=λB~φ~Brと書くことにします。

 

ここで,~(p~,P)=-(ip4,,P)です。

(訳注):元の束縛状態のB-S.eq.KφBrIφBrの"はしご近似"での陽な式:{ma22-(ηa0+p0)2}{mb22-(ηb0-p0)2}φBr(p,P)={λB(s)/(iπ2)}∫d4p'[φBr(p',P)/{μ2(p-p')2iε}]では,左辺には-が対応しているので,右辺の{λB(s)/(iπ2)}∫d4p'2(p-p')2iε}-1積分核:-に対応しています。 

そこで,ユークリッド化されたB-S.eq.~φ~Br=λB~φ~Brでは~(p~,P)=-(ip4,,P)に連動して,λB~(p~,p~';P)=-(ip4,,ip'4,',P)となるはず。

 

ユークリッド化された"はしご近似"のB-S.eq.の陽な表式:{ma22+(4a0)2}{mb22+(4b0)2}φ~Br(p~,P)={λB(s)/π2}∫d4~'[φ~Br(p~',P)/{μ2(p~-p~')2iε}]を見ると,左辺が~なら確かにそうなっています。

すなわち,~φ~Br=λB~φ~Brの右辺の積分核:λB~には,{λB(s)/π2}∫d4~'{μ2(p~-p~')2iε}-1が対応していて,λB~(p~,p~';P)=-(ip4,,ip'4,',P)となってます。

そこで,ユークリッド化されたB-S.eq.を~φ~Br=λB~φ~Brと表現するのであれば,ここでの右辺の積分核~の定義は,元のB-S.eq.-KφBr=-IφBrの右辺の-から2つの頂点の結合定数の積λB(s)ab/(4π)2を除いた純粋な"はしご"だけの効果Bに対応しているようです。(訳注終わり)※

 さて,粒子a,bの質量が同じ:a≡mの場合に,ηa=η1/2とすれば,s=(P0)2なので~φ~Br=λB~φ~Br~は~(p~,P)={ma22+(4a0)2}{mb22+(4b0)2}={2+p2(P0)2/4-ip40}{2+p2(P0)2/4+ip40}=(m2+p2-s/4)2+(4)2sとなります。

 これを見ると~は明らかに正定値なので,~,Pの値如何によらず常に~-1/2は存在します。そこで,φ^Br~1/2φ~Brとおけば,-S.eq.~φ~Br=λB~φ~Brは,~1/2φ^Br=λB~~-1/2φ^Brより,~-1/2~~-1/2φ^Br=λB-1φ^Brに帰着します。

 スカラー-スカラーモデルでは,演算子~-1/2~~-1/2Hilbert-Schmidt型の積分作用素,すなわち,"有界=連続"な作用素なので,これには標準的な数学の定理が適用できます。

例えば,これのあらゆる固有値λB-1(したがってλB)は離散的,かつ正値で,どんな有限点にも集積しません。そこで縮退の次元は有限です。(それ故,小群(little group)の無限次元表現は排除されます。)

また,固有関数φ^Brは2乗可積分関数のヒルベルト空間の1つの完全直交系を形成します。

 次に散乱問題のウィック回転を考察します。この場合には,s1/2>ma+mbでωmin<ωmaxなので切断の間のギャップはなく,必然的に置換された極や切断に出くわします。

散乱問題のファインマン振幅(Feynman amplitude)を(p,P)と書けば,"はしご近似"では,これはB-S.eq.{ma2-(ηaP+p)2}{mb2-(ηbP-p)2}(p,P)={λB(s)/(π2i)}(1/{μ2(p-q)2iε}+∫d4’[(p',P)/{μ2(p-p')2iε}])を満足します。

(訳注):前に述べたファインマン振幅の定義によれば,p表示のファインマン振幅(p,P)に対応するx表示のFeyman振幅φ(x,P)≡(2π)-4∫d4exp(-ipx)(p,P)は,φ(x,P)≡<0|T[φabb(-ηa)]|P>で与えられます

 

 そして,p表示のB-S.eq.は演算子で表現すればKG1IG,または()1です。これは陽に表わすと,[Fa'aP+p)Fb'(ηbP-p)]-1(p,q,P)=δ4(p-q)+(2π)-4∫d4'(p,p';P)(p',q;P)と書けます。

 

 一方,KG1IG(p,q,P)は4点グリーン関数G(xa,xb;ya,yb)≡<0|T(φa(xab(xba(yab(yb))|0>のp表示です。

 

 このG(xa,xb;ya,yb)の陽な定義の右辺の真ん中に,中間状態の完全系:1=Σψ|ψ><ψ|+∫|λ><λ|dλ)を挟むことができます。

前には中間状態の完全系{|λ>}のうちで2体の束縛状態|B,r>(r=1,2,..,n)の寄与のみを考えて,両辺を比較して等置し,"束縛状態のファインマン振幅=B-S振幅φBr(p,P)"に対する方程式KφBrIφBrを得ました。

 

散乱状態のファインマン振幅(p,P)に対する方程式を得るためには,束縛状態|B,r>の代わりに,全ての散乱状態|P>の寄与を考えればいいことがわかります。

-S.eq.KG1IGより,G=K-1-1IGですが,4点グリーン関数のうちで散乱振幅に寄与するのは,前方散乱の項-1を除いたG-K-1-1IGのみです。

 

この等式に左からを掛けると,(G-K-1)=IG=I{-1(G-K-1)}が得られます。

そこで,グリーン関数に寄与する中間状態としての2体散乱状態|P>が前方散乱の項:-1を除く(G-K-1)の中にのみ存在すると考えたときには,束縛状態のB-S振幅φBrφBr(p,P)の方程式KφBrIφBrに代わる散乱のファインマン振幅(p,P)の方程式は,(G-K-1)={-1(G-K-1)}の両辺の(G-K-1)へのの寄与を比較して,KF-1-1IFとなるはずです。

 

つまり,x表示での=<0|T(φa(xab(xba(yab(yb))|0>の真ん中に記号的にΣλ|λ><λ|=1を挿入し,φλ=<0|T+abb(-ηa)]|λ>とφλ=<λ|Tabb(-ηa)]|0>を用いると,特に-1の部分を除いてG-K-1=Σλφλφλと表現できます。

 

すると,-S.eq.(G-K-1)={-1(G-K-1)}は束縛状態:ΣBr|B,r><B,r|≦Σλ|λ><λ|=1の両辺への寄与については,ΣBrKφBrφBr(IK-1)Br+ΣBrφBrφBr,散乱状態:ΣP|P><P|≦Σλ|λ><λ|=1の寄与については,ΣPKφPφP(IK-1)P+ΣPφPφPとなるはずです。

 

ただし,(IK-1)BrIK-1へのΣBr|B,r><B,r|の寄与,(IK-1)PIK-1へのΣP|P><P|の寄与を示しています。

 

ところが束縛状態ΣBr|B,r><B,r|の前方散乱IK-1への寄与はゼロですから,ΣBrKφBrφBr=ΣBrφBrφBr,あるいはΣBr{(KφBrIφBr)φBr}=0 となります。それ故,束縛状態についてはKφBrIφBrなる方程式に帰着します。

 

一方,散乱状態:ΣP|P><P|の前方散乱IK-1への寄与はゼロではありません。そこで,IK-1IK-1=ΣλIK-1|λ><λ|として(IK-1)P=ΣPIK-1|P><P|=ΣPIK-1|P><P|φ-1φと書けば,-S.eq.の散乱状態部分は,ΣP[(KφIK-1φ-1Iφ)φ]=0 となりますから,これはKφIK-1φ-1Iφ=0 に帰着します。

 

そこで,散乱のファインマン振幅:φと表わせば,KF-1-1IFなるに対する方程式が得られます。

 

そして,K,の陽な形は,(p,q,P)=[Fa'(ηaP+p)Fb'(ηbP-p)]-1δ4(p-q),(p,P)=(2π)-4∫d4exp(ipx)<0|Tabb(-ηa)]|P>ですから,

 

IK-1-1(FK)-1陽な形は,積分核を質量がμの1つの中間子のみを交換する"はしご"で近似すると,{ma2-(ηaP+p)2}{mb2-(ηb0-p)2}(p,P)={λB(s)/(π2i)}(1/{μ2(p-q)2iε}+∫d4'[(p',P)/{μ2(p-p')2iε}])となります。

これは前に「(束縛状態とベーテ・サルピーター方程式(2)」の§2.B-Seq.の導出(Derivation of the Bethe-Salpeter equation)で記述した「ファインマン振幅(p,P)はv0=ma2,w0=mb2における-(-1)の留数に等しく,散乱振幅は-1のv=v0=ma2,w=w0=mb2における留数に等しいことがわかります。」と書いたことの内容を示しています。(訳注終わり)※

 物理的考察(摂動展開)によれば,散乱状態のB-S.eq.{ma2-(ηaP+p)2}{mb2-(ηbP-p)2}(p,P)={λB(s)/(π2i)}(1/{μ2(p-q)2iε}+∫d4'[(p',P)/{μ2(p-p')2iε}])の右辺の(p',P)は次のような特異点を持ちます。

 すなわち,右側特異点列:p0'=[(a+nμ)2'2]1/2-ηa1/2iε (0,1,2,..),と左側特異点列:p0'=ηb1/2[(b+n'μ)2'2]1/2iε (n'=0,1,2,..)です。

 

 ここで,0,n'=0に対応するものは極で,それ以外の全ての特異点は分岐点です。

 

 また,中間子を交換する伝播関数における極もあります。しかし,こちらの方はウィック回転でp0が回転されると無害になります。

(訳注):これらの極の存在の物理的考察については,2007年8/28の記事「S行列とレッジェ理論(4)」,および2007年9/15の記事「S行列とレッジェ理論(10)」を参照してください。※

 p0'で積分した後には右側の特異点が左の特異点と一致するときに限ってなお特異点として残ります。

 

 すなわち, ウィック回転後にも,なお残るのは[(a+nμ)2'2]1/2-ηa1/2=ηb1/2[(a+n'μ)22]1/2を満たす場合の1/2[(a+nμ)2'2]1/2[(b+n'μ)2'2]1/2(,n'=0,1,2,..)です。

特に,a+mb≦s1/2a+mb+μの弾性散乱領域には,特異点として1/2(a'2)1/2(b2'2)1/2のみが存在します。 

 そこで束縛状態ではなく,散乱問題の場合にユークリッド化して数値計算を行う際には,こうしたウイック回転で除去できない特異点に注意する必要があります。

 §5.ウイック回転(Wick rotation) の最後に,犯しがちな誤用を避けるためにウィック回転の妥当性についてのいくつかの注意点を列挙しておきます。

1) (qμが任意のときの)散乱のグリーン関数に対してウィック回転が可能かどうかについては証明不可能です。

2) ウィック回転は物理的領域においてのみ立証されています。

 

すなわち,0≦s≦(a++mb)2の束縛状態とs≧(a+mb)2の散乱問題にのみ適用可能です。

 

特にqμがもはやミンコフスキー空間の実ベクトルとならない,(a-mb)2<s<(a++mb)2のようなsに対する{ma2-(ηaP+p)2}{mb2-(ηbP-p)2}(p,P)={λB(s)/(π2i)}(1/{μ2(p-q)2iε}+∫d4'[(p',P)/{μ2(p-p')2iε}])には,ウィック回転を適用できません。

3) ウィック回転は単一のp0'積分に対してのみ立証されています。 

  

それ故,正確には"はしご近似"にのみ適用可能です。

 

いわゆる,多重積分の経路の同時回転の妥当性については未だ正当化されていない変換の採用なしにはコーシー(Cauchy)の定理から証明することができません。

ウィック回転を高次の積分核に適用したいなら,幾つかの複素変数についての解析性を調べる必要があります。

4) もしも摂動論的積分表現(PTIR)を仮定するなら,非物理的領域におけるウィック回転の適用可能性をある範囲まで示すことができます。

 

 これは一般的に正しいと信じられていて,いくつかのケースにおいては証明可能です。

一般に,B-S振幅は∫-11dz∫0dγ[φ(z,γ,p,P)/{γ+(1+z)(ma2-v)/2+(1-z)(mb2-w)/2-iε}2]と表現されます。ここでφは多項式的にpμに依存します。ただし,v=(ηaP+p)2,w=(ηP-p)2です。

 

この積分の被積分関数の分母が(-iεを除いて)p00 で正定値,すなわち|P0|<min(ma/|ηa|,mb/|ηb|)を満たすなら,ウィック回転の結果,如何なる特異点に出会うこともなくp0についての必要な解析性を得ることができます。

 

ここでは,もはやs≧0 という物理的制約もないことがわかります。

一方,散乱のグリーン関数は,この式:∫-11dz∫0dγ[φ(z,γ,p,P)/{γ+(1+z)(ma2-v)/2+(1-z)(mb2-w)/2-iε}2]で分母の{γ+(1+z)(ma2-v)/2+(1-z)(mb2-w)/2-iε}を{γ+x1(ma2-v)+x2(mb2-w)+x3(ma2-v0)+x4(mb2-w0)+x52-t)iε}で置き換えたもので与えられます。

 

ただし,γ≧0,xi0(i=1,2,..,5),Σii1,v=(ηaP+p)2,w=(ηP-p)2,v0=(ηaP+q)2,w0=(ηP-q)2です。

そして,|P0|<min(ma/|ηa|,mb/|ηb|),および0<ma2,w0<mb2,かつ実のqμについてqμ2<μ2なら,-1必要な0解析性が得られることがわかっています。 

§6.ウィック・カトコスキー模型(Wick–Cutkosky model)   

本節ではa,b2粒子束縛状態の"はしご近似"でのB-S.eq.{ma22-(ηa0+p0)2}{mb22-(ηb0-p0)2}φBr(p,P)={λB(s)/(iπ2)}∫d4'[φBr(p',P)/{μ2(p-p')2iε}]において,交換するスカラー中間子の質量μがゼロの模型を考えます。

 

これは,Pμ0のときでも非自明な相対論的B-S.eq.が正確に解ける唯一の例です。これをウィック・カトコスキー模型(Wick–Cutkosky模型)といいます。

ウィック・カトコスキー模型は1952年に林と宗像(Hayashi and Munakata)によって初めて考察されました。しかし彼らの模型では修正された積分核を用いていました。"はしご近似"でのこの模型が正確に解けることを初めて示唆したのは1954年のWickでした。

 

Wickは彼のウィック回転を用いて離散的エネルギー準位の存在を示しました。そして,固有値問題が1つの常微分方程式に帰着するような積分表現を提案しました。

彼は,さらに非相対論では対応するもののない異常解が存在することを発見しました。

 

そしてCutkoskyは1954年にWickの解析の後を受けてs>0 のときのa,b2粒子の質量が等しい場合の完全な陽な解のセットを与え, 質量が等しくない場合の陰伏解を与えました。

これをなすため,彼は積分表現に加えて,ウィック回転されたB-S.eq.に立体射影の手法を導入し,s≠0 のウィック・カトコスキー模型のO(4)対称性を見出しました。1

 

1955年にScarfは,Heuns'関数による積分表現の重み関数θks(z,s)を解析して,束縛エネルギーがゼロに向かうとき,異常解に対する固有値λはゼロでなく1/4に近づくというWickとCutkoskyの結論に反する結果を得ました。

 

しかし,あいにく彼の異議は妥当ではありませんでした。

1957年,Greenは二極座標の導入によってB-S.eq.を完全に分割できることを示しました。

1965,1966年に中西(Nakanishi)はPμが光的な場合の解について,以下に示すようないくつかの特有の性質を見出しました。中西はまた1967年にs≠0だけでなくPμが光的な場合のa,bの質量が等しくないケースの解の完全なセットの(ウィック回転を用いることない)積分表現で与えました。

 

1968,1969年に瀬戸(Seto)はa,bの質量が等しくないケースに立体射影法を精密化し統一した方法であらゆる解をエレガントに求めました。KyriakopoulosはWick–Cutkosky模型との動力学的グループを調べました。

種々の著者によって幾つかの修正モデルが探求されました。菅野と宗像(Sugano and Munakata)はspinor-scalar模型に立体射影法を適用しました。また,1963年にHasteiらはCoulombポテンシャルよりも特異なポテンシャルに対応するモデルを探求しました。

 

1960年には大久保(Okubo)とFeldmanが,粒子が1つの中間子に消滅するモデルを考えました。

途中ですが今日はここで終わります。 

参考文献:Noboru Nakanishi "A General survey of the Theory of the Bethe-Salpeter Equation" Progress of Theoretical Physics, supplement,No.43(1969) 

http://folomy.jp/heart/「folomy 物理フォーラム」サブマネージャーです。

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