水の波(1)(微小振幅波)

非圧縮性完全流体における波動(wave),特に水の波(water wave)について数回にわたって記述します。

これを書こうと思ったのは,持ってはいても今まで読んでいなかった戸田盛和 著「非線形波動とソりトン」(日本評論社)を偶々本棚から取って見るとはなしにパラパラとめくっているうちに,ある素人的アイデアが浮かんだからです。

場の量子論では,自発的対称性の破れを生ぜしめ,結果として粒子が質量を獲得するヒッグスメカニズム(Higgs mechanism)と関わるモデルとして,自由スカラー場に余分なφ⁴に比例する非線形項の存在を仮定するφ⁴模型やシグマ模型と呼ばれる単純なものがあります。

一方,流体力学の水面波を記述する方程式として発見されたＫｄＶ方程式(Kortveig-de Vries方程式):∂η/∂τ＋{3ｃ₀/(2ｈ)}{η(∂η/∂ξ)}＝－(ｃ₀ｈ²/6)(∂³η/∂ξ³)という非線形な方程式があります。

これは安定な孤立波の解としてソリトン(soliton)という際立ったパルス的特徴の解を持つことがわかっています。

そして,上記の自由スカラー粒子の場にφ⁴に比例する自己相互作用の存在を仮定する単純φ⁴-Higgs模型でも,スカラー場φはＫｄＶ方程式に似た非線形構造を持つ波動方程式に従います。

そこで,このφ⁴-モデルのスカラー場φについても,水面波のソリトン解と同様に,安定したパルス(粒子)としての性質を持つ解が存在すると予想されます。

これらのことから,こうした非線形解はかなり合理的な"くりこみ(renormalization)における正則化(regularization)の手法"を与えるのではないか？,

あるいは正則化というような一種の対症療法や有効理論としてではなく,より本質的な意味で紫外発散の除去を可能とするのではないか？とふと考えたのが本記事を書く気になった動機です。

そもそも,ソリトンは戸田盛和氏の戸田格子のような非線型格子と大いに関係あるようです。

最近の格子ゲージ理論(lattice-gauge theory)など格子を利用した数値計算手法とも関係するようですから,単に私が知らなかっただけで,既に場の理論での類似した試み,あるいは,はるかに進んだ理論があるのかもしれません。

線形な波動であれば,それは正弦波の重ね合わせで構成されますから,最初は波束という孤立したパルスのような波形を持っていても放置すれば自然にくずれ拡がって,常に減衰してゆきます。(分散現象)

しかし,波が非線形波動であれば,ローレンツアトラクタ(Lorentz atractor)によるカオス(chaos)の発生例にも見られるように,減衰するのでなく,ときには逆に自励発振して自然に増幅したりもします。

孤立的なソリトンが安定で有り続けることが可能なのも,そうした理由のためでしょう。

自由な実スカラー場φのLagrangian密度:Ｌ＝(1/2)∂_μφ∂^μφ－(1/2)μ²φ²に,微小な摂動項－λφ⁴/4!を加えた模型を考えます。

こうすれば,ＬからEuler-Lagrange方程式:∂_μ{∂Ｌ/∂(∂_μφ)}－∂Ｌ/∂φ＝0 によって得られる場の方程式は,通常の自由スカラー場が従う線形なKlein-Gordon方程式:(□＋μ²)φ＝0 から,非線形な方程式;(□＋μ²)φ＝－(λ/6)φ³に変わります。

唐突ですが,私のかつてのサラリーマン時代の本業は,さして優秀でもないコンピュータによる数値シミュレーションの技術屋でした。

そのころの拙い経験から考えると,微分方程式や差分方程式の解の性質を支配するのは,方程式の最高次の次数です。

もしも,方程式(□＋μ²)φ＋λφ³/3!＝0 の解を求めたいのであれば,λが如何に小さくλφ³/3!が無視できる程度のオーダーであろうと,この非線形項がφの最大次数の項として解の安定性等にとって本質的な意味を持つと考えられます。

これは線形な数値計算であれば,いわゆる丸め誤差とか累積誤差と呼ばれるものに類似するのですが,線形の場合誤差とはいえ数値計算ではこの扱いを間違うと致命的です。

時空の中に自分自身しか存在しない自由粒子の場であっても,背景時空のプランク時間やプランク長さのオーダーよりも小さい規模の領域に関わる計算では時空の曲がりとか,本質的に非線形な重力場の効果とかを無視できないはずです。

こうした非線型な効果が,自由Klein-Gordon場に通常のスケールでは無視できる程の非線形項を付加することで抽象されると考えられます。

従来の素朴な自由線形場で展開された摂動計算では無限大に発散するFeynman積分も,その計算で線形場の代わりに自由非線形場を代入すると,まるでソリトンのように結果が発散せず有限な計算値として得られる可能性があると予想されます。

つまり,λ＝0での計算結果は無限大に発散しても,λ≠0での有限な計算結果がλ→0 の極限で有限に留まるかもしれない,極限をとる順序を変えると異なる結果を得ることも可能では？と考えたわけです。

というわけで,そうした動機も含めてＫｄＶ方程式のソりトン解やそれに関連して逆散乱法等にも興味が湧いたので,取りあえず15年くらい前の流体力学のノートから,水面波に対してＫｄＶ方程式を求める部分の復習から始めようという気になったわけです。

さて,本題に入ります。

まず,流体の密度をρ,流速をｕ＝(ｕ,ｖ,ｗ)とすると,その質量の保存を示す連続方程式は∂ρ/∂ｔ＋∇(ρｕ)＝Ｄρ/Ｄｔ＋ρ∇ｕ＝0 で与えられます。

非圧縮性流体ではＤρ/Ｄｔ＝0 なので連続方程式は∇ｕ＝0 と簡単になります。Ｄ/ＤｔはLagrange微分:Ｄ/Ｄｔ≡∂/∂ｔ＋ｕ∇です。

特に流れが渦無し:∇×ｕ＝0 であるとし,速度ポテンシャル:Φ＝Φ(ｒ,ｔ)が存在して流速がｕ＝∇Φと表わせる場合を仮定します。

上記の連続方程式∇ｕ＝0 はΦに対するLaplace方程式:∇²Φ＝0 になります。したがって,Φは調和関数です。

また,通常,水底の深さｈは時間によらず一定ですから,鉛直上向きをｚ軸の正の向きとするｘｙｚ座標系:ｒ＝(ｘ,ｙ,ｚ)を取り,水底のｚ座標がｚ＝－ｈ(ｘ,ｙ)で与えられるとします。

また,水面高さのｚ座標はｚ＝η(ｘ,ｙ,ｔ)で与えられるとします。

水底ｚ＝－ｈ(ｘ,ｙ)での完全流体の流速の境界条件は流束の垂直成分がゼロであること,つまりｕ_n＝ｕｎ＝∂Φ/∂ｎ＝0 です。ここでｎは水底面の法線ベクトルです。

一方,水面のｚ座標がｚ＝η(ｘ,ｙ,ｔ)であること,または水面がｚ－η＝0 を満たすという性質は時間的に不変なので,これからＤ(ｚ－η)/Ｄｔ＝0 という運動学的境界条件を得ます。

これは,Ｄｚ/Ｄｔ＝ｗより,ｗ＝∂η/∂ｔ＋ｕ(∂η/∂ｘ)＋ｖ(∂η/∂ｙ) or ∂Φ/∂ｚ＝∂η/∂ｔ＋(∂Φ/∂ｘ)(∂η/∂ｘ)＋(∂Φ/∂ｙ)(∂η/∂ｙ)なる式の成立を意味します。

一方,完全流体の運動方程式であるEulerの方程式はρ(Ｄｕ/Ｄｔ)＝－∇ｐ＋ρＫです。ここにｐは圧力,ρＫは外力を示しています。

ただし,流体全体に働く外力は重力のような密度ρに比例する体積力ρＫの形を仮定しました。

さらに熱力学の状態方程式のような関係式によって,ρがρ＝ρ(ｐ)のように圧力ｐだけの関数で表わせるなら,Ｐ≡∫ｄｐ/ρなる量Ｐを定義するとｄＰ＝ｄｐ/ρと書けるので,Eulerの運動方程式はρを消去した形:Ｄｕ/Ｄｔ＝－∇Ｐ＋Ｋと書けます。

これはEuler微分による表現では,(∂ｕ/∂ｔ)＋(ｕ∇)ｕ＝－∇Ｐ＋Ｋとなります。

さらに外力Ｋが保存力なら,ポテンシャルΩが存在してＫ＝－∇Ωと書けます。

これとｕ＝∇Φを運動方程式に代入すれば,(ｕ∇)ｕ＝(∇Φ∇)∇Φ＝∇{(∇Φ)²/2}となるので,∇[∂Φ/∂ｔ＋Ｐ＋(∇Φ)²/2＋Ω)＝0 なる式を得ます。

これから,結局,圧力方程式と呼ばれる方程式:∂Φ/∂ｔ＋Ｐ＋(∇Φ)²/2＋Ω＝ｆ(ｔ)が得られます。(これは拡張されたベルヌーイの定理(Bernoulliの定理)です。)

そして,もしも流体が非圧縮の上にさらに密度が一様:ρ＝ρ(ｐ)＝一定なら,Ｐ＝ｐ/ρとなるので圧力方程式は∂Φ/∂ｔ＋ｐ/ρ＋(∇Φ)²/2＋Ω＝ｆ(ｔ)となります。

また,外力の場が地球上の一様な重力場であれば重力の加速度をｇとして,Ω＝ｇｚ＋const.と書けますから,∂Φ/∂ｔ＋ｐ/ρ＋(∇Φ)²/2＋ｇｚ＝ｆ(ｔ)－const.となります。

そこで,水面ｚ＝ηに接する大気の圧力をｐ₀＝ｐ₀(ｔ)とすれば,その位置ｚ＝ηでの圧力の連続性から∂Φ/∂ｔ＋ｐ₀(ｔ)/ρ＋(∇Φ)²/2＋ｇη＝ｆ(ｔ)－const.を得ます。

ｔの任意関数ｆ(ｔ)がｆ(ｔ)＝ｐ₀(ｔ)/ρ＋const.となるように選択すれば速度ポテンシャルΦ＝Φ(ｒ,ｔ)が満たす方程式は∂Φ/∂ｔ＋(∇Φ)²/2＋ｇη＝0 です。

結局,Laplace方程式:∇²Φ＝0 を満たす速度ポテンシャルΦ＝Φ(ｒ,ｔ)によって,水面の高さη＝η(ｘ,ｙ,ｔ)を表わす式η＝－ｇ^-1(∂Φ/∂ｔ)－(2ｇ)^-1(∇Φ)²が得られました。

ただし,右辺のΦ(ｒ,ｔ)では微分した後でｒ＝(ｘ,ｙ,ｚ)のｚをｚ＝ηと置きます。

特に水面の高さηの運動で与えられる水面波が,ηの小さい微小振幅波であると仮定してΦとηに関しての２次の項を無視すれば,ｚ＝ηでη＝－ｇ^-1(∂Φ/∂ｔ)－(2ｇ)^-1(∇Φ)²なる式は,η＝－ｇ^-1(∂Φ/∂ｔ)に帰着します。

一方,水面ｚ＝ηでの境界条件は∂Φ/∂ｚ＝∂η/∂ｔ＋(∂Φ/∂ｘ)(∂η/∂ｘ)＋(∂Φ/∂ｙ)(∂η/∂ｙ)ですが,同じくΦとηに関して２次の項を無視すれば,これは単に∂Φ/∂ｚ＝∂η/∂ｔとなります。

これらの式からηを消去すれば,ｚ＝ηで∂²Φ/∂ｔ²＋ｇ(∂Φ/∂ｚ)＝0 という式になります。

ところが速度ポテンシャルをｚ＝0 の周りでηのベキ級数に展開すると,Φ(ｒ,ｔ)＝Φ(ｘ,ｙ,η,ｔ)＝Φ(ｘ,ｙ,0,ｔ)＋(∂Φ/∂ｚ)_z=0η＋Ｏ(Φη²)です。

Φとηに関して２次以上の微小量を無視する近似ではｚ＝η近傍でΦ(ｘ,ｙ,ｚ,ｔ)＝Φ(ｘ,ｙ,0,ｔ)としても同じです。

結局,問題はｚ＝0 で∂²Φ/∂ｔ²＋ｇ(∂Φ/∂ｚ)＝0,およびｚ＝－ｈ(ｘ,ｙ)で∂Φ/∂ｎ＝0 という２つの境界条件の下で,Laplace方程式:∇²Φ＝0 を解くという問題に帰することがわかりました。

ここでさらに簡単化して,水底ｚ＝－ｈ(ｘ,ｙ)を与えるｈは(ｘ,ｙ)に無関係な一定値であるとし,Φはｙ方向には一定で流れがｘ,ｚ面内の"運動＝波"の場合であると考えます。この場合,波はｘ方向にのみ伝播するので１次元の波です。

また,Laplace方程式:∇²Φ＝0 は∂²Φ/∂ｘ²＋∂²Φ/∂ｚ²＝0 となります。境界条件もｚ＝0 で∂²Φ/∂ｔ²＋ｇ(∂Φ/∂ｚ)＝0,ｚ＝－ｈで∂Φ/∂ｚ＝0 と簡単になります。

そして水面波の形はη＝－ｇ^-1(∂Φ/∂ｔ)_ｚ=0で与えられます。

解を求めるステップに向かいます。

Φ(ｘ,ｚ,ｔ)＝φ(ｚ)cos(ｋｘ－ωｔ)という変数分離形を仮定して∂²Φ/∂ｘ²＋∂²Φ/∂ｚ²＝0 に代入するとｄ²φ/ｄｚ²－ｋ²φ＝0 となります。

そこで,ｋ＞0 としてφ(ｚ)の一般解:φ(ｚ)＝Ｃ₁exp(ｋｚ)＋Ｃ₂exp(－ｋｚ)(Ｃ₁,Ｃ₂は定数)が得られます。

つまり,Φ(ｘ,ｚ,ｔ)＝{Ｃ₁exp(ｋｚ)＋Ｃ₂exp(－ｋｚ)}cos(ｋｘ－ωｔ)です。

ここで,ｚ＝－ｈでは∂Φ/∂ｚ＝0 なので,ｋＣ₁exp(－ｋｈ)－ｋＣ₂exp(ｋｈ)＝0 です。

Ｃ₁exp(－ｋｈ)＝Ｃ₂exp(ｋｈ)＝Ｃ/2と置けば,Φ(ｘ,ｚ,ｔ)＝Ｃcosh{ｋ(ｚ＋ｈ)}cos(ｋｘ－ωｔ)となります。

それ故,水面波の形η＝η(ｘ,ｙ,ｔ)をη(ｘ,ｔ)と書くとη(ｘ,ｔ)＝－ｇ^-1(∂Φ/∂ｔ)_ｚ=0＝Ａsin(ｋｘ－ωｔ),Ａ≡－Ｃｇ^-1ωcosh(ｋｈ)となります。

Φ(ｘ,ｚ,ｔ)＝Ｃcosh{ｋ(ｚ＋ｈ)}cos(ｋｘ－ωｔ)に,さらにｚ＝0 で∂²Φ/∂ｔ²＋ｇ(∂Φ/∂ｚ)＝0 なる境界条件を課すと－ω²cosh(ｋｈ)＋ｇｋsinh(ｋｈ)＝0 です。

そこで,ω＞0 とすれば,ω＝{ｇｋtanh(ｋｈ)}^1/2です。または,波の位相速度をｃとするとｃ＝ω/ｋ＝{(ｇ/ｋ)tanh(ｋｈ)}^1/2＝{ｇλtanh(2πｈ/λ)/(2π)}^1/2を得ます。

これは,位相速度ｃが波数ｋ,あるいは波長λと共に変化することを示しています。つまり,位相速度ｃはｋｈ＝2πｈ/λの増加と共に緩やかに減少していきます。

一般には任意波形のη＝η(ｘ,ｔ)はそれが従う方程式が線形で境界条件も線形故,Fourier級数に展開できることから,η(ｘ,ｔ)は無数の正弦波の重ね合わせから成ると考えられます。

今の場合の水の微小振幅波について要約します。

水の微小振幅波の解は境界条件も線形なのでその波を構成する個々の正弦波は互いに独立であり,個々の正弦波の挙動は速度ポテンシャルΦ(ｘ,ｚ,ｔ)＝Ｃcosh{ｋ(ｚ＋ｈ)}cos(ｋｘ－ωｔ)で全て決定され,流速ｕ＝(ｕ,ｗ)はｕ＝∇Φによって与えられます。

ｕ＝∂Φ/∂ｘ＝－Ｃｋcosh{ｋ(ｚ＋ｈ)}sin(ｋｘ－ωｔ),ｗ＝∂Φ/∂ｚ＝Ｃｋsinh{ｋ(ｚ＋ｈ)}cos(ｋｘ－ωｔ)です。

そして,水面波は波高をηとして,η(ｘ,ｔ)＝Ａsin(ｋｘ－ωｔ) (ただしＡ≡－Ｃωcosh(ｋｈ))で与えられることになります。

ただし,境界条件が満たされるためには波数ｋ＝2π/λと角振動数ω＝２πｆ(ｆは振動数)の間にω＝{ｇｋtanh(ｋｈ)}^1/2なる関係が成り立つことが要求されます。

それ故,個々の正弦波の位相速度ｃ＝ｃ(ｋ)はｃ(ｋ)＝ｋ/ω＝ｆλ＝{(ｇ/ｋ)tanh(ｋｈ)}^1/2＝{ｇλtanh(2πｈ/λ)/(2π)}^1/2となって,ｋまたはλの関数として与えられることになります。

異なる波長の正弦波が異なる速度で進むため,無数の正弦波から成る全体の波の形は時々刻々に変化します。このことを波の分散(dispersion)といい,こうした分散を生ぜしめる媒質を分散性媒質といいます。

今の場合のｃ＝{(ｇ/ｋ)tanh(ｋｈ)}^1/2＝{ｇλtanh(2πｈ/λ)/(2π)}^1/2のように,位相速度ｃと波数 or波長との関係を分散関係といいます。

一方,もしも位相速度ｃが波数ｋ or 波長λに無関係で常に一定であるような媒質中では任意の波は形の変形を受けることなく進みます。このような波を与える媒質を非分散性媒質といいます。

さて,Ａ＝－Ｃｇ^-1ωcosh(ｋｈ),ω＝{ｇｋtanh(ｋｈ)}^1/2なのでＣ＝－Ａｇ/{ωcosh(ｋｈ)}＝－Ａ{(ｇ/ｋ)^1/2/{tanh(ｋｈ)^1/2cosh(ｋｈ)}＝－{Ａ/sinh(ｋｈ)}{(ｇ/ｋ)tanh(ｋｈ)}^1/2,結局Ｃ＝－Ａｃ/sinh(ｋｈ)です。

それ故,Φ(ｘ,ｚ,ｔ)＝－{Ａｃ/sinh(ｋｈ)}cosh{ｋ(ｚ＋ｈ)}cos(ｋｘ－ωｔ)と書けます。

そこで,水の微小振幅波において水と共に動く１点の流体素片の座標を(ｘ,ｚ)とすると,その点の軌道:(ｘ,ｚ)＝(ｘ(ｔ),ｚ(ｔ))は運動方程式ｄｘ/ｄｔ＝ｕ＝∂Φ/∂ｘ＝{Ａｃｋ/sinh(ｋｈ)}cosh{ｋ(ｚ＋ｈ)}sin(ｋｘ－ωｔ),ｄｚ/ｄｔ＝ｗ＝∂Φ/∂ｚ＝{Ａｃｋ/sinh(ｋｈ)}sinh{ｋ(ｚ＋ｈ)}cos(ｋｘ－ωｔ)の解として与えられます。

ところが,この方程式は右辺にｔの未知関数:ｘ＝ｘ(ｔ),ｚ＝ｚ(ｔ)についての超越関数を含む非線形方程式で,これを厳密に解くことは困難です。

しかし,波による水の運動は周期的と考えられるので動点の座標(ｘ,ｚ)の１周期での平均値を(ｘ₀,ｚ₀)と表わすと,今問題としている微小振幅波では(ｘ－ｘ₀),(ｚ－ｚ₀)もΦ,ηやｕと同程度の微小量です。

そこで,ｄｘ/ｄｔ＝{Ａｃｋ/sinh(ｋｈ)}cosh{ｋ(ｚ＋ｈ)}sin(ｋｘ－ωｔ),ｄｚ/ｄｔ＝{－Ａｃｋ/sinh(ｋｈ)}sinh{ｋ(ｚ＋ｈ)}cos(ｋｘ－ωｔ)の右辺にｘ＝ｘ₀＋(ｘ－ｘ₀),ｚ＝ｚ₀＋(ｚ－ｚ₀)を代入すれば,Ａ自身も１次の微小量ですから右辺で(ｘ－ｘ₀),(ｚ－ｚ₀)による寄与は２次以上の微小量となってこの近似では無視できます。

以上から微小振幅波の近似では,ｘ,ｚの時間経過ｔに伴なう運動はｘ＝ｘ₀＋[Ａcosh{ｋ(ｚ₀＋ｈ)}/sinh(ｋｈ)]cos(ｋｘ₀－ωｔ),ｚ＝ｚ₀＋[Ａsinh{ｋ(ｚ₀＋ｈ)}/sinh(ｋｈ)]sin(ｋｘ₀－ωｔ)で与えられることがわかります。

ｔを消去すれば,点の軌道が(ｘ－ｘ₀)²/ａ²＋(ｚ－ｚ₀)²/ｂ²＝1,ａ≡Ａcosh{ｋ(ｚ₀＋ｈ)}/sinh(ｋｈ),ｂ≡Ａsinh{ｋ(ｚ₀＋ｈ)}/sinh(ｋｈ)で与えられることになります。

これは明らかに長半径がａ,短半径がｂの楕円です。

すなわち,水はこの楕円軌道の上を負の向き,つまり時計回りに回転運動をすることがわかります。

楕円の厚みの比:ｂ/ａ＝tanh{ｋ(ｚ₀＋ｈ)}は水深(－ｚ₀)と共に減少し,水底ｚ₀＝－ｈではｂ/ａ＝0 となります。

つまり,水底では水は水平方向に単振動します。ａ＝Ａcosh{ｋ(ｚ₀＋ｈ)}/sinh(ｋｈ)自身も水深:(－ｚ₀)と共に減少します。

ただし,楕円の焦点間の距離2(ａ²－ｂ²)^1/2は 2Ａ/sinh(ｋｈ)ですから,これは水深(－ｚ₀)に依らず一定です。

また,ｂ＝Ａsinh{ｋ(ｚ₀＋ｈ)}/sinh(ｋｈ)は,水面ｚ₀＝0 ではＡに等しくなります。当然水面での波η(ｘ,ｔ)＝Ａsin(ｋｘ－ωｔ)の振幅に一致します。

そして,水の運動の水平速度成分ｄｘ/ｄｔはsin(ｋｘ－ωｔ)に比例しますからｚ,またはηと同位相であり,それ故,水面波は山のところではｘの正の向きに谷のところではｘの負の向きに動きます。

今日はここまでにします。

参考文献:巽友正 著「流体力学」(培風館),戸田盛和 著「非線形波動とソリトン」(日本評論社)

PS:「草なぎ剛(つよぽん)」は本当に偉い!! ← 尊敬のまなざし。。　　(2006年３/24「 インモラルと人間の解放 」参照。。)

「公然わいせつ罪」とか言ってるけど草薙くんの裸というか,人間の裸を見て「わいせつ」と思う奴がいるなら,そいつがイチバン「わいせつな存在」だろう。。。

もっとも「わいせつ」というのが「いたづらに性欲を掻き立てる」という意味であれば,異性の裸を見てそう思うのは動物として全く健康な証拠であり,決して非難さるべきことではない,と思うけど。。。

http://folomy.jp/heart/「folomy 物理フォーラム」サブマネージャーです。

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