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2009年4月 3日 (金)

超弦理論(17)(2-6)

超弦理論(superstring theory)の続きです。   

 さて,ボソン弦(Bosonic string)を量子化します。この量子化に際しては既存の理論の中に多くの異なる手続きが見られますが,正しい量子化であれば,それらは全て等価なはずです。

 

 各々の手続きには,それぞれ利点がありますが,それらの関係は必ずしも自明なものではありません。そこで,それら全てに精通することが望ましいと思われます。

 ボソン弦量子化の最初のもの(最古のもの)はヴィラソロ拘束条件(Virasoro constraint)に対応する物理的フォック空間への制限のみを有するXμ座標による記述に基づいています。

そして,このヴィラソロ拘束による制限は量子電磁力学(QED)におけるグプタ・ブロイラー条件(Gupta-Bleuler条件)に類似しています。

量子電磁力学(QED)のグプタ・ブロイラー量子化では古典的拘束:μμ0 が,これの左辺の"∂μμに対応する量子場の演算子の正振動数成分が物理的光子状態を消すべきである"という要求に置き換えられています。

すなわち,古典論での条件∂μμ=0 は量子論では物理的状態|phys>が満たすべき補助条件:∂μμ(+)|phys>=0 に置き換えられています。

現在の共変量子化のアプローチでは,より深い幾何学的基礎があります。それはFPゴースト(Faddeev-Popov ghost)の導入とBRST対称性カレント(BRST symmetry)の確認を含んでいます。そうした方法については次の章で記述する予定です。

 これまでの古典的弦のゲージ固定においては世界面の計量(metric):hαβを平坦な2次元ミンコフスキー(Minkowski)計量ηαβにセットするような再パラメータ化とワイルスケーリング(Weil-scaling)対称性を用いました。

量子論では,この手続きの正当性について,より注意深く考える必要があります。ワイルスケーリング対称性は,hαβに関して作用を変化させるエネルギー運動量テンソルTαβのトレース(対角和)がゼロということに責任があります。

 

そして,一般に量子論ではTαβのトレースにアノマリー(異常値)を生じます。

そして,このアノマリーは非常に特殊な条件下でのみ相殺されます。

 

歴史的には,この問題への最初のアプローチは"如何にすればアノマリーに苦しむことなくhαβ=ηαβと置くことができるか?"という問題を伴なっていました。

 

それに続く解析は,多くの骨折りの後に,時空の次元Dと基底状態の質量に,ある矛盾のない要請を課したときにのみ,満足のいく理論の出現が可能なことを示しました。

 アノマリーを避ける方法としては光(円)錐量子化という手法もあります。これは計量hαβ=ηαβからスタートして,さらにゲージの制限を課す非常に物理的なアプローチです。

 

 この手法でも,結局は質量と時空の次元Dに対して同じ制限に導かれます。これの詳細についても後述する予定です。

 また,別の共変的アプローチによれば,時空次元Dと質量パラメータaに課されるこの同じ条件はトレース・アノマリーの相殺のための条件と解釈することが可能なことを示しています。

 我々は最も伝統的なアプローチから始めます。まず,量子論において計量をhαβ=ηαβとおくことからスタートし,それからそれの導くところを探究してゆきます。

すぐ前の記事では,このゲージにおける古典弦の力学が作用積分S=-(T/2)∫d2σααによって記述されることを示しました。

 

そして,これは拘束条件:T++=T--=0 に対応する補助条件(d±')2=0 と適切な開弦,または閉弦の境界条件によって補完されていました。

 古典物理学から量子物理学へと移行する標準的な方法はポアソン括弧(Posson)括弧:[ ]P.B.を交換子括弧(commutator):[ ]に置き換えることでなされます。

 

 すなわち,[ ]P.B.→-i[ ]とするわけです。これは,[ ]P.B.~ -i[ ],または[ ]~ i[ ]P.B.の読み換えを意味します。

以前の記事ではXμに共役な運動量はPτμ=TXμdで与えられることを見ました。これは厳密には運動量カレントのτ成分です。

 

そこで,古典論の正準ポアソン括弧は[Xμ(σ,τ),Xν(σ',τ)]P.B.=[Xμd(σ,τ),Xνd(σ',τ)]P.B.=0 ,[Xμd(σ,τ),Xν(σ',τ)]P.B.=T-1ημνδ(σ-σ')Xμとなります。

 

μを量子演算子と解釈して,これを量子論での正準交換関係に読み換えます。

すなわち,Pτμ=TXμdにより,[Xμd(σ,τ),Xν(σ',τ)]P.B.=T-1δ(σ-σ')ημνは,[Pτμ(σ,τ),Xν(σ',τ)]P.B.=δ(σ-σ')ημνを意味しますが,これは量子論では[Pτμ(σ,τ),Xν(σ',τ)]=iδ(σ-σ')ημνに置き換わります。

さらに,[pμ,xν]=iημνなので,モード展開の係数の調和振動子の代数は古典論では,開弦で[αmμnν]P.B.=imδm+nημν,閉弦で[αmμnν]P.B.=[α~mμ,α~nν]P.B.=imδm+nημν,[αmμ,α~nν]P.B.=0 ですが,

 

量子論では,[ ]=i[ ]P.B.とすることにより,開弦では[αmμnν]=-mδm+nημν,閉弦では[αmμnν]=[α~mμ,α~nν]=-mδm+nημν,[αmμ,α~nν]=0 と変わります。

 この,αmmμ}に対する交換関係:[αmn]=-mδm+nから,これらの演算子αm={αmμ}は自然にmの負,正に応じてmを上げ下げする調和振動子の昇降演算子であると解釈できます。

 

 つまり,各々のm>0 についてαmμ-mμは規格化された調和振動子の昇降演算子am^μ,am^+μと,αmμ≡m1/2m^μ-mμ≡m1/2m^+μによって関連付けられると考えるわけです。

 

 振動子の基底状態:|0>は,全てのm>0 のαmμによって消滅さるべき状態であると定義されます。

 

 ただし,実際には振動子が基底状態にあることを指定するだけでは,弦の状態は決定されません。

後の表記では,状態がm>0 のαmμによって消滅さるべき状態であることに特に言及したいときには,それの持つ重心運動量をpμとして|0;pμ>などと表わします。

 

このときに,根本的に重要な点は基底状態:|0>に生成演算子am^+μを作用させて得られるフォック空間は正定値ではないことです。

 

つまり,[αm0-m0]=-mによって時間成分の交換関係は通常とは異なるマイナス符号を取り,[am^0,am^+0]=-1となります。

 

そこで,am^+0|0>の形の状態は<0|am^0m^+0|0>=-1となって負のノルムを持つわけです。

許される弦の状態だけで構成される物理的空間は,負ノルムも含んだ完全なフォック空間の部分空間であると考えます。

 

この部分空間はある補助条件によって指定されますが,矛盾のない因果的理論を得るためには,この物理的部分空間には通常ゴ-ストと呼ばれる母空間の負ノルム状態が含まれないことが必要です。

ところで,古典論における補助条件(拘束条件)はエネルギー運動量の成分++とT--がゼロになって消えることでした。

 

そして,T++,T--の周波数展開での"フーリエ・モード=展開係数"はヴィラソロ(Virasoro)生成子:Lmを与え,補助条件はLmが消えることと同等であることがわかりました。

ヴィラソロ生成子は,開弦ではLm(T/2)∫0πdσ[exp(imσ)T+++exp(-imσ)T--]で定義され,閉弦ではLm≡(T/2)∫0πdσ[exp(2imσ)T--]=(-T/2)∫0πdσ[exp(2imσ)(Rd)2],L~m≡(T/2)∫0πdσ[exp(2imσ)T++]=(-T/2)∫0πdσ[exp(2imσ)(Ld)2]dσで定義されます。

そして,これらの量のモード展開は,開弦ではLm=(-1/2)Σn=-∞αm-nαn,閉弦ではLm=(-1/2)Σn=-∞αm-nαn,L~m=(-1/2)Σn=-∞α~m-nα~nとなります。

 古典論では,αmμは単なる数なので,αm-n,μαnνのような積は全て可換で,αm-n,μαnν=αnναm-n,μとなることなどは当然として計算しました。

 

 しかし,量子論ではαmμを演算子と考えるので,積の順序に曖昧さが存在することを解決する必要があります。

古典論から得られたLm(-1/2)Σn=-∞αm-nαnなる表現を,量子論に読み換えるとき,交換関係:[αmn]=-mδm+nが成立することを考慮すると,右辺各項αm-nαnの因子αm-nはm=0 以外では因子αnと交換するので,積の順序の曖昧さが生じるのはL0における表現のみであることがわかります。

 そして,今のところは,L0の表現における曖昧さを解消する自然な方法を全く考えられない段階なので,L0は単に正規順序表現で与えられると定義します。

すなわち,古典論の表現L0=(-1/2)Σn=-∞α-nαnにおいて,右辺のn<0 のα-nαnの項をαnα-nで置き換えて,量子論ではL0≡(-1/2)α02-Σn=1α-nαnと定義します。

 

このとき,正規順序を取ったせいで,L0の値に任意定数の不明瞭さが存在し得るので,L0を含むあらゆる式に,この仮想定数(実はゼロの可能性もある)を加える必要があります。

古典論ではL0を含む拘束の重要な例は,許される弦の運動に対してL0が消えねばならないという要請ですが,この要請の最も素朴な量子力学的アナロジーはL0が物理的状態を消滅させるという命題であろうと考えられます。

しかし,上に述べたように,量子論ではL0は正規順序の不明瞭さのために未決定の定数aを含みます。 

 

そこで,この要請は,"物理的状態:|φ>であれば条件:(L0-a)|φ>=0 を満たさねばならない"という要請になります。

古典論で行なったL0のモード展開では,開弦ではL0(-1/2)Σ-∞α-nαn=-l22/2-Σn=1α-nαn=-α'M2-Σn=1α-nαnとなること,およびL0=0 となるという拘束条件から,弦の平方質量M2について,M2=(-1/α')Σn=1α-nαnを満たすべきであるという重要な等式でした。

今の量子論の場合には,拘束条件は(L0-a)|φ>=0 です。これはL0=aを意味するので,特にα'≡1/2とすると,平方質量M2が満たすべき等式は,M2=-2a-2Σn=1α-nαnと変更されます。

 

この式の右辺第2項の(-Σn=1α-nαn)の固有値は明らかに非負の整数なので,これは開弦の基底状態の平方質量が-2aであり,そこからの励起は-2aより2の倍数だけ大きい任意の値の平方質量を持つことを意味します。

一方,閉弦では,|φ>が物理的状態であるための条件は(L0-a)|φ>=0,かつ(L~0-a)|φ>=0 となります。

 

α'≡1/2では,a=L0=-M2/8-Σn=1α-nαn,かつa=L~0=-M2/8-Σn=1α~-nα~nですから,M2=-8a-8Σn=1α-nαn,かつM2=-8a-8Σn=1α~-nα~nなる等式を得ます。

閉弦の平方質量が開弦のそれの4倍であるという事実は,第1章では別の方法で説明しました。

 

すなわち,スピンがゼロのタキオンの頂点演算子exp(-ikX)は閉弦では次元2を持つべきですが,これの異常次元は-k2/4で与えられ,開弦ではこれは次元1を持つべきですが,異常次元は-k2/2であるという事実からこれが説明されました。

これは,2008年12/14の記事「超弦理論(9)(タキオン(続き)と重力子の散乱振幅)」,および2009年1/6の記事「超弦理論(10)(開弦とチャン・パトン因子)」において記述しています。

 

そして,閉弦においてはM2=-8a-8Σn=1α-nαnから,M2=-8a-8Σn=1α~-nα~nを引き算する,または,同じことですが(L0-L~0)|φ>=0 なる拘束を課せば,Σn=1α-nαn=Σn=1α~-nα~nであることがわかります。

 

他の,m≠0 のヴィラソロ生成子Lm,L~mはT++,T--の明確なゼロでない周波数の項に対応していますが,これも量子電磁力学(QED)におけるグプタ・ブロイラーの扱いと同じく,古典論でこれらが消えることは量子論では正振動数成分が物理的状態を消滅させるというより弱い要請に置き換えられます。

すなわち,Lm|φ>=0,m=1,2,..なる要請です。

これらの条件は,適切な積の順序の規約で正と負の両方のmに対して演算子(m-aδm0)を物理的状態のペアで挟んだ行列要素が全てゼロになることを保証するには十分です。

これを見るために,|φ>,|χ>を(L0-a)|φ>=0,(L0-a)|χ>=0,Lm|φ>=0,Lm|χ>=0,m=1,2,..に従う任意の状態であるとして<χ|Ln1n2..Lnp|φ>なる表現を考えます。

 

ただし,Ln1,Ln2,..,Lnpの添字n1,n2,..,npのうちの1つのnkがnk=0 なら対応するL0はL0-aで置き換えることにします。

一般にLnは交換しないので,行列要素<χ|Ln1n2.Lnp|φ>の値は演算子:Ln1,Ln2,..,Lnpの順序に依存します。

 

しかし,もしも演算子Lnkの添字nkが正の数のときのLnkは右側に,nkが負の数のときのLnkは左側に配置されるよう規定すれば,|φ>,|χ>が物理的状態であるための規約:(L0-a)|φ>=0,(L0-a)|χ>=0,Lm|φ>=0,Lm|χ>=0,m=1,2,..とエルミート性L-m=Lmのおかげで,全ての行列要素<χ|Ln1n2..Lnp|φ>はゼロになる:消えることがわかります。

これは,量子レベルで許される"弦の古典運動に対してLnが全てゼロになる"という古典命題へと到達できる最近接の命題です。

しかし,異常な交換関係が存在するなら,これら全てのLnによって消滅させられる状態を見出すことは不可能となります。

0の交換関係から生じるアノマリーに向かう前に,ここで積の順序の曖昧さが全くない弦の角運動量演算子についても,まとめておきます。

以前の記事「超弦理論(15)(2-4)」で見たように,弦の角運動量はJμν=T∫0πdσ[{Xμ(∂Xν/∂τ)-Xν(∂Xμ/∂τ)}|τ=0]で与えられます。

そして,lμν=xμν-xνμを弦の重心の角運動量とするとき,角運動量のモード展開は,開弦ではJμν=lμν+Eμν,Eμν=-iΣn=1{(α-nμαnν-α-nναnμ)/n},閉弦ではJμν=lμν+Eμν+E~μν,Eμν=-iΣn=1{(α-nμαnν-α-nναnμ)/n},E~μν=-iΣn=1{(α~-nμα~nν-α~-nνα~nμ)/n}となることを見ました。

開弦での表現では,Jμν=xμν-xνμn=1{(α-nμαnν-α-nναnμ)/n}ですが,一見してこれには順序の曖昧さがないので明瞭な量子演算子と解釈できます。

正準交換関係を用いて,次のポアンカレ代数が満足されることを証明するのはそれほどむずかしいことではありません。

 

ポアンカレ代数は,[Pμ,Pν]=0,[Pμ,Jνρ]=iημνρ,[Jμν,Jρλ]=iηνρμλ-iημρνλ-iηνλμρ+iημλνρです。

(訳注25):上のポアンカレ代数の最後の交換関係[Jμν,Jρλ]の表式のみ証明しておきます。

交換子[Jμν,Jρλ]にモード展開を代入すると[Jμν,Jρλ]=[xμν-xνμ-iΣm=1{(α-mμαmν-α-mναmμ)/m},xρλ-xλρ-iΣn=1{(α-nραnλ-α-nλαnρ)/n}]=[xμν-xνμ,xρλ-xλρ]-Σm=1Σn=1{1/(mn)}[α-mμαmν-α-mναmμ-nραnλ-α-nλαnρ]となります。

そして,[xμν,xρλ]=xμ[pν,xρ]pλ+xρ[xμ,pλ]pν=iηνρμλ-iημλνρ=より,[xμν-xνμ,xρλ-xλρ]=iηνρ(xμλ-xλμ)+iημλ(xνρ-xρν)-iηνλ(xμρ-xρμ)-iημρ(xνλ-xλν)です。

また,[α-mμαmν-nραnλ]=α-mμmν-nρnλ+α-nρ-mμnλmν=-mδm-nνρα-mμαnλ-ημλα-nραmν)なので,Σm,n=1{1/(mn)}[α-mμαmν-α-mναmμ-nραnλ-α-nλαnρ]=(-i)Σn=1(1/n){iηνρ-nμαnλ-α-nλαnμ)-iημρ-nναnλ-α-nλαnν)-iηνλ-nμαnρ-α-nραnμ)+iημλ-nναnρ-α-nραnν)}です。

結局, [Jμν,Jρλ]=[xμν-xνμ,xρλ-xλρ]-Σm,n=1{1/(mn)}[α-mμαmν-α-mναmμ-nραnλ-α-nλαnρ]=iηνρ{xμλ-xλμ-iΣn=1(1/n)(α-nμαnλ-α-nλαnμ)}-iημρ{xνρ-xρν-iΣn=1(1/n)(α-nναnλ-α-nλαnν)}-iηνλ{xμρ-xρμ-iΣn=1(1/n)(α-nμαnρ-α-nραnμ)}+iημλ{xνρ-xρν-iΣn=1(1/n)(α-nναnρ-α-nραnν)}=iηνρμλ-iημρνλ-iηνλμρ+iημλνρが得られます。(訳注25終わり)※

 ネーター・カレントから得られたポアンカレ生成子の構成が(ポアソン括弧による)ポアンカレ代数を満たすことは,古典的には保証されていますが,この代数を量子力学的にチェックすることで,アノマリーの存在の可能性を調べることができます。

 

 開弦で例示しましたが,閉弦の角運動量の交換子ももちろんアノマリー無しでポアンカレ代数を満足することがわかります。

 

 そして,[Lm,Jμν]=0 なので,物理的状態であるための条件はローレンツ変換の下で不変であり,それ故,物理的状態がローレンツ多重項を形成することが保証されます。

今日はここまでにします。 

参考文献:M.B.Green,J.H.Schwarz,& E.Witten著「superstring theory」(Cambridge University Press)

 

http://folomy.jp/heart/「folomy 物理フォーラム」サブマネージャーです。

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