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2009年3月

2009年3月30日 (月)

束縛状態とベーテ・サルピーター方程式(7)

 ベーテ・サルピーター方程式(B-Seq.)のウィック回転(Wick rotation)の話の続きです。 

前回は,ミンコフスキー空間(Minkowski space)の4元ベクトルpμ(p0,)をユークリッド空間の4元ベクトルp~μ(,p4)で表現すれば,束縛状態の"はしご近似(ladder approximation)"でのB-S.eq.が

 

{ma22-(ηa0+p0)2}{mb22-(ηb0-p0)2}φBr(p,P)={λB(s)/(iπ2)}∫d4p'[φBr(p',P)/{μ2(p-p')2iε}]から,{ma22+(4a0)2}{mb22+(4b0)2}φ~Br(p~,P)={λB(s)/π2}∫d4~'[φ~Br(p~',P)/{μ2(p~-p~')2iε}]なる形にユークリッド化されます。

 

と書いたところで終わりました。 

そこで,たった今ユークリッド化された束縛状態のB-S.eq.を通常のB-S.eq.の演算子積表現であるKφBrIφBrの代わりに,同じく演算子積表現で~φ~Br=λB~φ~Brと書くことにします。

 

ここで,~(p~,P)=-(ip4,,P)です。

(訳注):元の束縛状態のB-S.eq.KφBrIφBrの"はしご近似"での陽な式:{ma22-(ηa0+p0)2}{mb22-(ηb0-p0)2}φBr(p,P)={λB(s)/(iπ2)}∫d4p'[φBr(p',P)/{μ2(p-p')2iε}]では,左辺には-が対応しているので,右辺の{λB(s)/(iπ2)}∫d4p'2(p-p')2iε}-1積分核:-に対応しています。 

そこで,ユークリッド化されたB-S.eq.~φ~Br=λB~φ~Brでは~(p~,P)=-(ip4,,P)に連動して,λB~(p~,p~';P)=-(ip4,,ip'4,',P)となるはず。

 

ユークリッド化された"はしご近似"のB-S.eq.の陽な表式:{ma22+(4a0)2}{mb22+(4b0)2}φ~Br(p~,P)={λB(s)/π2}∫d4~'[φ~Br(p~',P)/{μ2(p~-p~')2iε}]を見ると,左辺が~なら確かにそうなっています。

すなわち,~φ~Br=λB~φ~Brの右辺の積分核:λB~には,{λB(s)/π2}∫d4~'{μ2(p~-p~')2iε}-1が対応していて,λB~(p~,p~';P)=-(ip4,,ip'4,',P)となってます。

そこで,ユークリッド化されたB-S.eq.を~φ~Br=λB~φ~Brと表現するのであれば,ここでの右辺の積分核~の定義は,元のB-S.eq.-KφBr=-IφBrの右辺の-から2つの頂点の結合定数の積λB(s)ab/(4π)2を除いた純粋な"はしご"だけの効果Bに対応しているようです。(訳注終わり)※

 さて,粒子a,bの質量が同じ:a≡mの場合に,ηa=η1/2とすれば,s=(P0)2なので~φ~Br=λB~φ~Br~は~(p~,P)={ma22+(4a0)2}{mb22+(4b0)2}={2+p2(P0)2/4-ip40}{2+p2(P0)2/4+ip40}=(m2+p2-s/4)2+(4)2sとなります。

 これを見ると~は明らかに正定値なので,~,Pの値如何によらず常に~-1/2は存在します。そこで,φ^Br~1/2φ~Brとおけば,-S.eq.~φ~Br=λB~φ~Brは,~1/2φ^Br=λB~~-1/2φ^Brより,~-1/2~~-1/2φ^Br=λB-1φ^Brに帰着します。

 スカラー-スカラーモデルでは,演算子~-1/2~~-1/2Hilbert-Schmidt型の積分作用素,すなわち,"有界=連続"な作用素なので,これには標準的な数学の定理が適用できます。

例えば,これのあらゆる固有値λB-1(したがってλB)は離散的,かつ正値で,どんな有限点にも集積しません。そこで縮退の次元は有限です。(それ故,小群(little group)の無限次元表現は排除されます。)

また,固有関数φ^Brは2乗可積分関数のヒルベルト空間の1つの完全直交系を形成します。

 次に散乱問題のウィック回転を考察します。この場合には,s1/2>ma+mbでωmin<ωmaxなので切断の間のギャップはなく,必然的に置換された極や切断に出くわします。

散乱問題のファインマン振幅(Feynman amplitude)を(p,P)と書けば,"はしご近似"では,これはB-S.eq.{ma2-(ηaP+p)2}{mb2-(ηbP-p)2}(p,P)={λB(s)/(π2i)}(1/{μ2(p-q)2iε}+∫d4’[(p',P)/{μ2(p-p')2iε}])を満足します。

(訳注):前に述べたファインマン振幅の定義によれば,p表示のファインマン振幅(p,P)に対応するx表示のFeyman振幅φ(x,P)≡(2π)-4∫d4exp(-ipx)(p,P)は,φ(x,P)≡<0|T[φabb(-ηa)]|P>で与えられます

 

 そして,p表示のB-S.eq.は演算子で表現すればKG1IG,または()1です。これは陽に表わすと,[Fa'aP+p)Fb'(ηbP-p)]-1(p,q,P)=δ4(p-q)+(2π)-4∫d4'(p,p';P)(p',q;P)と書けます。

 

 一方,KG1IG(p,q,P)は4点グリーン関数G(xa,xb;ya,yb)≡<0|T(φa(xab(xba(yab(yb))|0>のp表示です。

 

 このG(xa,xb;ya,yb)の陽な定義の右辺の真ん中に,中間状態の完全系:1=Σψ|ψ><ψ|+∫|λ><λ|dλ)を挟むことができます。

前には中間状態の完全系{|λ>}のうちで2体の束縛状態|B,r>(r=1,2,..,n)の寄与のみを考えて,両辺を比較して等置し,"束縛状態のファインマン振幅=B-S振幅φBr(p,P)"に対する方程式KφBrIφBrを得ました。

 

散乱状態のファインマン振幅(p,P)に対する方程式を得るためには,束縛状態|B,r>の代わりに,全ての散乱状態|P>の寄与を考えればいいことがわかります。

-S.eq.KG1IGより,G=K-1-1IGですが,4点グリーン関数のうちで散乱振幅に寄与するのは,前方散乱の項-1を除いたG-K-1-1IGのみです。

 

この等式に左からを掛けると,(G-K-1)=IG=I{-1(G-K-1)}が得られます。

そこで,グリーン関数に寄与する中間状態としての2体散乱状態|P>が前方散乱の項:-1を除く(G-K-1)の中にのみ存在すると考えたときには,束縛状態のB-S振幅φBrφBr(p,P)の方程式KφBrIφBrに代わる散乱のファインマン振幅(p,P)の方程式は,(G-K-1)={-1(G-K-1)}の両辺の(G-K-1)へのの寄与を比較して,KF-1-1IFとなるはずです。

 

つまり,x表示での=<0|T(φa(xab(xba(yab(yb))|0>の真ん中に記号的にΣλ|λ><λ|=1を挿入し,φλ=<0|T+abb(-ηa)]|λ>とφλ=<λ|Tabb(-ηa)]|0>を用いると,特に-1の部分を除いてG-K-1=Σλφλφλと表現できます。

 

すると,-S.eq.(G-K-1)={-1(G-K-1)}は束縛状態:ΣBr|B,r><B,r|≦Σλ|λ><λ|=1の両辺への寄与については,ΣBrKφBrφBr(IK-1)Br+ΣBrφBrφBr,散乱状態:ΣP|P><P|≦Σλ|λ><λ|=1の寄与については,ΣPKφPφP(IK-1)P+ΣPφPφPとなるはずです。

 

ただし,(IK-1)BrIK-1へのΣBr|B,r><B,r|の寄与,(IK-1)PIK-1へのΣP|P><P|の寄与を示しています。

 

ところが束縛状態ΣBr|B,r><B,r|の前方散乱IK-1への寄与はゼロですから,ΣBrKφBrφBr=ΣBrφBrφBr,あるいはΣBr{(KφBrIφBr)φBr}=0 となります。それ故,束縛状態についてはKφBrIφBrなる方程式に帰着します。

 

一方,散乱状態:ΣP|P><P|の前方散乱IK-1への寄与はゼロではありません。そこで,IK-1IK-1=ΣλIK-1|λ><λ|として(IK-1)P=ΣPIK-1|P><P|=ΣPIK-1|P><P|φ-1φと書けば,-S.eq.の散乱状態部分は,ΣP[(KφIK-1φ-1Iφ)φ]=0 となりますから,これはKφIK-1φ-1Iφ=0 に帰着します。

 

そこで,散乱のファインマン振幅:φと表わせば,KF-1-1IFなるに対する方程式が得られます。

 

そして,K,の陽な形は,(p,q,P)=[Fa'(ηaP+p)Fb'(ηbP-p)]-1δ4(p-q),(p,P)=(2π)-4∫d4exp(ipx)<0|Tabb(-ηa)]|P>ですから,

 

IK-1-1(FK)-1陽な形は,積分核を質量がμの1つの中間子のみを交換する"はしご"で近似すると,{ma2-(ηaP+p)2}{mb2-(ηb0-p)2}(p,P)={λB(s)/(π2i)}(1/{μ2(p-q)2iε}+∫d4'[(p',P)/{μ2(p-p')2iε}])となります。

これは前に「(束縛状態とベーテ・サルピーター方程式(2)」の§2.B-Seq.の導出(Derivation of the Bethe-Salpeter equation)で記述した「ファインマン振幅(p,P)はv0=ma2,w0=mb2における-(-1)の留数に等しく,散乱振幅は-1のv=v0=ma2,w=w0=mb2における留数に等しいことがわかります。」と書いたことの内容を示しています。(訳注終わり)※

 物理的考察(摂動展開)によれば,散乱状態のB-S.eq.{ma2-(ηaP+p)2}{mb2-(ηbP-p)2}(p,P)={λB(s)/(π2i)}(1/{μ2(p-q)2iε}+∫d4'[(p',P)/{μ2(p-p')2iε}])の右辺の(p',P)は次のような特異点を持ちます。

 すなわち,右側特異点列:p0'=[(a+nμ)2'2]1/2-ηa1/2iε (0,1,2,..),と左側特異点列:p0'=ηb1/2[(b+n'μ)2'2]1/2iε (n'=0,1,2,..)です。

 

 ここで,0,n'=0に対応するものは極で,それ以外の全ての特異点は分岐点です。

 

 また,中間子を交換する伝播関数における極もあります。しかし,こちらの方はウィック回転でp0が回転されると無害になります。

(訳注):これらの極の存在の物理的考察については,2007年8/28の記事「S行列とレッジェ理論(4)」,および2007年9/15の記事「S行列とレッジェ理論(10)」を参照してください。※

 p0'で積分した後には右側の特異点が左の特異点と一致するときに限ってなお特異点として残ります。

 

 すなわち, ウィック回転後にも,なお残るのは[(a+nμ)2'2]1/2-ηa1/2=ηb1/2[(a+n'μ)22]1/2を満たす場合の1/2[(a+nμ)2'2]1/2[(b+n'μ)2'2]1/2(,n'=0,1,2,..)です。

特に,a+mb≦s1/2a+mb+μの弾性散乱領域には,特異点として1/2(a'2)1/2(b2'2)1/2のみが存在します。 

 そこで束縛状態ではなく,散乱問題の場合にユークリッド化して数値計算を行う際には,こうしたウイック回転で除去できない特異点に注意する必要があります。

 §5.ウイック回転(Wick rotation) の最後に,犯しがちな誤用を避けるためにウィック回転の妥当性についてのいくつかの注意点を列挙しておきます。

1) (qμが任意のときの)散乱のグリーン関数に対してウィック回転が可能かどうかについては証明不可能です。

2) ウィック回転は物理的領域においてのみ立証されています。

 

すなわち,0≦s≦(a++mb)2の束縛状態とs≧(a+mb)2の散乱問題にのみ適用可能です。

 

特にqμがもはやミンコフスキー空間の実ベクトルとならない,(a-mb)2<s<(a++mb)2のようなsに対する{ma2-(ηaP+p)2}{mb2-(ηbP-p)2}(p,P)={λB(s)/(π2i)}(1/{μ2(p-q)2iε}+∫d4'[(p',P)/{μ2(p-p')2iε}])には,ウィック回転を適用できません。

3) ウィック回転は単一のp0'積分に対してのみ立証されています。 

  

それ故,正確には"はしご近似"にのみ適用可能です。

 

いわゆる,多重積分の経路の同時回転の妥当性については未だ正当化されていない変換の採用なしにはコーシー(Cauchy)の定理から証明することができません。

ウィック回転を高次の積分核に適用したいなら,幾つかの複素変数についての解析性を調べる必要があります。

4) もしも摂動論的積分表現(PTIR)を仮定するなら,非物理的領域におけるウィック回転の適用可能性をある範囲まで示すことができます。

 

 これは一般的に正しいと信じられていて,いくつかのケースにおいては証明可能です。

一般に,B-S振幅は∫-11dz∫0dγ[φ(z,γ,p,P)/{γ+(1+z)(ma2-v)/2+(1-z)(mb2-w)/2-iε}2]と表現されます。ここでφは多項式的にpμに依存します。ただし,v=(ηaP+p)2,w=(ηP-p)2です。

 

この積分の被積分関数の分母が(-iεを除いて)p00 で正定値,すなわち|P0|<min(ma/|ηa|,mb/|ηb|)を満たすなら,ウィック回転の結果,如何なる特異点に出会うこともなくp0についての必要な解析性を得ることができます。

 

ここでは,もはやs≧0 という物理的制約もないことがわかります。

一方,散乱のグリーン関数は,この式:∫-11dz∫0dγ[φ(z,γ,p,P)/{γ+(1+z)(ma2-v)/2+(1-z)(mb2-w)/2-iε}2]で分母の{γ+(1+z)(ma2-v)/2+(1-z)(mb2-w)/2-iε}を{γ+x1(ma2-v)+x2(mb2-w)+x3(ma2-v0)+x4(mb2-w0)+x52-t)iε}で置き換えたもので与えられます。

 

ただし,γ≧0,xi0(i=1,2,..,5),Σii1,v=(ηaP+p)2,w=(ηP-p)2,v0=(ηaP+q)2,w0=(ηP-q)2です。

そして,|P0|<min(ma/|ηa|,mb/|ηb|),および0<ma2,w0<mb2,かつ実のqμについてqμ2<μ2なら,-1必要な0解析性が得られることがわかっています。 

§6.ウィック・カトコスキー模型(Wick–Cutkosky model)   

本節ではa,b2粒子束縛状態の"はしご近似"でのB-S.eq.{ma22-(ηa0+p0)2}{mb22-(ηb0-p0)2}φBr(p,P)={λB(s)/(iπ2)}∫d4'[φBr(p',P)/{μ2(p-p')2iε}]において,交換するスカラー中間子の質量μがゼロの模型を考えます。

 

これは,Pμ0のときでも非自明な相対論的B-S.eq.が正確に解ける唯一の例です。これをウィック・カトコスキー模型(Wick–Cutkosky模型)といいます。

ウィック・カトコスキー模型は1952年に林と宗像(Hayashi and Munakata)によって初めて考察されました。しかし彼らの模型では修正された積分核を用いていました。"はしご近似"でのこの模型が正確に解けることを初めて示唆したのは1954年のWickでした。

 

Wickは彼のウィック回転を用いて離散的エネルギー準位の存在を示しました。そして,固有値問題が1つの常微分方程式に帰着するような積分表現を提案しました。

彼は,さらに非相対論では対応するもののない異常解が存在することを発見しました。

 

そしてCutkoskyは1954年にWickの解析の後を受けてs>0 のときのa,b2粒子の質量が等しい場合の完全な陽な解のセットを与え, 質量が等しくない場合の陰伏解を与えました。

これをなすため,彼は積分表現に加えて,ウィック回転されたB-S.eq.に立体射影の手法を導入し,s≠0 のウィック・カトコスキー模型のO(4)対称性を見出しました。1

 

1955年にScarfは,Heuns'関数による積分表現の重み関数θks(z,s)を解析して,束縛エネルギーがゼロに向かうとき,異常解に対する固有値λはゼロでなく1/4に近づくというWickとCutkoskyの結論に反する結果を得ました。

 

しかし,あいにく彼の異議は妥当ではありませんでした。

1957年,Greenは二極座標の導入によってB-S.eq.を完全に分割できることを示しました。

1965,1966年に中西(Nakanishi)はPμが光的な場合の解について,以下に示すようないくつかの特有の性質を見出しました。中西はまた1967年にs≠0だけでなくPμが光的な場合のa,bの質量が等しくないケースの解の完全なセットの(ウィック回転を用いることない)積分表現で与えました。

 

1968,1969年に瀬戸(Seto)はa,bの質量が等しくないケースに立体射影法を精密化し統一した方法であらゆる解をエレガントに求めました。KyriakopoulosはWick–Cutkosky模型との動力学的グループを調べました。

種々の著者によって幾つかの修正モデルが探求されました。菅野と宗像(Sugano and Munakata)はspinor-scalar模型に立体射影法を適用しました。また,1963年にHasteiらはCoulombポテンシャルよりも特異なポテンシャルに対応するモデルを探求しました。

 

1960年には大久保(Okubo)とFeldmanが,粒子が1つの中間子に消滅するモデルを考えました。

途中ですが今日はここで終わります。 

参考文献:Noboru Nakanishi "A General survey of the Theory of the Bethe-Salpeter Equation" Progress of Theoretical Physics, supplement,No.43(1969) 

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2009年3月26日 (木)

心室細動(松村邦洋)に思う。

 心不全で入院したのはもう2年前の今頃ですが,最近,東京マラソンでタレントの松村邦洋氏が心筋梗塞から"心室細動"を起こして心肺停止になったのを見聞きして,その頃を思い出しました。

 「今すぐ入院しないと家に帰って入院の準備をしている間にも"心室細動"が起こるかもしれない。そうなったらおしまいですよ。」と言われたのを振り切って入院準備に帰宅したのを,また,思い出してしまいました。

 まあ,松村氏のはマラソンという"ちゃんとした理由?"で起きたことで例は異なるかもしれませんが。。。

 ここら辺の話は2007年3/23の記事「明日朝緊急入院します。」 に書いています。それから,4月初めに心臓バイパス手術をして,4月下旬には退院して,結構平気なように見えますが,実はかなり心境の変化がありました。(2007年4/22の記事「無事生還しました。」参照 )

 私も入院前には,心筋梗塞を2回起こしていて,そのときに「心室細動」が起きていたら死んでいたわけです。

 今,通院していて,医者に「不摂生しているとあと10年も持たないよ。」とか言われますが,私にすれば10年なら十分長いです。

 逆にどんなに摂生しても,確かに死ぬ可能性は減るかもしれませんが,1年とか10年とかのスパンではなく,当時は今日の朝,目が覚めたとしても今夜にはもう急死してしまっているかもしれない。という状況だったのです。

 確かに手術のおかげで10年以上,あるいは普通の寿命を全うできる可能性の方が大きくなったから,医者もコゴトを言うのでしょう。

 しかし,退院して家の片付けなどが終わって落ち着いてから1ヶ月くらいは,なぜかボーッとしてました。

 何か世の中がなんというかモノクロ的にしか見えなくなったのです。

 (恋愛,嫉妬,憎悪など,深く色付きの濡れた情動が起きない。悲しい。頭で考えてしまう。)

 イヤ,病気前よりも,頭で考えた通りに体がいうことを聞いてくれなくなったのもありますが,交通事故ではなくても人間いつ急死してもオカシクないという後ろ向きの思いが頭について離れなくなりました。

 こうした思いを忘れられるような楽しいことも,お金を払って相手をしてもらい,アルコールを飲むくらいしかないですしね。。。

 生きるためには食べねばならない。食べるためには働かなきゃならない。

 でもゼイタクなことですが,食べるために生きるというのだけではイヤという気持ちが前よりも増して,生きていたという証しを早く残したいというアセリで心がいっぱいになります。

 また,楽しむなら今を徹底的に楽しもう。明日はないかもしれないから。。と後ろ向きに考える傾向が強くなりました。

 生き物に課せられた神の意思に反して子供がいないせいかもしれません。

 また,キレイゴトではありますが,ウソではなく死ぬのであれば何の代償もなく,残りの命を誰かの役に立てたい。という気持ちも起こってきました。

 この2年のうちに,モノクロでなく,だんだん元の色付きの世界に復帰しつつあるようです。

 前はよほど疲れていてもなぜか体を寝かせることができず,睡眠薬がなければ眠れませんでしたが,今はまだ横向きには寝られませんが,ちゃんと背中をつけて寝ていると休息が得られるという感覚も戻り,いつの間にか眠りに落ちているようになりました。

 まあ,アセっている気持ちは常にあっても,逆にボーッと過ごすということはできませんが,これは病気と関係なく性分でしょう。

 イヤ,寂しくて何かを求めているのかも知れないなあ。。

 今日は寒いのか少しカゼ気味です。

PS:何?事故米を廃棄?,調べなきゃわからないけど少しカビが生えてる?

 ゼイタクな。。ちょっと期限切れの弁当,惣菜とか捨てるんだったらタダでくれ 。。たとえ中毒で死んだとしても文句言わんぞ。。

 生きてる間に食えるだけ食ってやる。。

 違う話だが,自分の子供を殺したり虐待するんだったら。。物じゃないんだろうけど皆俺にくれ。。

 カイショナシだけど,命削っても命捨ててもドロボーでも何でもやっても何とか育てたるぞ-。。。守るものがないと生きていけない。。

 情けは人のためならず。。

 民主党の原口くんは結構エライな。。

 「日本の土壌では,痴漢でもなんでも,一旦疑惑を持たれ,ましてや起訴されたりすると判決も出てない被告の段階なのに,本当の真実は無実潔白の冤罪で痴漢など全くやってなくて真白な人間でも,一旦犯罪者と思われると終わりだということ。

 万が一後で無罪判決が出たとしても,元通りの信頼を回復することなど不可能で,その裁判に精力も財産も費やし尽くしたため,既に時宜を失して人生を棒に振るような社会なんだということ。」

 がよくわかってらっしゃいますね。

 小沢一郎君が"マヌーバ"として党首を降りることで,政権交代がかなったとしても,私なら節を曲げて司法に屈してまで政権に固執するよりは選挙に負けても我を通す政党の方が信頼できます。

 どうせ政権交代しようがどうしようが,政党の質として民主党と自民党とそんなに差があるとは思わないし,被告になったとか疑いがあるというだけで,掌返して政権交代できないというのなら,所詮この国の国民のレベルはその程度なんでしょう。 

(人気がなくなろうが選挙で負けようが,たとえ逆恨みで殺されようが,「やってないもんはやってないんじゃい.!! 。。有罪か無罪かは多数決じゃ決まらんのじゃい。。」 自分以外の世界全体が有罪の大合唱しようが,拷問やイジメを受けようがたった1人でも無実を主張するくらいの気概はないのかい!!!。。。)

 日本じゃ選択肢が2つしかないのも問題です。同じような2つの党でもトキドキは交代する米国のシステムの方が互いを牽制して独善な暴走を防ぐ意味ではマシなのですが。。。

 もっとも小沢一郎君は,真白ではなくて真っ黒かもしれないけど,人間イケメンかどうかで判断してはいけません。

 昔から権力,特に警察,検察,自衛隊という「きちがいに刃物」の集団が大嫌いな人間としては,「民主党だ自民党だ」と騒ぐ以前に,司法が好ましくないと思う人間を片っ端から疑わしいとして引っ張るだけで有罪ではなくても半分社会的に抹殺できて世の中を思い通りに牛耳ることができるような社会になる可能性の方がはるかに危険で切実な問題だと思う。

 以前の鈴木宗男君の疑惑のときだって,そうでした。

 実刑判決くらって,現在も最高裁に控訴中らしいですが,逮捕当時はさんざん叩かれ,多くの国民も当然のように尻馬に乗ったのですが,今となっては必ずしも検察の思惑通りか疑わしいですね。。

 当時,社民党で彼を「疑惑の総合商社」と追及した辻本氏も後に罪に問われて失職して,また返り咲きましたね。

 どうも政党は違っても立法という意味では味方なのに,今と同じように足を引っ張りあって,結局は両方とも司法にやられましたね。

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超弦理論(16)(2-5)

超弦理論(superstring theory)の続きです。

D次元時空の話から,その上の弦の描く2次元の世界面の概念の話に戻ります。

まず,2次元理論のハミルトニアンHを考えると,これはH=∫0πdσ(-dτ)=-(T/2)∫0π{(d)2'2}dσで与えられます。

(訳注22):平坦な計量hαβ=ηαβを持つ2次元世界面の軌跡を描く弦のラグランジアン密度をとすると,弦の作用SはS=∫2σ=-(T/2)∫d2σαα=-(T/2)∫{(d)2'2}d2σですから,=-(T/2){(d)2'2}で与えられます。

そして,今のミンコフスキー計量では正準共役運動量はτ=-∂/∂d=Tdで与えられます。したがって,ハミルトニアン密度d(∂/∂d)-=-dτ=-(T/2){(d)2'2}となります。

ある時刻τの断面での弦の総エネルギーを意味するハミルトニアンはH=∫0πdσ=-(T/2)∫0π{(d)2'2}dσとなります。

 

(訳注22終わり)※

 

このハミルトニアンHの表現に弦のモード展開を代入します。

 

開弦では,Xμ(σ,τ)=xμ+l2μτ+ilΣn≠0[(αnμ/n)exp(-inτ)cos(nσ)](α0μ≡lpμ)なので,H=(-1/2)Σ-∞α-nαnです。

 

ただし,αnはD次元ミンコフスキー空間のベクトルを意味します。すなわち,αn≡(αnμ)=(αn0n1n2,..,αnD-1)であって,αmαnはベクトルの内積αmαn≡αm,μαnμを意味します。

  

一方,閉弦では,Xμ(σ)=XRμ)+XLμ);σ=τ-σ,σ=τ+σ;XRμ=(1/2)xμ+(1/2)l2μ(τ-σ)+(i/2)lΣn≠0[(αnμ/n)exp{-2in(τ-σ)}],XLμ=(1/2)xμ+(1/2)l2μ(τ+σ)+(i/2)lΣn≠0[(α~nμ/n)exp{-2in(τ+σ)}]より,H=-Σ-∞-nαn+α~-nα~n)となります。

ただし,α0μ=α~0μ≡lpμ/2 です。

(訳注23):(証明) 開弦ではXμd=l2μ+lΣn≠0nμexp(-inτ)cos(nσ)],Xμ'=-ilΣn≠0nμexp(-inτ)sin(nσ)]なので,H=-(T/2)∫0πdσ{(d)2'2}=(-πl2T/2)[α0μα+Σn≠0α-nμα]=(-1/2)Σ-∞α-nαnです。

一方,閉弦では,Xμd=l2μ+lΣn≠0nμexp{-2in(τ-σ)}+α~nμexp{-2in(τ+σ)}],Xμ'=-ilΣn≠0nμexp{-2in(τ-σ)}-α~nμexp{-2in(τ+σ)}]なので,H=-(T/2)∫0πdσ{(d)2'2}=(-πl2T)[α0μα+α~0μα~+Σn≠0-nμα+α~-nμα~)]=-Σ-∞-nαn+α~-nα~n)を得ます。

 

(訳注23終わり) ※

 これらのハミルトニアンはポアソン括弧(Poisson括弧)によって弦のτによる発展を生成します。

 

 すなわち,d/dτ=[,H]P.B.,dτ/dτ=[τ,H]P.B.です。

 

 そしてτは無次元なのでHも無次元です。(弦のポアソン括弧は多体系から連続体に拡張された式:[u,v]P.B.≡∫dσ{(δu/δ)(δv/δ)-(δu/δ)(δv/δ)}で定義されています。)

次に拘束方程式αβ=0 のモード展開を考えます。これは光円錐座標ではT--=T++=0 です。既に記述したように,閉弦ではT--=-∂RR=-(Rd)2,T++=-∂LL=-(Ld)2なので,この拘束の内容は,(Rd)2=(Ld)2=0 です。

そこで,T--=-∂RR=-(Rd)2,T++=-∂LL=-(Ld)2に,既に得ている展開式∂Rμ=XRμd=lΣ-∞nμexp{-2in(τ-σ)}],∂Lμ=XLμd=lΣ-∞[α~nμexp{-2in(τ+σ)}]を代入した後,τ=0 として,そのフーリエ成分を取ることを考えます。

すなわち,Lm≡(T/2)∫0πdσ[exp(2imσ)T--]=(-T/2)∫0πdσ[exp(2imσ)(Rd)2],L~m≡(T/2)∫0πdσ[exp(2imσ)T++]=(-T/2)∫0πdσ[exp(2imσ)(Ld)2]dσとします。

 

これらのモード展開は,結局Lm=(-1/2)Σn=-∞αm-nαn,L~m=(-1/2)Σn=-∞α~m-nα~nとなります。

よって,閉弦では,拘束方程式T--=T++=0 は,Lm=(-1/2)Σn=-∞αm-nαn=0,かつL~m=(-1/2)Σn=-∞α~m-nα~n=0 が成立することと同等です。

他方,開弦の場合には,定義域である閉区間:0≦σ≦πの上でexp(inσ)は直交関数ではないので,若干修正が必要です。

 

開弦の場合の拘束方程式は,Xμ(σ)=XRμ)+XLμ);σ≡τ-σ,σ≡τ+σで導入されたXRμ,XLμを,XRμ(σ+π)≡XLμ(σ),XLμ(σ+π)≡XLμ(σ)により,閉区間 0≦σ≦πを超えた区間に形式的に拡張すればうまく記述できます。

 

こうすれば,開弦の場合,τ=0 でR,Lが共に周期2πのσの周期関数になるからです。

こうして,開弦の拘束方程式は,-π≦σ≦πでT++=0 が成立することに帰着します。結局,Lm≡(T/2)∫0πdσ[exp(imσ)T+++exp(-imσ)T--]とすればLm=0 が成立することと同等になります。

(訳注24):(証明)∫πdσ[exp(imσ)T++]=-∫0dσ[exp(imσ){Ld(σ)}2]-∫0πdσ[exp(imσ){Ld(σ)}2]=-∫0πdσ[exp(-imσ){Ld(-σ)}2]-∫0πdσ[exp(imσ){Ld(σ)}2]=-∫0πdσ[exp(-imσ){Rd(σ)}2+exp(imσ){Ld(σ)}2]です。

 

 一方,∫πdσ[exp(-imσ)T--]=-∫0πdσ[exp(imσ){Ld(σ)}2+exp(-imσ){Rd(σ)}2]なので,これは∫πdσ[exp(imσ)T++]と一致します。

そこで,Lm=T∫πdσ[exp(imσ)T++]とおけばLm=T∫πdσ[exp(-imσ)T--]でもあり,Lm=(T/2)∫0πdσ[exp(imσ)T+++exp(-imσ)T--]でもありますから,拘束条件:T--=T++=0 は条件:m=0 と同等であることがわかります。

 

(訳注24終わり)※

m(T/2)∫0πdσ[exp(imσ)T+++exp(-imσ)T--]に開弦のモード展開を代入すると,Lm=(-T/4)∫πdσ[exp(imσ){(d)2'2}]=(-1/2)Σn=-∞αm-nαnとなるので,開弦の拘束方程式はLm=(-1/2)Σn=-∞αm-nαn=0 に帰することがわかります。

特に,ハミルトニアンHはエネルギー運動量テンソル++,T--のフーリエ・モードL0,L~0で表わすことができます。

 

すなわち,開弦では,H=L0=(-1/2)Σ-∞α-nαn,閉弦ではH=2(L0+L~0)=-Σ-∞-nαn+α~-nα~n)です。

そして,閉弦の場合,拘束方程式によればL0-L~0の結合も消える必要がありますが,この場合はα02-α~02=0 なる相殺により,L0-L~0は弦の運動量pμの項を含みません。

 

この結合はσ→σ+(定数)なる剛体回転の作用を引き起こすものですが,後で重要な役割を果たします。

さて,与えられた振動状態において,1つの弦は平方質量M2=p2=pμμを持つはずですが,拘束方程式L0=0 は平方質量M2を弦の内部振動のモードによって定める非常に重要な方程式に翻訳されます。(既に示したように,弦の運動量はPτμ=pμです。)

すなわち,開弦では,0=L0=(-1/2)Σ-∞α-nαn=-l22/2-Σn=1α-nαn=-α'M2-Σn=1α-nαnですから,M2=(-1/α')Σn=1α-nαnなる表式を得ます。

 

ここで,l2=1/(πT)=2α'なる関係式を用いました。

一方,閉弦では,右移動では 0=L0=(-1/2)Σ-∞α-nαn=-l22/8-Σn=1α-nαn=-α'M2/4-Σn=1α-nαnです。

 

左移動では 0=L~0=(-1/2)Σ-∞α-nαn=-l22/8-Σn=1α~-nα~n=-α'M2/4-Σn=1α~-nα~nです。

 

これらを辺々加えると, 0=-α'M2/2-Σn=1-nαn+α~-nα~n)となります。結局M2=(-2/α')Σn=1-nαn+α~-nα~n)なる表式を得ます。

これらの等式:2=(-1/α')Σn=1α-nαn(開弦),M2=(-2/α')Σn=1-nαn+α~-nα~n)(閉弦)は,弦の質量殻条件として知られています。

 

後述する量子論においては,これらの式は正規順序の効果のため僅かに修正されたものになります。

閉弦において,L0=L~0であるという事実は,H=-Σ-∞-nαn+α~-nα~n)やM2=(-2/α')Σn=1-nαn+α~-nα~n)なる展開においてL0,L~0の2つの項の寄与が等しいことを示しています。

エネルギー運動量テンソル:T--,T++のフーリエ・モードであるLm,L~mはヴィラソロ演算子(Virasolo operator)と呼ばれます。

 

かなり面倒な手順ではありますが,ヴィラソロ演算子Lm,L~mのポアソン括弧を個々の振動子αn,α~nのポアソン括弧から直線的に計算することができます。

まず,開弦でも閉弦でも同じ展開式で表わされるLmの表式:Lm=(-1/2)Σn=-∞αm-nαn=0 から,[Lm,Ln]P.B.=(1/4)Σk,lm-kαkn-lαl]P.B.を得ます。

これに,恒等式[AB,CD]P.B.=A[B,C]P.B.D+AC[B,D]P.B+[A,C]P.BDB+C[A,D]P.BB,および,これも開弦,閉弦に無関係な既に得られている振動子のポアソン括弧[αmμnν]P.B.=imδm+nημν,または[αmn]P.B.=imδm+nを適用します。

 

すると,[Lm,Ln]P.B.=(i/4)Σk,l{kαm-kαlδk+n-l+αm-kαn-lδk+l+(m-k)αlαkδm-k+n-l+(m-k)αn-lαkδm-k+l}=(i/2)[Σkkαm-kαk+n+Σk(m-k)αm-k+nαk]が得られます。

 

さらに,最右辺の第1項のΣkkαm-kαk+nにおいてk→k'=k+n,またはk=k'-nと添字変換をすると,Σkkαm-kαk+n=Σk'(k'-n)αm-k'+nαk'となります。

  

最後にk'を改めてkと書き直すとΣkkαm-kαk+n=Σk(k-n)αm-k+nαkとなることがわかります。

(※後に,[αmn]P.B.=imδm+n→[αmn]=-mδm+nによってポアソン括弧を交換子に変えて量子化する際には,m+n=0 の場合に上のようなk→k'=k+nの単純なシフトは許されないこと。

 

 特に,背景時空が26次元,つまり[αmμnν]のD個の添字μ,ν=0,1,2,..,D-1を与える自然数Dが,26のとき以外には物理的解釈ができないゴーストを生じることを見ます。※)

結局,ヴィラソロ演算子Lmについて[Lm,Ln]P.B.=-i(m-n)Lm+nなるポアソン括弧の表現を得ます。演算子のこの構造をヴィラソロ代数といいます。

これは,後に量子アノマリーによる修正とも関わるきわめて重要な公式です。

 

閉弦のヴィラソロ演算子:L~mも,もちろん同じ代数に従います。すなわち,[L~m,L~n]P.B.=-i(m-n)L~m+nです。

そして,ヴィラソロ代数[Lm,Ln]P.B.=-i(m-n)Lm+nは次のようなとても簡単な解釈を有します。

θを,0≦θ≦2πの通常の角変数とします。これを円S1のパラメータ化と見ます。円の無限小の一般座標変換θ→θ+a(θ)は微分演算子Da≡a(θ)(d/dθ)によって生成されます。

この円の変換の完全な基底はDn≡exp(inθ)(d/dθ)(nは整数)であり,ポアソン括弧を演算子の交換関係と見ると,これらがLnと同じ代数に従うことが容易にわかります。

 

ヴィラソロ代数は円の無限小一般座標変換の代数と同じです。

ここで,exp(inθ)をξ±で,(d/dθ)を(∂/∂σ±)で置き換えると,Dn≡exp(inθ)(d/dθ)は弦のゲージ変換を保持する残りの対称性である共形変換群の先に見た生成子V±≡ξ±(∂/∂σ±)に一致することから,ヴィラソロ代数の存在理由が理解できます。

σ±はア・プリオリ(先験的)な角変数ではありませんが,開弦,閉弦が整数nのみの関数:exp(inσ±),exp(2inσ±)を含むので理論の運動方程式を考慮するとσ±を角変数と解釈することもできます。

今日はここまでにします。

 

このシリーズの次回の記事では,弦の量子化に入る予定です。 

参考文献:M.B.Green,J.H.Schwarz,& E.Witten著「superstring theory」(Cambridge University Press)

 

PS:陣内も紀香もかわいそうだ。。紀香も関西人だから子供の頃から"お笑い芸人"はヒーローだったと思う。

  

 人の相性は本人たちにしかわからないと思うが有名であるが故の理由もあるだろう。

 

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2009年3月24日 (火)

超弦理論(15)(2-4)

数論やカー時空,光の散乱の問題,それに野球観戦,その他目移りだらけで,まとまりがつかず,結局,ブログのツナギといってもこれしか能がないので一つ覚えですが,またまた超弦理論の続きです。

 さて,背景D次元時空のポアンカレ(Poincare)不変性を考えます。

 

 ポアンカレ変換:δXμ=aμνν+bμは,2次元理論の見地からは大局的対称性なので,それらは保存するネーターカレント(Noether current)と関連しています。

 場の理論では,ネーターの方法として知られている標準的な手続きがあります。

 

 これは,φ(σ)を任意の場としεを無限小の定数パラメータとした大局的対称性変換φ(σ)→φ(σ)+εδφ(σ)に対する作用Sの不変性に伴なう保存カレントJαを求めるものです。

 大局的変換ではなく,φ(σ)→φ(σ)+ε(σ)δφ(σ)なる局所的変換も考えられますが,このときにはε=ε(σ)は無限小パラメータですが定数ではありません。

 

 大局的対称性を持つ作用Sでも,こうした一般的な局所的変換の下で不変であるとは限りません。しかし,逆にSが局所的変換で不変な場合には,その特別な場合としてεが定数の大局的変換に対してもSは不変です。

 Sが大局的変換に対して不変な場合,ネーターの保存カレントJαが存在して,局所的変換φ(σ)→φ(σ)+ε(σ)δφ(σ)に対する作用Sの変分を,δS=∫d2σ(Jααε)と表わすことができます。

 

 この一般的表現を見ても,εが定数ならδS=0 は明白です。

(訳注18):S=-(T/2)∫d2σαμαμより,Xμ(σ)→Xμ(σ)+ε(σ)δXμに対して,δS=-(T/2)∫d2σ[ε{∂α(δXμ)∂αμ}+ε{∂αμα(δXμ)}]-∫d2σ{(TδXμαμ)∂αε}となります。

 

 仮定によってε(σ)が定数εのときの大局的変換に対してδS=0 なので,右辺第1項はゼロです。したがって,一般のε(σ)ではδS=-∫d2σ{(TδXμαμ)∂αε}となります。

 すなわち,εが任意定数のとき,右辺第1項=-(T/2)∫d2σ[ε{∂α(δXμ)∂αμ}+ε{∂αμα(δXμ)}]=0 という式から-(T/2){∂α(δXμ)∂αμ}+{∂αμα(δXμ)}=-∂α(TδXμαμ)=0 なる式を得ます。

 

 そこで,Jα≡-TδXμαμとおけば,これは∂αα=0 を意味するわけです。

 

 これにより,Jαは保存カレントとなり,しかもδS=-∫d2σ{(TδXμαμ)∂αε}=∫d2σ(Jααε)と表現されます。

 

 (訳注18終わり)※   

 このようにして,定義されたカレントは運動方程式が満たされる場合には常に保存されます。

 

 実際,運動方程式が満たされるとき,作用積分の境界でゼロの任意の変分,特にφ(σ)→φ(σ)+εδφ(σ)の形の変分の下で任意の無限小定数εに対してδS=0 となって,作用Sは停留値を取ります。これは∂αα=0 が満たされる場合にのみ可能です。

 この方法を適用して,aμν,bμが無限小定数のポアンカレ変換:δXμ=aμνν+bμに関わる保存カレントを導くことができます。

 

 すなわち,Pαμ=T∂αμ,およびJαμν=T(Xμαν-Xναμ)です。

(訳注19):δXμ=aμνν+bμなる変換で,特にaμν=0 としたδXμ=bμの平行移動に関連して,Jα=-TδXμαμにδXμ=bμを代入すると,Jα=-Tbμαμとなります。

この場合は,上の大局的変換Xμ→Xμ+εδXμにおけるεδXμが無限小パラメータbμそのものに対応していて,Jα=-Tbμαμ,かつ∂αα=0 で与えられるカレントJαの表現ではbμのそれぞれが各添字μについて独立な任意の定数εの役割を果たします。

 

そこで,Pαμ≡T∂αμなる量Pαμを定義すると∂ααμ=0 が満たされます。そしてαμが平行移動δXμ=bμに関連したネーターカレントになります。

 同様に,δXμ=aμνν+bμなる変換で,特にbμ=0 としたδXμ=aμννのローレンツ変換に関連して,Jα=-TδXμαμにδXμ=aμννを代入すると,Jα=-Taμνναμとなります。

 

 そして,無限小ローレンツ変換ではaμν=-aνμなので,これはJα=(T/2)aμν(Xμαν-Xναμ)と変形されます。

元々ネーターカレントには係数だけの曖昧さがあります。

 

上のPαμ≡T∂αμを運動量密度カレントと見なし,Jαμνを角運動量密度カレントと見れば,δXμ=aμννに関連したネーターカレントは一般の角運動量lμνの定義lμν≡xμν-xνμと比較して,Jαμν≡T(Xμαν-Xναμ)と定義するのが妥当と思われます。

このときには,Jα=aμνμνα/2であり,∂αα=0 と∂ααμν=0 が同値になります。

 

(訳注19終わり)※

 α{Pαμ}は2次元世界面のD次元時空における平行移動不変性に関わるカレントです。

  

 また,α≡{Jαμν}は2次元世界面のD次元時空におけるローレンツ不変性に関わるカレントです。

 

 これらのカレントの保存は,∂αα=0,∂αα=0 で記述されます。そこで,α,αは2次元世界面上のD次元運動量密度,角運動量密度を記述していると考えられます。

 したがって,例えば,世界面の任意の線素片d=(dσ,dτ)を横切って流れる総運動量dP={dPμ}は,dP=Pτdσ+σdτで与えられます。

そこで,開弦の場合なら,端点における境界条件の式-T∫dτ[(Xμ'δXμ)|σ=π-(Xμ'δXμ)|σ=0]=0 の左辺は,σ=0,πの端点ではdσ=0 なので,∫dτσδXμ|σ=π-∫dτσδXμ|σ=0 =∫dδXμ|σ=π-∫dδXμ|σ=0となります。

 

これが消えるという要求は,任意のτで弦の端点σ=0,πにおける変分δXμは任意なので,∫d|σ=π=0,かつ∫d|σ=0=0 なることを意味します。

つまり,これは実際に端点からの弦の運動量の出入りがないことを意味し,開弦の端点での境界条件σ=0,πでXμ'≡∂Xμ/∂σ=0 :弦Xμの法線成分が弦の境界で消えるということと同値です。

 

同様な命題は,角運動量密度カレントα≡{Jαμν}にも当てはまります。

そして,1つの弦の保存するD次元総運動量,総角運動量の成分は密度カレントPαμ=T∂αμ,Jαμν=T(Xμαν-Xναμ)のうちで,P0μ=Pτμ,J0μν=Jτμνをτ=0 においてσで積分すれば得られます。

例えば閉弦では,Xμ(σ)=XRμ)+XLμ);σ=τ-σ, σ=τ+σ;XRμ=(1/2)xμ+(1/2)l2μ(τ-σ)+(i/2)lΣn≠0[(αnμ/n)exp{-2in(τ-σ)}],XLμ=(1/2)xμ+(1/2)l2μ(τ+σ)+(i/2)lΣn≠0[(α~nμ/n)exp{-2in(τ+σ)}](α0μ=α~0μ≡lpμ/2)です。

 

そこで,∂Xμ/∂τ=∂XRμ/∂τ+∂XLμ/∂τなので,τ=0 では∂XRμ/∂τ=(1/2)l2μ+lΣn≠0nμexp(2inσ)],∂XLμ/∂τ=(1/2)l2μ+lΣn≠0[α~nμexp(-2inσ)]です。

したがって,πTl2=1より,Pμ=T∫0πdσ{(∂Xμ/∂τ)|τ=0}=πTl2μ=πTl2μ=πT(lα0μ+lα~0μ)=pμなる等式が得られます。

 

そこで,弦の総運動量Pμは,0-モードα0μ,α~0μの運動量pμと同じものであることがわかります。

 

開弦でも,α0μ=lpμでPμ=pμ=πTlα0μなので同じです。

一方,総角運動量は,Jμν=T∫0πdσ[{Xμ(∂Xν/∂τ)-Xν(∂Xμ/∂τ)}|τ=0]で与えられます。

  

このXμ,(∂Xν/∂τ)etc.にモード展開を代入すれば,開弦ではJμν=lμν+Eμν,閉弦ではJμν=lμν+Eμν+E~μνと分解されます。ここに,lμν≡xμν-xνμは 0-モードの角運動量です。

そして閉弦では,0-モード以外の角運動量はEμν=-n=1[(α-nμαnν-α-nναnμ)/n],およびE~μν=-iΣn=1[(α~-nμα~nν-α~-nνα~nμ)/n]で表わされます。

(訳注20):最後に記述した総角運動量Jμνの閉弦でのモード展開式を証明します。

 

 τ=0 では,Xμ=xμ+(il/2)Σn≠0[{αnμexp(2inσ)+α~nμexp(-2inσ)}/n],∂Xμ/∂τ=l2μ+lΣn≠0nμexp(2inσ)+α~nμexp(-2inσ)}です。

 そこで,Xμ(∂Xν/∂τ)-Xν(∂Xμ/∂τ)=l2(xμν-xνμ)+lΣn≠0{(xμαnν-xναnμ)exp(2inσ)+(xμα~nν-xνα~nμ)exp(-2inσ)}+(il3/2)Σn≠0[{(αnμν-αnνμ)exp(2inσ)+(α~nμν-α~nνμ)exp(-2inσ)}/n]+(il2/2)Σm≠0Σn≠0[{αmμexp(2imσ)+α~mμexp(-2imσ)}{αnνexp(2inσ)+α~nνexp(-2inσ)}/m-{αmνexp(2imσ)+α~mνexp(-2imσ)}{αnμexp(2inσ)+α~nμexp(-2inσ)}/n]です。

これの両辺に,T∫0πdσを掛けてπTl21を用いると,Jμν=xμν-xνμ-iΣn=1[(α-nμαnν-α-nναnμ)/n]-iΣn=1[(α~-nμα~nν-α~-nνα~nμ)/n]が得られます。

ついでに総角運動量Jμνの開弦でのモード展開もやっておきます。 

τ=0 では,Xμ=xμ+ilΣn≠0nμcos(nσ)/n},∂Xμ/∂τ=l2μ+lΣn≠0αnμcos(nσ)です。

そこで,Xμ(∂Xν/∂τ)-Xν(∂Xμ/∂τ)=l2(xμν-xνμ)+lΣn≠0{(xμαnν-xναnμ)cos(nσ)}+il3Σn≠0{(pμαnν-pναnμ)cos(nσ)/n}+il2Σm≠0Σn≠0[(αmμαnν-αmναnμ)cos(mσ)cos(nσ)/m]です。

 

これの両辺にT∫0πdσを掛けると,Jμν=xμν-xνμ-iΣn=1[(α-nμαnν-α-nναnμ)/n]を得ます。

 

(訳注20終わり)※

 今は保存量である弦の総運動量,総角運動量を,τ=0 における保存カレントをσにわたって積分することで得ましたが,弦の世界面を1回切る任意の空間的(space-like)な曲線にわたって積分しても同じです。

これらの式の使用例として,定数Tが弦の張力という意味を持つことを証明します。

 

1つの自由閉弦としてt=0 でxy面で半径Rの円を取り,パラメータσをτ=t=0 での弦の弧の長さ,言い換えると偏角に比例するとします。x=Rcos(2σ),y=Rsin(2σ)(0≦σ≦π)とします。

 

れは,τ=t=0 の近傍でt=2Rτとすれば運動方程式□Xμ=(∂2/∂τ2-∂2/∂σ2)Xμ=0 と拘束方程式T10=T01=-d'=0,T00=T11=-[(d)2'2]/2=0 の全てを満足します。ただし前と同様,ddot≡∂/∂τ,'≡∂/∂σ etc.です。

※(訳注21):X0=t=0 では,閉弦をX1=Rcos(2σ),X2=y=Rsin(2σ),Xμ=0 (μ=3,4,..,D-1)とすると,この初期条件を満たす□Xμ=(∂2/∂τ2-∂2/∂σ2)Xμ=0 の解Xμは,X0=t=kτ(k>0),X1=(R/2)[cos{2(τ-σ)}+cos{2(τ+σ)},X2=(R/2)[-sin{2(τ-σ)}+sin{2(τ+σ)},Xμ=0 (μ=3,4,..,D-1)です。

そこで,X0d=k,X1d=-R[sin{2(τ-σ)}+sin{2(τ+σ)}],X2d=-R[cos{2(τ-σ)}-cos{2(τ+σ)},X0'=0,X1'=R[sin{2(τ-σ)}-sin{2(τ+σ)}],X2'=R[cos{2(τ-σ)}+cos{2(τ+σ)}です。

 

そこで,拘束方程式:d'=0 はX0によらずX1d1'+X2d2'=0 に帰着します。

 

今の場合,左辺を計算するとX1d1'+ X2d2'=-R2[sin2{2(τ-σ)}-sin2{2(τ+σ)}+cos2{2(τ-σ)}-cos2{2(τ+σ)]となるのでこの拘束条件は恒等的に満たされています。

一方,もう1つの拘束:(d)2'2=0 は,(X0d)2-(X1d)2-(X2d)2-(X1')2-(X2')2=0 と書けますが左辺はk2-4R2に等しいことがわかるので,k>0,R>0より,k=2Rを得ます。

 

すなわち,X0=t=2Rτであれば,運動方程式も拘束条件も全て満足されます。(訳注21終わり)※

さて,Pμ=T∫0πdσ{(∂Xμ/∂τ)|τ=0}=pμでしたから,(∂X0/∂τ)|τ=0=X0d=k=2Rより,特にP0=p0=T∫0πdσ{(∂X0/∂τ)|τ=0}=2πRTです。

  

0=p0は,弦の総エネルギーを表わすものですから,T=P0/(2πR)ということはTは弦の単位長さ当たりのエネルギーです。

 

(エネルギー/長さ)=力ですから,Tは弦の張力と同定されます。

 もう1つの例として,古典レベルでα'=1/(2πT)が開弦のレッジェ勾配(Regge slope)に等しいことを証明します。

 レッジェ勾配はエネルギーの平方の単位当たりの角運動量ですが,これはx=Acosτcosσ,y=Acosτsinσ(0≦σ≦π)に従ってxy平面内で自転する開弦によって最大化されます。

 

 すなわち,この例ではX0=t=Aτ=(A/2){(τ+σ)+(τ-σ)},X1=x=Acosτcosσ=(A/2){cos(τ+σ)+cos(τ-σ)},X2=y=Acosτsinσ=(A/2){sin(τ+σ)+sin(τ-σ)}なので,これらは確かに□Xμ=(∂2/∂τ2-∂2/∂σ2)Xμ=0 の解です。

 

 さらに,この解は拘束方程式T10=T01=-d'=0,T00=T11=-[(d)2'2]/2=0 も満たしていることがわかります。

そして,開弦のエネルギーは,P0=p0=T∫0πdσ{(∂X0/∂τ)|τ=0}=πAT,開弦の角運動量はJμν=T∫0πdσ[{Xμ(∂Xν/∂τ)-Xν(∂Xμ/∂τ)}|τ=0]より,J12=T∫0πdσ[{X1(∂X2/∂τ)-X2(∂X1/∂τ)}|τ=0]=πA2T/2となります。

 

そこで,最大角運動量J12をエネルギーP0の平方で割ると,α'=1/(2πT)になることがわかります。

 

そこで,α'=1/(2πT)は粒子の角運動量を縦軸,粒子のエネルギーの平方,または粒子質量の平方を横軸にして素粒子,共鳴粒子をプロットしてつないだレッジェ軌跡の傾きと同定されるわけです。

 

さらに,この開弦の端点では常に|∂x/∂t|2+|∂y/∂t|2=1が成立することがわかります。

 

これは端点が,"光速=c=1"で運動していることを意味します。

 

弦の端点が光速で運動するのは,境界条件Xμ'=0 の拘束方程式に伴なう一般的な帰結です。

今日はここまでにします。 

参考文献:M.B.Green,J.H.Schwarz,& E.Witten著「superstring theory」(Cambridge University Press)

 

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2009年3月20日 (金)

超弦理論(14)(2-3)

まだ,数論や代数幾何関連の原稿がまとまらないので,超弦理論(superstring theory)の続きでつなぎます。

αβ≡∂αμβμと定義しG≡|detGαβ|とおけば,場の方程式δS/δhαβ=0 によってエネルギー運動量テンソルTαβが消えるということは,Gαβ=(1/2)hαβα'β'α'μβ'μ=(1/2)hαβα'β'α'β',G=(1/4)h(hαβαβ)2なる式が成立することを意味します。

そこで,∫Σ2σ1/2αβαβ=∫Σ2σ1/2とも書けます。この係数を除いた作用の表現∫Σ2σ1/2は南部(Nambu)によって初めて提案された世界面Σの面積を厳密に表わす公式です。

 弦についての力学と量子化の次の解析のプロセスは,便利なゲージ選択をすることで処理されます。

 

 2つの再パラメータ化と1つのワイルスケーリング(Weil-scaling)という3つの局所対称性が,"hαβの3つの独立成分の任意性=ゲージ選択の自由度"に寄与します。

そして,この自由度を用いるとhαβを平坦なミンコフスキー計量ηαβに選択することが正当化されます。

 

この便利な計量の選択を採用すれば,弦の作用S=-(T/2)∫d2σ1/2αβαμβμはS=-(T/2)∫d2σηαβαμβμ=-(T/2)∫d2σαμαμに単純化されます。

 この簡単化された作用の変分原理から導かれるオイラー・ラグランジュの方程式は,単純な2次元の自由波動方程式になります。すなわち,□Xμ=(∂2/∂τ2-∂2/∂σ2)Xμ=0 です。

これは開弦の場合には必要条件ですが,両端を固定しない一般変分Xμ→Xμ+δXμの下での作用S=-(T/2)∫d2σηαβαμβμの不変性を保証するには十分ではありません。

一般に,変分Xμ→Xμ+δXμの下でのSの変分は□Xμ=(∂2/∂τ2-∂2/∂σ2)Xμ=0 に比例する体積項だけでなく,-T∫dτ[(Xμ'δXμ)|σ=π-(Xμ'δXμ)|σ=0]で表わされる表面項を含みます。

 

この表面項が消えることを要求することから開弦の境界条件が得られます。ただしXμ'≡∂Xμ/∂σなる記法を用いています。

一方,閉弦については,□Xμ=(∂2/∂τ2-∂2/∂σ2)Xμ=0 とXμのσに関する周期性がSの停留性δS=0 を保証するのに必要かつ十分です。

2次元では,こうしたゼロ質量の運動方程式□Xμ=(∂2/∂τ2-∂2/∂σ2)Xμ=0 の一般解は2つの任意関数XRμ,XLμの和で表現できます。

 

すなわち,Xμ(σ)=XRμ)+XLμ);σ≡τ-σ,σ≡τ+σです。XRμは弦の右に進むモードを表わし,XLμは弦の左に進むモードを表わします。σは世界面の光円錐座標と呼ばれます。

σ±に共役な微分∂±を∂±≡(∂τ±∂σ)/2で定義します。すると光円錐座標ではミンコフスキー世界面の計量テンソル成分は次のようになります。

 

すなわち,η+-=η-+=1/2,η++=η--=0 です。つまりηαβdσαdσβ=dτ2-dσ2=dσdσ=(1/2)dσdσ+(1/2)dσdσですね。

そこで,これらの逆はη+-=η-+=2です。それ故,世界面の添字は規則 U=2U,U=2Uによって,交差的に上げ下げされます。光円錐座標では∂σ=(∂τσ+∂σσ)/2=0 なので,∂Rμ)=(∂σ)(dXRμ/dσ)=0 ,同様に∂σ=0 より∂Lμ)=0 です。

また,∂σ=(∂τσ+∂σσ-+)/2=1ですから,∂Lμ)=dXLμ/dσです。同様に,∂Lμ)=dXRμ)/dσです。

 

それ故,確かに∂±=∂/∂σ±であり,∂μ=∂Lμ,∂μ=∂Rμと書けます。

波動方程式:□Xμ=(∂2/∂τ2-∂2/∂σ2)Xμ=4∂μ=0は,さらに拘束方程式Tαβ=0 で補足されます。

 

σ微分:Xμ'≡∂Xμ/∂σに対して,τ微分をXμd≡∂Xμ/∂τで記述すると,拘束方程式Tαβ=0 は次のように書けます。

 

すなわち,T10=T01=-d'=0 ,かつT00=T11=-[(d)2'2]/2=0 です。

世界面のエネルギー運動量テンソルTαβをテンソル解析の標準規則に従ってσ±座標系で書けば,まず,T++=(1/4)(T00+T01+T10+T11)=(1/2)(T00+T01)=-∂,T--=(1/4)(T00-T01-T10+T11)=(1/2)(T00-T01)=-∂です。

 

そして,T+-=(1/4)(T00-T01+T10-T11)=(1/4)(T00-T11),T-+=(1/4)(T00+T01-T10-T11)=(1/4)(T00-T11)です。

αβのトレース:hαβαβがゼロであることは,T+-=T-+=0 を意味します。

 

αβは対称テンソル故,T01=T10は当然ですからT+-=T-+=0 はT00=T11に同等ですが,既にT00=T11=-[(d)2'2]/2=0 ですから,この要求は自動的に満たされています。

トレースがゼロという既に満たされている恒等式+-=T-+=0 を除けば,拘束条件Tαβ=0 はT--=T++=0 に帰着します。

また,T++=-∂,T--=-∂ですが,∂=∂LLd,∂=∂RRdですから,T++=-(Ld)2,T--=-(Rd)2です。

 

それ故,拘束条件T--=T++=0 は(Rd)2=(Ld)2=0 なることを意味します。

また,2次元のエネルギー運動量保存則は∂βαβ=0 と書けますが,これは光円錐座標では∂+++∂+-=0 かつ∂-++∂--=0 となります。

 

ここで,∂=2∂,∂=2∂なので,これらは∂+++∂+-=0 かつ∂-++∂--=0 と同値です。

 

共形不変な場合には,トレースレスなので恒等的にT+-=T-+=0 ですから,結局∂++=0 かつ∂--=0 となります。

++0 というのはT++にとっては非常に強力な命題です。例えばf(σ)がσの任意関数とすると,当然∂f=0 ですから∂++=0 から∂(fT++)=0 となります。

  

具体的には,カレントfT++によるチャージをQf≡∫dσ(f(σ)T++(σ)}とすると,dQf/dτ=∫dσ{∂(fT++)/∂σ}=0 ですから,Qfが保存量になるわけです。f(σ)は任意なので,Qfの全体は保存量の無限集合を構成します。

このように共形不変性が保存量の1つの無限集合に結びつくのは,2次元時空のみの特徴です。たった今見出されたようにT--=-(Rd)2,およびT++=-(Ld)2が保存量であることは,拘束条件(Rd)2=(Ld)2=0 が保存されることを意味します。

拘束条件として(Rd)2,(Ld)2をゼロと置くということが意味を持つのは,それらが時間が経過しても保存されるからです。

 

そうした(Rd)2,(Ld)2が保存されるということは,ある時刻にこれらが消えるなら,その後のあらゆる時刻にも消えることを意味します。

弦理論では,今問題にしている保存量はゲージ固定をした後でもまだ残っている対称性に対応しています。すなわち,共変ゲージの典型的な形としてhαβ=ηαβと置くだけでは,まだゲージ自由度を完全には使い尽くしていません。

これを見るため,次のような再パラメータ化+ワイルスケーリングの∂αξβ+∂βξα=Ληαβを満たす任意の組合わせに対してゲージ選択:hαβ=ηαβがなお保持されることに着目します。

(訳注14):先に述べたSを不変に保つ再パラメータ化:σα→σα+δσα(δσα=ξα)と,それに伴なうδXμ=ξααμ,δhαβ=ξγγαβ-∂γξαγβ-∂γξβαγ,δh1/2=∂αα1/2),およびワイルスケーリングδhαβ=Λhαβにおいて,hαβ=ηαβ(h=1),∂αξβ+∂βξα=Ληαβとすると,

 

 再パラメータ化:δhαβ=-∂βξα-∂αξβ=-Ληαβとワイルスケーリング:δhαβ=Ληαβが相殺してトータルの変分がδhαβ=0 ,またはηαβ→ηαβ+δhαβ=ηαβとなります。※

このとき,∂τξ0=∂σξ1=Λ/2,∂τξ1=∂σξ0より,∂τ0+ξ1)=∂σ0+ξ1),∂τ0-ξ1)=∂σ1-ξ0)です。

 

つまり,これはξ±=ξ0±ξ1なる光円錐系の言葉では∂ξ=0 ,∂ξ=0 ,すなわちξはσ=τ+σの任意関数,ξはσ=τ-σの任意関数であることを意味します。

世界面の再パラメータ化δσα=ξαを演算子V^≡ξα(∂/∂σα)で生成される変換と考えるなら,共変ゲージ選択hαβ=ηαβの後にもなお残る対称性変換を生成子V≡ξ)(∂/∂σ),V≡ξ)(∂/∂σ)で表現することができます。

 

この対称性は,後節で光円錐ゲージを導入する際にも用います。

かくして,ネーター保存量として∂(fT++)=0 から保存チャージQf≡∫dσ(f(σ)T++(σ)},dQf/dτ=0 を与えるものが,ξ=fT++としてV≡ξ)(∂/∂σ)で生成される対称性であることがわかります。

演算子≡ξ)(∂/∂σ),V≡ξ)(∂/∂σ)は2次元ミンコフスキー空間における共形変換群の生成子です。そして,唯一2次元においてのみ,共形群は生成子が無限個存在する無限次元表現を持ちます。

(※(訳注):このことが,他の薄膜などの3次元以上の粒子モデルとは異なり,無限個の素粒子,複合粒子,共鳴粒子たちの連鎖を無限個の弦のモード(共鳴振動数)として記述できる弦モデルの優位性の源です。)

さて,こうして2次元のコンパクト多様体の2つの型の境界条件に対応するトポロジーとして閉弦と開弦があるわけですが,閉弦は自由端を持たないループなので位相的には円と等価です。

 

これに対し適切な境界条件は空間座標に対する周期性です。これは今の単位ではXμ(σ,τ)=Xμ(σ+π,τ)です。

この周期性に堪える運動方程式の一般解μ(σ)=XRμ)+XLμ);σ=τ-σ,σ=τ+σの右辺の項は次のように表わすことができます。

 

すなわち,XRμ=(1/2)xμ+(1/2)l2μ(τ-σ)+(i/2)lΣn≠0[(αnμ/n)exp{-2in(τ-σ)}],XLμ=(1/2)xμ+(1/2)l2μ(τ+σ)+(i/2)lΣn≠0[(α~nμ/n)exp{-2in(τ+σ)}]です。

 

ここで,αnμ,α~nμはフーリエ成分ですが,これは振動子座標と解釈されます。

lは基本的長さと名付けられる量で,これはh/(2π)=c=1なる自然単位で,レッジェ軌跡(Regge trajectory)の傾きパラメータα'および弦の張力Tと,l=(2α')1/2=1/(πT)1/2で関連付けられます。しかし,後節では一般にl=1と設定されます。

μ,およびpμについては,それぞれ,弦の質量中心(重心)の位置の座標,および運動量と解釈されます。展開における(1/2),(i/2)などの規格化定数は後の計算の整合性のために選ばれています。

μ=XRμ+XLμにおいてはXRμとXLμでのσの1次の項が相殺されるため,閉弦の境界条件:Xμ(σ,τ)=Xμ(σ+π,τ)は確かに満たされています。

 

μ,XRμ,XLμは元々世界面座標であってσの実数値関数ですから,xμ,およびpμは実数でありα-nμはαnμのα~-nμはα~nμの共役です。すなわち,α-nμ=(αnμ),α~-nμ=(α~nμ)です。

そして,振動子座標αnμ,α~nμのポアソン括弧(Poisson's bracket)を決めることも本質的な作業です。

この作業を実行するために,S=-(T/2)∫d2σηαβαμβμからXμとXμdの同時刻(同じτ)でのポアソン括弧が[Xμ(σ,τ),Xν(σ',τ)]P.B.=[Xμd(σ,τ),Xνd(σ',τ)]P.B.=0 ,[Xμd(σ,τ),Xν(σ',τ)]P.B.=T-1ημνδ(σ-σ')で与えられることに着目します。

(訳注15):S=-(T/2)∫d2σηαβαμβμ=-(T/2)∫d2σ(Xμdμd-Xμ'Xμ')です。そこで,-δS/δXμd=Pμ=TXμdです。

 

 それ故,正準括弧式[Pμ,Xν] P.B.=δμνは,[TXμd,Xν]P.B.=δμν,または[Xμd,Xν] P.B.=T-1δμνを意味しますから,[Xμd,Xν] P.B.=T-1ημνを得ます。(訳注15終わり)※

これらのポアソン括弧式に,XRμ(1/2)xμ+(1/2)l2μ(τ-σ)+(i/2)lΣn≠0[(αnμ/n)exp{-2in(τ-σ)}],XLμ=(1/2)xμ+(1/2)l2μ(τ+σ)+(i/2)lΣn≠0[(α~nμ/n)exp{-2in(τ+σ)}]を代入することから,

 

mμnν]P.B.=[α~mμ,α~nν]P.B.=imδm+nημν,[αmμ,α~nν]P.B.=0 が得られます。

 

(※この後に量子化して,ポアソン括弧を交換子で置き換えると,[αmμnν]P.B.=[α~mμ,α~nν]P.B.=imδm+nημνの右辺の係数iが実数-1 になります。※)

(訳注16):(証明)Xμ=xμ+l2μτ+(i/2)lΣn≠0[(1/n)(αnμexp{-2in(τ-σ)}+α~nμexp{-2in(τ+σ)})],Xμd=l2μ+lΣn≠0nμexp{-2in(τ-σ)}+α~nμexp{-2in(τ+σ)}]です。

 

 そこで,m≠0 なら,(1/π)∫0πexp(-2imσ)Xμ(τ,σ)dσ={il/(2m)}{αmμexp(-2imτ)-α~-mμexp(2imτ)},(1/π)∫0πexp(-2imσ)Xμd(τ,σ)dσ=l{αmμexp(-2imτ)+α~-mμexp(2imτ)}です。

 したがってnμ={exp(2inτ)/(iπl)}∫0πdσ[exp(-2inσ)(iXμd/2+nXμ)],α~nμ={exp(2inτ)/(iπl)}∫0πdσ[exp(2inσ)(iXμd/2+nXμ)]です。

 

 それ故,[αmμnν]P.B.=[exp{2i(m+n)τ}/(-π22)]∫0πdσ∫0πdσ'[exp(-2imσ-2inσ')[iXμd(σ,τ)/2+mXμ(σ,τ),iXνd(σ',τ)/2+nXν(σ',τ)]P.B=[exp{2i(m+n)τ}/(-π22T)]{iημν(n-m)/2}∫0πdσ[exp{-2i(m+n)σ}]=imημνδm+n/(π22T)です。

 

 結局,[αmμnν]P.B.=imδm+nημνが得られます。

 ここで,前に述べた等式l=1/(πT)1/2によって,π22T=1となることを用いました。また,δm+nなる記号はm+n=0なら1,m+n≠0ならゼロを意味しています。

 ほぼ同様にして,[α~mμ,α~nν]P.B.=imδm+nημνを示すことができます。

 

 また,[αmμ,α~nν]P.B.=[exp{2i(m+n)τ}/(-π22)]∫0πdσ∫0πdσ'[exp(-2imσ+2inσ')[iXμd(σ,τ)/2+mXμ(σ,τ),iXνd(σ',τ)/2+nXν(σ',τ)]P.B=[exp{2i(m+n)τ}/(-π22T)]{iημν(n-m)/2}∫0πdσ[exp{-2i(m-n)σ}]=0 が得られます。(証明終わり)

 

 (訳注16終わり)※   

n≠0 に対する弦の座標のフーリエモードは調和振動子座標です。これは他の自由場に関する経験から予想されたものです。すなわち,ヴァイオリンの弦に関する経験から得られるものと同一です。

特に0μ=α~0μ≡lpμ/2 なる規約を採用すれば,[αmμnν]P.B.=[α~mμ,α~nν]P.B.=imδm+nημν,[αmμ,α~nν]P.B.=0 はm=0 ,またはn=0 の場合にも成立します。

そして,またXRμ=(1/2)xμ+(1/2)l2μ(τ-σ)+(i/2)lΣn≠0[(αnμ/n)exp{-2in(τ-σ)}],XLμ=(1/2)xμ+(1/2)l2μ(τ+σ)+(i/2)lΣn≠0[(α~nμ/n)exp{-2in(τ+σ)}]を,[Xμd(σ,τ),Xν(σ',τ)]P.B.=T-1ημνδ(σ-σ')と対照して見比べると,[pμ,xν]P.B.=ημνを得ます。

このことから弦の重心の位置と運動量と予想して同定したxμとpμは確かに正準共役変数であることがわかります。

(訳注17):実際,Xμ=xμ+l2μτ+(i/2)lΣn≠0[(1/n)(αnμexp{-2in(τ-σ)}+α~nμexp{-2in(τ+σ)})],Xμd=l2μ+lΣn≠0nμexp{-2in(τ-σ)}+α~nμexp{-2in(τ+σ)}]より,(1/π)∫0πμ(σ,τ)dσ=xμ+l2μτ,(1/π)∫0πμd(σ,τ)dσ=l2μです。

 

 それ故,xμ=(1/π)∫0π(Xμ-τXμd)dσ,pμ={1/(l2π)}∫0πμddσです。

 

 そこで,[pμ,xν]P.B.=ημνが得られるわけです。

 

 (訳注17終わり)※

一方,開弦の場合には,既に述べたようにδSの表面項:-T∫dτ[(Xμ'δXμ)|σ=π-(Xμ'δXμ)|σ=0]が消えることが要求され,これから境界条件が決まります。

 

すなわち,σ=0 とσ=πにおいて,Xμ'≡∂Xμ/∂σ=0 です。

 

言い換えると,弦Xμの法線成分は弦の境界で消える必要があるということです。

これらは自由端の境界条件です。

 

弦の端からの運動量の流出入を防止するこうした境界条件を持つ波動方程式の一般解は,Xμ(σ,τ)=xμ+l2μτ+ilΣn≠0[(αnμ/n)exp(-inτ)cos(nσ)]で与えられます。

 

開弦の境界条件は左移動成分と右移動成分を結合させてexp(-inτ)cos(nσ)で展開されるような定在波にするという意味があります。

特に,2∂±μ=Xμd±Xμ'=lΣ-∞nμexp{-in(τ±σ)}],(α0μ≡lpμ)です。

閉弦でこれに対応する式は,∂Rμ=XRμd=lΣ-∞nμexp{-2in(τ-σ)}],∂Lμ=XLμd=lΣ-∞[α~nμexp{-2in(τ+σ)}](α0μ=α~0μ≡lpμ/2)です。

 

開弦との重要な違いは,閉弦では右移動モードと左移動モードが全く独立なことです。

 

そして指数部分は開弦ではexp{-in(τ±σ)},閉弦ではexp{-2in(τ±σ)}であって余分な2という係数因子があるのが異なる点です。これ以外に異なる点はありません。

(訳注17):開弦Xμ(τ,σ)=xμ+l2μτ+ilΣn≠0[(αnμ/n)exp(-inτ)cos(nσ)]についても,ポアソン括弧が[Xμ(σ,τ),Xν(σ',τ)]P.B.=[Xμd(σ,τ),Xνd(σ',τ)]P.B.=0,[Xμd(σ,τ),Xν(σ',τ)]P.B.=T-1ημνδ(σ-σ')から,[αmμnν]P.B.を計算してみると,m,nがゼロの場合も含めて,閉弦と同じ関係式:[αmμnν]P.B.=imδm+nημν,および[pμ,xν]P.B.=ημνが得られます。

今日はここまでにします。 

参考文献:M.B.Green,J.H.Schwarz,& E.Witten著「superstring theory」(Cambridge University Press)

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カルトとスピリチュアル(地下鉄サリンから14年)

 14年前の1995年,1月の阪神大震災のショックが治まらないうちに,丁度3月20日に,オウム真理教による地下鉄サリン事件が起きました。はからずも今日はその記念日?です。

 この事件,無差別殺人事件としては既に風化しかかっているようですが,その前の松本サリン被害者の河野夫妻を含め,私にはある意味で殺人よりも重罪ではないか?と思われる罪:人間存在の根源を犯す後遺症に今もなお苦しむ多くの被害者を生み出した事件であると捉えています。

 約2年前2007年3/11の本ブログ記事「 TV朝日「オーラの泉」の流す害毒」において,オウムのような危険なカルトを生み出す可能性があると思うスピリチュアルなものの流行と関連してマスコミ報道の姿勢について記述した記事があり,現在もこれについての私の心境には変化がないので,手抜きですがこれの全文を引用再掲して本日のブログ記事としてお茶を濁します。

※(再掲記事)

 TV朝日で"江原啓之"なる得体の知れない人物と"美輪明宏"らの司会により,芸能人をゲストに呼んで人生相談的なトークを展開する「オーラの泉」という番組が今評判で,今度の番組改変でゴールデンタイムに進出するそうです。

 深夜は何とはなくTVをつけっぱなしなので,こうした番組もつい見てしまうのですが,この種のオカルト番組がゴールデンタイムでお茶の間に垂れ流しになることは,いかがなものかと思います。

 まあ私には関係ないことなのですが,青少年に対する影響などを考えてみると,少し危険かなと思いますね。

 かつて,オカルトとしてユリ・ゲラーなどのブームがありました。

 そして,その延長としてカルト宗教が流行り,洗脳,催眠などを含む社会的に危険なカルトである"麻原=松本"らのオウム真理教などの出現を見たという経緯があります。

 こうしたことから考えてみても,私は非社会的な人間なので一般社会の人々にとっては大きなお世話かもしれませんが,何か危険な兆候を感じ,この番組を批判したいなという心境になりました。

 "スピリチュアル(スピリチァル)なもの=精神世界",あるいは超能力,心霊現象など超自然現象の存在については,私は少しでも科学を齧ったことがある人間の端くれとして,実験することもなしに頭から否定するという態度をとるような無粋な人間ではありません。

 むしろ,人間という限りある命しかない実体が宗教のような精神的支柱にすがりたい気持ちになるのは自然なことだと思います。私自身もこの歳になって,そろそろ何らかの宗教にすがりたいという気持ちになってきています。

 超能力,心霊現象なども旧ソ連,東欧のように科学として研究対象とする方が科学的態度としてはまともであり,人間の体から"赤外線を含む電磁波=オーラ?"が発せられているとか,現ロシアにいるとされる超能力少女の存在とか中国の気功とか,現実に有りそうだと信じるに足りるものはたくさんあります。

 UFOにしてもそれが"エイリアン・クラフト"であるというのは,ちょっと信じられないとしても,未確認飛行物体そのものの存在については否定できないのじゃないかと思っています。

 しかし,たかがスピリチュアルなものについて一連の勉強をしてきた一介の人物が"オーラ"という現象などにかこつけて,出演の芸能人が中世などにおける有名,無名の人物と重なるといったような,その人の前世が見える,などという神にも似たカリスマ的発言を行なうこと。。。

 これに対して一部の芸能人を中心にこの"江原啓之"氏の言動を有りがたく受け取って,いたづらにに無自覚に信奉しているという模様をTVで垂れ流しているTV朝日のスタッフに対しては,フジTVで問題になった「あるある大事典」という番組の例と同じく視聴率を稼ぐことのみに急奔して,彼のカルト的な言動が大勢の視聴者を洗脳するのではないか?,という危険な趣きを持つことを顧みることをしていない,と感じるのは私だけでしょうか?

 これは多くの電気メーカーが"マイナスイオン"とかいういかがわしい"謳い文句=キャッチフレーズ"を出して,明らかに売らんかなの思いのみで消費者を惑わす行動と同様,商業的利益に結びつく視聴率の上昇のみに主眼をおいたTV業界の思惑がからんでいるのでは?と思います。

 (2006年4/19の記事「マイナスイオン」 2006年8/26の記事「ホワイトノイズ,1/f ゆらぎ」参照)

 "江原啓之"氏は占い師の"細木数子"氏と同じく,カウンセラーとしての資質に限って見ていると,非常に優れた人物であると感じています。

 したがって,それだけに専念しているのであれば,私のような部外者が何らクレームをつける筋合いはなく,特に彼に対してのみ個人攻撃を加えるのも潔しとはしません。

 しかし,ゴールデンタイムに公共に電波で流されることの影響に鑑みて,スピリチュアル流行の典型例として槍玉に挙げたまです。

 要するに,前世云々という飛躍的な言動については,私はこれはちょっと行き過ぎではないか?と思い,TVでの垂れ流しについて柄にも無く世間に警鐘を鳴らす必要があるのではないかと思ったわけです。(再掲記事終わり)

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2009年3月17日 (火)

超弦理論(13)(2-2)

2月の初め以来,色々と目移りがして超弦理論(superstring theory)シリーズは疎かになっていました。ほぼ1ヶ月ぶりですが続きです。

 

実は他の題材を書いていましたが,途中でつまづいて苦戦しているので,ツナギとして既にノートがあって書き写すだけのこのシリーズでお茶を濁しています。

さて,弦の作用の表式S=-(T/2)∫dn+1σ1/2αβμν()∂αμβν;(n=1)は一般時空多様体上の弦の伝播に対して定式化されたものですが,今のところは背景空間が平坦なミンコフスキー空間(Minkowski space)である場合の話に集中することにします。

 

この状況での完全な理解が,弦理論の一般化にとって不可欠なプロセスなのです。

平坦なミンコフスキー空間では,上の式の一般の計量(metric)μν()がミンコフスキー計量ημνに変わるので,作用はS=-(T/2)∫d2σ1/2αβαμβμとなります。

 

そして,弦の座標パラメータσ≡(σ01)=(τ,σ)のうち,空間座標に対応するσは,数学的便宜上 0<σ<πなるレンジを持つとします。

こうした平坦な背景空間の場合でも,弦の作用に付加的な項を加えることができます。

D次元のポアンカレ不変性(Poincare's symmetry)や2次元理論の次数勘定くりこみ可能性と矛盾しない付加項の可能性は,次の2つの項のみです。S1=λ∫d2σ1/2,およびS2={1/(2π)}∫d2σ1/2(2)(h)ですね。

最初のS1は2次元の"宇宙定数"項ですが,これはSとは異なってワイル不変性(hαβ→Λhαβの下での不変性)を持たず,その結果,これから得られるものは古典場の方程式としても無矛盾でなくなります。

 

つまり,S+S1に対する運動方程式のトレース(対角和)から,λがゼロでないなら,恒等的にhαβ=0 が成立することが示されます。このように計量が常にゼロというのはちょっと受け入れ難いことです。

また,S2の右辺の表現R(2)(h)は計量hαβから形成される世界面の2次元スカラー曲率を表わす記号です。これは弦の相互作用に関連して重要な役割を果たすのですが,このS2項は我々の目的にとって重要ではありません。 

何故なら,2次元では相互作用結合1/2(2)(h)は1つの全微分項であり,その結果,変分方程式としての古典的な場の方程式には,この項は全く寄与せず,これを付加しても今の自由場の量子化の作業にとって無意味だからです。

というわけで,S1やS2を付加しない元々の作用S=-(T/2)∫d2σ1/2αβαμβμのみで考えます。この作用は前に言及した背景空間の選択に無関係な局所対称性を持っています。

つまり,以下の再パラメータ化不変性を有します。

まず,δXμ=ξααμ,δhαβ=ξγγαβ-∂γξαγβ-∂γξβαγ,δh1/2=∂αα1/2),およびワイルスケーリング:δhαβ=Λhαβに対して作用Sは不変です。

(訳注12):(証明)S=-(T/2)∫d2σ1/2αβαμβμからのδS/δhαβ=0 による運動方程式は∂αμβμ-(1/2)hαβα'β'α'μβ'μ=0 となります。

 

 ξαを微小パラメータとして,σα→σα+ξα:δσα=ξαなる再パラメータ化に対し,Xμ→Xμ+ξααμ,つまりδXμ=ξααμ,δXμ=ξααμです。

 これに対して運動方程式∂αμβμ-(1/2)hαβα'β'α'μβ'μ=0 が不変に保たれる条件は,δ[∂αμβμ-(1/2)hαβα'β'α'μβ'μ]=∂αγγμ)∂βμ+∂αμβγγμ)-(1/2)hαβα'β'{∂α'γγμ)∂β'μ+∂α'μβ'γγμ)}-(1/2)[hαβ(δhα'β')+(δhαβ)hα'β']∂α'μβ'μ=0 です。

 ところで,∂αμβμ(1/2)hαβα'β'α'μβ'μ=0 より,ξγγ(∂αμβμ)-(1/2)ξγαβα'β'γ(∂α'μβ'μ)=(1/2)ξγγ(hαβα'β')∂α'μβ'μです。

 

 それ故,-(1/2)[hαβ(δhα'β')+(δhαβ)hα'β']=-(1/2)ξγ[hαβγα'β'+(∂γαβ)hα'β']+(1/2)hαβγβ'γξα'+(1/2)hαβα'γγξβ'-∂αξα'δββ'-∂βξβ'δαα'を得ます。

最後の式の両辺にhταを掛けるとδτβ(δhα'β')+hτα(δhαβ)hα'β'=δτβξγγα'β'+ ξγτα(∂γαβ)hα'β'-δτβγβ'γξα'-δτβα'γγξβ'+2hτααξα'δββ'+2hταβξβ'δαα'となります。

 

両辺のδτβの係数を比較すると,δhαβ=ξγγαβ-∂γξαγβ-∂γξβαγであれば係数が一致するので,δhαβはこのように表わされると仮定します。

こうすると,-(1/2)hαβ(δhα'β')=-(1/2)ξγαβγα'β'+(1/2)hαβγβ'γξα'+(1/2)hαβα'γγξβ'となります。

 

そこで,残りは-(1/2)(δhαβ)hα'β'=-(1/2)ξγ(∂γαβ)hα'β'-∂αξα'δββ'-∂βξβ'δαα'です。

 

すなわち,(δhαβ)hα'β'=ξγ(∂γαβ)hα'β'+2∂αξα'δββ'+2∂βξβ'δαα'です。

これの両辺にhβ'ρを掛けると,(δhαβα'ρ=ξγ(∂γαβα'ρ+2∂αξα'βρ+2∂βξβ'β'ρδαα'です。

 

α'=ρとしてρ=0,1を加えて縮約すると,2δhαβ=2ξγγαβ+2∂αξρβρ+2∂βξβ'β'αです。すなわち,δhαβ=ξγγαβ+∂αξγγβ+∂βξγαγを得ます。

結局,δhαβ=ξγγαβ-∂γξαγβ-∂γξβαγ,δhαβ=ξγγαβ+∂αξγγβ+∂βξγαγですが,0=δ(δαγ)=δ(hαββγ)=(δhαβ)hβγ+hαβ(δhβγ)が確かに満足されます。

最後に,行列式の公式からδh/h=hαβδhβα=ξγγh/h+∂αξα+∂βξβより,δh=ξγγh+2h∂γξγ,それ故δh1/2=δh/(2h1/2)=ξγγh/(2h1/2)+h1/2γξγ=∂γγ1/2)が得られます。(証明終わり)

 

(訳注12終わり)※

これらに加えて,弦が伝播する背景空間の対称性を反映する大局的対称性があります。これは平坦なミンコフスキー空間では,δXμ=aμνν+bμ,δhαβ=0 で記述されるポアンカレ不変性です。ここで,係数aμν=ημρρνは反対称です。

 

ξαやワイルスケーリングのΛはσの関数ですから局所対称性に関係しますが,aμν,bμは定数なので大局的対称性を示すものです。

さて,2次元の自由弦のエネルギー運動量テンソルαβはSの2次元世界面の計量hαβに関する変分で与えられます。すなわち,Tαβ=(2/T)h-1/2(δS/δhαβ)です。

 

これから,Tαβ=-∂αμβμ+(1/2)hαβα'β'α'μβ'μなる陽な表式が得られます。

 

これを見ると自由弦のエネルギー運動量テンソルTαβのトレース(対角和):Tαα=hαβαβは自動的にゼロになることがわかります。これはワイル対称性からの帰結です。

そして,場の方程式であるδS/δhαβ=0 はTαβ=0 ,すなわち弦のエネルギー運動量テンソルが常にゼロであることを意味します。

(訳注13):まず,2008年6/22の記事「ネーターの定理と電磁エネルギー運動量テンソル」から一部を再掲します。

 

※(再掲):電磁場に限らず,4次元ミンコフスキー空間内のある領域Σに,例えば連続体の各点における変位などを表現した古典的な場φ(x)={φi(x)}があって,系のラグランジアン密度が場φi(x)とその1階微分∂μφi(x)の関数としてi(x),∂μφi (x))で表わされるとします。

このとき,作用積分はS[φ]=∫Σ4i(x),∂μφi (x))で与えられます。そして場の従う基本的な運動方程式はφi(x)の変分に対する作用Sの停留条件:δS=0 から決まります。

 

すなわち,系を支配する運動方程式はδS/δφi(x)=∂/∂φi-∂μ{∂L/∂(∂μφi )}]=0 で与えられます。

 

これはよく知られたオイラー・ラグランジュの方程式です。

そしてネーター(Noether)の定理は"ある連続変換の下で作用Sが不変な場合,それに対応してある保存量が存在する。"というものです。

 

(※中略,そして以下では内容を若干修正しています。)

  

そして,物質のエネルギー運動量テンソルは時空座標の平行移動不変性に対する「ネーター保存量」として与えられます。

 

これの陽な混合テンソル表現はTμν=Σi{∂/∂(∂νφi)}∂μφi-δμνです。反変テンソルの表現では,Tμν=ημρρν=Σi{∂/∂(∂νφi)}∂μφi(x)-ημνとなります。

 

そして,これから平行移動の4つの"生成子=ネーター保存量"はPμ/c=(E,/c)=∫Tμ0(,t)d3で与えられることになります。ここにμは場の4元運動量です。(再掲終わり)※

これによれば,物質場の4次元のエネルギー運動量テンソルはμν=ημρρν=Σi {∂/∂(∂νφi)}∂μφi(x)-ημν(μ,ν=0,1,2,3)で与えられますが,今の物質場が自由弦の2次元世界面座標{Xμ(σ)}(μ=0,1,2,3)である場合には,αβ{/∂(∂βμ)}∂αμ-hαβ(α,β=0,1)になるはずです。

 

ところが,2次元の不変体積要素はh1/22σなので,S=∫d2σ1/2(T/2)∫d2σ1/2αβαμβμから,ラグランジアン密度が(T/2)hαβαμβμと書けるはずなので,自由弦のエネルギー運動量テンソルは,αβ=T[-∂αμβμ+(1/2)hαβα'β'α'μβ'μ]で与えられることがわかります。

これは,本文に書かれた表現:Tαβ=(2/T)h-1/2(δS/δhαβ)=-∂αμβμ+(1/2)hαβα'β'α'μβ'μとは定数倍(因子T)だけ違います。

 

さらに,ワイル不変性は,スケール変換:hαβ→Λhαβの下でSが不変なことを意味します。この変換によってエネルギー運動量テンソルTαβ=(2/T)h-1/2(δS/δhαβ)も確かに不変です。

 

しかし,トレースTαα=hαβαβは,Tαα→Λ-1ααと変換されますから,この変換の下でのトレースの不変性:Λ-1αα=Tααの要求はTαα=0 を意味します。(訳注13終わり)※

今日はここまでにします。 

参考文献:M.B.Green,J.H.Schwarz,& E.Witten著「superstring theory」(Cambridge University Press)

 

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2009年3月13日 (金)

選抜高校野球

 選抜高校野球の組み合わせが決まったらしい。開幕試合が金光大阪(大阪)V.S倉敷工(岡山)だって?

 ウーン生まれ故郷の倉敷の高校で馴染み深い倉敷工と,私の母校:金光学園が母胎である姉妹校の金光大阪,こりゃかなり偶然です。

 どちらを応援しようか迷うところですが,開幕試合だしヒョッとしたら定額給付金を旅費にして,久しぶりに直接甲子園に観に行こうかな。。

 (障害者割引で新幹線自由席で往復1万8千円だから日帰りでも6千円足りないなあ。。まあ,やめておこう。。。

 介護者という名目で誰かと行けば乗車賃だけは2人で1人分ですが特急券は関係なく2人分取られます。)

 昔,開幕戦で倉敷工(岡山)が中京(愛知)に16対15で勝った壮絶な打ち合いも直接外野席(確か無料だった)から見た記憶があります。

 次の試合は,なんと1対0で負けました。(確か相手は原辰徳がいて準優勝した東海大相模? 次の年?の選抜では決勝戦を見に行って金村がエースで投げてて報徳学園が優勝しましたね。)

 倉敷工のエースは,好投手という前評判だったのに風邪かなんかで体調を崩していたのと開幕試合ということであがってしまって,イヤ,高校生だし開会式直後の大観衆の残った開幕ゲームであがってメタメタだったのは相手の優勝候補だった中京も同じだったでしょうね。。。。

 倉敷工は久しぶりですが,また何かあるかも。。。

PS:そうか。。3月14日はホワイトデーだけじゃなく,円周率=π(=3.14..)の日かぁ。。 

 あ,そうだ,ほぼ1年ぶりに北区滝野川から平成6年5月から14年間住んでいた豊島区巣鴨にまた戻ってきた記念日が去年の3月13日だった。。。(2008年3/14の記事「 引越し,孟母三遷,神の意思 」)

 そういえば,約1年前に強制送還に関連して,私が「天下の悪法である」と断じた「入管法(入国管理法)」によって苦しんでいる人がいるらしい。。。(2008年2/6の記事「某マスコミ達の暴挙!日常茶飯事」 参照)

 全く,同じことが,結構何度も繰り返されていて当事者にとっては深刻なのに記事としてはマスコミは,無視したり問題視したりイイカゲンなもんです。。

 最近の殺人事件の判決に関して,私が加害者にも,少しは優しさや情けをあげたらどうかと書いている今日この頃,190人くらいも爆殺した「極悪な人殺し?」の元死刑囚,金賢姫が話題に上っているのも皮肉なことです。

 ("自から撒いた種=「自己責任」(将軍様に責任転嫁するなどは恐れ多い。?)"とはいえ,事件から20年以上経っても自分が殺した被害者の国の針のムシロに座ったままで逼塞せざるを得ない極悪人。。逃げ回っていても時効のない国では死ぬまで仕方がないのでしょう。。)

 (憲法第9条や時効制度,これらは法としては時代錯誤かもしれません。

 別に,私には是とか否とかの強い主張はなく,やめた方がいいという声が大きいなら廃止してもいいとは思うけれど,その理由が他の国,特に先進国には既にこういうものはないから,とかいうのだったらやめてね。。

 別に全て欧米のまねをする必要はなく,ちゃんとした理由があれば日本独自の文化として残すのもアリでしょうから。。)

 ブルートレインというと,今はどうしているか知らないけどN大の理工学部数学科?の万年助手?だと言っておられたSFの大ファンでもあったM前(Mさき)さん(私より3つくらい年上?)は「鉄の人」だったので,私の勤務した2つ目の会社で東京から広島や奈良などへの何度かの出張では大体彼の提案で,行きは全部「銀河」の夜行列車に乗って行きましたねぇ。

(ところで,私立大だと公務員じゃないので正規の教員でも副業をやってもよかったんでしょうかねえ。。??)

 彼は結構酒クセが悪く,最終電車の頃に飯田橋駅の非常ベルを鳴らして駅員と口論しているところを通りかかったときには,知らない人のフリをして逃げました。

 また,2人でコージー・コーナーでマロン・シャンデリーを食べながらワインを飲んでいたら,同じ会社の同輩に見つかって2人とも味覚が変態だと思われたこともありました。。なつかしいですね。。

 (彼は灘高から東大というお決まりのコースの関西人だったので,昔私が灘高生の家庭教師をしていたという話をすると,本気なのかどうか「灘高生は家庭教師などされることはないからウソだ!」とか怒りました。

 しかし,事実なんだからしょうがないでしょう。。まあ,私以上の典型的な気分屋のオッチョコチョイでしたね。。)

 M前さんについては,2007年7/29の記事「遅い粘性流(3)(Oseen近似)」でもちょっとだけふれています。

 将棋の中原16世名人引退に関連して。。。「ねこじゃらしさん」の谷川プロ応援ページ で見たら私が大ファンの谷川先生(17世名人)は危なかったけれど最終局に勝ってA級に残留したみたいです。

 まだ,若いので偶にはタイトルを取ってもらいたいです。(PSのPS:LEARNさんの日記によると同郷の有吉道夫九段(73歳)は,最終局(相手は22歳)に勝って引退を免かれたそうです。。すごい。。)

 結局,今日はニュースを見て思いついたことを全部書いてしまいました。

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2009年3月11日 (水)

フェルマー(Fermat)の定理と類体論(1)

深いところでは関係するかもしれないけれど,通常は物理とは関係ないような数学の話も偶にはしようかなと思います。

 

代数学,数論関連については,恐らく2007年1/14~1/29のシリーズ記事ガロア理論(1) 」 ~ガロア理論(6)」同じく2007年2/25の「円分多項式のガロア群 」や2007年5/25の[代数的数と超越数 」,2007年7/27の「 eとπの超越性],

 

それに続く2007年8/11の記事「リーマン予想と素数定理 」2007年8/17の「代数学の基本定理」以来のことでしょうか。

 

偶には考えないとカビが生えてしまいそうです。

 

数論について読んだ本というと,入門程度なら20年以上前にアーベルやガロアの「代数方程式のベキ根による解法」に対する興味と関連して通読した松坂和夫著の「代数系入門」や,最近では量子暗号に対する興味と関連して,かつてニフティのサイエンスフォーラムの数学会議室議長だったプークさん(鈴木治郎氏)が訳された「はじめての数論」を通読した程度です。

 

(2006年5/4の記事「公開キー暗号(神はサイコロ遊びをなさる)」参照)

今回は,ある程度は予備知識があることを前提に,まずは加藤和也,黒川信重,斉藤毅著「数論I」(Fermatの夢と類体論)(岩波書店)を参考に,10年くらい前に証明されたばかりのFermatの定理や高木貞治氏の研究で有名な類体論などを含む代数的数論関連の領域について言及してみたいと思います。

まず,楕円曲線と有理点について記述します。

 

ただし有理数体の上の楕円曲線とはy2=ax3+bx2+cx+d(a,b,c,d∈,a≠0),かつ右辺は重根を持たないというの形の3次方程式で定義される曲線です。

 

今日は,まず楕円曲線による方法の導入のため,"3以上の整数nについて,xn+yn=znを満たす自然数x,y,zは存在しない。"というフェルマーの定理のうちのn=4の場合の次の命題を証明することから始めます。

[命題1.1]:x4+y4=z4を満たす自然数x,y,zは存在しない。

この命題の証明の1つはフェルマー(Fermat)が書き残しています。

 

彼の証明を現代風に解釈するなら,それは[命題1.1]の証明を次の楕円曲線y2=x3-xに関する[命題1.2]の証明に帰着させるものと考えられます。

[命題1.2]:y2=x3-xの有理数解は(x,y)=(0,0),および(±1,0)のみである。

実際,もしも[命題1.1]が成立せずx4+y4=z4を満たす自然数x,y,zが存在するなら,x4=z4-y4の両辺にz2/y6を掛けると(x2z/y3)2=(z3/y3)2-z2/y2となります。

 

これはy2=x3-xにy≠0 の有理数解(x,y)が存在することを意味し,これは[命題1.2]に反しますから,[命題1.2]が成立するなら[命題1.1]が成立しなければなりません。

[命題1.2]は次の[補題1.3]のd=1の特別な場合になっています。

[補題1.3]:dを正の有理数とすると,次の条件(ⅰ)~(ⅲ)は全て同値である。

ⅰ)3辺の長さが有理数で面積がdの直角三角形が存在する。

(ⅱ)有理数の平方となる3つの数で,公差がdの等差数列をなすものが存在する。

(ⅲ)y2=x3-d2xの有理数解が(x,y)=(0,0),(±d,0)以外にも存在する。

[補題1.3]の条件(ⅰ)~(ⅲ)は,それぞれ次の[補題1.4]でK=としたときに与えられる集合Ad,Bd,Cdが空集合でないことを意味するので,[補題1.4]が成立することを示せば[補題1.3]も従います。

[補題1.4]:Kを標数が2でない体とするとき,d∈Kに対して集合Ad,Bd,CdをAd≡{(x,y,z)∈K×K×K;x2+y2=z2,xy/2=d},Bd≡{(u,v,w)∈K×K×K;u2+d=v2,v2+d=w2},Cd≡{(x,y)∈K×K;y2=x3-d2x,y≠0}と定義する。

 

 このとき,Ad,Bd,Cdの間に全単射が存在する。

(ただし標数というのはを環とするとき,その乗法の単位元をいくつ加えたらゼロになるかという最小の数のことを意味します。通常の有理数体などを環と考えたときの標数はゼロです。)

(証明)まず,(x,y,z)∈Ad,すなわちx2+y2=z2,xy/2=dのとき,(u,v,w)=((y-x)/2,z/2, (x+y)/2)とすれば,u2+d=v2,v2+d=w2,より(u,v,w)∈Bdです。

 

 逆に,(u,v,w)∈Bdなら,(x,y,z)=(w-u,w+u,2v)とすれば(x,y,z)∈Adです。これは互いに逆写像となる全単射です。

 次に(u,v,w)∈K×K×K;u2+a=v2+b=w2+cのとき,(x,y)=f(u,v,w)≡(u2+a+uv+vw+wu,(u+v)(v+w)(w+u))とすれば,y2=(x-a)(x-b)(x-c)となります。

 

 これには逆写像が存在し,それはg(x,y)=({(x-a) 2+(b-a)(c-a)}/(2y),{(x-b) 2+(c-b)(a-b)}/(2y),{(x-c) 2+(b-c)(a-c)}/(2y))で与えられます。

 

 特にa=d,b=0,c=-dとおけば,これはBd ⇔ Cd の全単射を表わします。(証明終わり)

※[補題1.4]の証明からのおまけ:

 [補題1.4]の結論のような全単射ではないですが,(u,v,w)∈K×K×K;u2+a=v2+b=w2+cに対する写像を,(x,y)=h(u,v,w)≡(u2+a,uvw)で定義すれば,明らかにy2=u222=(x-a)(x-b)(x-c)となります。 ※

さて,以下ではK=として[命題1.2]を証明します。

まず,有理数a∈の高さ(a)を,aをa=m/nと既約分数に表わしたとき(a)≡max(m,n)によって定義します。

 

そして,y2=x3-xに(0,0),(±1,0)以外にも有理数解が存在すると仮定しx座標の高さが最小のものを(x0,y0)とします。

 

もしもx座標の高さが最小の有理数解が複数個あればその中の1つを(x0,y0)とします。

一般に,y2=x3-d2xに(0,0),(±d,0)以外の有理数解(x,y)が存在すれば,もちろんx≠0,y≠0 ですが,この等式の両辺にd4/x4を掛けると(d2y/x2)2=d4/x-(d2/x)3となります。

 

そこで,y2=x3-d2xに(0,0)と異なる有理数解(x,y)∈×が存在すれば,(-d2/x,d2y/x2)も(0,0)と異なる有理数解です。

ここで,特にd=1とすると,もしもy2=x3-xに(0,0)とは異なる有理数解(x,y)∈×が存在すれば,(-1/x,y/x2)も同じ楕円曲線上にある有理数解であるということになります。

そして(x)=(-1/x)ですから,x0<0 の場合には-1/x0 を新しくx0に取っても,高さは同じなので問題ないことがわかります。そこで,x0>0 を満たすy2=x3-xの解を(x0,y0)として採用します。

こう選ぶと,y02=x03-x0により,x0(x0-1)(x0+1)=y02>0 であって,かつx0>0 ですからx0>1です。

このとき,x0'≡(x0+1)/(x0-1)と置くと0'-1=2/(x0-1),0'+1=2x0/(x0-1)により,0'(0'-1)(0'+1)=4x0(x0+1)/(x0-1)3=4y02/(x0-1)4={2y0/(x0-1)2}2となります。

 

そこで,0'≡(x0+1)/(x0-1),0'≡2y0/(x0-1)2と置けば,(0',y0')∈×であり,かつ0'(0'-1)(0'+1)=y0'2,またはy0'20'30'が成立します。

01,x0なのでx0≡m/n(m>n>0:既約分数)と置くと,0'=(x0+1)/(x0-1)=(m+n)/(m-n)=(m+n)/(m-n)となります。

 

m/nは既約分数なのでm,nが共に偶数であることはあり得ませんが,もしも共に奇数ならp=(m+n)/2,q=(m-n)/2は共に整数で0'=p/qであり,max(p,q)<max(m,n),つまり(0')<(x0)ですから,x0の高さが最小であるという仮定に矛盾します。

それ故,m,nのどちらか一方は偶数です。そして,x0(x0-1)(x0+1)=mn(m-n)(m+n)/n4ですが,これが有理数y0の平方に等しいので,明らかにmn(m-n)(m+n)はある整数の平方です。

 

なぜなら,mn(m-n)(m+n)はn402ですから,これは整数であってかつ有理数n20の平方だからです。

/nが既約分数なので,mとnは互いに素です。そこで,結局m,n,(m-n),(m+n)は全て互いに素です。

 

したがって,mn(m-n)(m+n)が平方数になるためにはm,n,(m-n),(m+n)が各々平方数である必要があります。(これは素因数分解可能性からの帰結です。)

それ故,x0=m/n,x0-1=(m-n)/n,x0+1=(m+n)/nは全て有理数の平方数です。

さて,[補題1.4]の証明とそのおまけから,(u,v,w)=g(x,y)とh(u,v,w)=(u2+a,uvw)を合成した写像h・gを作ります。ただし,今の場合a=1,b=0,c=-1とします。

任意の(x1,y1)∈×のgによる像を(u1,v1,w1)=g(x1,y1)とし,さらに(u1,v1,w1)∈××のhによる像を(x2,y2)=h(u1,v1,w1)とします。(x2,y2)=h・g(x1,y1)ですね。

 

このとき,y22=u121212=(x2-1)x2(x2+1)ですから,x2-1,x2,x2+1は全て有理数の平方数です。

逆に言えば,y22=(x2-1)x2(x2+1)を満たす(x2,y2)∈×で,x2-1,x2,x2+1が全て有理数の平方である場合なら,h・g(x1,y1)=(x2,y2)を満たす(x1,y1)∈×が常に1組だけ存在することがわかりました。

ところで,すぐ前で見たようにx0=m/n,x0-1=(m-n)/n,x0+1=(m+n)/nは全て有理数の平方数です。

 

そこで,h・g(xp,yp)=(x0,y0)を満たす(xp,yp)∈×が,存在します。

(up,vp,wp)=g(xp,yp)よりup={(xp-1)2-2}/(2yp)でx0=up2+1,yp2=xp3-xpです。

 

故に,x0=up2+1={(xp-1)2-2}2/{4(xp3-xp)}+1=(xp2+1)2/{4(xp3-xp)}です。有理数xpを互いに素な整数r,sによる既約分数としてxp=r/sと表わします。

 

このとき,x0=(r2+s2)2/{4rs(r2-s2)}です。

 

まず,x01ですから,分母より分子の方が大きいので(r2+s2)2>4rs(r2-s2)です。

 

そして,xp=r/sは既約分数ですからrとsは互いに素なので,分子の(r2+s2)2と分母のrsは明らかに共通因数を持ちませんから,分母と分子が共通因数を持つとすれば,r2+s2と4,またはr2-s2が共通因数を持つ場合に限られます。

 

このとき,もしもr,sが共に奇数ならr2+s2は4で割ると余りが2の偶数,r2-s2は4の倍数です。

 

(r2+s2)2は丁度4の倍数ですから,今のx0の分数表現で分子,分母は共通因数4を持ちます。

 

したがって,この場合には(x0)≧(r2+s2)2/4≧{max(r,s)}4/4>max(r,s)=(xp)です。

 

ただし,右辺の最後の不等式:{max(r,s)}4/4>max(r,s)では,xp=r/s>1により(xp)=max(r,s))≧2なることを考慮しました。

 

他方,r,sの一方が奇数,もう一方が偶数ならr-s,r+sは共に奇数で,共通因数を持ちません。そしてp≡r-s,q≡r+sと置けばr2-s2=pq,r2+s2=(p2+q2)/2,rs=(p2-q2)/4です。

 

結局,x0=(p2+q2)2/{4pq(p2-q2)}と書けますから,片方だけが奇数の(r,s)の組が共に奇数の(p,q)に置き換えられただけで,x0の分数表現は前と全く同じ形をしています。

 

それ故,前と同じく分子,分母は共通因数4のみを持ちます。

 

そこで,この場合にも(x0)≧(p2+q2)2/4≧{max(p,q)}4/4>max(p,q)>max(r,s)=(xp)となります。

 

以上から,既約分数xp=r/s>1のr,sが共に奇数の場合,一方が奇数,もう一方が偶数の場合のいずれであっても,(x0)>(xp)になるという結果が得られました。これはx0の高さ(x0)が最小であるという仮定に矛盾します。

 

それ故,(x,y)=(0,0),(±1,0)以外のy2=x3-xを満たす高さ(x)が最小の(x,y)=(x0,y0)は存在しないと結論されます。

 

これは,[命題1.2]の結論が成立することを意味しますから,結局,[命題1.2]が成立することが示されたわけです。

  

そして最初に述べたように,[命題1.2]が成立することは[命題1.1]が成立することを意味するので,結局,"x4+y4=z4を満たす自然数x,y,zは存在しない。"ことが証明されました。

 

この証明方法はフェルマー自身が無限降下法と呼んだ方法です。

 

今日はここまでにします。

参考文献:加藤和也,黒川信重,斉藤 毅著「数論I」(Fermatの夢と類体論)(岩波書店)

 

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2009年3月 9日 (月)

束縛状態とベーテ・サルピーター方程式(6)

 ベーテ・サルピーター方程式(B-S.eq.)の続きです。

前回は急用があったせいもあって,かなり中途半端なところで終わったので,もう1度ファインマン振幅(Feynman amplitude)を定義するところから再開します。

ファインマン振幅φ(x,P)≡<0|T[φabb(-ηa)]|P>と,その共役φ^(x,P)≡<0|T~[φabb(-ηa)]|P>*=<P|T[φabb(-ηa)]|0>を考えます。

 

ここで,|P>は任意の総4元運動量固有状態を記述します。また,T~は反時間順序積です。

これを,2009年1/29の記事「束縛状態とベーテ・サルピーター方程式(3)」 において束縛状態|B,r>に対するB-S.振幅(B-S. amplitude)とその共役を定義したものと比較します。

そこでは,B-S.振幅とその共役をφBr(xa,xb;PB)≡<0|T[φa(xab(xb)]|B,r>とφBr^(xa,xb;PB)≡<B,r|T[φa(xab(xb)]|0>=<0|T~[φa(xab(xb)]|B,r>*によって定義しました。

 

その後,理論の平行移動不変性により,φBr(xa,xb;PB)≡(2π)-3/2exp(-iPBBr(x,PB),φBr^(xa,xb;PB)≡(2π)-3/2exp(iPBBr^(x,PB)(ただし,X≡ηaa+ηbb,x=xa-xb)と表現してφBr(x,PB),φBr^(x,PB)を与えました。

これを見ると,もしも上のファインマン振幅:φ(x,P),φ^(x,P)の定義で|P>を|B,r>で置き換えてP=PBとすれば,これらはそれぞれ定数因子を除いて束縛状態のB-S.振幅:φBr(x,PB),φBr^(x,PB)に一致することがわかります。

そして,f(x,P)≡<0|φabb(-ηa)|P>,g(x,P)≡<0|φb(-ηaab)|P>とおけば,ファインマン振幅はφ(x,P)=θ(x0)f(x,P)+θ(-x0)g(x,P),φ^(x,P) =θ(x0)g*(x,P)+θ(-x0)f*(x,P)と表現できます。

ここで,フーリエ変換による運動量表示でのファインマン振幅の定義:φ(x,P)≡(2π)-4∫d4exp(-ipx)φ(p,P),φ^(x,P)≡(2π)-4∫d4exp(ipx)φ^(p,P),および公式:θ(x0)=-(2πi)-1∫d4exp(-ikx)δ3()(k0iε)-1 etc.を用いて運動量空間における表式に変換します。

すると,φ(p,P)={-1/(2πi)}∫dq0{(q0,,P)/(p0-q0iε)}+{1/(2πi)}∫dq0{(q0,,P)/(p0-q0iε)},φ^(p,P)={-1/(2πi)}∫dq0{*(q0,,P)/(p0-q0iε)}+{1/(2πi)}∫dq0{*(q0,,P)/(p0-q0iε)}となります。

これはφ(p,P)とφ^(p,P)が共役であるという意味の詳細を示しています。すなわち,これらのφφ^の表式においてdq0による被積分関数の分子は互いに複素共役の関係にありますが,特異性を与える分母は両者で一致しています。

したがって,φ^の吸収部分はφのそれの複素共役に等しいことがわかります。φ^の分散部分はφ^の吸収部分に関連付けられますが,正確に同じようにφの分散部分はφの吸収部分と関連付けられています。

次にやるべきことは,(p,P)と(p,P)の主要な性質を見出すことです。そのためにf(x,P)=<0|φabb(-ηa)|P>,g(x,P)=<0|φb(-ηaab)|P>の右辺に状態|N>の完全系を挿入します。

すなわち,f(x,P)についてはf(x,P)=ΣN0|φab)|N><N|φb(-ηa)|P>=∫d3N(2pN0)-1p=-ηaP+pN0|φa(0)|N><N|φb(0)|P>exp(-ipx)]となります。ここにpNは状態|N>の4元運動量を記述しています。

ところで,粒子aは,単独では如何なる状態へも自発的に崩壊することは不可能です。しかし,逆に状態Nの静止エネルギーが1粒子a,つまり状態φa(0)|0>のそれより小さくない場合には,その遷移振幅<0|φa(0)|N>は必ずしもゼロとは限りません。

それ故,pN2≧ma2,かつpN00 でないなら<0|φa(0)|N>=0,つまり,(ηaP+p)2≧ma2,かつηa0+p00 でないなら(p,P)=0 です。

 

同様に(p,P)についても,(ηbP-p)2≧mb2,かつηb0-p00 でないなら(p,P)=0 です。

つまりmin[ma2a)2]1/2-ηa0max≡ηb0[mb2b)2]1/2とおいたとき,0≧ωminでないなら(q0,,P)=0 ,q0≦ωmaxでないなら(q0,,P)=0 となります。

 

そこで,もしもωmin0 かωmax0 のどちらかが起きると,ウィック回転された後でも置き換えられた極が残ります。

この望ましくない状況を避けるためには,|P0|< min(ma/|ηa|,mb/|ηb|)であれば十分です。

(訳注):つまり,f(x,P)=(2π)-4∫d4exp(-ipx)(p,P)とθ(τ)={-1/(2πi)}∫-∞dkexp(-ikτ)(k+iε)-1から,(2π)-4∫d4[exp(ipx)θ(x0)f(x,P)]={-1/(2πi)}∫-∞dq0{(q0,,P)/(p0-q0iε)}なる表式が得られます。

一方,f(x,P)=(2π)-4∫d4exp(-ipx)(p,P)=∫d3N(2pN0)-1p=-ηaP+pN0|φa(0)|N><N|φb(0)|P>exp(-ipx)]と書けます。

  

それ故,(2π)-4∫d4[exp(ipx)θ(x0)f(x,P)]={-1/(2πi)}∫dq0[∫d3N(2pN0)-1p=-ηaP+pN (<0|φa(0)|N><N|φb(0)|P>|p0=q0)}/(p0-q0iε)]が成立することがわかります。

そこで,結局(q0,,P)=∫d3N(2pN0)-1p=-ηaP+pN (<0|φa(0)|N><N|φb(0)|P>|p0=q0)},かつθ(x0)f(x,P)=(2π)-4∫d4exp(-ipx)[{-1/(2πi)}∫-∞dq0{(q0,,P)/(p0-q0iε)}]が得られます。

そして,q0≧ωminでないなら(q0,,P)=0 ですから,∫-∞dq0{(q0,,P)/(p0-q0iε)}の積分区間は(-∞,∞)から[ωmin,∞)に変更できます。つまり,この積分はωmindq0{(q0,,P)/(p0-q0iε)}と書けます。

 

したがって,f(x,P)=(2π)-4∫d4exp(-ipx)(p,P)の右辺の4p積分のうちdp0積分の極は複素平面上の実軸よりもわずかに下のp0=q0iεであることがわかります。

同様にして,(q0,,P)=∫d3N(2pN0)-1p=-ηaP+pN (<0|φb(0)|N><N|φa(0)|P>|p0=q0)},かつθ(-x0)g(x,P)=(2π)-4∫d4exp(ipx)[{-1/(2πi)}∫-∞dq0{(q0,,P)/(p0-q0iε)}]です。

そしてq0≦ωmaxでないなら(q0,,P)=0 ですから∫-∞dq0{(q0,,P)/(p0-q0iε)}の積分区間は(-∞,∞)から(-∞,ωmax]に変更できます。つまり,この積分は-∞ωmaxdq0{(q0,,P)/(p0-q0iε)}と書けます。

 

そこで,g(x,P)=(2π)-4∫d4exp(-ipx)(p,P)の4p積分のうちdp0積分の極は複素平面上の実軸よりもわずかに上のp0=q0iεであることがわかります。

さて,∫-∞dp0の積分路を次のような複素平面上の閉路Cに変更することを考えます。

 

まず,(-∞,∞)の実軸上を真っ直ぐ右に進み,右端の点∞から半径がR=∞ の原点が中心の円に連結して,反時計回りに虚軸上の上端点i∞まで四分円を作り,その上端点i∞から虚軸上の下端点-i∞まで虚軸に沿って真っ直ぐ下方に進みます。

 

最後に下端点-i∞から,やはり半径がR=∞ の円に連結させて,時計回りに四分円を描き,実軸の左端の点-∞に戻る閉路をCとします。

積分路を(-∞,∞)からCに変えてp0による積分-∞dp0を∫Cdp0変更したとき,Cで囲まれた領域内でp0=q0iεが極になるのはq0iεが(-∞,0)の側の四分円の内部にあるときです。

 

それ故,もしもωmin0なら,[ωmin,∞)∩(-∞,0)=(ωmin,0)となるので,左下四分円内に極p0=q0iε,q0min,0)が存在します。

一方,積分∫Cdp0の積分路Cで囲まれた領域内でp0=q0iεが極になるのはq0iεが(0,)の側の四分円内にあるときです。

 

そこで,もしもωmax0なら,(-∞,ωmax]∩(0,)=(0,ωmax)となるので,右上四分円内に極p0=q0iε,q0(0,ωmax)が存在します。

したがって,ωmin0 かωmax0 のどちらか一方でも成立するならウィック回転を意味する積分路のCへの変更後でも極が残るのです。

ところで,ヘヴィサイド関数のθ(τ)={-1/(2πi)}∫-∞dkexp(-ikτ)(k+iε)-1なる表現を考えてみます。

 

右辺のk積分は,τ>0 のときには積分路を実軸(-∞,∞)に複素k平面の下半平面を負の向きにまわる半径R=∞の半円を加えた閉路に取れば,その内部に極k=-iεがあるためその留数から右辺の値としてexp(-ετ)が得られます。

 

そして,これはε→+0 のとき1になります。

一方,τ<0 のときには,積分路を実軸(-∞,∞)に上半平面を正の向きにまわる半径R=∞ の半円を加えた閉路に取れば,内部にはkの極がないので右辺の値はゼロになります。

 そして,τ>0 の場合には複素k平面の下半平面の半円の上ではR=∞ によりk=-i∞になるので,exp(-ikτ)なる因子によって積分は指数的にゼロになります。

 

 一方,τ<0 の場合には複素k平面の上半平面でR=∞ によりk=+i∞となってexp(-ikτ)が指数的にゼロになるので,いずれの場合も実軸に付け加えた半径R=∞ の半円の積分への寄与はゼロです。

 これをもって,ヘヴィサイド関数をθ(τ)={-1/(2πi)}∫-∞dkexp(-ikτ)(k+iε)-1と表現することが正当化されるわけです。

φ(x,P)≡(2π)-4∫d4exp(-ipx)φ(p,P)の第1項θ(x0)f(x,P)=(2π)-4∫d4exp(-ipx)[{-1/(2πi)}∫-∞dq0{(q0,,P)/(p0-q0iε)}]の右辺の∫d4exp(-ipx)/(p0-q0iε)のうちで,∫-∞dp0exp(-ip00)/(p0-q0iε)はヘヴィサイド因子θ(x0)exp(-iq00)を表わしています。

 

そして,ヘヴィサイド関数の積分表現では,∫-∞dp0の積分路(-∞,∞)に,半径R=∞ の下半円を加えても積分には寄与しないことがわかっているので,積分路(-∞,∞)を積分路Cに変えた積分∫Cdp0のCにおける左下の半径R=∞ の四分円の寄与もゼロです。(右上四分円の寄与はゼロではありません。)

また,φ(x,P)の第2項θ(-x0)g(x,P)=(2π)-4∫d4exp(-ipx)[{-1/(2πi)}∫-∞dq0{(q0,,P)/(p0-q0iε)}]の右辺の∫d4exp(-ipx)のうち,∫-∞dp0exp(-ip00)/(p0-q0iε)の部分からは∫Cdp0において,積分路Cのうち右上の半径R=∞ の四分円の寄与がゼロであることがわかります。(左下四分円の寄与はゼロではありません。)

結局,φ(x,P)=θ(x0)f(x,P)+θ(-x0)g(x,P)における右辺のフーリエ表示での∫-∞dp0Wick回転を意味する積分∫Cdp0に変えた経路Cのうちでθ(x0)f(x,P)の左下の四分円路上の寄与とθ(-x0)g(x,P)の右四分円路上の寄与はゼロになります。(訳注終わり)※

さて,もしも束縛状態の問題を考える場合,つまりφ(p,P)をB-S.振幅φBr(p,P)と同一視する場合なら,束縛状態の安定条件s1/2<ma+mb (a+bの結合系の質量がa,bの質量の和より小さい)はωmin≧ωmaxを意味します。

そこで,この場合には"ファインマン振幅=B-S.振幅"の運動量空間における表式φ(p,P)={-1/(2πi)}∫ωmindq0{(q0,,P)/(p0-q0iε)}+{1/(2πi)}-∞ωmaxdq0{(q0,,P)/(p0-q0iε)},およびφ^(p,P)={-1/(2πi)}∫ωmindq0{*(q0,,P)/(p0-q0iε)}+{1/(2πi)}-∞ωmaxdq0{*(q0,,P)/(p0-q0iε)}には2つの切断の間にギャップが存在します。

 

(訳注):つまり,束縛状態では必然的にωmin≧ωmaxとなるので複素p0平面内の実軸上の2つの切断(-∞,ωmax]と[ωmin,∞)の間には,ギャップ(ωmax,ωmin)が存在するわけです。※

束縛状態の安定条件s1/2<ma+mbを満たす任意のsに対しては,=0 の慣性中心系でパラメータをηa≡ma/(ma+mb),ηb≡mb/(ma+mb)に選べば,ωmin0,かつωmax0 となりますから,ファインマン振幅に極が残らないようにできます。

 

この場合は,条件s1/2<ma+mbと条件|P0|<min(ma/|ηa|,mb/|ηb|)が,同値な条件になっています。

しかし,散乱問題の場合には,s1/2>ma+mb,つまりωmax>ωminなので,切断の間のギャップはなく,それ故,既に考察したように必然的に1つ以上の特異点に遭遇します。

さて,以下,具体的にウイック回転を論じましょう。

まず,"はしご近似(ladder近似)"で束縛状態を考察します。

 

簡単のために,関係する全ての粒子はスカラーであり,Pμは時間的(time-like;P2=Pμμ0)であると仮定します。

 

このとき,静止系0 では{ma22-(ηa0+p0)2}{mb22-(ηb0-p0)2}φBr(p,P)={λB(s)/(iπ2)}∫d4'[φBr(p',P)/{μ2(p-p')2iε}]が成立します。

 

ここでμは交換する中間子の質量です。またηa≡ma/(ma+mb),ηb≡mb/(ma+mb)としています。

 

(訳注):これは前と同じく1/29の記事「束縛状態とベーテ・サルピーター方程式(3) 」で明示した,

 

束縛状態のB-S.eqである,φBrφBrの運動量表示,つまり[Fa'(ηaP+p)Fb'(ηbP-p)]-1φBr(p,P)=(2π)-4∫d4'(p,p';P)φBr(p',P)において,伝播関数Fa',Fb'を自由場の伝播関数Fa,Fbで置き換え積分核(p,p';P)に"はしご近似"を適用したものです。

 

すなわち,左辺のF'(k)を自由場のF(k,m)=-i(k2-m2+iε)-1にして,それぞれk=ηaP+p,m=ma,およびk=ηbP-p,m=mbを代入した後に静止系の条件として=0 とします。

 

一方,右辺の(2π)-4∫d4'(p,p';P)は,質量がμの中間子でa,bとの結合定数がga,g(そしてλB(s)≡ga/(4π)2)であるものを1個だけ交換するはしごグラフの寄与:B(s)/(iπ2)}∫d4'[(p-p')2-μ2iε]-1で近似します。こうすれば先に書いた式が得られるわけです。

φBr(p,P)の解析性は,φ(p,P)={-1/(2πi)}∫dq0{(q0,,P)/(p0-q0iε)}+{1/(2πi)}∫dq0{(q0,,P)/(p0-q0iε)}で,q0≧ωminでないなら(q0,,P)=0 ,q0≦ωmaxでないなら(q0,,P)=0 こと,および束縛状態ではωmin0,かつωmax0 であることによって与えられます。

そこで,束縛状態では先に訳注の中で与えた∫Cdp0の閉路Cの内部にp0の極を全く持たないので∫Cdp'0 [φBr(p'0,',P)/{μ2(')2(p0-p'0)2iε}]=0 が成立します。

,の漸近的挙動から右辺の∫Cdp'0積分への2つの四分円経路からの寄与はゼロとなるので,∫-∞dp'0[φBr(p'0,',P)/{μ2(')2(p0-p'0)2iε}]=∫-i∞i∞dp'0[φBr(p'0,',P)/{μ2(')2(p0-p'0)2iε}]+(極の寄与)となるはずですが,束縛状態ではCの内部にp0の極は全くないので,(極の寄与)はゼロです。

そこで,p'0ip'4,またはp'4≡-ip'0と置けば-i∞i∞dp'0i∫-∞dp'4であり,さらにp0ip4,またはp4≡-ip0と置けば-(p0-p'0)2(p4-p'4)2となります。

 

故に,∫-∞dp'0[φBr(p'0,',P)/{μ2(')2(p0-p'0)2iε}]=i∫-∞dp'4[φBr(ip'4,',P)/{μ2(')2(p4-p'4)2iε}]を得ます。

ミンコフスキー空間(Minkowski space)の4元ベクトルpμ(p0,)をユークリッド空間の4元ベクトルp~μ(,p4)で表現すれば,

 

"はしご近似":{ma22-(ηa0+p0)2}{mb22-(ηb0-p0)2}φBr(p,P)={λB(s)/(iπ2)}∫d4p'[φBr(p',P)/{μ2(p-p')2iε}]は,{ma22+(4a0)2}{mb22+(4b0)2}φ~Br(p~,P)={λB(s)/π2}∫d4~'[φ~Br(p~',P)/{μ2(p~-p~')2iε}]とユークリッド化されます。

途中ですが,今日はここで終わります。

参考文献:Noboru Nakanishi "A General survey of the Theory of the Bethe-Salpeter Equation" Progress of Theoretical Physics, supplement,No.43(1969)

 

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 おやおや,そこの静電気バチバチの人、いいものありますよ。。。

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2009年3月 8日 (日)

東野圭吾を読む

 なんだかんだ言っても,去年のゴールデンウィークに本屋の店頭に平積みしてあった「流星の絆」というのをつい買ってしまって読んでから東野圭吾氏の作品を昨日で6冊目を読み終わりました。

 「流星の絆」の次が「宿命」,そして長編だったので一気には読み通せなかった「白夜行」,それから「手紙」,「秘密」,昨日読んだのが「分身」です。一応,次に読む予定で「幻夜」というのもストックしてあります。

 去年の5月より前から東野氏の名前だけは知っていましたが,小説とか映画とかベストセラーはめったに観たり読んだりしないという天邪鬼な傾向があるので,何かのきっかけがないと予告編か紹介の書評くらいで薀蓄としての知識は仕入れても,実際に本編を観たり読んだりはしませんが,今回はちょっとはまったみたいです。

 「流星の絆」を読んだ頃はちょっと科学的要素が入っているのが他と区別される特徴であるとしても,何かの事件があって警察や名探偵ではないけれど主人公の推理があって,最後はお定まりのドンデン返しがあるというの普通のパターンの推理小説かなという程度の認識でした。

 まだ6冊目ですが著者は必ずしも推理小説であるというジャンルを意識してなくて,たとえ殺人事件などがあっても単にその解決という目的の小説ではなくテーマは別のところにあるという推理小説をやや超越した感覚の読み物だなという認識に変わりました。

 まあ,書評は私の趣味ではないので他の方々に任せるとして,若い頃と違って目は老眼になっているし,悲しいことですが深刻なノイローゼになるほどの感性も鈍って少しのことでは感情が動かなくなったので一気に持続的に読む力は衰えましたし,まだテレビもなかったガキの頃の時代と違って色々な他の誘惑も多いのですが,それにしても,書くスピードよりも読む方のスピードの方がはるかに速いので例によって飽きなければそのうち著者の書いたものを全て読んで,追い越し逆に新しいものが出るのを待つことになるでしょうね。

 (イヤ,明治よりももっと昔はテレビ,ラジオもなく本も少なく電気もないから夜はほぼ真っ暗で冬は布団に入らねば寒いというわけで子づくりくらいしか趣味ができないなあとまたまたスケベな想像をしてしまいました。

 私が昔小学校に入って5年生になるまでのガキの頃には,まだテレビもなければ電話もなかった時代ですから,西岸良平氏の「三丁目の夕日」状態で学校から帰ってからの余暇の選択肢は,外で友達と遊ぶとか本を読むといってもあまり裕福でないなら教科書でさえ貴重な情報源だったので必然的に勉強をするのも少ない選択肢の1つでした。

 今の子供は幸か不幸か生まれたときからコンピュータゲームや携帯などもあるのが当たり前という時代ですからその父母や祖父母の時代とは環境がかなり違います。

 近頃の若い者は。。といっても,時代がかなり違う子供たちは自分が経験したことの全くない子供時代を過ごしているということを考慮しなければ,いけないでしょうね。はは。。また脱線している。。)

 私は熱しやすく醒めやすい性格で,飽きっぽいので趣味といってもよく目移りがするのですが,小説に限らず1つのことに熱中すると体力的限界があれば別ですが受動的な趣味であればとことんのめりこんで追求してしまうという偏執狂のようなところがあります。

 しかも,これはダメとか,これだけは受け付けないとかいう食わず嫌いのタブーとかモラルのようなものも,同年代のジジィよりも少ないようですから見境なしで困ったもんです。

 そういえば,今一番はまっている趣味は正にブログを書くことだったりします。

 小説を書く方が趣味だったら,ひょっとしたらお金になることもあるかもしれないけれど,残念ながらこちらは読むのが専門です。

 私は,フィクションを書く才能はないしその努力をするのも面倒くさいし,ノーべル賞などと同じく,少数を除いて,お金儲けが目的であれば,これはかなり非効率的な方法ですね。

 私の場合,物理,数学なども含めこれらが全然毒にも薬にもならないような趣味ばかりなんですね。まあ,貧乏なくせにオボッチャンということです。

 空腹であっても趣味に没頭できるくらいゼイタクな野郎なんですね。

PS:昨晩は金もないし「分身」を読み終わり,まだ残っていたカレーを食べて野球でも見るかと思っていたところへ,ピンポンと鳴るので出たら挨拶くらいしかしたことのない隣のMさん夫婦がいて,何故かお2人とも完全防寒の衣装で,私より2回りくらい年下のご主人が,私を拝むようなポーズだったので何事かと思ったら「女房が財布落としたので3千円貸してほしい」と言われました。

 しかし,あいにく私の財布の中を見ると千円と200円くらいの小銭しかなくて,しょうがないから「千円しかないけど」と言って千円を貸しました。

 カードでも使えれば,おろしてくればいいので,もう少しあったのですが全然でこちらが借りたいくらいだったし今は金がないので,どこか行きつけの飲み屋でも開いてたらそこでいくらか借りてきて貸してあげようと思って出かけたのですが,まだ時間が早く目当ての店は開いていませんでした。

 あ,そうだ。。「若大将」ならマスターはサッカーや野球好きなのにテレビアンテナなくてカラオケ用のために,大きなチュ-ナーつきのモニターはあるのにそれはもっぱらカラオケ専用だということに思い当たりました。

 普通は早い時間には客もいないけど,マスターだけの場合でも観たい野球やサッカーは今まではラジオで聞いたり,店終わって帰宅してから録画しておいたビデオなどで見ていたらしいと聞いていましたが,偶々私の手元に以前通信販売で買って,今は不要になったパソコンなしで使えるワンセグチューナーを持っていたのを思い出しました。

 そこで日本対韓国の野球が始まる頃に,店が開くはずなので,行ってセッティングしてそのチューナーをあげる代わりに少しだけお金を借りようと思って行ったのが運の付きでした。

 いつものオッパイねえちゃんにつかまってしまいました。午後4時からどこかで飲んできたということで既にかなりできあがっていました。

 ちょっと1杯だけというわけで,セットして他に連れの男の客もいて,テレビが見れるようになった後に,もう1人客が来て,みんなで楽しくワイワイ観戦していたら大量点差になろうとしていたころから,オッパイちゃんに「カラオケ唄いたい」とダダをこねられ,男たちが反対すると「他所で唄う」と言い出したので「悪いけど200円しかないしね。」。というと「あんたのツケでもいいじゃないか」ということでスケベ心もあり2人で出ていきました。

 最初つれていった店は,あいにくカラオケ故障でしたが客が男ばかり6人いて大歓迎でした。

 次の店では他に男の客2人がいて何故かママも大喜びでしたが,何曲か唄った後に「次に行こう」とか言われて都合4件まわりました。

 後の2件は入るとすぐ断られました。どうも経営者の中には,彼女のよくない噂を知っている人もいたようです。

 (私は,どうせ口だけで,酔ったらオッパイを平気で見せるけれど内面はオクテな女で結婚か同棲かは知らないが旦那がいて,彼ひとすじだとずーっと思っていましたが。)

 イヤぁ,私は失なうものは何もないけれど,この女性を連れて歩くと私自身が出入り禁止になる可能性もあるなあ。。と思いました。

 結局,1時間余りで元の店に帰りましたが「あんたのほうが見栄で行きつけの店に連れていったんでしょう?」と図星発言。。

 いや。。ここら界隈は女性同伴で行ったことはないので,それもあるけれど,両刃の剣でしょうが。。。

 その上,「私がこっそり1万円払ったからあとで返せ」とか言われたけれど,ウソだと思ったので「後でカラダで払うよ」とか冗談言ってお茶を濁したりしました。。というわけで初期の目的忘れて午前様でした。

 (昔,新宿2丁目で,"よしおちゃん"に同じ冗談をやったら,本当に「カラダで払え」といわれてアセリました。。冗談だったけど。。) 

 懲りないねえ。。でも女つきで(ツケが少しだけ増えたけど)ほぼタダ酒だったから。。ま,いっか。。

 「若大将」のマスターも次サッカーのバーレーン戦が見られると喜んでたことだし。。

 でも隣の部屋のご夫婦は千円だけで大丈夫でしょうか?

 私の方は,持ち金がゼロでも,2週間くらいは平気で大丈夫なんですがね。。。

 (しかし体重72キロ(82キロ?)で,あびせ倒しをくらって,肘を擦りむいたとか怒ってたけど,私というクッションがなかったら頭打ってたかもしれない。。

 イツモイツモ,重い.。。自分で起きろよ。。こちらが心臓手術して障がい者だって正直に言ってるのも見かけで判断して信じてないんだろうね。

 私元気なのは酒飲んでるときだけなのに。。悪酔いにも限度あるだろ。。

 実は,うれしいけど。。)

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2009年3月 5日 (木)

久しぶりにカレーを作りました。

 今は外食ばかりではもったいないので家で食べることが多いです。

 ご飯はふつうに電気釜で炊いておいしいのができますが,おかずはネコまんまや振りかけ,味付けのりにインスタントみそ汁でもゼイタクなくらいで,暖めるだけのハンバーグなどいつも間に合わせか,出来合いの惣菜やほとんどがインスタントものばかりだったので,ちょっと思い立って,ほぼ30年ぶりくらいに料理としては恐らく誰でもできるだろうカレーを作ってみました。

 実はガキの頃から変わらず,10食連続でも飽きないくらいカレーが好きです。

 学生時代も最初の下宿というか学生アパートは2階建てで上下階で,男子も女子もいる四畳半20部屋くらいの長屋でしたが,共同風呂と共同洗濯機が1階に1個ずつ,そして各階に,共同トイレ,共同洗面所兼台所がありました。

 この台所は,他の学生は誰も湯沸しくらいにしか使わないものでした。

 まあ,私の場合はオヤジが急に「解散!」と言って一家離散してホームレスになったわけではなく,オヤジの急死で母子家庭になって,フツーに貧乏だったので,他人に見られると恥ずかしかった年頃でしたが,なるべく誰もいない時間帯を見計らって,共同台所で覚えたばかりの料理のマネゴトをやってました。

 それでも,それなりに貧乏レパートリーが増えてゆきましたがね。。。

 包丁で野菜などを切るのはぎこちなくても,料理はどうやればいいか?という普通並みの常識はあったので,一応火が通っていて味見して大丈夫であれば,自分好みの味の食べられる料理を作ることはできたので,好物のカレーはよくつくりましたね。

 米屋の2階の,今で言えばフローリングのちょっとだだっ広い板場の部屋に,友人と二人で宿直の代わりをするだけで下宿代が只で住んでいた頃は,ミカン箱を何個だったかな?横に並べた上に布団を引いて,ベッド代わりにして寝床にしていました。

 ここは,夏はベラボーに暑かったので,安い映画館やパチンコ屋に避難し,冬もだだっ広いため,かなり寒くて主に布団や毛布にくるまってました。

 1階の米屋の店内にはバラ売りの,口の開いた米の袋がいくつかあったので夜に,盗ったのがバレないようにいろいろな袋から順にお米をネコババしては,店に備え付けの大きな電気釜でご飯を頂いたこともよくありました。← 要するにドロボーだよなコリャ。。

 あるとき,大量のジャガイモが入った袋があるのを見つけたので,友人と示し合わせて,固形ルーだけを買ってきて,そのジャガイモをいくつか"ドロボー"してイモだけが具のカレーを15人前つくり,当分はそればかりを食べて,食費には1円も使わずに暮らしたという思い出もあります。

 今回は,たまねぎ2個,ジャガイモ1個,肉170gに「こくまろ(中辛)」10皿分の半分を使ってカレーを作りました。

 ニンジンを忘れたけどそれでも肉なしのイモだけカレーよりはるかにゼイタクですね。

 まあ作り方は昔と同じなのですが,今の住居でこれまで料理をしなかったのは,ここが古い電化住宅で調理するにも瞬間的な火力が弱く一気に加熱できないのが不満だという理由だったので,火加減が心配でした。

 しかし,まあ味見すると塩味が足りず,逆に辛過ぎるので塩と牛乳を少し追加して好みの味に近づけて,結果おいしく頂きました。

 やはり自分の作ったものが外で食べるものやレトルトよりもずっとおいしいですね。あと,4皿分あるので一晩寝かすともっとおいしくなるかな。。

 まあ必要ならその都度暖めるけれど。。。この季節なので2~3日は,蓋をして置いておくだけで2日くらいは大丈夫でしょう。。

 肉がオーストラリア産で330円,たまねぎ2個とジャガイモで120円くらい,ルーが5皿分で99円,まあ調味料その他で,ご飯以外では5食で600円足らず。

レトルトでも安いのは1食100円未満があるけど,まあ自作のほうがおいしいからいいか。。。

 これまでは,ここではゆで卵,目玉焼き,玉子焼き,スクランブルエッグの玉子料理と残ったご飯でチャーハンをつくる程度でした。。

 一人暮らしが長いと大抵の家事は一通りやれるようになるみたいで,よけいなことを気にしないなら家事で特段不自由したことはないですね。。。

 昔,中学生までの母子家庭になる前の父が存命中で比較的裕福だったガキの頃には,日曜日の昼飯には家族全員で父親が作ってくれたカレーをよく食べていました。

 その頃は,父はSB食品の缶入りのカレー粉にメリケン粉?をよく混ぜていたような気がします。これが結構おいしかったです。

 そういえば,平日の料理は全部母でしたが土曜の夜は,父が鍋奉行のすき焼きで,翌朝はその残りの具と汁をうどんにかけたりしてすき焼きうどんにして,関西なので,さらにそのうどんをおかずにご飯を食べてた記憶があります。なつかしいなあ。。。

 今度は,食材は似ているので自分特製の肉じゃがにでも挑戦するかな。。。

PS:そうだ。。もうフラれたみたいでいつまでも未練ではないけど。。"料理を勉強して主夫になれ"とか言ってたのは。。。誰だっけ?

 彼女は,かわいらしくてたとえ騙されようが,(結婚)詐欺?だろうが関係なく,今も愛しています。

 酒の上の冗談でしょうけど"主夫でいいから一緒に住もう"と誘われました。

 しかし,たとえ本気でも彼女の私に対する興味は短かくて三日,長くて1ヶ月くらいだろうと踏みました。。

 それで,みすみす愛する対象を目の前から永久に失なってしまうのであれば,籍を入れるとか同居するとかいう形態ではなく,時々会って眺めているだけの方がはるかに幸せですからね。。

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2009年3月 4日 (水)

束縛状態とベーテ・サルピーター方程式(5)

前回から大分間が空きましたが,ベーテ・サルピーター方程式(B-S.eq.)の続きです。

ローレンツ群はWignerによって導入された小群(little group)と呼ばれるの部分群:()≡{Λ∈|ΛP=P}において,P=(Pμ)を設定することで4種類に分類されます。

 

ここで前のようにs≡P2=Pμμとします。

それら4種類の小群の族は,[1]s>0 の場合 ~ O(3):Pμ(√s,0) [2]s<0 の場合 ~ O(2,1):Pμ(0,0,0,√-s)[3]Pμ0 の場合 ~ O(3,1)[4]s=0 だがPμ≡0 ではない場合 ~ E(2):Pμ(P0,0,0,P0)(P00) です。

そして,B-S振幅(B.S amplitude):φBr(xa,xb;PB)=<0|T[φa(xab(xb)]|B,r>,(r=1,2,..,n)のフーリエ(Fourier)変換:{φBr(p,PB)}r=1nはローレンツ群の1つの有限次元表現となっている(PB)の表現空間の基底を形成します。

 

特に,それらは体調和関数で表現されます。

体調和関数は(∂/∂p)2l(p)=0,およびPμ(∂/∂pμ)Xl(p)=0 を同時に満足するp0,p1,p2,p3のl次の同次多項式l(p)で定義されます。

前記事では,小群の表現空間を構成する体調和関数が特殊座標系ではなく任意のローレンツ系ではどうなるかを調べる過程に入ったところで終わりました。

そこでは,まず,[1]P2=s>0 の場合:4元運動量がP(0)μ(√s,0)となる特殊座標系と同じsを持つ任意座標系を考えました。

 

このときには,あるローレンツ変換Λ∈が存在して,P=ΛP(0)と書けます。そして,このΛとpに対してq≡Λ-1pを定義します。

このとき,小群()≡{Λ∈|ΛP=P}の体調和関数は,lm(p,P)=lm()で与えられます。

 

lm(p,P)=lm()=lm(q,P(0))で,lm(q,P(0))は((0))の体調和関数ですから,q0,q1,q2,q3のl次の同次多項式です。

 

そして,qμ(Λ-1)μννなのでq0,q1,q2,q3のl次の同次多項式であることは,それがp0,p1,p2,p3のl次の同次多項式であることと同値です。

P=ΛP(0),p=Λqより(∂/∂p)2lm(p,P)=(∂/∂q)2lm(q,P(0))=0,P(∂/∂p)lm(p,P)=(0)(∂/∂q)lm(q,P(0))=0 が成立することも自明です。

 

故にlm(p,P)=lm()を()の体調和関数と同定できます。

次に,あるsの関数を掛けることで体調和関数lm(p,P)をs平面で解析接続します。これによって,[1],[2],[4]のケースを統一した方法で論じることができます。

例えば00=Λ33=α11=Λ221,Λ03=Λ30=βで,それ以外のΛμνは全てゼロ(ただし,α≡(a+a-1)/(2√s),β≡(a-a-1)/(2√s)(a≠0))なるΛを考えます。

 

すると,P(0)μ(√s,0),P=ΛP(0) μν(0)ν)より,Pμ=((a+a-1)/2,0,0,(a-a-1)/2)であり,q=Λ-1(μ(Λ-1)μνν)より,q1=p1,q2=p2,q3=αp3-βp0です。

lm(p,P)=lm()において,右辺のに上記の1=p1,q2=p2,q3=αp3-βp0を代入し,lm()=[(2l+1)(l-|m|)!/{(4π)(l+|m|)!}]1/2(2|m|-1)!!(q1±iq2)|m|||l-ml-|m||m|+1/2(q3/||) (m=-l,-l+1,..,l)なる陽な表現を用いるとim(p,P)の陽な形が得られます。 

sがゼロの極限での発散を避けるため,lm(p,P)にs(l-|m|)/2を掛けてs→ 0 の極限を取ると,lims→0[s(l-|m|)/2lm(p,P)]=(定数)×(p1±ip2)|m|(p3-p0)l-|m|となり,確かに既に述べた,[4]s=0での標準の体調和関数χlm(p)=alm(p1±ip2)|m|(p3-p0)l-|m|に一致します。 

 最後にB-Seq.への応用上で重要なlm(p,P)の自己再生性と直交性を証明します。

 まず,球関数Ylm(θ,φ)に対する等式:∫0πsinθ'dθ'∫0dφ'f(cosω)Ylm(θ',φ')=hYlm(θ,φ)に着目します。

 

 ここでf(z)は任意の連続関数,hはある定数です。また,cosωはcosω≡cosθcosθ'+sinθsinθ'cos(φ-φ')で与えられます。

式が成立することは,f(cosω)をルジャンドル多項式Pl(cosω)の級数に展開し,その加法定理:Pl(cosω)={4π/(2l+1)}Σm=-lllm(θ,φ)Ylm(θ',φ'),およびYlm(θ,φ)の積分の直交性を用いて証明することができます。

pp'=|||'|cosωですから,もしもf(,')が不変量:2,'2,pp'のみの任意の連続関数であり,これらスカラー量についての十分急減少な関数なら,上の球関数の等式∫0πsinθ'dθ'∫0dφ'f(cosω)Ylm(θ',φ')=hYlm(θ,φ)は,体調和関数に対する等式∫d3'f(,')lm(')=h()lm()になります。

(p,p',(0))を,p,p',(0)から形成される不変量を引数とする十分急減少な任意のファインマン分布関数とすれば,p(0)=√sp0,p'(0)=√sp'0なので,この式は∫d4'F(p,p',(0))lm(')=H(p,(0))lm()を意味します。

 

ここで,H(p,(0))はp2とp(0)とsだけに依存します。

∫d4'F(p,p',(0))lm(')=H(p,(0))lm()で,単に変数p,'をq,q'に変えると,∫d4'F(q,q',(0))lm(')=H(q,(0))lm()となります。

そして,q=Λ-1,およびlm()=lm(p,P)を代入すると,∫d4'F(Λ-1,Λ-1',(0))lm(p',)=H(Λ-1,(0))lm(p,P)となりますが,これはF,Hのローレンツ不変性によって∫d4p'F(p,p',)lm(p',)=H(p,)lm(p,P)に帰着します。

 

こうして,lm(p,P)の自己再生性が示されました。

 

これをs平面で解析接続すれば,これが[1],[2],[4]のケースのどのケースでも成立することがわかります。

同じテクニックを用いてim(p,P)の直交性も証明できます。

 

直交性は∫d4(p,)lm(p,)l'm'*(p,)=H(s)δll'δmm'です。ここでもF(p,)はpとPの十分に急減少する任意の不変分布関数です。 

また,[3]Pμ0 の場合のローレンツの体調和関数Llm(p)の自己再生性と直交性も4次元球面調和関数の性質から従うとわかります。

ヘリシティ定式化でスピンを持つ粒子を扱うためには,lm(θ,φ)の代わりに,一般化された球面調和関数を考える必要があります。

 

対応するim(p,P)の一般化も重要ですが,それは現時点ではまだなされていません。

§5.ウィック回転(Wick rotation)

-S.eq.の核は,ファインマン伝播関数の特異点を含んでいるので,標準的な数学の定理,公式を直接的にB-S.eq.に適用することはほとんどできません。

1954にWickはこうした困難を克服する手法を発見しました。

 

彼は複合粒子や束縛状態の安定条件の下で,相対エネルギー変数の外周積分路を複素平面上の虚軸に持ってくることで,新しい核をユークリッド計量の核にすることができることを示しました。

この手続きはウィック回転(Wick rotation)と呼ばれていますが,あいにく回転という名称のためにしばしば誤解を受けています。

1955に,KemmerとSalamはウィック回転を弾性領域の散乱のB-S.eq.に拡張しました。またTickpoulos(1964)は,質量殻上の逐次近似解を考えることから,それがユークリッド的に変換されることを示しました。

 

ウィック回転は,最近になって散乱のB-S.eq.を数値的に解くための手法として再認識されています。

SchwartzとZemach(1966)は位置空間で論じました。PagnamentaとTaylor(1966),およびSaenger(1967)はウィック回転の後で,どのような特異性が残るかを調べました。

我々は,ファインマン振幅:φ(x,P)≡<0|T[φabb(-ηa)]|P>と,その共役φ^(x,P)≡<0|T~[φabb(-ηa)]|P>*=<P|T[φabb(-ηa)]|0>を考えます。

 

ここで,|P>は任意の総4元運動量固有状態を記述します。またT~は反時間順序積です。

これを,2009年1/29の記事「束縛状態とベーテ・サルピーター方程式(3)」において束縛状態|B,r>に対するB-S.振幅とその共役を定義したものと比較します。

 

そこでは,B-S.振幅と共役をφBr(xa,xb;PB)≡<0|T[φa(xab(xb)]|B,r>とφBr^(xa,xb;PB)≡<B,r|T[φa(xab(xb)]|0>=<0|T~[φa(xab(xb)]|B,r>*で定義しました。

 

そして,理論の平行移動不変性によってφBr(xa,xb;PB)≡(2π)-3/2exp(-iPBBr(x,PB),φBr^(xa,xb;PB)≡(2π)-3/2exp(iPBBr^(x,PB) (X≡ηaa+ηbb,x=xa-xb)と表現して,φBr(x,PB),φBr^(x,PB)を与えました

 

れを見ると,もしも上のファインマン振幅φ(x,P),φ^(x,P)の定義で|P>を|B,r>で置き換えてP=PBとすれば,これらはそれぞれ定数因子を除いて束縛状態のB-S.振幅φBr(x,PB),φBr^(x,PB)に一致することがわかります。

(訳注):このファインマン振幅については,2009年1/26の記事「束縛状態とベーテ・サルピーター方程式(2)」において,

 

"ファインマン(p,P)というのは一体,何を意味するのか不明ですが,グリーン関数(p,q,P)とは異なり,入射粒子の運動量遷移qを含まないので,位置表示でのF(xa,xb)がF(xa,xb)=∫dyadyb(xa,xb;ya,yb)のようなものではないかと推測されます。"

 

という趣旨のことを書きましたが,ここまできてやっと明確な定義がわかりました。※

さて,f(x,P)≡<0|φa