超弦理論(17)(2-6): TOSHIの宇宙

2009年4月 3日 (金)

超弦理論(17)(2-6)

超弦理論(superstring theory)の続きです。　

　さて,ボソン弦(Bosonic string)を量子化します。この量子化に際しては既存の理論の中に多くの異なる手続きが見られますが,正しい量子化であれば,それらは全て等価なはずです。

　各々の手続きには,それぞれ利点がありますが,それらの関係は必ずしも自明なものではありません。そこで,それら全てに精通することが望ましいと思われます。

　ボソン弦量子化の最初のもの(最古のもの)はヴィラソロ拘束条件(Virasoro constraint)に対応する物理的フォック空間への制限のみを有するＸ^μ座標による記述に基づいています。

そして,このヴィラソロ拘束による制限は量子電磁力学(QED)におけるグプタ・ブロイラー条件(Gupta-Bleuler条件)に類似しています。

量子電磁力学(QED)のグプタ・ブロイラー量子化では古典的拘束:∂_μＡ^μ＝0 が,これの左辺の"∂_μＡ^μに対応する量子場の演算子の正振動数成分が物理的光子状態を消すべきである"という要求に置き換えられています。

すなわち,古典論での条件∂_μＡ^μ＝0 は量子論では物理的状態｜phys＞が満たすべき補助条件:∂_μＡ^μ(＋)|phys＞＝0 に置き換えられています。

現在の共変量子化のアプローチでは,より深い幾何学的基礎があります。それはＦＰゴースト(Faddeev-Popov ghost)の導入とＢＲＳＴ対称性カレント(BRST symmetry)の確認を含んでいます。そうした方法については次の章で記述する予定です。

　これまでの古典的弦のゲージ固定においては世界面の計量(metric):ｈ_αβを平坦な２次元ミンコフスキー(Minkowski)計量η_αβにセットするような再パラメータ化とワイルスケーリング(Weil-scaling)対称性を用いました。

量子論では,この手続きの正当性について,より注意深く考える必要があります。ワイルスケーリング対称性は,ｈ_αβに関して作用を変化させるエネルギー運動量テンソルＴ_αβのトレース(対角和)がゼロということに責任があります。

そして,一般に量子論ではＴ_αβのトレースにアノマリー(異常値)を生じます。

そして,このアノマリーは非常に特殊な条件下でのみ相殺されます。

歴史的には,この問題への最初のアプローチは"如何にすればアノマリーに苦しむことなくｈ_αβ＝η_αβと置くことができるか？"という問題を伴なっていました。

それに続く解析は,多くの骨折りの後に,時空の次元Ｄと基底状態の質量に,ある矛盾のない要請を課したときにのみ,満足のいく理論の出現が可能なことを示しました。

　アノマリーを避ける方法としては光(円)錐量子化という手法もあります。これは計量ｈ_αβ＝η_αβからスタートして,さらにゲージの制限を課す非常に物理的なアプローチです。

　この手法でも,結局は質量と時空の次元Ｄに対して同じ制限に導かれます。これの詳細についても後述する予定です。

　また,別の共変的アプローチによれば,時空次元Ｄと質量パラメータａに課されるこの同じ条件はトレース・アノマリーの相殺のための条件と解釈することが可能なことを示しています。

　我々は最も伝統的なアプローチから始めます。まず,量子論において計量をｈ_αβ＝η_αβとおくことからスタートし,それからそれの導くところを探究してゆきます。

すぐ前の記事では,このゲージにおける古典弦の力学が作用積分Ｓ＝－(Ｔ/2)∫ｄ²σ∂_αＸ∂^αＸによって記述されることを示しました。

そして,これは拘束条件:Ｔ_＋＋＝Ｔ_－－＝0 に対応する補助条件(Ｘ^d±Ｘ')²＝0 と適切な開弦,または閉弦の境界条件によって補完されていました。

　古典物理学から量子物理学へと移行する標準的な方法はポアソン括弧(Posson)括弧:[　]P.B.を交換子括弧(commutator):[　]に置き換えることでなされます。

　すなわち,[　]P.B.→－i[　]とするわけです。これは,[　]P.B.～－i[　],または[　]～ i[　]P.B.の読み換えを意味します。

以前の記事ではＸ^μに共役な運動量はＰ_τμ＝ＴＸ_μ^dで与えられることを見ました。これは厳密には運動量カレントのτ成分です。

そこで,古典論の正準ポアソン括弧は[Ｘ^μ(σ,τ),Ｘ^ν(σ',τ)]_P.B.＝[Ｘ^μd(σ,τ),Ｘ^νd(σ',τ)]_P.B.＝0 ,[Ｘ^μd(σ,τ),Ｘ^ν(σ',τ)]_P.B.＝Ｔ^-1η^μνδ(σ－σ')Ｘ^μとなります。

Ｘ^μを量子演算子と解釈して,これを量子論での正準交換関係に読み換えます。

すなわち,Ｐ_τ^μ＝ＴＸ^μdにより,[Ｘ^μd(σ,τ),Ｘ^ν(σ',τ)]_P.B.＝Ｔ^-1δ(σ－σ')η^μνは,[Ｐ_τ^μ(σ,τ),Ｘ^ν(σ',τ)]_P.B.＝δ(σ－σ')η^μνを意味しますが,これは量子論では[Ｐ_τ^μ(σ,τ),Ｘ^ν(σ',τ)]＝iδ(σ－σ')η^μνに置き換わります。

さらに,[ｐ^μ,ｘ^ν]＝iη^μνなので,モード展開の係数の調和振動子の代数は古典論では,開弦で[α_m^μ,α_n^ν]_P.B.＝iｍδ_m+nη^μν,閉弦で[α_m^μ,α_n^ν]_P.B.＝[α~_m^μ,α~_n^ν]_P.B.＝iｍδ_m+nη^μν,[α_m^μ,α~_n^ν]_P.B.＝0 ですが,

量子論では,[　]＝i[　]P.B.とすることにより,開弦では[α_m^μ,α_n^ν]＝－ｍδ_m+nη^μν,閉弦では[α_m^μ,α_n^ν]＝[α~_m^μ,α~_n^ν]＝－ｍδ_m+nη^μν,[α_m^μ,α~_n^ν]＝0 と変わります。

　この,α_m＝{α_m^μ}に対する交換関係:[α_m,α_n]＝－ｍδ_m+nから,これらの演算子α_m＝{α_m^μ}は自然にｍの負,正に応じてｍを上げ下げする調和振動子の昇降演算子であると解釈できます。

　つまり,各々のｍ＞0 についてα_m^μ,α_-m^μは規格化された調和振動子の昇降演算子ａ_m^^μ,ａ_m^^＋μと,α_m^μ≡ｍ^1/2ａ_m^^μ,α_-m^μ≡ｍ^1/2ａ_m^^＋μによって関連付けられると考えるわけです。

　振動子の基底状態:|0＞は,全てのｍ＞0 のα_m^μによって消滅さるべき状態であると定義されます。

　ただし,実際には振動子が基底状態にあることを指定するだけでは,弦の状態は決定されません。

後の表記では,状態がｍ＞0 のα_m^μによって消滅さるべき状態であることに特に言及したいときには,それの持つ重心運動量をｐ^μとして|0;ｐ^μ＞などと表わします。

このときに,根本的に重要な点は基底状態:|0＞に生成演算子ａ_m^^＋μを作用させて得られるフォック空間は正定値ではないことです。

つまり,[α_m⁰,α_-m⁰]＝－ｍによって時間成分の交換関係は通常とは異なるマイナス符号を取り,[ａ_m^⁰,ａ_m^^＋0]＝－1となります。

そこで,ａ_m^^＋0|0＞の形の状態は＜0|ａ_m^⁰ａ_m^^＋0|0＞＝－1となって負のノルムを持つわけです。

許される弦の状態だけで構成される物理的空間は,負ノルムも含んだ完全なフォック空間の部分空間であると考えます。

この部分空間はある補助条件によって指定されますが,矛盾のない因果的理論を得るためには,この物理的部分空間には通常ゴ－ストと呼ばれる母空間の負ノルム状態が含まれないことが必要です。

ところで,古典論における補助条件(拘束条件)はエネルギー運動量の成分Ｔ_＋＋とＴ_－－がゼロになって消えることでした。

そして,Ｔ_＋＋,Ｔ_－－の周波数展開での"フーリエ・モード＝展開係数"はヴィラソロ(Virasoro)生成子:Ｌ_mを与え,補助条件はＬ_mが消えることと同等であることがわかりました。

ヴィラソロ生成子は,開弦ではＬ_m≡(Ｔ/2)∫₀^πｄσ[exp(iｍσ)Ｔ_＋＋＋exp(－iｍσ)Ｔ_－－]で定義され,閉弦ではＬ_m≡(Ｔ/2)∫₀^πｄσ[exp(2iｍσ)Ｔ_－－]＝(－Ｔ/2)∫₀^πｄσ[exp(2iｍσ)(Ｘ_R^d)²],Ｌ~_m≡(Ｔ/2)∫₀^πｄσ[exp(2iｍσ)Ｔ_＋＋]＝(－Ｔ/2)∫₀^πｄσ[exp(2iｍσ)(Ｘ_L^d)²]ｄσで定義されます。

そして,これらの量のモード展開は,開弦ではＬ_m＝(－1/2)Σ_n＝-∞^∞α_m-nα_n,閉弦ではＬ_m＝(－1/2)Σ_n＝-∞^∞α_m-nα_n,Ｌ~_m＝(－1/2)Σ_n＝-∞^∞α~_m-nα~_nとなります。

　古典論では,α_m^μは単なる数なので,α_m-n,μα_n^νのような積は全て可換で,α_m-n,μα_n^ν＝α_n^να_m-n,μとなることなどは当然として計算しました。

　しかし,量子論ではα_m^μを演算子と考えるので,積の順序に曖昧さが存在することを解決する必要があります。

古典論から得られたＬ_m＝(－1/2)Σ_n＝-∞^∞α_m-nα_nなる表現を,量子論に読み換えるとき,交換関係:[α_m,α_n]＝－ｍδ_m+nが成立することを考慮すると,右辺各項α_m-nα_nの因子α_m-nはｍ＝0 以外では因子α_nと交換するので,積の順序の曖昧さが生じるのはＬ₀における表現のみであることがわかります。

　そして,今のところは,Ｌ₀の表現における曖昧さを解消する自然な方法を全く考えられない段階なので,Ｌ₀は単に正規順序表現で与えられると定義します。

すなわち,古典論の表現Ｌ₀＝(－1/2)Σ_n＝-∞^∞α_-nα_nにおいて,右辺のｎ＜0 のα_-nα_nの項をα_nα_-nで置き換えて,量子論ではＬ₀≡(－1/2)α₀²－Σ_n=1^∞α_-nα_nと定義します。

このとき,正規順序を取ったせいで,Ｌ₀の値に任意定数の不明瞭さが存在し得るので,Ｌ₀を含むあらゆる式に,この仮想定数(実はゼロの可能性もある)を加える必要があります。

古典論ではＬ₀を含む拘束の重要な例は,許される弦の運動に対してＬ₀が消えねばならないという要請ですが,この要請の最も素朴な量子力学的アナロジーはＬ₀が物理的状態を消滅させるという命題であろうと考えられます。

しかし,上に述べたように,量子論ではＬ₀は正規順序の不明瞭さのために未決定の定数ａを含みます。　

そこで,この要請は,"物理的状態:|φ＞であれば条件:(Ｌ₀－ａ)|φ＞＝0 を満たさねばならない"という要請になります。

古典論で行なったＬ₀のモード展開では,開弦ではＬ₀＝(－1/2)Σ_-∞^∞α_-nα_n＝－ｌ²ｐ²/2－Σ_n=1^∞α_-nα_n＝－α'Ｍ²－Σ_n=1^∞α_-nα_nとなること,およびＬ₀＝0 となるという拘束条件から,弦の平方質量Ｍ²について,Ｍ²＝(－1/α')Σ_n=1^∞α_-nα_nを満たすべきであるという重要な等式でした。

今の量子論の場合には,拘束条件は(Ｌ₀－ａ)|φ＞＝0 です。これはＬ₀＝ａを意味するので,特にα'≡1/2とすると,平方質量Ｍ²が満たすべき等式は,Ｍ²＝－2ａ－2Σ_n=1^∞α_-nα_nと変更されます。

この式の右辺第２項の(－Σ_n=1^∞α_-nα_n)の固有値は明らかに非負の整数なので,これは開弦の基底状態の平方質量が－2ａであり,そこからの励起は－2ａより２の倍数だけ大きい任意の値の平方質量を持つことを意味します。

一方,閉弦では,|φ＞が物理的状態であるための条件は(Ｌ₀－ａ)|φ＞＝0,かつ(Ｌ~₀－ａ)|φ＞＝0 となります。

α'≡1/2では,ａ＝Ｌ₀＝－Ｍ²/8－Σ_n=1^∞α_-nα_n,かつａ＝Ｌ~₀＝－Ｍ²/8－Σ_n=1^∞α~_-nα~_nですから,Ｍ²＝－8ａ－8Σ_n=1^∞α_-nα_n,かつＭ²＝－8ａ－8Σ_n=1^∞α~_-nα~_nなる等式を得ます。

閉弦の平方質量が開弦のそれの４倍であるという事実は,第１章では別の方法で説明しました。

すなわち,スピンがゼロのタキオンの頂点演算子exp(－iｋＸ)は閉弦では次元２を持つべきですが,これの異常次元は－ｋ²/4で与えられ,開弦ではこれは次元１を持つべきですが,異常次元は－ｋ²/2であるという事実からこれが説明されました。

これは,2008年12/14の記事「超弦理論(9)(タキオン(続き)と重力子の散乱振幅)」,および2009年１/6の記事「超弦理論(10)(開弦とチャン・パトン因子)」において記述しています。

そして,閉弦においてはＭ²＝－8ａ－8Σ_n=1^∞α_-nα_nから,Ｍ²＝－8ａ－8Σ_n=1^∞α~_-nα~_nを引き算する,または,同じことですが(Ｌ₀－Ｌ~₀)|φ＞＝0 なる拘束を課せば,Σ_n=1^∞α_-nα_n＝Σ_n=1^∞α~_-nα~_nであることがわかります。

他の,ｍ≠0 のヴィラソロ生成子Ｌ_m,Ｌ~_mはＴ_＋＋,Ｔ_－－の明確なゼロでない周波数の項に対応していますが,これも量子電磁力学(QED)におけるグプタ・ブロイラーの扱いと同じく,古典論でこれらが消えることは量子論では正振動数成分が物理的状態を消滅させるというより弱い要請に置き換えられます。

すなわち,Ｌ_m|φ＞＝0,ｍ＝1,2,..なる要請です。

これらの条件は,適切な積の順序の規約で正と負の両方のｍに対して演算子(Ｌ_m－ａδ_m0)を物理的状態のペアで挟んだ行列要素が全てゼロになることを保証するには十分です。

これを見るために,|φ＞,|χ＞を(Ｌ₀－ａ)|φ＞＝0,(Ｌ₀－ａ)|χ＞＝0,Ｌ_m|φ＞＝0,Ｌ_m|χ＞＝0,ｍ＝1,2,..に従う任意の状態であるとして＜χ|Ｌ_n1Ｌ_n2．．Ｌ_np|φ＞なる表現を考えます。

ただし,Ｌ_n1,Ｌ_n2,..,Ｌ_npの添字ｎ₁,ｎ₂,．．,ｎ_pのうちの１つのｎ_kがｎ_k＝0 なら対応するＬ₀はＬ₀－ａで置き換えることにします。

一般にＬ_nは交換しないので,行列要素＜χ|Ｌ_n1Ｌ_n2.Ｌ_np|φ＞の値は演算子:Ｌ_n1,Ｌ_n2,..,Ｌ_npの順序に依存します。

しかし,もしも演算子Ｌ_nkの添字ｎ_kが正の数のときのＬ_nkは右側に,ｎ_kが負の数のときのＬ_nkは左側に配置されるよう規定すれば,|φ＞,|χ＞が物理的状態であるための規約:(Ｌ₀－ａ)|φ＞＝0,(Ｌ₀－ａ)|χ＞＝0,Ｌ_m|φ＞＝0,Ｌ_m|χ＞＝0,ｍ＝1,2,..とエルミート性Ｌ_-m＝Ｌ_m^＋のおかげで,全ての行列要素＜χ|Ｌ_n1Ｌ_n2．．Ｌ_np|φ＞はゼロになる:消えることがわかります。

これは,量子レベルで許される"弦の古典運動に対してＬ_nが全てゼロになる"という古典命題へと到達できる最近接の命題です。

しかし,異常な交換関係が存在するなら,これら全てのＬ_nによって消滅させられる状態を見出すことは不可能となります。

Ｌ₀の交換関係から生じるアノマリーに向かう前に,ここで積の順序の曖昧さが全くない弦の角運動量演算子についても,まとめておきます。

以前の記事「超弦理論(15)(2-4)」で見たように,弦の角運動量はＪ^μν＝Ｔ∫₀^πｄσ[{Ｘ^μ(∂Ｘ^ν/∂τ)－Ｘ^ν(∂Ｘ^μ/∂τ)}|_τ=0]で与えられます。

そして,ｌ^μν＝ｘ^μｐ^ν－ｘ^νｐ^μを弦の重心の角運動量とするとき,角運動量のモード展開は,開弦ではＪ^μν＝ｌ^μν＋Ｅ^μν,Ｅ^μν＝－iΣ_n＝1^∞{(α_-n^μα_n^ν－α_-n^να_n^μ)/ｎ},閉弦ではＪ^μν＝ｌ^μν＋Ｅ^μν＋Ｅ~^μν,Ｅ^μν＝－iΣ_n＝1^∞{(α_-n^μα_n^ν－α_-n^να_n^μ)/ｎ},Ｅ~^μν＝－iΣ_n＝1^∞{(α~_-n^μα~_n^ν－α~_-n^να~_n^μ)/ｎ}となることを見ました。

開弦での表現では,Ｊ^μν＝ｘ^μｐ^ν－ｘ^νｐ^μ－iΣ_n=1^∞{(α_-n^μα_n^ν－α_-n^να_n^μ)/ｎ}ですが,一見してこれには順序の曖昧さがないので明瞭な量子演算子と解釈できます。

正準交換関係を用いて,次のポアンカレ代数が満足されることを証明するのはそれほどむずかしいことではありません。

ポアンカレ代数は,[Ｐ^μ,Ｐ^ν]＝0,[Ｐ^μ,Ｊ^νρ]＝iη^μνＰ^ρ,[Ｊ^μν,Ｊ^ρλ]＝iη^νρＪ^μλ－iη^μρＪ^νλ－iη^νλＪ^μρ＋iη^μλＪ^νρです。

※(訳注25):上のポアンカレ代数の最後の交換関係[Ｊ^μν,Ｊ^ρλ]の表式のみ証明しておきます。

交換子[Ｊ^μν,Ｊ^ρλ]にモード展開を代入すると[Ｊ^μν,Ｊ^ρλ]＝[ｘ^μｐ^ν－ｘ^νｐ^μ－iΣ_m=1^∞{(α_-m^μα_m^ν－α_-m^να_m^μ)/ｍ},ｘ^ρｐ^λ－ｘ^λｐ^ρ－iΣ_n=1^∞{(α_-n^ρα_n^λ－α_-n^λα_n^ρ)/ｎ}]＝[ｘ^μｐ^ν－ｘ^νｐ^μ,ｘ^ρｐ^λ－ｘ^λｐ^ρ]－Σ_m=1^∞Σ_n=1^∞{1/(ｍｎ)}[α_-m^μα_m^ν－α_-m^να_m^μ,α_-n^ρα_n^λ－α_-n^λα_n^ρ]となります。

そして,[ｘ^μｐ^ν,ｘ^ρｐ^λ]＝ｘ^μ[ｐ^ν,ｘ^ρ]ｐ^λ＋ｘ^ρ[ｘ^μ,ｐ^λ]ｐ^ν＝iη^νρｘ^μｐ^λ－iη^μλｘ^νｐ^ρ＝より,[ｘ^μｐ^ν－ｘ^νｐ^μ,ｘ^ρｐ^λ－ｘ^λｐ^ρ]＝iη^νρ(ｘ^μｐ^λ－ｘ^λｐ^μ)＋iη^μλ(ｘ^νｐ^ρ－ｘ^ρｐ^ν)－iη^νλ(ｘ^μｐ^ρ－ｘ^ρｐ^μ)－iη^μρ(ｘ^νｐ^λ－ｘ^λｐ^ν)です。

また,[α_-m^μα_m^ν,α_-n^ρα_n^λ]＝α_-m^μ[α_m^ν,α_-n^ρ]α_n^λ＋α_-n^ρ[α_-m^μ,α_n^λ]α_m^ν＝－ｍδ_m-n(η^νρα_-m^μα_n^λ－η^μλα_-n^ρα_m^ν)なので,Σ_m,n=1^∞{1/(ｍｎ)}[α_-m^μα_m^ν－α_-m^να_m^μ,α_-n^ρα_n^λ－α_-n^λα_n^ρ]＝(－i)Σ_n=1^∞(1/ｎ){iη^νρ(α_-n^μα_n^λ－α_-n^λα_n^μ)－iη^μρ(α_-n^να_n^λ－α_-n^λα_n^ν)－iη^νλ(α_-n^μα_n^ρ－α_-n^ρα_n^μ)＋iη^μλ(α_-n^να_n^ρ－α_-n^ρα_n^ν)}です。

結局, [Ｊ^μν,Ｊ^ρλ]＝[ｘ^μｐ^ν－ｘ^νｐ^μ,ｘ^ρｐ^λ－ｘ^λｐ^ρ]－Σ_m,n=1^∞{1/(ｍｎ)}[α_-m^μα_m^ν－α_-m^να_m^μ,α_-n^ρα_n^λ－α_-n^λα_n^ρ]＝iη^νρ{ｘ^μｐ^λ－ｘ^λｐ^μ－iΣ_n=1^∞(1/ｎ)(α_-n^μα_n^λ－α_-n^λα_n^μ)}－iη^μρ{ｘ^νｐ^ρ－ｘ^ρｐ^ν－iΣ_n=1^∞(1/ｎ)(α_-n^να_n^λ－α_-n^λα_n^ν)}－iη^νλ{ｘ^μｐ^ρ－ｘ^ρｐ^μ－iΣ_n=1^∞(1/ｎ)(α_-n^μα_n^ρ－α_-n^ρα_n^μ)}＋iη^μλ{ｘ^νｐ^ρ－ｘ^ρｐ^ν－iΣ_n=1^∞(1/ｎ)(α_-n^να_n^ρ－α_-n^ρα_n^ν)}＝iη^νρＪ^μλ－iη^μρＪ^νλ－iη^νλＪ^μρ＋iη^μλＪ^νρが得られます。(訳注25終わり)※